1

Ασκήσεις 6ου

Κεφαλαίου

1. Μία ράβδος ΟΑ έχει μήκος l και περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα

Οz, που είναι κάθετος στο άκρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί

η επαγώμενη ΗΕΔ στη ράβδο στις περιπτώσεις : α) zBB ˆ0

, β) z

rBB ˆ

0

όπου

Β0, και α σταθερές και r η απόσταση από τον άξονα Οz.

Λύση

ω

z

O

A

l

B

( )α

y

xO

A

l

B

φ

ω

A0

( ) β κάτοψη

Υποθέτουμε ότι η ράβδος ξεκινά τη χρονική στιγμή t = 0 από τη θέση ΟΑ0 και τη

χρονική στιγμή t έχει διαγράψει γωνία φ. Η ράβδος, σε χρόνο t έχει σαρώσει τον κυκλικό

τομέα που έχει ακτίνα l και γωνία φ.

α) Για ομογενές μαγνητικό πεδίο zBB ˆ0

, η μαγνητική ροή που έχει σαρώσει η ράβδος σε

χρόνο t είναι ίση με :

(3.1.1)

Όπου S εμβαδόν του κυκλικού τομέα. Η επαγώμενη ΗΕΔ στα άκρα της ράβδου είναι

(3.1.2)

Όπου dtd είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου.

Η πολικότητα βρίσκεται αν θεωρήσουμε ένα θετικό φορτίο στη ράβδο το οποίο έχει

ταχύτητα u κάθετη στη ράβδο και επειδή το μαγνητικό πεδίο είναι κάθετο στο σχήμα με

φορά προς τα έξω η μαγνητική δύναμη BuqF

που δέχεται το φορτίο έχει φορά προς

το άκρο Α.

2

2

00

BSBB

22

2

0

2

0 BE

dt

dB

dt

dE B

2

Άρα το (+) βρίσκεται στο άκρο Α και το (-) στο Ο.

Άρα είναι

(3.1.3)

β) Αν το μαγνητικό πεδίο είναι zr

BB ˆ0

, τότε

δεν είναι ομογενές. Αν θεωρήσουμε στοιχειώδες

εμβαδό zdSSd ˆ

του κυκλικού τομέα γωνίας φ

έχουμε

(3.1.4)

και η μαγνητική ροή από την επιφάνεια S του

κυκλικού τομέα είναι :

(3.1.5)

Η ολοκληρωτέα συνάρτηση εξαρτάται μόνο από τη μεταβλητή r. Έτσι για τον υπολογισμό

του ολοκληρώματος, θεωρούμε dS το στοιχειώδες εμβαδό του τομέα όπου περιέχονται όλα

τα σημεία του τομέα, τα οποία απέχουν από το Ο αποστάσεις οι οποίες βρίσκονται μεταξύ r,

και r+dr. Είναι :

όπου dr2 θεωρείται αμελητέο. Έτσι η (3.1.5) γίνεται

(3.1.6)

Και η επαγώμενη ΗΕΔ είναι

(3.1.7)

Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση το (+) βρίσκεται στο άκρο Α και το (-) στο O. Άρα

είναι:

2

2

0 BVVV OAAO

y

xO

A

lBω

A0

u

F

y

xO

A

l

B

φ

A0dr

dSr

Bd

zdSzr

BdSBd

B

B

0

0ˆˆ

S

B

S

B dSrB

dSr

B

00

drrdSrdrrdrrrdrrdS

22222

22222

3

3

0

0

20

B

drrB

BB

33

3

0

3

0 BE

dt

dB

dt

dE B

3

3

0 BVVV OAAO

3

I

B

A B

y

y0

α

xl

y

u0y

x

dx

A0B0

2. Ένας ευθύγραμμος αγωγός έχει άπειρο μήκος, βρίσκεται πάνω στον άξονα y και

διαρρέεται από ρεύμα Ι. Μία ράβδος ΑΒ που έχει μήκος l κινείται με ταχύτητα

ίση με yu ˆ0 (σταθερή) ώστε να παραμένει κάθετη στον άξονα y. Να βρεθεί η

επαγώμενη ΗΕΔ στα άκρα της. Η απόσταση του άκρου Α της ράβδου από τον

άξονα y είναι ίση με α.

Λύση

Υποθέτουμε ότι η ράβδος ξεκίνησε από τη

θέση Α0Β0. Τη χρονική στιγμή t βρίσκεται

στη θέση y και έχει σαρώσει το ορθογώνιο

Α0Β0ΒΑ. Λόγω του ρεύματος Ι, το

μαγνητικό πεδίο σε σημείο x από τον

άξονα Oy είναι

(3.2.1)

Ο άξονας z έχει θετική φορά προς τα έξω

στο σχήμα ενώ το μαγνητικό πεδίο έχει

φορά προς τα μέσα. Θεωρούμε

στοιχειώδη επιφάνεια )ˆ( zdSSd

και

έχουμε :

(3.2.2)

Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος θεωρούμε τη λωρίδα εμβαδού dxyydS )( 0 η

οποία περιέχει όλα τα σημεία της επιφάνειας μεταξύ x και dx. Έτσι έχουμε:

(3.2.3)

Η επαγόμενη ΗΕΔ στα άκρα της ράβδου είναι :

Όπου dtdyu 0 η ταχύτητα της ράβδου. Ο θετικός ακροδέκτης της ΕΗΕΔ βρίσκεται στο

άκρο Α όπως προκύπτει από τη φορά της μαγνητικής δύναμης σε θετικό φορτίο του αγωγού.

zx

IB ˆ

2

0

S

B

B

x

dSI

dSx

IzdSz

x

ISdBd

2

2ˆˆ

2

0

00

ln2

)()(

2

0000 yyI

x

dxyyIBB

00 ln2

uI

dt

dy

dy

d

dt

dE BB

4

3. Ένας ευθύγραμμος αγωγός έχει άπειρο μήκος, βρίσκεται πάνω στον άξονα y και

διαρρέεται από ρεύμα Ι. Ένα ορθογώνιο συρμάτινο πλαίσιο βρίσκεται στο επίπεδο

xy με τη μια του πλευρά παράλληλη στον αγωγό, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν το

πλαίσιο κινηθεί με σταθερή ταχύτητα xuu ˆ0 , να υπολογιστεί η επαγώμενη ΗΕΔ

στο πλαίσιο. Αν R η ωμική αντίσταση να υπολογιστεί το επαγόμενο ρεύμα στο

πλαίσιο συναρτήσει του χρόνου.

Λύση

Το ορθογώνιο πλαίσιο κινείται μέσα

στο μαγνητικό πεδίο του

ευθύγραμμου αγωγού που διαρρέεται

από σταθερό ρεύμα Ι. Όταν η

αριστερή πλευρά του πλαισίου

απέχει x από τον ευθύγραμμα αγωγό

το μαγνητικό πεδίο είναι

(3.3.1)

Ο άξονας z έχει θετική φορά προς τα

έξω στο σχήμα ενώ το μαγνητικό

πεδίο έχει φορά προς τα μέσα.

Θεωρούμε στοιχειώδη επιφάνεια

)ˆ( zdSSd

και έχουμε :

(3.3.2)

Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος θεωρούμε τη λωρίδα εμβαδού dxdS η οποία

περιέχει όλα τα σημεία της επιφάνειας μεταξύ x και dx. Έτσι έχουμε:

(3.3.3)

Η ΗΕΔ στο πλαίσιο υπολογίζεται ως εξής:

zx

IB ˆ

2

0

S

B

B

x

dSI

dSx

IzdSz

x

ISdBd

2

2ˆˆ

2

0

00

x

xI

x

dxIB

x

x

B

ln22

00

I

IEΠ

By

α

βx

x

dS

5

Το συρμάτινο πλαίσιο είναι ένα ηλεκτρικό κύκλωμα με ωμική αντίσταση R. Η ΗΕΔ παίζει το

ρόλο της πηγής τάσεως στο κύκλωμα αυτό. Άρα το επαγωγικό ρεύμα στο κύκλωμα είναι :

Η φορά του επαγόμενου ρεύματος καθορίζεται από τον κανόνα του Lenz και έχει σημειωθεί

στο σχήμα.

4. Η μεταλλική ράβδος που φαίνεται στο σχήμα, μάζας m και μήκους l, κινείτε σε δύο

χωρίς τριβή παράλληλες ράγες παρουσία ενός ομοιόμορφου μαγνητικού πεδίου

κάθετου στη σελίδα με φορά προς τη σελίδα. Στη μεταλλική ράβδο δίνεται, κατά

τη χρονική στιγμή t = 0, μια αρχική ταχύτητα ui προς τα δεξιά. α) Να βρεθεί η

ταχύτητα της ράβδου ως συνάρτηση του χρόνου. β) Το επαγόμενο ρεύμα Ι ως

συνάρτηση του χρόνου και γ) το μέγεθος της επαγόμενης ΗΕΔ ως συνάρτηση του

χρόνου.

Λύση

α) Το προκληθέν ρεύμα είναι αντίθετο προς τη φορά

των δεικτών του ρολογιού, και η μαγνητική δύναμη

είναι

όπου το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι η δύναμη είναι

προς τα αριστερά και επιβραδύνει την κίνηση. Αυτή

είναι η μόνη οριζόντια δύναμη που ενεργεί στη ράβδο,

και ως εκ τούτου ο δεύτερος νόμος Newton που εφαρμόζεται στην κίνηση κατά την

οριζόντια κατεύθυνση δίνει

(3.4.1)

Το ρεύμα δίνεται από την πιο κάτω εξίσωση

(3.4.2)

xx

uIE

dt

dx

xx

I

dt

dx

dx

d

dt

dE BB

2

11

2

0

0

xx

u

R

I

R

EIRIE

2

0

BIF

BIdt

dummFx

R

Bu

R

EI

6

Ενσωματώνοντας την πιο πάνω εξίσωση στη Εξ. (3.4.1) έχουμε :

ολοκληρώνοντας την πιο πάνω εξίσωση για τις αρχικές συνθήκες που δίνονται u = ui και t =0

έχουμε

τελικά η ταχύτητα δίνεται από τη σχέση:

(3.4.3)

Η πιο πάνω εξίσωση φανερώνει ότι η ταχύτητα της ράβδου ελαττώνεται εκθετικά με το

χρόνο.

β) Από τις εξισώσεις (3.4.2) και (3.4.3) έχουμε την τελική εξίσωση για το ρεύμα

και για την ΗΕΔ

Οι πιο πάνω εξισώσεις δείχνουν ότι τόσο το

επαγόμενο ρεύμα όσο και η ΗΕΔ μειώνονται

με τον χρόνο.

5. Ας υποθέσουμε ότι το Β στο Σχήμα

αυξάνει με ρυθμό dB / dt. Αν R είναι η

ακτίνα της κυλινδρικής περιοχής

μέσα στην οποία θεωρούμε ότι

υπάρχει μαγνητικό πεδίο, ποίο είναι

το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου Ε σε

οποιαδήποτε ακτίνα r ; Υποθέστε ότι

dB/dt=0,01Wb/m2sec και R = 10 cm.

dtRm

B

u

du

R

Bu

dt

dum

2222

tRm

B

u

udt

Rm

B

u

du

i

tu

ui

22

0

22

ln

tRm

B

i euu

22

tRm

B

i eR

BuI

22

tRm

B

i eBuE

22

rR

B

E

E

E

E

7

Λύση.

α) Για r < R, η ροή ΦΒ μέσα από το βρόχο είναι

Αντικαθιστώντας στην Εξ. (3.10) έχουμε

Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι το εξ επαγωγής ηλεκτρικό πεδίο Ε αντιδρά στη μεταβολή

του μαγνητικού πεδίου. Αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές και υποθέτοντας ότι r = 5cm,

παίρνουμε το μέτρο του Ε.

β) Για r > R η ροή μέσα από το βρόχο είναι

Τελικά το επαγόμενο ηλεκτρικό πεδίο είναι

Και οι δύο αυτές εκφράσεις για το Ε δίνουν ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα για r = R.

6. Μια αγώγιμη ράβδος μάζα m και μήκους l μπορεί να κινείται χωρίς τριβή πάνω σε

δύο παράλληλες αγώγιμες ράβδους που σχηματίζουν κεκλιμένο επίπεδο με γωνία

κλίσης α ως προς το οριζόντιο. Κατά την κίνησή της η ράβδος μπορεί και

παραμένει οριζόντια. Οι παράλληλες ράβδοι συνδέονται στο κάτω μέρος με μια

αντίσταση R και όλο το σύστημα βρίσκεται μέσα σε ομογενές κατακόρυφο

μαγνητικό πεδίο με φορά προς τα πάνω. Αν η ράβδος ξεκινά από την ηρεμία, να

βρεθεί η ΗΕΔ στα άκρα της σα συνάρτηση του χρόνου t.

Λύση

dt

dBrE

dt

dBr

dt

drE

dt

dldE

B

B

2

1

2 2

mvoltm

Wbm

dt

dBrE /105,2

sec

01,0105

2

1

2

1 3

2

2

2rBSdB BB

2RBSdB BB

dt

dB

r

RE

dt

dBR

dt

drE B

2

2

2

1

2

8

Τη χρονική στιγμή t η ράβδος βρίσκεται στη θέση x και έχει σαρώσει εμβαδό ίσο x και η

μαγνητική ροή είναι ίση με xBy γιατί μόνο By συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου που

είναι κάθετη στην επιφάνεια

συνεισφέρει στη μαγνητική ροή. Άρα η

μαγνητική ροή είναι :

Η ΗΕΔ στο κύκλωμα είναι

(3.6.1)

Λόγω της ΗΕΔ έχουμε στο κύκλωμα

ρεύμα Ι :

(3.6.2)

Έχουμε άγνωστη την ταχύτητα για το λόγω αυτό εξετάζουμε την κίνηση της ράβδου.

Η ράβδος κινείται χωρίς τριβή δέχεται εκτός από το βάρος της και την κάθετη αντίδραση και

τη μαγνητική δύναμη Fm που έχει φορά αντίθετη της κίνησης σύμφωνα και με τη φορά του

επαγωγικού ρεύματος που φαίνεται στο σχήμα. Έτσι με βάση την πλάγια όψη του σχήματος

για τη δύναμη που διατηρεί την κίνηση της ράβδου και από το νόμο του Newton έχουμε:

(3.6.3)

Όμως η μαγνητική δύναμη έχει μέτρο

(3.6.4)

Όπως προκύπτει από ολοκλήρωση της σχέσης BdIFd

στη ράβδο και της (3.6.2).

Πρέπει να τονιστεί εδώ ότι ενώ στη μαγνητική ροή συνεισφέρει μόνο η Βy στο υπολογισμό

της δύναμης συμμετέχει η Β. Από τις σχέσεις (3.6.3) και (3.6.4) έχουμε :

xBxByB cos

cos

cos

cos

0

0

0

uBE

uB

dt

dxB

dt

dE B

uR

BFBIF mm

cos22

cossin mFmgdt

dum

R

B

α

Ι

y

x

B

α

y

x

By

α

α

N

u

mg

Fm

α

Πλάγια όψη

R

uB

R

EI

cos

9

(3.6.5)

Όπου για ευκολία θέσαμε

Η (3.6.5) γίνεται :

(3.6.6)

Επειδή du/dt >0 η (3.6.5) δίνει gsinα-Ku >0 και η (3.6.6) δίνει :

(3.6.7)

Ακόμη έχουμε u = 0 για t = 0 οπότε η σταθερή ολοκλήρωσης c υπολογίζεται από την (3.6.7)

ως εξής :

(3.6.8)

Τελικά έχουμε :

Τελικά η ΗΕΔ από τη (3.6.1) αντικαθιστώντας την ταχύτητα γίνεται :

uKgdt

du

uRm

Bg

dt

duu

R

Bmg

dt

dum

sin

cossin

cossin

222222

Rm

BK

222 cos

cKtuKg

KdtuKg

uKgd

dtuKg

uKgd

Kdt

uKg

du

sinln

sin

sin

sin

sin1

sin

cKtuKg sinln

sinln gc

tK

tK

tK

eK

gtu

eguKg

eg

uKgKt

g

uKg

gKtuKg

1sin

)(

sinsin

sin

sin

sin

sinln

sinlnsinln

10

7. Στο χώρο υπάρχει μαγνητικό πεδίο zxcB ˆ2

όπου c μια δοσμένη σταθερή. Μία

ράβδος μήκους l είναι παράλληλη στον άξονα y, κάθετη στον άξονα x και κινείται

με ταχύτητα xuu ˆ0

. Να βρεθεί η επαγώμενη ΗΕΔ που αναπτύσσεται στη ράβδο

συναρτήσει του χρόνου. Η αρχική θέση x0 της ράβδου θεωρείται γνωστή.

Λύση

Επειδή η ράβδος ξεκινά από τη θέση x0 και

κινείται με σταθερή ταχύτητα xuu ˆ0

, η

θέση x της ράβδου τη χρονική στιγμή t

είναι:

(3.7.1)

Σε χρονικό διάστημα dt, η ράβδος

μετακινείται κατά dx και σαρώνει εμβαδό

dS που είναι :

(3.7.2)

Στα σημεία της επιφάνειας dS, το μαγνητικό πεδίο έχει μέτρο 2xcB και είναι κάθετο στην

επιφάνεια. Άρα η μαγνητική ροή, που σαρώνει η ράβδος στο χρονικό διάστημα dt είναι:

(3.7.3)

Η επαγώμενη ΗΕΔ στα άκρα της ράβδου υπολογίζεται:

(3.7.4)

Αντικαθιστώντας το x από την (3.7.1) έχουμε

sincos1

1sin

cos

tK

tK

eK

gBE

eK

gBE

B

xl

y

u x0

x

dx

O

tuxx 0

dxdS

dxxcddxxcdSBd BB 22

uxcEdt

dxxc

dt

dE B

22

uutxcE

2

0

11

8. Συρμάτινο κυκλικό πλαίσιο εμβαδού Α βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό

πεδίο με το επίπεδο του κάθετο στις δυναμικές γραμμές του πεδίου. Η ένταση του

πεδίου μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση Β = Βο sinωt , όπου ω = 300sec−1

. Να

βρεθεί η έκφραση της ΗΕΔ που αναπτύσσεται στο πλαίσιο.

Λύση

Η μαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια του

πλαισίου σε μια τυχαία χρονική στιγμή t , είναι:

(3.8.1)

Προσέξτε ότι κάθε χρονική στιγμή t το μαγνητικό πεδίο Β έχει την ίδια τιμή σε όλη

την επιφάνεια του πλαισίου. Άρα σύμφωνα με το νόμο του Faraday η επαγώμενη ΗΕΔ στο

πλαίσιο είναι:

9. Μία ηλεκτρική αντίσταση R1=5Ω συνδέεται με δύο μεταλλικούς αγωγούς

αμελητέας αντίστασης πολύ μεγάλου μήκους. Μεταλλική ράβδος AB μάζας

m=0,5kg, μήκους l=0,5 m και αντίστασης

R2=5 Ω τοποθετείται κάθετα στους

μεταλλικούς αγωγούς όπως δείχνει το

σχήμα και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς

τριβές. Αν το επίπεδο των αγωγών είναι

κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο

έντασης B = 1T και αφήσουμε τη ράβδο

ελεύθερη (ευρισκόμενη πάντα σε επαφή

με τους μεταλλικούς αγωγούς),

περιγράψτε την κίνηση της ράβδου και

tAB

dStB

dSBdSBSdB

B

S

B

S SS

B

sin

sin

0cos

0

0

VolttBAE

tBAE

tdt

dBAEtBA

dt

d

dt

dE B

300cos300

cos

sinsin

0

0

00

12

υπολογίστε τη μέγιστη ταχύτητα που θα αποκτήσει.

Λύση

Όταν η ράβδος αφεθεί ελεύθερη, θα επιταχυνθεί προς τα κάτω λόγω του βάρους της mg και

θα αποκτήσει ταχύτητα u. Εφόσον κινείται με ταχύτητα u μέσα σε μαγνητικό πεδίο έντασης

B, θα αναπτυχθεί ΗΕΔ εξ΄ επαγωγής με μέτρο (αυξανόμενο λόγω της επιταχυνόμενης

κίνησης):

(3.9.1)

και πολικότητα (+) στο Β και (-) στο Α.

Τώρα το κύκλωμα που αποτελείται από τη ράβδο, τους δύο αγωγούς και την

αντίσταση αρχίζει και διαρρέεται από επαγωγικό ρεύμα έντασης:

(3.9.2)

Άρα η ράβδος που διαρρέεται από ρεύμα έντασης I και βρίσκεται μέσα στο μαγνητικό πεδίο

θα δέχεται δύναμη Laplace που αντιτίθεται στην κίνησή της (φορά προς τα πάνω)

ή επειδή l, Β κάθετα έχουμε

(3.9.3)

Άρα η συνολική επιτάχυνση της ράβδου θα είναι με βάση το νόμο του Newton

(3.9.4)

κι αφού η u αυξάνεται, θα αυξάνεται συνεχώς η δύναμη Laplace οπότε σε κάποια στιγμή θα

γίνει ίση με το βάρος F = mg οπότε η ράβδος θα κινείται ομαλά (ΣF=0) με ταχύτητα umax

ίση με

(3.9.5)

Και με αριθμητική αντικατάσταση έχουμε

uBE

21 RR

uB

R

EI

BIF

uRR

BFBIF

21

22

m

FgmFgmm

22

21maxmax

21

22

B

RRgmugmu

RR

B

sec200

)5,0()1(

)10(sec/105,022

2

22

21max m

mT

mkg

B

RRgmu

13

10. Η μεταλλική ράβδος που φαίνεται στο σχήμα, μήκους l, κινείτε με σταθερή

ταχύτητα u σε δύο χωρίς τριβή παράλληλες ράγες παρουσία μαγνητικού πεδίου

κάθετου στη σελίδα με φορά προς τα έξω, το μέγεθος του οποίου μεταβάλλεται

σύμφωνα με τη σχέση Β=Βο sinωt. Να βρεθεί το μέγεθος της επαγόμενης ΗΕΔ.

Λύση

Στην περίπτωση αυτή έχουμε ΗΕΔ

λόγω κίνησης αλλά και λόγω

μεταβολής του μαγνητικού πεδίο,

έτσι η συνολική ΗΕΔ θα είναι το

άθροισμα των δύο.

Το μέτρο της ΗΕΔ λόγω κίνησης είναι

(3.10.1)

Το μέτρο της ΗΕΔ λόγω μεταβολής του μαγνητικού πεδίου είναι

(3.10.2)

Η συνολική ΗΕΔ είναι το άθροισμα των δύο εξισώσεων:

tBuE

uBEdBuE

cos01

11

tBxESddt

BdE

S

sin022

txtuBE

tBxtBuE

Sddt

BddBuEEE

S

sincos

sincos

0

00

21