EC2272 / Tema 3 Prof. Orlando Sucre Marzo 2008

FILTROS

Definición y aplicaciones de los Filtros.

Un filtro es una red de dos puertos cuyo objeto es dejar pasar a la salida un

conjunto de frecuencias, eliminando o atenuando las frecuencias restantes.

En circuitos de comunicaciones se usan los filtros para sintonización de canales,

eliminación de ruido e interferencias, supresión de frecuencias (por ejemplo la

señal piloto de 19 KHz de FM estéreo).

En circuitos de audio se usan para controles de tono, circuito de “loudness”,

ecualizadores y redes separadoras de frecuencia para altavoces.

Frecuencias de corte de un filtro.

Son las frecuencias en que la ganancia en dB (de potencia, voltaje o corriente) es

igual a la ganancia máxima en dB menos 3 dB. En estas frecuencias la ganancia

de potencia es igual a ½ del valor máximo, y la ganancia de voltaje o corriente

corresponde la ganancia máxima dividida por 2 .

Las frecuencias de corte dividen al eje de frecuencias en intervalos alternados en

que la ganancia es mayor o igual a la de las frecuencias de corte, e intervalos en

que la ganancia es menor a la de las frecuencias de corte.

Bandas pasantes y rechazadas de un filtro. Ancho de banda.

• Las bandas pasantes de un filtro se definen como las gamas de frecuencia en

que la ganancia (de potencia, voltaje o corriente) es mayor o igual a la

ganancia máxima en dB menos 3 dB.

• Las bandas rechazadas son aquellas en que la ganancia (de potencia, voltaje

o corriente) es menor que la ganancia máxima en dB menos 3 dB.

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• El ancho de banda de un filtro es el ancho de su banda pasante, y se calcula

restando la frecuencia superior menos la frecuencia inferior del intervalo

correspondiente a la banda pasante.

Clasificación de los filtros.

Filtro pasa-bajas

Frecuencia de corte: f0

Banda pasante: 0ff ≤ .

Filtro pasa-bajas ideal:

>≤

=0

0

si ,0

si ,1)(

ff

fffH

ff0

H(f)

0

1

Filtro pasa-altas

Frecuencia de corte: f0

Banda pasante: 0ff ≥ .

Filtro pasa-altas ideal:

>≤

=0

0

si ,1

si ,0)(

ff

fffH

ff0

H(f)

0

1

Filtro pasa-banda

Frecuencias de corte: f1 y f2

Banda pasante: 21 fff ≤≤

Fltro pasa-banda ideal:

>

≤≤

<

=

2

21

1

si ,0

si ,1

si ,0

)(

ff

fff

ff

fH

ff1 f2

H(f)

0

1

Filtro rechaza-banda

Frecuencias de corte: f1 y f2

Banda rechazada: 21 fff <<

Filtro rechaza-banda ideal:

≥

<<

≤

=

2

21

1

si ,1

si ,0

si ,1

)(

ff

fff

ff

fH

ff1 f2

H(f)

0

1

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FILTROS DE PRIMER ORDEN .

• Tienen sólo un elemento almacenador de energía.

• Tienen una sola frecuencia de corte, por lo que sólo pueden ser pasa-bajas o

pasa-altas.

• Tienen una atenuación de 20 dB/década en la banda rechazada.

Configuraciones de filtros pasa-bajas y pasa-altas de primer orden

Filtros pasa-bajas Filtros pasa-altas RL serie

L

R+

−−−−Vi

+

−−−−Vo

RC serie

C

R+

−−−−Vi

+

−−−−Vo

RC paralelo

RC+

−−−−Vi

+

−−−−Vo

RL paralelo

RL+

−−−−Vi

+

−−−−Vo

RC activo (ganancia unitaria)

−

C

R

+

−−−−Vi

+

−−−−

Vo

RC activo (ganancia unitaria)

C

R

−

+

−−−−Vi

+

−−−−

Vo

• La frecuencia de corte de todos los filtros RC es ( )RC/10 =ω .

• La frecuencia de corte de todos los filtros RL es LR/0 =ω .

• La impedancia de entrada de los circuitos paralelo puede ser nula.

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Configuraciones de filtros pasa-bajas y pasa-altas activos de primer orden (II)

RC activo inversor

−

C

R2

R1

+

−−−−Vi

+

−−−−Vo

( )CR20 /1=ω

RC activo inversor

−

R2

R1C

+

−−−−Vi

+

−−−−Vo

( )CR10 /1=ω

RC activo no inversor

C

R

−

R1

R2

+

−−−−

Vo+

−−−−Vi

( )RC/10 =ω

RC activo no inversor

C

−

R1

R2

R+

−−−−

Vo+

−−−−Vi

( )RC/10 =ω

• La ganancia máxima de los filtros activos inversores es 12 / RRGV −= .

• La ganancia máxima de los filtros activos no inversores es 12 /1 RRGV += .

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Filtros pasa-banda y rechaza-banda de primer orden.

Se pueden construir filtros pasa-banda o elimina-banda de primer orden

combinando un filtro pasa-bajas y uno pasa-altas de primer orden.

• Filtro pasa-banda:

o La frecuencia de corte del filtro pasa-bajas debe ser la frecuencia

superior del pasa-banda.

o La frecuencia de corte del filtro pasa-altas debe ser la frecuencia

inferior del pasa-banda.

Filtro pasa-altas

f0=f1

Opción 1

Filtro pasa-altas

f0=f1

Opción 2

Filtro pasa-bajas

f0=f2

Filtro pasa-bajas

f0=f2

• Filtro rechaza-banda:

o La frecuencia de corte del filtro pasa-bajas debe ser la frecuencia

inferior del rechaza-banda.

o La frecuencia de corte del filtro pasa-altas debe ser la frecuencia

superior del rechaza-banda.

Filtro pasa-bajas

f0=f1

Filtro pasa-altas

f0=f2

Sumador

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FILTROS DE SEGUNDO ORDEN.

• Incorporan dos elementos almacenadores de energía. En el caso de filtros

pasivos, es necesario que haya un condensador y un inductor.

• Pueden tener una o dos frecuencias de corte, por lo que pueden realizarse

todos los tipos básicos de filtro.

• Tienen una atenuación de 40 dB/década en la banda rechazada.

Circuitos resonantes.

En circuitos pasivos de segundo orden es factible encontrar una frecuencia a la

cual los efectos capacitivo e inductivo se contrarrestan, quedando el circuito

puramente resistivo. A esta condición se le denomina resonancia, a la frecuencia

a la cual ocurre la resonancia se le denomina frecuencia de resonancia.

Circuito resonante RLC serie.

+

−−−−Vi

+

−−−−Vo

LC

R

• Impedancia equivalente: ( ) ( ))/(1 CLjRXXjRZ CLeq ωω −+=−+=

• Frecuencia de resonancia: LC/10 =ω

• A la frecuencia de resonancia:

RZeq = R/VI = VV =R RXj LL / VV = RXj CC / VV −=

eqZ es mínimo, I es máximo, RV es máximo

• A frecuencias distintas a la de resonancia:

VVVII =<⇒<⇒> )()()()( 00 ωωωω RReq RZ

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• Si se toma la salida del circuito en la resistencia, el circuito se comporta

como un filtro pasa-banda.

Frecuencias de corte y ancho de banda

• Frecuencias de corte:

RCLRZeqR ±=−⇒=⇒= )/(122/ ωωVV

Resolviendo, se tiene:

LC

RCLCCR

2422

2++=ω

LC

RCLCCR

2422

1−+=ω

Nótese que 2021 ωωω =⋅ .

• Ancho de banda: LRAB /12 =−= ωω .

Factor de calidad Q

• El factor de calidad Q de un filtro pasabanda resonante es una medida de

cuán selectivo es el filtro, y se define como:

ABQ 0ω=

• Para el filtro resonante RLC serie, Q es:

R

X

C

L

RABQ

)(1 00 ωω ===

• Cuando Q>>1, se tiene 2/02 AB+≈ ωω y 2/01 AB−≈ ωω .

Circuito resonante RLC paralelo.

+

−−−−VoRLCI

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• Admitancia equivalente:

( ) ( ))/(1/1 LCjRBBjGY LCeq ωω −+=−+=

• Frecuencia de resonancia: LC/10 =ω

• A la frecuencia de resonancia:

RYeq /1= RIV = II =R GBj LL / II −= GBj CC / II =

eqY es mínimo, V es máximo, RI es máximo

• A frecuencias distintas a la de resonancia:

RRYeq IVV =<⇒> )()(/1 0ωω

• El circuito se comporta como un filtro pasa-banda.

Frecuencias de corte y del ancho de banda

• Frecuencias de corte:

RLCRYeqR /1)/(1/22/ ±=−⇒=⇒= ωωII

Resolviendo, se tiene:

LC

RLLCRL

2/4/ 22

2++=ω

LC

RLLCRL

2/4/ 22

1−+=ω

Nótese que 2021 ωωω =⋅ .

• Ancho de banda: RCAB /112 =−= ωω .

Factor de calidad Q

• Para el filtro resonante RLC paralelo, su factor de calidad es:

G

B

L

CR

ABQ

)( 00 ωω ===

• Cuando Q>>1, se tiene 2/02 AB+≈ ωω y 2/01 AB−≈ ωω .

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FILTROS PASA-BAJAS DE SEGUNDO ORDEN (O SUPERIOR).

Filtro pasa-bajas pasivo.

• Se parte del filtro canónico con valores tabulados de L y C para R=1 Ω y

ω0=1 rad/s. La tabla de filtros más usada corresponde a la aproximación

Butterworth, que tiene respuesta máximamente plana en la banda pasante.

+

−−−−Vi R=1 Ω

L1 L2 L3

C1 C2 C3

+

−−−−Vo

• Se aplica escalamiento de impedancia y de frecuencia para obtener un filtro

con Ω≠ 1R y 10 ≠ω rad/seg.

Escalamiento de impedancia (o magnitud).

• Consiste en transformar los valores de las impedancias del filtro canónico

referido a R=1 Ω a cualquier valor de R’, sin alterar la respuesta de

frecuencia del filtro. También puede usarse para transformar los valores de

las impedancias de un filtro diseñado para una resistencia R a cualquier

otro valor de resistencia R’.

• Las fórmulas para escalamiento de impedancia son:

RRKm /'= LKL m=' mKCC /'=

Escalamiento de frecuencia.

• Consiste en transformar los valores de las impedancias del filtro canónico

referido a 10 =ω rad/seg a cualquier valor de '0ω , sin alterar la

impedancia del filtro. También puede usarse para transformar los valores

de las impedancias de un filtro diseñado para una frecuencia 0ω a

cualquier otro valor de frecuencia '0ω .

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• Las fórmulas para escalamiento de frecuencia son:

00 /' ωω=fK fKLL /'= fKCC /'=

Escalamiento combinado de impedancia y frecuencia.

RRKm /'= 00 /' ωω=fK ( )LKKL fm /'= ( )fmKKCC /'=

Filtro pasa-bajas activo.

• Se elige una configuración estándar, y se calculan los componentes con las

fórmulas del filtro, o se aplica escalamiento para transformar un filtro pre-

diseñado en un filtro que cumpla con los requerimientos.

FILTROS PASA-ALTAS DE SEGUNDO ORDEN (O SUPERIOR).

Filtro pasa-altas pasivo.

• Se parte del filtro canónico pasa-bajas con valores tabulados de L y C para

R=1 Ω y ω0=1 rad/s.

• Se transforman los condensadores en inductores y viceversa, mediante las

fórmulas:

CL /1'= LC /1'=

• Se aplica escalamiento de impedancia y de frecuencia para obtener un filtro

con Ω≠ 1'R y 1'0 ≠ω rad/seg. Las fórmulas combinadas son:

RRKm /'= 00 /' ωω=fK ( )CKKL fm /'= ( )LKKC fm/1'=

Filtro pasa-altas activo.

• Se elige una configuración estándar, y se calculan los componentes con las

fórmulas del filtro, o se aplica escalamiento para transformar un filtro pre-

diseñado en un filtro que cumpla con los requerimientos.