TENSÕES E DEFORMAÇÕES NO REGIME ELÁSTICOConsiderando-se o regime elástico:

xx E (10) mx c

y (9)

) E(c

y E mxx )(

c

ymx (11)

No regime elástico a tensão normal varia linearmente com a distância à superfície neutra.

Deve-se agora determinar a posição da linha neutra e o valor máximo da tensão normal m.

Essa equação mostra que o momento estático da área da seção transversal em relação a linha neutra é zero.

Substituindo-se a Eq. (11) em (1):

0dAx (1) )(c

ymx (11)

0dA yc

dA c

ydA m

mx

Da última igualdade é deduzida: 0dA y

Para barras submetidas à flexão pura, a linha Para barras submetidas à flexão pura, a linha neutra passa pelo centro geométrico da seção, neutra passa pelo centro geométrico da seção, enquanto as tensões permanecem em regime enquanto as tensões permanecem em regime elástico.elástico.

(12)

MdA) y( x (3)

Lembrando da equação (3), que foi deduzida para um eixo arbitrário z,

e adotando que o eixo arbitrário z coincide com a linha neutra da seção transversal, substitui-se nessa equação o valor de x dado por

)(c

ymx (11)

assim: MdA c

y-)y( m

MdAyc

2m

(13)

MdAyc

2m

(13)

A integral da expressão anterior representa o momento de inércia I da seção transversal em relação à linha neutra.

Com isso, pode-se determinar o valor da tensão máxima através da expressão:

I

c Mm (14)

Para determinar o valor da tensão x a uma distância y da linha neutra, basta substituir m na Eq. (14) em (11):

)(c

ymx (11)

I

y Mx (15)

I

c Mm (14)

I

y Mx (15)

As equações (14) e (15) são conhecidas como fórmulas da fórmulas da flexão em regime elásticoflexão em regime elástico, e a tensão normal x, provocada quando a barra se flexiona, é chamada tensão de flexãotensão de flexão.Pode-se ver que a tensão é de compressão acima do eixo neutro (m < 0 e y > 0), quando M > 0.

A relação I/c é chamada módulo resistente ou momento resistente e é expressa por W. Desse modo a equação (14) pode ser reescrita na forma:

W

Mm (16)

A deformação da barra submetida à flexão é medida pela curvatura da superfície neutra.

A curvatura é definida como o inverso do raio de curvatura , e pode ser calculada resolvendo-se a equação abaixo em termos de 1/:

cm

c

1 m

Mas, em regime elástico, tem-se:E

mm

E ainda:I

c M

c E

1

c E

1 m

EI

M1

(17)

I

c Mm (14)

DEFORMAÇÕES EM UMA SEÇÃO TRANSVERSAL

Observa-se que uma seção transversal se mantém plana, em uma barra sujeita a flexão pura, porém, não se exclui a possibilidade de ocorrerem deformações dentro do plano da seção.

Tais deformações realmente existem e podem se determinadas a partir de x empregando-se o coeficiente de Poisson.

y = - x z = - x

y

x (8)

y

y

y

z (18)

FLEXÃO DE BARRAS CONSTITUÍDAS POR VÁRIOS

MATERIAISAs deduções feitas até aqui se baseiam na hipótese de material homogêneo com um certo módulo de elasticidade.Se a barra submetida a flexão pura é constituída de dois ou mais materiais, com diferentes módulos de elasticidade, o enfoque para a determinação das tensões na barra deve ser modificado.

Considere, por exemplo, uma barra constituída de duas partes de materiais diferentes:

M

M

A barra composta vai se deformar como foi descrito anteriormente para a barra homogênea feita de um único material.A seção transversal se mantém a mesma em toda a extensão da peça, e uma vez que não foi adotada nenhuma condição que envolvesse a relação tensão-deformação é válida a expressão:

y

x (8)

De qualquer modo, não podemos assumir que a linha neutra passa pelo centróide da seção transversal, e um dos objetivos da presente análise será a determinação da localização desta linha.

As expressões para a determinação das tensões em cada material serão diferentes:

yE E 1

x1x1

(19)

yE E 2

x2x2

Com estas expressões é obtida uma distribuição de tensões que leva a um diagrama que consiste em dois segmentos retilíneos:

L.N.

Y Y

1

2

x

1x

2x

Uma força dF1 exercida sobre um elemento de área dA da parte superior da seção transversal é definido por:

1

2

dAyE

dAdF 1x11

(20)

Por sua vez, uma força dF2 exercida sobre um elemento de área dA da parte inferior da seção transversal é:

dAyE

dAdF 2x22

(21)

Chamando de n a relação E2 /E1 entre os módulos de elasticidade, pode-se expressar dF2 como:

)ndA(yE

dAy)nE(

dAyE

dF 1122

(22)

Comparando-se as equações (20) e (22), pode-se observar que a força dF2 que se exerce no material na parte inferior da barra vai se exercer em um área em uma área de valor n dA do primeiro material.

dAyE

dF 11

(20) )ndA(yE

dF 12

(22)

Em outras palavras, a resistência à flexão permanece a mesma se ambas as partes forem feitas do primeiro material, desde que a largura de cada elemento da parte inferior seja multiplicado pelo fator n.Deve-se observar que o alargamento (se n > 1) ou estreitamento (se n < 0), deve ser efetuado em uma direção paralela à linha neutra da seção transversal, pois é essencial que a distância y de cada elemento à linha permaneça a mesma.

Assim, para uma viga composta de dois materiais:

b

dA

L.N.

n dA

n b

Como a seção transformada representa a seção transversal de uma barra feita de material homogêneo com módulo de elasticidade E1, o processo empregando anteriormente para determinação da linha neutra, bem como a determinação da tensão normal em qualquer ponto da seção pode ser utilizado.

=

A linha neutra passará pelo centróide da seção transformada, e a tensão x em qualquer ponto da seção fictícia será:

I

y Mx (15)

onde y é a distância à superfície neutra e I é o momento de inércia da seção transformada em relação ao seu centróide.

A tensão 1 de qualquer ponto localizado na parte superior da seção transversal da barra composta original pode ser calculada pela expressão de x da seção transformada no mesmo ponto.