ασκήσεις 2011 - 2012

1. ι) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει z +16 = 4 z +1

ιι) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει z −1 = z − i

(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 2001)2. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1 = 1-2i , z2 = 3+ 4i

ι) Αν

z1

z2

= x + yi , x,y ∈ να αποδείξετε ότι x = -1 και y = 2

ιι) Αν μία ρίζα της εξίσωσης x2 +βx + γ = 0 είναι η

z1

z2

, να βρείτε τις τιμές των β ,γ

ιιι) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει z − 2z1 = z2

(ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ 2002)

3. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = α+βi όπου α , β πραγματικοί αριθμοί και w = 3z - i z +4ι) Να αποδείξετε ότι Re(w) = 3α -β +4 και Im(w) = 3β - α ιι) Να αποδείξετε ότι , αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y = x -12 , τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y = x -2 ιιι) Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς z , οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y = x-2 , έχει το ελάχιστο μέτρο . (ΜΑΪΟΣ 2003)

4. ι) Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών z που ικανοποιούν τις σχέσεις : z = 2 και Im z( ) ≥ 0

ιι) Να αποδείξετε ότι , αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z κινείται στο σύνολο

(Σ) , τότε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w = 1

2z + 4

z⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

κινείται στο ευθύγραμμο

τμήμα το οποίο βρίσκεται στον άξονα x/x . (ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 2003)

5. Δίνεται η συνάρτηση f με f(z) = z + iz

, όπου z μιγαδικός αριθμός με z ≠ 0 .

ι) Αν f(z) = f(z) , να αποδείξετε ότι ο z είναι πραγματικός αριθμός

Ασκήσεις 2011 - 2012

1

ιι) Αν f(z) = 1 , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό

επίπεδoιιι) Αν Re(f(z)) = 2 , να αποδείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού z , βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα (ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ 2003)

6. Έστω z μιγαδικός αριθμός με z ≠ ±i και w= z

z2 +1

ι) Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγματικός , τότε ο z είναι πραγματικός ή z = 1

ιι) Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών την εξίσωση

zz2 +1

= 33

ιιι) Αν z1 , z2 είναι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (ιι) , να υπολογίσετε την

τιμή της παράστασης

Κ =z1z2( )3

− i

4 + z1 + z2( )2


7. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 , z3 με z1 = z2 = z3 = 3

ι) Δείξτε ότι z1 =

9z1

ιι) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

z1

z2

+z2

z1

είναι πραγματικός

ιιι) Δείξτε ότι z1 + z2 + z3 = 1

3z1z2 + z2z3 + z3z1

(ΜΑΪΟΣ 2005)

8. A. Αν z1 , z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει :

z1 + z2 = 4 + 4i και 2z1 − z2 = 5 + 5i , να βρείτε τους z1 και z2

B. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z , w ισχύουν :

z −1− 3i ≤ 2 και w − 3 − i ≤ 2 :

ι) Να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί z , w έτσι ώστε z = w ιι) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του z − w

(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 2005)


2

9. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1= 3+i και z2 = 1-3i

ι) Να αποδείξετε ότι

z1

z2

= i και iz1 + z2

2= 0

ιι) Να αποδείξετε ότι z12006 + z22006 = 0

ιιι) Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό w =

κz1 − iz2

z2 − κz2

, κ ∈ − 1{ }

Να αποδείξετε ότι για κάθε κ ∈ − 1{ } ισχύει Im(w) = -1


10.Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z1 , z2 , z3 µε z1 = z2 = z3 = 1 και z1 + z2 + z3 = 0

ι) Να αποδείξετε ότι : z1 − z2 = z2 − z3 = z3 − z1

ιι) Να αποδείξετε ότι : z1 − z2

2≤ 4 και Re z1z2( ) ≥ −1

ιιι) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των z1 , z2 , z3 στο µιγαδικό επίπεδο καθώς και το είδος του τριγώνου που σχηµατίζουν (ΜΑΪΟΣ 2006)

11.Έστω ότι για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει : (5z-1)5 =(z-5)5

ι) Να δείξετε ότι 5z −1 = z − 5

ιι) Να δείξετε ότι z = 1

ιιι) Αν w = 5z+1 , να βρεθεί η γραμμή που κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών w στο μιγαδικό επίπεδο (ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ 2006)

12. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z = 2+ αi

α + 2i , α∈

ι) Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ = 1

ιι) Έστω z1 z2 οι μιγαδικοί αριθμοί που προκύπτουν από τον τύπο z = 2+ αi

α + 2i

για α=0 και α=2 αντίστοιχα .ι) Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z1 και z2 . ιι) Να αποδειχθεί ότι ισχύει : (z1)2v = (-z2)v για κάθε φυσικό αριθμό ν . ( ΜΑΪΟΣ 2007)


3

13. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1 = α+βi και z2 =

2− z1

2+ z1

, όπου α , β ∈ με β ≠0 .

Δίνεται επίσης ότι z2 − z1 ∈

ι) Να αποδειχθεί ότι z2 - z1 = 1 ιι) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z1 στο μιγαδικό επίπεδο ιιι) Αν ο αριθμός z12 είναι φανταστικός και αβ>0 , να υπολογιστεί ο z1 και να

δειχθεί ότι : z1 +1+ i( )20

− z1 +1− i( )20= 0


14.Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1 = i , z2 = 1 και z3 = 1+i .

ι) Να αποδείξετε ότι z1

2+ z2

2= z3

2

ιι) Αν για το μιγαδικό z ισχύει z − z1 = z − z2 , τότε να αποδείξετε ότι :

α) Re(z) = Im(z)

β) Για z ≠ 0 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = z

z+ z

z


15. Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς z και w ισχύουν :

i+ 2 2( )z = 6 και w − 1− i( ) = w − 3 − 3i( ) , τότε να βρείτε :

ι) Το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z ιι) Το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w

ιιι) Την ελάχιστη τιµή του w

ιν) Την ελάχιστη τιµή του z − w

(ΜΑΪΟΣ 2008)

16. Δίνεται ο µιγαδικός z1 =

1+ i 32

είναι ρίζα της εξίσωσης z2 +βz + γ = 0 , όπου β , γ

πραγµατικοί αριθµοί .ι) Να αποδείξετε ότι β = -1 και γ =1

ιι) Να αποδείξετε ότι z13 = −1

ιιι) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού αριθµού w , για τον οποίον

ισχύει w = z − z1 (ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 2008)


4

17.Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = k +( k+1) i , k ∈ι) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία y=x+1ιι) Ποιοι από αυτούς τους μιγαδικούς αριθμούς έχουν z =1 ;

ιιι) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α , β ισχύει ότι α2 +β2 +8 = (1-i)4β-(1+i)4α , να δείξετε ότι α = 2 και β = -2 (ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ 2008)

18. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z = (2λ+1) + (2λ-1)i , λ∈Α .ι) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z , για τις διάφορες τιμές του λ ∈ιι) Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός zo = 1 - i έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο Β. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση :

w2+ w −12 = zo

όπου zo ο μιγαδικός που αναφέρεται στο προηγούμενο ερώτημα (ΜΑΪΟΣ 2009 )

19. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει : 2− i( )z + 2+ i( )z − 8 = 0

i) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z=x+yi που ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση ιι) Να βρείτε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό z1 και τον μοναδικό φανταστικό αριθμό z2 οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση ιιι) Για τους αριθμούς z1 , z2 που βρέθηκαν στο προηγούμενο ερώτημα να

αποδείξετε ότι z1 + z2

2+ z1 − z2

2= 40


20.Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =

11+ i

−i i− 3( )

2

ι) Να αποδείξετε ότι : −z = −1+ i , z2 = 2i , z3 = −2+ 2i

ιι) Αν Α , Β , Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών −z,z2,z3 , αντίστοιχα , να αποδείξετε

ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές

ιιι) Να αποδείξετε ότι z3 − z2 2

= z2 + z2+ z3 + z

2



5

21. Δίνεται η εξίσωση z + 2

z= 2 όπου z ∈ µε z ≠ 0

ι) Να βρείτε τις ρίζες z1 και z2 της εξίσωσης ιι) Να αποδείξετε ότι z12010 + z22010 = 0 ιιι) Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει : w − 4 + 3i = z1 − z2

τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο ιν) Για τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος (ιιι) να αποδείξετε ότι 3 ≤ w ≤ 7

(ΜΑΪΟΣ 2010)

22. Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 είναι ρίζες της εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές για τις οποίες ισχύουν : z1 + z2 = -2 και z1 z2 = 5 ι) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z1 και z2

ιι) Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση w − z1

2+ w − z2

2= z1 − z2

2

να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με εξίσωση (x+1+2 + y2 = 4 ιιι) Από τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος (ιι) να βρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει 2Re(w) + Im(w) = 0 ιν) Αν w1 , w2 είναι δύο από τους μιγαδικούς w του ερωτήματος (ιι) με την ιδιότητα w1 − w2 = 4 , να αποδείξετε ότι : w1 + w2 = 2


23. Δίνεται η εξίσωση z + 2

z= 2 , z ∈ , µε z ≠ 0

ι) Να βρείτε τις ρίζες z1 και z2 της εξίσωσης ιι) Να αποδείξετε ότι z12010 + z22010 = 0 ιιι) Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει w − 4 + 3i = z1 − z2 , τότε να βρείτε

το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο ιν) Για τους μιγαδικούς w του ερωτήματος (ιιι) , να αποδείξετε ότι : 3 ≤ w ≤ 7


24. Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z , w µε z ≠ 3i οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις :

z − 3i + z + 3i = 2 και w=z-3i+ 1

z − 3i


6

ι) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z

ιι) Να αποδείξετε ότι z + 3i = 1

z − 3i

ιιι) Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγµατικός αριθµός και ότι −2 ≤ w ≤ 2

ιν) Να αποδείξετε ότι z − w = z

(ΜΑΪΟΣ 2011)25. Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z,w οι οποίοι ικανοποιούν αντίστοιχα τις σχέσεις :

z − i = 1+ Im z( ) 1( )w w + 3i( ) = i 3w + i( ) 2( )

ι) Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z είναι η

παραβολή µε εξίσωση y = 1

4x2

ιι) Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w είναι ο

κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ(0,3) και ακτίνα ρ= 2 2

ιιι) Να βρείτε τα σηµεία Α και Β του µιγαδικού επιπέδου τα οποία είναι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z και w µε z=wιν) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και , στη συνέχεια να βρείτε το µιγαδικό αριθµό u στο µιγαδικός επίπεδο το σηµείο Λ ,έτσι ώστε το τετράπλευρο µε κορυφές τα σηµεία Κ ,Α ,Λ , Β να είναι τετράγωνο (ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 2011)

26.Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z t( ) = 1

2 + it , t ∈ . Να αποδείξετε ότι :

α) z t( ) + z t( ) = 4z t( ) ⋅z t( )

β) Ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z(t) είναι κύκλος µε κέντρο

το σηµείο Κ

14

,0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

και ακτίνα ρ= 14

γ) Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z t( ) και z −

4t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, t ∈* είναι αντιδιαµετρικά

σηµεία του προηγούµενου κύκλου δ) Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z(1) , z(-4) και z(2010) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου


7

27. Έστω ο µιγαδικός αριθµός z = λ(1+i) + 1- i , λ∈

ι) Να βρείτε την εξίσωση της γραµµής που ανήκει η εικόνα του z

ιι) Για ποια τιµή του λ , το z γίνεται ελάχιστο ;

ιιι) Υποθέτουµε ότι λ>0 . Αν z = 2 2 και w= z

3 − i , τότε :

α) Να αποδείξετε ότι λ = 3

β) Να βρείτε τις τιµές του θετικού ακέραιου ν , ώστε w2v ∈

28. Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z , u και w οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις :

z = 2 , Re u+ 3i

u− 3i⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 0 , u ≠ 3i και w + 2( )8

= 16 w +1( )8

ι) Να βρείτε τα µέτρα των u και w ιι) Να αποδείξετε ότι z +u+ w ≠ 0

ιιι) Να αποδείξετε ότι z +u+ w = 1

62zu+ 2uw + 9zw

29. Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z , w , u . Αν ισχύουν οι σχέσεις :

z = w = u = 1 1( ) , z+u+w ≠ 0 2( ) και z2 +u2 + w2 = 0 3( )να αποδείξετε ότι :

ι) z2 + w2 = u2 + w2 = z2 +u2

ιι) 1z2 +

1w2 +

1u2 = 0

ιιι) Οι εικόνες των αριθµών z , w , u , zwu και zw +uw +uz

z +u+ w είναι οµοκυκλικά σηµεία

ιν) z +u+ w = 2

30. Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z = 2+συν(πt) + (5+ηµ(πt)) i , t ∈ 0,+∞⎡⎣ )ι) Να αποδείξετε ότι z − 2− 5i = 1

ιι) Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του z

ιιι) Να εξετάσετε αν υπάρχει t ∈ 0,+∞⎡⎣ ) τέτοιος , ώστε η εικόνα του z να βρίσκεται πάνω

στην ευθεία µε εξίσωση δ: y = x


8

ιν) Έστω w ∈ : w −1 = w − i . Να αποδείξετε ότι : z − w ≥ 3 2

2−1

31.Έστω z ∈, α,β ∈ , α ≠ β και 1+ iz( )v

=α + βiβ + αi

(1)

ι) Να αποδείξετε ότι ο z δεν είναι πραγµατικός αριθµός ιι) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του z στο µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία κύκλου του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα . ιιι) Να βρείτε τους µιγαδικούς z που έχουν το µέγιστο και το ελάχιστο µέτρο

ιν) Να αποδείξετε ότι : 4 < z − 3 + 4i < 7

32. Δίνονται οι µη µηδενικοί µιγαδικοί αριθµοί z1 , z2 , z3 µε

z1 = z2 = z3 = ρ και Re

z1

z2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= Re

z2

z3

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= Re

z3

z1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 1

2

Να αποδείξετε ότι : ι) z1 + z2 + z3 = 0 ιι) Το τρίγωνο µε κορυφές τις εικόνες των z1 , z2 , z 3 είναι ισόπλευρο

33. Δίνεται η εξίσωση z2 - αz + β = 0 , α,β ∈ και οι z1 , z2 είναι ρίζες της µε z1 = 2+i .

ι) Να βρείτε τους αριθµούς α και β ιι) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός z12008 + z22008 είναι πραγµατικός ιιι) Έστω Α(z1) , B(z2) και Γ(z3) οι εικόνες των µιγαδικών z1 , z2 , z3 αντίστοιχα στο

µιγαδικό επίπεδο µε z3 =

z1

z2

+ 15

17 + i( ) , τότε :

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές

β) Αν w − z1 = w − z1 , να αποδείξετε ότι w ∈

γ) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών w που επαληθεύουν την

εξίσωση w − z2 + w − z2 = 10 βρίσκονται σε έλλειψη .

34. A. Έστω w ∈ , τέτοιος ώστε αw + β w +γ = 0 , όπου α , β, γ ∈ µε α ≠ β . Να

αποδείξετε ότι :

ι) αw +βw + γ = 0 ιι) w ∈

B. Αν ο µιγαδικός αριθµός z επαληθεύει τη σχέση 2z3 z + 5zz3+ 7 = 0 , τότε :


9

ι) Να αποδείξετε ότι z3 z = zz

3= −1 και z = 1

ιι) Να βρείτε το µιγαδικό αριθµό z

35. Έστω f(z) = z − iz , z ∈

ι) Να λύσετε την εξίσωση f(z) = 2 - i

ιι) Αν f z( ) = 2 , να βρείτε το

z

ιιι) Αν z = 1 να δείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του w = f(z) είναι κύκλος

που διέρχεται από την αρχή των αξόνων .

36. Δίνεται η εξίσωση : zz + 4Re 1− 2i( )z⎡⎣ ⎤⎦ + 4 = 0

ι) Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει άπειρες λύσεις στο σύνολο των µιγαδικών

ιι) Αν z1 , z2 είναι δύο λύσεις της παραπάνω εξίσωσης , να δείξετε ότι z1 − z2 ≤ 8

ιιι) Αν t1 , t2 είναι αντίστοιχα οι τιµές των µιγαδικών z1 , z2 (του ερωτ β ) για τις οποίες η

παράσταση z1 − z2 γίνεται µέγιστη , να δείξετε ότι :

t1 + t2

2v+ 10 t1 − t2( ) v

= 24v+1 ⋅5v για κάθε ν ∈* .

37. Δίνεται ο µιγαδικός z και έστω f z( ) = 2+ iz

1− z , z ≠ 1

i) Να βρείτε το µέτρο του µιγαδικού f(2)ιι) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός w = [f(2)}2004 είναι πραγµατικός

ιιι) Να αποδείξετε ότι

f z( )− 2f z( ) + i

= z

ιν) Αν z = 1 και Μ είναι η εικόνα του f(z) στο µιγαδικό επίπεδο , να αποδείξετε ότι το Μ

ανήκει σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση

38.Δίνεται η εξίσωση z +

1z= −1 , z ∈ και z1 , z2 ο ρίζες της . Να αποδείξετε ότι :

ι) z1 z2 = 1 και z13 = 1


10

ιι) z1

2009 + z22009( )∈

ιιι) z1

8 +1

z210 +1= 0

ιν) Αν Γ είναι η εικόνα του µιγαδικού w=2z1 + 2z2 στο µιγαδικό επίπεδο και Α , Β οι εικόνες των z1 και z2 αντίστοιχα , να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές

39.Οι µιγαδικοί αριθµοί z , w συνδέονται µε τη σχέση z =

1+ 2w1− w

και η εικόνα του w ανήκει

στον κύκλο µε κέντρο Κ(-1,0) και ακτίνα ρ=1 ι) Να δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο µε κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ = 1

ιι) Αν z = 1 1( ) και z1,z2,z3 οι εικόνες τριών µιγαδικών αριθµών για τους οποίους

ισχύει η σχέση (1) , να δείξετε ότι :

α) Ο αριθµός α =

z1 + z2

z3

+z3 + z2

z1

+z1 + z3

z2

είναι πραγµατικός

β) Αν θεωρήσουµε επιπλέον ότι z1 + z2 + z3 = 0 τότε να αποδείξετε ότι :

Re

z1

z2

+z2

z3

+z3

z1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= −

32

ιιι) Δίνεται η ευθεία (ε): 3x + 4y - 12 = 0 . Να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των εικόνων του µιγαδικού w από την ευθεία (ε)

40. Έστω ν φυσικός αριθµός .

ι) Πόσες διαφορετικές τιµές µπορεί να πάρει η παράσταση iv + i−v;

ιι) Να βρείτε την τιµή της παράστασης iv + i−v( ) iv+1 + i−v−1( )

41. Θεωρούµε όλους τους µιγαδικούς αριθµούς z για τους οποίους ισχύει :

Re

z +1z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 5Re z( ) (1)

ι) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z που ικανοποιούν την (1)ιι) α) Ποιοι από τους µιγαδικούς αριθµούς z που ικανοποιούν την (1) έχουν φανταστικό

µέρος ίσο µε 14

;

β) Να αποδείξετε ότι αν ο µιγαδικός αριθµός z ικανοποιεί την (1) µε Re(z) ≠ 0 και


11

w = z2009 22008 τότε ισχύει Re 1

w⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 4Re w( )

42.ι) Να αναλύσετε σε γινόµενο παραγόντων στο την παράσταση z2 + 16

ιι) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο Κ των εικόνων του µιγαδικού z στο µιγαδικό επίπεδο για

τον οποίο ισχύει :

1z − 4i

−1

z + 4i=

6z2 +16

(1)

ιιι) Να βρείτε το µιγαδικό z που επαληθεύει την (1) και έχει ελάχιστο µέτρο

ιν) Αν η εικόνα του z ανήκει στο γεωµετρικό τόπο Κ και για το µιγαδικό w ισχύει w ⋅w = 1

να βρείτε την ελάχιστη τιµή του z − w

43. Έστω ότι η εξίσωση z2 + αz + β = 0 , α,β ∈ έχει ρίζες τους z1 =

2i

και z2

ι) Να βρείτε τους α , β , z2 ιι) Να βρείτε το v ∈ , ώστε z1v - z2v = -16i

ιιι) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού z στο µιγαδικό επίπεδο για

τον οποίον ισχύει z − z1

v+ z − z2

v= 16 1( )

ιν) Αν για το µιγαδικό z ισχύει η (1) , να βρείτε την ελάχιστη τιµή του z − 4 − 4i

44. Δίνεται η εξίσωση 2x2 + βx + γ = 0 (1) ως προς x ∈ µε β , γ ∈

Να βρείτε τις τιµές των β , γ στις ακόλουθες περιπτώσεις ι) Μία ρίζα της (1) είναι η 3+2iιι) Η (1) έχει ρίζες τους z , z2 µε z ∈ −

45. Δίνεται η εξίσωση z − i = 1 (1)

ι) Να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των µιγαδικών που ικανοποιούν την (1)ιι) Να βρείτε ποιος από τους µιγαδικούς που ικανοποιούν την (1) έχει το µεγαλύτερο πραγµατικό µέρος ιιι) Για τους µιγαδικούς αριθµούς z1 , z2 , z3 είναι γνωστό ότι ικανοποιούν την (1) .

Να αποδείξετε ότι

z1 + z2 + z3

3− i ≤1


12

46. Δίνεται ο µιγαδικός w =

z −1z +1

και ο µιγαδικός z ∈ − −1{ } . Να βρείτε τη γραµµή στην

οποία ανήκουν οι εικόνες των µιγαδικών αν :Α) η εικόνα του µιγαδικού w ανήκει στον θετικό ηµιάξονα των ψ.

Β) η διανυσµατική ακτίνα του w σχηµατίζει γωνία 30o µε τον χ-άξονα.

47. Αν ισχύει 2i− 4w( )2010

=1+ i 15

4 , να δείξετε ότι ο w ανήκει σε κύκλο µε κέντρο την

εικόνα του µιγαδικού i2

και ακτίνας 14

Β) Αν z+2i = 4w όπου ο µιγαδικός w ανήκει στον προηγούµενο κύκλο και δεν είναι

φανταστικός, να δείξετε ότι ο αριθµός u =

i+ zi− z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2011

είναι φανταστικός.

48. Δίνονται οι µιγαδικοί z , w µε w = 2 και z= 4 − w

w −1

ι) Να βρείτε την αριθµητική τιµή του z

ιι) Να δείξετε ότι

α) z − w ≤ 4

β) w2 − 4 ≤ 4 w −1

ιιι) Να βρείτε τους µιγαδικούς z , w ώστε η απόσταση των εικόνων τους να είναι µέγιστη

49. Δίνονται οι διαφορετικοί µεταξύ τους µιγαδικοί z , w για τους οποίους ισχύει :

z − w = 2 z = 2 w = 1

ι) Να δείξετε ότι α) z + w = 1

β) z2+ w2 = 0 ιι) Αν για τους µιγαδικούς z1 , z2 , z3 ισχύει ότι : z= z1 - z2 και w = z3 - z2 να δείξετε ότι : α) z12 + 2z22 +z32 = 2z2 (z1 + z3 ) β) Οι εικόνες Α , Β , Γ των µιγαδικών z1 , z2 , z3 αντίστοιχα σχηµατίζουν ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο στο σηµείο Β


13

50. Έστω οι µιγαδικοί z ώστε i− z( )2010

= 2 −i+ z( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2010

ι) Αποδείξτε ότι : i− z = 2 i+ z (1)

ιι) Για κάθε µιγαδικό z που ικανοποιεί την (1) να αποδείξετε ότι z +

53

i = 43

iii) Aν οι µιγαδικοί z1 , z2 , z3 ικανοποιούν την (1) , να αποδείξετε ότι : α) H εικόνα του µιγαδικού w = z1 + z2 + z3 + 5i δεν είναι εξωτερικό σηµείο του κύκλου µε κέντρο το σηµείο Ο(0,0) και ακτίνα ρ = 4

β) Αν επιπλέον ισχύει z1 + z2 + z3 = 1-5i και v1 = z1 +

53

i , v2 = z2 +53

i , v3 = z3 +53

i ,

να αποδείξετε ότι

1v1

+1v2

+1v3

=9

16

51. Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z1 ,z2 ,z3 οι οποίοι έχουν εικόνες τα διαφορετικά σηµεία

Α, Β, Γ αντίστοιχα. Aν z1 z2 + z2 z3 + z 3 z1 = 1 και

w =

z2 − z1

z3 − z1

, να αποδείξετε ότι :

ι) z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = 1

ιι) w ∈

iii) Τα σηµεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά

52. Για το μιγαδικό z ισχύει z + 4 = z − 2 . Ποιο από τα παρακάτω είναι σίγουρα

σωστό ;

i) z ∈ii) Η εικόνα του z ανήκει σε σταθερό κύκλοiii) z <1

iv) Re z( ) = −1

B. Αν z −10i < z − 4i τότε υπάρχει μιγαδικός z έτσι ώστε z = ...

i) 5 ii) 2 iii) 8 iv) 7 v) 0


14

Γ. Αν z = α + βi με α,β ∈ , ποιο από από τα παρακάτω δεν είναι υποχρεωτικά σωστό ;

i) z = z ii) z = α2 + β2 iii) z2 = z2 iv) z

2= −z

2

Δ. Που κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών z όταν z −1+ 3i = 5 + 2i ;

E. Στο διπλανό σχήμα το σημείο Α(4,3) είναι η εικόνα του μιγαδικού z1 και το σημείο Β είναι η εικόνα του μιγαδικού z2 (Τα σημεία Α ,Ο,Β είναι συνευθειακά με (ΟΒ)>(ΟΑ) ). Αν είναι γνωστό ότι z1 + z2 = 6 να υπολογίσετε το z2

53. Έστω ο µιγαδικός z για τον οποίον ισχύει

α) Να αποδείξετε ότι

β) Που κινούνται οι εικόνες των παραπάνω µιγαδικών z

γ) Αποδείξτε ότι οι εικόνες των µιγαδικών w µε 2w = 3z+4 ανήκουν σε κύκλο µε κέντρο Κ(2,0) και ακτίνα ρ = 3

δ) Ποια η µέγιστη και ποια η ελάχιστη τιµή του ;

54. Δίνονται οι µη µηδενικοί µιγαδικοί αριθµοί z , w για τους οποίους ισχύει

α) Να βρείτε την απόσταση των εικόνων Α και Β των µιγαδικών z και 3iw αντίστοιχα στο µιγαδικό επίπεδο

β) Να δείξετε ότι και µετά να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων

Μ (χ, y) του µιγαδικού w στο µιγαδικό επίπεδο είναι έλλειψη µε εξίσωση

γ) Να βρείτε την µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του

55. Δίνονται οι μιγαδικοί z,w για τους οποίους ισχύουν :

z −13 + i

= 1 και w=3z-‐2

i) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z κινούνται σε κύκλο (C) κέντρου Κ(1,0) και ακτίνας 2

ii) Να αποδείξετε ότι οι μιγαδικοί ικανοποιούν την σχέση w −1 = 6


15

iii) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης z − w

56. Θεωρούµε το µιγαδικό w =

z +1z + 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2010

όπου z ∈- −2{ } . Αν για τον z ισχύει

z +

32

=12

τότε :

α) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z

β) Να δείξετε ότι z +1( ) z + 2( ) + z + 2( ) z +1( ) = 0

γ) Να δείξετε ότι w ∈

57 .Δίνεται η εξίσωση

1− 1z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6

= 1 , z ∈* (1)

Αν zo είναι λύση της παραπάνω εξίσωσης µε zo − zo = 3

α) Να δείξετε ότι ο zo είναι επίσης λύση της εξίσωσης (1)

β) Να δείξετε ότι : Re(zo) = 12

γ) Να βρείτε το zo

δ) Αν επιπλέον ισχύει w − zo

2+ w − zo

2= 3 , w ∈

i) Να βρείτε την εξίσωση της γραµµής πάνω στην οποία κινείται η εικόνα του w

ii) Ποια είναι η ελάχιστη και η µέγιστη τιµή για το w ;

58. Έστω z µιγαδικός µε z ≠ 1 και ο µιγαδικός f(z) = iz + λiz −1

, λ∈

Αν m = f z( ) f z( ) , τότε :

ι) Να δείξετε ότι m ≤ 0

ιι) Για m = λ = -16 , να δείξετε ότι η εικόνα του µιγαδικού z ανήκει σε κύκλο (C) του οποίου

να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα

ιιι) Για m = -1 και λ = -23 να δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει σε ευθεία (ε) της οποίας να


16

βρείτε την εξίσωση

ιν) Αν οι εικόνες των µιγαδικών z1 , z2 και w1 ανήκουν στον κύκλο (C) και η εικόνα του w2

ανήκει στην ευθεία (ε) , να δείξετε ότι : z1 − z2 ≤ w1 − w2 . Να βρείτε στη συνέχεια τους

µιγαδικούς w1 και w2 ώστε να ισχύει η παραπάνω ανισοϊσότητα ως ισότητα

59 . Δίνονται οι µιγαδικοί z = α+2αi και w = β - 2βi όπου α,β πραγµατικοί αριθµοί , οι οποίοι

µεταβάλλονται στο και ο µιγαδικός k = x+yi ,x,y ∈ . Επίσης ισχύει : k = z − w

2

ι) Να εκφράσετε τους α και β συναρτήσει του Re(k) και του Im(k) .

ιι) Αν είναι z2+ w

2= 90 , τότε :

α) Να δείξετε ότι η εικόνα του k µεταβάλλεται σε κωνική τοµή της οποίας να βρείτε την

εξίσωση

β) Να βρείτε την ελάχιστη και τη µεγιστη απόσταση των εικόνων των µιγαδικών z και w

60. Δίνονται οι µιγαδικοί z , w µε w = 2 και z = 4 − w

w −1

ι) Να βρείτε την αριθµητική τιµή του z

ιι) Να δείξετε ότι i) z − w ≤ 4 και ii) w2 − 4 ≤ 4 w −1

ιιι) Να δείξετε ότι w4 + 8 2− w2( ) + 32Re w( ) ≤ 80

ιν) Να βρείτε τους µιγαδικούς w και z ώστε η απόσταση των εικόνων τους να είναι µέγιστη

61. Δίνονται οι µιγαδικοί z , w . Η εικόνα Α του z µεταβάλλεται σε κύκλο C1 κέντρου Ο(0,0)

και ακτίνας 6 και επίσης ισχύει : z = w − 72i

z. Να δείξετε ότι :

ι) Η εικόνα Β του w ανήκει σε οµόκεντρο του C1 κύκλο έστω C2 του οποίου να βρείτε την

ακτίνα


17

ιι) w

2− z

2= w − z

2

ιιι) z2= Re wz( )

ιν) Αν Γ είναι η εικόνα του z , τότε η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ είναι

εφαπτόµενη του κύκλου C1 .

62. Δίνονται οι µιγαδικοί z1 , z2 , z3 µε εικόνες στο µιγαδικό επίπεδο τα σηµεία Α , Β , Γ

αντίστοιχα . Ισχύει ότι : z1 + 2z2 = 3z3 και z1 = z3 = 1 , z2 = 2

ι) Να δείξετε ότι Re z1z2( ) = 0

ιι) Να δείξετε ότι z1 − z2

2= z1

2+ z2

2 . Tι είδους είναι το τρίγωνο ΟΑΒ ;

ιιι) Να υπολογίσετε τα Re z2z3( ) και Re z1z3( )

ιν) Να δείξετε ότι τα Α ,Β , Γ είναι συνευθειακά και να υπολογίσετε τις απόστάσεις ΑΓ κα ΒΓ

63. Δίνονται οι εξισώσεις z2 - 4z+8 = 0 (1) και z16 - 218 z4 - 225 = 0 (2)

ι) Να βρείτε τις ρίζες z1 και z2 στο

ιι) Να δείξετε ότι αν η εξίσωση (2) έχει µία ρίζα στο , τότε θα έχει για ρίζα και τη συζυγή

της

ιιι) Να δείξετε ότι κάθε ρίζα της (1) είναι και ρίζα της (2)

ιν) Αν w είναι µία οποιαδήποτε ρίζα της (2) στο , τότε να δείξετε ότι Im(w16) = 218Im(w4)

64. ι) Να λύσετε την εξίσωση z2 - 2z +2 = 0 , ως πρός z ∈

ιι) Να βρείτε το µιγαδικό w για τον οποίον ισχύει : 2w + w = 3 + i

ιιι) Να υπολογίσετε το (1+i) 8

ιν) Να αποδείξετε ότι η κοινή ρίζα των εξισώσεων του πρώτου και του δεύτερου

ερωτήµατος , ικανοποιεί την εξίσωση :

z2 − 2z + 3( )13= 16

z + 2z − 2( )8


18


19

ασκήσεις 2011 - 2012

Documents

Transcript of ασκήσεις 2011 - 2012