Fonctions trigonométriques et équations...
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O. Emorine Fonctions et équations trigonométriques - 1 - Fonctions trigonométriques et équations trigonométriques I. La fonction cosinus A l’aide de votre calculatrice remplir le tableau suivant : x -2π - 7π 4 - 3π 2 - 5π 4 -π - 3π 4 - π 2 - π 4 0 cos(x) x π 4 π 2 3π 4 π 5π 4 3π 2 7π 4 2π cos(x) Tracer le graphique obtenu dans le repère suivant : La fonction cosinus est définie sur ℝ. La fonction cosinus prend ses valeurs dans [-1 ; 1] La fonction cosinus est périodique de période 2π. La périodicité permet d’avoir la courbe entière dès que l’on en a une partie de longueur 2π. La fonction cosinus est paire : pour tout x, cos(-x)=cos(x). Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
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O. Emorine Fonctions et équations trigonométriques
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Fonctions trigonométriques et équations trigonométriques
I. La fonction cosinus A l’aide de votre calculatrice remplir le tableau suivant :
x -2π -7π4
-3π2
-5π4
-π -3π4
-π2 -
π4 0
cos(x)
x π4
π2
3π4
π 5π4
3π2
7π4
2π
cos(x)
Tracer le graphique obtenu dans le repère suivant :
La fonction cosinus est définie sur ℝ.
La fonction cosinus prend ses valeurs dans [-1 ; 1]
La fonction cosinus est périodique de période 2ππππ.
La périodicité permet d’avoir la courbe entière dès que l’on en a une partie de longueur 2ππππ.
La fonction cosinus est paire : pour tout x, cos(-x)=cos(x).
Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
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II. La fonction sinus A l’aide de votre calculatrice remplir le tableau suivant :
x -2π -7π4
-3π2
-5π4
-π -3π4
-π2 -
π4 0
cos(x)
x π4
π2
3π4
π 5π4
3π2
7π4
2π
cos(x)
Tracer le graphique obtenu dans le repère suivant :
La fonction sinus est définie sur ℝ.
La fonction sinus prend ses valeurs dans [-1 ; 1]
La fonction sinus est périodique de période 2ππππ.
La périodicité permet d’avoir la courbe entière dès que l’on en a une partie de longueur 2ππππ.
La fonction sinus est impaire : pour tout x, sin(-x) = - sin(x)
Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.
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III. Equation trigonométrique A. Définition
Une équation trigonométrique est une équation où l’inconnue est un angle dont le sinus et/ou le cosinus apparaissent dans l’équation.
Exemple : 2sin(x)= 3 est une équation trigonométrique
B. Résolution graphique de l’équation sin x= b à l’aide du cercle trigonométrique
1-Soit le cercle trigonométrique C muni d’un repère orthonormal (O ;
→OA ;
→OB ).
a) Soit x appartenant à ] - π ; π ]. Entre quelles valeurs extrêmes est compris sin x ?
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b) En déduire un encadrement de b pour que l’équation sin x = b admette des solutions.
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c) Reporter sur l’axe des sinus le point S tel que OS = - 0,4.
d) A l’aide d’un rapporteur, en déduire les valeurs approchées au degré près des solutions x1 et x2 de l’équation sin x = - 0,4. Exprimer x1 et x2 en radians ( arrondir à 0,1 radian).
En degré En radian
x1 ………………… …………………
x2 ………………… …………………
e) Formuler la réponse
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Application : Résoudre sin x = 0,6 pour x ∈ ] - π ; π ]
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……………………………………………………………………………
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Résoudre l’équation sin x = b sur l’intervalle ] - ππππ ; ππππ ] consiste à déterminer le nombre de solutions selon la valeur de b.
Si b>1 pas de solution.
Si b=1, une solution x= ππππ2
si b=-1 un solution x= - ππππ2
Si b∈∈∈∈]-1 ; 1[ deux solutions : si l’une est a alors l’autre est ππππ-a
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B. Résolution de l’équation sin x= b à partir de la représentation de la fonction sin x sur ] -π ; π ].
Voici la courbe de la fonction sinus tracer sur [-π ; π]
1. Tracer la droite (∆) d’équation y = 0,5.
2. Combien existe-t-il de points d’intersection entre la courbe et (∆) ?
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3. En déduire la ou les solutions de l’équation sin x = 1,5.
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4. A quelle condition sur le réel b, l’équation sin x = b admettra-t-elle une ou des solutions ?
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Les solutions de l’équation sin x = b sur l’intervalle ] -ππππ ; ππππ ] sont les abscisses des points
d’intersection de la droite (∆∆∆∆) d’équation y = b et de la représentation graphique de la fonction x →→→→ sin x.
Application : résoudre l’équation sin(x)=-0,86
Exercice 6 p142, 13,14 p143 Exercice 16 p 144. Devoir maison pour le 2 mars 2006 : Exercice 15 et 19 p 144
![Séries de Fourier - Université Paris-Saclay · 2. Coefficients de Fourier de fonctions f 2L1([2ˇ;ˇ]) ou f 2L ([ˇ;ˇ]) 3 pour tout a quelconque dans R. De plus l’inégalité](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5ec6b01b0197281b667ccad1/sries-de-fourier-universit-paris-saclay-2-coeficients-de-fourier-de-fonctions.jpg)