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Flexão de Cascas Cilíndricas 3.1

Capítulo 10

Flexão de Cascas Cilíndricas

10.1 Equações Gerais de Cascas Cilíndricas Flectidas

10.1.1 Equações de Equilíbrio

Considere-se num ponto de uma casca cilindrica cujo estado de tensão é definido

a partir dos esforços generalizados, representados na figura 10.1 e que são:

Esforços de membrana θxsx NeN,N

Esforços de flexão xssx MeM,M

Esforços de corte sx TeT

onde xM e sM são momentos flectores por unidade comprimento, xsM é um

momento torsor por unidade de comprimento e sx TeT são esforços cortantes por

unidade de comprimento, sendo o eixo dos xx com a direcção do eixo de casca

cilíndrica e θ= adds onde a representa o raio de curvatura de casca cilíndrica.


Forças por unidade de comprimento Momentos por unidade de comprimento

Figura 10.1: Esforços generalizados.

Os sentidos indicados para os esforços na figura 10.1 correspondem aos sentidos

positivos adoptados para os esforços generalizados.

O raio de curvatura da superfície média, superfície cilíndrica é designado por a e é

considerado elevado quando comparado com a espessura t de casca.

O elemento ABCD de casca está limitado por duas secções rectas infinitamente

próximas definidas por x e x + dx e por duas geratrizes infinitamente próximas

definidas por s e s + ds.

O equilíbrio de forças traduz-se na equação vectorial

( ) ( ) 0kpjpipkTjNiNs

kTjNiNx 321ssxsxxsx =+++−+

∂∂

+−+∂∂ 10.1

e a equação de equilíbrio de momentos traduz-se na equação vectorial:

( ) ( ) 0jTiTjMiMs

jMiMx xsxssxxs =+−−

∂∂

+−∂∂ 10.2

Tendo em conta que:

0si

xk

xj

xi

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

aj

ske

ak

sj

=∂∂

−=∂∂ 10.3

θT

θN

A B

D

xT

θMθxM

θxM

xM

k

ji

xNθ

xN

θxN

k

j i

ds

dθ a


as equações vectoriais de equilíbrio são equivalentes às seis equações escalares

seguintes:

0ps

Nx

N1

xsx =+∂

∂+

∂∂

0pTa1

sN

xN

2xsxs =+−

∂∂

+∂

∂

0pNa1

sT

xT

3sx =−+

∂∂

+∂∂ 10.4

0Ts

Mx

Mx

xsx =−∂

∂+

∂∂

0Ts

Mx

Ms

sxs =−∂∂

+∂

∂

0Ma1

xs =

Pode obter-se uma boa aproximação considerando insignificantes os termos

a/Ts e a/Mxs , com efeito se a (raio de curvatura da superfície cilíndrica) é elevado e

os esforços sT e xsM são pequenos, nestas condições as equações 10.4 podem reduzir-

se a cinco equações de equilíbrio com a forma seguinte:

0ps

Nx

N1

xsx =+∂

∂+

∂∂

0ps

Nx

N2

sxs =+∂∂

+∂

∂

0pa

Ns

Tx

T3

ssx =−+∂∂

+∂∂ 10.5

0Ts

Mx

Mx

xsx =−∂

∂+

∂∂

0Ts

Mx

Ms

sxs =−∂∂

+∂

∂

Eliminando xT e sT nas últimas três equações das equações 10.5, obtém-se as

equações de derivadas parciais seguintes:


0ps

Nx

N1

xsx =+∂

∂+

∂∂

0ps

Nx

N2

sxs =+∂∂

+∂

∂ 10.6

0pa

N

s

Msx

M2

x

M3

s2

s2

xs2

2x

2=−+

∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂

Estas equações são insuficientes para calcular os esforços de flexão e de

membrana.

10.1.2 Relações Deformações-Deslocamentos

Considere-se o elemento ABCD na vizinhança do ponto e sobre a superfície

média da casca, como se representa na figura 10.2, sendo ( )θ,xA , ( )s,dxxB + ,

( )dss,xC + e ( )dss,dxxD ++ . Na configuração deformada os pontos ocupam a

posição A', B', C' e D' como se representa na figura 10.2. Designando por u, v, e w os

deslocamentos sofridos pelo ponto A é possível calcular os deslocamentos sofridos

pelos pontos B e C, ou seja:

O deslocamento do ponto A é

kwjviu'AA ++= 10.7

Figura 10.2: Configuração deformada do elemento ABCD.

B D

C

k

j i

dθ

A

B'

C'

D'

A'

jdaAC

idxAB

θ=

=


O deslocamento do ponto B é:

kdxxwwjdx

xvvidx

xuu'BB

∂∂

++

∂∂

++

∂∂

+= 10.8

O deslocamento do ponto C é:

( ) ( ) dsskwkwds

sjvjvids

suu'CC

∂∂

++∂∂

++

∂∂

+= 10.9

Tendo em conta que

aj

ske

ak

dsjd

=∂∂

−= 10.10

obtém-se:

kdsav

swwjds

aw

svvids

suu'CC

−∂∂

++

+∂∂

++

∂∂

+= 10.11

Tendo em conta que idxAB = e jdsAC = obtém-se:

kdxxwjdx

xvidx

xu1'B'A

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+=

kdsau

swjds

aw

sv1ids

su'C'A

−∂∂

+

+

∂∂

++∂∂

= 10.12

As componentes da deformação xε , sε e xsε do tensor da deformação na

ausência de mudanças de curvatura são:

xu

x ∂∂

=ε aw

sv+

∂∂

=θε e uv

su2 xs ∂

∂+

∂∂

=ε 10.13

Se se considerarem as coordenadas x e θ em lugar de x e s, as componentes da

deformação são:

xu

x ∂∂

=ε

+∂∂

= wva1

θεθ e

xvu

a12 x ∂

∂+

∂∂

=θ

ε θ 10.14


Os termos de flexão são contabilizados de modo análogo ao considerado no caso

das placas.

10.1.3 Relações Deslocamento-Esforços Generalizados

Designado por e a espessura da casca, as relações entre os esforços e

deformações, lei de Hooke escrevem-se com a forma:

xu

x ∂∂

=ε ( )sx NNeE

1ν−=

aw

sv

s +∂∂

=ε ( )xs NNeE

1ν−=

xv

su2 xs ∂

∂+

∂∂

=ε ( )xsN

eE12 ν+

= 10.15

ou

+∂∂

+∂∂

=aw

sv

xukN x ν

∂∂

++∂∂

=xu

aw

svkNs ν

∂∂

+∂∂−

=xv

su

21kN xs

ν 10.16

onde k representa a rigidez de membrana que é definida por: 21eEkν−

= .

Fazendo uso das equações 10.15 podem calcular-se as deformações e uma vez

conhecidas as deformações podem calcular-se os deslocamento por integração.

As relações entre os momentos e os deslocamentos são análogos às consideradas

no caso das placas, as curvaturas são calculadas em função de deslocamento w, como já

foi referido e as relações momentos - curvaturas, são:

∂∂

+∂∂

= 2

2

2

2

x sw

xwDM ν


∂∂

+∂∂

= 2

2

2

2

s xw

swDM ν

( )sx

w1DM2

xs ∂∂∂

−= ν 10.17

onde D representa o módulo de rigidez à flexão que é definido do seguinte modo:

( )2

3

112eEDν−

= .

As equações 10.16 e 10.17 conjuntamente com as equações 10.6, num total de

nove equações permitem o cálculo de ( )sxsx NeN,N , ( )sxsx MeM,M e

( )wev,u , sendo os esforços transversos calculados por uso das equações de equilíbrio

eliminadas para efeitos de obtenção das equações 10.6, as quais podem ser escritas em

termos dos deslocamentos, fazendo uso das equações 10.17 com a seguinte forma:

∂∂

+∂∂

∂∂

= 2

2

2

2

x sw

xw

xDT

∂∂

+∂∂

∂∂

= 2

2

2

2

s sw

xw

sDT 10.18

Note-se que a teoria acabada de obter tem uma aproximação que resulta de se

eliminarem os termos a/Mea/T xss , no caso de não se considerar esta aproximação,

há que distinguir entre xsN e sxN e entre xsM e sxM , sendo o estado de tensão

definido considerando seis equações de equilíbrio.

10.1.4 Equações de equilíbrio em termos dos deslocamentos

Substituindo as equações 10.16 e 10.17 nas equações 10.6, obtém-se as equações

de equilíbrio em termos dos deslocamentos que são:


0kp

xw

asxv

21

su

21

xu 1

2

2

2

2

2=+

∂∂ν

+∂∂

∂ν++

∂

∂ν−+

∂

∂

0k

paw

ssxu

21

xv

21

sv 2

2

2

2

2

2=+

∂∂

+∂∂

∂ν++

∂

∂ν−+

∂

∂ 10.19

0pwDaw

sv

xu

ak

3 =−∇∇+

+

∂∂

+∂∂

ν

O operador ∇ representa 2

2

2

2

sx ∂∂

+∂∂ e consequentemente

4

4

22

4

4

42

sw

sxw2

xwww

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=∇∇=∇

Por solução das equações 10.19 pode obter-se o campo de deslocamentos u, v e

w.

A solução geral das equações 10.19 pode escrever-se com a seguinte forma:

21 uuu += 21 vvv += 21 www +=

onde 1u , 1v e 1w representa uma solução geral do sistema homogéneo de equações

obtido do sistema 10.19 ( )0ppp 321 === e 2u , 2v e 2w representa uma solução

particular do sistema de equações 10.19 calculada de tal modo que u, v e w satisfaçam

as condições de fronteira.

As condições de fronteira mais frequentes que se encontram nas aplicações

práticas são:

1 - ao longo do bordo x = constante

♦ Bordo encastrado

u = 0, v = 0, w = 0 e 0xw

=∂∂

♦ Bordo simplesmente apoiado


v = 0, w = 0, 0Mx = e 0Nx = 10.20

♦ Bordo livre

0Mx = , 0Nx = , 0Nxs = e 0s

MT xs

x =∂

∂+

2 - ao longo do bordo s = constante

♦ Bordo encastrado

u = 0, v = 0, w = 0 e 0sw

=∂∂

♦ Bordo simplesmente apoiado

u = 0, w = 0, 0Ms = e 0Ns = 10.21

♦ Bordo livre

0Ms = , 0Ns = , 0Nxs = e 0x

MT xs

s =∂

∂+

Note-se que no caso de ∞→a as equações 10.19, se reduzem às equações de

elasticidade plana e à equação de Lagrange.

10.2 Cascas Cilíndricas com Carregamento Axissimétrico

No caso do carregamento ser axissimétrico, o deslocamento v = 0 e as derivadas

em ordem a s são nulas, consequentemente as equações 10.19 tomam a forma:

0kp

dxdw

adxud 12

2

=++ν a)


0kp

aw

dxwd

kD

dxdu

a3

24

4

=+++ν b) 10.22

Tendo em conta as relações esforços-deslocamentos, 10.16, conclui-se que

+=

aw

dxdukN x ν ou seja w

akN

dxdu x ν

−= 10.23

Substituindo este resultado na equação 10.22b obtém-se:

0kp

aw

dxwd

kDw

akN

a3

24

4x =+++

−

νν 10.24

ou seja

DaN

Dpw4

dxwd x344

4 νβ −=+ 10.25

com ( )22

24

ae13 ν

β−

=

Note-se que a xN pode ser obtido através da equação

0pdx

dN1

x =+ ou seja dxpN 1x0x ∫−= 10.26

sendo xN independente da deformação da casca cilíndrica e constante em todo o

comprimento da casca. No caso de ser 0p1 = , como é o caso de um reservatório de

pressão, xN é uma constante calculada através das condições de fronteira.

A solução geral da equação pode ser escrita com a forma:

pc www += 10.27

sendo cw a solução complementar da equação em 2º membro e pw uma solução

particular da equação.

A solução da equação

0w4dx

wd 44

4

=+ β 10.28


toma a forma

mx

m1m

c eAw ∑==

10.29

sendo mA constantes arbitrárias.

Substituindo 10.29 em 10.28 obtém-se:

( ) 0e4mA mx44m =+Σ β 10.30

donde obtém a equação característica com a forma

04m 44 =+ β ou seja 4 12m −±= β 10.31

A solução complementar cw , toma a forma:

( ) ( ) ( ) ( ) xi1

4xi1

3xi1

2xi1

1c eAeAeAeAw ββββ −−+−−+ +++= 10.32

Tendo em conta que:

( ) ( )xixixixi ee21xseneee

21xcos ββββ ββ −− −=+= 10.33

obtém-se a solução complementar com a forma:

xseneCxcoseCxseneCxcoseCw x4

x3

x2

x1c ββββ ββββ −− +++= 10.34

A solução particular da equação 10.25 pode ser considerada com a forma:

−=

aNp

eEaw x

3

2

pν 10.35

Uma vez conhecido o deslocamento w, os esforços são facilmente calculados.


10.2.1Casca Cilíndrica Semi-Infinita Sujeita a uma Distribuição Axissimétrica de

Momentos e Esforços Transversos

Considere-se uma casca cilíndrica de comprimento semi-infinita sujeita a uma

carga axissimétrica, uma distribuição uniforme de momentos e esforços transversos

unitários, como se representa na figura 10.3. A origem do sistema de eixos é

considerada na extremidade em que se consideram aplicados os momentos e os esforços

transversos.

A solução geral da equação 10.25 tem a forma:

( ) ( )

−++++= −

aNp

eEaxsenCxcosCexsenCxcosCew x

3

2

43x

21x ν

ββββ ββ 10

No caso de casca da figura 10.3, 0Np x3 == e por outro lado o deslocamento deve

decrescer à medida que x aumenta, consequentemente os termos de w que contêm xeβ

devem ser eliminados, a solução toma a forma:

( ) ( )xsenCxcosCexw 43x βββ += − 10.37

Figura 10.3: Casca cilíndrica semi-infinita sujeita a esforços transversos e momentos

no extremo.

As condições de fronteira são:

para x = 0 ox MM = e ox TT = 10.38

a

w

x, u o

oT

oT oM

oM


Os momentos flectores e os esforços transversos unitários são facilmente

calculados a partir de w, por uso das equações

2

2

x dxwdDM −= e 3

3x

x dxwdD

dxdMT −== 10.39

ou seja

[ ]xsenCxcosCeD2M 34x2

x βββ β −+= −

( ) ( )[ ]xsenCCxcosCCeD2T 4334x3

x βββ β −++−= − 10.40

Substituindo as condições 10.38 nas equações 10.40 obtém-se:

para x = 0

o42 MCD2 =β ou seja

D2MC 2

o4 β=

( ) o433 TCCD2 =+− β ou seja

D2T

D2MC 3

o2o

3 ββ−−= 10.41

Substituindo as constantes 10.41 na equação 10.37 obtém-se:

( ) ( ) xcosD2

Txcosxsene

D2M

xw 3ox

2o β

βββ

ββ −−= − 10.42

Substituindo as constantes 10.41 nas expressões 10.40 obtém-se os momentos e

esforços transversos com a forma seguinte:

( ) xseneTxsenxcoseMM xoxox β

βββ ββ −− ++=

[ ]xsenxcoseTxseneM2T xo

xox ββββ ββ −+−= −− 10.43

Na extremidade x = 0, o deslocamento é máximo e tem o valor

( )

+−=

D2T

D2M

0w 3o

2o

ββ 10.44


e a inclinação é:

( )D2

TD

Mdxdw0 2

oo

0x ββθ +=

=

=

10.45

As expressões 10.43 permitem a obtenção das tensões resultantes da aplicação de

momentos e esforços transversos no extremo de uma casca cilíndrica longa.

10.2.2Casca Cilíndrica Curta Sujeita a Distribuição Axissimétrica de Momentos e

Esforços Transversos nos Extremos

Considere-se uma casca cilíndrica de dimensão finita sujeita a distribuição de

momentos e esforços transversos nos extremos como se representa na figura 10.4, na

ausência de esforços axiais, 0N x = e na ausência de pressão interior, 0p3 = . A

solicitação pode considerar-se simétrica em relação ao plano médio como se representa

na figura. Nestas condições a solução geral da equação 10.25 tem a forma:

( ) ( )xsenCxcosCexsenCxcosCew 43x

21x ββββ ββ +++= − 10.46

Figura 10.4: Casca cilíndrica curta sujeita a distribuição de esforços transversos e

momentos nos extremos.

Esta solução pode ser escrita com a forma: ( ) ( ) ( )xLseneCeCxseneCxcoseCw xL

4xL

3x

2x

1 −+++= −−−−−− βββ ββββ

10.47 ou

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]xLBCxLACxBCxACw 4321 −+−++= ββββ 10.48

oT

a x o

oT

oM

oM

oT

oT

oM

oM

L


onde

( ) xcosexA x ββ β−= e ( ) xsenexB x ββ β−=

Nestas condições, as expressões seguinte para os momentos e esforços

transversos são:

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }xLACxLBCxACxBCD2M 43212

x −−−+−−= βββββ

( ) ( ) ( ) ( ){ }21213

x CCxBCCxAD2T −−+−= βββ 10.49

Devido à simetria de carregamento deve considerar-se

4231 CCeCC ==


para x = 0 ox MM = e ox TT =

para x = L ox MM = e ox TT = 10.50

Substituindo estas condições nas equações 10.49 e tendo em conta as condições

de simetria obtém-se:

( ) ( )[ ]{ }LA1CLBCD2M 212

o βββ +−−=

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }LBLA1CLBLA1CD2T 213

o βββββ −−++−−= 10.51

donde se obtém:

( ) ( )[ ] ( )[ ]

++−∆

−== LA1D2

TLC1

D2M

L1CC 3

o2o

13 ββ

βββ

( ) ( )[ ] ( )

−−∆

−== LBD2

TLD1

D2M

L1CC 3

o2o

24 ββ

βββ

10.52

( ) ( ) ( ) [ ]LsenLcoseLBLALC L βββββ β +=+= −

( ) ( ) ( ) [ ]LsenLcoseLBLALD L βββββ β −=−= −

e


( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )LsenLsenhe2LC1LBLD1LA1L L βββββββ β +=−+−+=∆ −

O deslocamento, ow e a inclinação oθ para x = 0 são facilmente obtidas, sendo

( ) ( ) ( )

+−=

D2T

LD2

ML0w 3

oH2

oM β

βδβ

βδ

( ) ( ) ( )D2

TL

DM

Ldx

dw0 2

oH

oM

o

ββθ

ββθθ +== 10.53

onde

( ) ( )LsenLsenhLsenLsenhLL HM ββ

βββθβδ

+−

==

( )LsenLsenhLcosLcoshLH ββ

βββδ

++

=

( )LsenLsenhLcosLcoshLM ββ

βββθ

+−

=

10.2.3 Casca Cilíndrica Submetida a Carregamentos Antissimétricos nos Extremos

Considere-se a casca cilíndrica finita, representada na figura 10.5, sujeita a

carregamentos uniformes de esforços transversos e momentos flectores antissimétricos

em relação ao plano médio.

Figura 10.5: Carga antissimétrica. Casca cilíndrica.

oT

oT

oT

oT

a o

oM

oM

oM

oM

L


O deslocamento radial, w tem a forma geral:

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]xLBCxLACxBCxACw 4321 −+−++= ββββ 10.54

Como o carregamento é antissimétrico

31 CC −= e 42 CC −=



para x = L ox MM −= e ox TT −= 10.55

Substituindo uma destas condições nas equações 10.49 obtém-se as constantes

( ) ( )[ ] ( )[ ]

−++∆

−=−= LA1D2

TLC1

D2M

L1CC 3

o2o

131 β

ββ

ββ

( ) ( )[ ] ( )

++∆

=−= LBD2

TLD1

D2M

L1CC 3

o2o

142 β

ββ

ββ 10.56

onde as funções ( )LA β , ( )LB β , ( )LC β e ( )LD β são as funções definidas no caso

anterior e

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] [ ]LsenLsenhe2LC1LBLD1LA1L L1 βββββββ β −=+−+−=∆ −

10.57 O deslocamento e a inclinação para x = 0 são:

( ) ( ) ( )

+−=

D2T

LD2

ML0w 3

o'H2

o'm β

βδβ

βδ

( ) ( ) ( )D2

TL

DM

Ldx

dw0 2

o'H

o'm

o

ββθ

ββθθ +== 10.58

onde

( ) ( )LsenLsenhLsenLsenhLL '

H'm ββ

βββθβδ

−+

==


( )LsenLsenhLcosLcoshL'

H ββββ

βδ−−

=

( )LsenLsenhLcosLcoshL'

H ββββ

βθ−+

=

10.2.4Casca Cilíndrica Finita Sujeita a Distribuição Uniforme de Momentos e

Esforços Transversos nos Extremos

Considere a casca cilíndrica finita representada na figura 10.6 sujeita a esforços

transversos e momentos uniformemente distribuídos numa das extremidades.



para x = L 0Mx = e 0Tx = 10.59

A expressão da deformada é:

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]xLBCxLACLBCLACw 4321 −+−++= ββββ 10.60

e os esforços são:

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }xLACxLBCxACxBCD2M 43212

x −−−+−−= βββββ

( ) ( ) ( ) ( ){ }21213

x CCxBCCxAD2T −−+−= βββ 10.61

Substituindo as condições 10.59 nas equações 10.62 obtém-se o sistema de

equações seguinte:

( )

−−

=

+−−−−−−+−−−

D2/TD2/M

00

CCCC

BAABAAAB1011BABA10AB

3o

2o

4

3

2

1

ββ

10.62

onde ( ) ( )LBBeLAA ββ ==


Figura 10.6: Casca cilíndrica sujeita a esforços num dos extremos.

Resolvendo o sistema de equações 10.62, obtém-se:

[ ] [ ]324112141 /MTC αααααα −−=

[ ] [ ]413213112 /MTC αααααα −−=

( ) ( ) 213 CBA2CB2AC ++−=

214 CACBC −= 10.63

onde ( )LAA β= , ( )LBB β= , B21 −=α , [ ]222 BAAB21 +++−=α ,

AB2AB3A 223 +−−=α , 22

4 ABAB2A −++=α , D2/TT 3o1 β= e

D2/MM 2o1 β=

O deslocamento e a inclinação para x = 0 e para x = L são:

−+

−+

−−−

−= 11o T2L2cosL2cosh

L2senL2senhM2L2cosL2cosh

L2cosL2coshwββββ

ββββ

D2T

2L2cosL2coshL2cosL2cosh

DM

2L2cosL2coshL2senL2senh

dxdw

2ooo

βββββ

βββββ

−+

−+

−+

+−=

oT

oT

a

oM

oM

L

x


( ) ( )

−+

−+

−+−−= 11L T

2L2cosL2coshLsenLcoshLcosLsenh2M

2L2cosL2coshLsenLsenh4w

ββββββ

ββββ

( )

−+

+−+

+−−=

D2T

2L2cosL2coshlsenLsenh4

DM

2L2cosL2coshLsenLcoshLcosLsenh2

dxdw

3ooL

βββββ

βββββββ

10.64 O mesmo resultado seria obtido se a solução tivesse sido obtida considerando os

resultados dos casos 10.2.2 e 10.2.3, usando o princípio da sobreposição de efeitos.

O efeito de bordo manifesta-se até uma certa distância tornando-se irrelevante a

partir de determinado valor de x. As soluções têm todas as mesmas características, uma

constante a multiplicar por um factor que exibe um andamento exponencial tendente

para zero do tipo oscilatório. O deslocamento, a inclinação, o momento flector e o

esforço transverso diminuem com xe β− , uma vez que ( )[ ] ea13 4/12νβ −= , eax

é um parâmetro que caracteriza o comportamento da casca. Por exemplo, 4eax =

ocorre quando 12.5x =β , para o qual é 005976.0e x =β− que é uma quantidade

insignificante. Pode portanto afirmar-se que para distâncias ea4LB > , os efeitos de

bordo são irrelevantes. A quantidade ae4LB = é conhecida por comprimento de

atenuação dos efeitos de bordo ou comprimento do amortecimento.

10.2.5 Casca Cilíndrica Longa Sujeita a um Anel de Carga

Considere-se a casca cilíndrica representada na figura 10.7 sujeita a uma carga

uniformemente distribuída de intensidade H como se representa.

Figura 10.7: Casca cilíndrica sujeita a um anel de carga.

ET

oT

P

P

oT

ET

P

a

x

z


Na ausência de pressão interior e tendo em conta a simetria e o facto de a casca

ser longa, 0w → com ∞→x , o deslocamento radial w por ser considerado com a

forma:

( )xsenCxcosCew 21x βββ += − 10.65

Os esforços são calculados fazendo uso das expressões:

2

2

x dxwdDM −= 2

2

dxwdDM νθ −= e 3

3

x dxwdDT −=

0N x = e a

weEN =θ 10.66

As condições de fronteira aplicadas, tendo em conta que 2PTT ED == , são:

2P

dxwdDT 3

3

x −=−= e 0dxdw

= 10.67

Considerando estas condições 10.67 e a equação 10.65 obtém-se:

D8PCC 321 β

==

Consequentemente o deslocamento pode ser escrito com a seguinte forma:

( )xcosxsenD8

ePw 3

x

βββ

β

+=−

ou

+=

−

4xsen2

D8ePw 3

x πβ

β

β

10.68

O deslocamento atenua-se com a distância como uma onda de um

exponencialmente amortecido.


O deslocamento máximo e momento máximo, para x = 0, são:

eE2aP

D8Pw

2

3maxβ

β== e

β4PMmax = 10.69

As tensões de flexão máximas ocorrem para x = 0 e z = c/2 e são calculadas tendo

em conta que

33xx

x tzM12

tN;

ezM12

eN θθ

θσσ +=+= 10.70

Os esforços são 0Nx = , a/weEN −=θ , xM definido de acordo com 10.69

e xMM ν=θ , consequentemente:

2max,x e2P3β

σ = e

+−= 22max, e

3ea

2P

βνβ

σθ 10.71

O efeito da carga localizada no anel pode ser desprezado para distâncias

βπ> /x sendo a flexão produzida por este tipo de carga do tipo localizado.

10.2.6Casca Cilíndrica Longa Sujeita a uma Carga Superficial Uniformemente

Distribuída numa Distância Pequena

Considere-se a casca cilíndrica representada na figura 10.8 considerada de

comprimento infinito quando comparado com o raio da casca e sujeita a uma carga

uniformemente distribuída de intensidade p sobre uma banda de comprimento 2b.

Figura 10.8: Cilindro infinito carregado numa zona finita.

Este caso de carga é facilmente resoluvel se se recorrer ao caso anterior, 10.2.5, a

equação do deslocamento é:

a

x

b b

ξ dξ


( )xcosxseneD8

Pw x3 ββ

ββ +±= ±

00

x><

10.72

Os sinais - são usados para valores negativos de x e + são usados para valores

finitos de x. No caso de se mover a carga da posição x = 0 para a posição ξ=x a

equação 10.72 toma a forma:

( ) ( ) ( )[ ]ξβξββ

ξβ −+−±= −± xcosxseneD8

Pw x3 para

ξ>ξ<

x 10.73

como resulta de substituir x por ξ−x .

Tendo em conta que ξ= dpP e somando o efeito das cargas no intervalo - b, b

deve obter-se a resposta da casca para a carga atribuída. Note-se que é necessário

distinguir dois intervalos, o intervalo - b < x < b e x > b ou x < - b.

No intervalo x > b é:

( ) ( ) ( )[ ] ξξβξββ

ξβ dxcosxseneD8

pw xbb3 −+−∫= −−

−

( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]bxbxcosebxcoseD8

p bxbx4 >+−−= +−−− ββ

βββ 10.74

No intervalo - b < x < b existe carga para ambos os lados do ponto de coordenada

x, e é:

( ) ( ) ( )[ ]{ +−+−∫= −−− ξξβξβ

βξβ dxcosxsene

D8pw xx

b3

( ) ( ) ( )[ ] }=−+−−∫+ − ξξβξβξβ dxcosxsene xbx

( ) ( ) ( ) ( )[ ]bxcosebxcose2D8

p bxbx4 −−+−= −−+− ββ

βββ 10.75

Uma vez conhecido o deslocamento é fácil a obtenção dos esforços e das tensões

correspondentes.

10.2.7 Cascas Cilíndricas Reforçadas por Anéis


As cascas cilíndricas são muitas vezes reforçadas por anéis que podem ser

equidistantes ou não. Neste estudo consideram-se anéis equidistantes em cascas longas

sujeitas a pressão interior, como se representa na figura 10.9. As dimensões dos anéis

de reforço são relevantes para efeitos de análise de comportamento da casca, no

presente estudo consideram-se anéis de espessura pequena quando comparada com o

raio do anel ou da casca.

Figura 10.9: Casca cilíndrica reforçada por anéis.

Os anéis podem ser rígidos ou flexíveis quando comparados em termos de rigidez

com a casca. No caso de serem rígidos, os anéis vão impedir o deslocamento radial da

casca nas secções em que são considerados, no caso de serem flexíveis vão deformar-se

com a casca. Têm de distinguir-se estas dias situações extremas.

a) Anéis de reforço rígido

Nesta caso os deslocamento radias nas secções de reforço são nulos. No caso de

não existir anel a pressão circunferencial e o deslocamento radial seriam:

epaNs = e

eEpa 2

o =δ 10.76

Nas secções onde existem os anéis desenvolvem-se reacções, P por unidade de

comprimento circunferencial da casca entre o anel e a casca.

L2a


Para efeitos de cálculo de P, é necessário calcular o deslocamento radial

produzido na casca como resultado de P, o qual deve ser em grandeza igual ao

deslocamento produzido pela pressão p, a fim de anular o deslocamento na secção do

anel. O momento na secção do anel, oM , pode ser calculado impondo a condição

dw/dx = 0 numas das extremidades do troço da casca entre os anéis. Entre anéis a casca

está solicitada de acordo com a representação da figura 10.10.

Figura 10.10: Acções entre anéis.

O deslocamento radial e a inclinação para cascas curtas sujeitas a esforços

simétricos oo T,M nos extremos são:

++

++−

−=LsenLsenhLcosLcoshT

LsenLsenhLsenLsenhM

eEa2w oo

2

ββββ

ββββ

ββ

+−

++−

±=LsenLsenhLsenLsenhT

LsenLsenhLcosLcoshM2

eEa2

dxdw

oo

22

ββββ

ββββ

ββ 10.77

Impondo a condição dw/dx = 0 e tendo em conta que 2/PTo = , obtém-se:

0LsenLsenhLsenLsenh

LcosLcoshLcosLcoshM4

eEa

o

22

=

+−

−−−

ββββ

ρββββ

ββ 10.78

ou seja

LcosLcoshLsenLsenh

4PMo ββ

βββ −

−= 10.79

oM

oM

oT a

x

oT

oM

oM oT

oT

p


Substituindo 10.79 na primeira das equações 10.77 e igualando o deslocamento a

eE/pa 21 =δ , deslocamento resultante da pressão, obtém-se:

( )( ) ( ) eE

paLsenLsenhLcosLcosh2

LsenLsenhlsenLsenhLcosLcosh

eEaP 2

o

22

==

+−−

−++

δββββ

βββββββ

10.80 ou seja

( )( ) ( ) p

aeE

LsenLsenhLcosLcoshLsenLsenh

21

LsenLsenhLcosLcoshP 2

o2

==

+−−

−++ δ

ββββββ

ββββ

β

10.81

No caso de Lβ ser muito elevado, a parcela dentro de parêntesis recto tendo para

1/2 obtém-se

1

2

eE2aP

δβ

= 10.82

b) Anéis flexíveis

No caso dos anéis de reforço serem flexíveis, o deslocamento radial da casca na

secção do anel não é nulo.

As forças na ligação anel - casca provocam um aumento do raio interior do anel

que é:

AEPaa

AEPaw

2

=

=∆ 10.83

onde A é área da secção recta e Pa é a força de tracção no anel.

Substituindo na equação 10.80 oδ por wo1 ∆−δ=δ , obtém-se a equação que

permite o cálculo de P na secção do anel e que é:

( )( ) ( ) A

ePpLsenLsenhLcosLcosh2

LsenLsenhLsenLsenhLcosLcoshP

2

−=

+−−

−++

ββββββ

ββββ

β 10.84


Resolvendo a equação anterior em ordem a P e substituindo na equação do

momento, 10.79, obtém-se:

LsenLsenhLsenLsenh.

APtp

21M 21 ββ

βββ +

−

−= 10.85

que representa o momento na casca junto ao anel.

10.2.8 Reservatórios Cilíndricos

Outro caso de flexão axissimétrica ocorre nos reservatórios contendo fluidos,

como se representa na figura 10.11. No caso do reservatório da figura existe um

encastramento na base que provoca o aparecimento de momentos significativos. O

reservatório é considerado de espessura constante e igual a e e a altura é igual a h, o

raio do reservatório é a, como se representa na figura. O peso específico do fluído

contido no reservatório é j. No topo não existem forças aplicadas, sendo 0Nx = e a

deformação é livre. As condições na base inferior, encastramento são:

w = 0 e 0dxdw

= para x = 0 10.86

a

z

e h

x


Figura 10.11: Reservatório cilíndrico.

A equação de equilíbrio em termos dos deslocamentos é:

Dpw4

dxwd 44

4

=+ β 10.87

sendo ( )xhp −−= γ .

Uma solução particular da equação 10.87 pode ser ( ) eE/axh 2−γ− e a

solução geral da equação toma a forma:

[ ] [ ] ( ) 243

x21

x aeE

xhxsenCxcosCexsenCxcosCew −−+++= − γ

ββββ ββ

10.88

A espessura é considerada pequena quando comparada com a e h e h é

considerado elevado quando comparado com a e neste caso podem considerar-se

0CC 43 == . As constantes 21 CeC são calculadas considerando as condições de

fronteira para x = 0, que são:

0eE

haCw2

1 =−=γ e ( ) 0

eEaCC

dxdw 2

12 =+−=γ

β

donde eE

haC2

1γ

= e

−=β

γ 1heE

aC2

2 10.89

A equação 10.88 toma a forma:

−+−−= − xsen

h11xcose

hx1

eEhaw x

2

ββ

βγ β 10.90

O deslocamento axial é:

oho udx

awu +∫= ν ou ( )0u0xdx

awu o

h

o==ν= ∫


As tensões resultantes são obtidas a partir dos esforços que são:

−+−−=−= − xsen

h11xcose

hx1ha

aweEN x β

ββγ β

θ

−−=−= − xsen

h11xcose

eEhDa2

dxwdDM x

22

2

2

x ββ

βγβ β

xMM νθ = 10.91

No caso de se considerar a secção x = 0, obtém-se o momento flector máximo que

é:

( )eE

hDa2h

11M22

maxxγβ

β

−= 10.92

donde se poderia obter facilmente a tensão, xσ , máxima.

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