§ 22 Die trigonometrischen Funktionen und

die Hyperbelfunktionen

22.1 Sinus und Cosinus

22.3 Definition von π

22.6 Sinus und Cosinus als eindeutige Losungen eines Differentialgleichungs-systems

22.7 Tangens und Cotangens

22.8 Arcusfunktionen

22.9 Die Hyperbelfunktionen

22.10 Die Areafunktionen

22.1 Sinus und Cosinus

(i) Die Potenzreihen∞∑n=0

(−1)n x2n+1

(2n+1)! bzw.∞∑n=0

(−1)n x2n

(2n)! haben den

Konvergenzradius ∞. Die durch diese Potenzreihen dargestelltenFunktionen heißen Sinus, in Zeichen

”sin“ bzw. Cosinus, in Zei-

chen”cos“.

(ii) Nach Definition in (i) ist also:

sin(x) =∞∑n=0

(−1)n x2n+1

(2n+1)! ≡ x− x3

3! + x5

5! − x7

7! + . . .

cos(x) =∞∑n=0

(−1)n x2n

(2n)! ≡ 1− x2

2! + x4

4! − x6

6! + . . .

Es gilt: sin(0) = 0, cos(0) = 1;

sin(−x) = −sin(x), cos(−x) = cos(x).

(iii) Die auf R definierten Funktionen sind beliebig oft differenzierbarund es gilt fur n ∈ N:

a) sin′(x) = cos(x), cos′(x) = −sin(x).

b) sin(2n)(x) = (−1)nsin(x), sin(2n−1)(x) = (−1)n−1cos(x).

c) cos(2n)(x) = (−1)ncos(x), cos(2n−1)(x) = (−1)nsin(x).

C 1 [22]–1

Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen

Beweis. (i) Wir hatten im Anschluß an 21.7 gezeigt, daß gilt:

lim n

√1n! = 0.

Setzt man a2n+1 := (−1)n 1(2n+1)! und a2n := 0 fur n ∈ N0, so ist also erst recht

lim n√|an| = 0. Wegen sin(x) =

∑∞n=0 anx

n ist der Konvergenzradius der dieSinusfunktion darstellenden Potenzreihe ∞ (siehe 21.6(iii)). Entsprechend istder Konvergenzradius der die Cosinusfunktion darstellenden Potenzreihe ∞.(ii) Die Potenzreihendarstellung von sin und cos ist die Definition dieserFunktionen in (i). Die ubrigen Behauptungen folgen unmittelbar aus dieserPotenzreihendarstellung.

(iii) Die beliebig oftmalige Differenzierbarkeit von sin und cos folgt aus 21.10.Da sich die Ableitung von sin(x) bzw. cos(x) durch gliedweises Differenzierenberechnet, ergibt sich:

sin′(x) = x′ + (−x3

3! )′ + (x5

5! )′ + (−x7

7! )′ + . . .

= 1− x2

2! + x4

4! − x6

6! + . . . = cos(x),

cos′(x) = (1)′ + (−x2

2! )′ + (x4

4! )′ + (−x6

6! )′ + . . .

= −x+ x3

3! − x5

5! + x7

7! − . . . = −sin(x).

b) und c) folgen mit Induktion aus a).

22.2 Additionstheoreme von Sinus und Cosinus

(i) a) (∀a, b ∈ R) sin(a+ b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b);

b) (∀a, b ∈ R) cos(a+ b) = cos(a)cos(b)− sin(a)sin(b).

(ii) Fur jedes a ∈ R gilt:

a) sin(2a) = 2sin(a)cos(a);

b) cos(2a) = cos2(a)− sin2(a);

c) sin2(a) + cos2(a) = 1.

Beweis. (i) Die Additionstheoreme a) und b) lassen sich durch Reihenmul-tiplikation ahnlich wie bei der Exponentialfunktion (in 10.12) beweisen.

Der folgende Beweis von a) und b) benutzt Ergebnisse der Differentialrechnungund 22.1. Setze hierzu fur a, b ∈ R:

f(x) := sin(a+ b− x)cos(x) + cos(a+ b− x)sin(x),

g(x) := cos(a+ b− x)cos(x)− sin(a+ b− x)sin(x).

Dann gilt (benutze 22.1(iii), 18.2 und 18.6)

f ′(x) = −cos(a + b − x)cos(x) − sin(a + b − x)sin(x) + sin(a + b − x)sin(x)+ cos(a+ b− x)cos(x) = 0

g′(x) = sin(a + b − x)cos(x) − cos(a + b − x)sin(x) + cos(a + b − x)sin(x)− sin(a+ b− x)cos(x) = 0.

[22]–2 C 1

Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen

Nach 19.4(i) gilt daher f(0) = f(b) und g(0) = g(b). Wegen sin(0) = 0 undcos(0) = 1 folgen daher a) und b).

(ii) a), b) Setze in (i) a) bzw. (i) b) die Zahl b := a.

(ii) c) Setze in (i) b) fur b := −a und benutze cos(0) = 1, cos(−a) = cos(a)sowie sin(−a) = −sin(a) (siehe 22.1(ii)).

Aus 22.2(ii) c) folgt naturlich insbesondere |sin(x)| ≤ 1.

Die im Beispiel 7.2 angegebene mogliche Definition von π ist nicht gut hand-habbar. Wir verwenden daher die auf Landau zuruckgehende Einfuhrung derZahl π.

22.3 Definition der Kreiszahl π

Es existiert genau eine reelle Zahl π ∈ R+, genannt die Kreiszahl π mit

cos(π/2) = 0 und cos(t) > 0 fur t ∈ [0, π/2[,

d.h. π/2 ist die kleinste positive Nullstelle von cos : R → R. Es ist2 < π < 4.

Beweis. Es reicht z.z.

(1) cos|[0, 2] ist streng monoton fallend.

(2) cos(1) > 0, cos(2) < 0.

Denn wegen cos(0) = 1 und cos(2) < 0 (siehe (2)) gibt es dann nach demZwischenwertsatz (siehe 15.2) ein c ∈ ]0, 2[ mit cos(c) = 0. Mit (1) folgt daher,daß c die einzige Nullstelle von cos im Intervall [0, 2] ist. Wegen cos(1) > 0 und(1) gilt daher

π/2 ∈ ]1, 2[, d.h. 2 < π < 4.

Zum Nachweis von (1) und (2) soll das Leibnizsche Konvergenzkriterium furalternierende Reihen (siehe 9.14) angewandt werden. Sei t ∈ ]0, 2] und setze

an := (−1)n t2n

(2n)! , n ∈ N, dann ist:

cos(t)− 1 =∑∞

n=1 an mit |an| → 0 (benutze 9.7).

Wegen |an+1an| = t2n+2

(2n+2)!(2n)!t2n

= t2

(2n+1)(2n+2) ≤ 43·4 < 1 ist |an| monoton fallend.

Also gibt es nach 9.14 ein θ ∈ [0, 1] mit

cos(t)− 1 + t2

2! =∑∞

n=2 an = θ · a2 = θ t4

4! .

Daher ist fur jedes t ∈ ]0, 2]

(3) 1− t2

2 ≤ cos(t) ≤ 1− t2

2 + t4

24 .

Somit gilt cos(1) ≥ 1/2 > 0 und cos(2) ≤ 1− 42 + 16

24 < 0, also (2).

C 1 [22]–3

Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen

Zu (1): Da cos′ = −sin ist, reicht es zu zeigen (siehe 19.4(v))

(4) sin(t) > 0 fur t ∈ ]0, 2[.

Der Nachweis wird wieder mit 9.14 gefuhrt. Sei t ∈ ]0, 2[ und setze an :=

(−1)n t2n+1

(2n+1)! fur n ∈ N. Dann ist sin(t) − t =∑∞

n=1 an mit |an| → 0. Wegen

|an+1an| = t2

(2n+2)(2n+3) ≤ 44·5 < 1 ist |an| monoton fallend. Also gibt es nach 9.14

ein θ ∈ [0, 1] mitsin(t)− t =

∑∞n=1 an = θa1 = −θ t33! .

Daher ist fur jedes t ∈ ]0, 2[

(5) t− t3

6 ≤ sin(t) ≤ t.

Also ist fur t ∈ ]0, 2[

(6) sin(t) ≥ t(1− t2/6) > t(1− 4/6) > 0, d.h. es gilt (4).

22.4 2π-Periodizitat von Sinus und Cosinus sowie Beziehun-gen zwischen beiden Funktionen

(i) sin|[−π/2, π/2] ist streng monoton wachsend mit

sin([−π/2, π/2]) = [−1, 1].

Insbesondere ist sin(−π/2) = −1, sin(0) = 0, sin(π/2) = 1.

(ii) cos|[0, π] ist streng monoton fallend mit

cos([0, π]) = [−1, 1].

Insbesondere ist cos(0) = 1, cos(π2 ) = 0, cos(π) = −1.

(iii) sin(x) = cos(x− π/2) = −sin(x+ π).

cos(x) = sin(x+ π/2) = −cos(x+ π).

sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√

2.

(iv) sin(x) und cos(x) sind 2π-periodisch, d.h.:

sin(x+ 2π) = sin(x), cos(x+ 2π) = cos(x).

(v) Fur die Nullstellen von Sinus bzw. Cosinus gilt:

sin(t) = 0⇐⇒ t = kπ fur ein k ∈ Z.cos(t) = 0⇐⇒ t = π/2 + kπ fur ein k ∈ Z.

Beweis. (i) Wegen cos(−x) = cos(x) ist nach 22.3:

sin′(t) = cos(t) > 0 fur t ∈ ]− π2 ,

π2 [.

Daher ist sin|[−π/2, π/2] → R streng monoton wachsend (siehe 19.4(iv)).Insbesondere ist also sin(π/2) > sin(0) = 0. Nun gilt aber

sin2(π/2) =22.2(ii)

1− cos2(π/2) =22.3

1, also sin(π/2) = 1.

[22]–4 C 1

Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen

Folglich ist sin(−π/2) = −1 (benutze 22.1(ii)). Da—wie schon gezeigt—sin|[−π2 , π2 ] stetig und monoton wachsend ist, folgt nach dem Zwischenwert-satz (siehe 15.2), daß sin([−π/2, π/2]) = [−1, 1] ist.

(ii) Fur jedes t ∈ ]0, π/2[ gilt:

cos′(2t) =22.1(iii)

−2sin(2t) = −4sin(t)cos(t) <(i),22.3

0.

Daher ist cos(2x)|[0, π/2] streng monoton fallend (siehe 19.4(v)), d.h.cos(x)|[0, π] ist streng monoton fallend. Wegen cos(0) = 1 und cos(π) = cos(2π2 )

=22.2(ii)

cos2(π/2)−sin2(π/2) =22.3

0−(1)2 = −1 folgt daher wieder nach dem Zwi-

schenwertsatz cos([0, π]) = [−1, 1].

(iii) Fur t ∈ R gilt:

(1) cos(t− π/2) =22.2(i)

cos(t)cos(−π/2)− sin(t)sin(−π/2) =(i),(ii)

sin(t);

(2)

sin(t+ π) = sin((t+ π/2) + π/2) =(1)

cos(t+ π/2)

=22.2(i)

cos(t)cos(π/2)− sin(t)sin(π/2) =(i),(ii)

−sin(t);

(3) sin(t+ π/2) =(1)

cos((t+ π/2)− π/2) = cos(t);

(4)

cos(t+ π) =22.1(ii)

cos((−t− π/2)− π/2) =(1)

sin(−(t+ π/2))

=22.1(ii)

−sin(t+ π/2);

sin(π/4) =(1)cos(−π/4) =

22.1(ii)cos(π/4). Somit ist 2cos2(π/4) = 1 (benutze

22.2(ii)c)). Also ist cos(π/4) = 1/√

2 (benutze 22.3).

(iv) Sei t ∈ R, dann gilt:

sin(t+ 2π) = sin((t+ π) + π) =(iii)−sin(t+ π) =

(iii)sin(t);

cos(t+ 2π) = cos((t+ π) + π) =(iii)−cos(t+ π) =

(iii)cos(t).

(v) Wegen sin(0) = 0 (siehe (i)) und sin(t+π) =(iii)−sin(t) folgt sofort sin(kπ)

= 0 fur k ∈ Z. Sei umgekehrt sin(t) = 0. Dann gibt es ein k ∈ Z mit t + kπ ∈[−π/2, π/2]. Dann gilt aber sin(t + kπ) = 0 nach (iii). Also gilt t + kπ = 0nach (i), d.h. t = −kπ mit −k ∈ Z.Die Aussage uber die Nullstellen der Cosinusfunktion folgt nun aus

cos(t) = 0⇐⇒(iii)

sin(t + π/2) = 0 ⇐⇒ t + π/2 = k′π fur ein k′ ∈ Z

⇐⇒ t = π/2− π + k′π fur ein k′ ∈ Z⇐⇒ t = π/2 + kπ fur ein k ∈ Z.

C 1 [22]–5

Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen

Der Graph von cos(t) muß nun wegen 22.4(ii), cos(−x) =22.1(ii)

cos(x) und

cos(x + π) =22.4(iii)

−cos(x) sowie der fur t ∈ [0, 2] gultigen Beziehung (siehe (3)

des Beweises von 22.3):

1− t2/2 ≤ cos(t) ≤ 1− t2/2 + t4/24

ungefahr folgendermaßen aussehen:

1

1− x2

2 + x4

24 cos(x)π2

−π2 −1 1 2 π 32π

−1 1− x2

2

22.5 Beschreibung der Einheitskreislinie mit Hilfe von Cosi-nus und Sinus

Sei S1 := {(a1, a2) ∈ R2 : a21 + a2

2 = 1} die Einheitskreislinie im R2.

Dann gibt es zu jedem (a1, a2) ∈ S1 genau ein t ∈ [0, 2π[ mit

(cos(t), sin(t)) = (a1, a2).

Daher liefert (cos(t), sin(t)) eine bijektive Abbildung von [0, 2π[ auf S1.

Beweis. Zunachst gilt fur jedes t(∈ [0, 2π[), daß (cos(t), sin(t)) ∈ S1 (siehe22.2(ii) c)). Sei nun (a1, a2) ∈ S1. Wir beweisen als erstes die Existenz einest ∈ [0, 2π[ mit cos(t) = a1, sin(t) = a2.

Wegen a1 ∈ [−1, 1] gibt es nach 22.4(ii) ein t0 ∈ [0, π] mit cos(t0) = a1. Dannist

sin2(t0) =22.2(ii)

1− cos2(t0) = 1− a21 = a2

2,

also sin(t0) = ±a2. Ist sin(t0) = a2, so ist der Beweis beendet. Ist sin(t0) 6= a2,so ist a2 6= 0 und daher t0 6= 0, d.h. 0 < t0 ≤ π. Also gilt t := 2π − t0 ∈ [0, 2π[und

cos(t) = cos(2π − t0) =22.4(iv)

cos(−t0) =22.1(ii)

cos(t0) = a1,

sin(t) = sin(2π − t0) =22.4(iv)

sin(−t0) =22.1(ii)

−sin(t0) = a2.

Es bleibt die Eindeutigkeit von t ∈ [0, 2π[ mit cos(t) = a1, sin(t) = a2 zuzeigen.

[22]–6 C 1

Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen

Seien hierzu t, t′ ∈ [0, 2π[ mit

cos(t) = cos(t′), sin(t) = sin(t′)

und o.B.d.A. t ≤ t′. Zu zeigen ist t = t′. Zunachst sind

cos(t′ − t) =22.2(i)

cos(t′)cos(t) + sin(t′)sin(t) = cos2(t) + sin2(t) = 1,

sin(t′ − t) = sin(t′)cos(t)− cos(t′)sin(t) = 0 mit 0 ≤ t′ − t < 2π.

sin(t′−t) = 0 liefert daher t′−t ∈ {0, π} (benutze 22.4(v)). Wegen cos(t′−t) = 1muß t′ − t 6= π, also wegen t′ − t ∈ {0, π}, gleich 0 sein.

Qa2

1 t

sin(t)

0 cos(t) a1

P

Geometrische Deutung des Sinus und Cosinus in der Zahlenebene:

Nach 22.5 durchlauft (cos(t), sin(t)) fur t ∈ [0, 2π[ genau einmal die Einheits-kreislinie der Ebene. Dabei laßt sich dann fur einen Punkt Q = (cos(t), sin(t))die Zahl t als die Lange des Kreisbogens PQ, das sogenannte Bogenmaß desWinkels ^Q0P interpretieren. Diese Interpretation ist schon deshalb nochnicht gedeckt, weil wir den Begriff der Lange eines Bogens noch nicht defi-niert haben. Diese Lucke werden wir im nachsten Semester schließen. In derSchule definiert man Sinus und Cosinus in dieser Form am Einheitskreis mitHilfe der intuitiv gewonnenen Vorstellung der Bogenlange und zeigt dann, daßsin(0) = 0, cos(0) = 1 sowie sin′ = cos und cos′ = −sin gelten. Da auch un-sere mit Hilfe der Potenzreihen definierten Funktionen Sinus und Cosinus denBedingungen sin(0) = 0, cos(0) = 1 sowie sin′ = cos und cos′ = −sin genugen,zeigt der folgende Satz schon, daß die in der Schule definierten Sinus- und Co-sinusfunktionen mit den hier mittels Potenzreihen definierten Sinus- und Cosi-nusfunktionen ubereinstimmen mussen.

C 1 [22]–7

Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen

Wegen der Deutung am Einheitskreis heißen Sinus und Cosinus (sowie die in22.7 eingefuhrten Funktionen Tangens und Cotangens) Kreisfunktionen oderauch Winkelfunktionen. Wegen ihrer Anwendung in der Trigonometrie (= Drei-ecksmessung) auch trigonometrische Funktionen.

22.6 Sinus und Cosinus als eindeutige Losungen eines Diffe-rentialgleichungssystems

Seien s, c : R → R differenzierbare Funktionen mit(s′c′)

=( c−s)

und(s(0)c(0)

)=(0

1

), so ist s = sin und c = cos.

Beweis. Es ist

f := (c− cos)2 + (s− sin)2 differenzierbar mitf ′ = 2(c− cos)(c′ + sin) + 2(s− sin)(s′ − cos)

= 2(c− cos)(−s+ sin) + 2(s− sin)(c− cos) = 0,f(0) = (c(0)− cos(0))2 + (s(0)− sin(0))2 = 0.

Nach 21.12(ii) ist daher f = 0, d.h. c = cos und s = sin.

22.7 Tangens und Cotangens

Die Funktion tan =sin

cosbzw. cot =

cos

sinheißen Tangens bzw. Cotangens.

(i) Der Tangens ist auf R \ {π/2 + kπ : k ∈ Z}, der Cotangens aufR \ {kπ : k ∈ Z} definiert.

(ii) Tangens und Cotangens sind differenzierbar. Fur die Ableitungengilt:

tan′ = 1/cos2 = 1 + tan2,

cot′ = −1/sin2 = −(1 + cot2).

(iii) a) tan(−x) = −tan(x), tan(x+ π) = tan(x);

b) cot(−x) = −cot(x), cot(x+ π) = cot(x);

c) tan(π/2− x) = cot(x), cot(π/2− x) = tan(x).

(iv) a) tan(0) = 0, tan(π/4) = 1, tan(−π/4) = −1;

b) cot(π/2) = 0, cot(π/4) = 1, cot(−π/4) = −1.

(v) a) limt↑π/2 tan(t) = limt↓0 cot(t) =∞;

b) limt↓−π/2 tan(t) = limt↑π cot(t) = −∞.(vi) Fur jedes k ∈ Z gilt

a) tan|]− π/2 + kπ, π/2 + kπ[ ist streng monoton wachsend;

b) cot|]kπ, kπ + π[ ist streng monoton fallend.

[22]–8 C 1

Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen

Beweis. (i) Der Tangens (Cotangens) ist fur t ∈ R definiert mit cos(t) 6= 0(sin(t) 6= 0), d.h. nach 22.4(v) fur alle t 6∈ {π/2+kπ : k ∈ Z} (t 6∈ {kπ : k ∈ Z}).(ii) Der Tangens (Cotangens) ist dort, wo er definiert ist, differenzierbar mit(benutze jeweils 18.2(v) und 22.1(iii)):

tan′ = cos2−sin(−sin)cos2

= cos2+sin2

cos2=

22.2(ii)

1cos2

( oder = 1 + tan2),

(cot′ = (−sin)sin−cos·cossin2 = −sin2−cos2

sin2 =22.2(ii)

−1sin2 ( oder = −(1 + cot2)).

(iii) a) Wegen cos(t + π) 6= 0 ⇐⇒22.4(v)

cos(t) 6= 0 ⇐⇒ cos(−t) 6= 0 sind die

Definitionsbereiche von tan(x + π), tan(−x) gleich dem Definitionsbereich vontan(x) und es gilt fur t 6= π/2 + kπ

tan(−t) = sin(−t)cos(−t) = −sin(t)

cos(t) = −tan(t);

tan(t+ π) = sin(t+π)cos(t+π) =

22.4(iii)

−sin(t)−cos(t) = tan(t).

b) Wegen sin(t+ π) 6= 0 ⇐⇒22.4(v)

sin(t) 6= 0⇐⇒ sin(−t) 6= 0 sind die Definitions-

bereiche von cot(x + π), cot(−x) gleich dem Definitionsbereich von cot(x) undes gilt fur t 6= kπ

cot(−t) = cos(−t)sin(−t) = cos(t)

−sin(t) = −cot(t);cot(t+ π) = cos(t+π)

sin(t+π) =22.4(iii)

−cos(t)−sin(t) = cot(t).

c) tan(π/2− x) = sin(π/2−x)cos(π/2−x) =

22.4(iii)

cos(−x)cos(π/2−x) = cos(x)

cos(x−π/2)

=22.4(iii)

cos(x)sin(x) = cot(x);

cot(π/2− x) = cos(π/2−x)sin(π/2−x) = sin(x)

cos(x) = tan(x).

(iv) tan(0) = sin(0)cos(0) = 0, tan(π/4) = sin(π/4)

cos(π/4) =22.4(iii)

1,

tan(−π/4) =(iii)a)

−tan(π/4) = −1.

(v) a) Es ist cos(t) > 0 fur t ∈ [0, π/2[ und cos(π/2) = 0. Wegen limt↑π/2 sin(t)

= 1 folgt daher limt↑π/2 tan(t) =∞.Es ist sin(t) > 0 fur t ∈ ]0, π/2] und sin(0) = 0. Wegen limt↓0 cos(t) = 1 folgtdaher limt↓0 cot(t) =∞.b) Es ist

−∞ =(v)a)

limt↑π/2(−tan(t)) =(iii)a)

limt↑π/2(tan(−t)) = limu↓−π/2(tan(u)).

C 1 [22]–9

Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen

Es ist −∞ =(v)a)

limt↓0(−cot(t)) =(iii)b)

limt↓0(cot(−t))= limu↑0(cot(u)) =

(iii)b)limu↑0(cot(u+ π))

= limt↑π(cot(t)).

(vi) Nach (i) und (ii) ist tan auf ]− π/2 + kπ, π/2 + kπ[ (cot auf ]kπ, kπ+ π[)differenzierbar mit positiver (negativer) Ableitung. Die Behauptung folgt daheraus 19.4(iv) (bzw. (v)).

Als Graphen des Tangens bzw. Cotangens erhalten wir:

tan tan tan

1

−32π −π −π2 π

4π2 π 3

2π

−1

cot cot cot

1

−2π −32π −π −π2 π

4π2 π

−1

[22]–10 C 1

Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen

22.8 Arcusfunktionen

Die Arcusfunktionen arcsin, arccos, arctan und arccot werden als”lokale

Umkehrfunktionen“ der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan undcot eingefuhrt.

(i) a) arcsin := (sin|[−π/2, π/2])−1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2] heißtArcussinus. Der Arcussinus ist stetig und in jedem Punkt t von]− 1, 1[ differenzierbar mit Ableitung

arcsin′(t) = 1/√

1− t2 fur t ∈ ]− 1, 1[.

b) arcsin(t) = t + 12 · t

3

3 + 1·32·4

t5

5 + 1·3·52·4·6 · t

7

7 + . . . fur t ∈ [−1, 1].Insbesondere ist wegen arcsin(1) = π

2

π2 = 1 + 1

2 · 13 + 1·3

2·415 + 1·3·5

2·4·617 + . . .

(ii) a) arccos := (cos|[0, π])−1 : [−1, 1] → [0, π] heißt Arcuscosinus.Der Arcuscosinus ist stetig und in jedem Punkt von ] − 1, 1[differenzierbar mit Ableitung

arccos′(t) = − 1√1−t2 fur t ∈ ]− 1, 1[.

b) arcsin(x) + arccos(x) = π/2.

(iii) a) arctan := (tan|] − π/2, π/2[)−1 : R →] − π/2, π/2[ heißt Ar-custangens. Der Arcustangens ist differenzierbar mit Ableitung

arctan′(t) = 11+t2

fur t ∈ R.

b) arctan(t) = t − t3

3 + t5

5 − t7

7 + . . . fur t ∈ [−1, 1]. Insbesondereist wegen arctan(1) = π

4 :π4 = 1− 1/3 + 1/5− 1/7 + 1/9− . . . .

(iv) a) arccot := (cot|]0, π[)−1 : R →]0, π[ heißt Arcuscotangens. DerArcuscotangens ist differenzierbar mit Ableitung

arccot′(t) = − 11+t2

fur t ∈ R.b) arctan(x) + arccot(x) = π/2.

Beweis. (i) a) Nach 22.4(i) bildet sin das Intervall [−π/2, π/2] streng mo-noton auf [−1, 1] ab. Daher existiert die Umkehrfunktion arcsin als Abbil-dung von [−1, 1] auf [−π/2, π/2]. Es ist sin|[−π/2, π/2] stetig und in allenPunkten von ] − π/2, π/2[ differenzierbar. Nach dem Satz uber die Umkehr-funktionen stetiger Funktionen (siehe 15.6(ii)) ist daher arcsin stetig. Nachdem Satz uber Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion (siehe 18.10) ist da-her arcsin uber sin(] − π/2, π/2[) = ] − 1, 1[ differenzierbar mit Ableitung inu0 = sin(t0) ∈ ]− 1, 1[

arcsin′(u0) = 1cos(t0) = 1√

1−sin2(t0)= 1√

1−u20

;

hierbei ist cos(t) > 0 fur t ∈ ]− π/2, π/2[ benutzt worden.

C 1 [22]–11

Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen

b) Wir wenden die Binomialreihe (siehe 21.14(i)) mit b = −1/2 und −t2 anStelle von t an. Wir erhalten dann fur t ∈ ]− 1, 1[:

arcsin′(t) =a)

1√1−t2 = (1− t2)−1/2 =

21.14(i)

∞∑k=0

(−1/2k

)(−1)kt2k

≡Aufgabe 9(i)

1 + 12t

2 + 1·32·4t

4 + 1·3·52·4·6t

6 + . . . .

Der Konvergenzradius der rechts stehenden Potenzreihe muß (da die Reihe furt ∈ ] − 1, 1[ konvergiert) mindestens 1 sein, daher muß nach 21.9 auch derKonvergenzradius von

(1) t+ 12t3

3 + 1·32·4

t5

5 + 1·3·52·4·6

t7

7 + . . .

mindestens 1 sein. Bezeichnet man die durch (1) dargestellte Funktion mit g,so gilt fur t ∈ ]− 1, 1[:

g′(t) =21.10(i)

1 + 12t

2 + 1·32·4t

4 + 1·3·52·4·6t

6 + . . . = arcsin′(t).

Wegen g(0) = 0 = arcsin(0) folgt daher

(2) g(t) = arcsin(t) fur t ∈ ]− 1, 1[

(benutze 21.12(ii)). Also haben wir die gesuchte Potenzreihenentwicklung vonarcsin(t) uber ] − 1, 1[ gefunden. Wegen arcsin(−1) = −arcsin(1) reicht es,die Darstellung noch fur t = 1 zu beweisen.

Wir zeigen spater:

(3) Die Reihe in (1) ist noch fur t = 1 konvergent.

Dann folgt die Darstellung von arcsin(1) mit Hilfe der Stetigkeit der Arcussi-nus-Funktion und der Stetigkeit (auch in den Randpunkten des Konvergenzin-tervalls, siehe 21.8) der durch Potenzreihen definierten Funktion aus:

arcsin(1) = limt↑1 arcsin(t) =(2)

limt↑1 g(t) =21.8

g(1).

Zu (3): Es bezeichne sn(t) die n-te Partialsumme der Reihe in (1). Dann giltfur 0 < t < 1

sn(t) ≤(2)arcsin(t) ≤ arcsin(1).

Also folgt wegen der Stetigkeit von sn in 1 auch

sn(1) ≤ arcsin(1).

Nach dem Monotoniekriterium (siehe 9.5) ist daher die Reihe in (1) auch nochfur t = 1 konvergent.

(ii) Nach 22.4(ii) bildet cos das Intervall [0, π] streng monoton auf [−1, 1] ab.Daher existiert die Umkehrfunktion arccos als Abbildung von [−1, 1] auf [0, π].Es reicht nun, (ii)b) zu beweisen, da (ii)a) dann aus (i)a) folgt.

(ii) b) Sei t ∈ [−1, 1] und setze u := arccos(t)(∈ [0, π]). Dann gilt:

t = cos(u) = cos(−u) =22.4(iii)

sin(−u+ π/2).

Wegen −u+ π/2 ∈ [−π/2, π/2] folgt nach Definition des Arcussinus

arcsin(t) = −u+ π/2 = −arccos(t) + π/2.

[22]–12 C 1

Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen

(iii) a) Nach 22.7(vi) a) ist tan|]− π2 ,

π2 [ eine streng monoton wachsende Abbil-

dung mit limt↓−π/2 tan(t) = −∞ und limt↑π/2 tan(t) = ∞ nach 22.7(v). Nach

dem Zwischenwertsatz (siehe 15.2) bildet daher tan ] − π/2, π/2[ bijektiv aufR ab. Also existiert arctan und ist eine Abbildung von R auf ] − π/2, π/2[.Sie ist differenzierbar (benutze 18.10 und hierzu 22.7(ii)) mit Ableitung inu0 = tan(t0) ∈ R

arctan′(u0) =18.10

1tan′(t0) =

22.7(ii)

11+tan2(t0)

= 11+u2

0.

Der Beweis von (iii)b) verlauft analog zu (i)b):

Wir wenden die Binomialreihe (siehe 21.14(i)) mit b = −1 und t2 an Stelle vont an. Wir erhalten dann fur t ∈ ]− 1, 1[ :

arctan′(t) =a)

11+t2

=21.14(i)

∞∑k=0

(−1k

)t2k

≡ 1− t2 + t4 − t6 + . . . .

Der Konvergenzradius der rechts stehenden Potenzreihe muß mindestens 1 sein,daher muß nach 21.9 auch der Konvergenzradius von

(4) t− t3

3 + t5

5 − t7

7 + . . .

mindestens 1 sein. Bezeichnet man die durch (4) dargestellte Funktion mit g,so gilt fur t ∈ ]− 1, 1[:

g′(t) = 1− t2 + t4 − t6 + . . . = arctan′(t).

Wegen g(0) = 0 = arctan(0) folgt daher

(5) g(t) = arctan(t) fur t ∈ ]− 1, 1[

(benutze 21.12(ii)). Also haben wir die gesuchte Potenzreihenentwicklung vonarctan(t) uber ]− 1, 1[ gefunden.

Es reicht zu zeigen (siehe (i)b):

(6) die Reihe in (4) ist noch in −1 und 1 konvergent.

Dies folgt aus dem Leibnizschen Kriterium 9.14.

(iv) a) Wie in (iii)a) zeigt man, daß cot eine bijektive Abbildung von ]0, π[ aufR ist. Also existiert arccot und ist eine Abbildung von R auf ]0, π[. Es reichtnun, (iv)b) zu beweisen, da (iv)a) dann aus (iii)a) folgt.

(iv) b) Sei t ∈ R und setze u := arctan(t) (∈]− π/2, π/2[). Dann gilt:

t = tan(u) =22.7(iii)c)

cot(π/2− u).

Wegen π/2− u ∈ ]0, π[ folgt nach Definition des Arcuscotangens

arccot(t) = π/2− u = π/2− arctan(t).

C 1 [22]–13

Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen

Der Name Arcus (= Bogen) erklart sich aus der geometrischen Deutung desSinus und Cosinus. Ist (sin(t), cos(t)) ein Punkt des Kreises mit t ∈ [0, 2π[, sogilt:

Die Lange des Bogens ist t mit t = arccos(u), d.h. t ist der Bogen dessen cosgleich u ist.

Q

t

cos(t) = u 0 1

P

π2

arctanπ4

−1 1

−π2

[22]–14 C 1

Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen

π

arccos

π2

−1 1

arcsin

−π2

22.9 Die Hyperbelfunktionen

(i) Die Funktionen

sinh(x) := 12(exp(x)− exp(−x)) =

∑∞k=0

x2k+1

(2k+1)! ;

cosh(x) := 12(exp(x) + exp(−x)) =

∑∞k=0

x2k

(2k)!

heißen hyperbolischer Sinus bzw. hyperbolischer Cosinus . Es ist

sinh(0) = 0, sinh(−x) = −sinh(x)

cosh(0) = 1, cosh(x) = cosh(−x).

(ii) Die auf R definierten Funktionen sinh, cosh sind beliebig oft diffe-renzierbar. Es gilt:

sinh′ = cosh, cosh′ = sinh.

(iii) (∀a, b ∈ R) sinh(a+ b) = sinh(a)cosh(b) + cosh(a)sinh(b);

(∀a, b ∈ R) cosh(a+ b) = cosh(a)cosh(b) + sinh(a)sinh(b);

(∀a ∈ R) cosh2(a)− sinh2(a) = 1;

sinh bildet R streng monoton wachsend auf R ab;

cosh|[0,∞[ bildet [0,∞[ streng monoton wachsend auf [1,∞[ ab.

C 1 [22]–15

Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen

(iv) Die Funktionen

tanh := sinhcosh : R→ R, coth := cosh

sinh : R \ {0} → Rheißen hyperbolischer Tangens bzw. hyperbolischer Cotangens .

tanh bildet R streng monoton wachsend auf ]− 1, 1[ ab;

coth|R+ bildet R+ streng monoton fallend auf ]1,∞[ ab. Es ist

tanh(x) = ex−e−xex+e−x , coth(x) = ex+e−x

ex−e−x .

(v) tanh und coth sind beliebig oft differenzierbar mit

tanh′ = 1cosh2 = 1− tanh2, coth′ = − 1

sinh2 = 1− coth2.

Beweis. (i) 12(exp(x)− exp(−x)) = 1

2

∑∞k=0(x

k

k! −(−x)k

k! ) =∑∞

k=0x2k+1

(2k+1)! ,

12(exp(x) + exp(−x)) = 1

2

∑∞k=0(x

k

k! + (−x)k

k! ) =∑∞

k=0x2k

(2k)! .

(ii) Die Exponentialfunktion ist beliebig oft differenzierbar und somit auchder hyperbolische Sinus und der hyperbolische Cosinus. Es gilt:

sinh′(x) = 12(exp(x)− (−exp(−x))) = cosh(x),

cosh′(x) = 12(exp(x)− exp(−x)) = sinh(x).

(iii) 4(sinh(a)cosh(b) + cosh(a)sinh(b))= (exp(a)−exp(−a))(exp(b)+exp(−b))+(exp(a)+exp(−a))(exp(b)−exp(−b))= exp(a)exp(b) + exp(a)exp(−b)− exp(−a)exp(b)− exp(−a)exp(−b)

+ exp(a)exp(b)− exp(a)exp(−b) + exp(−a)exp(b)− exp(−a)exp(−b)= 2(exp(a)exp(b)− exp(−a)exp(−b))= 2(exp(a+ b)− exp(−(a+ b)))= 4sinh(a+ b),

4(cosh(a)cosh(h) + sinh(a)sinh(b))= (exp(a)+exp(−a))(exp(b)+exp(−b))+(exp(a)−exp(−a))(exp(b)−exp(−b))= exp(a)exp(b) + exp(a)exp(−b) + exp(−a)exp(b) + exp(−a)exp(−b)

+ exp(a)exp(b)− exp(a)exp(−b)− exp(−a)exp(b) + exp(−a)exp(−b)= 2(exp(a)exp(b) + exp(−a)exp(−b))= 2(exp(a+ b) + exp(−(a+ b)))= 4cosh(a+ b).

Setzt man in der Formel fur cosh(a+ b) fur b := −a, so erhalt man

cosh(0) = cosh(a)cosh(−a) + sinh(a)sinh(−a).Wegen cosh(0) = 1, cosh(−a) = cosh(a), sinh(−a) = −sinh(a) folgt 1 =cosh2(a)− sinh2(a).

Wegen sinh′(t) =(ii)cosh(t) > 0 fur alle t ∈ R folgt, daß sinh streng monoton

wachsend ist (siehe 19.4(iv)). Wegen exp(t)→∞ fur t→∞ sowie exp(−t)→ 0fur t → ∞ und exp(t) → 0 fur t → ∞ sowie exp(−t) → ∞ fur t → −∞, folgtsinh(t) → ∞ (bzw. −∞) fur t → ∞ (bzw. t → −∞). Also folgt nach demZwischenwertsatz (siehe 15.2), daß sinh(R) = R ist.

[22]–16 C 1

Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen

Da sinh(t) > 0 fur t > 0 ist, ist cosh|[0,∞[ streng monoton wachsend (siehe19.4(iv)).

Wegen cosh(0) = 1 und cosh(t)→∞ fur t→∞ (siehe 16.4(ii)) folgt nach demZwischenwertsatz, daß cosh die Menge [0,∞[ bijektiv auf [1,∞[ abbildet.

(iv),(v) Da cosh(t) 6= 0 und sinh(t) = 0 genau fur t = 0 ist, sind tanhauf R und coth auf R \ {0} definiert. Die Darstellung des tanh bzw. cothfolgt unmittelbar aus (i). Wegen exp(t) > 0 folgt |sinh(t)| < cosh(t), also isttanh : R→]− 1, 1[.

Wegen tanh(t) → 1 (bzw. −1) fur t → ∞ (bzw. t → −∞) folgt daher nachdem Zwischenwertsatz, daß tanh(R) = ]− 1, 1[ ist, denn wegen

tanh′ = cosh2− sinh2

cosh2 = 1cosh2 (= 1− tanh2)

ist tanh streng monoton wachsend.

Wegen cosh(t) > sinh(t) > 0 fur t ∈ R+ ist coth : R+ →]1,∞[. Wegencosh(t) → ∞ (bzw. 1) fur t ↓ 0 (bzw. t → ∞) folgt daher nach dem Zwi-schenwertsatz, daß coth(R+) = ]1,∞[ ist, denn wegen

coth′ = sinh2−cosh2

sinh2 = − 1sinh2 (= 1− coth2)

ist coth streng monoton fallend.

Die beliebig oftmalige Differenzierbarkeit von tanh und coth folgt aus der be-liebig oftmaligen Differenzierbarkeit der Exponentialfunktion.

Zum Namen”Hyperbelfunktionen“

Nach 22.9(iii) liegt jeder Punkt (x, y) = (cosh(t), sinh(t)) fur t ∈ R auf dem

”rechten Ast“ (x ≥ 1) der Hyperbel x2 − y2 = 1.

y

x2 − y2 = 1

x

Umgekehrt gibt es zu jedem Punkt x20 − y2

0 = 1 zunachst genau ein t0 ∈ Rmit y0 = sinh(t0). Liegt (x0, y0) nun auf dem rechten Ast der Hyperbel

x2−y2 = 1, d.h. ist x0 ≥ 1 und x20−y2

0 = 1, so ist cosh(t0) =√

1 + sinh2(t0) =√1 + y2

0 = x0. Also ist (x0, y0) = (cosh(t0), sinh(t0)). Insgesamt liefert also die

Abbildung R 3 t→ (cosh(t), sinh(t)) ∈ R2 eine bijektive Abbildung von R aufden

”rechten Hyperbelast“.

C 1 [22]–17

Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen

22.10 Die Areafunktionen

Die Areafunktionen Arsinh, Arcosh, Artanh und Arcoth werden alsUmkehrfunktionen (teilweise als lokale) der Hyperbelfunktionen sinh,cosh, tanh und coth eingefuhrt.

(i) Arsinh := sinh−1 : R → R heißt Areasinus; diese Funktion istdifferenzierbar und es gilt:

Arsinh′(t) = 1√1+t2

fur t ∈ R.

(ii) Arcosh := (cosh|[0,∞[)−1 : [1,∞[→ [0,∞[ heißt Areacosinus; dieseFunktion ist stetig und in jedem Punkt t von ]1,∞[ differenzierbarmit

Arcosh′(t) = 1√t2−1

fur t ∈ ]1,∞[.

(iii) Artanh := tanh−1 :]− 1, 1[→ R heißt Areatangens; diese Funktionist differenzierbar und es gilt:

Artanh′(t) = 11−t2 fur t ∈ ]− 1, 1[.

(iv) Arcoth := (coth|R+)−1 :]1,∞[→ R+ heißt Areacotangens; dieseFunktion ist differenzierbar und es gilt:

Arcoth′(t) = 11−t2 fur t ∈ ]1,∞[.

(v) Arsinh(t) = ln(t+√t2 + 1) fur t ∈ R;

Arcosh(t) = ln(t+√t2 − 1) fur t ≥ 1;

Artanh(t) = 12 ln(1+t

1−t) fur t ∈ ]− 1, 1[;

Arcoth(t) = 12 ln( t+1

t−1) fur t > 1.

Beweis. (i) Nach 22.9(iii) existiert sinh−1. Wegen sinh′(t) = cosh(t) > 0existiert Arsinh′ und es ist fur u0 = sinh(t0) (siehe 18.10):

Arsinh′(u0) = 1cosh(t0) = 1√

1+sinh2(t0)= 1√

1+u20

.

(ii) Nach 22.9(iii) existiert (cosh|[0,∞))−1 als Abbildung von [1,∞[ in[0,∞[. Nach 15.6 ist daher Areacosinus stetig und nach 18.10 in jedem Punktu0 (= cosh(t0)) ∈ ]1,∞[ differenzierbar wegen cosh′(t) = sinh(t0) > 0 (beachtet0 > 0). Es ist daher

Arcosh′(u0) = 1sinh(t0) = 1√

cosh2(t0)−1= 1√

u20−1

.

(iii),(iv) Nach 22.9(iv) existieren die beiden Umkehrfunktionen tanh−1 und(coth|R+)−1. Es ist Areatangens differenzierbar nach 18.10 in jedem Punktu0 (= tanh(t0)) ∈ ]− 1, 1[ mit

Artanh′(u0) = 1tanh′(t0) = 1

1−tanh2(t0)= 1

1−u20.

Es ist Areacotangens in jedem Punkt u0(= coth(t0)) ∈ ]1,∞[ differenzierbarmit

Arcoth′(u0) = 1coth′(t0) = 1

1−coth2(t0)= 1

1−u20.

[22]–18 C 1

Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen

(v) Es ist Arsinh(0) = 0 = ln(0 +√

0 + 1) und es gilt:

(ln(x+√x2 + 1))′ = 1

x+√x2+1

(1 + x√x2+1

) = 1√1+x2

= Arsinh′(x).

Also gilt Arsinh(x) = ln(x +√x2 + 1) auf R nach 21.12. Nach demselben

Muster verlauft der Beweis der nachsten beiden Gleichungen:

Arcosh(1) = 0 = ln(1 +√

1− 1); es gilt fur t > 1 :

Arcosh′(t) = 1√t2−1

= 1t+√t2−1

(1 + t√t2−1

) = ddx ln(x+

√x2 − 1)|t.

Also gilt Arcosh(t) = ln(t+√t2 − 1) fur t ∈ [1,∞[ nach 21.12.

Artanh(0) = 0 = 12 ln(1+0

1−0); es gilt fur t ∈ ]− 1, 1[:

Artanh′(t) = 11−t2 = 1

2( 11+t + 1

1−t) = ddx

12 · ln(1+x

1−x)|t.Also gilt Artanh(t) = 1

2 ln(1+t1−t) fur t ∈ ]− 1, 1[ nach 21.12.

Es gilt fur t > 1:

Arcoth′(t) = 11−t2 = 1

2( 11+t + 1

1−t) = ddx(1

2 ln(x+1x−1))|t.

Also gilt Arcoth(t) = 12 ln( t+1

t−1) + c fur t > 1 (siehe 21.12). Es ist c = 0 wegen

limt→∞Arcoth(t) =16.11(ii)

inf{Arcoth(t) : t > 1} = 0 = limt→∞ 12 ln( t+1

t−1).

Zum Namen”Areafunktion“ (Area = Flache)

← (cosh(t), sinh(t))

cosh(t) = u

Mit Hilfe der Integralrechnung laßt sich zeigen, daß die Flache des schraffiertenBereichs durch t = Arcosh(u) gegeben ist, wobei cosh(t) = u ist.

C 1 [22]–19

Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen

22.11 Beispiel

(i) Setze

f(t) :=

{0 fur t = 0,

t2sin(1/t) fur t ∈ R \ {0}.Es ist f differenzierbar. Die Ableitung ist im Nullpunkt unstetig.

(ii) Setze

fn(x) :=sin(n2x)

n, n ∈ N.

Dann ist (fn)n∈N eine Folge von differenzierbaren Funktionen, die gleich-maßig gegen die differenzierbare Funktion 0 konvergiert. Die Folge derAbleitungen (f ′n)n∈N konvergiert nicht gleichmaßig, nicht einmal punkt-weise.

Beweis. (i) Es ist fur t 6= 0:

(1) f ′(t) = 2t sin(1/t) + t2cos(1/t) · (−1/t2) = 2t sin(1/t)− cos(1/t).Ferner ist

(2) f ′(0) = limt→0t2sin(1/t)

t = 0.

Es gilt fur jedes n ∈ N nach (1) f ′(1/2nπ) = −1. Nun konvergiert 1/2nπ → 0fur n→∞, aber f ′(1/2nπ) =

(1)−1, also ist f ′ fur 0 nicht stetig wegen (2).

(ii) Es ist f ′n(x) = n cos(n2x). Also ist f ′n(0) = n, insbesondere ist (f ′n(0))n∈Nnicht konvergent.

[22]–20 C 1