77

Existem diversos tipos de eletrodos. Segundo a classificao de (BUTTON, 2000),

so eles:

Eletrodos de disco de prata: eletrodos de superfcie, possuindo um orifcio para

a aplicao do gel condutivo. Possuem de 6 a 10 mm de dimetro (Figura 2.34);

Figura 2.34 Eletrodos de disco de prata (modelos da Grass) (adaptada de (BUTTON, 2000))

Eletrodos de agulha de platina: devem ser esterilizados e so feitos para

aplicao nica, ou seja, so descartveis. O comprimento da agulha de platina

de cerca de 10 mm e pode ser longitudinal ou em ngulo reto. Estes eletrodos

so inseridos tangencialmente por debaixo da pele, apresentando o risco de

quebra e sangramento (Figura 2.35);

Figura 2.35 Eletrodos de agulha de platina (modelos da Grass) (adaptada de (BUTTON, 2000))

Eletrodos especiais:

o Nasofarngeo: trata-se de um bastonete de prata, fino e flexvel, de 10 cm

de comprimento para crianas e 15 cm para adultos, com a extremidade

78

captadora de ouro ou prata, de 3 mm de dimetro. Deve ser inserido na

cavidade nasal em direo ao bulbo olfativo (Figura 2.36);

Figura 2.36 Eletrodos nasofarngeo (adaptada de (BUTTON, 2000))

o Grade de eletrodos: os eletrodos so prefixados num molde, que pode ser

uma grade ou uma touca (Figura 2.37). Podem ser do tipo ventosa de

borracha, atravs da qual se faz a fixao sem coldio, como para alguns

eletrodos mais antigos utilizados em eletrocardiograma; com um basto

de Ag-AgCl (prata-cloreto de prata) no meio, ou possuir pequenos

orifcios para aplicao do gel condutor;

Figura 2.37 Eletrodos prefixados em grade (adaptada de (BUTTON, 2000)). Touca com eletrodos posicionados (adaptada de (CARDOSO, 2005))

o Fios de prata ou ao inoxidvel: so inseridos por uma agulha e so

usados em caso de implante de eletrodos por tempo prolongado, ou

durante monitorao de cirurgia. Os fios eletrodos so envernizados a

partir da ponta em forma de gancho. Quando o local de acesso atingido,

a agulha retirada deixando o eletrodo que fica preso pelo gancho;

79

o Clipe de orelha: formado por dois eletrodos tipo disco (ouro ou prata),

com orifcio para insero do gel condutor, montados num suporte

plstico. So presos no lobo auricular e servem como eletrodo de

referncia (Figura 2.38).

Figura 2.38 Eletrodos tipo clipe de orelha (ear clip) (adaptada de (BUTTON, 2000))

o Eletrodos Corticais: so fios flexveis de ouro ou prata usados para

registrar potenciais eltricos no crtex exposto (Figura 2.39).

Figura 2.39 Eletrodos corticais (adaptada de (BUTTON, 2000))

O sinal detectado pelo eletrodo deve ser devidamente condicionado para

posterior processamento. Por se tratar de um sinal de amplitude muito pequena, e por se

originar de um tecido vivo, o amplificador EEG precisa possuir alta impedncia de

80

entrada e tima razo de rejeio em modo comum. Os amplificadores mais comuns

utilizados nos equipamentos de EEG so de instrumentao, com impedncia de entrada

da ordem de 1012 e razo de rejeio em modo comum (CMRR) maior que 500:1 (80

dB). Como a diferena de potencial medida por um par de eletrodos de, tipicamente,

alguns poucos microvolts, existe a necessidade de um alto valor de amplificao, da

ordem de 20 000 a 100 000 vezes.

O nmero de canais que podem ser medidos simultaneamente varia de

equipamento para equipamento. Um eletroencefalgrafo pode ter 8, 16, at 128 ou 256

canais. O sinal amplificado deve ainda ser filtrado, enquadrando-se dentro da faixa de

freqncia de maior contribuio do sinal eletroencefalogrfico registrado no escalpo

(0.5 a 30 Hz), separando componentes de freqncia indesejados. Em equipamentos

modernos, o sinal ento digitalizado e transmitido a um computador que o processa

e/ou armazena. Tambm necessrio um isolamento galvnico entre o paciente e a rede

eltrica, o que geralmente realizado antes da filtragem do sinal.

2.7.2 Caractersticas estatsticas do sinal EEG

O sinal EEG um sinal estocstico, ou seja, caracteriza-se por uma variao

aleatria dos valores de potencial eltrico no tempo.

As ondas cerebrais provm dos potenciais de membrana resultantes de aes

sinpticas em clulas piramidais, que apresentam a disposio dipolar paralela ideal

para que seus potenciais sejam somados e registrados no escalpo. So ainda o resultado

do somatrio da ao de milhares ou milhes de neurnios disparando sincronicamente

(CARDOSO, 2005).

Quando os neurnios disparam de forma assncrona, os potenciais podem se

anular ao serem somados. Por este motivo, a amplitude do sinal EEG no diz respeito ao

nvel total de atividade cerebral, mas principalmente quantidade de neurnios

disparando sincronicamente. J a freqncia da onda cerebral est diretamente

relacionada atividade dos neurnios: quanto maior esta ltima, maior ser a freqncia

de onda registrada (GUYTON, 2002).

81

A amplitude do sinal EEG pode variar de 0 a 200 V, e a freqncia varia de um

pouco acima de zero a 30 Hz, salvo alguns estados patolgicos em que esta freqncia

pode ser mais alta, como no caso de crises de epilepsia. Como a potncia do sinal EEG

depende da quantidade e sincronicidade dos disparos neuronais, tais sinais so

considerados a medida da atividade neural de um volume relativamente grande de

muitos neurnios.

2.7.3 Tipos de ondas EEG

O espectro do sinal EEG pode ser subdivido em diferentes tipos de ondas: alfa,

(), beta (), delta (), teta (), gama (), lambda (), mi (), Ondas Fusiformes de Sono

e Complexos K. Observar na tabela 2.1 e na Figura 2.40 a descrio detalhada destas

ondas.

Tabela 2.1 Ondas cerebrais (adaptada de (BUTTON, 2000))

Ritmo (onda) Freqncia A que se relacionam Regio cortical

mais comum (em um adulto)

Delta 0,5 a 3,5 Hz Sono profundo. Frontal

Complexos K 0,5 a 3,5 Hz

Ondas delta de amplitude muito alta, com pice

pontiagudo: sono leve. Frontal

Teta 4 a 7 Hz

Hipnose; desenvolvimento da memria; meditao;

sensaes de estar fora do corpo; experincias emocio-

nais; estresse; sonolncia; sonhos

Temporal e parietal

Mi 7 a 11 Hz Est numa interseco entre a faixa tta e a alfa: inteno de

mover-se.

Central e temporal

(Crtex motor)

Alfa 8 a 13 Hz Viglia com olhos fechados;

relaxamento mental; meditao.

Occipital (s vezes frontal e

parietal)

Beta 13 a 30 Hz Viglia. Estado de alerta. Frontal (s vezes occipital)

Gama 30 a 60 Hz Intensa atividade mental; alta concentrao; experinciasDiferentes reas

corticais

82

msticas.

Lambda Acima de 60 Hz

Estados extraordinrios (raros) de conscincia; o

estado mais alto da meditao; conscincia plena de si

mesmo; introjeo profunda (insight); ocasionalmente

quando se assiste TV; estmulos visuais complexos.

Occipital

Ondas Fusiformes 12 a 14 Hz

Est numa interseco entre a faixa alfa e a beta: estgio

inicial do sono.

Frontal e parietal

Geralmente, consideram-se apenas quatro delas, por ordem de freqncia: delta,

teta, alfa e beta, que ocupam a faixa de freqncia entre 0.5 e 30 Hz.

Quando o tlamo transmite ao crtex as informaes provenientes dos sistemas sensoriais, ou mesmo as que vm de outras regies, o nmero e a variedade de potenciais sinpticos gerados so to grandes que os eletrdios posicionados do lado de fora do crnio s conseguem captar a sua soma algbrica que as aproxima de zero. O resultado um traado dessincronizado, isto , composto por ondas de baixa voltagem e alta freqncia (ritmos e ). o que ocorre quando o individuo est acordado. Mas quando o tlamo no deixa passar to facilmente a informao que recebe, tornam-se menores, menos variados e mais sincronizados os potenciais sinpticos no crtex. Resulta um traado sincronizado, composto por ondas de alta voltagem e baixa freqncia (ritmos e ). (LENT, 2001)

Um registro de EEG conter todas as freqncias descritas na Tabela 2.1.

Entretanto, um tipo de onda ter maior ou menor predominncia em funo da regio do

escalpo que est sendo analisada, bem como do estado do indivduo, como viglia, sono,

coma, relaxamento; ou ainda, estados patolgicos como epilepsia, comportamentos

psicticos, demncia, etc.

83

Figura 2.40 Exemplos de ondas cerebrais (adaptada de (BUTTON, 2000) & BERNARDI, 1999))

2.8 Epilepsia

A epilepsia caracterizada pela atividade excessiva e descontrolada de uma

parte do sistema nervoso central, associada a crises focais, ou envolvendo todo ele,

associada a crises generalizadas.

O crebro, em seu perfeito estado de sade, apresenta ritmos eltricos de uma

forma ordenada. Assim, na epilepsia, essa ordem alterada e surgem grupos de

neurnios com descarga desordenada, desobedecendo aos padres de ondas cerebrais,

provocando verdadeiras tempestades eltricas.

As causas da epilepsia so bastante variadas: doenas parasitrias,

principalmente a neurocisticercose, outras infeces intracranianas de origem bacteriana

ou viral, traumas cranianos, tumores doena vascular, fatores hereditrios e danos

cerebrais permanentes, como neurocisticercose, malria, meningite, desnutrio e

complicaes perinatais, correspondem a uma das principais explicaes para a maior

incidncia de epilepsia nos pases em desenvolvimento (PEREIRA, 2004).

A epilepsia pode ser classificada em trs tipos principais segundo (GUYTON,

2002): a epilepsia do grande mal, a epilepsia do pequeno mal e a epilepsia focal.

A epilepsia do tipo grande mal caracterizada por extrema descarga neuronal

em todas as reas do crebro: no crtex cerebral, nas partes mais profundas dos

hemisfrios cerebrais, no tronco cerebral e no tlamo. Tambm, as descargas

transmitidas at a medula espinhal causam crises tnicas generalizadas no corpo inteiro,

seguidas mais ao fim do ataque, por contraes musculares alternadas tnicas e, depois,

espasmdicas denominadas de crises tnico-clnicas. Nesse tipo de crise a pessoa

pode cair no cho, apresentar contraes musculares em todo o corpo, ter perda sbita

da conscincia, mordedura da lngua, salivao intensa e respirao ofegante.

A epilepsia do tipo pequeno mal (petit mal) envolve o sistema ativador

cerebral talamocortical bsico. caracterizado geralmente por 3 a 30 s de inconscincia

ou diminuio da conscincia, durante os quais a pessoa apresenta vrias contraes

84

musculares em forma de abalos, geralmente na regio da cabea, sobretudo piscar dos

olhos; isto seguido pela volta da conscincia e a retomada das atividades prvias.

Muitas vezes no percebida pelas pessoas, por ser curtssima.

A epilepsia do tipo focal pode envolver praticamente qualquer parte do crebro,

como as regies localizadas do crtex ou estruturas mais profundas, tanto nos

hemisfrios cerebrais quanto do tronco cerebral. Quase sempre, a epilepsia focal resulta

de alguma leso orgnica localizada ou anormalidade funcional, como tecido neuronal

adjacente, um tumor que comprime uma rea do crebro, uma rea de tecido cerebral

destrudo, ou circuitos locais congenitamente perturbados.

Existem outros tipos de crises que podem provocar quedas ao solo sem nenhum

movimento ou contraes ou, ento, induzir percepes visuais ou auditivas estranhas

ou, ainda, alteraes transitrias da memria.

Esta patologia afeta 1% da populao mundial, ou seja, 50 milhes de pessoas,

dos quais 25% no respondem a medicamentos anticonvulsivantes, que constituem a

terapia mais comum. Dentro os que recebem medicao, estima-se que 50% apresentem

efeitos colaterais. A cada ano, dois milhes de novos casos so relatados na literatura

mdica (URL 10).

No se conhece totalmente o mecanismo desencadeador das crises epilpticas. A

quantidade de pacientes epilpticos, cujo tratamento atualmente sem sucesso ou que

sofrem de efeitos colaterais nocivos oriundos da medicao, exige a busca de solues

alternativas, como por exemplo, novas tcnicas de investigao informatizadas,

neurocirurgias e o desenvolvimento de medicamentos mais eficientes, e

consequentemente, caros. Assim sendo, nos pases subdesenvolvidos, a terapia

medicamentosa pode chegar a ter um custo mais elevado do que nos EUA ou na Europa.

Considerando o baixo poder aquisitivo desses pacientes, e que o sistema pblico de

sade (SUS) e os convnios no cobrem em geral estes tratamentos, mesmo as drogas

mais simples podem representar despesas proibitivas aos pacientes (COCKERELL,

1998).

IASEMIDIS (2003) discute a preditabilidade da crise epilptica, supondo o

processamento de sinais EEG oriundos de diversos eletrodos, provendo informaes

no obtidas pelo exame visual tradicional do EEG. O autor apresenta uma excelente

85

reviso bibliogrfica acerca das diversas aproximaes tericas de anlise do sinal EEG,

que podem ser resumidas na teoria de sistemas dinmicos no-lineares, caos, anlise

estatstica atravs da filtragem adaptativa e de redes neurais. Estas pesquisas sugerem

estratgias para a construo de neuroimplantes, que minimizam as crises epilpticas,

conforme experimentos preliminares de eletro-estimulao realizados em animais

(LITT, 2003).

Ao mesmo tempo (NICOLELIS, 2002), as interfaces crebro-mquina (ICM)

podem auxiliar na preveno de crises cerebrais associadas epilepsia crnica, que

podem ocorrer vrias vezes por dia, diminuindo bastante a qualidade de vida do

paciente, alm de possibilitar danos cerebrais permanentes. Estas interfaces

funcionariam como marcapassos cardacos, monitorando a atividade eltrica cerebral e

identificando fatores desencadeantes de uma crise re-entrante. Uma vez detectada a

possibilidade iminente de crise, com razovel confiabilidade, o dispositivo provocaria

uma eletroestimulao no crebro ou em um nervo perifrico, ou ainda provocaria a

liberao de medicao antiepilptica, com o objetivo de eliminar a crise.

Portanto, a epilepsia consiste em um importante problema de sade pblica, em

particular no Brasil, o que motiva estudos aprofundados e iniciativas governamentais

(MIN, 2003), no sentido de desenvolver novas tcnicas para preveno e tratamento da

doena.

2.9 Concluso

Dentro do que foi exposto neste captulo, realizou-se uma sntese dos diversos conceitos em neurofisiologia. Enfocou-se o estudo no neurnio, visto que o tema

principal nos tratados de neurocincias, considerado o responsvel pelo processamento

de sinais e pela memria. Ele tambm possibilita a transmisso do impulso nervoso

atravs das sinapses.

Dada necessidade de medir a atividade eltrica celular, a cincia evoluiu do

patch-clamp para a criao de novas tcnicas de medida neurofisiolgica, atravs das

interfaces bioeletrnicas e, posteriormente, para a aquisio sistemtica de sinais em

86

cultura atravs das matrizes multieletrodo. Esta revoluo, restrita apenas a alguns

centros de pesquisa, limitada pelos elevados custos da tecnologia MEA.

A epilepsia consiste num desafio da sade pblica mundial, em termos de

controle e preveno. Atualmente, 60 milhes de pessoas so portadores da doena,

cujo tratamento baseado em drogas anticonvulsivantes ou em cirurgias. Deste total,

aproximadamente 18 milhes de pacientes no conseguem obter um controle efetivo de

suas crises, sofrendo os danosos efeitos colaterais das terapias em uso.

A epilepsia pode ser considerada como fruto do desregulamento do conjunto de

atividades eltricas da massa neural que compe o crebro humano. Desta forma, a

interao simultnea de milhares de clulas nervosas, correspondente mistura de

milhares de potenciais de ao, origina um padro neurodinmico patolgico. Este

padro eltrico comumente mensurado atravs do EEG, que permite uma avaliao

extremamente grosseira do estado de ativao dos neurnios piramidais do crtex. Parte

do diagnstico clnico da epilepsia, bem como de outros estados cerebrais patolgicos,

se baseia nesta medida grosseira.

Por outro lado, as MEAs constituem a base tecnolgica dos novos sistemas de

eletroestimulao e/ou neuroimplantes. Desta forma, a terapia atravs de

neuroimplantes (por exemplo, de retina e de cclea) pode contar com novas

perspectivas, oriundas da nanotecnologia e de neuroimplantes auto-ajustveis,

adaptados para cada paciente. Em particular, (LITT, 2003) descreveu planos para a

construo de neuroimplantes que minimizam crises epilpticas, de acordo com

experimentos em animais.

Desta forma, as MEAs tendem, em mdio e longo prazos, a processar tambm

sinais EEG. Deve-se destacar que a restrio de biocompatibilidade exige o mnimo

consumo de potncia por parte dos circuitos de neuroimplantes.

Em resumo, conclui-se que a utilizao de novas terapias baseadas em

neuroimplantes na prtica clnica estabelece os seguintes desafios para o processamento

de sinais:

(D1) Necessidade de se desenvolver novos enfoques tericos e ferramentas,

adequados ao contexto no-estacionrio dos sinais e no-linearidade dos sistemas.

87

(D2) Necessidade do desenvolvimento de algoritmos simples e de baixa

exigncia computacional (para minimizar a potncia consumida e viabilizar a

biocompatibilidade), que permitam operao em tempo real.

(D3) A capacidade de processar simultaneamente, atravs de MEAs, tanto sinais

biolgicos em nvel celular (potenciais de ao, com objetivos fisiolgicos), como em

nvel neurolgico (EEG, com objetivos clnicos). Em particular, o estabelecimento de

conexes entre as informaes ligadas aos dois nveis de sinais permitir uma melhor

compreenso do funcionamento do sistema nervoso humano.

Tendo em mente os desafios (D1) (D3), encerra-se este captulo com o

objetivo de se procurar, na literatura, tcnicas de processamento de sinais para se

alcanar a viabilizao de neuroimplantes como terapia.

88

Captulo 3

Sntese Bibliogrfica sobre Processamento de Sinais EEG e MEA

3.1 Introduo

Este captulo resume as principais tendncias ligadas abordagem da no-estacionariedade em sinais biolgicos, com especial enfoque aos sinais MEA. Uma vez

discutido alguns aspectos gerais do janelamento, detalham-se as principais tcnicas de

processamento de dados oriundos de medidas intracelulares em culturas. A sntese

apresentada a seguir deve ser lida e ponderada luz dos desafios (D1)-(D3)

estabelecidos no Captulo 2.

3.2 Consideraes gerais e processamento de sinais EEG

Aspectos importantes ligados a um sinal biolgico qualquer correspondem

no-linearidade do sistema envolvido ((MARMARELIS, 1978), (BARDAKJIAN,

2003)); bem como o fato das sries temporais serem no-estacionrias ((AKAY, 2003),

(MARMARELIS, 1994)). A no-linearidade est associada complexidade,

caracterstica dos organismos ((IASEMIDIS, 2003), (RIKE, 1997)); enquanto que sries

temporais no-estacionrias decorre de condies e circunstncias peculiares de um ser

vivo, o qual deve sobreviver no meio em que est inserido (KANDEL, 2000).

89

A principal conseqncia prtica de ser no-estacionria reside na dificuldade de

se dividir o arquivo de dados sob anlise em pequenas partes (operao de janelamento

ou segmentao), considerando que, a princpio, no se tm conhecimento prvio da

variao temporal. Visto que qualquer tipo de processamento exige um janelamento

timo, o desenvolvimento de equipamentos e de mtodos de anlise quantitativa pela

engenharia biomdica fica condicionado ao desempenho da segmentao.

Pode-se considerar, na literatura, duas aproximaes principais para se realizar o

janelamento em ambiente no-estacionrio. A primeira ((COHEN, 1986), (GLASER,

1976)), considera apenas o domnio do tempo, dividindo o sinal biolgico em trechos

estacionrios. Desta forma, pode-se aplicar tcnicas baseadas na hiptese de

estacionariedade. Por exemplo, a deteco de rupturas em modelos paramtricos

(COHEN, 1986), a segmentao adaptativa (HILTUNEN, 2000), e os modelos

autorregressivos variantes no tempo (GLASER, 1976). Estes mtodos so

caracterizados (THAKOR, 2004) pela baixa complexidade computacional e

implementao adaptativa, o que permite operao em tempo real. Por outro lado, os

resultados podem ser incoerentes e imprecisos, devido divergncia dos mtodos.

A anlise de eletroencefalograma (EEG) se baseia, de acordo com a literatura,

em tcnicas da primeira aproximao ((LITT, 2002), (MORMANN, 2003),

(MORMANN, 2004), (THAKOR, 2004)). J para a codificao neural ((RIKE, 1997),

(BORST, 1999)), aplicam-se tambm ferramentas tradicionais, sem todavia se

aprofundar o aspecto de janelamento. Por exemplo, em (EICHLER, 2003), os autores

utilizam funo de correlao cruzada para estudar a conectividade neural, ou seja, a

rede de conexes morfolgicas estabelecidas entre as clulas que compem a cultura

celular sob anlise. Com este mesmo objetivo, as densidades de probabilidade espao-

temporais de sinais MEA so estimadas em ((VAN PELT, 2004), (CHIAPPLONE,

2003), (NOVELLINO, 2003)), enquanto (COZZI, 2005) utiliza uma aproximao do

tipo funo de transferncia.

A segunda aproximao para o estudo do janelamento em ambiente no-

estacionrio leva em conta o domnio do tempo-freqncia, fundamentada na teoria de

wavelets ((STRATIMIROVIC, 2001), (SAMAR, 1999), (AKAY, 2003)); na anlise de

flutuao aleatria ((BLESIC, 1999), (BLESIC, 2003)) e na teoria de sistemas

90

dinmicos no-lineares ((BLANCO, 1995), (LITT, 2002), (MORMANN, 2003),

(MORMANN, 2004)). Estas tcnicas apresentam alta complexidade computacional, e,

portanto, mxima preciso dos resultados, com convergncia assegurada. Por outro

lado, a operao em tempo real fica condicionada implementao de estruturas de

processamento especializadas e, consequentemente, mais complexas e caras.

3.3 Processamento de sinais MEA

3.3.1 Pr-processamento e gerao da srie temporal de intervalos

entre spikes O primeiro estudo sobre a comunicao neural baseada nos sinais eltricos foi

realizado por Luigi Galvani (1791), quando demonstrou que os msculos da r podiam

ser estimulados pela eletricidade. A Figura 3.1 ilustra a forma de onda de um sinal

extracelular, registrado eletronicamente. Nesta figura, o eixo horizontal corresponde ao

tempo analgico; enquanto que o eixo vertical representa a amplitude da tenso eltrica

absoluta, medida diretamente nos eletrodos do dispositivo de mensurao. A srie

temporal representada pela Figura 3.1 ser denominada Atividade Neural Espontnea

Absoluta (ANEA).

Figura 3.1 Forma de onda extracelular com diferentes potenciais de ao, definindo a

srie temporal ANEA (adaptada de (LEWICKI, 1998))

91

O sinal da Figura 3.1 apresenta vrios picos ou spikes, por exemplo, nos

instantes de tempo 4.5, 5.1, 9.0 e 23.0; os quais quase sempre correspondem

ocorrncia de potenciais de ao. O processo de checagem desta correspondncia

denominado deteco de spikes (LEWICKI, 1998). Deve-se notar que, durante os

intervalos de tempo compreendidos entre a ocorrncia de dois spikes consecutivos, o

sinal da Figura 3.1 apresenta amplitudes baixas, que oscilam em torno de um valor

mdio. Isto pode ser observado nos intervalos 3-4, 6-8.9, 13-22. Estes trechos de sinal

so denominados atividade basal (KANDEL, 2000).

Do ponto de vista clssico ((KANDEL, 2000), (LEWICKI, 1998), (RIKE,

1997)), considera-se que a informao estatstica fundamental de uma srie ANEA est

concentrada nos spikes, ou melhor, nos instantes de tempo em que os spikes acontecem.

Consequentemente, a informao biolgica ligada atividade basal descartada, sendo

que, na prtica atual (RUTTEN, 2002), no se utiliza a srie ANEA. De fato, com base

nesta ltima, os instantes de tempo ti em que os spikes acontecem so determinados,

gerando uma srie do tipo {t1, t2, t3, t4, t5, t6, ...}. Em seguida, estimam-se os

intervalos de tempo entre spikes consecutivos, o que permite definir o sinal denominado

srie temporal de Intervalo Entre Spikes (IES), definida logo abaixo.

{t2 - t1, t3 t2, t4 t3, t5 t4, t6 t5, ...}

A deteco do spike uma tcnica que permite classific-los, de forma a

permitir o estudo da populao local dos neurnios que esto isolados por tcnicas

tradicionais (LEWICKI, 1998). Se a atividade dos neurnios pode ser uma caracterstica

de um eletrodo, isto possibilita a classificao dos spikes, mesmo no caso de dois ou

mais neurnios conectados simultaneamente. Existem muitos problemas bsicos ligados

ao processamento de spikes. Um deles a deteco do ponto inicial, o qual depende da

amplitude da tenso eltrica absoluta, que pode ser observada no osciloscpio, mas com

a desvantagem de no se poder analisar o spike isoladamente.

Um outro mtodo para anlise de spikes em um longo perodo de tempo o

histograma intervalo entre spikes, correspondente a uma estimativa da funo

densidade de probabilidade da varivel aleatria intervalo entre spikes. Embora simples,

este mtodo requer um grande nmero de pontos confiveis em um longo perodo de

tempo, tendo em vista a necessidade de uma quantidade mnima de dados que permita

92

estimadores estatsticos confiveis. Consequentemente, o clculo deste histograma no

ocorre em tempo real.

A eficincia de anlise do spike limitada pela deteco da altura do potencial

de ao. Para muitas situaes, dois neurnios diferentes geram potenciais de ao com

formas de onda similares, durante o registro. Isto acontece quando os neurnios so

muito similares na sua morfologia e igualmente distantes do eletrodo que est sendo

usado para registro.

Em (CHAN, 2004), introduz-se o mtodo baseado em populao de spikes (PS),

representado pelas respostas dos neurnios monitorados com atividades extracelulares.

Essa resposta pode ser modelada pelo modelo Pulse-In-Pulse-Out. O objetivo detectar

a ocorrncia de spikes, cujas amplitudes, extradas em tempo real, so necessrias para

implantes neurais ou prteses, porque modelos neurais computacionais usualmente

requerem uma entrada, expressa pela amplitude do impulso com determinada resposta.

Isto , a extrao da amplitude do spike consiste no primeiro passo para a anlise

computacional dos neurnios. O artigo tambm apresenta uma implementao do

hardware para aproximao de clculo de PS, que um componente para pesquisas e

desenvolvimento de prteses dedicadas ao hipocampo cortical. A amplitude PS

definida pela distncia entre o spike mnimo e o ponto que corresponde projeo do

mnimo na tangente linear entre dois picos. O algoritmo envolve a primeira diferena da

forma de onda. Essa operao de diferenciao feita pelo clculo da integral do sinal

no tempo real, que resulta nas amplitudes associadas. utilizado um filtro de resposta

impulsiva infinita (IIR).

A frmula matemtica equivalente definida por:

211210

)()()0()(././2

1

1

pp

T

T

T

AATyTyyTydtdtdydtdtdy +=+=+ (3.1)

Onde y representa o sinal de atividade neural espontnea no domnio do tempo, e os

termos da equao correspondem s amplitudes e de acordo com a Figura 3.2. 1pA 2pA

93

Figura 3.2 - Mtodos de extrao da populao dos spikes (PS)

(adaptada de (CHAN, 2004))

Logo, a altura desejada do PS pode ser aproximadamente calculada por:

2/)( 21 ppc AAA += (3.2)

Ou seja, representa a rea mdia da funo derivada primeira do sinal y(n),

no intervalo de tempo compreendido entre 0 e T

cA

2. Se esta rea mdia for maior que um

determinado limiar, significa a ocorrncia de uma variao brusca na amplitude de y(n),

caracterstico dos mecanismos de polarizao-repolarizao ligados ao potencial de

ao. Decide-se ento pela ocorrncia do spike. Do contrrio, durante o trecho

analisado, o sinal da MEA considerado como atividade basal, que caracterizada por

uma constncia temporal na amplitude de y(n), o que se reflete como derivada

aproximadamente nula.

3.3.2 Classificao de spikes

Uma vez detectados os spikes, as sries temporais de intervalo entre spikes so

estimadas. Assim sendo, deve-se agrupar os diversos spikes em grupos semelhantes, o

que realizado pelo procedimento de classificao de spikes.

O autor (STAVEREN, 2002) realizou testes para a caracterizao da atividade

de potenciao (spikes) espontnea, modificada por testes de estimulao externa e de

treinamento. Os dados foram obtidos de neurnios corticais do crebro de ratos

94

neonatais, durante um perodo de 4 horas. utilizado o cloreto de sdio (NaCl) na

soluo para no remover a aderncia das clulas. A cultura mdia realizada trs vezes

por semana. O software quantifica e classifica as formas de ondas dessas atividades

espontneas, onde a entrada do sinal processada em tempo real, sendo que a reduo

do rudo feita via software. A atividade medida dividida em canais, onde cada canal

assume um nvel detector para excluir a atividade cclica do sinal.

O autor utilizou o mtodo de classificao da distncia mnima de

Mahalanobis, onde primeiramente ele seleciona os spikes manualmente, em uma

pequena quantidade de classes. Durante a fase do treinamento, representada a forma

de onda e suas caractersticas, atravs de uma seleo aleatria de spikes. Logo, os

spikes so classificados por classes, de acordo com a menor distncia de Mahalanobis,

que estimada a partir do clculo da mdia e da covarincia, de acordo com a seguinte

equao:

)(**)( 1, it

iisMahalanobi xxD = (3.3)

Onde x o vetor de spikes de amplitudes de tenso com valores entre 50 e 350 V,

i o vetor mdio representativo da classe, ou seja, calculado pela mnima distncia de

Mahalanobis; e C a matriz de covarincia da classe.

Os resultados foram obtidos em duas experincias com culturas de ratos

embrionrios, considerando aproximadamente 180.000 spikes. A classificao feita

em clusters que representam seis formas de onda bsicas, com suas respectivas

morfologias.

Em outro artigo, o autor (IZHIKEVICH, 2003) apresenta o modelo dos

neurnios do tipo spiking (potenciao) e bursting (salva), baseando-se na dinmica

do tipo de Hodgkin-Huxley de duas dimenses, cannico, utilizando equaes

diferenciais ordinrias da seguinte forma:

Iuvvdtdv

+++= 140504,0 2 (3.4)

)( ubvadtdu

= (3.5)

95

Com algumas restries: se entomVv ,30 duucv

+

Onde v representa o potencial da membrana do neurnio, o termo 0,04v2 +5v+140

representa o ajuste dinmico dos picos e a varivel u representa o potencial de

recuperao da membrana, relativamente aos ons Na+ e K+, gerando valores negativos

para v.

As variveis a, b, c e d so parmetros, onde a corresponde ao tempo adquirido

da varivel u, e assume o valor de a = 0,02. J o parmetro b a descrio da varivel u

em relao ao potencial da membrana v, assumindo o valor b = 0,2. O parmetro c o

valor da condutncia do on K+, no potencial de membrana, e possui o valor de c = -65

mV. O parmetro d corresponde amplitude das condutncias dos ons Na+ e K+, com

valor d = 2. Durante a implementao, so simulados em tempo real milhares de

neurnios conectados, explicitando as reas inibitrias e as excitatrias da rede neural.

Todas as clulas corticais excitatrias so divididas em quatro classes e todas as clulas

corticais inibitrias so dividas em duas classes, de acordo com os tipos padres de

spikes.

Muitas tcnicas de classificao de spikes para eletrodos simples se estenderem

naturalmente aos eletrodos mltiplos (LEWICKI, 1998). Alm da anlise de

componentes principais, pode-se tambm cogitar a aplicao da teoria de separao de

fontes (AKAY, 2003) para a situao de mltiplos canais, obtendo-se assim as

caractersticas de agrupamento. Neste caso, os componentes principais ou as funes

discriminantes descrevem a variao mxima direcionada para todos os canais

simultaneamente.

Finalmente, com base nas discusses apresentadas, pode-se concluir que a

classificao de spikes exige tcnicas de reconhecimento de padres, as quais, por sua

vez, no levam necessariamente em conta a operao em tempo real.

3.3.3 Estimao da conectividade neural

Em (CASTELLONE, 2003), o autor utiliza o histograma de intervalo de

neurnio cruzado (vide Figura 3.3), que analisa a conectividade entre pares de neurnios

da atividade espontnea em rede de cultura de clulas corticais de ratos.

96

Figura 3.3 - Histograma de intervalo de neurnio cruzado. Eixo y: intervalo entre spikes [ms]. Eixo x: tempo [ms] (adaptada de (CASTELLONE, 2003))

Os histogramas mostram o intervalo dos spikes mdio de acordo com suas

correlaes entre os neurnios em vrios perodos de tempo. O eixo x est dividido em

intervalos de tempo de 0,5 ms; enquanto o eixo y representa os tempos de intervalos de

spikes. A atividade espontnea analisada pelo spike no tempo e pela localizao dos

canais em atividade durante um perodo de 10 minutos. Quando o valor de AR

(amplitude) baixo, indica a no-conectividade entre os eletrodos analisados.

Foram analisados 38 histogramas com 2 parmetros: um de acordo com a forma,

e o outro de acordo com o intervalo de pontos. O histograma indica a (no) abundncia

da conectividade e a conexo direta dos caminhos. Um caso especial, para a mesma

cultura, ocorre nas gravaes entre 7 e 14 segundos, onde se observa um grande pico

entre os eletrodos. Os resultados foram similares queles obtidos pela literatura

((AERTSEN, 1985), (MELLSEN, 1987)), a partir da anlise da correlao cruzada, para

gravao in vitro de crebros animais.

Em (BORST, 1999), a codificao neural considerada como a representao

neural da informao, em termos da teoria de probabilidade aplicada transmisso de

informaes em sistemas de comunicao. A teoria requer que as transferncias das

informaes sejam precisas, determinadas por distribuies de probabilidade exatas

particulares, para sinais de entrada e de sada. Neste contexto, o estudo da conectividade

neural corresponde a topologia que maximiza o fluxo de informao.

97

Por fim, nas referncias ((EICHLER, 2003), (VAN PELT, 2004)), os autores

estudam a conectividade neural a partir da estimao da funo de correlao cruzada

entre os sinais dos diversos eletrodos, sem contudo discutir explicitamente a operao

em tempo real do mtodo, e nem o janelamento do conjunto de sinais levando em conta

a no-estacionariedade.

3.4 Concluso

Dentre as duas principais aproximaes para o janelamento de sinais no-

estacionrios, a primeira delas, no domnio do tempo, parece melhor atender s

exigncias de baixa complexidade computacional, visando a mnima dissipao da

potncia e operao em tempo real, estabelecidas pelo contexto aplicativo de

neuroimplantes.

A pesquisa sobre codificao neural envolve diversas aproximaes diferentes,

tais como processos de ponto (COHEN, 1986), modelos de caminhada randmicos

((GERSTEIN, 1964), (RIKE, 1997)) e anlise do rudo branco (BLESIC, 1999). Todas

essas aproximaes se baseiam uma srie temporal obtida aps a deteco e

classificao dos spikes, denominada srie de intervalo entre spikes. Este sinal

apresenta diversas limitaes e inconvenientes no contexto dos neuroimplantes, a saber:

A necessidade de deteco e classificao dos picos do sinal de atividade neural

espontnea. Observe que tal pr-processamento inevitvel, e ele sujeito a

diversos erros devido o rudo que pertuba frequentemente a instrumentao

neurofisiolgica (RUTTEN, 2002). Alm disso, sempre existem incertezas a

respeito do limiar de amplitude a ser considerado, para se determinar se um pico

ocorreu em algum lugar ou no (RIKE, 1997). Consequentemente, tudo isso

dificulta a implementao do processamento de sinais em tempo real, atravs do

aumento da complexidade dos algoritmos; alm de exigir o uso de tcnicas de

filtragem de rudo, que necessariamente aumentam a potncia dissipada pelo

circuito fsico de aquisio dos sinais neurais.

A informao biolgica ligada atividade basal perdida, o que pode justificar,

de certa forma, os limites de desempenho dos mtodos clssicos.

98

Deve-se lembrar que, pela anlise da literatura, os conceitos de histograma de

intervalo entre spikes, funo de correlao cruzada; bem como as teorias de informao

e reconhecimento de padres fundamentam a classificao dos spikes e o estudo da

conectividade neural. A leitura cuidadosa dos artigos consultados permite afirmar que

pouco se discutiu a respeito da operao em tempo real dos mtodos, bem como do

janelamento dependente da no-estacionariedade dos sinais analisados.

Retornado agora aos desafios do Captulo 2, fica claro a necessidade de, se

possvel, utilizar diretamente a srie temporal de atividade espontnea, ao invs da srie

de intervalo entre spikes. Neste contexto, tambm seria desejvel reduzir a

complexidade do hardware, substituindo um filtro de rudo aditivo por uma soluo em

software.

Do nosso conhecimento, poucos trabalhos na literatura discutem as idias

levantadas no pargrafo anterior, em particular, sobre a aplicao da teoria de

estatsticas de ordem elevada. Em (BOHTE, 2000), os autores apresentam uma anlise

baseada em correlaes de 3 ordem, aplicadas a sries temporais do intervalo entre os

spikes. A gaussianidade ou no das sries temporais envolvidas, do nosso

conhecimento, no foi verificada.

Baseado nas motivaes precedentes, o artigo (DESTRO-FILHO, 2001)

analisou a ligao entre a plasticidade sinptica e a filtragem de predio no-linear. Em

((BLESIC, 1999), (DESTRO-FILHO, 2002), (DESTRO-FILHO, 2003)), discutiu-se

tambm as propriedades do rudo branco da srie temporal de intervalos entre spikes.

Resultados preliminares motivam o aprofundamento desta pesquisa.

Deve-se ressaltar a existncia de dois resultados experimentais relativamente ao

janelamento de sinais EEG e de sinais de atividade neural espontnea registrados

atravs das MEAs. Tanto para o primeiro caso ((MORMANN, 2004),

(DALESSANDRO, 2005)), como para o segundo ((RAUCH, 2003), (BLESIC, 1999),

(BLESIC, 2003)), os autores enfatizaram a necessidade de particionamento dos sinais

em trechos de, aproximadamente, 2 segundos. Estas concluses so essencialmente

experimentais, e no foram justificadas nem do ponto de vista de cincias exatas, nem

do ponto de vista fisiolgico.

99

As concluses acima apresentadas, bem como as interrogaes do pargrafo

anterior, sugerem ento o uso de tcnicas simples para o processamento de sinais MEA

e EEG em tempo real, se possvel evitando a deteco dos spikes. Uma anlise

preliminar sugere a utilizao da predio linear adaptativa, metodologia simples e bem

estabelecida, especialmente concebida para o processamento de sinais no-estacionrios

no domnio do tempo. Enfim, a teoria de estatstica de ordem elevada permite cogitar a

reduo do rudo aditivo, freqentemente encontrado em sinais neurolgicos e

neurofisiolgicos, atravs de tcnicas de software. As duas teorias sugeridas so

aprofundadas no prximo captulo.

100

Captulo 4

Predio Linear Adaptativa e Estatstica de Ordem Elevada (EOE)

4.1 Introduo

No Captulo 2 constatou-se a necessidade de utilizao de algoritmos simples

para permitir o processamento, em tempo real, de sinais MEA e EEG atravs de

neuroimplantes. No Captulo 3, concluiu-se que se pode fazer diversas aproximaes

tericas para a anlise dos sinais de EEG e MEA: teoria de sistemas dinmicos no-

lineares (HAYKIN, 2000), caos (DURAND, 2001), wavelets (TEOLIS, 1998) e redes

neurais (IASEMIDIS, 2003).

Neste captulo, apresentam-se ferramentas tericas que tentam, de uma certa

maneira, minimizar as limitaes das tcnicas atualmente utilizadas na anlise da

codificao neural e da epilepsia (Captulo 3), buscando atender ao mximo os desafios

especificados na concluso do Captulo 2. Prope-se ento o uso da filtragem adaptativa

e das tcnicas de EOE para, respectivamente, lidar com os aspectos no-estacionrios

dos sinais MEA/EEG, e com o carter no-linear dos sistemas associados a estes

mesmos sinais.

A filtragem adaptativa constitui atualmente uma ferramenta imprescindvel ao

processamento estatstico de sinais, principalmente daqueles resultantes de sistemas

cuja caracterizao estatstica desconhecida. Assim sendo, o uso destes filtros permite

101

novas capacidades de processamento. Atualmente, esta tcnica aplicada com sucesso

em campos to diversos como as comunicaes, o controle, o radar, a sismologia e a

engenharia biomdica (HAYKIN, 1991).

Os filtros adaptativos so projetados de forma automtica, atravs de um

algoritmo recursivo, tornando possvel a operao satisfatria em ambiente no-

estacionrio, onde o conhecimento das caractersticas dos sinais a processar no

completo. O algoritmo se inicia com um conjunto de valores pr-determinados. No

entanto, aps um determinado nmero de iteraes, espera-se que o filtro convirja para

a soluo tima de Wiener. Em ambientes no-estacionrios, o algoritmo permite ao

filtro a possibilidade de acompanhamento das variaes estatsticas, desde que estas

sejam suficientemente lentas.

As estatsticas de ordem elevada, embora conceitualmente definidas e utilizadas

pela teoria de processos estocsticos desde o final do sculo XIX (NIKIAS, 1993),

foram aplicadas ao processamento de sinais a partir dos anos 1980-1990. Elas permitem

migrar do contexto clssico de anlise, baseada nos sinais gaussianos e sistemas

lineares; para um enfoque mais genrico, onde os sistemas podem ser no-lineares, e os

processos estocsticos, no-gaussianos.

O captulo discute, primeiramente, a filtragem adaptativa, suas aplicaes, o

filtro de Wiener, e consequentemente, a Predio Linear Direta e Reversa, baseada no

modelo auto-regressivo (AR). Em seguida, abordam-se temas em EOE, como a funo

caracterstica, os cumulantes e tambm os ndices de descorrelao.

4.2 Filtragem Adaptativa

A idia de filtragem adaptativa emerge de um contexto onde os parmetros do

filtro so obtidos a partir de operaes matemticas sobre o sinal que est sendo

processado.

102

Presume-se que o sinal tenha caractersticas variantes no tempo e o filtro dever

sofrer constantes correes em seus parmetros, de forma a se adaptar s novas

condies do sinal.

O termo filtro utilizado para descrever um dispositivo em hardware ou de

software que se aplica a um conjunto de dados contaminados com rudo, de forma a

extrair a informao de interesse. O filtro denominado linear se a quantidade de

interesse sada do sistema uma funo linear das observaes apresentadas a sua

entrada.

Considere a Figura 4.1 representando o diagrama de blocos do problema em

questo. O filtro tem como entrada o sinal desejado, contaminado com rudo branco

aditivo descorrelacionado, constituindo a seqncia x(0), x(1), x(2), ... e caracteriza-se

pela resposta impulsional w0, w1, w2, ... . Num determinado instante i, o filtro produz a

sada o(i). Esta usada como estimativa da resposta desejada d(i). Sendo os dois sinais

oriundos de processos estocsticos, a estimativa produz um sinal de erro e(n) com

caractersticas estatsticas prprias. O objetivo minimizar o erro de estimativa segundo

algum critrio estatstico.

Figura 4.1 - Diagrama de blocos representando o problema de filtragem estatstica (WIDROW, 1985)

A filtragem adaptativa tem sido aplicada com bastante sucesso em campos

diversos como comunicaes, radar, sismologia e engenharia biomdica. Sendo

aplicaes de natureza to diferentes, todas partilham uma caracterstica comum: um

vetor de entrada e uma resposta desejada so usados para calcular um erro de

estimativa, que, por sua vez, usado para controlar um conjunto de coeficientes de um

filtro. Algumas das aplicaes da filtragem adaptativa encontram-se descritas na Tabela

4.1.

103

Tabela 4.1 - Algumas aplicaes da filtragem adaptativa.

Classe Aplicaes

I. Identificao Identificao de sistemas

Modelizao das camadas terrestres

II. Modelamento Inverso Desconvoluo preditiva

Equalizao adaptativa

III. Predio Codificao preditiva linear

IV. Cancelamento de

Interferncias

Cancelamento adaptativo de rudo

Cancelamento de eco

1. Identificao: Utilizase um filtro adaptativo para obter o modelo que melhor

representa, segundo algum critrio, o sistema desconhecido. Com isso, o sistema que se

pretende identificar e o filtro adaptativo so excitados com o mesmo sinal de entrada,

como esquematizado na Figura 4.2. O sistema desconhecido disponibiliza a resposta

desejada para o filtro adaptativo. Refira-se ainda que se o sistema for de natureza

dinmica o modelo ser tambm variante no tempo.

Figura 4.2 - Filtro Adaptativo usado para a identificao de um sistema (adaptada de (HAYKIN, 1991))

2 .Modelamento Inverso: Nesta classe, o filtro adaptativo usado para obter o modelo

inverso de um sistema desconhecido. Numa situao ideal o modelo inverso representa

104

a funo de transferncia inversa da que caracteriza o sistema desconhecido. A verso

atrasada do sistema desconhecido representa a resposta desejada para o filtro adaptativo.

Figura 4.3 - Aplicao da filtragem adaptativa ao modelamento inverso (adaptada de (HAYKIN, 1991))

3. Predio: A funo do filtro adaptativo consiste em disponibilizar a melhor predio

(segundo algum critrio estatstico) do valor presente de um sinal aleatrio. O valor

presente do sinal serve de resposta desejada para o filtro adaptativo. Note-se que o sinal

de referncia do filtro consiste apenas nos valores passados do processo. Em alguns

casos, o sinal de sada do filtro adaptativo serve como sada do sistema, dizendo-se que

funciona como preditor. Em outros casos, o sinal de erro de predio usado como

sada, afirmando-se nesta situao que o filtro funciona como um filtro de erro de

predio (prediction-error filter).

Figura 4.4 - Filtragem adaptativa aplicada predio. A sada 1 corresponde predio do valor de entrada. A sada 2 refere-se ao erro de predio ( adaptada de (HAYKIN, 1991))

4.Cancelamento de interferncia: Aqui o filtro adaptativo usado para cancelar uma

interferncia desconhecida que contamina o sinal de informao pretendido. O sinal de

105

informao com contaminao (sinal primrio) considerado como resposta desejada

para o filtro adaptativo. O sinal auxiliar, denominado de referncia, usado como

entrada para o filtro adaptativo. O sinal de referncia obtm-se a partir de um sensor ou

conjunto de sensores colocados por forma a que contm a informao desejada seja

recebido em ms condies, relativamente interferncia.

Figura 4.5 - Filtro adaptativo utilizado no cancelamento de interferncias (adaptada de (HAYKIN, 1991))

4.3 Clculo dos Filtros

Filtros so utilizados com o objetivo geral de separar elementos diferentes. Quando tratamos de sinais eltricos, os filtros so dispositivos que alteram o contedo

de freqncias do sinal de entrada, afim de remover partes indesejadas, por exemplo,

rudos ou separar um sinal de outro.

4.3.1 Filtro timo: aproximaes de Wiener

Na dcada de 1940, Norbert Wiener foi pioneiro na pesquisa para a elaborao

de um filtro que produziria a estimativa tima de um sinal ruidoso. Exibimos o

problema do filtro de Wiener, com objetivo de recuperar um sinal desejado, d(n), de

uma observao x(n) com rudo v(n) (vide Figura 4.6).

x(n) = d(n) +v(n) (4.1)

106

Figura 4. 6 Ilustrao do problema geral do Filtro de Wiener. Dados dois processos estacionrios,

x(n) e d(n), que so estatisticamente descorrelacionados entre si, o filtro W(z) minimiza a estimativa do

erro mdio quadrtico, (n), de d(n). (adaptada de (DE FATTA, 1988)) d

Assumindo que d(n) e v(n) so processos aleatrios estacionrios e

estaticamente independentes, a elaborao do filtro consiste em minimizar o valor

esperado do erro mdio quadrtico da estimativa de d(n). Assim, como:

= { })(neE (4.2)

sendo:

E(n) = d(n) (n) ^d

(4.3)

o problema encontrar o filtro que minimize .

Considerando o vetor formado pelo valor atual e anteriores de entrada no

instante i, temos:

[ TNixixix )1(...)1()() (i +=x ] (4.4)

Designando por R a matriz quadrada de autocorrelao do vetor de

entrada,

(4.5a)

+++

++

==

)1(...)1()1()()1(............

)1()1(...)1()()1()1()(...)1()()(

](i)(i)[

NixixNixixNix

NixixixixixNixixixixix

EE TxxR

107

=

)0(...)2()1(............

)2(...)0()1()1(...)1()0(

rNrNr

NrrrNrrr

R (4.5b)

onde r(k) a autocorrelao de ndice k = 0,1,2,...,N-1 do sinal x(n).

Sendo P o vetor de correlao cruzada entre o sinal observado e o desejado:

[ ]TNixidixidixidEixidE 1()(...)1()()()()]()([ +==P (4.6)

e considerando ainda que o filtro possui uma estrutura transversal com N elementos de

atraso, como ilustrado na Figura 4.7 , a sua sada o(i) ser obtida pela expresso:

)()(1

0Nnxwio

N

nn =

=

(4.7)

Tal como em (4.3), pode-se considerar o vetor formado pelos coeficientes do

filtro:

[ ]TNwww 110 ... =W (4.8)

Figura 4.7 - Filtro Transversal com N coeficientes (adaptada de (HAYKIN, 1991))

obtm-se ento a sada do filtro em notao matricial:

Wx T(i))( =io (4.9)

Com isso pretende-se reduzir os efeitos do rudo sada do filtro de acordo com

algum critrio estatstico. Uma aproximao para este problema minimizar o erro

108

quadrtico mdio do sinal do erro. Definindo sinal de erro como a diferena entre a

resposta desejada d(i) e o resultado obtido o(i),

)()()( ioidie = (4.10)

Com isso, o erro quadrtico mdio ser:

[ ] [ ] WPRWW T2)()( += TidEieE (4.11)

A superfcie do erro um parabolide multidimensional com concavidade

orientada no sentido positivo, ou seja, uma superfcie com um nico mnimo. Para

determin-lo, calcula-se o gradiente da funo:

PRW 22)]([2

=

=

WieE

(4.12)

O vetor de pesos timo W* aquele para o qual se anula o gradiente:

0)]([2

=

=

WieE

(4.13)

Para sinais de entrada estacionrios a soluo resulta no vetor de coeficientes

W*, soluo conhecida como filtro de Wiener e que ser tima no sentido quadrtico

mdio:

W* = PR 1 (4.14)

O desenvolvimento da (4.14) supe as seguintes hipteses:

(H1) Sinal x(n) estritamente estacionrio, sem componente senoidal pura.

(H2) Rudo v(n) desprezvel atuando sobre x(n), ou relao sinal-rudo

(SNR) elevada.

(H3) Filtro linear, adaptativo, inerentemente estvel.

109

4.3.2 Filtros subtimos: aproximao estocstica

O filtro de Wiener, , no entanto, inadequado para situaes em que no existe

estacionariedade, requerendo conhecimento priori da estatstica dos dados a processar.

Este ser timo se as estatsticas dos dados de entrada coincidirem com as que se

usaram no desenho do filtro. Quando no se dispe dessa informao poder no ser

possvel desenhar o filtro de Wiener, ou, pelo menos, no ter um desempenho timo.

Uma aproximao expedita nesta situao poder consistir na separao do

processamento em duas etapas: na primeira estimam-se os parmetros estatsticos dos

sinais e na segunda, aplica-se ao clculo dos parmetros do filtro. Nas aplicaes em

tempo real, este processo poder ser muito dispendioso, devido s exigncias

computacionais.

Sendo mltiplos algoritmos existentes, dividem-se, no entanto em apenas duas

classes. A primeira so os Algoritmos de Gradiente e a segunda os algoritmos de

mnimos quadrados.

Os algoritmos de gradiente baseiam-se no filtro de Wiener, estimando o

gradiente da superfcie da funo de custo. Tem como principal vantagem baixa

complexidade. So bons na explorao de superfcies pouco complicadas.

Os algoritmos de mnimos quadrados so baseados no filtro de Kalman. De

forma determinstica minimizam a soma dos quadrados dos erros parciais. Tem como

vantagem a baixa sensibilidade a mnimos locais das superfcies da funo de custo e a

maior velocidade de convergncia comparando-o com os algoritmos de gradiente.

Dentre as desvantagens, esto as maiores exigncias computacionais e problemas de

estabilidade.

Em seguida, discute-se detalhadamente o algoritmo dos mnimos quadrados

mdios (Least Mean Square - LMS), tendo em vista sua baixa complexidade

computacional, o que uma caracterstica fundamental para assegurar a

biocompatibilidade de um neuroimplante.

Este algoritmo importante pela sua simplicidade e facilidade de computao.

Se o sistema adaptativo um combinador linear adaptativo, e o vetor de entrada x(n) e a

110

resposta desejada d(n) esto disponveis a cada iterao, o algoritmo LMS geralmente

a melhor escolha para muitas aplicaes de processamento de sinais (WIDROW, 1985).

Este algoritmo utiliza o valor instantneo de e(i) como estimativa da funo de

custo calculada por E[e(i)]. O algoritmo o seguinte:

Passo1: Estima-se o gradiente da funo:

[ ] (i))(2)()(i)(2^

xW

eE 2 ieie =

=

(4.15)

Passo2: Como o gradiente o vetor que aponta no sentido do mximo da funo de

custo, desloca-se o vetor de pesos na direo oposta com o objetivo de procurar o

mnimo:

[ ]( )(i)e(i)1)(i 2^^ EWW ^=+ (4.16)

ou seja:

(i))(2(i)1)(i xWW^^

ie+=+(4.17)

A constante designa-se habitualmente por passo de adaptao e controla a

estabilidade e velocidade de convergncia do algoritmo. A existncia de estabilidade do

algoritmo desde que o valor do passo de adaptao obedea seguinte desigualdade

(HAYKIN, 1991):

{ }))((*)1(10 2 ixEN +

111

4.4 Predio Linear Direta (forward)

A modelagem paramtrica (HAYKIN, 2000) uma tcnica para anlise de sries

temporais, na qual um modelo matemtico adaptado a um sinal amostrado. Se a forma

do modelo uma boa aproximao para o comportamento observado do sinal, ento

pode ser usado em uma ampla faixa de aplicaes, como estimao espectral,

compresso de dados, sntese de fala, e extrao de caracterstica para classificao de

padres.

Em modelos adaptativos, os valores dos parmetros livres so atualizados com a

chegada de cada nova amostra de dados, considerando que em modelos no-adaptativos

os parmetros so escolhidos de forma a melhor se ajustar a uma dada seqncia de

amostras.

A maioria dos sinais, inclusive a fala e o eletroencefalograma (EEG), so no-

estacionrios (isto , eles tm um espectro de freqncia varivel no tempo), muito

embora eles possam ser considerados localmente estacionrios para intervalos de tempo

pequenos.

Para tais sinais, qualquer modelo adaptativo pode ser usado, ou ento o sinal

pode ser dividido em segmentos suficientemente pequenos, quase estacionrios, e um

modelo no-adaptativo deve ser ajustado para cada segmento. Tcnicas de modelagem

paramtricas so usadas para calcular os parmetros livres nos vrios algoritmos

existentes.

Os algoritmos rpidos exploram a natureza seqencial do sinal de entrada. Ou

seja, o vetor x(n) pode ser obtido, a menos do primeiro elemento, por um simples

deslocamento nos elementos de x(n-1). Se existe correlao entre as amostras, tambm

possvel fazer uma estimativa do primeiro elemento de x(n) a partir das amostras

anteriores.

Esta estimativa tanto melhor quanto maior for a correlao existente entre as

amostras. O processo de estimar as amostras do sinal denominado de predio.

112

4.4.1. Modelo Auto-Regressivo (AR)

Fazemos um modelamento do sinal a partir de parmetros estabelecidos. A

entrada do modelo corresponde a um sinal de rudo branco, por exemplo, que pode ser

facilmente gerado de forma computacional atravs do gerador de nmeros aleatrios do

MATLAB. A sada do modelo, idealmente, corresponderia a um sinal captado de um

eletrodo, que gera sinais biolgicos.

Matematicamente, existem diversos modelos para se relacionar a varivel x(n) a

outras variveis nos quais queremos analisar. A tcnica de predio linear considera

uma relao linear, conforme especificado abaixo.

x(n) = a0v(n) + a1v(n-1) + ... + a n-1v(n-N+1) (4.19)

x(n) = )(1

0inva

N

ii

=

(4.20)

onde { a0, a 1, ..., aN 1} so coeficientes (constantes) e N a ordem do modelo.

4.4.2 Modelo da Predio Linear Direta

Neste modelo consiste em prever uma amostra de sinal a partir de suas amostras

analisadas anteriormente.

)()1(1

0

^jnxanx

N

jj =+

=

(4.21)

)1(...)1()()1( 110^

+++++ Nnxanxanxanx N

(4.22)

onde o valor de x previsto ( ) calculado a partir dos xs j conhecidos. ^x

Para definir se o modelo utilizado est adequado, analisamos a diferena entre o

sinal previsto e o sinal real. Essa diferena denominada erro de predio.

)()()(^

nxnxnep =(4.23)

113

onde ep o erro de predio e (n) calculado a partir de : { x(n-1), x(n-2),....,x(n-

N)}.

^x

4.4.3 Critrios para uma boa predio

Determinamos alguns critrios para que esse modelo esteja funcionando de

forma adequada. Por exemplo:

1- ep (n) 0

2- 0{ )(2^ neE p }

Com isso, o erro de predio dever tender a zero e a esperana do erro de

predio ao quadrado deve, tambm, tender a zero. O segundo critrio extremamente

importante, tendo em vista a natureza estocstica e no-estacionria dos sinais

biolgicos envolvidos e analisados como os dados de entrada.

4.4.4 Soluo tima de Wiener para Predio Linear Direta

Para resolvermos as equaes anteriores a partir das Equaes de Wiener-Hopf

temos trs caractersticas importantes. A primeira relacionada com matriz de correlao

de ordem N por N com os valores de entrada {x(n-1), x(n-2),...,x(n-N)}. A segunda,

relacionada ao vetor de correlao cruzada de ordem N por 1, entre as entradas e a sada

desejada x(n). O valor do erro de ordem N, estimado como a terceira caracterstica, a

varincia de x(n).

1) Os valores de entrada {x(n-1), x(n-2), ...., x(n-N)} so armazenados no seguinte

vetor:

TNnxnxnx ](...)2()1([1)(n =x (4.24)

Portanto, a matriz de correlao dos valores de entrada ser:

]1)(n1)(n[ = TxxR E

114

=

)0(....)2()1(..............

)2(....)0()1()1(....)1()0(

rNrNr

NrrrNrrr

(4.25)

Podemos observar que o smbolo usado na matriz de correlao para os valores

de entrada semelhante aos valores da matriz de correlao do filtro transversal da

Figura 4.7.

2) O vetor de correlao cruzada entre os valores de entrada {x(n-1),....x(n-N)} e a

sada desejada x(n) :

)](1)(n[ nxE = xrp

= =

)(.....

)2()1(

Nr

rr

)(...

)2()1(

Nr

rr

(4.26)

3) A varincia de x(n) igual a r(0), desde que x(n) tenha mdia zero.

De acordo com (4.4)-(4.6), ns adaptamos as equaes de Wiener para resolver

o problema de predio linear direta para entradas estacionrias, onde:

R a = rp (4.27)

Similarmente, usando (4.14) e (4.26), deriva-se a seguinte expresso do erro de

predio:

arpT= )0(rep (4.28)

Para as equaes anteriores, tem-se um vetor de pesos Nx1, determinados

somente por um conjunto de (N+1) valores da funo de autocorrelao.

Exemplo 4.1: Processo estocstico associado a um rudo de 60 Hz, presente em

sinais de matriz multieletrodo (MEA) (LATHI, 1967).

Seja um processo estocstico definido por:

)cos((t) += tAx (4.29)

115

onde uma varivel aleatria com distribuio uniforme entre 0 e 2.

Conforme demonstrado em LATHI (1967), temos que :

)cos(2

)(2

ARx = (4.30)

A matriz de autocorrelao, de acordo com (4.5a)-(4.5b), considerando =0,1,

ser:

=

2)cos(

2

)cos(22

22

22

AA

AA

R (4.31)

Logo, o vetor de correlao cruzada para =1,2 :

=)2cos(

2

)cos(22

2

A

A

p (4.32)

De acordo com as equaes de Wiener, descritas anteriormente, e usando (4.14),

calcula-se o vetor de coeficientes a partir de:

=)2()1(

*)0()1()1()0(

*)1()0(

122 r

rrrrr

rrw

(4.33)

Substituindo (4.30) na equao anterior, obtm-se:

=

)2cos()(cos

)2cos()cos()cos(

44

2

44

AA

AAw

(4.34)

Logo, considerando A=2 e f=60,1 Hz, e utilizando o programa MATLAB para o

clculo, teremos os seguintes resultados:

=

26180,16180,12

R

=

6180,06180,1

p

=1

6180,1w

Consequentemente, para A=2 e f=1000,2 Hz, teremos:

116

=

26180,06180,02

R

=6180,1

6180,0p

=1

6180,0w

Analisando estes resultados, percebemos que so semelhantes, mudando apenas

a freqncia do sinal. Deve-se destacar que w(2) constante, assumindo o mesmo valor

nos dois casos.

As Figuras 4.8 e 4.9 ilustram os coeficientes do vetor w obtidos em vrios testes,

de acordo com (4.34), considerando A=2 e a freqncia variando de 60 Hz a 1 kHz.

Para cada grfico, mostra-se um elemento do vetor w.

10 20 30 40 50 60 70 80 902

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 4.8 - Representao grfica de w1 x freqncia

10 20 30 40 50 60 70 80 902

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

117

Figura 4.9 - Representao grfica de w2 x freqncia

Portanto, verifica-se que w(2) uma constante para qualquer freqncia, e que

w(1) possui valores cclicos. A soluo tima do vetor w permite minimizar diretamente

o valor do erro quadrtico mdio do sinal desejado.

4.4.5 Soluo subtima usando aproximao estocstica do

Gradiente O padro para utilizar um filtro transversal encontrar uma melhor soluo para

seu vetor de coeficientes que satisfaz as equaes de Wiener. Uma maneira de fazer isto

seria resolver as equaes do sistema por algum mtodo analtico. Este procedimento

bastante trabalhoso, apresentando srias dificuldades computacionais, especialmente

para filtros de ordem elevada, ou quando a quantidade de dados de entrada for elevada.

Um procedimento alternativo o mtodo de descida do gradiente, muito usado em

otimizao. Logo, basta encontrar o mnimo valor para o erro quadrtico mdio,

baseado nas equaes de Wiener.

Seja ( )(n) , o vetor de gradiente no tempo n e a(n) o vetor de coeficientes no tempo n. De acordo com o mtodo da descida do gradiente, a atualizao do vetor de

coeficientes no tempo n+1 feita usando a relao recursiva abaixo:

( )](n)[21(n)1)(n aa +=+

(4.35)

onde, uma constante de valor positivo real, denominada passo de adaptao. O

fator usado apenas por convenincia (HAYKIN, 1991).

O vetor gradiente ( )(n) representado por:

( )(n) =

)()(

....)()()()(

1

1

0

nan

nannan

N

118

= -2 p + 2 R a(n) (4.36)

onde, na primeira linha, )(/)( nan k a derivada parcial da funo custo )(n com

relao . Para a aplicao do algoritmo de descida do gradiente, assumimos a

correlao da matriz R e a correlao cruzada do vetor rp que so conhecidos quando

calculamos o vetor gradiente

)(nak

( )(n) para os valores do vetor de coeficientes a(n).

Ento, substituindo (4.36) em (4.35), calcular-se o vetor de coeficientes a(n+1)

usando a relao recursiva abaixo:

](n)[(n)1)(n Rarpaa +=+ n= 0,1,2,.... (4.37)

O parmetro controla o tamanho da aplicao da correo, incrementando o

vetor de coeficientes no processo iterativo a cada ciclo do algoritmo.

Com isso, o clculo dos coeficientes na Predio Linear Direta feito a partir

das anlises anteriores, pelo mtodo da descida do gradiente. A soluo normalmente

adotada consiste em aproximar os clculos de forma a no comprometer os resultados

estatsticos, diminuindo o tempo de processamento computacional, atravs da seguinte

simplificao:

)1(.(n).2 knxea pk

(4.38)

Deve-se observar que, do ponto de vista da Estatstica formal, a aproximao

(4.38) pode parecer incoerente e muito grosseira. Todavia, a prtica do processamento

de sinais, desde a dcada de 60 (HAYKIN, 2000), revela que a equao (4.38) se mostra

eficiente para as mais variadas aplicaes.

Consequentemente, a atualizao dos novos coeficientes a partir de coeficientes

anteriores, aps calculado o erro de predio, utiliza a equao:

(n).(n).2(n)1)(n xaa pe=+ (4.39)

Essa soluo normalmente adotada pela literatura consiste em aproximar os

clculos de forma a no comprometer os resultados estatsticos, diminuindo o tempo de

processamento computacional.

119

4.5 Predio Linear Reversa (backward)

Na seo anterior, discutiu-se como uma amostra x(n) pode ser estimada a partir de N amostras precedentes {x(n-1), x(n-2), ..., x(n-N+1)}. O objetivo desta seo

consiste em fazer justamente o contrrio: estimar a amostra x(n-N) a partir das N

amostras posteriores.

4.5.1 Modelo Auto-Regressivo (AR) Reverso

Modelamos um sinal a partir de parmetros estabelecidos. A tcnica de predio

linear para este modelo, considera uma relao linear, conforme abaixo:

)1(...)()()( 110 ++++= NnvgnvgnvgNnx n (4.40)

=

=1

0)()(

N

ii invgNnx

(4.41)

onde { so coeficientes (constantes) e N a ordem do modelo. }110 ,...,, Nggg

4.5.2 Modelo da Predio Linear Reversa

Este modelo prev uma amostra de sinal a partir de suas amostras analisadas

posteriormente.

=

+=N

kk knxgNnx

1

^)1()(

(4.42)

)1(.....)1()()( 21^

++++= NnxgnxgnxgNnx N (4.43)

onde o valor de x previsto calculado a partir de valores j

conhecidos.{x(n),....,x(n-N+1)}.

)(

^Nnx

Para calcularmos o erro de predio, fazemos a diferena entre o sinal real e o

sinal predito. Ou seja,

120

)()(^

NnxNnxepr =(4.44)

onde o erro de predio e (n-N) calculado a partir de : {x(n), x(n-1),...,x(n-

N+1)}.

pre^x

4.5.3 Critrios para uma boa predio

Analisaremos os dois critrios citados na seo 4.4.3, para saber se o modelo

est funcionando adequadamente.

1 - 0 pre

2 - 0 { })(2^ neE prOs dois critrios devem atingir o menor valor possvel, para que esse modelo

seja perfeito para o sinal analisado.

4.5.4 Soluo tima de Wiener para Predio Linear Reversa

Para se resolver as equaes anteriores a partir das Equaes de Wiener-Hopf,

tm-se trs caractersticas importantes, discutidas para a Predio Linear Direta. Agora,

analisaremos as mesmas para a Predio Linear Reversa.

1) Seja x(n) o vetor de ordem 1 x N que contm os dados de entrada:

TNnxnxnx ])1(...)1()([(n) +=x (4.45)

A matriz de correlao dos valores de entrada de ordem N por N ser:

](n)(n)[ TxxR E= (4.46)

A forma estendida da matriz de correlao R dada em (4.25).

2) O vetor de correlao cruzada entre os valores de entrada {x(n), x(n-1),...,x(n-N+1)}

e a sada desejada x(n-N) :

121

)]((n)[ NnxE = xrpr

=

)1(...

)1()(

r

Nrnr

(4.47)

A forma estendida dessa correlao tambm est descrita em (4.26).

3) A varincia da sada desejada x(n-N) igual a r(0).

Pode-se analisar a predio linear reversa e, consequentemente, adaptar as

Equaes de Wiener (4.4)-(4.6) para resolver o problema para entradas estacionrias:

Rg = prr (4.48)

onde [ ]Nggg ..21=g so os coeficientes do filtro.

Similarmente, usando (4.14) em (4.48), produzimos a seguinte expresso para o

erro de predio reversa:

grprT

pr re = )0( (4.49)

Aqui, novamente, tem-se um vetor de coeficientes g de ordem N por 1 para

predio linear reversa, e o erro de predio reversa, definidos por um conjunto de

valores da funo de autocorrelao no intervalo {0,1,...., N}.

pre

4.5.5 Soluo subtima usando aproximao estocstica do

Gradiente para a Predio Reversa

Adapta-se o mtodo da descida do gradiente, descrito em 4.4.5, para a Predio

Linear Reversa. De acordo com (4.35) e (4.36), calcula-se o vetor de coeficientes

g(n+1), usando a relao recursiva abaixo:

](n)[(n)1)(n Rgrgg pr +=+ n=0, 1, 2, ... (4.50)

Em seguida, atualizam-se os novos coeficientes a partir de coeficientes

anteriores, depois de se calcular o erro de predio reversa, de acordo com:

122

(n)).(.2.(n)1)(n xgg nepr=+ (4.51)

onde, o passo de adaptao.

Uma forma interessante de abordar a predio reversa consiste em ver o preditor

regressivo atuando nas N amostras armazenadas, de forma a gerar uma estimativa da

amostra que acabou de sair do filtro. Nesse contexto, a predio reversa faz tanto (ou

to pouco) sentido quanto predio direta, pois ambas procuram estimar algo que j

conhecido. De fato, em nosso caso, no estamos interessados em estimativas geradas

pelos preditores, mas sim nos coeficientes e na ordem do filtro de predio.

4.6 Estatsticas de Ordem Elevada (EOE)

A teoria de EOE uma rea que desenvolve a anlise do sinal com aplicaes na

cincia e na engenharia, em particular em telecomunicaes, radar, sonar, geologia,

processamento de imagem, processamento de voz, biomedicina, oceanografia, fsica,

economia e mecnica dos fluidos (NIKIAS, 1993).

O interesse na utilizao de EOE reside na possibilidade de refinar a

caracterizao da funo de densidade de probabilidade conjunta de um processo

estocstico; bem como nas propriedades dos cumulantes e na biunivocidade de

representao entre os espectros de ordem elevada (bi e triespectro, por exemplo) e o

processo estocstico sob anlise. Esta ltima razo permite resolver as limitaes da

anlise baseada na densidade espectral de potncia, a qual no inclui informao de fase

a respeito do sinal.

As vantagens de tcnicas baseadas em EOE, descritas no pargrafo anterior,

contrastam com duas limitaes principais (PAPOULIS, 1990). Primeiramente, o custo

computacional dos algoritmos muito elevado. Em seguida, a convergncia dos

estimadores estatsticos demorada, exigindo, em geral, uma grande quantidade de

amostra do sinal.

Consequentemente existem algumas razes para se utilizar a EOE, tais como

(CADZOW, 1996): processar um sinal para extrair as informaes devido aos desvios

da gaussianidade atravs do biespectro e triespectro; alm da determinao da no-

123

linearidade de uma srie temporal atravs do teste de Hinich (PAPOULIS, 1990). As

EOE tambm transformam o sinal com rudo, permitindo sua deteco e reconstruo

precisa.

4.6.1 Funes com uma varivel aleatria (CADZOW, 1996)

A funo caracterstica, associada varivel aleatria x definida como:

{ }xjxjxx eEdxexf ==

)()( (4.52)

Onde representa o operador esperana matemtica. { }E

A funo )(x corresponde ao complexo conjugado da Transformada de

Fourier da funo de densidade de probabilidade, sendo tambm denominada funo

geradora dos momentos. Assim, esta possui propriedades associadas transformada de

Fourier. Logo, a transformada inversa definida como:

dexf xjxx

= )(21)(

(4.53)

A funo geradora dos momentos possui as seguintes propriedades:

)()( xaj

y eaxy =+= (4.54a)

)()( aaxy xy == (4.54b)

)()()( 2121 xxyxxy =+= (4.54c)

1)0( =x (4.54d)

todoparax 1)( (4.54e)

)()(* = xx (4.54f)

Onde a um escalar nas duas primeiras propriedades; x1 e x2 so variveis aleatrias

independentes, na terceira propriedade.

124

Se o momento de ordem m da varivel aleatria x existir, possvel fazer uma

expanso da srie de Taylor, associando os momentos funo caracterstica, como

mostrado logo abaixo:

{ } )()(!

1)(0

mkk

m

kx ojxEk

+==

(4.55)

{ } mkparaxEjd

d kkk

xk

,...,3,2,1)()( 0 ===

(4.56)

Onde )(mo representa a funo resto.

A funo geradora dos cumulantes, ou segunda funo caracterstica,

especificada logo abaixo:

[ ] }]{ln[)(ln)( xjxx eE == (4.57)

Analogamente s propriedades da funo geradora dos momentos (4.54a)

(4.54f), definem-se as seguintes propriedades para a funo geradora dos cumulantes.

)()( xy ajaxy +=+= (4.58a)

)()( aaxy xy == (4.58b)

)()()( 2121 xxyxxy +=+= (4.58c)

Onde a um escalar nas duas primeiras propriedades; x1 e x2 so variveis aleatrias

independentes, na terceira propriedade.

O cumulante da varivel aleatria x definido por:

,...3,2,1)()()( 0 == = kparaddjkC k

xk

kx

(4.59)

Portanto, se a varivel aleatria x for um valor real, mostra-se que estes

cumulantes so valores reais. A partir de (4.59), )( x pode ser aproximada por:

)())((!

1)(1

mk

x

m

kx ojkCk

+==

(4.60)

Onde )(mo a funo resto.

125

4.6.2 Funes com vrias variveis aleatrias (NIKIAS, 1993)

Dado o conjunto de m variveis reais randmicas { , os momentos

de ordem

}..,,, 21 mxxx

mkkkkr ++++= ...321 , onde um inteiro, so definidos por (PAPOULIS,

1990):

ik

Mom = [ ] kmmkk xxx ...,,, 22

11

{ }=kmmkk xxxE ...2211 0...22

11

2121...

)...,,,()( ====

mkm

mkk

mr

rj

(4.61)

))}...(exp({)...,,,( 221121 mmm xxxjE +++ (4.62)

Onde )...,,,( 21 m representa a primeira funo caracterstica.

A segunda funo caracterstica de um conjunto de variveis aleatrias

multidimensionais definida logo abaixo (PAPOULIS, 1990):

)]...,,,([ln)...,,,(~ 2121 mm (4.63)

A funo cumulante (tambm denominada semi-invariante) de ordem r, do

mesmo conjunto de variveis randmicas, definida como o coeficiente da expanso da

srie de Taylor da segunda funo caracterstica em torno de zero; isto :

]...,,,[ 221

1kmm

kk xxxCum 0...22

11

2121...

)...,,,(~)( ====

mkm

mkk

mr

rj (4.64)

As relaes entre momentos e cumulantes podem ser expressas pelas equaes

logo abaixo:

M1 = Mom[x1] = E{ } 1x (4.65a)

M2 = Mom[x1, x1] = E{ } 21x (4.65b)

M3 = Mom[x1, x1, x1] = E{ } 31x (4.65c)

M4 = Mom[x1, x1, x1, x1] = E{ } 41x (4.65d)

111 ][ MxCumC == (4.65e)

126

212112 ],[ MMxxCumC == (4.65f)

311231113 23],,[ MMMMxxxCumC +== (4.65g)

41

212

2213411114 61234],,,[ MMMMMMMxxxxCumC +== (4.65h)

Se E{ } = M1x 1= 0, ento 22443322 3,, MMCMCMC === .

No caso especfico de um processo estocstico, em funo da varivel tempo, se

as m variveis aleatrias{ })(...,),(),( 121 mxxx forem estacionrias, pode-se definir as multicorrelaes de ordem elevada como segue:

{ })(..)().()...,,,( 121121 mmmx xxxEM (4.66)

Exemplo 4.2: Considere as trs funes de densidade de probabilidade (pdfs)

simtricas dos tipos Laplaciana, Gaussiana e Uniforme. Os momentos de Mm de ordem

m = 1,2,3,4 podem ser gerados de (PAPOULIS, 1990):

dxxfxM mm )(

= (4.67)

onde f(x) a funo de densidade de probabilidade (pdf). Assim, calcula-se a funo

caracterstica, definida por:

= dxxjxfx )(exp)()( (4.68)

Os cumulantes , m = 1,2,3,4 so facilmente calculados atravs dos momentos

em (4.65a)-(4.65h).

mC

As Figuras 4.10-4.12 e as Tabelas 4.2-4.4 ilustram os momentos e os cumulantes

de ordem 1 a 4 das pdfs citadas logo acima. Os grficos foram gerados em ambiente

MATLAB, considerando a varivel aleatria x.

(a) Funo Laplaciana: f(x) = 0.5 exp (-|x|)

127

6 4 2 0 2 4 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Tabela 4.2 Funo Laplaciana m Mm Cm

1 0 0

2 2 2

3 0 0

4 24 12

Figura 4.10 Grfico da Funo Laplaciana, com seus momentos e cumulantes de ordem 1 a 4.

(b) Funo Gaussiana: (x) = 0.5 exp 222

.2/2

x , onde 88.22 =

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Tabela 4.3 Funo Gaussiana m Mm Cm

1 0 0

2 2 2

3 0 0

4 3 4 0

Figura 4.11 Grfico da Funo Gaussiana, com seus momentos e cumulantes de ordem 1 a 4.

(c) Funo Uniforme: f(x) = c2

1 , onde c = -0.5 a 0.5

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tabela 4.4 Funo Uniforme m Mm Cm

1 0 0

2 c2/3 c2/3

3 0 0

4 c4/5 -2c4/15

Figura 4.12 Grfico da Funo Uniforme, com seus momentos e cumulantes de 1 a 4 ordem.

128

Portanto, verifica-se que, como todas as funes pdfs analisadas so simtricas,

todos Mm e Cm mpares apresentam valores zero. Para o exemplo da Gaussiana (Figura

4.11 e Tabela 4.3), todos os seus cumulantes Cm de ordem maior que a segunda (n > 2)

tambm so zero.

4.6.3 O rudo branco e os ndices de descorrelao

Um rudo branco puro de ordem elevada de ordem p, ou sinal pw(n),

definido pelas seguintes equaes ((NIKIAS, 1993), (BONDON, 1991)):

p2;

);,...,,(pwR),...,,pw(C 121121m

129

Onde K o comprimento da srie temporal, ou o nmero total das amostras de x(n)

disponveis para os clculos.

Os ndices de Descorrelao Elevada (IDE) W2, W3, W4 de um processo

estocstico geral x(n) so definidos abaixo, e discutidos detalhadamente em ((NIKIAS,

1993), (DESTRO-FILHO, 2002), (DESTRO-FILHO, 2003)):

4,3,2;)( 2 == ipi WW (4.74)

4,3,2;,...)0,0,0(C

),...,,(C.....,...)0,0,0(C

pX

121pX1 2 1

pX1

=

=

= = =

pWp

q q q

pp

(4.75)

Os valores de q, usados nas equaes (4.74)-(4.75), dependem do sinal a ser

considerado. Particularmente, q no deve ser maior que o intervalo de

estacionariedade, isto , o perodo de tempo durante o qual o sinal mantm suas

caractersticas estatsticas constantes.

Deve-se observar que, de acordo com (4.69)-(4.70), atinge seu valor mximo

no caso do rudo branco puro de ordem elevada, para o qual Wm = 1 para todo valor

de m dentro do intervalo 2 < m < p. Observe tambm que, baseado em resultados

tericos ((NIKIAS, 1993), (BONDON, 1991)), se o processo estocstico for peridico

(por exemplo, neurnios em potenciao), ento Wm apresenta valores muito baixos,

incluindo amplitudes com valores prximos de zero. Relativamente gaussianidade, o

processo estocstico gaussiano apresenta cumulantes de 3 e 4 ordem prximos zero,

conduzindo a IDE W2, W3, W4 de amplitudes muito elevadas, sempre maiores que 1

((NIKIAS, 1993), (BONDON, 1991)).

pW

Em resumo, o IDE permite avaliar caractersticas estatsticas ligadas

periodicidade, gaussianidade e descorrelao de um processo estocstico qualquer.

4.7 Concluso

Neste captulo analisaram-se as ferramentas simples, em conformidade com os desafios estabelecidos no Captulo 2, para lidar com a no-estacionariedade e a no-

130

linearidade de sinais biolgicos, particularmente os sinais de MEA e EEG. Quando se

trata um sinal no-estacionrio, aplica-se a filtragem adaptativa. J para lidar com um

sinal resultante de um sistema no-linear, aplica-se a teoria de EOE para refinar a

caracterizao estatstica do sinal em questo.

O registro de sinais bioeltricos de grande importncia, porm durante a

aquisio, estes sinais encontram-se invariavelmente associados a um grande nmero de

interferncias das mais diversas origens. Uma das possveis tcnicas para a eliminao

dessas interferncias o uso de filtros adaptativos. Estes so ferramentas extremamente

teis na rea de processamento de sinais, principalmente em aplicaes envolvendo

tempo real, onde pouca ou quase nenhuma informao sobre a estrutura estatstica dos

sinais analisados conhecida a priori (WIDROW, 1985).

Dentre as diversas tcnicas de filtragem adaptativa, destaca-se a predio linear,

j estabelecida desde 1960 (WIDROW, 1985), permitindo alcanar bom desempenho

atravs de algoritmos de baixa complexidade computacional. Na Tabela 4.5 abaixo,

apresenta-se um pequeno resumo das caractersticas associadas aos filtros de Wiener,

Predio Linear Direta e Predio Linear Reversa.

Tabela 4.5 - Sumrio das variveis do filtro de Wiener (adaptada de (HAYKIN, 1991)) Quantidade Filtro de Wiener Predio Linear

Direta Predio Linear

Reversa Vetor de entrada

x(n) x(n-1) x(n)

Sada desejada

d(n) x (n) x(n-N)

Vetor de coeficientes

W A G

Estimativa de erro

e(n) )(nep pre (n)

Matriz de correlao

R R R

Vetor de correlao cruzada

P Rp prr

Erro mdio quadrtico

{ })(2^ neE p { })(2^

neE pr

Desta maneira, a predio linear s tem sentido quando o processo estocstico

suposto estacionrio, pois do contrrio, a matriz R e o vetor P no so univocamente

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definidos, mesmo para N suficientemente grande. Ou seja, se a srie temporal resulta de

um processo estocstico no-estacionrio, R e P variam ao longo da srie, invalidando o

uso de (4.14) para a obteno do vetor de coeficientes W. A soluo algumas vezes

adotada assumir que a srie temporal seja estacionria em intervalos, adaptando-se R e

P para cada intervalo.

O processamento de sinais baseado em estatstica de ordem elevada (NIKIAS,

1993) apresenta caractersticas muito interessantes para aplicaes em engenharia

neural. Por exemplo, os efeitos de rudo gaussiano, que perturbam freqentemente as

medidas neurofisiolgicas, podem ser minimizados a partir da seguinte propriedade. Os

cumulantes de um sinal composto por atividade neural espontnea (ANE) e o rudo

gaussiano so exatamente os mesmos que os cumulantes associados ao sinal ANE puro.

Alm disso, as correlaes de ordem elevada fornecem uma informao mais

precisa da funo de densidade de probabilidade, permitindo assim uma classificao e

uma anlise mais exatas do sinal, em aplicaes onde a relao sinal/rudo (S/R) muito

baixa. Em (NIKIAS, 1993), os autores apresentam exemplos de diversos algoritmos de

classificao, baseados em ordens elevadas, que resultam em desempenho muito

eficiente, para aplicaes com relaes S/R abaixo de 5 dB. Por outro lado, as

limitaes da teoria de EOE no devem ser esquecidas, levando em conta o alto custo

computacional dos algoritmos e a lentido de convergncia dos estimadores.

No prximo captulo, as ferramentas aqui discutidas so aplicadas anlise de

sinais MEA e EEG.

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Captulo 5

Simulaes e Resultados

5.1 Introduo

O objetivo deste captulo estabelecer modelos AR simples para os sinais

biolgicos, medidos atravs do EEG e das MEAs. Alm disso, investigou-se a estrutura

estatstica do sinal resultante da MEA em termos do conceito de rudo branco.

Em particular, a anlise do sinal EEG contendo crises epilpticas exige a

estimao do tempo de estacionariedade, que corresponde ao intervalo de tempo durante

o qual as caractersticas estatsticas do sinal se mantm constantes (BLESIC, 2003).

importante frisar que o tempo de estacionariedade (TE) associado a trechos de EEG

contendo crises epilpticas estabelece um limitante mximo para a previsibilidade da

ocorrncia de crises, conforme discutido no Captulo 3.

De fato, o tempo de estacionariedade pode ser interpretado como o tempo mdio

para que uma mudana fisiolgica ocorra no tecido considerado, de tal forma a alterar a

resposta eltrica das clulas envolvidas e, conseqentemente, a informao associada

atividade eltrica neural (SHOUVAL, 2005). Sendo assim, estabel