PHQ 110 : Mecanique I -...

MCANIQUE IPHQ 110

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1 v2/c 2

David SnchalDpartement de physique

Facult des sciences

Universit de Sherbrooke

3 fvrier 2013

Table des matires

1 Introduction historique 7

2 Mouvement dun point 92.1 Mouvement en une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Mouvement en trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Drives dun vecteur : vitesse et acclration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Rfrentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Changement dorigine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.2 Changement de rfrentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.3 Transformation de la vitesse et de lacclration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Les lois du mouvement 253.1 Les lois du mouvement de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Les Principia de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2 Premire loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.3 Deuxime loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.4 Troisime loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Systmes de particules et centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Gravitation universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1 Loi de la gravitation universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.2 Champ gravitationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.3 Forces fondamentales et forces macroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Applications lmentaires des lois du mouvement 374.1 Dterminisme classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.1 quations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.2 Solution numrique des quations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2 Forces lastiques ou de cohsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.1 Loi de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.2 Force de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.3 Force dtirement ou tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.4 Pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3 Pression et principe dArchimde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.1 Variation de la pression en fonction de la hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.2 Principe dArchimde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4 Frottement et viscosit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4.1 Coecients de friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4.2 Force de viscosit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.5 Mouvement dans un champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3

Table des matires

4.6 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 nergie et Travail 615.1 Conservation de lnergie en une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Conservation de lnergie en trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2.1 Forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2.2 Forces centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Potentiel gravitationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.1 Potentiel gravitationnel dun objet sphrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.2 Force exerce sur un objet sphrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3.3 Potentiel gravitationnel la surface de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3.4 nergie potentielle gravitationnelle et centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4 nergie potentielle et stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.5 Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.5.1 Thorme travail-nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.5.2 Travail et forces non conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.5.3 Travail et chemin parcouru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.5.4 Principe de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.6 nergie de plusieurs objets en interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.6.1 Thorme travail-nergie dans le cas dun systme de particules . . . . . . . . . . . . . . 75

5.7 Conservation de lnergie et formes dnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.8 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6 Conservation de la quantit de mouvement 836.1 Collisions lastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.1.1 Collision en une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.1.2 Collision en deux dimensions : angle de diusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.1.3 Cas de masses gales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2 Thorme de Knig et collisions inlastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2.1 Premier thorme de Knig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2.2 Variation de lnergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.3 Objets masse variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.4 Invariance par translation et conservation de la quantit de mouvement . . . . . . . . . . . . . 936.5 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7 Mouvement dans un champ de force central 997.1 Moment cintique et loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.1.1 Moment dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.1.2 Conservation du moment cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.1.3 Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.2 Potentiel central et orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.3 Problme de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.3.1 Proprits des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.3.2 Correspondance avec les coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.4 Orbites elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.4.1 Troisime loi de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.4.2 nergie, moment cintique et vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.4.3 quation de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.4.4 lments dune orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.5 Le problme deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.6 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8 Moment cintique et rotation des corps 1218.1 Moment cintique et centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.1.1 Absence de couple interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.1.2 Second thorme de Knig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.1.3 Couple dans un champ gravitationnel uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.1.4 Conservation du moment cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4

Table des matires

8.2 * Invariance par rotation et conservation du moment cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.3 quilibre statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.4 vitesse angulaire de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.5 Rotation autour dun axe fixe : moment dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.5.1 Thorme de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.6 nergie cintique de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.6.1 Relation entre couple et nergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.7 Mouvement de prcession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8.7.1 Prcession des quinoxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.7.2 Prcession des spins nuclaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.7.3 Rsonance magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.8 Mouvement libre dun objet rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.8.1 Matrice dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.8.2 Axes fixes lobjet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.8.3 nergie de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.9 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9 Rfrentiels acclrs 1499.1 Forces dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.1.1 Principe dquivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509.2 Rfrentiel tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.2.1 Force centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529.2.2 Force de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.2.3 Force de Coriolis et systmes climatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.2.4 Mares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.2.5 Pendule de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

9.3 Mouvement libre dun rigide : quations dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1599.4 La toupie symtrique : angles dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9.4.1 Angles dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.4.2 Prcession uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.4.3 Nutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.4.4 Toupie dormante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1649.4.5 Diagramme nergtique et potentiel eectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

9.5 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

10 Relativit restreinte 17110.1 Principe de relativit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.1.1 Transformation de Galile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17110.2 Invariance de la vitesse de la lumire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

10.2.1 Mesures de la vitesse de la lumire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17210.2.2 Exprience de Michelson et Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

10.3 Transformation de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17510.3.1 Espace-temps et intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17710.3.2 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17910.3.3 Contraction des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18010.3.4 Dilatation du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.3.5 Transformation des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

10.4 Eet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18310.4.1 Eet Doppler non relativiste : source en mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18310.4.2 Eet Doppler non relativiste : observateur en mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18410.4.3 Eet Doppler relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18410.4.4 Eet Doppler gravitationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

10.5 Quadrivecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18610.5.1 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18710.5.2 Temps propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18710.5.3 Quadrivitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

10.6 Quantit de mouvement et nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5

Table des matires

10.6.1 Quadrivecteur impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19010.6.2 Travail et nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19010.6.3 Force et acclration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19110.6.4 Particules de masse nulle et eet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19210.6.5 Collisions relativistes et quivalence masse-nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

10.7 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

A Produit vectoriel et produit triple 199A.1 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199A.2 Produit triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

B Coordonnes curvilignes et repres locaux 205B.1 Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

B.1.1 Vitesse et acclration en coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206B.2 Coordonnes sphriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

C Notion de gradient 209

D Constantes physiques et astronomiques 211

E Lalphabet grec 213

6

1

Introduction historique

La mcanique est la science du mouvement et de ses causes. Elle est considre juste titre comme la basede lapprentissage de la physique. Dj chez les Grecs de lantiquit des philosophes avaient formul desthories sur le mouvement. La pense de la fin de lAntiquit et du Moyen ge tait domine par loeuvredAristote (384/322), qui couvre tous les domaines dtude de la nature, de la logique la zoologie. Unepart importante de loeuvre dAristote porte sur le mouvement. Mais Aristote traite du mouvement comme iltraite de la zoologie : par une observation soigne des phnomnes, avec un certain sens de la classificationet, surtout, de manire essentiellement qualitative. Il distingue trois types de mouvement : le mouvementnaturel, le mouvement violent et le mouvement volontaire.

Le mouvement naturel se produit lorsquun objet tend rejoindre sa place naturelle dans lordre des choses.Les anciens distinguaient gnralement quatre lments : la terre, leau, lair et le feu. chaque lment onassociait une sphre et les sphres des quatre lments taient imbriques les unes dans les autres danslordre ci-haut, la terre tant la plus intrieure. Au del de la sphre du feu stendaient les sphres clestes,associes aux dirents astres. Ainsi, lexplication quAristote donne la chute dune pierre est que celle-citend naturellement rejoindre la sphre de llment terre. La mme explication vaut pour llvation dans lesairs dune flamme et lcoulement de leau. Dautre part, Aristote arme quune pierre B, deux fois plus lourdequune autre pierre A, met deux fois moins de temps que A tomber si on les relche simultanment dunecertaine hauteur.

Par contre, le mouvement violent est essentiellement artificiel et temporaire. Une charette quon tire subit unmouvement violent. Ltat naturel des objets terrestres tant le repos, une force est ncessaire pour quun objetpuisse se dplacer, mme vitesse constante. On a ralis assez tt que ce type dargument explique assezmal le mouvement dune flche quun archer dcoche : quelle est donc la force qui fait avancer la flche dansson vol, alors quelle a perdu contact avec la corde de larc ? Les aristotliciens soutiennent que lair fendu parla flche eectue un retour par derrire et pousse constamment la flche vers lavant, jusqu ce quelle sarrteet tombe par mouvement naturel. Certains penseurs mdivaux ont fortement critiqu cette explication, enajoutant que la flche recevait une certaine qualit appele impetus (lan, en franais) lors de son lancement etquelle puisait progressivement cet impetus. La notion dimpetus est proche de notre notion de quantit demouvement, mais il lui manque une dfinition prcise, quantitative.

Quant au mouvement volontaire, il est le fruit de la volont des tres anims : un animal qui se dplace,essentiellement. On voit quel point la classification aristotlicienne du mouvement est superficielle et peufconde en explications vritables.

Enfin, soulignons que les anciens, suivant Aristote, traaient une dmarcation claire entre la physique terrestreet la physique cleste : le mouvement naturel des astres tait circulaire et uniforme, mme si plusieurscercles taient ncessaires pour dcrire le mouvement dun astre donn. Les objets clestes taient rputsincorruptibles et ternels, alors que les objets terrestres (plus prcisment, ceux du monde dit sublunaire)taient susceptibles de corruption, de changements.

Rsumons ainsi les principales caractristiques de la physique aristotlicienne : La mouvement est dcrit de manire entirement qualitative, sans faire usage des mathmatiques. Ainsi, le

mouvement est rgi par des principes vagues et non par des lois physique prcises.

7

Chapitre 1. Introduction historique

Le monde sublunaire et le monde cleste sont de natures trs direntes. On distingue le mouvement naturel du mouvement violent. Ce dernier ncssite lexercice dune force, sinon

lobjet retourne sa sphre dinfluence et y demeure ensuite au repos.

Galile a t le premier contester avec succs la physique dAristote, notamment laide dexpriences etdobservations, mais aussi en proposant que le livre de la nature est crit en langage mathmatique etdonc que les principes du mouvement devraient tre noncs mathmatiquement. Galile a le premier dcritcorrectement le mouvement uniformment acclr et la composition du mouvement, en particulier dunmouvement parabolique. Cependant, Galile ne sest pas aranchi de lide que le mouvement des astrestait naturellement circulaire, cest--dire quil na pas ressenti le besoin dune force centripte pour quuneplante tourne autour du Soleil. En fait, il considrait le mouvement linaire comme la limite dun mouvementcirculaire de rayon infini.

Le XVIIe sicle a vu lclosion de la science moderne, dont la mcanique, lastronomie et le calcul infinitsimalformaient lavant-garde. Descartes, malgr ses nombreuses erreurs dans le domaine de la physique, stimulerabeaucoup la rflexion autour du mouvement. Huygens aprs lui noncera correctement les lois des chocs(collisions). Il faudra cependant attendre Isaac Newton (1643/1727) pour quune mcanique prcise et universelleprenne forme. La mcanique classique repose sur ce quon appelle traditionnellement les trois lois de Newton,nonces dans loeuvre principale de ce dernier, Les Principes mathmatiques de la philosophie naturelle (en latinPhilosophi Naturalis Principia Mathematica), parue en 1687. La mcanique classique telle quelle sera exposedans ce cours repose essentiellement sur les ides de Newton (on la surnomme mcanique newtonienne)pour cette raison. Cette mcanique repose sur un modle appelons-le le modle newtonien dans lequeltout systme physique peut tre conu comme un ensemble de points matriels (on peut penser aux atomes,quoique ce ne soit pas ncessaire) qui exercent les uns sur les autres des forces. Notre comprhension dumonde provient ncessairement de la connaissance de ces forces et de leur eet, dtermin par les lois dumouvement de Newton.

Ce qui direntie notre enseignement actuel de la mcanique newtonienne de ce que Newton et ses successeursimmdiats pratiquaient, cest dune part la notation mathmatique dirente (beaucoup plus algbrique, etmoins gomtrique, qu lpoque de Newton) et dautre part lintroduction de notions inconnues de Newtoncomme la conservation de lnergie ou le moment cintique. Ceci dit, la mcanique nest pas reste fige depuisNewton, et sa formulation a beaucoup volu jusquau XXe sicle. Ce sont les mathmaticiens et les astronomesqui ont le plus contribu cette volution. Une oeuvre marquante dans cette volution fut la mcaniqueanalytique de Lagrange (1788, un sicle aprs Newton). Lagrange propose une formulation de la mcanique quipermet dobtenir assez rapidement les quations direntielles qui dterminent le mouvement dun systmemcanique quelconque. Plus tard, lIrlandais William Rowan Hamilton inventera des mthodes encore pluspuissantes (1833) qui forment une extension de la mcanique de Lagrange appele mcanique hamiltonienne.Ces deux formulation de la mcanique constituent un outil plus puissant que la mcanique newtonienne etsont la base de la mcanique quantique. Cependant, nous devons commencer par le commencement. . .

8

2

Mouvement dun point

La notion de mouvement est indissociable de la notion de temps. Il est bien sr impossible de dfinir demanire satisfaisante ce quest le temps, pas plus que lespace dailleurs. Newton considrait le temps et lespacecomme un cadre absolu, dans lequel se droulent les vnements de ce monde et le mouvement des objets enparticulier. Ainsi, il considrait le temps comme un coulement invariable et uniforme, le mme pour tous lesobservateurs. Le philosophe allemand Emmanuel Kant, auteur dun clbre trait sur la connaissance (Critiquede la raison pure, 1781), voyait le temps et lespace comme des a priori, cest--dire prcdant les capacitsde raisonner des humains. En fait, il semble impossible de dfinir en pratique ce quest le temps sans fairerfrence au mouvement, car tous les instruments de mesure du temps sont bass sur une forme ou une autrede mouvement. Dans ce qui suit nous nous contentons de considrer le temps comme une variable continue(note t ) en fonction de laquelle le mouvement dun point peut tre exprim.

2.1 Mouvement en une dimension

Commenons par tudier le mouvement dun point en une dimension despace. Dans ce cas, la position duneparticule est spcifie par une seule coordonne x , et le mouvement de la particule par une fonction du tempsx(t ).

La vitesse moyenne dune particule entre les temps t1 et t2 est

v = x(t2)x(t1)t2 t1

= xt

(2.1)

La vitesse instantane (ou simplement vitesse) de la particule est la limite de la vitesse moyenne quand lintervallet tend vers zro, soit la drive

v(t ) x(t ) = dxdt

(2.2)

La notation x pour la drive, utilise par Newton, lest encore dans ce contexte, pour dsigner une drive parrapport au temps. Lacclration, de mme, est la drive par rapport au temps de la vitesse :

a(t ) v(t ) = dvdt

= x(t ) = d2x

dt 2(2.3)

Le concept de vitesse instantane est lorigine de la notion de drive et forme la base du calcul direntielet intgral.

linverse, tant donne une vitesse v(t ) connue en fonction du temps, ainsi quune position initiale x0 autemps t = 0, on retrouve la position en fonction du temps par une intgrale. Plus prcisment, le dplacementde la particule entre les temps t et t + est donn par x = v(t ) au premier ordre en et le dplacementsur un intervalle de temps fini [0, t ] est exactement donn par lintgrale

x = t

0v(t ) dt de sorte que x(t ) = x0 +

t0

v(t ) dt (2.4)

9

Chapitre 2. Mouvement dun point

De mme, tant donne une acclration a(t ) connue en fonction du temps, ainsi quune vitesse initiale v0,on retrouve la vitesse v(t ) par une intgrale. On retrouve ensuite la position x(t ) par une deuxime intgrale,tant donn la position initiale x0.

t

a

v

xt = 2

x0

v0

Figure 2.1 Mouvement harmonique en une dimension (exemple 2.2)

Exemple 2.1Considrons une particule en acclration constante a, avec une vitesse initiale v0 et une position initiale x0.Trouvons une expression pour la vitesse et la position en fonction du temps. La vitesse instantane est donnepar

v(t ) = v0 + t

0a dt = v0 +at (2.5)

et la position par

x(t ) = x0 + t

0v(t ) dt = x0 +

t0

(v0 +at ) dt = x0 + v0t +1

2at 2 (2.6)

Exemple 2.2Considrons une particule en mouvement harmonique, dont lacclration est donne par a(t ) = A sint , oA et sont des constantes. Trouvons une expression pour la vitesse et la position en fonction du temps. Lavitesse instantane est donne par

v(t ) = v0 + t

0A sint dt = v0

A

[cost

]t0= v0 +

A

(1cost ) (2.7)

et la position par

x(t ) = x0 + t

0

[v0 +

A

(1cost )] dt = x0 +(v0 + A

)t A

2sint (2.8)

La position possde une composante priodique dans le temps, de priode T = 2/. La frquence de cemouvement est =/(2), et la quantit est appele frquence angulaire ou pulsation et se mesure enradians par seconde (rad/s). Trs souvent, on donne le nom de frquence, le contexte assurant quil sagitbien dune frquence angulaire (en rad/s) et non dune frquence mesure en Hz.

Exemple 2.3Anticipons un peu sur les lois de Newton et considrons un objet initialement au repos, sous linfluence duneforce de gravit constante et dune force de rsistance proportionnelle (et oppose) la vitesse. Trouvons uneexpression pour la vitesse en fonction du temps. Utilisons une coordonne verticale x , positive vers le bas.crivons lacclration comme a = F /m, o F est la force totale (positive vers le bas), donne par mg mv , etm est la masse de la particule. Le deuxime terme est une force de rsistance oppose la vitesse instantane,avec un coecient ayant les units dun temps inverse. La relation entre la vitesse et lacclration peut alorsscrire comme

a = dvdt

= g v (2.9)

10

2.2. Mouvement en trois dimensions

Cette relation est plus pratique lorsquexprime en fonction des direntielles de vitesse et de temps :

dv = (g v)dt ou dvg v = dt (2.10)

Intgrons cette relation direntielle entre la vitesse initiale (zro) et la vitesse finale au temps t (v ) : t0

dt = t = v

0

dv

g v =1

[ln(g v )

]v0= 1

ln(1v/g ) (2.11)

Do on tire, en isolant v , que

et = 1 vg

= v(t ) = g

(1 et ) (2.12)

On constate que la vitesse tend vers une valeur limite v = g / quand t et que le temps ncessaire pouratteindre une fraction donne de cette vitesse limite est uniquement fonction de .

2.2 Mouvement en trois dimensions

Cest principalement Descartes quon doit lide de reprer un point dans lespace (ou sur un plan) laide devariables appeles coordonnes. La notation (x, y, z) utilise pour ces coordonnes remonte lui. Formuler lemouvement dune particule dans lespace ne prsente pas de dicult particulire par rapport au mouvementen une seule dimension. On doit introduire trois fonctions du temps : x(t ), y(t ) et z(t ). On peut de mmedfinir les vitesses associes chacune des trois coordonnes : x(t ), y(t ) et z(t ) et ainsi de suite.

Cependant, le choix des axes cartsiens est arbitraire. On peut loisir utiliser un deuxime ensemble daxes,en rotation par rapport un ensemble daxes donns, et la description dun systme physique devrait sefaire galement aisment quel que soit le systme daxes utilis. De plus, la formulation des principes dela mcanique doit tre indpendante des axes cartsiens choisis et devrait tre faite, idalement, dans unlangage qui ne dpend pas de ces axes. Cest pour cette raison que la notion de vecteur a t progressivementintroduite au dbut du 20me sicle.

2.2.1 Vecteurs

Nous adopterons une approche gomtrique la dfinition des vecteurs ; elle est plus intuitive et plusapproprie ce cours. Avertissement : ce qui suit ne constitue pas un expos logiquement structur de lathorie des espaces vectoriels, mais plutt un rappel de dfinitions gomtriques et de proprits utiles.

Un vecteur est une quantit dfinie dans lespace et possdant une grandeur et une direction. Pour caractriserun vecteur, on doit donc spcifier ces deux aspects, grandeur et direction. Dans ces notes, les vecteurs serontdsigns en caractre gras, par exemple A, B, f, etc. La grandeur du vecteur A sera dsigne par |A| ou, plussimplement, par la lettre A. Le prototype du vecteur est la position dun point, note r, dfinie comme unsegment orient partant de lorigine O des coordonnes et aboutissant au point R . On crit parfois r =OR .Un vecteur A peut tre multipli par un nombre rel , opration que lon note A. Le rsultat est un vecteurqui a la mme direction que A, mais une grandeur multiplie par (si est ngatif, le rsultat est dans ladirection oppose A). Un vecteur disparat sil est multipli par zro ; plus prcisment, on obtient alors levecteur nul, not 0, quil faut en principe distinguer du nombre 0 (lun est un vecteur, lautre un nombre).Cependant, nous ne distinguerons gnralement pas ces deux objets dans la notation, les deux tant souventdsigns par le symbole 0.

A2A

0.5A

A

B

A

BA+

B

11


On dfinit aussi laddition de deux vecteurs A et B, quon note A + B et qui sobtient par la rgle duparalllogramme, dfinie gomtriquement sur la figure ci-dessus. Daprs cette rgle, la commutativitA+B = B+A est manifeste. Signalons que tout vecteur A possde un oppos, not A, qui pointe dans ladirection oppose (on dit parfois quil pointe dans le mme direction, mais dans le sens oppos). Ladditiondes vecteurs et la multiplication par un scalaire possdent les proprits lmentaires suivantes : Associativit : (A+B)+C = A+ (B+C). Distributivit sur laddition des vecteurs : (A+B) =A+B Distributivit sur laddition des scalaires : (+)A =A+A

Produit scalaire On dfinit gnralement le produit scalaire de deux vecteurs dans lespace, not A B,comme le produit de leurs longueurs fois le cosinus de langle entre les deux vecteurs :

A B = AB cos

A

B

(2.13)

Le produit scalaire possde les proprits suivantes, qui se dmontrent par gomtrie lmentaire : Distributivit : A (B+C) = A B+A C. (A) B = A (B) =A B. Positivit : A A 0. Lgalit ne se produit que si A = 0.La grandeur |A| dun vecteur A, aussi appele la norme de A, est bien sr la racine carre positive du produitscalaire de A par lui-mme :

A = |A| =p

A A (2.14)On utilise aussi la notation A2 AA. Deux vecteurs A et B sont dits orthogonaux si AB = 0. Gomtriquement,ces deux vecteurs sont perpendiculaires, puisque le cosinus de langle quils forment est nul.

tant donns deux vecteurs A et B, le vecteur B peut tre dcompos en deux parties, B = B+B, o B estperpendiculaire A et B lui est parallle. On vrifie que

B =B AA2

A et B = BB AA2

A (2.15)

On appelle aussi B la projection de B sur le vecteur A.

Base de vecteurs orthonorms En trois dimensions, tout vecteur peut tre exprim de manire uniquecomme une combinaison linaire de trois vecteurs de base. tant donn un systme daxes cartsiens aveccoordonnes (x, y, z), on choisit gnralement un ensemble de trois vecteurs de longueur unit (ou vecteursunitaires), nots ex , ey et ez et pointant chacun dans la direction de laxe correspondant. Ces trois vecteurssont mutuellement orthogonaux et forment donc une base dite orthonorme :

ex ex = ey ey = ez ez = 1 ex ey = ey ez = ez ex = 0 (2.16)

On la qualifie de base cartsienne ou de repre cartsien. Tout vecteur A peut alors tre exprim comme suit :

A = Ax ex + Ay ey + Az ez (2.17)

12


tant donn que la base est orthonorme, on peut facilement retrouver les composantes par projection :

Ax = A ex Ay = A ey Az = A ez (2.18)

Le produit scalaire de deux vecteurs A et B sexprime aisment en fonction de leurs composantes, en utilisantla distributivit du produit scalaire :

A B = (Ax ex + Ay ey + Az ez ) (Bx ex +By ey +Bz ez )= Ax Bx ex ex + Ax By ex ey + + Az Bz ez ez= Ax Bx + Ay By + Az Bz

(2.19)

Ceci nous permet de calculer langle entre deux vecteurs dont on connait les composantes, en retournant ladfinition gomtrique du produit scalaire :

cos 6 (A,B) = A B|A||B| (2.20)

Remarquons ici que dirents vecteurs en physique ont des units direntes : la position se mesure en mtres,la vitesse en mtres/seconde, etc. La grandeur dun vecteur possde donc des units et il faut prendre gardede combiner (cest--dire comparer ou additionner) par erreur des vecteurs ayant des units (ou dimensions)direntes. Les vecteurs orthonorms sont sans unit. Les units dune quantit physique vectorielle A sontdonc aussi celles de ses composantes Ax , Ay et Az .

2.2.2 Drives dun vecteur : vitesse et acclration

Le mouvement dun point dans lespace peut tre caractris mathmatiquement par un vecteur r(t ) fonctiondu temps t . Ceci implique la donne de trois fonctions du temps : une pour chaque composante du vecteur :

r(t ) = x(t )ex + y(t )ey + z(t )ez (2.21)

Soyons plus gnral et considrons un vecteur A(t ) fonction du temps. On dfinit la drive par rapport autemps de ce vecteur comme la drive dune fonction scalaire, par un processus de limite :

dA

dt lim0

A(t +)A(t )

(2.22)

La drive dun vecteur est elle-mme un vecteur.

Comme les vecteurs cartsiens unitaires ex , ey et ez sont indpendants du temps, la drive dun vecteursexprime simplement en fonction des composantes cartsiennes :

dA

dt= dAx

dtex +

dAydt

ey +dAzdt

ez (2.23)

Soit (t ) un scalaire et A(t ) et B(t ) des vecteurs fonctions du temps. La rgle de direntiation dun produitsapplique au produit dun vecteur par un scalaire, ou au produit de deux vecteurs :

d

dt(A) =dA

dt+ d

dtA (2.24)

d

dt(A B) = dA

dtB+A dB

dt(2.25)

Ces relations se vrifient facilement composante par composante, mais dcoulent aussi du fait que la dfinitionde la drive dun vecteur repose sur les oprations daddition de vecteurs et de multiplication par un scalaire,qui sont associatives et distributives.

La vitesse (ou vecteur-vitesse) dune particule est simplement dfinie comme la drive par rapport au tempsde sa position :

v(t ) = dr(t )dt

(2.26)

13


En fonction des coordonnes cartsiennes (les composantes de r), cette dfinition est simplement la suivante :

v = dxdt

ex +dy

dtey +

dz

dtez (2.27)

= vx ex + vy ey + vz ez (2.28)

La notion de limite par laquelle la vitesse est dfinie,

v = lim0

r(t +) r(t )

= lim0

r

+

v(t)

r(t)

r(t+)

r

(2.29)

dmontre clairement que le vecteur vitesse est tangent la trajectoire de la particule en mouvement. En eet,dans la limite 0, la dirence r devient manifestement parallle la tangente la trajectoire.Lacclration (ou vecteur-acclration) est son tour dfinie comme la drive par rapport au temps de lavitesse :

a(t ) = dv(t )dt

(2.30)

En fonction des composantes, ceci devient :

a = dvxdt

ex +dvydt

ey +dvzdt

ez (2.31)

= ax ex +ay ey +az ez (2.32)

Il faut garder lesprit que, pour une trajectoire r(t ) quelconque, la vitesse v, lacclration a et les drivesdordre suprieur sont aussi des fonctions du temps. Lun des apports principaux du calcul direntiel danslhistoire des ides est davoir justement clarifi la notion de vitesse et dacclration. La notion de vitesse oudacclration instantane peut sembler intuitivement claire de nos jours, mais sa dfinition prcise ncessitela notion de limite et de drive. lpoque de linvention du calcul direntiel, la notion de drive taittroitement lie celle de vitesse, sans ncessairement reposer sur une base mathmatique solide. Ce nestquau dbut du XIXe sicle que les notions de limite et de continuit ont t clairement dfinies.

Exemple 2.4 : Mouvement linaireConsidrons une particule se dplaant dans lespace avec une vitesse constante v et une position r0 au tempst = 0. La position en fonction du temps sobtient par intgration :

r(t ) = r0 + t

0v dt = r0 +vt (2.33)

Techniquement, lintgrale que nous venons deectuer est constitue de trois intgrales, une pour chaquecomposante de lintgrant, qui est un vecteur. En composantes cartsiennes, cette relation scrit ainsi :

x(t ) = vx t +x0y(t ) = vy t + y0z(t ) = vz t + z0

O

r0 v (2.34)

Exemple 2.5 : Mouvement paraboliqueConsidrons maintenant une particule se dplaant avec une acclration a constante, une vitesse initiale v0et une position initiale r0. La vitesse sobtient alors par une premire intgration :

v(t ) = v0 + t

0a dt = at +v0 (2.35)

14


On peut ensuite intgrer la vitesse pour retrouver la position :

r(t ) = r0 + t

0(at +v0)dt = 12 at 2 +v0t + r0

O

r0

v0

v(t )

a

(2.36)

Notons ici que la vitesse initiale na pas ncessairement la mme direction que lacclration constante a, desorte que le mouvement nest pas rectiligne en gnral, mais plutt parabolique. Pour le dmontrer, choisissonsun systme daxes particulier dans lequel a = aez et v0 = v0z ez + v0x ex (il est toujours possible de choisirles axes x, y, z de la sorte). Choisissons aussi la position de lorigine de telle sorte que r0 = 0. Avec cessimplifications, la position de la particule en fonction du temps scrit :

r(t ) = 12 at 2 +v0t ou{

z(t ) = 12 at 2 + v0z tx(t ) = v0x t

(2.37)

On peut liminer le temps de ces quations et exprimer la coordonne z en fonction de x :

t = xv0x

= z = a2v20x

x2 + v0zv0x

x (2.38)

z est donc une fonction quadratique de x et la trajectoire de la particule est une parabole, comme illustr lq. (2.39).

Exemple 2.6 : Porte dun projectileRetournons lexemple 2.5, dans le contexte du tir dun projectile la surface de la Terre. Dans ce cas,lacclration constante est dirige vers le bas et vaut a =g , lacclration gravitationnelle la surface de laTerre. Langle que fait la vitesse initiale avec lhorizontale est appel angle de tir. Comme les composantesde la vitesse initiale sont v0x = v0 cos et v0z = v0 sin, on peut exprimer la trajectoire de la particule enfonction de langle de tir comme suit :

z(x) = x tan g2v20 cos

2x2 (2.39)

La porte p dun projectile est la distance entre le point de tir et le point de retour au sol. Si le projectile esttir partir du sol et que celui-ci est parfaitement horizontal, la porte p sobtient en rsolvant lquation (2.39)pour z = 0. La solution est soit x = 0 (le point de dpart), soit x = p o

p = 2v20

gsincos = v

20

gsin2 (2.40)

En fonction de , cette porte est maximale quand = /4. Dautre part, la porte augmente avec v0 etdiminue avec g . Remarquons cependant que langle de porte maximale nest plus le mme si la rsistance delair est prise en compte, ou si le projectile nest pas lanc du niveau du sol. Supposons, en particulier, que leprojectile est lanc dune hauteur h au-dessus du sol. On montre que la porte du projectile est alors

p = v20

2g

{sin2+

8g h

v20cos2+ sin2 2

}(2.41)

o on a bien sr nglig encore une fois la rsistance de lair.

Exemple 2.7 : Mouvement circulaire uniforme

15


Considrons une particule en mouvement circulaire uniforme, sur un cercle de rayon R , une vitesse angulaire. Si on choisit laxe des z comme axe de rotation et le centre du cercle comme origine, alors la position decette particule en fonction du temps est

r(t ) = R(ex cost +ey sint ) r(t )

v(t )

t(2.42)

Autrement dit, linstant t , langle que fait le vecteur r avec laxe des x est =t : il augmente uniformmentavec le temps. Calculons la vitesse et lacclration :

v(t ) =R(ex sint +ey cost )a(t ) =2R(ex cost +ey sint ) =2r(t )

(2.43)

La vitesse et lacclration ont les grandeurs suivantes :

v = ||R a =2R = v2

R(2.44)

On constate, dans ce cas, que la vitesse est perpendiculaire la position (r(t ) v(t ) = 0) et que lacclration estperpendiculaire la vitesse (v(t ) a(t ) = 0) en tout temps. Ces proprits dcoulent simplement du fait que lagrandeur de la position et de la vitesse sont constantes : r2 = R2 et v2 =2R2. Un apport important de lanotion de vecteur est donc la facilit avec laquelle on conoit une acclration non nulle mme si la grandeurde la vitesse est constante. En gnral, si un vecteur A(t ) dpend du temps mais que sa norme est constante,la drive de ce vecteur lui est perpendiculaire :

0 = ddt

A2 = dAdt

A+A dAdt

= 2A dAdt

(2.45)

Lacclration, dans le mouvement circulaire, est oppose la position et est qualifie de centripte, car elleest dirige vers le centre du cercle.

Exemple 2.8 : Mouvement hlicodalUne particule glisse le long dun fil de fer enroul en spirale (ou hlice) verticale. Le rayon de lhlice est R etla distance verticale entre deux enroulements est a. On suppose que la particule se dplace vitesse angulaireconstante. La position, la vitesse et lacclration prennent alors la forme suivante :

r(t ) = R(ex cost +ey sint )t

2a ez

v(t ) =R(ex sint +ey cost )a

2ez

a(t ) =2R(ex cost +ey sint ) =2r(t )m

z

(2.46)

On a suppos que la particule est z = 0 t = 0 et que la spirale descend dans le sens antihoraire. Notonsque r dsigne la projection de la position sur le plan x y , perpendiculaire laxe de lhlice. Dans ce caslacclration est perpendiculaire la vitesse (et dirige vers le centre), car la vitesse a encore une grandeurconstante.

Exemple 2.9

16

2.3. Rotations

Considrons une particule anime dune acclration constante en direction, mais dont la grandeur diminueexponentiellement dans le temps : a(t ) = a0 et ez . Ici a0 est une constante gale la grandeur delacclration t = 0. La vitesse et la position sobtiennent facilement :

v(t ) = v0 +a0ez t

0et

dt = a0

(1 et )ez +v0

r(t ) = a0

ez

t0

(1 et )dt + t

0v0 dt

+ r0 =a0

(t 1

(1 et )

)ez +v0t + r0

(2.47)

2.3 Rotations

Il arrive souvent quun problme tri-dimensionnel soit plus facile tudier en utilisant successivement plusdune base de vecteurs unitaires, relies entre elles par des rotations. Lexemple le plus simple dun telchangement de base est fourni par une rotation des axes x et y dun angle autour de laxe z . Daprs lafigure 2.2, la relation entre les vecteurs de base aprs et avant la rotation est la suivante :

ex = ex cos+ey sin

ey =ex sin+ey cos

ez = ez

(2.48)

ex

ey

ex

ey

A

Ax

Ay

Ax

Ay

Figure 2.2 Rotation des axes cartsiens dun angle autour de laxe z .

Un vecteur A quelconque peut sexprimer soit dans une base, soit dans lautre :

A = Ax ex + Ay ey + Az ez = Ax ex + Ay ey + Az ez (2.49)

En substituant dans cette expression la relation (2.48), on trouve

A = (Ax cos Ay sin)ex + (Ax sin+ Ay cos)ey + Az ez (2.50)

il sensuit immdiatement queAx = Ax cos Ay sinAy = Ax sin+ Ay cosAz = Az

(2.51)

Cette relation peut se mettre sous forme matricielle :Ax

Ay

Az

=

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

Ax

Ay

Az

(2.52)

17


Si on veut maintenant exprimer les composantes primes en fonction des composantes non primes, il fautinverser cette matrice. Or, on vrifie facilement que linverse de cette matrice est obtenu simplement eninversant le signe de , ce qui revient prendre la transpose de la matrice :

Ax

Ay

Az

=

cos sin 0

sin cos 00 0 1

Ax

Ay

Az

(2.53)Une matrice dont linverse est gale sa transpose est dite orthogonale. Toutes les matrices de rotation sontorthogonales.

Une rotation par rapport un autre axe sexprime similairement. Par exemple, une rotation dun angle parrapport laxe des x correspond la transformation suivante des composantes dun vecteur :

Ax

Ay

Az

=

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

Ax

Ay

Az

(2.54)

Les oprations de rotation exprimes ici sont qualifies de passives, car le vecteur A ne change pas : seuls lesvecteurs de base changent, ce qui entrane un changement dans les composantes de A. On peut galementconsidrer des rotations actives, qui appliquent un changement rel au vecteur A, les vecteurs de base tantfixes. Suite une rotation active antihoraire dangle par rapport laxe des z , les composantes de A sontmodifies ainsi :

Ax

Ay

Az

=

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

Ax

Ay

Az

(rotation active) (2.55)La forme de la rotation est linverse dune rotation passive.

Exemple 2.10Un satellite suit une orbite circulaire de rayon r et de pulsation autour de la Terre. Cette orbite est inclinedun angle par rapport au plan de lquateur. De plus, le plan de cette orbite coupe le plan de lquateur une longitude par rapport au point vernal (un point fixe dans lespace, dans le plan quatorial de laTerre). Le problme est dexprimer les coordonnes (x, y, z) du satellite en fonction du temps, dans un systmecartsien centr sur la Terre o laxe des z est parallle laxe de rotation de la Terre et o laxe des x est fix,par exemple, sur le point vernal.

Utilisons des rotations actives pour rsoudre ce problme. Supposons premirement que lorbite du satelliteconcide avec lquateur terrestre. La position du satellite peut alors scrire

r(t ) = r (cost ex + sint ey ) (2.56)

18

2.4. Rfrentiels

Pour incliner lorbite dun angle , appliquons une rotation active par rapport laxe des x :1 0 0

0 cos sin0 sin cos

r cost

r sint

0

=

r cost

r cossint

r sinsint

(2.57)

Ensuite, pour placer la ligne des noeuds un angle de laxe des x , appliquons au rsultat une rotation activepar rapport laxe des z :

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

r cost

r cossint

r sinsint

= r

coscost sincossintsincost +coscossint

sinsint

(2.58)

Donc la position du satellite en fonction du temps est

r(t ) = (coscost sincossint)ex + (sincost +coscossint)ey + sinsint ez (2.59)

2.4 Rfrentiels

2.4.1 Changement dorigine

Nous appelerons repre un systme de coordonnes dfini par une origine et des axes cartsiens. Deux represpeuvent direr par lorientation des axes, comme tudi la section prcdente. Ils peuvent galement direrpar leur origine. Si le vecteur position, en tant que vecteur, ne dpend pas de lorientation des axes, il dpendvidemment du choix de lorigine dans lespace. Considrons deux origines direntes, notes O et O, quenous appelerons respectivement lancienne et la nouvelle origine. Si la position de la nouvelle origine O estdonne par le vecteur r0 en fonction de lancienne origine, la relation entre lancien vecteur position r et lenouveau r est la suivante :

O

P

Or

r0

r

r = r+ r0 (2.60)

Signalons ici le caractre particulier du vecteur position. La plupart des autres vecteurs utiliss en physique(vitesse, acclration, force, champ lectrique, etc.) sont indpendants du choix de lorigine. En fait, ces autresvecteurs sont dune faon ou lautre relis des dirences entre des vecteurs positions. Par exemple, la vitessedune particule est la drive de son vecteur position par rapport au temps et est donc construite en prenantla dirence entre deux vecteurs positions des instants voisins, par un procd de limite. Or, si le vecteurposition lui-mme dpend du choix de lorigine, il est clair daprs la formule (2.60) que la dirence de deuxpositions prises dans un mme repre est indpendante de ce choix.

19


2.4.2 Changement de rfrentiel

Deux repres peuvent tre en mouvement relatif, soit parce que leurs origines se dplacent lune par rapport lautre, soit parce que lorientation relative des deux repres change avec le temps. Notons que nous nepouvons dcrire que le mouvement relatif de deux repres et non le mouvement absolu dun repre, notion quina pas de sens.

Bien entendu, on peut fort bien utiliser une varit de repres dirents qui ne sont pas en mouvement lesuns par rapport aux autres. Par exemple, il peut sagir de deux repres cartsiens qui dirent seulement parle choix de lorigine, ou par lorientation des axes (pour les fins de la prsente discussion, il est susant de selimiter aux repres cartsiens). On dira que ces deux repres appartiennent au mme rfrentiel, puisquils nesont pas en mouvement relatif. Au contraire, deux repres cartsiens qui se dplacent une vitesse constantelun par rapport lautre nappartiennent pas au mme rfrentiel. Notez quune quantit comme la vitessev dune particule ne dpend pas du repre utilis (c.--d. de son origine ou de son orientation) pourvuque lon demeure dans le mme rfrentiel. En contrepartie, la vitesse dune particule dpend du rfrentieldobservation.

Considrons le cas dun repre cartsien R qui concide avec un autre repre R (mme origine et mmes axes)au temps t = 0, mais dont lorigine O se dplace une vitesse constante V par rapport au repre R (fig. 2.3).Au temps t , la position r0 de lorigine O sera Vt . En supposant que la relation entre les deux repres puissesobtenir simplement de la formule (2.60) avec un vecteur de translation r0 qui dpend du temps, alors laposition r dun point tel que dcrit dans le repre R sexprimera ainsi en fonction de la position r du mmepoint dans le repre R :

r = rVt (2.61)

Dautre part, on suppose tout aussi naturellement que le temps t scoule de la mme faon dans les deuxrfrentiels. Autrement dit, on ne fait pas de distinction entre le temps t tel quil scoule dans le rfrentiel deR et le temps t dans le rfrentiel de R : t = t . En supposant, pour fins dillustration, que la vitesse relative Vest dirige selon laxe des x , (V =V ex ), alors la relation entre les coordonnes despace et de temps des deuxrfrentiels est la suivante :

x = x V t y = y z = z t = t (2.62)

Cette relation est la transformation de Galile. Aussi naturelle quelle puisse paratre, cette transformationnest pas physiquement correcte. En fait, le temps ne scoule pas tout fait de la mme faon dans les deuxrfrentiels et la relation entre les coordonnes spatiales ne peut pas simplement sobtenir de la relation (2.60)avec r0 = Vt . Nous reviendrons sur ce point dans le chapitre 10. La relation correcte entre les coordonnescartsiennes de deux rfrentiels est une question qui ne se rsoud pas seulement par des considrationsmathmatiques : il sagit dune question physique qui se rsoud ultimement par lexprience. Cependant, latransformation de Galile (2.62) est adquate en pratique, tant que la vitesse V est petite par rapport lavitesse de la lumire c .

Figure 2.3 Deux repres dont les origines O et O et les axes concident t = 0, alors que O est anim dunevitesse V par rapport O.

20

2.4. Rfrentiels

2.4.3 Transformation de la vitesse et de lacclration

Soit v = dr/dt la vitesse dune particule dans le rfrentiel S et v = dr/dt sa vitesse dans le rfrentiel S.La transformation (2.62) nous permet de relier v v :

v dr

dt = d

dt(rVt ) = dr

dtV vV (2.63)

Dautre part, lacclration a dune particule est la mme dans les deux rfrentiels, car V est une constanteindpendante du temps :

a = dv

dt = d

dt(vV) = dv

dt= a

(dV

dt= 0

)(2.64)

On dit que lacclration a est invariante par la transformation de Galile.

Exemple 2.11 : La nageur et la rivireUn nageur doit traverser une rivire pour atteindre un point exactement oppos son point de dpart, surlautre rive. En supposant que le courant atteint une vitesse u et que le nageur peut, lui, atteindre une vitessev dans une eau calme, dans quelle direction par rapport la perpendiculaire doit-il se diriger pour atteindreson but ? Utilisons un systme daxes dans lequel la rivire scoule localement dans la direction ey , le nageurpartant de lorigine pour se diriger vers le point aex , a tant la largeur de la rivire. Soit S le rfrentielde la rive, et S le rfrentiel dans lequel leau est au repos, et qui se dplace une vitesse V =uey parrapport S. La vitesse du nageur dans S est de grandeur v , et doit faire un angle par rapport laxe desx : v = v(cosex + siney ). Sa vitesse dans S est alors v = vV et doit tre exactement parallle ex , doncavoir une composante en y nulle, ce qui se traduit par v sin = u. Donc langle dsir est = arcsin(u/v).Bien sr, cette solution nexiste que si u < v : la vitesse du nageur doit excder celle du courant, sinon il nepourra jamais rester sur place, encore moins atteindre lautre rive.

Exemple 2.12 : Courir le vent de ctLors de son jogging matinal, un coureur maintient une vitesse constante v , alors que le vent a une vitesse upar rapport au sol. En supposant quil ait exactement le vent dans le dos, de quel angle doit-il tourner afindavoir le vent exactement de ct ? Dans quelles conditions est-ce possible ?Soit v le nouveau vecteur-vitesse du coureur, aprs son changement de direction. Le rfrentiel S du coureurse dplace alors une vitesse v par rapport au sol (le rfrentiel du sol est S). La vitesse du vent dans cerfrentiel est donc u = uv, selon la formule de la transformation de Galile. Les vecteurs v et u tantperpendiculaires, ils forment les cts dun triangle rectangle dont lhypothnuse est le vecteur u = v+u.Langle entre v et u est alors tel que cos = v/u, ou encore

= arccos vu

u

v

u

(2.65)

Ceci nest possible que si v < u, bien sr, mais comme le coureur a le vent dans le dos au dpart, cestcertainement le cas.

21


2.5 Problmes

Problme 2.1

Un faisceau de particules possde une densit de particules par unit de longueur et ces particules ontune vitesse commune v et une masse commune m. Le faisceau pntre dans une cavit de longueur L danslaquelle une force uniforme et constante F confre aux particules une acclration constante. Quelle sera ladensit des particules la sortie de la cavit ?

Problme 2.2

Lacclration dune particule en une dimension est donne par a(t ) =g cost . Sa vitesse initiale ( t = 0)est note v0 et sa position initiale est x0. Calculez la position x(t ) de cette particule en fonction du temps.

Problme 2.3

partir de la dfinition gomtrique du produit scalaire, dmontrez-en la distributivit : A(B+C) = AB+AC.

Problme 2.4

Dmontrez la relation (2.41).

Problme 2.5

Vous tes responsable dun canon anti-char situ lorigine. Un char ennemi est situ une distance d , surlaxe des x (r = dex ) t = 0 et possde une vitesse constante u = uey . Votre canon peut tirer un obus devitesse v0 ( la sortie du canon). Vous avez le contrle sur langle de tir (mesur par rapport lhorizontale)et sur langle azimutal (la direction de tir dans le plan x y , mesure par rapport laxe des x). Le problmeest de choisir et de faon atteindre la cible. Les variables suivantes sont utiles : w = sin2 et p = v20/g(p est la porte maximale du canon). On nglige compltement la rsistance de lair.

A Quelles sont les conditions imposer sur d et u pour quil soit possible datteindre la cible ?

B Montrez que, pour atteindre la cible, on doit choisir

w = 12

1(

u

v0

)2

[1( uv0

)2]2

(d

p

)2 et tan= 2uv0g d pw(indice : considrez s, la distance entre lorigine et le char au temps t o il est atteint, et exprimez s de deuxfaons direntes). Quelle est la signification physique des deux solutions (+ et ) et, en pratique, laquelle desdeux prfreriez-vous si vous tiez artilleur ?

C Donnez une expression trs simple pour et dans lapproximation u v0 et d p (utilisez undveloppement de Taylor), pour les deux solutions ci-haut (+ et ).

Problme 2.6

Lune des extrmits dun ressort obissant la loi de Hooke est fixe lorigine et lautre extrmit unemasse m. Cette masse est libre de se dplacer sans frottement sur un plan (le plan x y ). En ngligeant la massedu ressort, on peut montrer que la position de la masse en fonction du temps est

r(t ) = a cost ex +b sint ey

o =p

k/m est une frquence angulaire, k est la constante de rappel du ressort et a, b sont des constantes.

A Calculez la vitesse v en fonction du temps.

B Calculez lacclration a en fonction du temps. Le rsultat est-il compatible avec la deuxime loi deNewton F = ma ? Notez que F =kr dans le cas dun ressort.

22

2.5. Problmes

C Vrifiez que la quantit

E = 12

mv2 + 12

kr2

ne dpend pas du temps. Cest en fait lnergie totale (cintique + potentielle) de la masse.

Problme 2.7

La position dune particule en fonction du temps est donne par lexpression suivante :

r(t ) = R cos(t ) ex +R sin(t ) ey vx t ex

o R , vx et sont des constantes (R > 0).A Tracez approximativement cette courbe sur le plan x y (choisissez une valeur positive de vx ).

B quel endroit sur cette courbe la vitesse v = |v| de la particule est-elle maximale ?C Dans la mme veine, que peut-on dire de lacclration ?

Problme 2.8

Une plante est en orbite circulaire de rayon R1 et de priode T1 autour dune toile fixe situe lorigine. Unsatellite est en orbite circulaire de rayon R2 et de priode T2 autour de cette plante. Les orbites sont toutesdans le plan x y et la plante et le satellite sont sur laxe des x t = 0.crivez une expression explicite pour la position r(t ) du satellite par rapport ltoile.

Problme 2.9

Le mouvement dune particule est donn par le vecteur position suivant :

r(t ) = R et (cost ex + sint ey )

On supposera que


le cylindre les coordonnes (u, v), qui sont les coordonnes cartsiennes sur le cylindre lorsque celui-ci estdroul sur un plan. La relation entre (u, v) et (,) est donc

u = R v = R cossin

C Donnez une expression pour les coordonnes de Mercator du satellite en fonction du temps. Supposezen outre que la Terre tourne avec une frquence angulaire et tracez lallure de la trajectoire (u(t ), v(t )) pourun satellite de priode T = 4 heures (aidez-vous dun ordinateur).

Problme 2.12

Dans un rfrentiel S, une particule est en mouvement circulaire uniforme :

r(t ) = R(cost ex + sint ey )

Observons la mme particule partir dun rfrentiel S dont lorigine se dplace une vitesse V par rapport S.

A Si V =V ez , quoi ressemble la trajectoire de la particule vue de S ? Donnez-en une expression analytique(r(t ) = ) et tracez-la.B Reprenez lexercice, cette fois pour V =Rex .

24

3

Les lois du mouvement

3.1 Les lois du mouvement de Newton

3.1.1 Les Principia de Newton

Isaac Newton (1642/1727) publia ses Principes mathmatiques de la philosophie naturelle (en latin PrincipiaMathematica Philosophi Naturalis) en 1687. Dans cet ouvrage monumental, Newton cherche expliquer lemouvement des objets la fois terrestres et clestes laide de principes unifis formuls sous une formemathmatique. Citons la prface de Newton :

Les anciens qui ne considrrent gure autrement la pesanteur que dans le poids remuer, cultivrentcette partie de la Mcanique dans leurs cinq puissances qui regardent les arts manuels ; mais nousqui avons pour objet, non les Arts , mais lavancement de la Philosophie, ne nous bornant pas considrer seulement les puissances manuelles, mais celles que la nature emploie dans ses oprations,nous traitons principalement de la pesanteur, la lgret, la force lectrique, la rsistance des fluides &les autres forces de cette espce, soit attractives, soit rpulsives : cest pourquoi nous proposons ce quenous donnons ici comme les principes Mathmatiques de la Philosophie naturelle. En eet toute ladicult de la Philosophie parait consister trouver les forces quemploie la nature, par les phnomnesdu mouvement que nous connaissons, & dmontrer ensuite, par l, les autres Phnomnes. Cestlobjet quon a eu en vue dans les propositions gnrales du Ier & IIe Livre , & on en donne unexemple dans le IIIe en expliquant le systme de lUnivers : car on y dtermine par les propositionsmathmatiques dmontres dans les deux premiers livres , les forces avec lesquelles les corps tendentvers le Soleil & les plantes ; aprs quoi, laide des mmes propositions mathmatiques, on dduit deces forces, les mouvements des plantes, des comtes, de la Lune & de la Mer. Il serait desirer que lesautres phnomnes que nous prsente la nature puissent se driver aussi heureusement des principesmcaniques : car plusieurs raisons me portent souponner quils dpendent tous de quelques forcesdont les causes sont inconnues, & par lesquelles les particules des corps sont pousses les unes versles autres, & sunissent en figures rgulires, ou sont repousses & se fuient mutuellement ; & cestlignorance o lon a t jusquici de ces forces, qui a empch les Philosophes de tenter lexplicationde la nature avec succs. Jespre que les principes que jai poss dans cet Ouvrage pourront tre dequelque utilit cette manire de philosopher, ou quelque autre plus vritable, si je nai pas touchau but. 1

Cet extrait de la prface des Principia dmontre quel point Newton avait les vues larges et lambition deposer les bases dune science nouvelle, rvolutionnaire, base la fois sur une description mathmatiquedu mondes physique et sur un modle particulier du monde, quon pourrait appeler le modle newtonien.Dans ce modle gnral, on suppose que lUnivers est compos dune multitude de particules qui exercentles unes sur les autres diverses forces. Ces particules, en retour, ragissent aux forces exerces en modifiantleur mouvement en accord avec les lois du mouvement que Newton a formules. Newton a dcrit dans son

1. Traduction franaise de la marquise de Chastellet, Paris, 1756.

25

Chapitre 3. Les lois du mouvement

ouvrage sa thorie de la force gravitationnelle, qui constitue larchtype de la force dans le modle newtonien.Il formule lesprance que tous les phnomnes de la Nature puissent tre expliqus par les principes de lamcanique et la connaissance de forces fondamentales inconnues son poque.

Cet idal est encore, grosso modo, celui des scientifiques daujourdhui, encore que nous soyons plus modesteset ralistes que Newton semblait ltre et que les physiciens aient dvelopp il y a presque cent ans, unemanire plus vritable de philosopher, comme dirait Newton, savoir la mcanique quantique.

3.1.2 Premire loi

Citons Newton pour la premire loi :

Tout corps persvre dans ltat de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il setrouve, moins que quelque force nagisse sur lui, et ne le contraigne changer dtat.

Cette loi, telle qunonce, repose sur certaines hypothses. Premirement, la vitesse dun objet dpend durfrentiel utilis pour lobserver. Un objet peut se dplacer vitesse constante dans un rfrentiel et treacclr par rapport un autre rfrentiel. En fait, on doit considrer la premire loi comme une dfinition,celle dune classe de rfrentiels dans lesquels elle sapplique. Un rfrentiel est dit inertiel, ou galilen, si unobjet ne subissant aucune influence extrieure se dplace une vitesse constante dans ce rfrentiel. Un objetne subit aucune influence extrieure, ou aucune force, sil est infiniment loign des autres objets qui sont lasource des forces pouvant sexercer sur lobjet considr. Un tel objet nexiste pas en pratique : il sagit duneidalisation. Reformulons donc la premire loi, aussi appele principe dinertie, ou principe de Galile, de lamanire suivante :

Un objet libre dinfluence extrieure se meut une vitesse constante dans un rfrentiel inertiel.

Nous insistons sur le fait que cette premire loi nest rien dautre que la dfinition dun rfrentiel inertiel.

On peut lgitimement se demander sil est possible en pratique de se trouver dans un rfrentiel inertiel,puisquaucun objet dans lunivers nest compltement libre dinfluence extrieure et quil est donc impossiblede vrifier en pratique si un rfrentiel est parfaitement inertiel. Il faut ici faire preuve dun peu didalisation.La Terre est un rfrentiel inertiel acceptable pour la plupart des applications pratiques, mme si elle tournesur elle-mme. Leet de cette rotation se fait cependant sentir dans les phnomnes mtorologiques, parlintermdiaire de forces fictives comme la force centrifuge et la force de Coriolis (cf. chapitre 9). Lacclrationcause par cette rotation est denviron 0,03 m/s2 la surface de la Terre, comparer la gravit terrestre de9,8 m/s2. Si on dsire un meilleur rfrentiel inertiel, on peut toujours choisir un systme daxes centrs sur laTerre, mais ne tournant pas avec elle, cest--dire fixes par rapport aux toiles. Mais comme la Terre tourneautour du Soleil, ce rfrentiel nest pas parfaitement inertiel non plus. Cependant, lacclration de la Terreautour du Soleil nest que de 0,006 m/s2. Enfin, on peut choisir un systme daxes centrs sur le Soleil. Maiscelui-ci tourne autour du centre de notre galaxie, quoique lacclration correspondante soit trs petite (delordre de 1010 m/s2). Ainsi, par une suite dapproximations successives, on peut concevoir une rfrentielinertiel. Ce raisonnement ne peut cependant tre men sur une chelle trop vaste, car on se heurte rapidementau problme de la structure de lUnivers dans son ensemble, problme qui ncessite une conception plussubtile de ce que constitue un rfrentiel et auquel la relativit gnrale dEinstein apporte une rponse.

26

3.1. Les lois du mouvement de Newton

3.1.3 Deuxime loi

Citons encore une fois Newton pour la deuxime loi :

Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels la force motrice, et se fontdans la ligne droite dans laquelle cette force t imprime.

Le langage relativement flou de lpoque a t remplac de nos jours par lnonc suivant, qui ncessitetoutefois quelques explications :

La force totale sur une particule est gale sa masse fois son acclration : F = ma.

On exprime souvent cette relation en fonction de la quantit de mouvement (ou impulsion 2) p de la particule :

F = dpdt

= m dvdt

(3.1)

En dpit de la familiarit de tous avec cette loi, sa signification nest pas aussi immdiate que ce que lon peutcroire dans les cours dintroduction la physique :

Quentend-on par force ? La force nest pas dfinie par la deuxime loi de Newton, mais par des lois de force,telle la loi de la gravitation universelle, qui donnent la force ressentie par un objet en fonction de la distancequi le spare des autres objets et, dans certains cas, de sa vitesse. Il est sous-entendu dans la deuxime loide Newton que cette influence dun objet sur un autre quon appelle force prend la forme dun vecteur.

La force qui figure dans la deuxime loi de Newton est la force totale applique sur la particule, cest--direla somme vectorielle des forces provenant de tous les objets qui linfluencent. Cette quantit est aussi appelersultante des forces. Il est bien videmment possible quune particule ait une acclration nulle mme sielle est soumise de multiples forces, pourvu que la rsultante soit nulle.

Quentend-on par masse ? On peut considrer que la deuxime loi de Newton constitue une dfinition de lamasse dun objet (on dit aussi masse inertielle). La masse est une mesure de linertie de lobjet. Plus lobjetest massif, plus il est dicile de le mettre en mouvement (i.e., plus son acclration est petite) avec uneforce donne. Cette masse est aussi une mesure de la quantit de matire contenue dans lobjet.

Quentend-on par acclration ? Mme si la notion a t clairement dfinie au chapitre 2 comme la drivedeuxime de la position, il faut prciser ici ce quon entend par la position de lobjet. Si lobjet est uneparticule trs petite, voire une particule lmentaire comme un lectron, la notion ne semble pas poser deproblme. Si lobjet est assez gros, o prcisment se trouve la position de lobjet ? Nous verrons plus basque, pour un objet macroscopique, la position de lobjet est en fait la position de son centre de masse.

3.1.4 Troisime loi

La troisime loi de Newton est aussi connue sous le nom de loi daction-raction. Citons Newton :

2. Le mot impulsion peut avoir deux sens, selon le contexte. Il peut aussi signifier une dirence de quantit de mouvement, uneintgrale dfinie de la force sur le temps, communique en un temps fini un objet.

27


Laction est toujours gale et oppose la raction ; cest--dire, que les actions de deux corps lun surlautre sont toujours gales, et dans des directions contraires.

En langage moderne, on dirait plutt ceci :

Quand deux objets interagissent, la force F21 produite par le premier objet sur le deuxime estloppose de la force F12 produite par le deuxime sur le premier, ou F12 =F21

Cette loi est trs importante pour que les forces de cohsion lintrieur dun objet se balancent mutuellement.Dans le cas contraire, un objet pourrait acclrer spontanment, sans quaucune force extrieure cet objet nesoit ncessaire (voir plus bas) !

Il est bien important de comprendre que la troisime loi est un nonc sur des forces exerces par des objetsdirents et ressenties par des objets dirents ! Il est crucial, dans lanalyse de tout problme de mcanique, dedistinguer les forces exerces par un objet des forces exerces sur cet objet.

La troisime loi signifie, par exemple, que la force que la Terre exerce sur une personne est gale et oppose la force que cette personne exerce sur la Terre. Ceci peut sembler paradoxal ou non intuitif premire vue. Ilne faut cependant pas confondre force et acclration : la masse de la Terre tant norme en comparaison decelle dun humain, force gale, son acclration sera minuscule en comparaison et leet sur son mouvementsera ngligeable.

La troisime loi suppose que la force sexerce dun objet sur lautre de faon instantane (action distance) etjoue un rle central dans la conservation de la quantit de mouvement dun systme de particules. Cependant,dans la thorie de la relativit, on ne peut accepter lide dune action distance instantane et il fautabandonner la troisime loi dans sa forme prsente. On suppose alors que les forces sont transmises parlintermdiaire de champs (champ lectrique, magntique, gravitationnel, etc.) et que linfluence se propage lavitesse de la lumire. Cependant, la quantit de mouvement y est toujours conserve, car il faut alors tenircompte de la quantit de mouvement contenue dans le champ lui-mme. Ainsi, une onde lectromagntique,qui nest quune oscillation des champs lectrique et magntique, peut transporter de la quantit de mouvement,de lnergie, du moment cintique, etc.

3.2 Systmes de particules et centre de masse

Les trois lois de Newton formules ci-haut sappliquent au sens strict des points matriels seulement. Or lesobjets de la vie courante ne sont en aucun cas des points et il est important de comprendre comment les loisde Newton peuvent tre formules pour sappliquer des objets macroscopiques.

Premirement, nous ferons lhypothse que tout objet peut tre considr comme un ensemble de pointsmatriels, mme si cet ensemble peut contenir un nombre astronomique de points (ex. 1023). Aprs tout, lesparticules lmentaires sont physiquement ponctuelles (elles nont aucune structure interne, par dfinition) ettout objet est ultimement une collection de particules lmentaires. Dornavant, ce que nous appellerons unsystme ou un objet sera simplement un ensemble de particules considres, elles, comme ponctuelles. Il estbien important de comprendre quun systme noccupe pas ncessairement une rgion bien dfinie et fixe delespace et que sa forme peut changer avec le temps. Par exemple, en appliquant les lois de la mcanique aumouvement dune fuse, il faut inclure dans le systme la fuse elle-mme et le carburant quelle contientet quelle brle chaque instant. Dans ce cas, les gaz schappant des moteurs demeurent toujours dans lesystme, mme sils ne sont plus contenus dans la fuse. Autrement dit, aucune particule ne peut entrer ousortir du systme tudi sans quon ait modifier les rgles de mcanique que nous allons noncer.

La quantit qui tient lieu de position un objet macroscopique est son centre de masse, ou centre dinertie,dfini comme le vecteur suivant

Rcm N

i=1 mi rii mi

= 1Mtot

Ni=1

mi ri (3.2)

28

3.2. Systmes de particules et centre de masse

o ri dsigne la position et mi la masse de la i eme particule du systme (i = 1,2, . . . , N ). Mtot dsigne lamasse totale

i mi . Le centre de masse est donc la position moyenne des particules du systme, pondre par

la masse de chaque particule.

La vitesse du centre de masse, note Vcm, sobtient simplement en calculant la drive par rapport au tempsde Rcm :

Vcm =dRcm

dt= 1

Mtot

i

mi vi (3.3)

De mme, lacclration Acm du centre de masse est

Acm =dVcm

dt= 1

Mtot

i

mi ai (3.4)

Donc la quantit de mouvement (ou impulsion) totale dun objet sexprime comme la masse totale Mtot fois lavitesse du centre de masse :

Ptot =N

i=1mi vi = MtotVcm (3.5)

Dautre part, si Fi est la force nette exerce sur la particule i , alors la drive temporelle de limpulsion totaleest

dPtotdt

=N

i=1

dpidt

=N

i=1Fi = Ftot (3.6)

o par dfinition Ftot est la force totale (ou rsultante) exerce sur le systme, cest--dire la somme vectoriellede toutes les forces exerces sur chacune des particules du systme. La deuxime loi de Newton sapplique doncau mouvement du centre de masse, condition de considrer la rsultante de toutes les forces appliques :

MtotAcm = Ftot (3.7)

Une simplification essentielle de la relation (3.7) vient du fait que, dans le calcul de la rsultante Ftot, les forcesinternes au systmes ne contribuent pas : seules comptent les forces exerces par des objets externes ausystme. La dmonstration de ce fait capital repose sur la troisime loi de Newton : en somme, les forcesinternes lobjet sannulent par paires en raison de la troisime loi. Pour dmontrer cette assertion plus endtail, dcomposons la force Fi sexerant sur la particule i en une partie externe Fext.i , exerce par des objetsextrieurs au systme, et une partie interne Fint.i , qui est la somme des forces exerces par toutes les autresparticules du systme :

Fi = Fint.i +Fext.i Fint.i =

j ( j 6=i )Fi j (3.8)

o Fi j est la force exerce par la particule j sur la particule i (notez lordre des indices). Or, la troisime loi deNewton stipule que Fi j =F j i . Donc, dans le calcul de la force totale Ftot, les forces internes sannulent deux deux :

Ftot =

iFi

=

i

{ j ( j 6=i )

Fi j +Fext.i}

=i 6= j

Fi j +

iFext.i

(3.9)

o i 6= j dans la premire somme signifie quon somme sur toutes les paires (i , j ) telles que i 6= j . La premiresomme du membre de droite sannule, car pour chaque paire de particules (i , j ), le terme Fi j compenseexactement le terme F j i . On peut donc crire

Ftot =

iFext.i (3.10)

Pour rendre ce calcul plus explicite, considrons le cas de trois particules, numrotes 1,2 et 3. Les forcesagissant sur chacune des trois particules sont

F1 = Fext.1 +F12 +F13F2 = Fext.2 +F21 +F23F3 = Fext.3 +F31 +F32

(3.11)

29


En faisant la somme de ces trois forces, on trouve simplement la somme des forces externes, car les forcesinternes sannulent deux deux : F12 =F21, F13 =F31 et F23 =F32.Ceci signifie que, pour connatre le mouvement du centre de masse, il nest pas ncessaire de connatre lesdtails des forces internes au systme, mais uniquement les forces externes. Le contraire serait tonnant etsignifierait, par exemple, quun objet peut acclrer spontanment sans force externe, simplement parce quele bilan des forces internes est non quilibr ! En rsum, lacclration du centre de masse est entirementdtermine par la somme (ou rsultante) des forces externes :

MtotAcm = Ftot (forces externes seulement) (3.12)

Ce rsultat est parfois appel le thorme de la rsultante dynamique et constitue lquivalent de la deuximeloi de Newton pour un objet macroscopique.

Lquivalent de la premire loi de Newton pour un objet macroscopique est le principe de conservation de laquantit de mouvement : si un systme est isol, cest--dire si les seules forces en prsence sont les forcesmutuelles des particules du systme, alors la force totale sexerant sur le systme est nulle et la quantit demouvement totale Ptot du systme est conserve :

dPtotdt

= 0 (systme isol) (3.13)

Le centre de masse du systme se dplace alors vitesse constante (Mtot tant constant), mme si lemouvement relatif des direntes parties du systme peut tre trs complexe.

Enfin, la troisime loi de Newton peut aussi sappliquer des objets macroscopiques : si un systme 1 exerceune force totale F21 sur un systme 2, alors la force totale exerce par le systme 2 sur le systme 1 (cest--direpar toutes les particules du systme 2 sur toutes les particules du systme 1) en est loppose :

F12 =F21 (3.14)

Cela se dmontre trs facilement.

La notion de centre de masse et le fait que seules les forces externes dterminent son mouvement, nouspermettent souvent de considrer comme ponctuels des objets qui ne sont pas des points : si un tel objet nestpas trop grand par rapport aux distances qui le sparent des autres objets qui exercent une force sur lui, alorsla force totale Ftot se calcule facilement, car les donnes ncessaires pour calculer chacune des contributionFext.i (cest--dire les distances avec les objets externes de chacune des particules qui composent lobjet) sont peu prs toutes les mmes. On considre alors que la position de lobjet est celle de son centre de masse etque la force totale sexerant sur cet objet ne dpend que de la position (et peut-tre de la vitesse) de soncentre de masse. Lobjet se comporte alors comme une particule ponctuelle en ce qui a trait son mouvementde translation (cest--dire au mouvement de son centre de masse). Dautre part, si lobjet est rigide, maissans tre ncessairement petit, et quune contrainte le maintient toujours dans la mme orientation (aucunmouvement de rotation), alors seul un mouvement de translation de son centre de masse est possible et onpeut facilement lui appliquer la relation (3.12). Nous avons en tte ici dinnombrables situations idalises odes blocs de matire glissent sur des plans inclins, sont tirs par des cordes ou sont pousss par des ressorts,dans le seul but de permettre aux tudiants de se familiariser avec lapplication de la formule (3.12) et, plusimportant, des concepts qui la prcdent.

3.3 Gravitation universelle

Les Principia de Newton comportent non seulement les lois du mouvement dcrites ci-haut, mais noncentaussi la loi de la gravitation universelle, laide de laquelle Newton explique le mouvement des plantes autourdu Soleil. Newton y pratique ici la mthode dite hypothtico-dductive : il sait que les plantes adoptent desorbites elliptiques autour du Soleil et formule lhypothse quune force dattraction dcroissant comme linversedu carr de la distance est exerce par le Soleil sur les plantes. Il dmontre ensuite que cette hypothsesut expliquer les lois empiriques de Kepler sur le mouvement des plantes. Il tend ensuite son hypothse

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3.3. Gravitation universelle

dattraction tous les objets de lunivers, tant terrestres que clestes, do lpithte universelle associe cetteforce. Newton raconta plus tard dans sa vie que cest en voyant une pomme tomber dun arbre quil compritque cette pomme tait attire par la Terre par la mme cause qui garde la Lune en orbite autour de la Terre etcette dernire autour du Soleil.

3.3.1 Loi de la gravitation universelle

La loi de la gravitation universelle sexprime comme suit : chaque objet exerce sur chaque autre objet une forcedattraction, proportionnelle au produit des masses m1 et m2 des deux objets, et inversement proportionnelleau carr de la distance r qui les spare ; cette force est dirige suivant le vecteur qui relie les deux objets. Oncrit

F12 =Gm1m2

r 212r12 (3.15)

o : F12 : force exerce sur lobjet 1 par lobjet 2. m1, m2 : masse des objets 1 et 2. r12 : distance entre les objets 1 et 2. r12 : vecteur unit dirig de lobjet 2 vers lobjet 1. G : constante de Cavendish (6,6726(8)1011 Nm2/kg2).Si r1 et r2 sont les positions des deux objets, on dfinit la position relative r12 = r1 r2 et alors r12 = |r12| etr12 = r12/r12. On peut aussi crire la force F12 comme

F12 =Gm1m2|r1 r2|3

(r1 r2) (3.16)

Notons que, dans ce cas, le vecteur r1 r2 ntant pas unitaire, on a divis par un facteur supplmentaire de|r1 r2| pour compenser.La loi de la gravitation universelle a t tablie par Newton la suite dune chane de raisonnement assezintressante :

1. Newton sest aperu, vers 1680, que la deuxime loi de Kepler (loi des aires) nest respecte que si laforce dattraction du Soleil sur une plante est dirige en ligne droite vers le Soleil (force centrale).

2. Newton est familier avec lobservation empirique que tous les objets terrestres subissent la mmeacclration vers le sol, quelle que soit leur masse, quand on fait abstraction de la rsistance de lair.Cette observation, paraine par Galile, implique que la force gravitationnelle sexerant sur un objet estproportionnelle la masse de cet objet, de sorte que lacclration correspondante est indpendante dela masse. On peut donc crire (en grandeur) F m1, o m1 est la masse de lobjet 1, subissant la forceexerce par lobjet 2.

3. Daprs la loi daction-raction, cette force doit tre gale et oppose la force exerce par lobjet 1 surlobjet 2. Donc il faut que F = m1m2 f (r ), o f (r ) est une fonction de la distance entre les deux objets.

4. Pour trouver cette fonction f (r ), Newton applique la troisime loi de Kepler au mouvement circulaire(hypothtique) dune plante. Cette troisime loi, dcouverte de manire empirique par Kepler, stipuleque le rapport entre le carr de la priode et le cube du rayon de lorbite (T 2/r 3) est le mme pourtoutes les plantes, ou encore T 2 =Cr 3, C tant la mme constante pour toutes les plantes. Newtonsait que lacclration centripte sur un cercle est donne par v2/r . En substituant v = 2r /T et enposant que la force centripte est gale la force dattraction gravitationnelle, on trouve

m1m2 f (r ) = m1v2

r= m1(2)2

r

T 2= m1

(2)2

Cr 2(3.17)

Donc la fonction f (r ) est proportionnelle 1/r 2 (la masse m2 est en fait contenue dans la constante C ).On crit donc f (r ) =G/r 2, o G est une constante universelle.

La constante G a t mesure pour la premire fois par Henry Cavendish laide dune balance torsion,en 1798. Cette mesure lui a permis de calculer la masse de la Terre (et du Soleil) partir de la valeur deg mesure la surface de la Terre. Encore aujourdhui, la constante G (dite de Cavendish) est la constantephysique fondamentale qui est connue avec le moins de prcision.

31


3.3.2 Champ gravitationnel

La loi de la gravitation universelle obit au principe de superposition : la force de gravitation agissant sur uneparticule et cause par plusieurs autres particules est la somme vectorielle des forces exerces par chacunedes particules prises sparment. Dit autrement, la force de gravit newtonienne provient dune interaction depaires : le fait dajouter une troisime particule dans le voisinage dune paire de particules ne modifie pas laforce mutuelle des particules de la paire. Soit N particules de masses mi (i = 1,2, . . . , N ) situes aux positionsri . La force F quelles exercent sur une particule de masse m situe au point r est

F =GN

i=1

mi m

|r ri |3(r ri ) (3.18)

On dfinit le champ gravitationnel g(r) au point r comme la force gravitationnelle exerce ce point sur unemasse infinitsimale 3 m, divise par m :

g(r) =GN

i=1

mi|r ri |3

(r ri ) (3.19)

Remarques : Si une particule de masse m est situe au point r, alors la force gravitationnelle quelle subit est F = mg(r). En gnral, on appelle champ toute fonction qui dpend de la position. En particulier, un champ vectoriel

est un vecteur quon associe chaque point de lespace. Le champ gravitationnel a les units de lacclration. Le champ gravitationnel existe mme aux endroits o aucune particule nest prsente pour subir soninfluence.

Les particules qui causent le champ gravitationnel sont appeles les sources du champ. Le c

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