École des Mines de Nancy Année 2017-2018Denis Villemonais, denis.villemonais@univ-lorraine.fr

FICM 2A – Probabilités

TD 2. Lois conditionnelles – Corrigé

Dans tous les exercices, (Ω,F ,P) est un espace de probabilité sur lequel sontdéfinies les variables aléatoires considérées. Ces variables aléatoires sont doncen particulier F -mesurables.

Exercice 1. Soient (Yi )i∈N et N des variables aléatoires indépendantes. On sup-pose que N suit une loi de Poisson de paramètre λ> 0 et que Yi (i ∈N) suit uneloi de Bernoulli de paramètre p ∈]0,1[, c’est-à-dire

∀n ∈N, P(N = n) = e−λλn

n!et ∀i ∈N, P(Yi = 1) = 1−P(Yi = 0) = p.

Déterminer la loi conditionnelle de X =N+1∑i=1

Yi sachant N .

Solution. Nous avons, pour tout k ∈N,

P(X = k | N = n) =P(

N+1∑i=1

Yi = k | N = n

)

=P(

n+1∑i=1

Yi = k | N = n

)

=P(

n+1∑i=1

Yi = k

)par indépendance de (Yi ) et de N

=C kn+1pk (1−p)n+1−k .

Ainsi,

P(X = k | N ) =C kN+1pk (1−p)N+1−k .

1

Exercice 2. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. Supposonsque X (respectivement Y ) suit une loi binomiale de paramètre (m, p) (respec-tivement (n, p)).

1. Calculer la loi du couple (X , X +Y ).

2. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant X +Y .

Solution. 1. Pour tout k, l ∈N,

P((X , X +Y ) = (k, l )) =P(X = k et Y = l −k)

=P(X = k)P(Y = l −k).

Ainsi,

P((X , X +Y ) = (k, l )) =

0 si k ∉ 0,m ou l ∉ k,k +n,

C kmC l−k

n p l (1−p)m+n−l sinon.

2. D’après la proposition 3.13, nous avons, pour tout k ∈ 0,m et l ∈ k,k +n,

P(X = k | X +Y = l ) = P((X , X +Y ) = (k, l ))

P(X +Y = l )= C k

mC l−kn p l (1−p)m+n−l

C ln+m p l (1−p)n+m−l

,

soit

P(X = k | X +Y = l ) =

0 si k ∉ 0,m ou l ∉ k,k +n,

C kmC l−k

n /C ln+m sinon.

Exercice 3. Soit (X ,Y )′ un vecteur aléatoire de loi uniforme sur le triangle T =(x, y) ∈R2 /0 ≤ y ≤ x ≤ 1, c’est-à-dire de densité

f(X ,Y )(x, y) = 210≤y≤x≤1, ∀(x, y) ∈R2.

1. (a) Donner la loi de Y sachant X .

(b) En déduire E(Y | X ).

(c) Calculer E(Y ) et E(X Y ).

2. Montrer que Z = YX est bien définie presque sûrement et donner la condi-

tionnelle de Z sachant X . Montrer que Z est indépendant de X et donnersa loi.

2

Solution. 1. (a) La loi de Y sachant X est une loi à densité donnée, d’aprèsla Proposition 3.13, par

fY |X (y) = f(X ,Y )(X , y)

fX (X ), ∀y ∈R,

où

fX (X ) =∫R

f(X ,Y )(X , y)d y = 2X 10≤X≤1 = 2X p.s.

En définitive,

fY |X (y) = 1

X10≤y≤X .

En d’autres termes, conditionnellement à X , la loi de Y est une dis-tribution uniforme sur [0, X ].

(b) En utilisant le théorème du transport conditionnel (Y est uniformé-ment bornée donc intégrable),

E(Y | X ) =∫R

y fY |X (y)d y = 1

X

∫[0,X ]

y d y.

En définitive,

E(Y | X ) =∫R

y fY |X (y)d y = X

2.

(c) Nous avons

E(Y ) = E(E(Y | X )) = E(X /2) = 1

3.

De plus, X étant σ(X )-mesurable et X Y intégrable (car uniformé-ment borné),

E(X Y ) = E(XE(Y | X )) = E(X 2/2) = 1

4.

2. X est différent de 0 presque sûrement, donc Z = Y /X est bien définiepresque sûrement. Nous avons, pour toute fonction mesurable bornéeϕ,

E(ϕ(Z ) | X ) =∫R2ϕ(y/X ) fY |X (y)d y

=∫

[0,X ]ϕ(y/X )

X

2d y

=∫

[0,1]ϕ(z)d y cd v z = y/X .

3

Nous en déduisons que la loi de Z sachant X est à densité donnée par

fZ |X (z) = 1[0,1](z), ∀z ∈R.

Cette loi ne dépend pas de X , donc

Z est indépendant de X et Z est de loi uniforme sur [0,1].

Exercice 4. Soient X1 et X2 des variables aléatoires indépendantes de loi expo-nentielle de paramètre respectif λ > 0 et µ > 0. Considérons les variables aléa-toires

Y = 1X2≥1 et Z =

1 si X2 ∈]0,1[

2X1 +1 si X2 ∈ [1,+∞[.

1. Montrer que, pour toute fonction mesurable bornée ϕ,

E(ϕ(Z ) | Y = 0) =∫Rϕ(z)δ1(d z) et E(ϕ(Z ) | Y = 1) =

∫[1,+∞[

ϕ(z)e2/λ

2λe−z/2λd z.

2. Déterminer la loi conditionnelle de Z sachant Y .

3. Déterminer la loi de Z .

Solution. 1. Remarquons que les expressions suivantes sont bien définies,car P(Y = 0) = 1− e−µ > 0 et P(Y = 1) = e−µ > 0. Nous avons, par défi-nition de l’espérance conditionnellement à un événement de probabilitéstrictement positive,

E(ϕ(Z ) | Y = 0) = E(ϕ(1) | Y = 0) =ϕ(1) =∫Rϕ(z)δ1(d z)

et

E(ϕ(Z ) | Y = 1) = E(ϕ(2X1 +1) | Y = 1) = E(ϕ(2X1 +1))

=∫

[0,+∞[ϕ(2x1 +1)

1

λe−x1/λd x1

=∫

[1,+∞[ϕ(z)

e2/λ

2λe−z/2λd z cd v z = 2x1 +1.

4

2. La variable aléatoire Y est une variable aléatoire discrète à valeurs dans0,1, donc, pour toute fonction mesurable bornée ϕ,

E(ϕ(Z ) | Y ) = E(ϕ(Z ) | Y = 0)1Y =0 +E(ϕ(Z ) | Y = 1)1Y =1

=∫Rϕ(z)δ1(d z)1Y =0 +

∫[1,+∞[

ϕ(z)e2/λ

2λe−z/2λd z1Y =1.

Par conséquent,

PZ (d z | Y ) = δ1(d z)1Y =0 +1z≥1e2/λ

2λe−z/2λd z1Y =1.

3. Pour toute fonction mesurable bornée ϕ,

E(ϕ(Z )) = E(E(ϕ(Z ) | Y ))

= E(ϕ(1)1Y =0 +

∫[1,+∞[

ϕ(z)e−z/2λd z1Y =1

)= (

1−e−1/µ)ϕ(1)+e−1/µ∫

[1,+∞[ϕ(z)e−z/2λd z.

La loi de Z est donc donné par

PZ (d z) = (1−e−1/µ) δ1(d z)+e−1/µ1z≥1e−z/2λd z.

Exercice 5. Soit (X ,Y ) un couple gaussien centré de matrice de covariance

Γ=(

a cc b

), où a,b > 0 et a +b +2c 6= 0.

Exprimer la loi de X sachant X +Y = u en fonction des paramètres a,b,c.

Solution. Soit Z = (Z1, Z2)′ le vecteur aléatoire défini par

Z =(

XX +Y

)=

(1 01 1

) (XY

).

D’après la proposition 1.10 page 9, Z est également un vecteur gaussien, demoyenne nulle (car (X ,Y ) est de moyenne nulle) et de matrice de covariance

ΓZ =(

1 01 1

)(a cc b

)(1 10 1

)=

(a a + c

a + c a +b +2c

).

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Nous appliquons à présent le corollaire 3.18 page 69 pour calculer la loi de Z1 =X sachant Z2 = X +Y . Nous avons

ΓZ1 = 1ΓZ1,Z2 = a + c et ΓZ2 = a +b +2c 6= 0,

donc Z2 est non-dégénéré et, par conséquent,

PZ1 (d x | Z2) =N

(a + c

a +b +2cZ2, a − (a + c)2

a +b +2c

).

En d’autres termes,

PX (d x | X +Y ) =N

(a + c

a +b +2c(X +Y ), a − (a + c)2

a +b +2c

).

Exercice 6. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi expo-nentielle de paramètre respectif λ> 0 et µ> 0. Posons

U = min(X ,Y ) et V = max(X ,Y ).

1. (a) Montrer que, pour toute fonction mesurable bornée ϕ,

E(ϕ(V ) | X ) = (1−e−X /µ)ϕ(X )+

∫[X ,+∞[

ϕ(v)e−v/µ

µdλ1(v).

(b) Donner la loi de V sachant X .

(c) Montrer que

E(V | X ) = X +µe−X /µ presque sûrement.

(d) Calculer E(V ).

2. Supposons λ=µ.

(a) Montrer que la loi du couple (U ,V ) admet une densité f(U ,V ) parrapport à λ2, donnée par

f(U ,V )(u, v) = 210≤u<ve−(u+v)/λ

λ2.

(b) Calculer la loi de U sachant V .

(c) Déterminer E(U |V ).

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Solution. 1. (a) D’après le théorème du transport conditionnel, on a, pourtoute fonction ϕ mesurable bornée,

E(ϕ(V ) | X ) = E(ϕ(max(X ,Y )) | X )

=∫Rϕ(max(X , y))PY (d y | X )

=∫Rϕ(max(X , y))PY (d y)

par indépendance de X et Y . Or Y est de loi exponentielle de para-

mètre µ > 0, donc de densité e−y/µ

µ 1y≥0 par rapport à la mesure deLebesgue. En somme,

E(ϕ(V ) | X ) =∫R+ϕ(max(X , y))

e−y/µ

µdλ1(y)

=∫

[0,X ]ϕ(X )

e−y/µ

µdλ1(y)+

∫[X ,+∞[

ϕ(y)e−y/µ

µdλ1(y)

= (1−e−X /µ)ϕ(X )+

∫[X ,+∞[

ϕ(v)e−v/µ

µdλ1(v)

(b) Nous déduisons de la question précédente que

E(ϕ(V ) | X ) =∫Rϕ(v) N (X ,d v)

où N (X ,d v) := (1−e−X /µ

)δX (d v)+ e−v/µ

µ1v≥X λ1(d v) est une proba-

bilité de transition. Cette relation étant vraie pour toute fonctionmesurable bornéeϕ, nous en déduisons, par définition de la loi condi-tionnelle, que

PV (d v | X ) = (1−e−X /µ)δX (d v)+ e−v/µ

µ1v≥X λ1(d v).

(c) La variable aléatoire V étant positive, nous déduisons du théorèmedu transport conditionnel que

E(V | X ) =∫R

v PV (d v | X )

= X(1−e−X /µ)+∫

[X ,+∞[v

e−v/µ

µλ1(d v).

Finalement, E(V | X ) = X +µe−X /µ presque sûrement.

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(d) En applicant le théorème du transport dans la deuxième égalité ci-dessous, nous obtenons

E(V ) = E(E(V | X )) = E(X +µe−X /µ)

=∫R+

(x +µe−x/µ) e−x/λ

λλ1(d x).

En définitive, E(V ) =λ+ µ2

λ+µ .

2. (a) Par indépendance de X et Y , nous déduisons que la loi du couple

(X ,Y ) est donnée par e−(x+y)/λ

λ2 dλ2(x, y). Pour toute fonction mesu-rable bornée ϕ, nous avons, d’après le théorème du transport,

E(ϕ(U ,V )) = E(ϕ(min(X ,Y ),max(X ,Y )))

=∫R2+ϕ(min(x, y),max(x, y))

e−(x+y)/λ

λ2dλ2(x, y)

=∫R2+ϕ(x, y)1x<y

e−(x+y)/λ

λ2dλ2(x, y)

+∫R2+ϕ(y, x)1y<x

e−(x+y)/λ

λ2dλ2(x, y).

Donc

E(ϕ(U ,V )) =∫R2+ϕ(u, v)1u<v

e−(u+v)/λ

λ2dλ2(u, v)

+∫R2+ϕ(u, v)1u<v

e−(u+v)/λ

λ2dλ2(v,u)

= 2∫R2+ϕ(u, v)1u<v

e−(u+v)/λ

λ2dλ2(u, v)

donc la loi de (U ,V ) est la loi sur R2 à densité f(U ,V ) par rapport à lamesure de Lebesgue, donnée par

f(U ,V )(u, v) = 210≤u<ve−(u+v)/λ

λ2.

(b) On en déduit que V possède une loi sur R à densité fV par rapport àla mesure de Lebesgue, donnée par

fV (v) =∫R

f(U ,V )(u, v)du = 2e−v/λ

λ

(1−e−v/λ

).

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Nous déduisons ainsi de la propriété 3.13 que, presque sûrement,

PU (du |V ) = f(U ,V )(u,V )

fV (V )= e−u/λ

λ(1−e−V /λ)10≤u≤V du.

(c) La variable aléatoire U étant positive, nous déduisons enfin l’espé-rance de U sachant V de la question précédente et du théorème dutransport conditionnel :

E(U |V ) =∫

[0,V ]u

e−u/λ

λ(1−e−V /λ)λ1(du)

= 1

1−e−V /λ

([−u e−u/λ

]V

0+

∫[0,V ]

e−u/λλ1(du)

)= 1

1−e−V /λ

(−V e−V /λ+λ(1−e−V /λ)

).

En conséquence,

E(U |V ) =λ− V e−V /λ

1−e−V /λ.

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