Formelsammlung Bauphysik Wärme - Feuchte · PDF fileDer Wärmedurchlasskoeffizient...

Universität Duisburg-Essen Institut für Bauphysik und Materialwissenschaft Univ. Prof. Dr. Max J. Setzer

Formelsammlung Bauphysik

Wärme - Feuchte

Die vorliegende Formelsammlung kann in der Klausur Materialwissenschaft benutzt

werden.

Es dürfen dabei keine handschriftlichen Eintragungen in der Formelsammlung

vorgenommen werden.

IBPM

Univ.-Prof. Dr. Max J. Setzer Dipl. Ing. S. KasparekDipl.-Ing. M. Wehling

Prof. Dr.-Ing. R. Hohmann

Formelsammlung Wärme

Dipl.-Ing. A. LiebrechtStand 09/2004

Die physikalischen Größen und die verwendeten Indizes in der folgenden Sammlung entsprechen den Vorgaben der aktuellen Normen:

EN ISO 7345, Wärmeschutz - Physikalische Größen und Definitionen, Jan. 1996

EN ISO 9346, Stofftransport - Physikalische Größen und Definitionen, Mai 1996.

Zur Veranschaulichung werden hier noch einmal alle benutzten Indizes aufgezählt und erklärt.

Beschreibung Index Ableitung

innen i interior

außen e exterior

Oberfläche s surface

innere Oberfläche si surface interior

äußere Oberfläche se surface exterior

Wärmeleitung cd conduction

Konvektion cv convection

Strahlung r radiation

Kontakt c contact

gasgefüllter (luftgefüllter) Raum g gaseous

angrenzende Umgebung a ambient

Dampf v vapour

Wasser, flüssig w water

Sättigung sat saturation

Seite 2 Wärme-Feuchte_2004_2005

Dipl. Ing. S. Kasparek Dipl.-Ing. M. Wehling

IBPM Univ.-Prof. Dr. Max J. Setzer

Dipl.-Ing. A. Liebrecht Stand 09/2004



1 Wärmeschutztechnische Begriffe

Tabelle 1: Umrechnung von Energieeinheiten

J kJ kWh kcal

1 J 1 0,001 2,78 . 10−7 2,39 . 10−4

1 kJ 1000 1 2,78 . 10−4 0,239

1 kWh 3600000 3600 1 860

1 kcal 4190 4,19 0,00116 1

1.1 Temperatur Die Temperatur ist eine der wenigen Basisgrößen der Physik, die nicht aus anderen Größenarten abgeleitet werden kann.

Als Ausgangsbasis von Temperaturskalen sind Temperaturfestpunkte festgelegt die sich bei bestimmten wohl definierten physikalischen Vorgängen einstellen. Für die Celsius-Skala sind als Festpunkte bei einem Druck von 1,01325 bar der Schmelzpunkt des Wassers mit 0°C und der Verdampfungspunkt des Wassers bei 100°C definiert. Celsius-Temperatur ϑ und thermodynamische Temperatur T hängen wie folgt zusammen:

ϑ = T-T0 mit T0 =273,15 K

Dabei werden Temperaturdifferenzen stets in Kelvin angegeben.

1.2 Wärmemenge

Q t= ⋅Φ in J (dabei sind 1 J = 1 Nm = 1 Ws)

Die im Baustoff gespeicherte Wärmeenergie ist

Q c V S V = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ρ ∆ϑ ∆ϑ in J

Hierin ist V das Baustoffvolumen, ∆ϑ die Temperaturdifferenz und S die Wärmespeicherzahl oder auch die volumenbezogene Wärmekapazität. es wird die direkte Abhängigkeit der Wärmespeicherfähigkeit vom Gewicht des Bauteils deutlich. "Schwere" Bauteile speichern mehr Wärmeenergie als "leichte" Bauteile.

Das flächenbezogene Wärmespeichervermögen wird durch

W c d m' c= ⋅ ⋅ = ⋅ρ in J/m²K

charakterisiert. Hierin ist d die Dicke der Bauteilschicht in m und die Flächenmasse m´ in kg/m2. Das Wärmespeichervermögen W gibt die in 1 m2 einer Bauteilschicht der Dicke d gespeicherte Wärmemenge in J/(m2K) bei einer Übertemperatur von 1 K an.

Wärme-Feuchte_2004_2005 Seite 3

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1.3 Wärmestrom

Unter dem Wärmestrom Φ versteht man die Wärmemenge Q, die in der Zeiteinheit t von einem Ort hoher Temperatur zu einem Ort niederer Temperatur fließt.

Φ = = ⋅Qt

q A in W

1.4 Wärmestromdichte

Unter der Wärmestromdichte q versteht man den auf eine Flächeneinheit bezogenen Wärmestrom.

q =A

= QA t

Φ⋅

in W/m²

Für die Wärmeleitung gilt unter stationären Bedingungen (q = konst., d.h., q = 0 ):

n

jj = 1

q = R

ϑ∆

∑ in W/m²

und

ai aeq U ( )= ⋅ ϑ − ϑ in W/m²

Bei den Wärmewiderständen Rj handelt es sich um Wärmedurchlass-/Wärmeübergangs- und/oder Wärmedurchgangswiderstände. Der Begriff stationäre Bedingungen setzt voraus, dass die Energieübertragung über die Systemgrenze zeitlich konstant ist, das heißt alle Vorgänge verlaufen unter Beharrung. Innerhalb des behandelten Bereiches tritt keine Wärmespeicherung auf.

1.5 Wärmetransportvorgänge

Am Wärmetransport sind drei Mechanismen - Wärmeleitung, Konvektion und Strahlungsaustausch - beteiligt. Im Festkörper dominiert die Wärmeleitung, während im Gasraum Konvektion und Strahlung dominant sind.

1.5.1 Wärmeleitung

Bei der Wärmeleitung wird zwischen serieller und paralleler Leitung unterschieden. Bei einem mehrschichtigen Wandaufbau kommt es nacheinander (seriell) zu einem Transport der Wärmemenge Q durch alle Schichten. Bei einem modularen Aufbau kommt es zu einer Aufteilung der Wärmemenge Q auf die einzelnen Module (parallel). Für die durch Wärmeleitung transportierte Wärmemenge Q gelten unter stationären, ebenen Bedingungen die folgenden Berechnungsansätze:







einschichtige Bauteile mehrschichtige Bauteile

( )1 2A tQR⋅

= ϑ − ϑ ( )1 21 2 3 n

A tQR R R ...R

⋅= ϑ − ϑ

+ + +

Dabei wird mit “eben” die Tatsache gekennzeichnet, dass der Wärmestrom senkrecht zu dem durchdrungenen Material steht. Es existiert keine Krümmung.

1.5.1.1 Wärmedurchlasskoeffizient

Der Wärmedurchlasskoeffizient Λ gibt die Wärmemenge Q in J an, die durch 1 m2 einer Baustoffschicht der Dicke d in 1 sec fließt, wenn zwischen den Oberflächen eine Temperaturdifferenz von 1 K herrscht. Er ist abhängig von der Wärmeleitfähigkeit und der Schichtdicke des Materials.

Λ =dλ

in W/m²K

1.5.1.2 Wärmedurchlasswiderstand

Der reziproke Wert des Wärmedurchlasskoeffizienten Λ wird als Wärmedurchlasswiderstand R bezeichnet.

Für einschichtige Bauteile gilt:

R = dλ

in m²K/W

Für mehrschichtige Bauteile gilt:

R =d j

jj 1

n

λ=∑ in m²K/W

1.5.1.3 Wärmeübergangskoeffizient und Wärmeübergangswiderstand

Der Wärmeübergang wird durch den Wärmeübergangskoeffizienten h bzw. die Wärmeübergangswiderstände Rsi, Rse beschrieben. Der Wärmeübergangskoeffizient h entspricht der Wärmemenge in J, die durch eine 1 m2 große Fläche in 1 sec ausgetauscht wird, wenn die Temperaturdifferenz zwischen Wandoberfläche und Luft 1 K beträgt. Der Wärmeübergangskoeffizient h umfasst den konvektiven, den strahlungsbedingten sowie den leitungsbedingten Anteil. Es gilt:


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q h

q h

q h

cv cv s g

cd cd s g

r r s g

= ⋅ −

= ⋅ −

= ⋅ −

ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϑ

d id id i

+

q q q q

h h h

h

cv cd r

cv cd r s g

s g

= + +

= + + ⋅ −

= ⋅ −

b g d id i

ϑ ϑ

ϑ ϑ

1.5.1.4 Wärmedurchgangskoeffizient

Der Wärmedurchgangskoeffizient U (kurz: U-Wert) ist die wichtigste Größe zur Beschreibung und Beurteilung des energetischen Verhaltens eines Bauteils. Er gibt den Wärmestrom in W an, der eine 1 m2 große Fläche bei einer Temperaturdifferenz von 1 K zwischen Innen- und Außenluft durchströmt. Schlecht gedämmte Bauteile weisen einen hohen, gut gedämmte Bauteile einen niedrigen Wärmedurchgangskoeffizienten U auf.

( )1

n1 j

si se si sej 1 j

dU R R R R R

−

−

=

⎛ ⎞= + + = + +⎜⎜ λ⎝ ⎠

∑ ⎟⎟ in W/m²K

Durch Umstellung der Gleichung erhält man:

1si se ai ae ai aeq (R R R ) ( ) U ( )−= + + ⋅ ϑ − ϑ = ⋅ ϑ − ϑ in W/m²

Der Wärmedurchgangskoeffizient wird folgendermaßen berechnet:

U = 1R R R

R R R 1

si sesi se+ +

= + + −b g in W/m²K

Eine Addition von Wärmedurchgangskoeffizienten U ist nicht erlaubt. Es dürfen nur Wärmewiderstände Rsi, Rse, R, 1/U addiert werden.

1.5.2 Konvektion

Die Übertragung von Wärme durch Mitführung in bewegten Medien, Strömungen (Gase, Luft, Flüssigkeiten) wird als Wärmekonvektion bezeichnet.

Φcv p 1 2= m c ( )⋅ −⋅ ϑ ϑ in W

Unter der spezifischen Wärmekapazität cp unter konstantem Druck p versteht man die Wärmemenge (Energiemenge), die erforderlich ist, um 1 kg eines Stoffes um 1 K zu erwärmen.







1.5.3 Strahlungsaustausch

Als Temperaturstrahlung oder auch Wärmestrahlung bezeichnet man die elektromagnetische Strahlung, die ein Körper infolge seiner Temperatur abgibt. Jeder Körper gibt Temperaturstrahlung ab (Emission) und nimmt aus der Umgebung Temperaturstrahlung auf (Absorption).

1.5.3.1 Spektrum elektromagnetischer Wellen

Die Strahlung wird in verschiedene Spektralbereiche eingeteilt.

Tabelle 2: Wellenlängenbereiche

Wellenlänge λ in m Wellenart

> 400 . 10−6 Mikrowellen, Rundfunkwellen

400 . 10−6 ... 0,78 . 10−6 Infrarot, auch Ultrarot

0,78 . 10−6 ... 0,38 . 10−6 sichtbares Licht

0,38 . 10−6 ... 0,01 . 10−6 Ultraviolett

< 0,01 . 10−6 Röntgenstrahlen, γ-Strahlen

1.5.3.2 Strahlungsmenge, Strahlungsenergie

Die Strahlungsenergie Qr ist die Energie, die eine Wärmequelle durch Strahlung in den Raum abgibt.

Q Q dr r,= z λ λ in J

1.5.3.3 Strahlungsleistung

Die Strahlungsleistung Pr ist der Quotient aus der Strahlungsenergie oder Strahlungsmenge Qr und der Zeit t. Sie ist die Leistung, die eine Strahlungsquelle in den Raum abstrahlt.

P P d dQdtr r,

r= =z λ λ in W

1.5.3.4 Spezifische Ausstrahlung

Die spezifische Ausstrahlung Mr ist der Quotient aus der von einem Flächenelement dAr in den vorderen Halbraum ausgestrahlten Strahlungsleistung dPr und der Fläche dAr.

M dPdAr

r

r

= in W/m²


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1.5.3.5 Spektrale spezifische Ausstrahlung

Die spezifische Ausstrahlung Mr,λ ist die spektrale Dichte der spezifischen Ausstrahlung Mr.

M dMdr,

rλ λ

= in W/m³

1.5.3.6 Strahlung des schwarzen Körpers

Ein Körper, der bei der Temperatur T die höchstmögliche Energiemenge abstrahlt, wird als schwarzer Körper bezeichnet. Die spektrale spezifische Ausstrahlung Mr,λ eines schwarzen Körpers hängt von der absoluten Temperatur ab. Das Plancksche Strahlungsgesetz beschreibt diesen Zusammenhang.

M c

exp cT

1r, 1

5

2λ

λ

λ

= ⋅

⋅FHGIKJ −

RSTUVW

−

in W/m³

Mit steigender Temperatur nimmt die Gesamtemission stark zu. Die Fläche unter dem Kurvenverlauf ist ein Maß für die Gesamtemission.

Die Wellenlänge des Strahlungsmaximums ist temperaturabhängig. Sie verschiebt sich mit zunehmender Temperatur zu kleineren Wellenlängen. Dabei ist das Produkt ( λ max ⋅ T ) konstant. Es gilt das Wiensche Verschiebungsgesetz.

λmax2T 0,2896 10⋅ = ⋅ −

in mK

Eine Integration der ausgestrahlten Energie über alle Wellenlängen liefert das Gesetz von Stefan/Boltzmann:

q T C T100r,S

4S

4

= ⋅ = ⋅FHGIKJσ in W/m²

Die spezifische Ausstrahlung bzw. die Wärmestromdichte infolge von Strahlung qr,S des schwarzen Körpers ist proportional zur 4. Potenz der absoluten Temperatur des schwarzen Körpers.

1.5.3.7 Emission eines beliebigen Körpers

Unter einem grauen Strahler versteht man einen Strahler, dessen Emissionsverhalten in einem konstanten Verhältnis zum Emissionsverhalten des schwarzen Strahlers steht. Der Verhältniswert wird Emissionsgrad ε genannt.

q q T C T100

C T100r r,S

4S

4 4

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅FHGIKJ = ⋅FHG

IKJε ε σ ε in W/m²

1.5.3.8 Absorption, Reflexion, Transmission

Jeder Körper strahlt Energie ab und absorbiert Strahlungsenergie. Dabei ist q a die absorbierte Strahlung,

die reflektierte Strahlung, die transmittierte Strahlung und q die auftreffende Strahlung in

qa r,kw= ⋅

q r = ⋅ρ q qq τ τ= ⋅







W/m2. Ein nichttransparenter Körper reflektiert einen Teil der Strahlung, ein transparenter Körper lässt zudem einen Teil der Strahlung durch.

- Nichttransparente Bauteile

q qre em q+ = q τ = 0

ρ⋅ + ⋅ =q a q qr,kw τ ⋅ =q 0

ρ + =ar,kw 1 τ = 0

Hierbei sind folgende Grenzfälle zu unterscheiden:

a r,kw = 1; ideal schwarzer Körper (Die gesamte Wärmestrahlung wird absorbiert.) ρ = 0

ar,kw = 0; ideal weißer Körper (Die gesamte Wärmestrahlung wird reflektiert.) ρ = 1

- Transparente Bauteile

q q qre ab q+ + =τ

ρ τ⋅ + ⋅ + ⋅ =q a q q qr,kw

ρ τ+ + =ar,kw 1

ρ, aS, hängen vom Material und von der Wellenlänge der Strahlung ab. τ

1.5.3.8.1 Absorption und Emission Der Absorptionsgrad ar,kw ist - abhängig von der Wellenlänge und der Temperatur - für alle Körper gleich dem Emissionsgrad ε (Kirchhoffsches Gesetz).

a r,kw ( , ( ,λ ε λT) T)= -

Flächen mit einem kleinen Strahlungsabsorptionsgrad (z.B. blanke metallische Flächen) strahlen wenig, solche mit einem hohen Strahlungsabsorptionsgrad (z.B. nichtmetallische Flächen) strahlen auch entsprechend viel Energie ab.

1.5.3.8.2 Strahlungsaustausch zwischen parallelen Flächen

Gegeneinander orientierte Flächen tauschen gegenseitig Wärme durch Strahlung aus. Für den Sonderfall, dass es sich bei den Flächen um gleich große, planparallele Flächen handelt, gilt:

Φ Φ

Φ Φ

12 1 21

21 2 12

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

q A

q A

r,1

r,2

ρ

ρ


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Hierbei ist zu beachten das der Abstand der beiden Flächen gegenüber der Fläche klein sein soll. Dabei ist

q C T100r,1 S

1= ⋅ ⋅FHGIKJε1

4

die von der Fläche 1 (T1, ε1) abgestrahlte Wärmestromdichte, und

q C T100r,2 S

24

= ⋅ ⋅FHGIKJε2 die von der Fläche 2 (T2, ε2) abgestrahlte Wärmestromdichte. Ferner soll T1 > T2 sein.

Der resultierende Wärmestrom ergibt sich zu:

Φ Φ Φr = −12 21

Setzt man und Φ sowie für Φ12 21 q C T100r S

4

= ⋅ ⋅FHGIKJε , τ = 0 , a r,kw = ε und ρ τ= − −1 ar,kw ein, so

ergibt sich:

Φ rS

1

14

24

14

24

= C1 + 1 A T

100 T

100= A T

100T

100ε ε2 1 2

1

11 1 1

−⋅ ⋅ FHG

IKJ − FHG

IKJ

RS|T|UV|W| + −

⋅ ⋅ FHGIKJ − FHG

IKJ

RS|T|UV|W|

C C CS

und mit Einführung der Strahlungsaustauschkonstanten C12

Φ r 121

42

4

= C A T100

T100

⋅ ⋅ FHGIKJ − FHG

IKJ

RS|T|UV|W|

in W

Die Strahlungsaustauschkonstante C12 ist lediglich von den Emissionsgraden ε bzw. den Strahlungskonstanten C der Oberflächen abhängig. Sie wird folgendermaßen berechnet:

C =

C 1

+ 1

= 12 S

1 ε ε 2 1 21

1 1 1 1

− + − C C C S

in W/m²K4

Für Flächen, die nicht parallel sind oder deren Größe klein ist im Vergleich zum Abstand, gelten Sonderfälle.

Für die Strahlungsstromdichte qr gilt:

qAr

r=Φ

in W/m²

Es gilt für den Strahlungsaustauschkoeffizienten hr:

h = C

T100

- T100

T T= Cr 12

14

24

1 212⋅

FHGIKJFHGIKJ

−⋅ χ

in W/m²K

Für T1 − T2 < 200 K gilt nach [X] mit T T Tm = −1 2 2b g näherungsweise:


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χ = T100

m3

0 04, ⋅FHGIKJ in K³

Wichtig ist in diesem Zusammenhang:

1. Bei langwelliger Strahlung (z.B. Wärmestrahlung) ist es unbedeutend, welche Farbe die Oberfläche hat. Deutlich zu unterscheiden sind bei langwelligem Strahlungsaustausch blanke metallische Oberflächen (ε ≈ 0,05) und nichtmetallische Oberflächen (ε ≈ 0,90 - 0,98).

2. Bei kurzwelliger Strahlung (z.B. Sonneneinstrahlung) spielt die Farbe der Oberfläche im Gegensatz zur langwelligen Strahlung (Wärmestrahlung, IR) eine entscheidende Rolle. Dunkle Flächen absorbieren kurzwellige Strahlung stärker und erwärmen deshalb auch stärker als helle Flächen.

3. Glas ist für kurzwellige Strahlung (Sonnenlicht) größtenteils durchlässig, nicht jedoch für langwellige Strahlung (Wärmestrahlung, IR). Dies führt bei Sonneneinstrahlung zu einer Aufheizung von Räumen (Treibhauseffekt).

2 Wärmebilanzen

2.1 Temperaturverlauf bei mehrschichtigen Bauteilen

λR4

λR3

λR2

λR1

ϑse

ϑae

ϑai

ϑsi

ϑ1

∆ϑai-si=Rsi q

∆ϑsi-1=R1 q

∆ϑ2-3=R3 q

∆ϑ1-2=R2 q

∆ϑ3-se=R4 q

∆ϑse-ae=Rse q

dd4 d3 d2 d1

...

.

..

ϑ2

ϑ3

λR4

λR3

λR2

λR1

ϑse

ϑae

ϑai

ϑsi

ϑ1

∆ϑai-si=Rsi q

∆ϑsi-1=R1 q

∆ϑ2-3=R3 q

∆ϑ1-2=R2 q

∆ϑ3-se=R4 q

∆ϑse-ae=Rse q

dd4 d3 d2 d1

...

.

..

ϑ2

ϑ3

Für den obigen Fall werden die Trennschichttemperaturen folgendermaßen berechnet:

ϑsi = ϑai - Rsi·q

ϑ1 = ϑsi - d1/λ1·q

ϑ2 = ϑ1 - d2/λ2·q

...

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ϑse = ϑn = ϑn-1 - dn/λn·q oder ϑse = ϑae + Rse·q

Für die Wärmestromdichte q gilt (unter stationären Randbedingungen): q = U·(ϑai - ϑae)

2.2 Graphische Verfahren zur Temperaturermittlung

Unter stationären und ebenen Bedingungen ist die Wärmestromdichte q über den gesamten Bauteilquerschnitt konstant. Stellt man die einzelnen Schichten proportional zu ihrem Wärmewiderstand (Rsi, Rse, R, 1/U) dar, trägt auf der Ordinate die Temperatur auf und verbindet die Lufttemperaturen innen und außen linear, so hat diese Gerade die Steigung q. Die Schichttemperaturen im Bauteil lassen sich aus diesem Diagramm (rechtes Bild) ablesen.

ϑ si ϑ 1

ϑ 2

ϑ n-1 ϑ se

d

...

λ 2 λ 1

ϑ ae

ϑ ai

ϑ λ n

d 1 d 2 d n ...

ϑ si ϑ 1

ϑ 2

ϑ n-1

ϑ ai

ϑ

...

ϑ se

1 R 2 R n R h si1

h se

1

U1

1 U1 R h

, ,

ϑ ae

Vorgehen: 1. Wärmewiderstände (Rsi, Ri, Rse) auf der Abszisse auftragen

2. ϑae und ϑai auf der Ordinate auftragen

3. ϑae und ϑai geradlinig verbinden

4. Schichttemperaturen an den Schichtgrenzen ablesen







2.3 Wärmebilanz für eine Bauteilschicht

Wärmebilanz

Ebene 1 Ebene 2 Ebene 3

q2 q1q2 q1

q5

q3 q2

q5

q3 q2

qrq3q4

qrq3q4

q = 0j = 1

n

∑ : q1 − q2 = 0 q = 0j = 1

n

∑ : q2 − q3 − q5 = 0 q = 0j = 1

n

∑ : q3 − q4 + qr = 0

q1 = q2 q2 = q3 + q5 q3 = q4 − qr

In unserem Beispiel sind die Wärmestromdichten q ar r,kw I= ⋅ , q1 = hsi·(ϑai-ϑae), ,

und

q2 si= ⋅ −Λ1 1ϑ ϑb gq3 se= ⋅ −Λ2 1ϑ ϑb g r,kw

mod aese

a IK

h⋅

θ = ϑ + − anzusetzen. Die Grenz-schichttemperaturen lassen sich

durch Aufstellen der Wärmebilanzen für die Grenzschichten und Lösung des Gleichungssystems bestimmen. Für den Sonderfall, dass q5 = qr 0 ist, d.h., q1 = q2 = q3 = q4 = q = konst., kann zur Berechnung der

Transmissionsströme bzw. der Wärmestromdichte der U-Wert benutzt werden. Dann gilt: q = U·(ϑai-ϑae). Die Grenzschichttemperaturen lassen sich in diesem Fall mit den Gleichungen in Kapitel 3.2 ermitteln.

2.4 Mittlerer Wärmedurchgangskoeffizient

Der Wärmedurchgang bei einem Bauteil, bei dem mehrere Bereiche mit verschiedenen Wärme-durchgangskoeffizienten bzw. Wärmedurchlasswiderständen nebeneinander liegen (z.B. Sparrendach, Stütze in Außenwand, Außenwand mit Fenster usw.), lässt sich durch einen mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten Um beschreiben.

2.4.1 Allgemeine Zusammenfassung der U-Wert Berechnung nach DIN EN ISO 6946

q a

A B A C A

U 1 U 2 U 1 U 3 U 1

q b q a q c q a q e

q 1

q i

q a

A B A C A

U 1 U 2 U 1 U 3 U 1

q b q a q q

q e

q 1

q i

Abbildung 1: Annahme der unterschiedlichen Wärmeströme


IBPM





Nach DIN EN ISO 6946 Abschnitt 6.2 wird der Wärmedurchgangswiderstand RT eines Bauteils aus thermisch homogenen und inhomogenen Schichten parallel zur Oberfläche als arithmetischer Mittelwert des oberen (R’T) und unteren (R’’T) Grenzwertes des Wärmedurchgangswiderstandes berechnet:

T TT 2

R RR +′ ′′= (1)

Das Bauteil wird in n·q Teile zerlegt, die jeweils thermisch homogen sind. Die Aufteilung sieht folgendermaßen aus (siehe Abbildung 2):

senkrecht zu den Bauteiloberflächen Aufteilung in q Abschnitte mit den Indizes m = a, b, c, ..., q

Sparren

q - Abschnittem = a, b,...,q

ruhende Luftschicht

außen, Rse

innen, Rsi

Sparren

Ric

htun

g de

s W

ärm

estro

ms

n-S

chic

hten

j = 1

,2, 3

,...,n

Abschnitt afa=Aa/A

Abschnitt bfb=Ab/A

Schicht 4

Schicht 3

Schicht 2

Schicht 1

Wärmedämmung

Ab,fb,d2,λb2,Rb2

fm=Am/A

Ab,fb,d3,λb3,Rb3Aa,fa,d3,λa3,Ra3=Rg

Aa,fa,d2,λa2,Ra2

Ab,fb,d4,λb4,Rb4Aa,fa,d4,λa4,Ra4

Aa,fa,d1,λa1,Ra1 Ab,fb,d1,λb1,Rb1

parallel zu den Bauteiloberflächen in n Schichten mit den Indizes j = 1, 2, 3, ..., n

Abbildung 2: Aufteilung eines Bauteils in n Schichten und m Abschnitte

Der Abschnitt m hat die Teilfläche Am und den Flächenanteil fm = Am / A, wobei A = Aa + Ab + ... + Aq die Gesamtfläche des Bauteils ist. Die Schicht j hat die Dicke dj. Das Teil mj befindet sich im Abschnitt m in der Schicht j. Es hat die Teilfläche Am, den Flächenanteil fm, die Dicke dj, die Wärmeleitfähigkeit λmj und den Wärmedurchlasswiderstand Rmj = dj / λmj.

Die für die Berechnung des Wärmedurchgangskoeffizienten U notwendigen Parameter wie Wärmeübergangswiderstände innen und außen sowie Wärmewiderstand der einzelnen Luftschichten finden sich in den nachfolgend aufgeführten Tabellen, die der DIN EN ISO 6946 entnommen sind.

Nach DIN EN ISO 6946 Abschnitt 5.2, Tabelle 1 werden folgende Wärmeübergangswiderstände vorgeschrieben:

Tabelle 3: Wärmeübergangswiderstände in m2K/W

Richtung des Wärmestromes

Aufwärts Horizontal Abwärts

Rsi 0,10 0,13 0,17

Rse 0,04 0,04 0,04







Nach Abs. 5.3, Tab. 2 gelten für Luftschichten folgende Wärmedurchlasswiderstände:

Tabelle 4: Wärmedurchlasswiderstand, in m2K/W, von ruhenden Luftschichten

Dicke der Luftschicht Richtung des Wärmestromes

mm Aufwärts Horizontal Abwärts 0 0,00 0,00 0,00 5 0,11 0,11 0,11 7 0,13 0,13 0,13

10 0,15 0,15 0,15 15 0,16 0,17 0,17 25 0,16 0,18 0,19 50 0,16 0,18 0,21

100 0,16 0,18 0,22 300 0,16 0,18 0,23

ANMERKUNG: Zwischenwerte können mittels linearer Interpolation ermittelt werden.

2.4.2 Fall 1: Ruhende Luftschichten

Sparren


ruhende Luftschicht

außen, Rse

innen, Rsi

Sparren

Ric

htun

g de

s W

ärm

estro

ms

n-S

chic

hten

j = 1

,2, 3

,...,n

Abschnitt afa=Aa/A

Abschnitt bfb=Ab/A

Schicht 4

Schicht 3

Schicht 2

Schicht 1

Wärmedämmung

Ab,fb,d2,λb2,Rb2

fm=Am/A

Ab,fb,d3,λb3,Rb3Aa,fa,d3,λa3,Ra3=Rg

Aa,fa,d2,λa2,Ra2



Bere

ich

für B

erec

hnun

g

Abbildung 3: Sparren- und Gefachbereich mit ruhender Luftschicht

Ruhende Luftschichten gelten als wärmedämmende Schicht und besitzen den Wärmedurch-lasswiderstand Rg, der mit den Werten nach DIN EN ISO 6946 Abs. 5.3, Tab. 2 in Abhängigkeit der Dicke der Luftschicht anzusetzen ist.

Berechnung

a) Bestimmung des oberen Grenzwertes R’T des Wärmedurchgangswiderstandes:

Der obere Grenzwert des Wärmedurchgangswiderstandes geht von einem eindimensionalen Wärmestrom senkrecht zu den Bauteiloberflächen aus.


IBPM





'

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 ...

...

...

...

...

...

...

qa b

T Ta Tb Tq

Ta se a a an si

nTa se si

n

Tb se b b bn si

nTb se si

n

Tq se q q qn si

nTq se si

n

ff fR R RR

R R R R R Rd d dR R R



λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

= + + +

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

(2)

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Mit den Widerständen RTa, RTb,...RTq der einzelnen Teilabschnitte.

Flächenanteile der einzelnen Abschnitte:

aa

AfA

= → bb

AfA

= → qq

Af

A= (3.1, 3.2, 3.3)

Die Flächenanteile und Widerstände der Teilabschnitte ergeben eingesetzt in (2) den oberen Grenzwert (R’T)-1:

= + + +

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

'

-1

'

1 ...

...

qa b

T Ta Tb Tq

qa bT

Ta Tb Tq

ff fR R RR

ff fR

R R R

= + + + + +''1 2 ...T si n seR R R R R R

(4)

(4.1)

2. Bestimmung des unteren Grenzwertes R’’T des Wärmedurchgangswiderstandes:

Der untere Grenzwert des Wärmedurchgangswiderstandes wird unter der Annahme bestimmt, dass alle Ebenen parallel zu den Bauteiloberflächen isotherm sind.

(5)

Mit dem mittleren Wärmedurchlasswiderstand Rj für jede thermisch inhomogene Schicht:







1

1 11

1 1 1 1

1

2 22

2 2 2 2

1 ... ...q aj bj qj qa b a b

j aj bj qj j jj

f Af f A AR R R R d A d A d A

λ λ λ

... ...

... ...

q qn qa b a a b b

a b qn n

q qn qa b a a b b

a b qn n

an

f Af f A ARR R R d A d A d A

f Af f A ARR R R d A d A d A

fR

λλ λ

λλ λ

−

−

= + + + = ⋅ + ⋅ + ⋅+

⎛ ⎞= + + + = ⋅ + ⋅ + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞= + + + = ⋅ + ⋅ + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎠

=

⎝

1

... ...q qn qb an a bn b

an bn qn n n n

f Af A AR R R d A d A d A

λλ λ−

⎛ ⎞+ + + = ⋅ + ⋅ + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

(6)

(6.1)

(6.2)

(6.3)

Mit den Widerständen R1, R2, ...Rn der einzelnen Schichten.

3. Ermittlung des Wärmedurchgangswiderstandes RT als arithmetisches Mittel des oberen und unteren Grenzwertes, d.h. einsetzen von R’T und R’’T in (1):

T TT 2

R RR +′ ′=

′

Der Kehrwert ergibt den Wärmedurchgangskoeffizienten U:

1

T

UR

= in 2

Wm K

(7)

2.4.3 Fall 2: Schwach belüftete Luftschichten

Sparren


schwach belüftete Luftschicht

außen, Rse

innen, Rsi

Sparren

Ric

htun

g de

s W

ärm

estro

ms

n-S

chic

hten

j = 1

,2, 3

,...,n

Abschnitt afa=Aa/A

Abschnitt bfb=Ab/A

Schicht 4

Schicht 3

Schicht 2

Schicht 1

Wärmedämmung

Ab,fb,d2,λb2,Rb2

fm=Am/A

Ab,fb,d3,λb3,Rb3Aa,fa,d3,λa3,Ra3=Rg/2

Aa,fa,d2,λa2,Ra2



Bere

ich

für B

erec

hnun

g

Abbildung 4: Sparren- und Gefachbereich mit schwach belüfteter Luftschicht

Schwach belüftete Luftschichten gelten als geringfügig wärmedämmend und werden mit der Hälfte der Werte der Wärmedurchlasswiderstände Rg (d.h. Rg/2) nach DIN EN ISO 6946 Abs. 5.3, Tab. 2 in Rechnung gebracht. Die Berechnung erfolgt ansonsten in Anlehnung an das Beispiel 1.


IBPM





2.4.4 Fall 3: Stark belüftete Luftschichten

Sparren


stark belüftete LuftschichtRse

innen, Rsi

Sparren

Ric

htun

g de

s W

ärm

estro

ms

n-S

chic

hten

j = 1

,2, 3

,...,n

Abschnitt afa=Aa/A

Abschnitt bfb=Ab/A

Schicht 4

Schicht 3

Schicht 2

Schicht 1

Wärmedämmung

Ab,fb,d2,λb2,Rb2

fm=Am/A

Aa,fa,d2,λa2,Ra2


Bere

ich

für B

erec

hnun

g

Abbildung 5: Sparren- und Gefachbereich mit stark belüfteter Luftschicht

Stark belüftete Luftschichten gelten als nicht wärmedämmend. Aufgrund dessen werden nur die Schichten bis Oberkante Wärmedämmung Gefach berücksichtigt. Der äußere Wärmeübergangs-widerstand darf aber mit dem gleichen Wert wie der innere angesetzt werden, d.h. Rse=Rsi, da durch die geringere Windgeschwindigkeit ein höherer Wärmeübergangswiderstand vorhanden ist. Die Berechnung erfolgt ansonsten in Anlehnung an das Beispiel 1.

2.5 Wärmedurchgang bei Rohren Bei der Wärmeleitung in Rohrwandungen ist es wichtig zu berücksichtigen, dass es sich nicht mehr um einen ebenen Fall der Wärmeleitung handelt. Die Annahme der stationären Verhältnisse (q = konst.) gilt bei den hier behandelten Fällen aber weiterhin.

rar2r1rj

dr d 1

d2

d 3

λ2

λ3

λ1







Für die Wärmeleitung in Rohrwandungen gilt:

Φ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅λϑ

λϑd

drA d

drL2 π r in W/m² oder − =

⋅ ⋅ ⋅⋅d

Ldrr

ϑλ

Φ2 π

in K

durch Integration

− =⋅ ⋅ ⋅

⋅z zdL

drrr

r

1

2

ϑλϑ

ϑ

1

2

2Φ

π

erhält man

ϑ ϑλ1 2 2

− =⋅ ⋅ ⋅

⋅FHGIKJb g Φ

π Lrr2

1

ln

Für den inneren bzw. äußeren Wärmeübergang gilt:

innen Φ

2 ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ −

π L rh

ii i siϑ ϑb g

außen Φ

2 ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ −

π L rh

ese se aϑ ϑb g

Für ein Rohr mit mehreren Schichten gilt:

Φ2 ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ −π L r

hi

si i siϑ ϑb g ⇒ ϑ ϑi sii si2 p L

1r h

− =⋅ ⋅

⋅⋅

Φ

ϑ ϑλsi 1

1

iLrr

− =⋅ ⋅ ⋅

⋅FHGIKJb g Φ

2 1πln ⇒ ϑ ϑ

λsi 11

iLrr

− =⋅ ⋅

⋅ ⋅FHGIKJ

Φ2

1

1πln

ϑ ϑλ1 2

22− =

⋅ ⋅ ⋅⋅FHGIKJb g Φ

π Lrr2

1

ln ⇒ ϑ ϑλ1 2

221

− =⋅ ⋅

⋅ ⋅FHGIKJ

Φπ L

rr2

1

ln

Φ2 ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ −π L r

he

se se aϑ ϑb g ⇒ ϑ ϑse ae seL

1r h

− =⋅ ⋅

⋅⋅

Φ2 π

+

ϑ ϑ

λi ai si

1

i eL1

r hrr

1r h

− =⋅ ⋅

⋅⋅

+ ⋅ + +⋅ se

FHG

IKJ

Φ2

1

1πln …


IBPM





Somit ergibt sich der folgende Wärmestrom:

Φ =⋅ ⋅ ⋅ −

⋅+ ⋅ + ⋅ + +

⋅FHG

IKJ

21 1

1 2

π L1

r hrr

rr

1r h

i a

i si

1

i

2

1 e

ϑ ϑ

λ λ

b gln ln …

se

in W/m²

2.6 Modifizierte Sonnenlufttemperatur

Eine Wärmequelle an der Bauteiloberfläche aufgrund von Sonneneinstrahlung braucht nicht explizit in der Energiebilanz berücksichtigt zu werden, wenn man die fiktive Außenlufttemperatur (modifizierte Sonnenlufttemperatur) θmod für den äußeren Wärmeübergang heranzieht. Damit gilt für den äußeren Wärmeübergang zwischen Umgebung und Oberfläche:

q hse e se se− = ⋅ −θ ϑmodb g in W/m²

Die modifizierte Sonnenlufttemperatur wird folgendermaßen berechnet:

T aiq A U ( ) AΦ = ⋅ = ⋅ ϑ − ϑ ⋅ae in °C

Für das Korrekturglied zur näherungsweisen Berücksichtigung des langwelligen Strahlungsaustausches der Bauteiloberfläche mit der Umgebung werden in Abhängigkeit von der Ausrichtung der Fläche und der Sonneneinstrahlung folgende Werte angegeben:

Tabelle 5: Korrekturfaktoren zur Berücksichtigung des langwelligen Strahlungsaustausches der Bauteiloberfläche mit der Umgebung

Ausrichtung der Fläche

Betrachtete Bauteiloberfläche ist keiner direkten Sonneneinstrahlung

ausgesetzt

Betrachtete Bauteiloberfläche ist direkter Sonneneinstrahlung aus-

gesetzt

vertikal K = 3 K K = 0 K

horizontal K = 5 K K = 0 K

2.7 Strahlungsgewinne und temporärer Wärmeschutz bei Fenstern

Energiegewinne durch Sonneneinstrahlung und Reduzierung der nächtlichen Wärmeverluste durch temporären, d.h. zeitweiligen Wärmeschutz (z.B. durch Rolläden) führen zu geringeren Gesamtwärmeverlusten. Aus diesen reduzierten Gesamtwärmeverlusten lässt sich ein korrigierter oder verbesserter Wärmedurchgangskoeffizient berechnen, den man als effektiven oder äquivalenten Wärmedurchgangskoeffizienten Ueq,F bezeichnet. Dieser ist vom Wärmedämmvermögen des temporären Wärmeschutzes, dem Heizverhalten, dem Gesamt-energiedurchlassgrad der Verglasung und der eingestrahlten Sonnenenergie abhängig. Für den äquivalenten Wärmedurchgangskoeffizienten Ueq,F gilt:

U U 1 D geq,F F F FS= ⋅ − − ⋅b g in W/(m²K)







Mit dem Deckelfaktor D wird der Einfluss temporärer Wärmeschutzmaßnahmen erfasst. Er hängt sowohl von der Verbesserung der Wärmedämmung des Fensters durch den temporären Wärmeschutz als auch vom Heizverhalten (Heizzyklus mit/ohne Nachtabsenkung) ab. Der Deckelfaktor D ist aus dem folgenden Diagramm abzulesen.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 kF+tW / kF0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

kF+tWkF

mit Nachtabsenkung

Dec

kelfa

ktor

D

Der Wärmedurchgangskoeffizient des Fensters mit temporärem Wärmeschutz wird folgendermaßen berechnet:

UF tW+

U 1UF tW

F+

−

= +FHG

IKJRtW

1

in W/(m²K)

Der Einfluss von Energiegewinnen durch Sonneneinstrahlung wird durch den Strahlungsgewinnungskoeffizienten SF erfasst. Für die verschiedenen Orientierungen der Fensterflächen gibt die folgende Tabelle die Strahlungsgewinnungskoeffizienten an.

Tabelle 6: Strahlungsgewinnungskoeffizient SF in Abhängigkeit der Orientierung

Orientierung SF

W/(m2K)

Süd 2,4

Ost 1,8

West 1,8

Nord 1,2

diffuse Strahlung 1,0

2.8 Strahlungsgewinne bei Außenwänden

Energiegewinne durch Absorption der Sonneneinstrahlung an der Außenoberfläche der Außenwand führen gleichfalls zu einer Reduzierung der Gesamtwärmeverluste. Ähnlich wie bei Fenstern läßt sich für Außenwände ein korrigierter Wärmedurchgangskoeffizient, der effektive oder äquivalente Wärmedurchgangskoeffizient Ueq,W, bestimmen, der die Absorption solarer Energie berücksichtigt. Ueq,W ist abhängig vom U-Wert der Außenwand, der Orientierung und dem Absorptionsvermögen der Wand. Es gilt:


IBPM





U U Seq,W W W= ⋅ in W/(m²K)

Der Strahlungsgewinnungskoeffizient SW schwankt in Abhängigkeit der Flächenorientierung zwischen 0,92 und 1,00. Die Reduzierung der Wärmeverluste durch die Absorption solarer Energie durch die Außenwände ist in der Bundesrepublik Deutschland so gering, daß dieser Einfluß i.d.R. nicht berücksichtigt wird.

3 Baupraktische Berechnungen von Wärmeströmen

3.1 Transmissionswärmestrom

Der Transmissionswärmestrom durch ein Bauteil hängt vom Wärmedurchgangskoeffizienten der Bauteilfläche und der Temperaturdifferenz ab.

T aiq A U ( ) AΦ = ⋅ = ⋅ ϑ − ϑ ⋅ae

in W

3.2 Lüftungswärmestrom

Der Lüftungswärmestrom durch ein Bauteil hängt vom ausgetauschten Luftvolumen und der Temperaturdifferenz ab.

Φ ∆L p gc V T 0,34 V= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ρ ∆T in W

3.2.1 Wärmeverluste durch Lüftung

Der durch Fensterlüftung hervorgerufene Wärmestrom beträgt

L ai ae R ai0,34 V ( ) 0,34 V b ( )Φ = ⋅ ⋅ ϑ − ϑ = ⋅ ⋅ ⋅ ϑ − ϑ

i

ae in W

wobei:

c 3600 = 0,34 kWh mp3

⋅ LNM

OQPρL K

Die Luftwechselzahl n gibt an, wie oft je Stunde das Raumluftvolumen ausgetauscht wird. Bei einer Luftwechselzahl n = 0,5 h−1 wird z.B. das gesamte Raumluftvolumen alle zwei Stunden einmal, bei n = 2 h−1

zweimal pro Stunde und bei n = 10 h−1 zehnmal pro Stunde mit Außenluft ausgetauscht.

n V

VR

=

Anhaltswerte für Luftwechselzahlen n bei verschiedenen Fensterstellungen werden in der folgenden Tabelle angegeben.







Tabelle 7: Anhaltswerte für die Luftwechselzahl

Fensterstellung n

h−1

Fenster zu, Türen zu 0 bis 0,5

Fenster in Kippstellung, Rolladen zu 0,3 bis 1,5

Fenster in Kippstellung, Rolladen auf 0,8 bis 4,0

Fenster halb geöffnet 5 bis 10

Fenster ganz geöffnet 8 bis 15

Fenster und Türen ganz geöffnet (gegenüberliegend) > 20

Aus hygienischen Gründen ist zum Abtransport anfallender Feuchte ein Mindestluftwechsel erforderlich:

nmin = 0,8 h−1

3.2.2 Wärmeverluste durch Fugen

Für das durch Fugen ausgetauschte Luftvolumen gilt:

ne iV l a p p= ⋅ ⋅ −

i in m³/s

Der Fugendurchlasskoeffizient a gibt das Luftvolumen in m3 an, dass in 1 Stunde durch eine Fuge von 1 m Länge bei einer Druckdifferenz von 10 Pa strömt. (1 daPa = 10 Pa.)

Nach DIN 4108 "Wärmeschutz im Hochbau" ergibt sich mit n = 2/3:

2 /3

L p g ai ae e i p g ai aeV c ( ) l a p p c ( )Φ = ⋅ ⋅ρ ⋅ ϑ − ϑ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ρ ⋅ ϑ − ϑi

in W

oder durch Einsetzen der Zahlenwerte für cp L⋅ρ

2 /3L e i ai0,34 l a p p ( )Φ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ϑ − ϑae in W

3.3 Wärmebilanz für einen Raum

Anhand des im folgenden skizzierten Raumes wird das Vorgehen bei der Aufstellung einer Wärmebilanz für einen Raum unter stationären Bedingungen erläutert.


IBPM





ϑ 1 < ϑ ai

ϑ 3 > ϑ ai

ϑ 2 < ϑ ai

ϑ ae < ϑ ai

ΦR2

Φ R3

ΦP

Φ H

Φ r Φ L

Φ F

Φ AW

, ΦM

ϑ i

Φ R1

Im allgemeinen sind bei einer Wärmebilanz folgende Wärmeströme zu berücksichtigen:

Transmissionswärmeströme: T, j i j j ai ae j jq A U ( ) A U T AΦ = ⋅ = ⋅ ϑ − ϑ ⋅ = ⋅∆ ⋅ j in W

Lüftungswärmeströme: L R ai ae0,34 V b ( )Φ = ⋅ ⋅ ⋅ ϑ − ϑ in W

Sonneneinstrahlung: Φ r m F Verglasung m V VerglasungI g A I g S A= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ in W

Ferner ist die Wärmeabgabe durch Maschinen ΦM , durch Heizung ΦH und durch Personen Φ in W zu berücksichtigen.

P

Allgemein gilt für den Raum: Φ ΦJj 1

n

zu ab0 :=

∑ = = Φ in W

Dabei ist Φ zu die Summe der in den Raum hineingerichteten Wärmeströme, Φab die Summe der aus dem Raum herausgerichteten Wärmeströme. In unserem Beispiel ist

Φ Φ Φ Φ Φ Φzu S R3 P M H= + + + +

Φ Φ Φ Φ Φ Φab AW L F R1 R2= + + + +

Nach Gleichsetzen von und kann man die Gleichung nach dem gewünschten Parameter (z.B. UAW, UF, gF, S) auflösen.

Φ zu Φab







Im folgenden Bild ist der zeitliche Verlauf der Sonneneinstrahlung I für unterschiedlich orientierte Flächen und unterschiedliche Jahreszeiten dargestellt. Die von der Himmelsrichtung unabhängige diffuse Strahlung ist durch eine Schraffur markiert.

3.4 Wärmebilanz für ein Gebäude

a) Mittlerer stündlicher Wärmebedarf (Stationärer Ansatz mit konstanten mittleren Randbedingungen.)

Für den mittleren stündlichen Transmissionswärmeverlust eines Gebäudes gilt:

T m ai,m ae,mU ( ) AΦ = ⋅ ϑ − ϑ ⋅ in W

Der mittlere stündliche Lüftungswärmeverlust eines Gebäudes beträgt:

L R ai,m ae,m0,34 V n ( )Φ = ⋅ ⋅ ⋅ ϑ − ϑ in W

Damit läßt sich näherungsweise unter Berücksichtigung ggf. vorhandener interner Wärmequellen der mittlere stündliche Wärmebedarf errechnen.

Φ Φ Φ ΦH T L i= + − in W

b) Mittlerer jährlicher Wärmebedarf

Für den mittleren jährlichen Wärmebedarf gilt:

Q zH H= ⋅ mΦ in kWh/a oder Q = Q + Q H T L in kWh/a

mit Q U A Gt 241000T m= ⋅

⋅⋅ in kWh/a und Q = 0,34 V n Gt 24

1000L R⋅ ⋅ ⋅⋅

in W

Mit dem Faktor24

1000

kW h

W d

⋅

⋅LNMOQP werden die Heizgradtage in Heizgradstunden und der Wärmestrom von W in kW

umgewandelt.

c) Jahresbrennstoffbedarf

Der Jahresbrennstoffbedarf ergibt sich aus dem mittleren jährlichen Wärmebedarf, dem Wirkungsgrad der Heizung und dem Heizwert des Brennstoffes.

B = QHaH

uη ⋅ in l, m³, kg


IBPM





4 Wärmebilanzen, DIN 4108 und EnEV

Die Anforderungen an den Wärmeschutz von Gebäuden sind in DIN 4108 "Wärmeschutz im Hochbau" und der Wärmeschutzverordnung festgelegt. Ein Gebäude muss sowohl die Anforderungen der DIN 4108 als auch die der Wärmeschutzverordnung erfüllen. Bei Überschneidungen, z.B. bei Außenbauteilen, sind stets die Anforderungen der Wärmeschutzverordnung die strengeren und damit für die Bemessung maßgebenden.

Tabelle 8: Gegenüberstellung DIN 4108 und WärmeschutzV´95

Anforderungen an Zielsetzung

DIN 4108 "Wärmeschutz im Hochbau", Ausgabe August 1981

Innen- und Außenbauteile, die verschiedene Nutzungsbereiche und

Wohnungen voneinander trennen

Hygienisch einwandfreie Verhältnisse

WärmeschutzV (Verordnung über einen energiesparenden

Wärmeschutz von Gebäuden - Wärmeschutzverordnungvom 16.

August 1994

Bauteile, die einen beheizten Gebäudeteil gegen außen oder nicht beheizte Gebäudebereiche abgrenzen

Energieeinsparung

4.1 Wärmeschutz nach DIN 4108 "Wärmeschutz im Hochbau"

Tabelle 9: Anforderungen an den Wärmeschutz nach DIN 4108 (Ausgabe August 1981)

Winterlicher Wärmeschutz nach DIN 4108

Anforderungen an den Wärmedurchlasswiderstand R bzw. den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Bauteile

Sommerlicher Wärmeschutz nach DIN 4108

Empfehlungen für das Produkt ( ) g fF ⋅

R Wärmedurchlasswiderstand in m2K/W U Wärmedurchgangskoeffizient in W/(m2K) gF Gesamtenergiedurchlassgrad f Fensterflächenanteil

4.1.1 Winterlicher Wärmeschutz nach DIN 4108

Nachweis nach DIN 4108: R Rj e≥ rf in m²K/W oder Uj ≤ Umax in W/(m²K)







4.1.1.1 Anforderungen an Außenbauteile

Anforderungen an leichte Außenbauteile

Für Außenwände, Decken unter nicht ausgebauten Dachräumen und Dächer mit einer flächenbezogenen Gesamtmasse unter 300 kg/m2 (leichte Bauteile) werden in DIN 4108 Mindestwerte für den Wärmedurchlasswiderstand R und Maximalwerte für den Wärmedurchgangskoeffizienten U in Abhängigkeit der maßgebenden Flächenmasse des Bauteils angegeben.

Berechnung der wirksamen Flächenmasse m'

Bei der Berechnung der wirksamen Flächenmasse werden nur die Schichten berücksichtigt, die zwischen der Raumluft und der Wärmedämmung liegen. Holzschichten werden aufgrund ihrer hohen Wärmespeicherfähigkeit mit der doppelten Flächenmasse in Ansatz gebracht.

m' = m'1 + m'2 + m'3 m' = m'3 + m'4 m' = m'4 m' = 2 . m'4

4.1.2 Wärmeschutz im Sommer nach DIN 4108

4.1.2.1 Energiedurchlassgrad der Verglasung Auf eine Verglasung auftreffende Sonneneinstrahlung 1) der Intensität I wird von der Verglasung z.T. ungehindert durchgelassen, d.h., transmittiert, z.T. reflektiert und von der Verglasung absorbiert und dann durch Wärmestrahlung und Konvektion an die Luft abgegeben.

Dabei gilt für

den transmittierten Anteil: I Irτ τ= ⋅ in W/m²

den reflektierten Anteil: I Irρ ρ= ⋅ in W/m²

den absorbierten Anteil: I aa r I= ⋅ in W/m²

Letzterer setzt sich zusammen aus dem von der äußeren Scheibe und dem von der inneren Scheibe absorbierten Anteil. Es gilt:

q Ii i= ⋅φ in W/m² und q Ie e= ⋅φ in W/m²

Für die auftreffende Globalstrahlung gilt:

I I I Ir r i e I= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅τ ρ φ φ in W/m²

wobei gilt: a I I Ir i e⋅ = ⋅ + ⋅φ φ in W/m²

1) Bei Sonnenstrahlung handelt es sich vorwiegend um kurzwellige Strahlung.


IBPM





Die Globalstrahlung ist die Summe aus direkter und diffuser Sonneneinstrahlung.

Für den sekundären Wärmeabgabegrad φi der Verglasung in den Raum gelten die folgenden Berechnungsansätze:

Tabelle 10: Sekundärer Wärmeabgabegrad φi in Abhängigkeit der Verglasungsart

Verglasungsart sekundärer Wärmeabgabegrad φi der Verglasung in den Raum

Einfachverglasung φi rsi

si se

= a . h h + hFHG

IKJ

Doppeltverglasung φir,1 r,2

si

r,2 = U a + a

h +

a⋅FHG

IKJΛ

Dreifachverglasung φir,3

3,2

r,3 r,2

2,1

r,1 r,2 r,2

se

= U a

+ a + a

+ a + a + a

h⋅FHG

IKJΛ Λ

Für die durch die Verglasung in den Raum gelangte Gesamtenergie Φr gilt:

ΦS r i r i VI I I q g= ⋅ I+ ⋅ = ⋅ + = ⋅τ φ τ in W

Damit gilt für den Energiedurchlassgrad einer Verglasung:

g qIV r

i= +τ -

Der Energiedurchlassgrad der Verglasung gv gibt also an, welcher Anteil der eingestrahlten Sonnenenergie durch die Verglasung in den Raum gelangt. Dabei wird sowohl der transmittierte Anteil als auch die sekundäre Wärmeabgabe der inneren Scheibe berücksichtigt.

Beispiele für den Energiedurchlassgrad der Verglasung gv verschiedener Verglasungen werden in der folgenden Tabelle gegeben. Der Energiedurchlassgrad gv ist dimensionslos.

Tabelle 11: Energiedurchlassgrade verschiedener Verglasungen

Verglasung gv

Doppelverglasung aus Klarglas 0,8

Dreifachverglasung aus Klarglas 0,7

Sonnenschutzglas 0,3 - 0,7

Wärmeschutzglas 0,3 - 0,7

Glasbausteine 0,6

Im Vergleich zur kurzwelligen Strahlung (Sonneneinstrahlung) weisen Verglasungen bei langwelliger Strahlung, z.B. von den Innenbauteilen abgegebener Wärmestrahlung, ein anderes Verhalten auf. Verglasungen lassen zwar kurzwellige Strahlung größtenteils durch, für langwellige Strahlung sind sie jedoch nahezu undurchlässig. Dies führt im Sommer zu dem bekannten Treibhauseffekt, d.h. zu einer starken Aufheizung vor allem nach Süden orientierter Räume.







4.1.2.2 Gesamtenergiedurchlassgrad

Der Gesamtenergiedurchlassgrad gF gibt an, wieviel der eingestrahlten Sonnenenergie in den Raum gelangt. Er hängt vom Energiedurchlassgrad gv der Verglasung und ggf. vorhandenen Sonnenschutzmaßnahmen ab.

g g S S SF V 1 2 n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅… -

Beispiele für Abminderungsfaktoren S für verschiedene Sonnenschutzmaßnahmen werden in der folgenden Tabelle gegeben. Für die sinnvolle Anordnung von Sonnenschutzmaßnahmen (z.B. starrer Vorbau, fest eingebauter Sonnenschutz, flexibler Sonnenschutz) ist die Orientierung der Fassade von Bedeutung. Einsatz und Auswahl der Sonnenschutzvorrichtungen sollte in Abhängigkeit der Orientierung erfolgen.

Tabelle 12: Abminderungsfaktoren S für verschiedene Sonnenschutzmaßnahmen

Sonnenschutzvorrichtung S

kein Sonnenschutz 1,0

innenliegende Jalousie oder Vorhänge 0,5

innenliegende Folien 0,2 - 0,6

außenliegende Jalousie oder Lamellen 0,3

Vordach, Loggien 0,3

Markisen 0,5

4.2 EnEV

4.2.1 Ablaufschema der Bilanzierung nach EnEV 2001 (Heizperiodenbilanzverfahren)

Schritt 1: Ermittlung des spezifischen Transmissionswärmeverlustes HT

HT = Σ(Fxi*Ui*Ai) + x*A

mit: Fxi = Temperatur-Korrekturfaktor

Ui = Wärmedurchgangskoeffizient

Ai = wärmeübertragende Fläche des jeweiligen Bauteils

A = gesamte wärmeübertragende Fläche des Hauses

x = Faktor für die Berücksichtigung der Wärmebrücken


IBPM





Tabelle 13: Temperatur-Korrekturfaktoren Fxi

Wärmestrom nach außen über Bauteil Ai Temperatur-Korrekturfaktoren Fxi

Außenwand, Fenster 1

Dach (als Systemgrenze) 1

Oberste Geschoßdecke (Dachraum nicht ausgebaut) 0,8

Abseitenwand (Drempelwand) 0,8

Wände und Decken zu unbeheizten Räumen 0,5

Unterer Gebäudeabschluß:

- Kellerdecke/-wände zu

unbeheiztem Keller

- Fußboden auf Erdreich

- Flächen des beheizten Kellers gegen Erdreich

0,6

Schritt 2: Ermittlung der spezifischen Lüftungswärmeverluste HV

HV = 0,19*Ve (1)

oder

HV = 0,163*Ve (2)

mit: Ve = beheiztes Gebäudevolumen

Die Unterscheidung zwischen (1) und (2) wird über folgende Bedingung getroffen:

Beträgt bei einem Druckunterschied zwischen Innen und Außen von 50 Pa der Volumenstrom – bezogen auf das beheizte Luftvolumen – ohne raumlufttechnische Anlagen nicht mehr als 3 h-1 und mit raumlufttechnischen Anlagen nicht mehr als 1,5 h-1, so ist die Gleichung (2) anzuwenden. Wird diese Bedingung nicht erfüllt, kommt Gleichung (1) zum Einsatz.

Schritt 3: Ermittlung der solaren Gewinne Qs

Hier ist eine Angabe der Fensterflächen, aufgegliedert nach Himmelsrichtungen bzw. Dachneigungen, erforderlich.

Qs = Σ(Is)j,HP*Σ0,567*gi*Ai

mit: Is = solare Einstrahlung je nach Orientierung der Fensterflächen

gi = Gesamtenergiedurchlassgrad der Verglasung, gibt an wie viel der auftreffenden Sonnenstrahlung durch die Scheibe hindurchgeht und zur Aufheizung des Raumes beitragen kann.

Ai = Fläche der Fenster je nach Orientierung







Tabelle 14: Größe der solaren Einstrahlung je nach Orientierung

Orientierung Σ(Is)j,HP

Südost bis Südwest 270 kWh/(m²a)

Nordwest bis Nordost 100 kWh/(m²a)

übrige Richtungen 155 kWh/(m²a)

Dachflächenfenster mit einer Neigung unter 30° (Dachflächenfenster mit einer Neigung ≥ 30° werden hinsichtlich der Orientierung wie senkrechte Fenster behandelt.)

225 kWh/(m²a)

Schritt 4: Ermittlung der internen Gewinne Qi

Qi = 22*AN

mit: AN = 0,32*V

Schritt 5: Ermittlung des Jahresheizwärmebedarfes Qh

Qh = 66*(HT + HV) – ηP*(Qs + Qi)

mit ηP = Ausnutzungsgrad (wird zu 0,95 gesetzt)

66 entspricht der Gradtagszahl für eine zentrale Lage innerhalb von Deutschland

Schritt 6: Ermittlung des flächenbezogenen Jahresheizwärmebedarfs Qh´´

Qh´´ = Qh/AN

Schritt 7: Ermittlung des vorhandenen spezifischen flächenbezogenen Transmissionswärmeverlustes H´T,vorh

H´T,vorh = HT/A

mit: A = wärmeübertragende Umfassungsfläche

Schritt 8: Ermittlung des zulässigen spezifischen flächenbezogenen Transmissionswärmeverlustes H´T,zul

Der zulässige spezifische flächenbezogene Transmissionswärmeverlust wird in Abhängigkeit des A/Ve-Verhältnisses bestimmt.


IBPM





Tabelle 15: Einteilung des zulässigen spezifischen Transmissionswärmeverlustes

Verhältnis A/Ve Formel für den zulässigen spezifischen Transmissionswärmeverlustes

Wohngebäude und Nichtwohngebäude mit einem Fensterflächenanteil ≤ 30%

Nichtwohngebäude mit einem Fensterflächenanteil > 30%

≤ 0,2 H´T,zul = 1,05 W/m²K H´T,zul = 1,55 W/m²K

0,2 < A/Ve <1,05 H´T,zul = 0,3+0,15/(A/Ve) W/m²K H´T,zul = 0,35 + 0,24/(A/Ve) W/m²K

≥ 1,05 H´T,zul = 0,44 W/m²K H´T,zul = 0,58 W/m²K

Schritt 9: Kontrolle ob der vorhandene spezifische Transmissionswärmeverlust unter dem zulässigen spezifischen Transmissionswärmeverlust liegt

H´T,vorh ≤ H´T,zul

Schritt 10: Ermittlung der Aufwandszahl eP nach DIN 4701-Teil 10

Eingang in die Diagramme der DIN 4701-T10 mit der Nutzfläche AN und dem flächenbezogenen Jahresheizwärmebedarf Qh´´ (in der DIN 4701-T10 wird der flächenbezogene Jahresheizwärmebedarf mit dem Formelzeichen qh gekennzeichnet):







Schritt 11: Ermittlung des vorhandenen Jahres-Primärenergiebedarfs Q´´p,vorh

Q´´p,vorh = eP*(Q´´h + QW)

mit: Q´´h = flächenbezogener Jahresheizwärmebedarf in kWh/m² a

QW = Trinkwasserwärmebedarf (pauschal angenommen zu 12,5 kWh/m² a)

Schritt 12: Ermittlung des zulässigen Jahres-Primärenergiebedarfs Q´´p,zul

Der zulässige Jahres-Primärenergiebedarfs Q´´p,zul wird in Abhängigkeit

des A/Ve-Verhältnisses bestimmt

Tabelle 16: Einteilung des zulässigen Jahres-Primärenergiebedarfs Q´´p,zul

Verhältnis A/Ve Formel für den zulässigen Jahres-Primärenergiebedarfs Q´´p,zul bezogen auf die Gebäudenutzfläche in kWh/m²a

Formel für den zulässigen Jahres-Primärenergiebedarf Q´´p,zul bezogen auf das beheizte Gebäudevolumen in kWh/m³a

Wohngebäude mit überwiegender Warm-wasserbereitung aus elektrischem Strom

Wohngebäude ohne überwiegende Warm-wasserbereitung aus elektrischem Strom

Gebäude die in keine der ersten beiden Spalten einzuordnen sind

≤ 0,2 80,00 66,00+2600/(100+AN) 14,72

0,2 < A/Ve <1,05 64,94+75,29*(A/Ve) 50,94+75,29*(A/Ve)+ 2600/(100+AN)

9,9+24,1*(A/Ve)

≥ 1,05 144,00 130,00+2600/(100+AN) 35,21

Schritt 13: Nachweis ob die Grenzwerte eingehalten werden

Q´´p,vorh ≤ Q´´p,zul


IBPM





5 Wärmebrücken

5.1 Näherungen zur Berechnung von Wärmebrücken

− Stoffliche Wärmebrücken

ϑae

UG UGUBUG UGUB

ϑai

UB > UG

ϑai > ϑae

Oberflächentemperaturen:

si,B ai B ai ae siU ( ) Rϑ = ϑ − ⋅ ϑ − ϑ ⋅ in °C

si,G ai G ai ae siU ( ) Rϑ = ϑ − ⋅ ϑ − ϑ ⋅ in °C

Wärmeverluste (ohne Berücksichtigung der Querleitung):

Für den Wärmebrückenbereich gilt: B B ai aeU ( ) ABΦ = ⋅ ϑ − ϑ ⋅ in W

Für den Gefachbereich gilt: G G ai ae GU ( ) AΦ = ⋅ ϑ − ϑ ⋅ in W

Für die mittleren Wärmeverluste des gesamten Bauteils, also Gefach und Wärmebrücke, gilt:

B B G Gm a

B G

U A U A ( )A A i ae

⋅ + ⋅Φ = ⋅

+ϑ − ϑ in W

− Ecken (geometrische Wärmebrücke)

Für Ecken gilt näherungsweise:

R 3 Rsi,Eck si,G≈ ⋅ in m²K/W

U 1,5 UEck G≈ ⋅ in m²K/W

R 0,5 REck G≈ ⋅







si,Eck ai B,Eck ai ae si,EckU ( ) Rϑ = ϑ − ⋅ ϑ − ϑ ⋅ in °C


IBPM Univ.-Prof. Dr. Max J. Setzer Prof. Dr.-Ing. R. Hohmann

Formelsammlung Feuchte

Dipl. Ing. S. KasparekDipl.-Ing. M. Wehling



6 Gasgesetze

Partialdruck, Dampfgesetz nach Dalton

Der Gesamtdruck p eines Gasgemisches ergibt sich aus der Summe der Partialdrücke pj (Teildrücke) der einzelnen Gaskomponenten.

p ptot Stoff, jj

= ∑ in Pa

Für bauphysikalische Betrachtungen gilt:

p p ptot g,trocken v= + in Pa

Zustandsgleichungen

Gesetz von Boyle/Mariotte (T = const) p V p V0⋅ = ⋅ 0

Gesetz von Gay/Lussac (p = const) VT

VT

0

0

=

Zustandsgleichung für ideale Gase

p VT

n R⋅= ⋅ oder

p VT

mM

R m RMol

Stoff⋅

= ⋅ = ⋅

Zwischen der Konzentration cStoff und dem Partialdruck pStoff besteht folgender Zusammenhang:

c p

R TStoffStoff

Stoff

=⋅ in g/m³

7 Feuchtetechnische Grundbegriffe

7.1 Wasserdampfsättigungskonzentration

Die Wasserdampfsättigungsmenge cS ist die maximale Wassermenge, die 1 m3 Luft bei einer bestimmten Temperatur aufnehmen kann.

c m

VsatS= in g/m³






Tabelle 17: Wasserdampfsättigungskonzentration csat bei Temperaturen von −20 °C bis 30 °C

ϑ

in oC

csat

in g/m3

ϑ

in oC

csat

in g/m3

ϑ

in oC

csat

in g/m3

ϑ

in oC

csat

in g/m3

ϑ

in oC

csat

in g/m3

− 20 0,88 − 10 2,14 0 4,85 10 9,39 20 17,3

− 19 0,96 − 9 2,33 1 5,20 11 10,0 21 18,3

− 18 1,05 − 8 2,53 2 5,57 12 10,7 22 19,4

− 17 1,15 − 7 2,75 3 5,95 13 11,3 23 20,6

− 16 1,27 − 6 2,98 4 6,36 14 12,1 24 21,8

−15 1,39 − 5 3,23 5 6,79 15 12,8 25 23,0

− 14 1,52 − 4 3,50 6 7,25 16 13,7 26 24,4

− 13 1,65 − 3 3,81 7 7,74 17 14,5 27 25,8

− 12 1,80 − 2 4,14 8 8,26 18 15,4 28 27,2

− 11 1,96 − 1 4,49 9 8,81 19 16,3 29 28,8

− 10 2,14 0 4,85 10 9,39 20 17,3 30 30,3

7.2 Wasserdampfsättigungsdruck

Der Wasserdampfsättigungsdruck psat in Pa ist der Teildruck, den Wasserdampf bei 100 % Luftfeuchtigkeit und einer bestimmten Temperatur aufweisen kann.

Nach DIN 4108 gilt: −20°C < ϑ < 0°C 0°C < ϑ < 30°C

a = 4,689 Pa a = 288,68 Pa

p a b

100sat

n

= ⋅ +FHGIKJ

θ in Pa b = 1,486

n = 12,30

b = 1,098

n = 8,02







Tabelle 18: Wasserdampfsättigungsdruck psat bei Temperaturen von 30,9 bis −20,9°C, [DIN 4108, T.5]

Temperatur Wasserdampfsättigungsdruck psat in Pa

°C ,0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 30 29 28 27 26

4244 4006 3781 3566 3362

4269 4030 3803 3588 3382

4294 4053 3826 3609 3403

4319 4077 3848 3631 3423

4344 4101 3871 3652 3443

4369 4124 3894 3674 3463

4394 4148 3916 3695 3484

4419 4172 3939 3717 3504

4445 4196 3961 3793 3525

4469 4219 3984 3759 3544

25 24 23 22 21

3169 2985 2810 2645 2487

3188 3003 2827 2661 2504

3208 3021 2845 2678 2518

3227 3040 2863 2695 2535

3246 3059 2880 2711 2551

3266 3077 2897 2727 2566

3284 3095 2915 2744 2582

3304 3114 2932 2761 2598

3324 3132 2950 2777 2613

3343 3151 2968 2794 2629

20 19 18 17 16

2340 2197 2065 1937 1818

2354 2212 2079 1950 1830

2369 2227 2091 1963 1841

2384 2241 2105 1976 1854

2399 2254 2119 1988 1866

2413 2268 2132 2001 1878

2428 2283 2145 2014 1889

2443 2297 2158 2027 1901

2457 2310 2172 2039 1914

2473 2324 2185 2052 1926

15 14 13 12 11

1706 1599 1498 1403 1312

1717 1610 1508 1413 1321

1729 1621 1518 1422 1330

1739 1631 1528 1431 1340

1750 1642 1538 1441 1349

1762 1653 1548 1451 1358

1773 1663 1559 1460 1367

1784 1674 1569 1470 1375

1795 1684 1578 1479 1385

1806 1695 1588 1488 1394

10 9 8 7 6

1228 1148 1073 1002 935

1237 1156 1081 1008 942

1245 1163 1088 1016 949

1254 1171 1096 1023 955

1262 1179 1103 1030 961

1270 1187 1110 1038 968

1279 1195 1117 1045 975

1287 1203 1125 1052 982

1296 1211 1133 1059 988

1304 1218 1140 1066 995

5 4 3 2 1 0

872 813 759 705 657 611

878 819 765 710 662 616

884 825 770 716 667 621

890 831 776 721 672 626

896 837 781 727 677 630

902 843 787 732 682 635

907 849 793 737 687 640

913 854 798 743 691 645

919 861 803 748 696 648

925 866 808 753 700 653

− 0 − 1 − 2 − 3 − 4 − 5

611 562 517 476 437 401

605 557 514 472 433 398

600 552 509 468 430 395

595 547 505 464 426 391

592 543 501 461 423 388

587 538 496 456 419 385

582 534 492 452 415 382

577 531 489 448 412 379

572 527 484 444 408 375

567 522 480 440 405 372

− 6 − 7

− 8 − 9 − 10

368 337 310 284 260

365 336 306 281 258

362 333 304 279 255

359 330 301 276 253

356 327 298 274 251

353 324 296 272 249

350 321 294 269 246

347 318 291 267 244

343 315 288 264 242

340 312 286 262 239

− 11 − 12 − 13 − 14 − 15

237 217 198 181 165

235 215 197 180 164

233 213 195 178 162

231 211 193 177 161

229 209 191 175 159

228 208 190 173 158

226 206 188 172 157

224 204 186 170 155

221 202 184 168 153

219 200 182 167 152

− 16 − 17 − 18 − 19 − 20

150 137 125 114 103

149 136 124 113 102

148 135 123 112 101

146 133 122 111 100

145 132 121 110 99

144 131 120 109 98

142 129 118 107 97

141 128 117 106 96

139 127 116 105 95

138 126 115 104 94






7.3 Absolute Luftfeuchtigkeit

Unter der absoluten Luftfeuchtigkeit c versteht man die auf das Luftvolumen V bezogene Wasserdampfmasse m, d.h. die tatsächliche Wasserdampfkonzentration in der Luft.

c m

Vp

R TH O= =

⋅2

in g/m³

7.4 Relative Luftfeuchtigkeit

v

sat sat

p cp c

ϕ = = -

7.5 Taupunkttemperatur

Für Lufttemperaturen ϑ > 0oC gilt:

( )1 8,02s g109,8 109,8ϑ φ θ= ⋅ + − in °C







Tabelle 19: Taupunkttemperatur ϑsat der Luft in Abhängigkeit von Temperatur und relativer Luftfeuchte [DIN 4108, T.5]

Luft-temperatur

ϑ Taupunkttemperatur ϑsat der Luft in °C bei einer relativen Luftfeuchte von

°C 30 % 35 % 40 % 45 % 50 % 55 % 60 % 65 % 70 % 75 % 80 % 85 % 90 % 95 %

30 10,5 12,9 14,9 16,8 18,4 20,0 21,4 22,7 23,9 25,1 26,2 27,2 28,2 29,1 29 9,7 12,0 14,0 15,9 17,5 19,0 20,4 21,7 23,0 24,1 25,2 26,2 27,2 28,1 28 8,8 11,1 13,1 15,0 16,6 18,1 19,5 20,8 22,0 23,2 24,2 25,2 26,2 27,1 27 8,0 10,2 12,2 14,1 15,7 17,2 18,6 19,9 21,1 22,2 23,3 24,3 25,2 26,1 26 7,1 9,4 11,4 13,2 14,8 16,3 17,6 18,9 20,1 21,2 22,3 23,3 24,2 25,1 25 6,2 8,5 10,5 12,2 13,9 15,3 16,7 18,0 19,1 20,3 21,3 22,3 23,2 24,1 24 5,4 7,6 9,6 11,3 12,9 14,4 15,8 17,0 18,2 19,3 20,3 21,3 22,3 23,1 23 4,5 6,7 8,7 10,4 12,0 13,5 14,8 16,1 17,2 18,3 19,4 20,3 21,3 22,2 22 3,6 5,9 7,8 9,5 11,1 12,5 13,9 15,1 16,3 17,4 18,4 19,4 20,3 21,2 21 2,8 5,0 6,9 8,6 10,2 11,6 12,9 14,2 15,3 16,4 17,4 18,4 19,3 20,2 20 1,9 4,1 6,0 7,7 9,3 10,7 12,0 13,2 14,4 15,4 16,4 17,4 18,3 19,2 19 1,0 3,2 5,1 6,8 8,3 9,8 11,1 12,3 13,4 14,5 15,5 16,4 17,3 18,2 18 0,2 2,3 4,2 5,9 7,4 8,8 10,1 11,3 12,5 13,5 14,5 15,4 16,3 17,2 17 -0,6 1,4 3,3 5,0 6,5 7,9 9,2 10,4 11,5 12,5 13,5 14,5 15,3 16,2 16 -1,4 0,5 2,4 4,1 5,6 7,0 8,2 9,4 10,5 11,6 12,6 13,5 14,4 15,2 15 -2,2 -0,3 1,5 3,2 4,7 6,1 7,3 8,5 9,6 10,6 11,6 12,5 13,4 14,2 14 -2,9 -1,0 0,6 2,3 3,7 5,1 6,4 7,5 8,6 9,6 10,6 11,5 12,4 13,2 13 -3,7 -1,9 -0,1 1,3 2,8 4,2 5,5 6,6 7,7 8,7 9,6 10,5 11,4 12,2 12 -4,5 -2,6 -1,0 0,4 1,9 3,2 4,5 5,7 6,7 7,7 8,7 9,6 10,4 11,2 11 -5,2 -3,4 -1,8 -0,4 1,0 2,3 3,5 4,7 5,8 6,7 7,7 8,6 9,4 10,2 10 -6,0 -4,2 -2,6 -1,2 0,1 1,4 2,6 3,7 4,8 5,8 6,7 7,6 8,4 9,2

Zwischenwerte dürfen näherungsweise gradlinig interpoliert werden.

7.6 Feuchtegehalte von Baustoffen

7.6.1 Massebezogener Feuchtegehalt Der massebezogene Feuchtegehalt eines Stoffes ist das Verhältnis von dem Gewicht des in der Probe enthaltenen

Wassers und dem Trockengewicht der Probe.

u

mm

100 m mm

100H O

M

feucht trocken

trocken

2= ⋅ =−

⋅ in %

7.6.2 Volumenbezogener Feuchtegehalt Der volumenbezogene Feuchtegehalt eines Stoffes ist das Verhältnis von dem Volumen des in der Probe enthaltenen

Wassers und dem Trockenvolumen der Probe.






ψ

ρρ

ρρ

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅umm

VV

100mH O

m

H O

m

2 2M

H O

M

H O2 2

100 in %

7.7 Wasserdampfdiffusion

7.7.1 Wasserdampf-Diffusionsstromdichte

Für die Wasserdampf-Diffusionsstromdichte g gilt unter stationären Bedingungen

1 2 1 29

d

p p p pg 1 5,4 10 sD

− −= =

⋅ ⋅ in kg/m²s

oder

gWasserdampfpartialdruckdifferenz p pzwischen den Orten mit p und p liegender

Wasserdampfdiffusionswiderstand

1 2

1 2

=−b g

7.7.2 Wasserdampf-Diffusionswiderstandszahl

Die Wasserdampf-Diffusionswiderstandszahl µ gibt an, wie viel mal größer der Diffusionswiderstand eines Materials ist als der Diffusionswiderstand einer gleich dicken Luftschicht.

µ =

sdd

-

7.7.3 Wasserdampfdiffusionsäquivalente Luftschichtdicke

Die wasserdampfdiffusionsäquivalente Luftschichtdicke sd gibt die Dicke einer Luftschicht mit gleichem Wasserdampf-Diffusionswiderstand wie die der Stoffschicht mit der Dicke d an.

s dd = ⋅µ in m

7.7.4 Wasserdampf-Diffusionswiderstand

Der Wasserdampf-Diffusionswiderstand Z ist der Widerstand, den ein Material dem Wasserdampf-Diffusionsstrom

entgegensetzt.

Z 5 10 s d dBaustoff

9d, j

j 1

n

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅=∑, ,4 5 4 109

1 1 2 2µ µ µ… n nb gd in m²sPa/kg







7.7.5 Gegenüberstellung der wärme- und diffusionstechnischen Größen

Tabelle 20: Gegenüberstellung der wärme- und diffusionstechnischen Größen

Wärme Wasserdampfdiffusion

ϑ gi

q

λ

ϑ ge

d

p gi

g

µ

p ge

d Wärmemenge Q

Q tJ Ws W s

= Φ ⋅= = ⋅

Diffusionsmenge m

( / )m m tkg kg h h

= ⋅= ⋅

Wärmestrom Φ

Φ =dQdt

inJ/s = W

Diffusionsstrom m

m mt

=dd

in kg/s

Wärmestromdichte q

qA

=ddΦ

in W/m2

Diffusionsstromdichte g

g mA

=dd

in kg/(m2s)

Wärmeübergangskoeffizient h

h in W/(m2K)

Diffusionsübergangswiderstand β

β kg/(m2sPa)

Wärmeübergangswiderstand

iR , Re in m²K/W

Diffusionsübergangswiderstand

1β

in m²sPa/kg

Wärmedurchlaßwiderstand R

Rd j

jj

= ∑ λ in m2K/W

Diffusionsdurchlaßwiderstand Z

Z djj

j= ⋅ ⋅ ⋅∑5 4 109, µ m2sPa/kg

Wärmedurchgangskoeffizient U

U R R Rsi se= + + −b g 1 W/(m2K)

Wasserdampfdurchgangskoeffizient kD

k ZDi a

= + +FHG

IKJ

−1 1

1

β β kg/(m2sPa)






8 Feuchteschutz nach DIN 4108 "Wärmeschutz im Hochbau"

8.1 Tauwasser im Bauteilquerschnitt

8.1.1 Berechnung der Tauwassermenge und der Verdunstungsmenge

Im folgenden wird das Berechnungsverfahren zur Ermittlung der Tauwassermenge WT und der Verdunstungsmenge WV für den Fall angegeben, dass innerhalb eines Bauteils in einer Schicht Tauwasser anfällt. Die Berechnung beruht auf einer Bilanzierung von Massenströmen. Es handelt sich dabei um ein halbgraphisches Verfahren (Glaser-Verfahren).

a) Tauperiode

1. Temperaturen ϑj in den Schichtgrenzen berechnen

2. Wasserdampfsättigungsdrücke psat in den Schichtgrenzen bestimmen

3. Wasserdampfpartialdrücke an den Oberflächen berechnen

,vi sat j gip p ϕ= ⋅ in Pa

,ve sat ve gep p ϕ= ⋅ in Pa

4. Wasserdampfdiffusionsäquivalente Luftschichtdicken sd der einzelnen Schichten berechnen

5. Wasserdampfsättigungskurve psat über der wasserdampfdiffusionsäquivalenten Luftschichtdicke sd auftragen

p /Pa

s d /m

s d1 s d2 s d3

psat = psat (ϑ)

6. Kurve des Wasserdampfpartialdrucks konstruieren. Hierzu ist die kürzeste Verbindung zwischen den Partialdampfdrücken an den Oberflächen pvi und pve zu konstruieren, wobei die Sättigungslinie nicht überschritten werden darf. Schneidet die lineare Verbindung der Partialdampfdrücke an den Oberflächen die psat-Kurve, so fällt im Bauteil Tauwasser aus.







p /Pa

sd /m

sde sdi

psat = psat(ϑ)

Kondensation

gvi

gve

Psat,w

p pvi

p ve

∆ pvi

∆ p ve

7. Berechnung der Tauwassermenge mW,T

gp

Zp p

Zvivi

i

vi sat w

i

= =−∆ ,

in kg/m²s

gp

Zp p

Zveve

ve

sat w ve

ve

= =−∆ ,

in kg/m²s

( )W T vi ve,Tm t g g= ⋅ − in kg/m²

b) Verdunstungsperiode

1. Temperaturen ϑj in den Schichtgrenzen ermitteln

2. Wasserdampfsättigungsdrücke psat in den Schichtgrenzen ermitteln

3. Wasserdampfpartialdrücke an den Oberflächen berechnen

vi sat ,vi aip p= ⋅ϕ in Pa

ve sat,ve aep p= ⋅ϕ in Pa

4. Wasserdampfdiffusionsäquivalente Luftschichtdicken sd der einzelnen Schichten berechnen

5. Wasserdampfsättigungskurve psat über der wasserdampfdiffusionsäquivalenten Luftschichtdicke sd auftragen






p /Pa

s d /m

s da s di

Psat,w Psat psat (ϑ)

6. Kurve des Wasserdampfpartialdrucks konstruieren. Dazu werden der Sättigungsdruck psat,w in der Ebene, in der während der Tauperiode Kondensation stattfand, mit den Partialdampfdrücken an den Oberflächen pvi und pve geradlinig verbunden.

p /Pa

sd /m

sde sdi

psat,wpsat = psat(ϑ)

p ve

pvi

∆ p ve ∆ p vi

gvi gve

7. Berechnung der Verdunstungsmenge mW,V

gp

Zp p

Zvivi

i

sat w vi

i

= =−∆ ,

in kg/m²s

ve sat ,w veve

e e

p p pg

Z Z∆ −

= = in kg/m²s







m t g gW,V V vi ve= ⋅ −b g in kg/m²

Sonderfall: Verdunstungsperiode beim Dach

Bei Untersuchungen der Verdunstungsmenge mW,V in Dachdecken ist eine Dachoberflächentemperatur von 20 °C zugrunde zulegen. Hierdurch entsteht, entgegen den Randbedingungen für andere Außenbauteile, ein Temperaturgefälle von außen nach innen.

p /Pa

s d /m

s de s di

psat = psat(ϑ)

p ve

pvi

∆Pve

∆ p vi

gvi

gve

psat,w2

psat,w1

p

4 3 2 1

1 Dachhaut

2 Wärmedämmung

3 Dampfbremse

4 Stahlbeton

gp

Zp p

Zvivi

i

sat w vi

i

= =−∆ , 2

in kg/m²s

ve sat ,w1 veve

e e

p p pg

Z Z∆ −

= = in kg/m²s

m t g gW V V vi ve, = ⋅ +b g in kg/m²

c) Berechnung des Partialdampfdruckes in den Trennschichten

Für die rechnermäßige Erfassung läßt sich der Partialdampfdruck in den einzelnen Trennschichten unter stationären

Bedingungen vergleichbar der Temperaturermittlung in den Trennschichten berechnen.






p p pp p Z jp p Z jp p Z j

p p

si gi vi

vi

n nn

j

= =

= − ⋅= − ⋅= − ⋅

= −−

1 1

2 1 2

3 2 3

11

…

∆⋅

p si p 1

p 2

p n-1

p n

d

p

...

µ n

µ 2 µ 1

8.1.2 Normbedingungen zur Berechnung der Tauwassermenge und der Verdunstungsmenge

In der DIN 4108, T.2 werden klimatische Randbedingungen angegeben, die der Berechnung der Tauwassermenge mW,T und der Verdunstungsmenge mW,V zugrunde zu legen sind. Bei ungünstigeren Klimabedingungen (z.B. Schwimmbädern, Kühlhäusern usw.) sind das tatsächliche Raumklima und das Außenklima am Standort zu verwenden. Vereinfachend dürfen bei Dächern auch die Klimabedingungen für Wandbauteile zugrunde gelegt werden.

Für die Tauperiode gelten folgende Randbedingungen

ϑai = 20 °C ϕai = 0,5 (50 % r. F.)

ϑae = −10 °C ϕae = 0,8 (80 % r. F.)

tT = 5,184*106s (1440 h / 60 Tage)

tT = Dauer der Tauperiode

Für die Verdunstungsperiode gilt

a) Wandbauteile und Decken unter nicht ausgebauten Dachräumen:

ϑai = 12 °C ϕai = 0,7 (70 % r. F.)

ϑae = 12 °C ϕae = 0,7 (70 % r. F.)

Klima im Tauwasserbereich:

ϑ = 12 °C ϕ = 1,0 (100 % r. F.)

tV = 7,776*106s (2160 h / 90 Tage)

tV = Dauer der Verdunstungsperiode

b) Dächer, die Aufenthaltsräume gegen die Außenluft abschließen:

ϑai = 12 °C ϕai = 0,7 (70 % r. F.)

ϑae = 12 °C ϕae = 0,7 (70 % r. F.)

ϑs,DA = 20 °C (Dachoberfläche)







Klima im Tauwasserbereich:

ϑ entsprechend dem Temperaturgefälle von innen nach außen

ϕ = 1,0 (100 % r. F.)

tV = 7,776*106s (2160 h / 90 Tage)

tV = Dauer der Verdunstungsperiode

Erneuter Tauwasseranfall während der Verdunstungsperiode wird nach DIN 4108 nicht berücksichtigt.

8.1.3 Anforderung an den Feuchteschutz nach DIN 4108

Nach DIN 4108 müssen nachweispflichtige Bauteile folgende Anforderungen an den Tauwasserschutz erfüllen:

1. Die während der Tauperiode anfallende Tauwassermenge mW,T darf nicht größer als die Verdunstungsmenge mW,V sein.

m mW T W V, ,≤

2. Bei Dach- und Wandkonstruktionen muß gelten:

m kgW T, ,≤ 1 0 2m

3. An Berührungsflächen von kapillar nicht wasseraufnahmefähigen Schichten, z.B. Berührungsflächen von Faserdämmstoffen oder Luftschichten einerseits und Dampfsperren oder Betonschichten andererseits, muß gelten:

m kgW T, ,≤ 0 5 2m

4. Die Baustoffe, die mit dem Tauwasser in Berührung kommen, dürfen nicht beschädigt werden (z.B. durch Korrosion, Pilzbefall).

5. Unzulässig sind folgende Erhöhungen des massebezogenen Feuchtegehaltes:

Holz um mehr als 5 %

Holzwerkstoffe um mehr als 3 %

8.2 Tauwasserbildung auf der Oberfläche von Bauteilen Bedingung für Tauwasserfreiheit an der raumseitigen Bauteiloberfläche:






ϑ ai

ϑ ae

ϑ si

ϑ se

ϑ gi,unkritisch

ϑ sat,gi

ϑ si,kritisch

psat,si

p ai,unkritisch

p ai

p ai,kritisch

si sat ,aiϑ ≥ ϑ p psi sat si≤ ,

Randbedingungen nach DIN 4108 "Wärmeschutz im Hochbau":

ϑae = − 15 °C ϕe = 0,8 (80 % r.F.)

ϑai = 20 °C ϕi = 0,5 (50 % r.F.)

Soweit nicht besondere Bedingungen, z.B. bei stark behindertem Wärmeübergang durch Möblierung oder eine geometrische Wärmebrücke (z.B. Raumecke, Anschlußstellen zweier Bauteile), die Wahl eines größeren inneren Wärmeübergangswiderstandes Rsi erfordern, gilt nach DIN 4108:

R m KWsi = 0 17

2

, h Wm Ksi =FHGIKJ6 2

9 Mindestwärmeschutz

Die Einhaltung des Mindestwärmedurchlaßwiderstandes Rmin bzw. des maximalen Wärmedurchgangskoeffizienten Umax,zul gewährleisten tauwasserfreie Bauteiloberflächen. Es muß gelten:

R Rvorh ≥ min und U Uvorh ≤ min

9.1 Mindestwärmedurchlaßwiderstand

Mit der inneren Oberflächentemperatur

( )si ai si ai aeR Uϑ = ϑ − ⋅ ⋅ ϑ − ϑ in °C







und der Grenzbedingung für Tauwasserfreiheit ϑsi = ϑs,gi läßt sich der für Tauwasserfreiheit an der innenseitigen Bauteiloberfläche erforderliche Mindestwärmedurchlaßwiderstand des Bauteils berechnen.

( )ai aemin si si se

ai s,ai

R R Rϑ − ϑ= ⋅ − +

ϑ − ϑR in W/mK

8

9.2 Maximal zulässiger Wärmedurchgangskoeffizient

Ebenso wie der Mindestwärmedurchlaßwiderstand läßt sich der maximal zulässige Wärmedurchgangskoeffizient zur Vermeidung von Oberflächenkondensation aus der Oberflächentemperatur

( )si gi si gi geR Uϑ ϑ ϑ= − ⋅ ⋅ −ϑ in °C

und der Grenzbedingung für Tauwasserfreiheit ϑsi = ϑs,gi herleiten.

si sat ,aimax,zul si

ai ae

U hϑ − ϑ

= ⋅ϑ − ϑ

in W/mK

10 Bemessung einer Dampfbremse

Die erforderliche minimale wasserdampfdiffusionsäquivalente Luftschichtdicke s dd = ⋅µ der Dampfbremse einer Wand- oder Deckenkonstruktion für Tauwasserfreiheit kann graphisch mit Hilfe des Glaser-Diagramms ermittelt werden.

p /Pa

s d /m

sd1 s d2 sd3

psat =p sat ( ϑ )

p sat,se p ve

psat,oi

sd,erf

pvi

1 2

3

Vorgehen bei der zeichnerischen Ermittlung der erforderlichen wasserdampfdiffusionsäquivalenten Luftschichtdicke einer Dampfbremse:

1. Gerade pve − psat,w verlängern, bis sie pvi schneidet

2. Lot auf die Abszisse fällen






3. sd,erf ablesen

Rechnerisch ergibt sich die erforderliche wasserdampfdiffusionsäquivalente Luftschichtdicke sd,erf einer Dampfbremse:

s s p pp p

s sd erf devi ve

sat w vedi de,

,

= ⋅−−

− − in m

11 Maximal zulässige Raumluftfeuchte

Die maximal zulässige Luftfeuchtigkeit der Raumluft ϕi,max, bei der ohne Dampfbremse im Wandquerschnitt keine Kondensation stattfindet, kann graphisch mit Hilfe des Glaser-Diagramms ermittelt werden.

vi,maxi,max

sat ,si

pp

φ =

Mit

pp p

ss s pvi

sat w ve

dd d,max

,= ve

−⋅ + +

21 2b g in Pa

ergibt sich

( )1 22

1 ,,max

,

sat w vei d

sat si d

p ps s p

p sϕ

−⎧ ⎫= ⋅ ⋅ + +⎨ ⎬

⎩ ⎭d ve -

p /Pa

sd /m

s d1 s d2 s d3

p sat =p sat ( ϑ )

p sat,se

p ve

pvi,max

p sat,sipvi,kritisch

pvi,unkritischp sat







12 Feuchtebilanz für einen Raum

Am Beispiel des dargestellten Raumes wird das Vorgehen bei einer Feuchtebilanz für einen Raum erläutert.

p 4 < pvi

p 3 > p i

p 2 < p vi

p ve < p vi

mW,2 .

m W,3 .

mD, 3 .

mD,1 .

m L,e .

m W,1 .

ϕ i pvi, ci ,

m L,i .

mD,2 .

m W,4 .

In unserem Beispiel treten folgende Feuchteströme auf:

- Feuchteaustausch durch Lüftung in kg/s .,Lm

,L e e i Rm m c Vη η= ⋅ = ⋅ ⋅ in kg/s

,L i i e Rm m c Vη η= ⋅ = ⋅ ⋅ in kg/s

- Wasserdampf-Diffusionsstrom durch Bauteile in kg/s .,Wm

m g Ap

ZAW j j

j

nj

jj

j

n

= ⋅ = ⋅RS|T|

UV|W|= =∑ ∑d i

1 1

∆ in kg/s

Weiter zu berücksichtigen ist die Feuchteproduktion im Raum (z.B. Personen, Pflanzen, Waschen, Kochen usw.).

mD

Für den Raum ist eine Bilanzierung der zugeführten und abgeführten Feuchteströme durchzuführen. m






Es gilt:

:m mjj

zu abm∑ = =0 in kg/s

Daraus ergibt sich die relative Luftfeuchte im Raum

1,

,

, ,

n

D jjsat e

i esat i R sat i

mcc V c

ϕ ϕβ

== ⋅ +⋅ ⋅

∑

-


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