CAPÍTULO V – CÁLCULO DOS ESFORÇOS INTERNOS … · de atuação dos momentos fletores. Mas, no...

CAPÍTULO V – CÁLCULO DOS ESFORÇOS INTERNOS

RESISTENTES DADOS α , 1/Rα E εO

Cálculo dos Esforços Internos Resistentes Dados α, 1/rα e εo

V - 1

5. Cálculo dos Esforços Internos Resistentes Dados α , 1/rα e εo

5.1. Introdução

A determinação dos efeitos de 2ª ordem em um pilar passa necessariamente pela

determinação dos deslocamentos transversais do seu eixo. O eixo sendo

inicialmente reto, com a solicitação de flexão composta, passa a assumir uma forma

curva. Quando se tem flexão normal composta essa curva estará contida no plano

de atuação dos momentos fletores. Mas, no caso de flexão oblíqua composta, isso

pode não acontecer. Se os momentos fletores atuantes em duas direções ortogonais

tiverem leis de variação diferentes ao longo do comprimento do pilar, a curva

representativa do eixo deformado não estará contida em um plano.

A figura 5.1 ilustra um pilar solicitado à flexão composta normal com os momentos

solicitantes em cada seção atuando no plano y-z. Na figura 5.1.a se representa o

eixo deformado contido no plano y-z.

Figura 5.1 – Flexão normal composta na direção Y. Deformação de um trecho de

comprimento dz da barra. Curvatura no plano (Y,Z): 1 / ry = εo / vLN

Na figura 5.1.b está representado um segmento de comprimento infinitesimal dz

onde se destacam as deformações sofridas pelo pilar nessa seção.

A equação do eixo deformado é do tipo

y = f(z) (5.1)

Y, V

LN

ϕy

X≡U

hx

hy

Mdy

Nd

Seção Inicial

Seção Deformada

dz

εo.dz

vLN

Z

Nd

MTxd

h

Y

a) Pilar solicitado a flexão normal composta

b) Trecho de comprimento infinitesimal

ay


V - 2

Do “Calculo Diferencial e Integral” obtém-se as rotações das diversas seções pela

primeira derivada da equação da curva:

ϕ = dy / dz (5.2)

As curvaturas do eixo do pilar são dadas pela segunda derivada da equação do eixo:

dz

d

dzyd

ry

y

ϕ== 2

21 (5.3)

Observa-se que a seção apresenta uma rotação em torno de uma linha (linha neutra

- LN) paralela ao eixo X.

Considerando válida a hipótese das seções planas, a posição da seção após a

deformação do eixo da peça é a que se indica na figura 5.1.b como “seção

deformada” (na realidade a seção em si permanece plana, a deformação referida é a

do eixo da peça). Essa posição deformada da seção pode ser caracterizada por

qualquer dos três seguintes pares de variáveis:

vLN e εo

vLN e 1/ry

εo e 1/ry

sendo: 1/ry a curvatura do eixo da peça na seção sendo analisada;

vLN a distância da linha neutra ao centro de esforços;

εo a deformação longitudinal do pilar na seção em análise.

A curvatura é dada por (Fusco – item 6.1.2)

y

cmínmáxc

y hrεε −

= ,1 (5.4)

Portanto, na flexão normal composta se tem sempre duas incógnitas para definir a

deformação de um trecho de comprimento infinitesimal de um pilar. Essa

deformação é de fundamental importância para o cálculo dos esforços internos

resistentes, quais sejam NRd e MRyd na flexão normal composta no plano y-z ou NRd

e MRxd para a flexão normal composta no plano x-z ilustrada na figura 5.2.


V - 3

Figura 5.2 – Flexão normal composta na direção X. Deformação de um

trecho de comprimento dz da barra. Curvatura no plano (X,Z): 1 / rx = εo / vLN

Na flexão oblíqua composta o número de variáveis a serem determinadas sobe para

três. Aparece também como incógnita a inclinação α da linha neutra. Neste caso a

“seção deformada” fica caracterizada (ver figura 5.3) por qualquer um dos três

seguintes ternos de valores:

α, vLN e εo

α, vLN e 1/rα

α, εo e 1/rα

α, 1/rx e 1/ry

onde:

α é o ângulo a partir do eixo x que define a inclinação da linha neutra

(LN);

vLN é a distância da linha neutra ao centro de esforços (CE);

εo é a deformação longitudinal do pilar no centro de gravidade da seção

em análise;

1/rα é a curvatura do eixo na direção ortogonal à linha neutra;

1/rx é a curvatura do eixo na direção x;

1/ry é a curvatura do eixo na direção y;

Y≡U

LN

ϕx

X,V

hx

hy

Mdx

Nd

Seção Inicial

Seção Deformada

dz

εo.dz

vLN


V - 4

Figura 5.3 – Flexão oblíqua composta. Deformação de um segmento de

comprimento dz do pilar

Para qualquer terno de valores que se escolha trabalhar se terá sempre três

incógnitas a serem determinadas. Isso é feito necessariamente por tentativas de

modo a se obter as igualdades:

NRd = MSd; MRxd = MSxd e MRyd = MSyd

onde NSd, MSxd e MSyd são os esforços internos solicitantes e NRd, MRxd e MRyd são os

esforços internos resistentes.

- No Estado Limite Último

Quando se tem uma situação de estado limite último (E.L.U.), uma das incógnitas

fica determinada pela definição dos domínios de deformações, as outras duas

devem ser encontradas por tentativas. No E.L.U. fica imposto o valor de εc,máx = εcu2,

εs,mín = εsu ou εx5 = εc2 que juntamente com εo determina a curvatura na seção.

A figura 5.4 reproduz a figura 17.1 da NBR-6118:2004 que define os domínios de

deformações. Vale recordar que para a deformação εc2 do início do patamar

horizontal do diagrama σc-εc nas figuras 3.3 e 3.7 deste trabalho, a NBR 6118:2004

atribui o valor 2%o e para a deformação limite de compressão, εcu2, o valor 3,5%o. Na

LN dϕy

X

hx

hy

Mdy

Nd

Seção Inicial

Seção Deformada

dz

εo.dz

Mdx

Y

U // LN α V ⊥ LN dϕx

α

dϕα


V - 5

figura 5.4 deste capítulo, foi batizada de x5 a distância do ponto C ao bordo mais

comprimido da seção. Essa notação é empregada neste trabalho para fazer

referência ao ponto em torno do qual a seção gira dentro do domínio 5. Sendo εcu2 =

3,5%o se terá x5 = 3/7h.

Figura 5.4 – Definição dos domínios de deformação.

Normalmente a determinação da “seção deformada” é feita arbitrando-se valores

para α e para εo, e sabendo se tratar de E.L.U., a curvatura fica determinada pelo

menor dos três seguintes valores:

máx

oc

vr

εε

α

−= lim,1

(5.5)

mínns

so

vr ,

lim,1 εε

α

−= (5.6)

5

21xvr máx

oc

−−

=εε

α

(5.7)

onde

εc,lim é a deformação limite admitida para o concreto (3,5%o)

εs,lim é a deformação limite admitida para o aço (-10%o)

vmáx é a distância do centro de esforços ao bordo mais comprimido

vs,mín é a distância do centro de esforços à barra da armadura menos

comprimido ou mais tracionado

d’

d h

x5

10%o ε yd

2%o 3,5%o

C

b

a

A

B

Encurtamentos Alongamentos

1 2

5

3 4


V - 6

x5 é a distância do ponto de deformação εc2 = 2%o (ponto C) ao bordo

mais comprimido (domínio 5).

Assim, quando se trata de estado limite último, as incógnitas na flexão oblíqua

composta são a inclinação α da linha neutra e a deformação εo no centro de

esforços da seção. Essas incógnitas devem ser determinadas por tentativas num

processo iterativo.

- Fora do estado Limite Último

Quando os esforços internos solicitantes NSd, MSxd e MSyd não levam a seção ao

estado limite último a curvatura também deve ser obtida por tentativas num processo

iterativo, já que, neste caso, não se dispõe do conhecimento de mais nenhuma

deformação além de εo.

Na seqüência deste capítulo se mostrará como foram calculados os esforços

internos resistentes, NRd, MRxd e MRyd, no programa sendo desenvolvido como parte

deste trabalho, sendo dados α, εo e 1/rα.

No capitulo VI se fará uma análise da relação entre a inclinação da linha neutra, α, e

a inclinação do eixo de solicitação, θ.

No capítulo VII é mostrada a obtenção da deformação εo que corresponda à NRd =

NSd no estado limite último.

No capítulo VIII é mostrado o diagrama Nd – Mxd – Myd tradicional, do estado limite

último, com as curvas sendo funções da taxa mecânica de armadura. Nesse mesmo

capítulo se mostra esse diagrama em função da variável kcurv. Essa variável kcurv

define uma curvatura fora do E.L.U. que corresponda a um terno de valore NSd –

MSxd – MSyd qualquer. Definida a variável kcurv e o diagrama Nd – Mxd – Myd como

função agora dessa variável e não mais apenas da taxa de armadura, mostra-se um

caminho para a determinação de α, 1/rα e εo para um terno qualquer de esforços

internos solicitantes na flexão oblíqua composta.

Nos capítulos seguintes analisa-se a rigidez da seção transversal para a

determinação dos efeitos de segunda ordem no cálculo de pilares solicitados à

flexão oblíqua composta.


V - 7

5.2. Caracterização das deformações longitudinais em uma seção

transversal.

Para a flexão oblíqua composta demonstram-se (Fusco, 1981) (França, 1984) as

seguintes relações:

αα

εε

hrmíncmáxc ,,1 −

= (5.8)

vr

oεε

α

−=

1 (5.9)

onde

1/rα é a curvatura na direção ortogonal à linha neutra

εc,máx é a deformação máxima da seção

εc,mín é a deformação mínima da seção

hα é a altura da seção na direção ortogonal à linha neutra

εo é a deformação no centro de esforços da seção

ε é a deformação em um ponto qualquer na seção

v é a ordenada do ponto de deformação ε de modo ortogonal

à linha neutra

Portanto, na flexão oblíqua composta, a deformação em um ponto qualquer da

seção é dada por:

α

εεr

vo1

.+= (5.10)

Pode-se definir a deformada de uma seção, através do terno de valores (eo, a, 1/ra)

ou do terno (eo, 1/rx, 1/ry). Onde:

eo = deformação específica longitudinal no centro de gravidade da seção;

a = inclinação da linha neutra, em relação ao eixo baricentral X;

1/ra = curvatura do eixo da peça na direção normal à linha neutra da seção;

1/rx = curvatura do eixo da peça no plano Z-X;

1/ry = curvatura do eixo da peça no plano Z-Y.

Na figura 5.3 está representado um trecho de comprimento infinitesimal, dz, de uma

peça de seção retangular de lados hx e hy solicitada à flexão oblíqua composta, onde

é mostrada a deformação desse trecho do prisma destacando-se a deformação


V - 8

longitudinal, εo.dz, no centro de gravidade da seção e as rotações na direção normal

à linha neutra, dϕα, e nas direções X, dϕx, e Y, dϕy.

As curvaturas e a inclinação da linha neutra se relacionam através das expressões

(França, 1984) (Fusco, 1986 – pág. 202):

=

y

x

r

rtgarc

1

1.α com (-180° < α < +180°) (5.11)

ααα cos

111 yx

r

senr

r== (5.12)

αα

senrrx

.11

= (5.13)

αα

cos.11rry

= (5.14)

Figura 5.5 – Seção transversal genérica e diagrama de deformações.

A figura 5.5 mostra uma seção genérica onde estão destacados: a) os eixos U e V,

respectivamente paralelo e ortogonal à linha neutra; b) a altura, hα, da seção na

hα

xLN

U//LN

V⊥LN

X

Y NR

v

C

Linha Neutra

Eixo de Solicitação εc,máx

εc,min

εo

εv = εo + (1/rα).v (+)

(-)

Encurtamentos

Alongamentos

α

θ dAcv

vLN


V - 9

direção normal à linha neutra (direção V); c) a inclinação α da linha neutra; d) a

inclinação θ do eixo de solicitação definido pelo traço do plano de atuação do

momento fletor resultante no plano da seção; e) o diagrama de deformações

longitudinais.

Dados a, 1/ra e eo , a questão que se apresenta é a determinação dos esforços

resistentes da seção. Esses esforços são dados por:

NR = NR,c + NR,s (5.15)

MuR = MuR,c + MuR,s (5.16)

MvR = MvR,c + MzR,s (5.17)

Sendo:

NR,c = força normal resistente no concreto;

MuR,c = momento resistente do concreto atuante no plano (U,Z);

MvR,c = momento resistente do concreto atuante no plano (V,Z);

NR,s = força normal resistente da armadura;

MuR,s = momento resistente da armadura atuante no plano (U,Z);

MvR,s = momento resistente da armadura atuante no plano (V,Z);

5.3. Cálculo dos esforços resistentes na armadura e no concreto.

5.3.1. Na armadura

Cada barra da armadura, de área Asi, deve ter sua posição dentro da seção

perfeitamente definida pelas suas coordenadas (usi, vsi). Com isso, a sua

deformação fica determinada pela sua ordenada vsi, e pode ser calculada por

εsi = εo + (1/rα).vsi (5.18)

Da relação constitutiva do aço (diagrama tensão-deformação) se obtém a tensão,

σsi, em cada barra. De modo que, existindo n barras na seção, os esforços internos

resistentes da armadura resultam:


V - 10

∑∑= =

=Np

p

n

isisisR AN

1 1, .σ (5.19)

∑∑= =

=Np

p

n

isisisisuR AuM

1 1, ..σ (5.20)

∑∑= =

=Np

p

n

isisisisvR AvM

1 1, ..σ (5.21)

5.3.2. No concreto

Sendo o eixo coordenado V ortogonal à linha neutra com origem no centro de

esforços, todas as fibras da seção com uma mesma ordenada v apresentarão uma

mesma deformação εcv dada por:

εcv = εo + (1/rα).v (5.22)

Da relação constitutiva do concreto (diagrama tensão-deformação) se obtém a

tensão, σcv. De modo que, existindo np poligonais na seção, os esforços internos

resistentes na seção de concreto resultam:

∑ ∫=

=np

p

v

vcvcvcR dAN

1

sup

inf, .σ (5.23)

∑ ∫=

=np

p

v

vcvcvcuR dAuM

1

sup

inf, ..σ (5.24)

∑ ∫=

=np

p

v

vcvcvcvR dAvM

1

sup

inf, ..σ (5.25)

onde:

u = abscissa do centro de gravidade da área dAcv;

v = ordenada do centro de gravidade da área dAcv.

Os esforços internos resistentes no concreto, são calculados no programa “Flexão

Oblíqua Composta”, desenvolvido neste trabalho, através da integração numérica de

Gauss, em lugar das integrais indicadas acima.


V - 11

Para isso, considere-se para cada lado de cada poligonal que constitui a seção, um

trapézio a ele associado, conforme a figura 5.6.

Figura 5.6 – Integração das tensões no concreto.

Os esforços internos resistentes são calculados por

ηησηξη

η

dNnp

p

nlp

kcR ∑∑ ∫

= =

=1 1

1

2, ).().( (5.26)

ηησηξη

η

dMnp

p

nlp

kcuR ∑∑ ∫

= =

=1 1

1

2

2

, ).(.2

)( (5.27)

ηησηηξη

η

dNvMnp

p

nlp

kpRLNcvR ∑∑ ∫

= =

+=1 1

1

2,, ).(.).(. (5.28)

onde:

p = índice referente às poligonais;

np = número de poligonais que constituem a seção;

k = índice referente aos lados da poligonal p;

nlp = número de lados da poligonal p;

2

1

k

η1

η2

ξ1

ξ2

? η

? ξ

ξ

dη

ξ = LN

η

O

η

dAcv


V - 12

s(η) = tensão normal na ordenada η;

η1 = ordenada do vértice inicial do lado k da poligonal p (ver figura 5.3);

η2 = ordenada do vértice final do lado k da poligonal p (ver figura 5.3).

Para o trapézio associado ao lado k:

ηησηξη

η

dN kR ∫=∆1

2, ).().( (5.29)

ηησηξη

η

dM kuR ∫=∆1

2

2

, ).(.2

)( (5.30)

ηησηηξη

η

dNvM kRLNkvR ∫+∆=∆1

2,, ).(.).(. (5.31)

A deformação das fibras a uma distância η da linha neutra é dada por:

α

ηηεr1

.)( = com η = v - vLN (5.32)

A largura genérica de um trapézio, ξ(η), a uma distância η, é:

( )112

121)( ηη

ηηξξ

ξηξ −−−

+= (5.33)

ηηηξξ

ηηηξξ

ξηξ12

121

12

121)(

−−

+−−

−= (5.34)

chamando:

12

122 ηη

ξξ−−

=Q e Q1 = ξ1 – Q2. η1 (5.35)

tem-se:

ξ(η) = Q1 + Q2. η (5.36)

Portanto,


V - 13

ηησηηηση

η

η

η

dQdQN kR ∫∫ +=∆1

22

1

21, ).(..).(. (5.37)

ηησηηησηηηση

η

η

η

η

η

dQ

dQQdQ

M kuR ∫∫∫ ++=∆1

2

222

1

221

1

2

21

, ).(.2

).(...).(2

(5.38)

ηησηηησηη

η

η

η

dQdQNvM kRLNkvR ∫∫ ++∆=∆1

2

22

1

21,, ).(..).(... (5.39)

Finalmente, fazendo:

ηησηη

η

dF nn ∫=

1

2

).(. (5.40)

obtém-se:

? NR,k = Q1.Fo + Q2.F1 (5.41)

?MuR,k = 0,5.Q12.Fo + Q1.Q2.F1 + 0,5.Q2

2.F2 (5.42)

?MvR,k = vLN.?NR,k + Q1.F1 + Q2.F2 (5.43)

Para a integração de Fn será aqui adotado o processo da quadratura de Gauss, que

consiste em, dada uma integral definida ∫+

−

=1

1

).( dxxfI , calculá-la através do valor da

função f(x) em g pontos. A escolha desses pontos é feita de maneira a se ter a

melhor precisão possível.

∑∫=

+

−

==g

iii rfWdxxfI

1

1

1

)(.).( (5.44)

onde os valores de Wi e r i, são tabelados.

Mudando os limites do intervalo de integração:

( ) ( )∑∫∫=

+

−

−=−==g

iii

b

a

xfWabdxxfabdxxfI1

1

1

)(.21

).(21

).( (5.45)

com


V - 14

( ) ( )abrabx ii ++−=21

.21

(i =1 a g) (5.46)

Os valores de ri (abscissas relativas) e Wi (pesos) são tabelados para cada valor de

g dado. Na tabela 5.1, encontram-se esses valores para g = 2 a 8 pontos de Gauss.

Tabela 5.1 – Coeficientes das Abscissas e Pesos para a Quadratura de Gauss

+/- ri n = g Wi +/- ri n = g Wi 2 7

0,57735 1 0,949108 0,129485 3 0,741531 0,279705

0,774597 0,555556 0,405845 0,38183 0 0,888889 0 0,417959 4 8

0,861136 0,347855 0,96029 0,101229 0,339981 0,652145 0,796666 0,222381

5 0,525532 0,313707 0,90618 0,236927 0,183435 0,362684

0,538469 0,478629 0 0,568889 6

0,93247 0,171324 0,661209 0,360762 0,238619 0,467914

O processo de quadratura de Gauss integra exatamente, polinômios de grau (2g –

1). Assim, para g = 4, a integral será exata se a função f(x) for um polinômio de até o

7º grau.

Aplicando-se a quadratura de Gauss para obtenção das funções Fn, obtém-se:

)(...2

).(.1

211

2i

g

i

nii

nn WdF ηση

ηηηηση

η

η∑∫

=

−== (5.47)

sendo

2.

22121 ηηηη

η+

+−

= ii r (5.48)

( )∑∫=

−==g

iii

b

a

xfWabdxxfI1

)(.21

).(

( ) ( )abrabx ii ++−=21

.21

∑∫=

+

−

==g

iii rfWdxxfI

1

1

1

)(.).(


V - 15

onde ri e Wi são valores obtidos da tabela, em função de g. E g, escolhido em função

do grau do polinômio a ser integrado.

Se o trapézio tiver uma parte na região comprimida e outra na região tracionada,

será dividido em dois outros. Um totalmente comprimido e outro totalmente

tracionado. A integral de Fn será dividida em duas partes:

∫ ∫∫ +==0

2

1

0

1

2

).(.).(.).(.η

ηη

η

ηησηηησηηηση dddF nnnn (5.49)

)(...2

)(...2 2

1222

11

1111

2i

g

i

niii

g

i

niin WWF ηση

ηηση

η ∑∑==

+−

= (5.50)

com

2.

222

1

ηηη +

−= ii r e

2.

211

2

ηηη += ii r (5.51)

Assim, os limites de integração a serem usados são:

se η1 e η2 tiverem o mesmo sinal (positivo na região comprimida da seção e negativo

na região tracionada), ou seja, se 2

1

ηη

= 0

então

η1 = ηi ordenada do vértice i da poligonal

η2 = η (i+1) ordenada do vértice i+1 da poligonal

ηησηηηση

η

η

η


22

1

21, ).(..).(. (5.52)


η

η

η

η

η

dQ

dQQdQ

M kuR ∫∫∫ ++=∆1

2

222

1

221

1

2

21

, ).(.2

).(...).(2

(5.53)

ηησηηησηη

η

η

η


2

22

1

21,, ).(..).(... (5.54)

se não


V - 16

η1,1 = ηi

η2,1 = 0

12

121,2 ηη

ξξ−−

=Q e Q1,1= ξ1 – Q2,1.η1 (5.55)

ηησηηησηη

dQdQN kR ∫∫ +=∆1,1

01,2

1,1

01,11, ).(..).(. (5.56)

ηησηηησηηησηηη

dQ

dQQdQ

M kuR ∫∫∫ ++=∆1,1

0

22

1,21,1

01,21,1

1,1

0

21,1

1, ).(.2

).(...).(2

(5.57)

ηησηηησηηη

dQdQNvM kRLNkvR ∫∫ ++∆=∆1,1

0

21,2

1,1

01,11,, ).(..).(... (5.58)

η1,2 = 0

η2,2 = η (i+1)

23

232,2 ηη

ξξ−−

=Q e Q1,2= ξ2 – Q2,2. η2 (5.59)

ηησηηησηη


2,22,2

0

2,22,12, ).(..).(. (5.60)

ηησηηησηηησηηη

dQ

dQQdQ

M kuR ∫∫∫ ++=∆0

2,2

22

2,20

2,22,22,1

0

2,2

22,1

2, ).(.2

).(...).(2

(5.61)

ηησηηησηηη

dQdQNvM jRLNkvR ∫∫ ++∆=∆0

2,2

22,2

0

2,22,12,2, ).(..).(... (5.62)

? NR,k = ?NRk1 + ?NRk2 (5.63)

?MuR,k = ?MuRk1 + ?MuRk2 (5.64)

?MvR,k = ?MvRk1 + ?MvRk2 (5.65)


V - 17

Mais duas situações devem ser consideradas para melhorar a precisão do resultado

da integração pelo processo de Gauss. Essas duas situações estão ilustradas nas

figuras 5.7a e 5.7b.

Todas as situações ficam matematicamente consideradas quando se faz:

Se ηi = η j então ? NRd =0, ?MRud =0 e ?MRvd =0

se não

Se ηi = 0 e sinal(ξ i) = sinal(ξ j)

então η1 = ηi ; ξ1 = ξ i ; η2 = ηj ; ξ2 = ξ j

12

122 ηη

ξξ−−

=Q e Q1= ξ1 – Q2. η1

ηησηηηση

η

η

η


22

1

21, ).(..).(.


η

η

η

η

η

dQ

dQQdQ

M kuR ∫∫∫ ++=∆1

2

222

1

221

1

2

21

, ).(.2

).(...).(2

j=4

i=1

η1

η2

ξ

η1-η2

ξ 4-ξ 3

ξ = LN

η

O

2

3

ξ 1 ξ 4

ξ 2 = 0 η3 = 0

O

4

1

η1

η3

ξ 2 ξ 2-ξ 1

ξ = LN

η

2

3

ξ 1 ξ 4

η2 = 0 ξ 3 = 0

Figura 5.7a– A reta i.j corta tanto o eixo dos ξ quanto o eixo dos η e esse acima da origem

Figura 5.7b – A reta i.j corta tanto o eixo dos ξ quanto o eixo dos η e esse abaixo da origem


V - 18

ηησηηηησηη

η

η

dQdQNvMz

kRLNkvR ∫∫ ++∆=∆1

2

22

1

21,, ).(..).(...

Se ηj = 0 e sinal(ξ i) = sinal(ξ j)


12

122 ηη

ξξ−−

=Q e Q1= ξ1 – Q2. η1

ηησηηηση

η

η

η


22

1

21, ).(..).(.


η

η

η

η

η

dQ

dQQdQ

M kuR ∫∫∫ ++=∆1

2

222

1

221

1

2

21

, ).(.2

).(...).(2

ηησηηησηη

η

η

η


2

22

1

21,, ).(..).(...

Se sinal(ηi) = sinal(ηj) e sinal(ξ i) = sinal(ξ j)


12

122 ηη

ξξ−−

=Q e Q1= ξ1 – Q2. η1

ηησηηηση

η

η

η


22

1

21, ).(..).(.


η

η

η

η

η

dQ

dQQdQ

M kuR ∫∫∫ ++=∆1

2

222

1

221

1

2

21

, ).(.2

).(...).(2

ηησηηησηη

η

η

η


2

22

1

21,, ).(..).(...

Se sinal (ηi) ? sinal(ηj) e sinal(ξ i) = sinal(ξ j)


η2 = 0

31

13112 .

ηηξξ

ηξξ−−

+=


V - 19

12

121,2 ηη

ξξ−−

=Q e Q1,1= ξ1 – Q2,1. η1

ηησηηηση

η

η

η


21,2

1

21,11, ).(..).(.


η

η

η

η

η

dQ

dQQdQ

M kuR ∫∫∫ ++=∆1

2

22

1,21

21,21,1

1

2

21,1

1, ).(.2

).(...).(2

ηησηηησηη

η

η

η


2

21,2

1

21,11,1, ).(..).(...

23

232,2 ηη

ξξ−−

=Q e Q1,2= ξ2 – Q2,2. η2

ηησηηηση

η

η

η


32,2

2

32,12, ).(..).(.


η

η

η

η

η

dQ

dQQdQ

M kuR ∫∫∫ ++=∆2

3

22

2,22

32,22,1

2

3

22,1

2, ).(.2

).(...).(2

ηησηηησηη

η

η

η


3

22,2

2

32,12,2, ).(..).(...

? NR,k = ?NRk1 + ?NRk2

?MuR,k = ?MuRk1 + ? MuRk2

?MvR,k = ?MvRk1 + ?MvRk2

Se sinal (ηi) ? sinal(ηj) e sinal(ξ i) ? sinal(ξ j)


a2 = 0

44

14112 .

ξξηη

ξη−−

−=b

b3 = 0

14

14113 .

ηηξξ

ηξ−−

−=a


V - 20

ξ2 = menor(a2;a3)

η2 = maior(b2;b3)

ξ3 = maior(a2;a3)

η3 = menor(b2;b3)

12

121,2 ηη

ξξ−−

=Q e Q1,1= ξ1 – Q2,1. η1

ηησηηηση

η

η

η


21,2

1

21,11, ).(..).(.


η

η

η

η

η

dQ

dQQdQ

M kuR ∫∫∫ ++=∆1

2

22

1,21

21,21,1

1

2

21,1

1, ).(.2

).(...).(2

ηησηηησηη

η

η

η


2

21,2

1

21,11,1, ).(..).(...

23

232,2 ηη

ξξ−−

=Q e Q1,2= ξ2 – Q2,2. η2

ηησηηηση

η

η

η


32,2

2

32,12, ).(..).(.

ηησηηησηη

η

η

η


3

22,2

2

32,12,2, ).(..).(...

34

343,2 ηη

ξξ−−

=Q e Q1,3= ξ3 – Q2,3.η3

ηησηηηση

η

η

η


43,2

3

43,13, ).(..).(.


η

η

η

η

η

dQ

dQQdQ

M kuR ∫∫∫ ++=∆3

4

22

3,23

43,23,1

3

2

23,1

3, ).(.2

).(...).(2

ηησηηησηη

η

η

η


4

22,2

3

42,13,3, ).(..).(...

? NR,k = ?NRk1 + ?NRk2 + ?NRk3


V - 21

?MuR,k = ?MuRk1 + ?MuRk2 + ?MuRk3

?MvR,k = ?MvRk1 + ?MvRk2 + ?MvRk3

Se sinal (ηi) = sinal(ηj) e sinal(ξ i) ? sinal(ξ j)

então η1 = ηi; ξ1 = ξ i ; η3 = ηj ; ξ3 = ξ j

ξ2 = 0

31

13112 .

ξξηη

ξηη−−

+=

12

121,2 ηη

ξξ−−

=Q e Q1,1= ξ1 – Q2,1. η1

ηησηηηση

η

η

η


21,2

1

21,11, ).(..).(.


η

η

η

η

η

dQ

dQQdQ

M kuR ∫∫∫ ++=∆1

2

22

1,21

21,21,1

1

2

21,1

1, ).(.2

).(...).(2

ηησηηησηη

η

η

η


2

21,2

1

21,11,1, ).(..).(...

23

232,2 ηη

ξξ−−

=Q e Q1,2= ξ2 – Q2,2.ξ2

ηησηηηση

η

η

η


32,2

2

32,12, ).(..).(.


η

η

η

η

η

dQ

dQQdQ

M kuR ∫∫∫ ++=∆2

3

22

2,22

32,22,1

2

3

22,1

2, ).(.2

).(...).(2

ηησηηησηη

η

η

η


3

22,2

2

32,12,2, ).(..).(...

? NR,k = ?NRk1 + ?NRk2

?MuR,k = ?MuRk1 + ?MuRk2

?MvR,k = ?MvRk1 + ?MvRk2


V - 22

Em relação aos eixos X e Y, considerando positivo o momento que comprime o

primeiro quadrante, tem-se:

Figura 5.8 – Momentos fletores positivos

MxR = MuR cos a + MvR sen a (5.57)

MyR = -MuR sen a + MvR cos a (5.58)

X

Y V

U

Mu(+) Mx(+)

Mv (+)

My (+) a(+)

a(+)

CAPÍTULO V – CÁLCULO DOS ESFORÇOS INTERNOS … · de atuação dos momentos fletores. Mas, no...

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