Formula potpune verovatnoe

Teorema: Neka je A1, A2, . . . , An razbijae sigurnog dogaaja Ω i nekaza svako k ∈ 1, 2, . . . , n vai P (Ak) > 0. Tada za svaki dogaaj B vai

sledea formula P (B) =n∑

j=1

P (Aj)P (B|Aj) (formula potpune verovatnoe).

Dokaz: Koristei konaqnu aditivnost verovatnoe i formulu mnoeaverovatnoa (P (AB) = P (A) · P (B|A)) dobijamo

P (B) =

n∑i=1

P (BAi) =

n∑i=1

P (Ai) · P (B|Ai).

P (B) = P (A1)P (B|A1) + P (A2)P (B|A2) + . . .+ P (An)P (B|An)

= P (A1)PA1(B) + P (A2)PA2(B) + . . .+ P (An)PAn(B)

1. Na stovarixtu se nalaze proizvodi iste vrste proizvedeni u tri ra-zliqita pogona, i to: 20% iz I pogona, 40% iz II pogona, 40% iz IIIpogona. Verovatnoa da su proizvodi neispravni su: 0, 01 za I, 0, 02 zaII, 0, 004 za III. Odrediti verovatnou da sluqajno izabran proizvodna stovarixtu bude neispravan.

B - proizvod neispravan; Ai proizvod uzet sa stovarixta i

P (B) = P (A1) · P (B|A1) + P (A2)P (B|A2) + P (A3)P (B|A3)

= 0, 2 · 0, 01 + 0, 4 · 0, 02 + 0, 4 · 0, 04

= 0, 002 + 0, 008 + 0, 016 = 0, 026.

2. U I kutiji su tri bele i dve crne kuglice, a u II, jedna bela i qetiricrne kuglice. Izvlaqimo nasumiqnu kuglicu. Odrediti verovatnouda je izvuqena bela kuglica.

B− bela kuglica; Ai− izabrana i−ta kutija.P (B) = P (A1)P (B|A1) + P (A2)P (B|A2) =

1

2· 35+

1

2· 15=

1

2· 45=

2

5

3. U prodavnici se nalaze sijalice proizvedene u qetiri razliqite fa-brike i to iz I − 250, II − 525, III − 275, IV − 950. Verovatnoada sijalica gori vixe od 1500 qasova je: za I − 0, 15, II − 0, 3, III −0, 2, IV − 0, 1. Kupena sijalica je sluqajno izabrana. Odreditiverovatnou da ona gori vixe od 1500 qasova.

250 + 525 + 275 + 950 = 2000,

1

P (A1) =250

2000=

1

8, P (A2) =

525

2000=

21

80, P (A3) =

275

2000=

11

80,

P (A4) =950

2000=

19

40

P (B) = P (A1)P (B|A1)+P (A2)P (B2|A2)+P (A3)P (B|A3)+P (A4)P (B|A4)

=1

8· 0, 15 + 21

80· 0, 3 + 11

80· 0, 2 + 19

40· 0, 1

=3

160+

63

800+

22

800+

19

400=

15 + 63 + 22 + 38

800= 0, 1725

4. U svakoj od dve kutije nalazi se po m belih i n crnih kuglica. Izprve sluqajno se bira jedna kuglica i stavi u drugu kutiju, zatim seiz druge kutije bira kuglica. Izraqunati verovatnou da je drugakuglica bila bela.

P (B) = P (A1) · P (B|A1) + P (A2)P (B|A2)

P (A1) =m

m+ n, P (B|A1) =

m+ 1

m+ n+ 1

P (A2) =n

m+ n, P (B|A2) =

m

m+ n+ 1.

5. U prvoj posudi nalazi se 20 proizvoda, od kojih 15 standardnih. Udrugoj 30 od kojih 24 standardnih, a u treoj 10 od kojih su 6 stan-dardni. Odrediti verovatnou, ako nasumice biramo proizvod i po-sudu, da on bude standardan.

B - izabran standardni proizvod

P (B) = P (A1) · P (B|A1) + P (A2) · P (B|A2) + P (A3) · P (B|A3)

=1

3· 1520

+1

3· 2430

+1

3· 6

10=

43

60.

6. U kutiji se nalazi jedna kuglica koja moe biti bela ili crna. Ukutiju se stava jedna bela kuglica, pa se iz kutije na sluqajan naqinbira jedna kuglica. Kolika je verovatnoa da je u kutiji ve bilabela kuglica, ako je izvuqena kuglica bela?

B - izvuqena je bela;A1 - u kutiji je bila bela; A2 - u kutiji je bila crna;

P (A1) =1

2, P (B|A1) = 1 , P (A2) =

1

2, P (B|A2) =

1

2.

P (A1|B) =P (A1) · P (B|A1)

P (A1) · P (B|A1) + P (A2) · P (B|A2)=

2

3.

7. Dve maxine proizvode artikle iste vrste. Verovatnoa da artikalbude prve klase iznosi 0, 92 za prvu, a 0, 8 za drugu maxinu. Prvamaxina proizvodi tri puta vixe artikala od druge i svi se xau uskladixte. Odrediti verovatnou da je izabrani artikal prve klase.

B - izabran je artikal I klase. A1 - prva maxina ga je proizvela.A2 - druga maxina ga je proizvela.

P (A1) =3

4, P (B|A1) = 0, 92 , P (A2) =

1

4, P (B|A2) = 0, 8.

P (B) = P (A1) · P (B|A1) + P (A2) · P (B|A2).

2

Bajesova formula:

Teorema: Neka je A1, A2, . . . , An razbijae sigurnog dogaaja Ω, priqemu za svako k ∈ 1, 2, . . . , n vai P (Ak) > 0 i neka je B proizvoandogaaj za koji vai P (B) > 0. Tada je

P (Ak|B) =P (Ak)P (B|Ak)n∑

j=1

P (Aj)P (B|Aj)

.

Dokaz: Iz definicije uslovne verovatnoe sledi

P (AkB) = P (Ak)P (B|Ak) = P (B)P (Ak|B)

Iskoristimo formulu potpune verovatnoe P (B) =n∑

j=1

P (Aj)P (B|Aj)

P (Ak|B) =P (Ak)P (B|Ak)

P (B)=

P (Ak) · P (B|Ak)n∑

j=1

P (Aj)P (B|Aj)

Primeri:

1. U prvoj posudi nalazi se 8 belih i 6 crnih kuglica, a u drugoj 10 belihi 4 crne. Sluqajno je izabrana kuglica i posuda. Izvuqena kuglicaje crna. Odrediti verovatnou: (a) da je izabrana prva posuda; (b)da je izabrana druga posuda.

Rexee: I: 8 belih i 6 crnih. II: 10 belih i 4 crneB - izvuqena je crna kuglica.

P (B) = P (A1)P (B|A1) + P (A2)P (B|A2) =1

2· 6

14+

1

2· 4

14=

5

14.

P (A1|B) =P (A1) · P (B|A1)

P (B)=

3

5, P (A2|B) =

2

5.

2. Dva automata proizvode isti predmet i lageruju u isti kontejner.Proizvoda prvog automata dva puta je vea od proizvode drugogautomata. Prvi automat proizvodi proseqno 60% predmeta odliqnogkvaliteta, a drugi 84% takoe odliqnog kvaliteta. Odrediti vero-vatnou da je izabrani predmet proizveden u prvom automatu i da jeodliqnog kvaliteta.

Rexee: P (A1|B) =P (A1) · P (B|A1)

P (A1)P (B|A1) + P (A2)P (B|A2)=

10

17.

P (A1) =2

3, P (B|A1) =

3

5; P (A2) =

1

3, P (B|A1) =

21

25.

3. Od tri jednake puxke bira se sluqajno jedna: (a) odrediti verovatnouda je ci pogoen ako ona za prvu puxku iznosi 0, 75, za drugu 0, 85i treu 0, 05; (b) ako je ci pogoen, odrediti verovatnou da jepogoen prvom, drugom, odnosno treom puxkom.

Rexee: (a) P (B) = P (A1)P (B|A1) + P (A2)P (B|A2) + P (A3)P (B|A3)

P (B) =1

3· 0, 75 + 1

3· 0, 85 + 1

3· 0, 05 = 0, 55.

3

(b) P (A1|B) =P (A1)P (B|A1)

P (B)=

1

3· 0, 75

0, 55=

5

11;

P (A2|B) =P (A2)P (B|A2)

P (B)=

1

3· 0, 85

0, 55=

17

33; P (A3|B) =

1

3· 0, 05

0, 55=

1

33.

4. Imamo dve posude. U prvoj posudi se nalaze 2 bele i 1 crna kuglica, au drugoj posudi 1 bela i 5 crnih kuglica. Premestimo jednu kuglicuiz prve posude u drugu. Zatim izvucimo jednu kuglicu iz druge po-sude. Ako je ona bela, odrediti verovatnou da je premextena kuglicabila crna.

Rexee: B - izvukli smo belu. A1 - prebacili smo belu kuglicu izI u II kutiju. A2 - prebacili smo crnu kuglicu iz I u II kutiju.

P (A2|B) =P (A2) · P (B|A2)

P (A1)P (B|A1) + P (A2)P (B|A2)=

1

5

I: 2b, 1c - P (A1) =2

3, P (B|A1) =

2

7;

II: 1b, 5 - P (A2) =1

3, P (B|A2) =

1

7.

Zadaci:

1. U jednoj kutiji nalazi se 20 lampi za radio aparate, od kojih je 18standardnih, a u drugoj kutiji nalazi se 10 radio lampi od kojih je9 standardnih. Iz druge kutije nasumice se bira radio-lampa i pre-bacuje u prvu kutiju. Odrediti verovatnou da je nasumice izvuqenaradio-lampa, iz prve kutije, standardna.

Rexee: B - izvuqena je standardna;A1 - prebaqena je standardna iz II u I;A2 - prebaqena je nestandardna iz II u I.

P (B) = P (A1)P (B|A1) + P (A2)P (B|A2) =9

10· 1921

+1

10· 1821

= 0, 9

I - 2 nestandardnih, 18 standardnih.II - 1 nestandardna, 9 standardnih.

P (A1) =9

10, P (B|A1) =

19

21. P (A2) =

1

10, P (B|A2) =

18

21.

2. Iz kutije u kojoj je bilo 6 petodinarki i 4 dvodinarke izguben jejedan novqi. Da bi se odredila egova vrednost, iz kutije se isto-vremeno izvlaqe dva novqia. Kolika je verovatnoa da je izgubenapetodinarka, ako su oba izvuqena novqia petodinarke? A ako se znada su oba izvuqena novqia iste vrednosti?

Rexee:

A1 - izgubena je petodinarka; A2 - izgubena je dvodinarka;B - oba izvuqena novqia su petodinarke;C - oba izvuqena novqia su iste vrednosti.

P (A1) =6

10, P (A2) =

4

10.

P (B|A1) =C5

2

C92

=5

18, P (B|A2) =

C62

C92

=5

12.

P (B) = P (A1) · P (B|A1) + P (A2) · P (B|A2) =1

3.

P (A1|B) =P (A1) · P (B|A1)

P (B)=

1

2.

4

P (C|A1) =C5

2 + C42

C92

=4

9, P (C|A2) =

C62 + C3

2

C92

=1

2.

P (C) = P (A1) · P (C|A1) + P (A2) · P (C|A2) =7

15.

P (A1|C) =P (A1) · P (C|A1)

P (C)=

4

7.

3. U kutiji se nalaze tri kuglice, od kojih svaka moe biti bela ilicrna. Iz kutije se 4 puta, sa vraaem, bira kuglica. Koji je najve-rovatniji sastav kutije, ako je jednom izvuqena crna i tri puta belakuglica?

Rexee: A0 - nema belih. A1 - u kutiji je jedna bela kuglica.A2 - u kutiji su dve bele. A3 - u kutiji su tri bele.B - izvuqena je crna i 3 bele.

P (A0) = P (A1) = P (A2) = P (A3) =1

4

P (B|A0) = 0, P (B|A1) = 4(1

3

)3

· 23=

8

81

P (B|A2) = 4 · 13·(2

3

)3

=32

81, P (B|A3) = 0

P (B) = P (A0) · P (B|A0) + P (A1) · P (B|A1) + P (A2) · P (B|A2) +

P (A3) · P (B|A3) =10

81

P (Ai|B) =P (Ai) · P (B|Ai)

P (B)

P (A0|B) = P (A3|B) = 0 , P (A1|B) =1

5, P (A2|B) =

4

5.

Najverovatniji sastav su dve bele i jedna crna.

4. Meu turistima u jednom turistiqkom centru 65% su muxkarci. Poredtoga, 75% ena i 60% muxkaraca su domai turisti. Izraqunativerovatnou da e sluqajno izabrana osoba biti:

(a) dravanin naxe zeme; (b) strana turistkia;(v) ako je sluqajno izabran muxkarac, odrediti verovatnou da je onstranac.

Rexee: Neka dogaaj A predstava da je osoba enskog pola, a do-daaj B da je osoba stranac. Poznata je verovatnoa P (A) = 0.65, teje P (A) = 0.35. Takoe je poznato P (B|A) = 0.75 i P (B|A) = 0.6.(a) P (B) = P (A) · P (B|A) + P (A) · P (B|A) = 0.6525;(b) P (A ·B) = P (A) · P (B|A) = P (A) · (1− P (B|A)) = 0.0875;(v) P (B|A) = 1− P (B|A) = 1− 0.6 = 0.4.

5. U jednoj kutiji se nalazi 5 belih i 7 crvenih kuglica, a u drugoj 3bele i 4 crvene kuglice. Na sluqajan naqin se iz prve u drugu kutijuprebacuju 3 kuglice. Zatim se iz druge kutije izvlaqi jedna kuglica.

(a) Odrediti verovatnou da je izvuqena kuglica bele boje;(b) Ako je izvuqena bela kuglica, odrediti verovatnou da su iz prveu drugu kutiju prebaqene jedna bela i dve crvene kuglice.

Rexee: (a) Posmatramo dogaaj A, da je iz druge kutije izvuqenakuglica bele boje, i dogaaj Bi, da su od 3 kuglice koje su prebaqeneiz prve u drugu kutiju i kuglice bele boje (i = 0, 1, 2, 3). Traena

5

verovatnoa je:

P (A) =

3∑i=0

P (Bi) · P (A|Bi),

gde je P (Bi) =

(5

i

)·(

7

3− i

)(12

3

) , P (A|Bi) =3 + i

10.

P (A) = 0.4728.

6. Tri, na prvi pogled, iste kutije imaju sledee sadraje: I − 5 belihi 5 crvenih, II−4 bele i 8 crvenih, III−9 belih i 3 crvene kuglice.

(a) Xta je verovatnoije - da e iz druge kutije biti izvuqena belakulica, ili da e bela kuglica biti izvuqena iz sluqajno izabranekutije?(b) Ako je izvuqena bela kuglica, odrediti verovatnou da je ona izdruge kutije.

Rexee: Definiximo dogaaj A, da je izvuqena bela kuglica, i do-gaaj Bi, da je izabrana i−ta kutija (i = 1, 2, 3).Poznate su verovatnoe:

P (Bi) =1

3, P (A|B1) =

1

2, P (A|B2) =

1

3, P (A|B3) =

3

4.

(a) Preko formule totalne verovatnoe imamo da je:

P (A) = P (B1)P (A|B1) + P (B2)P (A|B2) + P (B3)P (A|B3) = 0.5278.

Sledi da je verovatnije da e bela kuglica bit izvuqena iz sluqajnoodabrane kutije.

(b) Traena verovatnoa je:

P (B2|A) =P (B2)P (A|B2)

P (A)= 0.2105.

7. Na teritoriji neke opxtine, u populaciji radno sposobnih itea,nalazi se 50% sa niim, 42% sa sredim i 8% sa vixim i visokimobrazovaem 3%. Za ostale se zna da je 10% nezaposlenih. Ako sena sluqajan naqin bira jedan radno sposoban ite opxtine i kon-statuje se da je on zaposlen, kolika je verovatnoa da je on iz kate-gorije: (a) nie obrazovanih; (b) srede obrazovanih.

Rexee: Definiximo dogaaje:A - Izabrani radno sposobni ite opxtine je zaposlen;B1 - ite opxtine je sa niim obrazovaem;B2 - ite opxtine je sa sredim obrazovaem;B3 - ite opxtine je sa vixim ili visokim obrazovaem.Poznate su verovatnoe:

P (B1) = 0.50, P (B2) = 0.42, P (B3) = 0.08;

6

P (A|B1) = 0.10, P (A|B2) = 0.06, P (A|B3) = 0.03.

Verovatnoa P (A), da e sluqajno izabrani radno sposobni iteopxtine biti zaposlen, potrebna za raqunae traenih uslovnihverovatnoa, moe se odrediti pomou verovatnoe suprotnog doga-aja A. P (A) se raquna primenom formule totalne verovatnoe:

P (A) = P (B1) ·P (A|B1) +P (B2) ·P (A|B2) +P (B3) ·P (A|B3) = 0.0776.

P (A) = 1− P (A) = 0.9224.

(a) Traena verovatnoa je:

P (B1|A) =P (Bi) · P (A|B1)

P (A)=

P (B1) · (1− P (A|B1))

P (A)= 0.488.

(b) Traena verovatnoa je:

P (B2|A) =P (B2) · P (A|B2)

P (A)=

P (B2) · (1− P (A|B2))

P (A)= 0.428.

8. Osiguraq u elektriqnom kolu otkazuje pri: kratkom spoju u elektron-skoj lampi (dogaaj A) sa verovatnoom 0, 5, spoju u namotajima trans-formatora (B) sa verovatnoom 0, 6, proboju kondenzatora (C) saverovatnoom 0, 7, drugim razlozima (D) sa verovatnoom 0, 9. Vero-vatnoe dogaaja A, B, C i D su, redom, 0.35, 0.30, 0.25 i 0.10. Ako jeosiguraq pregoreo, nai najverovatniji razlog.

Rexee: Uz definisane dogaaje, definiximo i dogaaj E - osiguraqje otkazao. Poznate su verovatnoe:

P (E|A) = 0.5, P (A) = 0.35, P (E|B) = 0.6, P (B) = 0.3,P (E|C) = 0.7, P (C) = 0.25, P (E|D) = 0.9, P (D) = 0.1.

P (E) se odreuje preko formule totalne verovatnoe, pa je

P (E) = 0.62.

Najverovatniji razlog otkaza osiguraqa odreuje se poreeem uslovnihverovatnoa:

P (A|E) =P (A)P (E|A)

P (E)= 0.2882, P (B|E) =

P (B)P (E|A)

P (E)= 0.2903,

P (C|E) =P (C)P (E|C)

P (E)= 0.2822, P (D|E) =

P (D)P (E|C)

P (E)= 0.1452.

Najverovatnije je do otkaza osiguraqa doxlo zbog kratkog spoja unamotajima transformatora (dogaaj B).

9. Profesor matematike zna iz prethodnog iskustva da student kojistalno radi domae zadatke sa verovatnoom 0.95 polae ispit, dokza studenta koji ne radi domae zadatke ta verovatnoa iznosi 0.30.Poznato je i da 25% studenata radi domae zadatke.

(a) Nai verovatnou da e sluqajno izabrani student poloiti ispit.

7

(b) Ako sluqajno izabrani student iz grupe poloi ispit, koja jeverovatnoa da je on stalno radio domae zadatke?

Rexee: Mogu se definisati sledei dogaaji: A - student polaeispit, B - student radi domae zadatke. Poznate su verovatnoe:

P (B) = 0.25, P (A|B) = 0.95, P (A|B) = 0.3.

(a) Traena verovatnoa je:

P (A) = P (B) · P (A|B) + P (B) · P (A|B) = 0.4625.

(b) Traena verovatnoa je:

P (B|A) =P (B) · P (A|B)

P (A)= 0.5135.

8