Απαντήσεις - methodiko-frontistirio.gr · ΘΕΜΑ Δ Δύοκιβώτια Α καιΒ...

Μεθοδικό Φροντιστήριο www.methodiko.net Βουλιαγμένης & Κύπρου 2, Αργυρούπολη, Τηλ: 210 99 40 999 Δ. Γούναρη 201, Γλυφάδα, Τηλ: 210 96 36 300

Απαντήσεις – Λύσεις σε Θέματα

από την Τράπεζα Θεμάτων

Μάθημα: Φυσική Α΄ Λυκείου

Στο παρών παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις

σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 2ο, 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων.

Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες σταδιακά θα εμπλουτίζεται.

Στις σελίδες που ακολουθούν παρουσιάζονται

οι εκφωνήσεις των θεμάτων – όπως δημοσιεύτηκαν και οι απαντήσεις τους.

ΘΕΜΑ Β

Β1. Μικρή σφαίρα αφήνεται να πέσει από αρχικό μικρό ύψος H, πάνω από το έδαφος και εκτελών-

τας ελεύθερη πτώση πέφτει στο έδαφος.

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση.

Η γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας (K) της σφαίρας σε συνάρτηση με το

ύψος (y) από το έδαφος, παριστάνεται σωστά από το διάγραμμα:

α) Ι β) ΙΙ γ) ΙΙΙ

Μονάδες 4

Β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Μονάδες 8

Β2. Σε ένα σώμα μάζας m που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο ασκούμε κα-

τακόρυφη σταθερή δύναμη μέτρου F, οπότε το σώμα κινείται κατακόρυφα προς

τα πάνω με σταθερή επιτάχυνση μέτρου α = 2g, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτη-

τας.

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση

Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο:

α) F β) 3F γ) F3

Μονάδες 4


Μονάδες 9

F

K

0 yΗ

(Ι)

0

K

H y

(ΙΙ)

K

0 yH

(ΙΙΙ)

Iro Markaki

Θέματα Νο 1

ΘΕΜΑ Δ

Δύο κιβώτια Α και Β με μάζες mA = 5 kg και mB = 10 kg, κινούνται παράλληλα με έναν οριζόντιο

προσανατολισμένο άξονα Οx. Τη χρονική στιγμή tο = 0 s τα κιβώτια διέρχονται από τη θέση

xo = 0 m, κινούμενα και τα δύο προς τη θετική φορά. Το κιβώτιο Α κινείται με σταθερή ταχύτητα

υΑ = 10 m/s, ενώ το κιβώτιο Β έχει ταχύτητα υο = 30 m/s, και κινείται με σταθερή επιτάχυνση η ο-

ποία έχει μέτρο αΒ = 2 m/s2 και φορά αντίθετη της ταχύτητας ου .

Να υπολογίσετε:

Δ1) το μέτρο της συνισταμένης δύναμης που ασκείται σε κάθε κιβώτιο,

Μονάδες 5

Δ2) τη χρονική στιγμή κατά την οποία τα κιβώτια Α και Β θα βρεθούν πάλι το ένα δίπλα στο άλλο

μετά τη χρονική στιγμή tο,

Μονάδες 6

Δ3) τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο κιβωτίων θα είναι ίσα,

Μονάδες 8

Δ4) τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε κιβωτίου από τη χρονική στιγμή to = 0 s, μέχρι τη

χρονική στιγμή κατά την οποία τα μέτρα των ταχυτήτων τους θα είναι ίσα για πρώτη φορά.

Μονάδες 6


𝜐

𝑚 𝜐

𝑎

ΘΕΜΑΤΑ Νο 1

Θέμα Β - Λύση:

Β1.

Σωστή Απάντηση: β) Διάγραμμα ΙΙ

Η κινητική ενέργεια αυξάνεται όσο το σώμα πλησιάζει προς το έδαφος. Β2.

Σωστή Απάντηση: γ) 𝑭𝟑

Ισχύει: 𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝐹 − 𝐵 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝐹 − 𝐵 = 𝑚 ∙ 2𝑔 ⇒ 𝐹 − 𝐵 = 2𝐵 ⇒ 𝐵 =

Θέμα Δ - Λύση:

Δ1. Το κιβώτιο Α εκτελεί Ε.Ο.Κ. Άρα: 𝛴�⃗� = 0. Για το κιβώτιο Β που εκτελεί ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση: 𝛴𝐹 = 𝑚 ∗ 𝑎 ⇒ 𝛴�⃗� = 20 𝑚/𝑠 Δ2. Για τη συνάντηση των κιβωτίων έχουμε: 𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝑣 𝑡 = 𝑣 𝑡 − 𝑎𝑡

⇒ 10𝑡 = 30𝑡 − 2𝑡 ⇒ 0 = 20𝑡 − 𝑡 ⇒ 0 = t(20 − t) ο δεκτός χρόνος είναι 𝑡 = 20 𝑠.

Δ3. Θα πρέπει: 𝑣 = 𝑣 ⇒ 𝑣 − 𝑎𝑡 = 𝑣 ⇒ 30 − 2𝑡 = 10 ⇒ 𝑡 = 10𝑠. Δ4. Για το κιβώτιο Α: 𝛥𝛫 = 0 αφού το κιβώτιο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

Για το κιβώτιο Β: 𝛥𝛫 = 𝜇𝑣 − 𝑚𝑣 = 5 ∗ 10 − 5 ∗ 30 = 500 − 4500 = −4000𝐽.

𝐹

𝐵

ΘΕΜΑ Β Β1. Μια σφαίρα μάζας m βάλλεται από την επιφάνεια του εδάφους κατακόρυφα προς τα πάνω.

Η σφαίρα φτάνει στο μέγιστο ύψος h και επιστρέφει στο έδαφος.


Αν γνωρίζετε ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι σταθερή και η επίδραση του

αέρα θεωρείται αμελητέα τότε το έργο του βάρους της σφαίρας κατά τη συνολική

κίνησή της είναι ίσο με:

α) m�g�h β) 0 γ) 2�m�g�h

Μονάδες 4


Μονάδες 8

Β2. Αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο. Στη

διπλανή εικόνα παριστάνεται η γραφική παράσταση της

τιμής της ταχύτητας του αυτοκινήτου σε συνάρτηση με

το χρόνο.


Η μετατόπιση του αυτοκινήτου κατά το χρονικό

διάστημα από 0 s - 30 s είναι:

α) +300 m β) +600 m γ) –300 m

Μονάδες 4

B) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Μονάδες 9

Iro Markaki

Θέματα Νο 2

ΘΕΜΑ Δ

Μικρό σώμα μάζας m = 2 kg βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει

συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,5. Τη χρονική στιγμή tο = 0 s, στο σώμα αρχίζει να ασκείται

σταθερή οριζόντια δύναμη F&

μέτρου 30 N μέχρι τη χρονική στιγμή t = 3 s, οπότε παύει να ασκεί-

ται η δύναμη F&. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2. Η επίδραση του αέρα

είναι αμελητέα.


Δ1) το μέτρο της τριβής ολίσθησης,

Μονάδες 6

Δ2) το έργο της δύναμης F στη χρονική διάρκεια που ασκείται στο σώμα,

Μονάδες 6

Δ3) τη χρονική στιγμή που το σώμα θα σταματήσει να κινείται,

Μονάδες 6

Δ4) τη μετατόπιση του σώματος από τη χρονική στιγμή tο = 0 s μέχρι να σταματήσει

την κίνηση του.

Μονάδες 7

m F


ΘΕΜΑΤΑ Νο 2


Β1.

Σωστή Απάντηση: β) 0

Το έργο του βάρους σε «κλειστή» διαδρομή είναι μηδέν, αφού το βάρος είναι συντηρητική δύναμη. Β2.

Σωστή Απάντηση: α) 𝟑𝟎𝟎𝒎

Για το διάστημα: 0 − 10 𝑠 έχουμε ευθύγραμμη ομαλή κίνηση και το διάστημα που διανύει το αυτοκίνητο είναι: 𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑡 = 30 ∙ 10 = 300 𝑚. Για το διάστημα: 10 − 20 𝑠 έχουμε ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση, όπου το αυτοκίνητο διανύει διάστημα 𝑠 έως ότου σταματά με επιβράδυνση μέτρου 𝛼. Για το διάστημα 20 − 30 𝑠 το αυτοκίνητο κινείται με αντίθετη φορά από την αρχική φορά κίνησης, με την ίδια κατά μέτρο επιτάχυνση (μέτρου 𝛼) και διανύει διάστημα 𝑠. Συνεπώς, το συνολικό διάστημα κίνησης είναι: 𝑠 + 𝑠 − 𝑠 = 𝑠 = 300 𝑚.


Δ1) Έχουμε: 𝛵 = 𝜇𝛮 = 0,5 𝑚𝑔 = 0,5 ∗ 2 ∗ 10 = 10𝑁 Δ2) Είναι: 𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝐹 − 𝑇 = 𝑚𝑎 ⇒ 20 = 2𝑎 ⇒ 𝛼 = 10 𝑚/𝑠

𝛥𝑥 = 𝑎𝑡 = 10 ∙ 9 = 45 𝑚.

𝑊 = 𝐹 ∙ 𝛥𝑥 = 40 ∙ 45 = 1350 𝐽. Δ3) Για την επιβραδυνόμενη κίνηση έχουμε: 𝛴𝐹 = 𝑚𝑎′ ⇒ 𝛵 = 𝑚𝑎 ⇒ 10 = 2𝑎 ⇒ 𝑎 = Έστω 𝑣 η ταχύτητα τη χρονική στιγμή που καταργείται η δύναμη 𝐹. Είναι: 𝑣 = 𝑎𝑡 = 30 𝑚/𝑠.

Οπότε η χρονική διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησης είναι: 𝑡 = = 6 𝑠.

Δ4) Επίσης: 𝛥𝑥 = = = 90 𝑚 για τη διάρκεια της κίνησης κατά την οποία δεν ασκείται δύναμη. Άρα, η συνολική μετατόπιση είναι: 𝛥𝑥 + 𝛥𝑥 = 135 𝑚.

𝐹 𝑚 𝜐

𝑠

𝜐 = 0

ΘΕΜΑ Β

Β1. Δύο κινητά Α και Β κινούνται κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Οx και έχουν εξισώσεις

κίνησης xΑ = 6�t (SI) και xΒ = 2�t2 (SI) αντίστοιχα.


Τα κινητά θα έχουν ίσες κατά μέτρο ταχύτητες, τη χρονική στιγμή:

α) t = 2 s β) t = 1,5 s γ) t = 3 s

Μονάδες 4


Μονάδες 8

Β2. Μικρό σώμα είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο σώμα ασκείται

οριζόντια δύναμη F της οποίας η τιμή μεταβάλλεται με τη θέση όπως φαίνεται στο παρακάτω

διάγραμμα:


H κινητική ενέργεια του σώματος

α) από τη θέση x0 = 0 m έως τη θέση xΑ παραμένει σταθερή.

β) από τη θέση xΑ έως τη θέση xΒ μειώνεται.

γ) από τη θέση x0 = 0 m έως τη θέση xΒ αυξάνεται.

Μονάδες 4


Μονάδες 9

0 x

F

Ax Bx

Iro Markaki

Θέματα Νο 3

ΘΕΜΑ Δ

Μεταλλικός κύβος έλκεται με τη βοήθεια ενός ηλεκτροκινητήρα, πάνω σε ένα οριζόντιο διάδρομο. Στον κύβο ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη F

& και κινείται ευθύγραμμα με σταθερή

επιτάχυνση. Με τη βοήθεια συστήματος φωτοπυλών παίρνουμε την πληροφορία ότι το μέτρο της ταχύτητας του κύβου τη χρονική στιγμή to = 0 s είναι ίσο με 2 m/s και τη χρονική στιγμή t1 = 2 s είναι ίσο με 12 m/s. Η μέση ισχύς του ηλεκτροκινητήρα (ο μέσος ρυθμός προσφερόμενης ενέργειας στον κύβο μέσω του έργου της δύναμης F

&), στο παραπάνω χρονικό διάστημα των 2 s είναι

Ρμ = 98 W. Επίσης, έχει μετρηθεί πειραματικά ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του κύβου και του διαδρόμου και βρέθηκε μ = 0,2. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2 και ότι η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα.


Δ1) το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινείται ο κύβος,

Μονάδες 5

Δ2) την ενέργεια που μεταφέρθηκε στον κύβο μέσω του έργου της δύναμης F&στο χρονικό

διάστημα των 2 s,

Μονάδες 6

Δ3) το μέτρο της δύναμης F&

.

Μονάδες 7

Δ4) τη μάζα του κύβου.

Μονάδες 7


ΘΕΜΑΤΑ Νο 3


Β1. Σωστή Απάντηση: β) 𝒕 = 𝟏, 𝟓 𝒔

Το σώμα Α εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με 𝑣 = 6 𝑚/𝑠 ενώ το σώμα Β εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση 𝛼 = 4 𝑚/𝑠 . Η εξίσωση της ταχύτητας είναι: 𝑣 = 𝑎 𝑡 ⇒ 𝑣 = 4𝑡.

Συνεπώς: 𝑣 = 𝑣 ⇒ 6 = 4𝑡 ⇒ 𝑡 = 1,5 𝑠. Β2. Σωστή Απάντηση: γ) από τη θέση 𝒙𝟎 = 𝟎 𝒎 έως τη θέση 𝒙𝑩 αυξάνεται.

Όσο ασκείται σταθερή δύναμη στο σώμα, το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Στη συνέχεια η δύναμη εξακολουθεί να ασκείται, αλλά το μέτρο της μειώνεται. Επομένως, η κίνηση εξακολουθεί να είναι επιταχυνόμενη (με μειούμενη κατά μέτρο επιτάχυνση) μέχρι τη στιγμή που καταργείται η δύναμη (θέση 𝑥 ). Άρα η ταχύτητα του σώματος και κατά συνέπεια και η κινητική του ενέργεια από τη θέση 𝑥 = 0 𝑚 έως τη θέση 𝑥 αυξάνεται.


Δ1) Αφού στον κύβο ασκείται σταθερή δύναμη θα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, για την οποία έχουμε: 𝑣 = 𝑣 + 𝑎𝑡 ⇒ 𝑎 = = = 5

Δ2) Για την ενέργεια που μεταφέρθηκε μέσω της δύναμης στον κύβο ισχύει ότι: 𝑊 = 𝑃 𝑡 = 98 ∙ 2 = 196 𝐽. Δ3) Για τη μετατόπιση του κύβου ισχύει: 𝛥𝑥 = 𝑣 𝑡 +

12𝛼𝑡 = 2 ∙ 2 +

12 ∙ 5 ∙ 4 = 4 + 10 = 14m

Οπότε παίρνουμε: 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝛥𝑥 ⇒ 𝐹 = = 14 𝑁.

Δ4) Για το μέτρο της τριβής ισχύει: 𝛵 = 𝜇 𝛮 = 0,2 𝑚 𝑔 = 2 𝑚 Άρα 𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝐹 − 𝑇 = 𝑚𝑎 ⇒ 14 − 2𝑚 = 5𝑚 ⇒ 𝑚 = 2𝑘𝑔.

𝜐 = 2 𝑚/𝑠

𝐹 𝑚

𝜐 = 12 𝑚/𝑠

𝑡 = 0𝑠 𝑡 = 2𝑠

𝛵

ΘΕΜΑ B

Β1. Μία μπίλια κινείται πάνω στον άξονα x΄x και τη στιγμή

t = 0 s βρίσκεται στη θέση x0 = 0 m. Η τιμή της ταχύτητας

της μπίλιας σε συνάρτηση με το χρόνο παριστάνεται στο

διπλανό διάγραμμα.


Η μπίλια τη χρονική στιγμή t = 30 s βρίσκεται στη

θέση

α) 125 m β) 100 m γ) 75 m

Μονάδες 4


Μονάδες 8

Β2. Μία μεταλλική σφαίρα εκτελεί ελεύθερη πτώση. Σε σημείο Α της τροχιάς της έχει ταχύτητα

μέτρου υ και κινητική ενέργεια ίση με Κ. Σε ένα άλλο σημείο Β που βρίσκεται χαμηλότερα από το

Α το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας είναι ίσο με 2υ.

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση

Η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας της σφαίρας από τη θέση Α στην θέση Β

είναι ίση με:

α) – 3Κ β) 2Κ γ) – 4Κ

Μονάδες 4

Β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας

Μονάδες 9

� �t s0 10

� �sm /X

10

20

-5

25 30

Iro Markaki

Θέματα Νο 4

ΘΕΜΑ Δ

Σε κιβώτιο μάζας m = 10 kg, το οποίο αρχικά ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, αρχίζει την

στιγμή t0 = 0 s να ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη 1F&

μέτρου 20 Ν.

Δ1) Να υπολογισθεί το διάστημα που θα διανύσει το κιβώτιο από t0 = 0 s έως t1 = 10 s.

Μονάδες 6

Δ2) Να υπολογισθεί το έργο της δύναμης 1F&

στο παραπάνω χρονικό διάστημα.

Μονάδες 6

Έστω ότι την στιγμή t0 = 0 s εκτός από τη δύναμη 1F&

ασκείται στο κιβώτιο και μια δεύτερη δύναμη

2F&

ίση με την 1F&, δηλαδή οι δυνάμεις έχουν ίδιο μέτρο και κατεύθυνση.

Δ3) Να υπολογισθεί η επιτάχυνση του κιβωτίου όταν ασκούνται σε αυτό ταυτόχρονα και οι δύο

δυνάμεις 1F&

και 2F&

.

Μονάδες 5

Δ4) Να υπολογίσετε πάλι το έργο της δύναμης 1F&

από t0 = 0 s έως t1 = 10 s όταν ασκούνται

ταυτόχρονα και οι δύο δυνάμεις 1F&

και 2F&

.

Να συγκρίνετε αυτό το έργο με το έργο που υπολογίσατε στο ερώτημα Δ2.

Μονάδες 8


ΘΕΜΑΤΑ Νο 4


Β1. Σωστή Απάντηση: γ) 𝒔 = 𝟕𝟓 𝒎

Για να υπολογίσουμε το διάστημα που έχει διανύσει το κινητό, από το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου, υπολογίζουμε τα εμβαδά των χωρίων που περικλείονται από τη γραφική παράσταση και τον άξονα 𝑥’𝑥.

Έχουμε: 𝛦 = 𝑠 = ∙ 20 ∙ 10 = 100 𝑚 προς τη θετική κατεύθυνση και 𝛦 = 𝑠 = ∙ (30 − 20) ∙ 5 = 25 𝑚 προς την αρνητική κατεύθυνση.

Επομένως το συνολικό διάστημα είναι: 𝑠 = 𝑠 − 𝑠 = 75 𝑚 Β2. Σωστή Απάντηση: α) −𝟑𝑲

Για να υπολογίσουμε τη μεταγολή της δυναμικής ενέργειας της σφαίρας εφαρμόζουμε το Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.):

𝛥𝛫 + 𝛥𝑈 = 0 ⇔ 𝛥𝑈 = −𝛥𝛫 =12𝑚𝑣 −

12𝑚

(2𝑣) = −312𝑚𝑣 = −3𝐾


Δ1) Για να βρούμε την επιτάχυνση με την οποία θα κινηθεί το κιβώτιο εφαρμόζουμε το 2ο Ν.Νεύτωνα: 𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝐹 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝑎 = 2 𝑚/𝑠 .

Επομένως, το κιβώτιο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και για το διάστημα 𝑡 = 0 𝑠 έως 𝑡 = 10 𝑠 θα έχει διανύσει διάστημα: 𝛥𝑥 = 𝑎 𝑡 = ∙ 2 ∙ 10 = 100 𝑚

Δ2) Το έργο της δύναμης θα είναι: 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝛥𝑥 = 20 ∙ 100 = 2000 𝐽.

Αν στο κιβώτιο ασκείται και δεύτερη δύναμη 𝐹 ίδιου μέτρου και κατεύθυνσης με την 𝐹 , τότε εντελώς αντίστοιχα έχουμε:

Δ3) 𝛴𝐹′ = 𝑚𝑎 ⇒ 𝐹 + 𝐹 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝑎 = 4𝑚/𝑠

Επομένως, το κιβώτιο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και για το διάστημα 𝑡 = 0 𝑠 έως 𝑡 = 10 𝑠 θα έχει διανύσει διάστημα: 𝛥𝑥 = 𝑎 𝑡 = ∙ 4 ∙ 10 = 200 𝑚

Δ4) Το έργο της δύναμης στην περίπτωση αυτή είναι: 𝑊 ′ = 𝐹 ∙ 𝛥𝑥 = 20 ∙ 200 = 4000 𝐽.

Παρατηρούμε ότι: 𝑊 ′ = 2𝑊 αφού το κιβώτιο διανύει στον ίδιο χρόνο διπλάσιο διάστημα.

ΘΕΜΑ B

Β1. Δύο μεταλλικές σφαίρες Σ1, Σ2 έχουν βάρη Β1 και Β2 αντίστοιχα και κρέμονται

ακίνητες με τη βοήθεια νημάτων αμελητέας μάζας από την οροφή, όπως

παριστάνεται στο σχήμα.

Α) Να μεταφέρετε το διπλανό σχήμα στο γραπτό σας και να σχεδιάσετε τις

δυνάμεις που ασκούνται στις σφαίρες Σ1 και Σ2.

Μονάδες 5

Β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των δυνάμεων που σχεδιάσατε, σε συνάρτηση

με τα βάρη Β1 και Β2 των δύο σφαιρών.

Μονάδες 7

Β2. Σε αυτοκίνητο που κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με ταχύτητα μέτρου υ1, ο οδηγός του

φρενάρει οπότε το αυτοκίνητο διανύει διάστημα d1 μέχρι να σταματήσει. Αν το αυτοκίνητο κινείται

με ταχύτητα διπλάσιου μέτρου, δηλαδή υ2 = 2υ1, τότε για να σταματήσει πρέπει να διανύσει

διάστημα d2.


Αν το αυτοκίνητο σε κάθε φρενάρισμα επιβραδύνεται με την ίδια επιβράδυνση,

τότε ισχύει :

α) d2 = 2d1 β) d2 = 3d1 γ) d2 = 4d1

Μονάδες 4


Μονάδες 9

Σ1

Σ2

Iro Markaki

Θέματα Νο 5

ΘΕΜΑ Δ

Ένα κιβώτιο με βιβλία συνολικής μάζας m = 50 kg είναι ακίνητο πάνω στο δάπεδο του διαδρόμου

ενός σχολείου. Την χρονική στιγμή to = 0 s δύο μαθητές, ο Πάνος και η Μαρία αρχίζουν να

σπρώχνουν μαζί το κιβώτιο. Οι δυνάμεις που ασκούν οι μαθητές στο κιβώτιο είναι σταθερές

οριζόντιες και ίδιας κατεύθυνσης. Η δύναμη που ασκεί ο Πάνος έχει μέτρο FΠ = 200 Ν και η δύνα-

μη που ασκεί η Μαρία έχει μέτρο FΜ = 50 Ν. Την χρονική στιγμή t1, μέχρι την οποία το κιβώτιο

έχει ολισθήσει 2m πάνω στο δάπεδο, η Μαρία σταματά να σπρώχνει το κιβώτιο, ενώ ο Πάνος συ-

νεχίζει να το σπρώχνει.

Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του κιβωτίου και του δαπέδου μ = 0,4 και η επιτά-

χυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2.

Δ1) Να υπολογιστεί το μέτρο της τριβής μεταξύ του κιβωτίου και του δαπέδου.

Μονάδες 6

Δ2) Να προσδιοριστεί η χρονική στιγμή t1 κατά την οποία η Μαρία σταμάτησε να σπρώχνει το

κιβώτιο.

Μονάδες 6

Δ3) Να γίνει σε βαθμολογημένους άξονες το διάγραμμα του μέτρου της ταχύτητας του κιβωτίου

συναρτήσει του χρόνου από to = 0 s έως t2 = 4 s.

Μονάδες 7

Δ4) Να υπολογιστεί η ενέργεια που πρόσφερε ο Πάνος στο κιβώτιο, μέσω του έργου της δύναμης

που του άσκησε, από την χρονική στιγμή to = 0 s έως την στιγμή t1, καθώς και ο ρυθμός με τον

οποίο ο Πάνος προσφέρει ενέργεια στο κιβώτιο όταν πλέον το σπρώχνει μόνος του.

Μονάδες 6


ΘΕΜΑΤΑ Νο 5


Β1. Οι δυνάμεις που ασκούνται στις σφαίρες φαίνονται στο σχήμα. Ισχύουν: για τη σφαίρα 1: 𝛴𝐹 = 0 ⇒ 𝑇 = 𝑇 + 𝐵

για τη σφαίρα 2: 𝛴𝐹 = 0 ⇒ 𝑇 = 𝐵 Δηλαδή: 𝑇 = 𝐵 και 𝑇 = 𝐵 + 𝛣

Β2.

Σωστή Απάντηση: γ) 𝒅𝟐 = 𝟒 𝒅𝟏

Έστω 𝑡 ο χρόνος που το αυτοκίνητο χρειάζεται για να σταματήσει.

Ισχύει: 0 = 𝑣 − 𝑎𝑡 ⇒ 𝑡 = και για το διάστημα της επιβραδυνόμενης κίνησης είναι:

𝑑 = 𝑣 𝑡 −12𝑎𝑡 ⇔ 𝑑 = 𝑣

𝑣𝑎 −

12𝑎𝑣𝑎 ⇔ 𝑑 =

𝑣𝑎 −

12𝑣𝑎 ⇔ 𝑑 =

𝑣2𝑎

Κατά αντιστοιχία, αν η αρχική ταχύτητα είναι 𝑣 = 2𝑣 , προκύπτει: 𝑑 =

𝑣2𝑎 =

4𝑣2 = 4𝑑


Δ1) Ισχύει: 𝛮 = 𝛣, αφού το σώμα ισορροπεί. Για το μέτρο της τριβής είναι: 𝛵 = 𝜇𝛮 = 0,4𝑚𝑔 = 0,4 ∙ 500 = 200 𝑁 Δ2) Από το 2ο Ν.Νέυτωνα έχουμε: 𝛴𝐹 = 𝑚 𝑎 , όπου 𝛼 η επιτάχυνση που αποκτά το κιβώτιο. Συνεπώς: 𝐹 + 𝐹 − 𝛵 = 𝑚 𝑎 ⇒ 250 − 200 = 50𝑎 ⇒ 𝑎 = 1 𝑚/𝑠

Για τη μετατόπιση του κιβωτίου μέχρι τη στιγμή που η Μαρία σταματά να σπρώχνει έχουμε:

𝛥𝑥 =12𝑎𝑡 ⇒

2𝛥𝑥𝑎 = 𝑡 ⇒ 4 = 𝑡

Άρα: 𝑡 = 2 𝑠.

𝜯𝟏

𝜯𝟐

𝜯𝟐

𝜝𝟏

𝜝𝟐


Δ3) Μετά τη χρονική στιγμή 𝑡 παρατηρούμε ότι 𝛴�⃗� = 0 αφού 𝐹 = 𝛵. Επομένως, η κίνηση είναι Ε.Ο.Κ με την ταχύτητα 𝑣 που το κιβώτιο είχε αποκτήσει τη στιγμή που η Μαρία σταμάτησε να ασκεί δύναμη. Ισχύει: 𝑣 = 𝑎𝑡 ⇒ 𝑣 = 2𝑚/𝑠 (από την επιταχυνόμενη κίνηση). Δ4) Για το έργο της δύναμης που ασκεί ο Πάνος έχουμε ότι :

𝑊 = 𝐹 ∙ 𝛥𝑥 = 200 ∙ 2 = 400 𝐽 Για το ρυθμό με τον οποίο ο Πάνος προσφέρει ενέργεια στο κιβώτιο όταν το σπρώχνει μόνος του έχουμε:

𝑃 =𝛥𝑊𝛥𝑡 = 𝐹 ∙ 𝑣 = 200 ∙ 2 = 400 𝑊

𝐹 𝑚

2𝑚

𝑡 = 0𝑠 𝑡

𝛵 𝐹

𝐹

𝐵

𝑁

𝑡 (𝑠)

𝑣 (𝑚/𝑠)

2 4

2

ΘΕΜΑ B Β1. Δύο πέτρες Α, και Β αφήνονται αντίστοιχα από τα ύψη hΑ, hΒ πάνω από το έδαφος να

εκτελέσουν ελεύθερη πτώση.


Αν για τους χρόνους πτώσης μέχρι το έδαφος ισχύει η σχέση tΑ = 2tΒ, τότε τα ύψη hΑ

και hΒ ικανοποιούν τη σχέση:

α) hA = 2hB β) hA = 4hB γ) hA = 8hB

Μονάδες 4


Μονάδες 8

Β2. Μία μεταλλική σφαίρα κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω

και κατακόρυφα προς τα κάτω με σταθερή επιτάχυνση, το

μέτρο της οποίας είναι ίσο με a και στις δύο περιπτώσεις, ό-

πως φαίνεται στην εικόνα. Στην εικόνα παριστάνονται επίσης

και οι δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα σε κάθε περίπτω-

ση.


Για τα μέτρα των δυνάμεων ισχύει η σχέση:

α) F1+F2=2mg β) F1-F2=mg γ) F1+F2=mg

Μονάδες 4


Μονάδες 9

m

gm&

1F&

a&m

gm&

2F&

a&

Iro Markaki

Θέματα Νο 6

ΘΕΜΑ Δ

Κιβώτιο μάζας m = 2 kg αρχικά ηρεμεί σε τραχύ οριζόντιο δρόμο. Τη χρονική στιγμή t = 0 s,

ασκείται στο κιβώτιο μεταβλητή οριζόντια δύναμη το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται με τη θέση

του κιβωτίου σύμφωνα με τη σχέση F = 10 + 2x (SI). Θεωρήστε ως x = 0 m τη θέση που

βρισκόταν το κιβώτιο τη χρονική στιγμή t = 0 s και ότι το κιβώτιο κινείται προς τη θετική κατεύ-

θυνση του άξονα Οx. Η δύναμη F καταργείται όταν το μέτρο της γίνει ίσο με 50 Ν.

Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ κιβωτίου και δρόμου είναι 0,4. Η επιτάχυνση της βαρύ-

τητας είναι ίση με g=10m/s2 και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.


Δ1) Το μέτρο της δύναμης της τριβής που ασκείται στο κιβώτιο.

Μονάδες 5

Δ2) Την επιτάχυνση του κιβωτίου όταν βρίσκεται στη θέση x = 10 m.

Μονάδες 7

Δ3) Το έργο της δύναμης F για τη μετατόπιση του κιβωτίου από την θέση x = 0 m έως τη θέση

στην οποία καταργείται η δύναμη F .

Μονάδες 7

Δ4) Το συνολικό διάστημα που θα διανύσει το κιβώτιο απο τη χρονική στιγμή t = 0 s μέχρι να

σταματήσει.

Μονάδες 6


ΘΕΜΑΤΑ Νο 6


Β1. Σωστή Απάντηση: β) 𝒉𝑨 = 𝟒𝒉𝑩 Για την ελεύθερη πτώση γνωρίζουμε ότι: ℎ = 𝑔𝑡 Επομένως, για τις πέτρες αντίστοιχα έχουμε: ℎ = 𝑔𝑡 και ℎ = 𝑔𝑡 με 𝑡 = 2𝑡 . Αντικαθιστώντας, προκύπτει: ℎ = 4ℎ . Β2. Σωστή Απάντηση: α) 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 = 𝟐𝒎𝒈 Όταν η σφαίρα κινείται προς τα πάνω από το 2ο Ν.Ν. έχουμε: 𝐹 −𝑚𝑔 = 𝑚𝑎 (1), ενώ όταν η σφαίρα κινείται προς τα κάτω έχουμε: 𝑚𝑔 − 𝐹 = 𝑚𝑎 (2) Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1) και (2) παίρνουμε: (𝐹 − 𝑚𝑔) − (𝑚𝑔 − 𝐹 ) = 0 ⇔ 𝐹 + 𝐹 = 2𝑚𝑔 Θέμα Δ - Λύση:

Δ1) Το κιβώτιο ισορροπεί στο δρόμο, συνεπώς: 𝛮 = 𝑚𝑔 και για το μέτρο της τριβής ισχύει ότι: 𝛵 = 𝜇𝑚𝑔 ⇒ 𝛵 = 0,4 ∙ 20 = 8𝛮 Δ2) Στη θέση 𝑥 = 10 αντικαθιστώντας στον τύπο της δύναμης βρίσκουμε ότι: 𝐹 = 30 𝑁 . Για τη θέση εκείνη: 𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝐹 − 𝑇 = 𝑚𝑎 ⇒ 22 = 2𝑎 ⇒ 𝑎 = 11 𝑚/𝑠 Επομένως, η επιτάχυνση του κιβωτίου στη θέση αυτή είναι: 𝑎 = 11 𝑚/𝑠 . Δ3) H δύναμη καταργείται στη θέση όπου: 𝐹 = 10 + 2𝑥 ⇒ 50 = 10 + 2𝑥 ⇒ 𝑥 = 20 𝑚 Επειδή η δύναμη είναι μεταβλητή, το έργο υπολογίζεται από το εμβαδό που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της 𝐹 και τον άξονα 𝑥′𝑥. Οπότε, κατασκευάζουμε το διάγραμμα 𝐹 − 𝑥 και έχουμε: 𝑊 = ∙ 20 = 600 𝐽 Δ4) Για τον υπολογισμό του συνολικού διαστήματος εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε από τη θέση 𝑥 =0 έως τη θέση 𝑥 που το κιβώτιο σταματά. 𝛫 − 𝛫 = 𝑊 −𝑊 ⇒ 0 = 600 − 8 𝑥 ⇒ 𝑥 =

6008 = 75𝑚

𝑥 (𝑚)

𝐹 (𝑁)

20 0

50

10

𝑊

ΘΕΜΑ Β

B1. Μικρό σώμα μάζας m = 500 g κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα. με την

επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F&μέτρου 10 N.

Α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

Αν διπλασιαστεί το μέτρο της δύναμης που ασκείται στο σώμα, τότε το

σώμα θα αποκτήσει επιτάχυνση που θα έχει μέτρο:

α) 20 m/s2 β) 2 m/s2 γ) 0,2 m/s2

Μονάδες 4


Μονάδες 8

B2. Σε μικρό σώμα ασκείται δύναμη σταθερής

κατεύθυνσης της οποίας η τιμή μεταβάλλεται με την

μετατόπιση όπως φαίνεται στο διάγραμμα.

Α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

Το έργο της δύναμης F για τη μετατόπιση του

σώματος από τη θέση x = 0 m στη θέση x = 2 m θα

είναι:

α) 40 J β) 20 J γ) 80 J

Μονάδες 4


Μονάδες 9

0 x(m )

F(Ν )

1 2

20

10

Iro Markaki

Θέματα Νο 7

ΘΕΜΑ Δ

Ομάδα μαθητών πραγματοποιεί στο εργαστήριο του σχολείου μια σειρά από πειραματικές

δραστηριότητες προκειμένου να μελετήσουν τη κίνηση με τριβή και την ισχύ ενός κινητήρα.

Για να πραγματοποιήσουν το πείραμα χρησιμοποιούν 1) ένα μεταλλικό κύβο, 2) ένα δυναμόμετρο,

3) ένα κινητήρα, 4) μετροταινία και χρονόμετρο, 5) ζυγό ισορροπίας και πραγματοποιούν τις

παρακάτω τρεις δραστηριότητες.

(Δραστηριότητα Α) Αρχικά χρησιμοποιώντας το ζυγό προσδιορίζουν τη μάζα του κύβου, m = 2 kg.

(Δραστηριότητα Β) Με τη βοήθεια ενός κινητήρα (μοτέρ), ο οποίος ασκεί μέσω ενός δυναμόμετρου

οριζόντια δύναμη F&

στον κύβο πετυχαίνουν ο κύβος να κινείται αργά με σταθερή ταχύτητα πάνω

στο δάπεδο της τάξης. Κατά την κίνηση με σταθερή ταχύτητα η ένδειξη του δυναμόμετρου είναι F

= 4 N και οι μαθητές διαπιστώνουν με τη βοήθεια της μετροταινίας και του χρονομέτρου ότι ο

κύβος διανύει διάστημα ίσο με 1 m σε χρονική διάρκεια ίση με 4 s.

(Δραστηριότητα Γ) Ένας μαθητής εκτοξεύει από σημείο Α του δαπέδου τον κύβο με οριζόντια

ταχύτητα ώστε αυτός να ολισθήσει ευθύγραμμα πάνω στο δάπεδο. Οι μαθητές μετρούν το

διάστημα που διανύει ο κύβος από το σημείο Α μέχρι που σταματά και το βρίσκουν ίσο με 9 m.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2 και ότι η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα..


Δ1) την τριβή ολίσθησης, καθώς και το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ κύβου και δαπέδου,

Μονάδες 6

Δ2) το ρυθμό με τον οποίο ο κινητήρας προσφέρει ενέργεια στον κύβο, κατά την κίνηση με

σταθερή ταχύτητα (δραστηριότητα Β),

Μονάδες 6

Δ3) το μέτρο της ταχύτητας με την οποία εκτοξεύει ο μαθητής τον κύβο κατά τη δραστηριότητα Γ,

Μονάδες 7

Δ4) το μέσο ρυθμό με τον οποίο η κινητική ενέργεια του κύβου μετατρέπεται σε θερμότητα κατά

τη δραστηριότητα Γ.

Μονάδες 6


ΘΕΜΑΤΑ Νο 7


Β1. Σωστή Απάντηση: β) 𝟐𝟎 𝒎/𝒔𝟐 Εφόσον ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη και το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα, εκτός από την 𝐹 στο σώμα ασκείται και άλλη δύναμη 𝐹′ αντίθετης φοράς και ίσου μέτρου (𝐹 = 𝐹 =10 𝛮). Επομένως, αν διπλασιαστεί το μέτρο της δύναμης 𝐹 θα έχουμε: 𝛴𝐹 = 𝑚 𝑎 ⇒ 𝑎 =

2𝐹 − 𝐹′𝑚 ⇒ 𝑎 =

2 ∙ 10 − 100,5 = 20 𝑚/𝑠

Β2. Σωστή Απάντηση: α) 𝟐𝟎 𝑱 Επειδή η δύναμη είναι μεταβλητή, το έργο υπολογίζεται από το εμβαδό που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της 𝐹 και τον άξονα 𝑥′𝑥. Πράγματι: 𝑊 = 𝐸 = ∙ 2 ∙ 20 = 20 𝐽


Δ1) Από τη δραστηριότητα (Β), εφόσον η κίνηση του κύβου είναι ευθύγραμμη ομαλή έχουμε: 𝛴𝐹 = 0 ⇒ 𝐹 − 𝑇 = 0 ⇒ 𝑇 = 𝐹 = 4 𝑁. Η τριβή είναι 4 𝛮 ενώ η σταθερή ταχύτητα με την οποία κινείται είναι: 𝑣 = = = 0,25 𝑚/𝑠

Επίσης ισχύει: 𝛵 = 𝜇 𝛮 ⇒ 𝜇 = = 0,2, δηλαδή ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ κύβου και δαπέδου είναι 𝜇 = 0,2. Δ2) Για το ρυθμό με τον οποίο προσφέρει ενέργεια ο κινητήρας (ισχύς του κινητήρα) έχουμε: 𝑃 = 𝐹 ∙ 𝑣 = 4 ∙ 0,25 = 1 𝑊 Δ3) Για τη δραστηριότητα (Γ): Ο μαθητής εκτοξεύει τον κύβο με ταχύτητα 𝑣 και ο κύβος κινείται εύθγραμμα στο δάπεδο και σταματά μετά από 9𝑚. Επομένως, εκτελεί επιβραδυνόμενη κίνηση για την οποία: 𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝑇 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝑎 = = = 2 𝑚/𝑠 . Για το συνολικό διάστημα κίνησης 𝑥 είναι:

𝛥𝑥 =𝑣2𝑎 ⇒ 𝑣 = 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝛥𝑥 = 6 𝑚/𝑠

Δ4) Τέλος, για το χρόνο κίνησης στη δραστηριότητα Γ έχουμε: 𝑡 = = = 3𝑠

Για το μέσο ρυθμό με τον οποίο η κινητική ενέργεια του κύβου μετατρέπεται σε θερμότητα χρειαζόμαστε το έργο της τριβής το οποίο υπολογίζουμε από το Θ.Μ.Κ.Ε. για ολόκληρη την κίνηση: 𝛥𝛫 = 𝑊 ⇔ 0− 𝑚𝑣 = 𝑊 ⇔𝑊 = − ∙ 2 ∙ 6 = −36 𝐽 . Τελικά: 𝑃 . =

𝑊𝑡 = −

363 = −12 𝑊

ΘΕΜΑ B

Β1. Μία μπάλα κινείται υπό την επίδραση μόνο του βάρους της και διέρχεται διαδοχικά από τα

σημεία Α, Β, Γ.

Α) Αφού μεταφέρετε τον παρακάτω πίνακα στην κόλλα σας να τον συμπληρώσετε. Στον

πίνακα δίνονται κάποιες από τις τιμές της κινητικής, της δυναμικής και της μηχανικής ενέργειας

της μπάλας στα σημεία Α, Β, Γ.

Σημείο Κινητική ενέργεια (J) Δυναμική ενέργεια (J) Μηχανική ενέργεια (J)

Α 80 100

Β 40

Γ 10

Μονάδες 4

Β) Να εξηγήσετε πως υπολογίσατε κάθε τιμή ενέργειας με την οποία συμπληρώσατε τον

πίνακα.

Μονάδες 8

Β2. Γερανός ασκεί σε κιβώτιο κατακόρυφη δύναμη F με την επίδραση της οποίας το κιβώτιο

κατεβαίνει κατακόρυφα με επιτάχυνση μέτρου g2, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας.


Αν η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα, τότε για το μέτρο F της δύναμης F και το

μέτρο Β του βάρους του κιβωτίου ισχύει .

α) ΒF = 2

β) F = 2�Β γ) F = Β

Μονάδες 4


Μονάδες 9

Iro Markaki

Θέματα Νο 8

ΘΕΜΑ Δ

Στο διάγραμμα του σχήματος φαίνεται

η γραφική παράσταση της τιμής της

ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο

για ένα σώμα που κινείται σε

ευθύγραμμο δρόμο.

Δ1) Να υπολογίσετε τις επιταχύνσεις α1

και α2 με τις οποίες κινείται το σώμα

κατά τα χρονικά διαστήματα 0 s – 4 s

και 8 s – 10 s αντίστοιχα.

Μονάδες 5

Δ2) Να κατασκευάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση της τιμής της

επιτάχυνσης με την οποία κινείται το σώμα σε συνάρτηση με το χρόνο, από τη χρονική στιγμή

t = 0 s έως και την χρονική στιγμή t = 10 s.

Μονάδες 6

Δ3) Να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα του σώματος κατά το χρονικό διάστημα 0 s – 10 s.

Μονάδες 7

Δ4) Αν Κ1 και Κ2 είναι οι τιμές της κινητικής ενέργειας του σώματος τις χρονικές στιγμές t1 = 2 s

και t2 = 9 s αντίστοιχα, να υπολογίσετε το λόγο 1

2

KK

.

Μονάδες 7

υ (m/s)

t (s) 4 8 10

10

20

0


ΘΕΜΑΤΑ Νο 8

Θέμα Β

Β1. Για τη συμπλήρωση του πίνακα χρησιμοποιούμε ότι η Μηχανική Ενέργεια είναι το άθροισμα της Κινητικής και της Δυναμικής ενέργειας της μπάλας. 𝛦 = 𝛫 + 𝑈. Ε πίσης, εφόσον η σφαίρα κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους της, η Μηχανική Ενέργεια διατηρείται. Με τα δεδομένα αυτά συμπληρώνουμε τον πίνακα:

Β2. Σωστή Απάντηση: α) 𝑭 = 𝟏𝟐𝜝

Το κιβώτιο κινείται με σταθερή επιτάχυνση . Επομένως, από το 2ο Νόμο Νεύτωνα έχουμε:

𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝑚𝑔 − 𝐹 = 𝑚𝑔2 ⇒ 𝐹 =

𝑚𝑔2 =

𝛣2

Θέμα Δ - Λύση: Δ1) Για τις επιταχύνσεις του σώματος ισχύει:

από 0 μέχρι 4 sec έχουμε : 𝛼 =

Δ𝑣𝛥𝑡 =

104 = 2,5 𝑚/𝑠

από 8 μέχρι 10 sec έχουμε :

𝛼 =𝛥𝑣𝛥𝑡 =

102 = 5 𝑚/𝑠

Την επιτάχυνση μπορούμε να υπολογίσουμε και από την κλίση της γραφικής παράστασης στο διάγραμμα 𝑣 − 𝑡.

Δ2) Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές και το γεγονός ότι κατά τη χρονική διάρκεια από 4 έως 10 s η ταχύτητα είναι σταθερή και συνεπώς η επιτάχυνση είναι μηδέν, κατασκευάζουμε το διπλανό διάγραμμα 𝑎 − 𝑡.

Σημείο Κινητική Ενέργεια (J) Δυναμική Ενέργεια (J) Μηχανική Ενέργεια (J) Α 20 80 100 Β 40 60 100 Γ 90 10 100

𝑡 (𝑠)

𝑎 (𝑚/𝑠 )

4 8

2,5

10

5

𝑡 (𝑠)

𝑣 (𝑚/𝑠)

4 8

10

10

20

𝐸 𝐸 𝐸


Δ3) Για να υπολογίσουμε τη μέση ταχύτητα χρειαζόμαστε το συνολικό διάστημα. Από το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου υπολογίζουμε το 𝑥 ως το εμβαδό που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της ταχύτητας και τον άξονα 𝑡. Είναι:

𝑥 = 𝛦 + 𝛦 + 𝛦 =12 ∙ 4 ∙ 10 +

(8 − 4) ∙ 10 +10 + 20

2 ∙ 2 = 20 + 40 + 30 = 90 𝑚 και για τη μέση ταχύτητα έχουμε:

𝑣 έ =𝑥𝑡 =

9010 = 9 𝑚/𝑠

Δ4) Τη χρονική στιγμή 𝑡 = 2 𝑠 η ταχύτητα του σώματος είναι: 𝑣 = 𝑎 𝑡 = 5𝑚/𝑠 ενώ τη χρονική στιγμή 𝑡 = 9 𝑠 η ταχύτητα του σώματος είναι: 𝑣 = 𝑣 + 𝑎 𝑡 = 10 + 5 = 15𝑚/𝑠 Επομένως, για το λόγο των κινητικών ενεργειών έχουμε:

𝐾𝐾 =

12𝑚𝑣12𝑚𝑣

=𝑣𝑣 =

515 =

13 =

19

ΘΕΜΑ Β Β1) Δύο μαθητές, ο Αντώνης (Α) και ο Βασίλης (Β) συνα-γωνίζονται με τα ποδήλατά τους ποιος από τους δύο μπορεί να φτάσει πρώτος να κινείται με ταχύτητα ίση με 25 km/h. Για τον λόγο αυτό σταματούν στο ίδιο σημείο ενός ευθύ-γραμμου οριζόντιου δρόμου και αρχίζουν τη χρονική στιγμή t = 0 να κινούνται παράλληλα. Στο διπλανό διάγραμμα φαί-νεται η γραφική παράσταση ταχύτητας – χρόνου για τους δύο μαθητές.

Α) Από τις παρακάτω τρεις επιλογές, να επιλέξετε αυτήν που θεωρείτε σωστή. Ο μαθητής που θα καταφέρει πρώτος να “φτάσει” τα 25 km/h, είναι: α) ο Αντώνης β) ο Βασίλης γ) κανένας από τους δύο, αφού θα φτάσουν ταυτόχρονα να κινούνται με 25 km/h

Μονάδες 4 Β) Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

Μονάδες 8 Β2) Δύο σώματα Σ1 και Σ2 έχουν ίσες μάζες και κινούνται στον ίδιο οριζόντιο δρόμο σε αντίθετες κατευθύνσεις με ταχύτητες 1υ και 2υ αντίστοιχα.

Α) Από τις παρακάτω τρεις επιλογές, να επιλέξετε αυτήν που θεωρείτε σωστή.

Αν για τα μέτρα των ταχυτήτων ισχύει υ1 = 2υ2, τότε ο λόγος 1

2

KK

των κινητικών ενεργειών των

σωμάτων Σ1 και Σ2, είναι ίσος με: α) 4 β) – 4 γ) 2


Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Δ Τα κιβώτια Κ1 και Κ2 του διπλανού σχήματος έχουν μάζες m1 = 3 kg και m2 = 5 kg αντίστοιχα και βρίσκονται αρχικά ακίνητα σε οριζόντιο δάπεδο, με το οποίο εμφανίζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής μ = 0,5. Τα κιβώτια είναι δεμένα με-ταξύ τους με ένα μη εκτατό νήμα αμελητέας μάζας, το οποίο είναι οριζόντιο και τεντωμένο. Τη χρονική στιγμή t = 0 ένας εργάτης ασκεί στο κιβώτιο Κ1 οριζόντια σταθερή δύναμη F στη διεύ-θυνση του νήματος, όπως φαίνεται στο σχήμα και μετακινεί τα κιβώτια με σταθερή επιτάχυνση α = = 1 m/s2. Δ1) Να υπολογίσετε το μέτρο της τριβής ολίσθησης που ασκείται σε καθένα κιβώτιο.

Μονάδες 6 Δ2) Να εφαρμόσετε το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής στο κιβώτιο Κ2 και να υπολογίσετε το μέ-τρο της δύναμης που ασκείται στο κιβώτιο αυτό από το νήμα.

Μονάδες 6 Δ3) Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης που ασκεί το νήμα στο κιβώτιο Κ1, από τη χρονική στιγ-μή t = 0 μέχρι τη χρονική t1 = 4 s.

Μονάδες 6

F2. 1.

$%

t

υ

Iro Markaki

Θέματα Νο 9

Δ4) Να υπολογίσετε πόσο τοις εκατό από την ενέργεια που μεταβιβάζει ο εργάτης στα κιβώτια, με-ταφέρεται ως κινητική στο κιβώτιο Κ1.

Μονάδες 7 Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2.


ΘΕΜΑΤΑ Νο 9

Β1. Σωστή Απάντηση: α) ο Αντώνης

Στο διάγραμμα 𝑣 − 𝑡 παρατηρούμε ότι οι δύο μαθητές κινούνται με σταθερή επιτάχυνση που εκφράζεται από την κλίση της ευθείας στο διάγραμμα 𝑣 − 𝑡. Επειδή η κλίση της ευθείας που αντιστοιχεί στην κίνηση του Αντώνη είναι μεγαλύτερη από την κλίση της ευθείας που αντιστοιχεί στο Βασίλη, συμπεραίνουμε ότι ο Αντώνης κινείται με μεγαλύτερη επιτάχυνση και θα είναι αυτός που θα φτάσει πρώτος την ταχύτητα των 25km/h. Β2. Σωστή Απάντηση: α) 4

Για τα δύο σώματα ισχύει: 𝑚 = 𝑚 = 𝑚 και 𝑣 = 2𝑣 . Επομένως, για το λόγο των κινητικών ενεργειών τους θα είναι:

𝐾𝐾 =

12𝑚𝑣12𝑚𝑣

=𝑣𝑣 =

2𝑣𝑣 = 4


Δ1) Από 𝛴𝐹 = 0 και για τα δύο κιβώτια προκύπτει: 𝛮 = 𝛣 και 𝛮 = 𝛣 . Επομένως για το μέτρο τριβής ολίσθησης έχουμε 𝛵 = 𝜇 𝑚 𝑔 = 15 𝑁 και 𝑇 = 𝜇 𝑚 𝑔 = 25 𝑁. Δ2) Όπως φαίνεται στο σχήμα, στο κιβώτιο (1) ασκούνται η δύναμη 𝐹, η τριβή 𝛵 και η τάση του νήματος 𝛵, ενώ στο κιβώτιο (2) ασκούνται η τριβή 𝛵 και η τάση του νήματος 𝛵. Εφαρμόζοντας το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής για το κιβώτιο (𝛫 ) έχουμε: 𝐹 − 𝑇 − 𝑇 = 𝑚 𝑎 ⇒ 𝐹 − 15 − 𝑇 = 3𝑎 (1) Αντίστοιχα, για το κιβώτιο (𝛫 ) έχουμε: 𝑇 − 𝑇 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝑇 − 25 = 5𝑎 (2) Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε: 𝐹 − 40 = 8 𝑎 ⇒ 𝐹 = 48 𝑁 αφού 𝛼 = 1𝑚/𝑠 . Από τη σχέση (1) παίρνουμε: 48 − 15 − 𝛵 = 3 ⇒ 33 − 𝛵 = 3 ⇒ 𝛵 = 30𝛮.

Δ3) Για το έργο της 𝛵 πρέπει να υπολογίσουμε το διάστημα που διανύει το κιβώτιο: Έχουμε: 𝛥𝑥 = 𝑎𝑡 = ∙ 1 ∙ 16 = 8 𝑚. Οπότε: 𝑊 = 𝛵 ∙ 𝛥𝑥 = 30 ∙ 8 = 240 𝐽

Δ4) Για το έργο της δύναμης του εργάτη είναι: 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝛥𝑥 = 48 ∙ 8 = 384 𝐽 ενώ για το έργο της τριβής είναι: 𝑊 = 𝑇 ∙ 𝛥𝑥 = 15 ∙ 8 = 120𝐽 Εφαρμόζοντας Θ.Μ.Κ.Ε έχουμε: Δ𝛫 = 𝑊 −𝑊 −𝑊 ⇔ Δ𝛫 = 384 − 120 − 240 = 24 𝐽 Επομένως το ζητούμενο ποσοστό είναι: 𝛥𝛫𝑊 100% =

24384 100% =

116100% = 6,25%

𝑇 𝑚 𝑚

𝐹 𝑇 𝛵

𝛵

ΘΕΜΑ Β Β1) Ένας σκιέρ κινείται ευθύγραμμα. Η γραφική παράσταση της θέσης του σκιέρ σε συνάρτηση με το χρόνο είναι παραβολή και παριστάνεται στο διπλανό διάγραμμα.

Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Από το διάγραμμα αυτό συμπεραίνουμε ότι το μέτρο της ταχύτητας του σκιέρ: α) αυξάνεται. β) μειώνεται γ) δε μεταβάλλεται


Μονάδες 8

Β2) Από ένα σημείο του εδάφους εκτοξεύουμε μικρή μεταλλική σφαίρα κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα μέτρου υο και φτάνει σε μέγιστο ύψος ίσο με h πάνω από το έδαφος. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Για να φτάσει η σφαίρα σε μέγιστο ύψος ίσο με 2h, πρέπει να εκτοξευτεί με ταχύτητα μέτρου: α) 2υο β) 4υο γ) ο 2υ


Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Δ Ένα σώμα με μάζα 120 kg ολισθαίνει σε οριζόντιο ευθύγραμμο δρόμο, που ταυτίζεται με τον άξονα x΄x.. Στο σώμα ασκείται δύναμη F στη διεύθυνση της κίνησης του και τη χρονική στιγ-μή t = 0, διέρχεται από τη θέση xo = – 25 m, κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Στο διπλανό διάγραμμα φαίνε-ται η γραφική παράσταση της αλγεβρικής τιμής της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος και του δρόμου είναι μ = 0,2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2. Δ1) Να υπολογίσετε το μέτρο της οριζόντιας δύναμης F , που ασκείται στο σώμα, στη χρονική διάρκεια 0 o 5 s.

Μονάδες 6 Δ2) Να υπολογίσετε το ρυθμό παραγωγής έργου από τη δύναμη F (ισχύ της δύναμηςF ), τη χρο-νική στιγμή t1 = 3 s.

Μονάδες 6 Δ3) Να προσδιορίσετε τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t2 = 10 s.

Μονάδες 6 Δ4) Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης F , στη διάρκεια του 4ου δευτερολέπτου της κίνησης του σώματος.


x

t1t

1x

0 5 10

20

(s)t

(m/s)υ

15

10

Iro Markaki

Θέματα Νο 10


ΘΕΜΑΤΑ Νο 10

Β1. Σωστή Απάντηση: α) αυξάνεται

Το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται γιατί ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος στο διάγραμμα 𝑥 − 𝑡 αυξάνεται. Δηλαδή, όσο περνά ο χρόνος ο σκιέρ διανύει ολοένα και μεγαλύτερα διαστήματα σε ίσους χρόνους. Άρα ο σκιέρ επιταχύνει. Εξάλλου η γραφική παράσταση είναι παραβολή που αντιστοιχεί σε ευθύγραμα ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.

Β2. Σωστή Απάντηση: γ) 𝒗𝟎√𝟐

Γνωρίζουμε ότι το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει ένα σώμα που εκτελεί κατακόρυφη βολή

προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 𝑣 είναι: ℎ = Για να φτάσει ένα σώμα σε ύψος ℎ = 2ℎ πρέπει να εκτοξευθεί με ταχύτητα 𝑣 ′ για την οποία:

ℎ =𝑣2𝑔 ⇔ 2ℎ =

𝑣2𝑔 ⇔ 2

𝑣2𝑔 =

𝑣2𝑔 ⇔ 𝑣 = 2𝑣 ⇒ 𝑣 = 𝑣 √2


Δ1) Για τη χρονική διάρκεια 𝑡 = 0 έ𝜔𝜍 𝑡 = 4 𝑠𝑒𝑐 η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή, επομένως θα ισχύει: 𝛴�⃗� = 0 ⇔ 𝐹 = 𝑇 ⇔ 𝐹 = 𝜇𝛮 ⇔ 𝐹 = 𝜇𝑚𝑔 = 0,2 ∙ 1200 = 240𝑁 Δ2) Για το ρυθμό παραγωγής έργου (δηλαδή για την ισχύ της δύναμης) έχουμε: 𝑃 =

𝛥𝑊𝛥𝑡 = 𝐹 ∙ 𝑣 = 240 ∙ 10 = 2400 𝑊

Δ3) Η μετατόπιση του σώματος μπορεί να υπολογιστεί από το διάγραμμα 𝑣 − 𝑡 ως το εμβαδό που περικλείεται από τη γραφική παράσταση και τον άξονα 𝑡. Είναι: 𝛥𝑥 = 𝛦 + 𝛦 = 10 ∙ 5 +

(20 + 10)2 ∙ 5

= 50 + 75 = 125 𝑚 Για τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή 𝑡 έχουμε: 𝑥 − 𝑥 = 𝛥𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝛥𝑥 + 𝑥= 125 − 25 = 100 𝑚

Δ4) Κατά τη διάρκεια του 4 sec της κίνησης η μετατόπιση είναι 𝛥𝑥 = 𝑣 ∙ 𝛥𝑡 = 10 𝑚

και το έργο της δύναμης 𝐹 είναι: 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝛥𝑥 = 240 ∙ 10 = 2400 𝐽

𝑡 (𝑠)

𝑣 (𝑚/𝑠)

5

10

10

20

𝐸

𝐸

15

ΘΕΜΑ Β Β1) Σε ένα σώμα μάζας m ασκείται σταθερή (συνισταμένη) δύναμη μέτρου F , οπότε αυτό κινείται με επιτάχυνση μέτρου α.

Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Αν η ίδια σταθερή δύναμη ασκηθεί σε σώμα μάζας 2m, τότε αυτό θα κινηθεί με επιτάχυνση μέ-τρου:

α) 2α β) 3α γ) 2a


Μονάδες 8 Β2) Από το μπαλκόνι του 1ου ορόφου, που βρίσκεται σε ύψος H από το έδαφος, ένας μαθητής αφήνει μια μπάλα να πέσει στο δάπεδο. Στην δι-πλανή εικόνα φαίνεται η μπάλα σε τρεις διαφορετικές θέσεις, η αρχική

της θέση Α, μια ενδιάμεση θέση Γ όπου 2Hh και η τελική θέση Δ στο

έδαφος ελάχιστα πριν αναπηδήσει η μπάλα. Θεωρούμε ως επίπεδο ανα-φοράς για τη δυναμική ενέργεια το έδαφος και την αντίσταση του αέρα αμελητέα.

Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Η κινητική ενέργεια της μπάλας στην ενδιάμεση θέση Γ: α) είναι ίση με την κινητική ενέργεια που έχει στη θέση Δ. β) είναι ίση με την δυναμική ενέργεια που έχει στη θέση Α.. γ) είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια που έχει στην ίδια θέση.


Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Δ Δύο σώματα Σ1 και Σ2 με ίσες μάζες 40 kg το καθέ-να, βρίσκονται στον ίδιο οριζόντιο ευθύγραμμο δρό-μο. Τη χρονική στιγμή t = 0 το Σ1 ξεκινά να κινείται από ένα σημείο του δρόμου και την ίδια στιγμή διέρ-χεται από το ίδιο σημείο το σώμα Σ2 κινούμενο με σταθερή ταχύτητα ίση με 40 m/s, στην ίδια κατεύ-θυνση με το Σ1. Στο διπλανό διάγραμμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις ταχύτητας – χρόνου για τα δύο αυτά σώματα. Δ1) Να υπολογίσετε το μέτρο της συνισταμένης δύ-ναμης που ασκείται στο Σ1 κατά τη διάρκεια της επιταχυνόμενης κίνησης που εκτελεί.

Μονάδες 6 Δ2) Να υπολογίσετε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε σώματος, από τη χρονική στιγμή t1, που φαίνεται στο διάγραμμα, μέχρι τη χρονική στιγμή t2 = 15s.

Μονάδες 6 Δ3) Να βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή t1.

Μονάδες 6 Δ4) Να εξετάσετε αν τα δύο σώματα συναντηθούν ξανά μετά τη χρονική στιγμή t = 0, και να υπο-λογίσετε ποια χρονική στιγμή θα συμβεί κάτι τέτοιο.

Μονάδες 7

0 1t

60

(s)t

(m/s)υ

15

40

1Σ

2Σ

Iro Markaki




Θέμα Β

Β1. Σωστή Απάντηση: α) 𝜶𝟐

Από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής έχουμε: 𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝐹 = 𝑚𝑎. Aν η ίδια δύναμη ασκηθεί σε σώμα διπλάσιας μάζας η επιτάχυνση θα είναι . Πράγματι:

𝐹 = 2𝑚𝑎 ⇔ 𝑎 =12 ∙

𝐹𝑚 ⇔ 𝑎 =

12𝑎

Β2. Σωστή Απάντηση: γ) «είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια που έχει στην ίδια θέση.»

Στο σημείο 𝛢 η κινητική του ενέργεια είναι: 0 και η δυναμική ενέργεια 𝑈 = 𝑚𝑔𝐻 ενώ στο σημείο Γ η κινητική του ενέργεια είναι: 𝛫 και η δυναμική ενέργεια 𝑈 = 𝑚𝑔ℎ = =

Εφόσον η μηχανική ενέργεια διατηρείται θα έχουμε: 0 + 𝑈 = 𝐾 + 𝑈 ⇔ 𝐾 = 𝑈 Άρα, στη θέση Γ η κινητική ενέργεια είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια. Θέμα Δ - Λύση:

Δ1) Από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι η επιτάχυνση του σώματος (𝛴 ) είναι: 𝛼 =

𝛥𝑣𝛥𝑡 = 4𝑚/𝑠

Επομένως, για τη συνισταμένη δύναμη έχουμε: 𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 = 160 𝑁. Δ2) Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας για το (𝛴 ) μεταξύ των χρονικών στιγμών 𝑡 και 𝑡 =15 𝑠 είναι:

𝛥𝛫 =12𝑚𝑣 − 0 =

12 ∙ 40 ∙ 3600 = 72.000 𝐽

Για το σώμα (𝛴 ) έχουμε: 𝛥𝛫 = 0 αφού κινείται ευθύγραμμα και ομαλά. Δ3) Για να υπολογίζουμε την απόσταση μεταξύ των σωμάτων βρίσκουμε τις μετατοπίσεις τους υπολογίζοντας τα εμβαδά στη γραφική παράσταση 𝑣 − 𝑡 : 𝛥𝑥 = ∙ = 450 𝑚 και 𝛥𝑥 = 40 ∙ 15 = 600 𝑚. Άρα, η μεταξύ τους απόσταση είναι: 𝛥𝑥 = |𝛥𝑥 − 𝛥𝑥 | = 150 𝑚 (Το σώμα 𝛴 προηγείται.) Δ4) Εφόσον τη χρονική στιγμή 𝑡 = 15 𝑠 το (𝛴 ) προηγείται και η συνάντηση θα γίνει μετά την 𝑡 = 15 𝑠. Αν 𝑡 είναι η χρονική στιγμή της συνάντησης τότε θα ισχύει: 𝛥𝑥 = 𝛥𝑥 Τότε θα έχουμε και ισότητα εμβαδών στο διάγραμμα 𝑣 − 𝑡. Άρα 40𝑡 = 450 + 60(𝑡 − 15) ⇒ 40𝑡 = 450 + 60𝑡 − 900 ⇒ 450 = 20𝑡 ⇒ 𝑡 = = 22,5 𝑠 Τα σώματα θα συναντηθούν μετά από 22,5 𝑠.

ΘΕΜΑ Β Β1) Ένας σκιέρ κινείται ευθύγραμμα. Η γραφική παράσταση της θέσης του σκιέρ σε συνάρτηση με το χρόνο είναι παραβολή και παριστάνεται στο διπλανό διάγραμμα.

Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Από το διάγραμμα αυτό συμπεραίνουμε ότι η κινητική ενέργεια του σκιέρ: α) αυξάνεται. β) μειώνεται γ) δε μεταβάλλεται


Μονάδες 8 Β2) Δύο αυτοκίνητα (Α) και (Β) έχουν μαζί με τους οδηγούς του ίσες μάζες και κινούνται σε ορι-ζόντιο ευθύγραμμο δρόμο. Οι οδηγοί των αυτοκινήτων κάποια στιγμή φρενάρουν και τα αυτοκίνη-τα επιβραδύνονται με την ίδια επιβράδυνση.

Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Αν το αυτοκίνητο (Α) εκινείτο αρχικά με μεγαλύτερη ταχύτητα από το (Β), τότε αυτό που θα δια-νύσει μεγαλύτερο διάστημα μέχρι να σταματήσει, είναι: α) το αυτοκίνητο (Α) β) το αυτοκίνητο (Β) γ) κανένα από τα δύο, αφού θα διανύσουν το ίδιο διάστημα.


Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Δ Στο διπλανό σχήμα φαίνονται δύο σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m1 = 6 kg και m2 = 4 kg αντίστοιχα, με το Σ2 τοποθετημένο πάνω στο Σ1. Τη χρονική στιγμή t = 0 ασκούμε στο Σ1 οριζόντια δύναμη F όπως φαίνεται στο δι-πλανό σχήμα. Τα σώματα εξαιτίας της στατικής τριβής που αναπτύσσεται μεταξύ τους κινούνται μαζί σαν ένα σώμα με σταθερή ταχύτητα, πάνω στο οριζόντιο δάπεδο προς την κατεύθυνση της δύναμης. Το μέτρο της τριβής ολίσθησης που εμφανίζεται μεταξύ του σώματος Σ1 και του δαπέδου είναι ίσο με 30 Ν και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2. Δ1) Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F .

Μονάδες 5 Δ2) Να βρείτε πόση ενέργεια πρέπει να προσφέρουμε μέσω του έργου της δύναμης F , για να μετα-κινήσουμε τα σώματα κατά 120 m.

Μονάδες 6 Δ3) Να υπολογίσετε το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος Σ1 και του οριζόντιου δαπέδου.

Μονάδες 6 Δ4) Τη χρονική στιγμή t1 απομακρύνουμε απότομα το σώμα Σ2, χωρίς να καταργήσουμε τη δύναμη F και αμέσως μετά η ταχύτητα του Σ1 είναι ίση με 10 m/s. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του σώματος Σ1, τη χρονική στιγμή t2 = t1 + 5 s.

Μονάδες 8

x

t1t

1x

F16

26

Iro Markaki


Μεθοδικό Φροντιστήριο www.methodiko.net

Βουλιαγμένης & Κύπρου 2, Αργυρούπολη, Τηλ: 210 99 40 999 Δ. Γούναρη 201, Γλυφάδα, Τηλ: 210 96 36 300


Θέμα Β

B1. Σωστή Απάντηση: α) αυξάνεται

Το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται γιατί ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος στο διάγραμμα 𝑥 − 𝑡 αυξάνεται. Δηλαδή, όσο περνά ο χρόνος ο σκιέρ διανύει ολοένα και μεγαλύτερα διαστήματα σε ίσους χρόνους. Άρα ο σκιέρ επιταχύνει. Εξάλλου η γραφική παράσταση είναι παραβολή που αντιστοιχεί σε ευθύγραμα ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. B2. Σωστή Απάντηση: α) το αυτοκίνητο Α Έστω 𝑠 , 𝑠 ο διάστημα που θα διανύσει το κάθε αυτοκίνητο μέχρι να σταματήσει. Ισχύουν: 𝑠 = 𝑣 , 𝑡 − 𝑎𝑡 και 𝑣 = 𝑣 , − 𝑎𝑡, από όπου προκύπτει ολικός χρόνος

επιβραδυνόμενης κίνησης: 𝑡 = , και έτσι έχουμε: 𝑠 = , .

Εντελώς αντίστοιχα έχουμε: 𝑠 = , . Επομένως αν 𝑣 , > 𝑣 , θα ισχύει 𝑠 > 𝑠 . Θέμα Δ - Λύση: Δ1) Εφόσον τα σώματα κινούνται με σταθερή ταχύτητα έχουμε: 𝛴𝐹 = 0 ⇒ 𝐹 = 𝑇 = 30 𝑁.

Δ2) Η ενέργεια που πρέπει να προσφέρουμε ισούται με το έργο της 𝐹 για μετατόπιση 𝛥𝑥 = 120 𝑚. Δηλαδή: 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝛥𝑥 = 30 ∙ 120 = 3600 𝐽

Δ3) Για το σώμα 𝛴 έχουμε: 𝑚 𝑔 + 𝑁 = 𝑁 (1) Όμως για το σώμα 𝛴 ισχύει: 𝑚 𝑔 = 𝑁 και λόγω της αρχής δράσης αντίδρασης προκύπτει ότι : 𝛮 = 𝛮 Άρα από τη σχέση (1) παίρνουμε: 𝑚 𝑔 +𝑚 𝑔 = 𝑁 ⇒ 𝑁 = (𝑚 +𝑚 )𝑔 = 100𝑁

και 𝑇 = 𝜇 𝛮 ⇒ 𝜇 =𝛵𝛮

= 0,3

Δ4) Εφόσον απομακρύνουμε το σώμα 𝛴 το σώμα 𝛴 θα εκτελεί επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα: 𝑣 = 10𝑚/𝑠 . Η νέα τιμή της τριβής θα είναι : 𝛵 = 𝜇𝛮 = 𝜇𝑚 𝑔 = 0,3 ∙ 60 = 18𝑁 και έτσι θα έχουμε 𝛴𝐹 = 𝑚 𝑎 ⇒ 𝐹 − 𝑇 = 𝑚 𝑎 ⇒ 12 = 6𝑎 ⇒ 𝑎 = 2𝑚/𝑠 Επομένως, η εξίσωση της ταχύτητας θα είναι: 𝑣 = 𝑣 + 𝑎𝑡′, όπου 𝑡 = 𝑡 − 𝑡 , δηλαδή ο χρόνος 𝑡′ ξεκινά να μετρά από τη χρονική στιγμή 𝑡 που απομακρύναμε το σώμα 𝛴 . Άρα, τη χρονική στιγμή 𝑡 = 𝑡 + 5 ⇒ 𝑡 = 5 η ταχύτητα είναι: 𝑣 = 10 + 2 ∙ 5 = 20 𝑚/𝑠

και η κινητική ενέργεια είναι: 𝛫 = 𝑚 𝑣 = ∙ 6 ∙ 400 = 1.200 𝐽

𝛮

𝛣 𝐹

𝛣

𝛮

𝛵 𝛮 ′

ΘΕΜΑ Β Β1) Ένα αρχικά ακίνητο σώμα, αρχίζει τη χρονική στιγμή t = 0 να κινείται ευθύγραμμα με σταθε-ρή επιτάχυνση.

Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Αν το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη χρονική στιγμή t1 είναι ίσο με υ1, τότε τη χρονική στιγ-μή t2 = 2t1 το μέτρο της ταχύτητας του είναι ίσο με:

α) 2υ1 β) 4υ1 γ) 1

2υ


Μονάδες 8 Β2) Ένας μικρός γερανός (Κλαρκ) ανυψώνει ένα κιβώτιο μάζας m από το έδαφος και το τοποθετεί στην καρότσα ενός φορτηγού που βρίσκεται σε ύψος 1,2 m πάνω από το έδαφος (διαδρομή 1). Στη συνέχεια ένας εργάτης σπρώχνει το κιβώτιο και το μετακινεί οριζόντια πάνω στην καρότσα κατά 4 m και το μεταφέρει στο άλλο άκρο της καρότσας (διαδρομή 2).

Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Αν W1 και W2 είναι το έργο βάρους του κιβωτίου στις διαδρομές (1) και (2) αντίστοιχα, τότε ισχύει: α) W1 = W2 β) W1 < W2 γ) W1 > W2


Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Δ Ένα αυτοκίνητο με μάζα 900 kg κινείται σε οριζό-ντιο ευθύγραμμο δρόμο, που ταυτίζεται με τον ά-ξονα x΄x. Τη χρονική στιγμή to = 0, το αυτοκίνητο κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα, διέρχεται από τη θέση xo = + 25 m. Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της αλ-γεβρικής τιμής της ταχύτητας του αυτοκινήτου σε συνάρτηση με το χρόνο, από τη χρονική στιγμή tο = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t4 = 25 s. Δ1) Να προσδιορίσετε το χρονικό διάστημα κατά το οποίο το αυτοκίνητο επιβραδύνεται.

Μονάδες 5 Δ2) Να υπολογίσετε το μέτρο της συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται στο αυτοκίνητο, από τη χρονική στιγμή tο = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t1 = 5 s.

Μονάδες 6 Δ3) Να προσδιορίσετε τη θέση του αυτοκινήτου τις χρονικές στιγμές t2 = 15 s και t4 = 25 s.

Μονάδες 6 Δ4) Να υπολογίσετε το συνολικό έργο των δυνάμεων που ασκούνται στο αυτοκίνητο, από τη χρο-νική στιγμή tο = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t4 = 25 s.

Μονάδες 8

0

20

(s)t

(m/s)υ

15

10

20 255

20�

Iro Markaki





Θέμα Β

Β1. Σωστή Απάντηση: α) 𝟐𝒗𝟏

Για την ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα ισχύει: 𝑣 = 𝑎𝑡, οπότε για τη χρονική στιγμή 𝑡 είναι: 𝑣 = 𝑎 𝑡 ενώ για τη χρονική στιγμή 𝑡 είναι: 𝑣 =𝑎 𝑡 ⇔ 𝑣 = 𝑎 ∙ 2𝑡 ⇔ 𝑣 = 2𝑣 .

Β2. Σωστή Απάντηση: β) 𝑾𝟏 < 𝑾𝟐

Το έργο του βάρους για την ανύψωση του κιβωτίου είναι αρνητικό (𝑊 < 0) ενώ το έργο του βάρους για μια οριζόντια μετατόπιση του κιβωτίου είναι μηδέν (𝑊 = 0).

Θέμα Δ - Λύση: Η χρονική διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησης είναι: 𝛥𝑡 = 20 − 15 = 5 𝑠, όπου παρατηρούμε από το διάγραμμα 𝑣 − 𝑡 ότι η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας μειώνεται. Από τη χρονική στιγμή 𝑡 = 20𝑠 και μετά έχουμε αλλαγή της κατεύθυνσης κίνησης και επιτάχυνση του σώματος προς την αντίθετη κατεύθυνση. Δ2) Για τη χρονική διάρκεια 0 − 5 𝑠 από το διάγραμμα, έχουμε ότι: 𝛼 = = = 2 𝑚/𝑠 οπότε για τη συνισταμένη δύναμη είνει: 𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝛴𝐹 = 1800 𝑁 Δ3) Ο υπολογισμός των θέσεων στις οποίες βρίσκονται τα αυτοκίνητα γίνεται μέσα από τον υπολογισμό των εμβαδών στο διάγραμμα 𝑣 − 𝑡. Από 0 έως 15 𝑠 είναι:

𝛥𝑥 =20 + 10

2∙ 5 + 20 ∙ 10 = 275 𝑚

Οπότε: 𝑥 − 𝑥 = 𝛥𝑥 ⇒ 𝑥 = 25 + 275 = 300 𝑚 Από 15 𝑠 έως 20 𝑠 είναι: 𝛥𝑥 = 𝛦 = ∙ = 50 𝑚 και τέλος από 20 𝑠 έως 25 𝑠 είναι: 𝛥𝑥 = 𝛦 = − ∙ = −50𝑚. Δηλαδή, τη χρονική στιγμή 𝑡 το σώμα βρίσκεται στην ίδια θέση (𝑥 = 𝑥 = 300 𝑚) που βρισκόταν και τη χρονική στιγμή 𝑡 . Εξάλλου, από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι τα εμβαδά 𝛦 , 𝛦 καθώς και τα αντίστοιχα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα, η συνολική μετατόπιση για τη χρονική διάρκεια 15 𝑠 έως 25 𝑠 είναι μηδέν. Δ4) Για το συνολικό έργο μπορούμε να εφαρμόσουμε Θ.Μ.Κ.Ε. από την αρχική έως την τελική θέση: 𝛫 − 𝛫 = 𝑊 ⇒ 𝑊 = 𝑚𝑣 − 𝑚𝑣 ⇒ 𝑊 = ∙ 900 ∙ [(−20) − 10 ]

⇒ 𝑊 =12∙ 900 ∙ (400 − 100) ⇒ 𝑊 =

12∙ 900 ∙ 300 ⇒ 𝑊 = 135000 𝐽.

𝑡 (𝑠)

𝑣 (𝑚/𝑠)

5 15

10

20

𝐸

𝑬𝟐

𝐸 25 20

−20

ΘΕΜΑ Β Β1) Από το μπαλκόνι του 1ου ορόφου, που βρίσκεται σε ύψος H από το έδαφος, ένας μαθητής αφήνει ελεύθερη μια μπάλα να πέσει στο δάπεδο. Στην διπλανή εικόνα φαίνεται η μπάλα σε τρεις διαφορετικές θέσεις. Στην αρχική της θέση Α, σε μια ενδιάμεση θέση Γ και στην τελική θέση Δ στο έδαφος ελάχιστα πριν ακινητοποιηθεί. Θεωρούμε ως επίπεδο α-ναφοράς για τη δυναμική ενέργεια το έδαφος και την αντίσταση του αέ-ρα αμελητέα.

Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Η μηχανική ενέργεια της μπάλας: α) είναι μηδέν στη θέση Α και μέγιστη στη θέση Δ. β) είναι μέγιστη στη θέση Α και μηδέν στη θέση Δ. γ) έχει την ίδια τιμή και στις τρεις παραπάνω θέσεις.


Μονάδες 8 Β2) Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου, για δύο σώματα Σ1 και Σ2 που κινούνται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση, σε οριζόντιο δρόμο.

Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t1, το διά-στημα που έχει διανύσει το σώμα Σ1, είναι: α) ίσο με το διάστημα που έχει διανύσει το σώμα Σ2. β) διπλάσιο από το διάστημα που έχει διανύσει το σώμα Σ2. γ) ίσο με το μισό του διαστήματος που έχει διανύσει το σώμα Σ2.


Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Δ Ένα κιβώτιο μάζας 8 kg βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε ένα σημείο οριζόντιου δαπέδου. Τη χρονική στιγμή t = 0 ένας μαθητής ασκεί στο κιβώτιο οριζόντια δύναμη F , και το κιβώτιο αρχίζει να κινεί-ται κατά μήκος μιας ευθείας που ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x΄x. Η αλγεβρική τιμή της δύ-ναμης μεταβάλλεται με τη θέση x του σώματος, σύμφωνα με τη σχέση 100 20F x � , (όπου F σε Ν και x σε m) μέχρι τη στιγμή που μηδενίζεται και στη συνέχεια καταργείται. Το κιβώτιο βρίσκεται αρχικά στη θέση xο = 0 του άξονα και κατά την κίνηση του δέχεται από το δάπεδο σταθερή δύναμη τριβής μέτρου 30 Ν. Δ1) Να προσδιορίσετε τη θέση του κιβωτίου στην οποία μηδενίζεται το μέτρο της δύναμης F .

Μονάδες 5 Δ2) Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης F , από τη χρονική στιγμή t = 0, μέχρι τη χρονική στιγμή που μηδενίζεται.

Μονάδες 6 Δ3) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του κιβωτίου τη χρονική στιγμή που μηδενίζεται η δύναμη F .

Μονάδες 6 Δ4) Να βρείτε πόσο διάστημα διανύει το κιβώτιο επιβραδυνόμενο, στη χρονική διάρκεια που ενερ-γεί η δύναμη F .

Μονάδες 8

υ

t1t

1υ

1Σ

2Σ

0

12υ

Iro Markaki





Θέμα Β – Λύση:

Β1. Σωστή Απάντηση: γ) «έχει την ίδια τιμή και στις τρεις παραπάνω θέσεις.»

Στη μπάλα που εκτελεί ελεύθερη πτώση από το μπαλκόνι ασκείται μόνο το βάρος της, που είναι συντηρητική δύναμη. Συνεπώς, για όλη τη διάρκεια της κίνησης η μηχανική ενέργεια της μπάλας διατηρείται σταθερή.

Β2. Σωστή Απάντηση: γ) «διπλάσιο από το διάστημα που έχει διανύσει το 𝜮𝟐.»

Από το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου για να συγκρίνουμε το διάστημα που έχει διανύσει το κάθε σώμα, υπολογίζουμε τα αντίστοιχα εμβαδά: 𝛦 και 𝛦 .

Είναι: 𝛦 = ∙ 𝑡 ∙ 𝑣 και 𝛦 = ∙ 𝑡 ∙ 2𝑣 = 2𝛦


Δ1) Η δύναμη καταργείται στη θέση 𝑥 όπου: 𝐹 = 0 ⇒ 100 − 20𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 5 𝑚. Δ2) Επειδή η δύναμη είναι μεταβλητή, για να υπολογίσουμε το έργο της κατασκευάζουμε το διάγραμμα 𝐹 − 𝑥 και στη συνέχεια βρίσκουμε το εμβαδό που περικλείεται από τη γραφική παράσταση και τον άξονα 𝑥′𝑥. 𝑊 = 100 ∙ 5 = 250 𝐽 Δ3) Εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Κ.Ε από την αρχική θέση έως τη θέση 𝑥 = 5 παίρνουμε:

𝛫 − 𝛫 = 𝑊 −𝑊 ⇒12𝑚𝑣 − 0 = 250 − 30 ∙ 5 ⇒ 4𝑣

= 100 ⇒ 𝑣 = 5𝑚/𝑠 Δ4) Η κίνηση αρχίζει να γίνεται επιβραδυνόμενη αμέσως μετά τη χρονική στιγμή που η 𝐹 γίνεται ίση με την τριβή. Αυτό συμβαίνει στη θέση όπου 𝐹 = 30 ⇒ 30 = 100 − 20𝑥 ⇒ 20𝑥 = 70 ⇒ 𝑥 = 3,5 𝑚. Αφού η δύναμη καταργείται στη θέση 𝑥 = 5 𝑚 το κιβώτιο διανύνει επιβραδυνόμενο 𝛥𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = 1,5 𝑚.

𝑡 (𝑠)

𝑣 (𝑚/𝑠) 𝛴

𝑣

𝑡

𝑬𝟐

𝑬𝟏

2𝑣

𝛴

𝑥 (𝑚)

𝐹 (𝑁) 100

5

𝑬𝟏

ΘΕΜΑ Β

Β1) Ένα αυτοκίνητο κινείται κατά μήκος ενός ευθύ-γραμμου οριζόντιου δρόμου, ο οποίος θεωρούμε ότι ταυτίζε-ται με τον οριζόντιο άξονα x΄x. Στο διπλανό διάγραμμα παρι-στάνεται η θέση του αυτοκινήτου σε συνάρτηση του χρόνου.

Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Η μετατόπιση του αυτοκινήτου στην κίνηση που περιγράφεται στο διπλανό διάγραμμα είναι ίση με: α) 140 m β) 60 m γ) – 40 m


Μονάδες 8

Β2) Σε ένα αρχικά ακίνητο σώμα ασκείται οριζόντια συνισταμένη δύναμη μέτρου F και κινείται σε οριζόντιο δάπεδο. Αν το σώμα μετατοπιστεί κατά Δx, τότε το μέτρο της ταχύτητας που αποκτά είναι ίσο με υ.

Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Αν στο σώμα ασκείται συνισταμένη δύναμη μέτρου 4F και μετατοπιστεί στο ίδιο οριζόντιο δάπεδο κατά Δx, τότε το μέτρο της ταχύτητας που αποκτά είναι ίσο με:

α) 2υ β) 4υ γ) 2υ


Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Δ Ένα σώμα μάζας m = 20 kg, ισορροπεί ακίνητο σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Τη χρονική στιγμή to = 0 ασκούνται σ’ αυτό τρεις οριζόντιες συγγραμμικές δυνάμεις 1 2, F F και 3F . Οι δυνάμεις 1 2, F F , έ-

χουν την ίδια κατεύθυνση και μέτρα 35 Ν και 45 Ν, αντίστοιχα, ενώ η 3F , έχει αντίθετη κατεύθυν-ση από τις άλλες δύο. Το σώμα αρχίζει να κινείται με σταθερή επιτάχυνση προς την κατεύθυνση των 1 2, F F , και τη χρο-νική στιγμή t1 = 6 s έχει διανύσει διάστημα ίσο με 45 m. Να υπολογίσετε: Δ1) το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος στη χρονική διάρκεια 0 o t1.

Μονάδες 6 Δ2) το μέτρο της δύναμης 3F .

Μονάδες 6 Τη χρονική στιγμή t1, καταργούμε μία από τις τρεις παραπάνω δυνάμεις. Το σώμα. συνεχίζει την κίνησή του και από τη χρονική στιγμή to = 0, μέχρι τη στιγμή t2 = 10 s, έχει διανύσει συνολικά διά-στημα ίσο με 137 m. Δ3) Να προσδιορίσετε και να δικαιολογήσετε ποια δύναμη καταργήσαμε.

Μονάδες 8 Δ4) Να υπολογίσετε το ολικό έργο των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα στη χρονική διάρκεια από 0 o t2.

Μονάδες 5

� �t s0

� �x m

5 10 15 18

50

40�

Iro Markaki




ΘΕΜΑΤΑ Νο 15 Θέμα Β – Λύση:

Β1. Σωστή απάντηση: γ) –𝟒𝟎 𝒎

Το σώμα ξεκινά από τη θέση 𝑥 = 0 και μετά από χρόνο 𝑡 = 15 𝑠 επιστρέφει στη θέση 𝑥 = 0. Κινούμενο προς την αρνητική κατεύθυνση τη χρονική στιγμή 𝑡 = 18 𝑠 βρίσκεται στη θέση 𝑥 =−40 𝑚. Άρα η συνολική μετατόπιση του αυτοκινήτου είναι: 𝛥𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = −40 − 0 = −40 𝑚

Β2. Σωστή απάντηση: α) 𝟐𝒗

Για να βρούμε την τελική ταχύτητα που αποκτά το σώμα, εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε. και στις δύο περιπτώσεις:

𝐾 − 𝛫 = 𝑊 ⇔12𝑚𝑣 − 0 = 𝐹 ∙ 𝛥𝑥 ⇔ 𝑣 =

2𝑚∙ 𝐹 ∙ 𝛥𝑥

𝐾 ′ − 𝛫 = 𝑊 ⇔12𝑚𝑣′ − 0 = 4𝐹 ∙ 𝛥𝑥 ⇔ 𝑣′ =

2𝑚∙ 4𝐹 ∙ 𝛥𝑥

Άρα συμπεραίνουμε ότι: 𝑣′ = 4𝑣 ⇒ 𝑣 = 2𝑣.


Δ1) Έχουμε: 𝑥 = 𝑎𝑡 ⇒ 45 = 𝑎 ∙ 36 ⇒ 𝑎 = ⇒ 𝑎 = 2,5 𝑚/𝑠

Δ2) Επίσης ισχύει ότι: 𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 ⇒ 35 + 45 − 𝐹 = 20𝑎 ⇒ 80 − 𝐹 = 50 ⇒ 𝐹 = 30 𝑁

Δ3) Για τη χρονική διάρκεια από 𝑡 = 6 έω𝜍 𝑡 = 10 έχουμε: 𝛥𝑥′ = 137 − 45 = 92 𝑚.

Η αρχική ταχύτητα για την κίνηση αυτή είναι: 𝑣 = 𝑎𝑡 = 2,5 ∙ 6 = 15 𝑚/𝑠 ενώ η εξίσωση της μετατόπισης είναι: 𝑥 = 𝑣 𝑡 + 𝑎𝑡 ⇒ 92 = 15 ∙ 4 + 𝛼 ∙ 16 ⇒ 92 − 60 = 8𝛼 ⇒ 𝛼 = 4 𝑚/𝑠

Επομένως, από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής έχουμε: 𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝛴𝐹 = 80 𝑁 = 𝐹 + 𝐹 που σημαίνει ότι τη χρονκή στιγμή 𝑡 καταργήθηκε η δύναμη 𝐹 .

Δ4) Τη χρονική στιγμή 𝑡 το σώμα έχει ταχύτητα: 𝑣 = 𝑣 + 𝑎 𝑡 = 15 + 16 = 31 𝑚/𝑠 και εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Κ.Ε παίρνουμε:

𝛫 − 𝛫 = 𝑊 ⇒ 𝑊 =12∙ 20 ∙ 31 − 0 ⇒ 𝑊 = 10 ∙ 961 = 9610 𝐽

𝐹 𝐹 𝐹

𝑎

45𝑚

𝐹 𝐹

𝑎′

ΘΕΜΑ Β Β1) Ένας αλεξιπτωτιστής που έχει μαζί με τον εξοπλισμό του συνολική μάζα Μ, πέφτει από αε-ροπλάνο που πετάει σε ύψος Η. Αφού ανοίξει το αλεξίπτωτο, κινούμενος για κάποιο χρονικό διά-στημα με σταθερή ταχύτητα, προσγειώνεται στο έδαφος.

Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Αν g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας τότε η μηχανική ενέργεια του αλεξιπτωτιστή, τη χρονική στιγμή που φτάνει στο έδαφος είναι: α) ίση με MgH. β) μικρότερη από MgH. γ) μεγαλύτερη από MgH.


Μονάδες 8 Β2) Στο διπλανό διάγραμμα παριστάνεται η ταχύτητα σε συνάρ-τηση με το χρόνο για δύο αυτοκίνητα Α και Β που κινούνται ευθύ-γραμμα, στον ίδιο οριζόντιο δρόμο.

Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Τα διαστήματα sΑ και sΒ, που έχουν διανύσει τα αυτοκίνητα Α και Β αντίστοιχα, στη χρονική διάρκεια 10 to , ικανοποιούν τη σχέση: α) As s% β) Β 2s s$ γ) A 2s s%


Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Δ Τα σώματα Σ1 και Σ2 του διπλανού σχήματος, έχουν μάζες m1 = 15 kg και m2 = 25 kg αντίστοιχα. Τα σώματα είναι δε-μένα μεταξύ τους με ένα μη εκτατό νήμα μήκους l = 2 m, αμελητέας μάζας και βρίσκονται ακίνητα στο οριζόντιο δά-πεδο με το νήμα τεντωμένο. Τη χρονική στιγμή t = 0 ασκείται στο Σ1 οριζόντια σταθερή δύναμη F και τα σώματα αρχίζουν να κινούνται με σταθερή επιτάχυνση η οποία έχει μέτρο ίσο με 2 m/s2, ενώ το νήμα παραμένει τεντωμένο και οριζόντιο. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ των σωμά-των και του δαπέδου είναι μ = 0,4. Δ1) Να υπολογίσετε το μέτρο της τριβής ολίσθησης που ασκείται σε κάθε σώμα..

Μονάδες 6 Δ2) Να εφαρμόσετε το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής στο σώμα Σ2 και να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκείται στο σώμα Σ2 από το νήμα.

Μονάδες 6 Δ3) Να υπολογίσετε την ενέργεια που μεταβιβάζεται στα σώματα μέσω του έργου της δύναμης F , από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι τη χρονική t1 = 4 s.

Μονάδες 6 Δ4) Τη χρονική στιγμή t1 = 4 s κόβεται το νήμα, χωρίς να πάψει να ασκείται η δύναμη F . Να υπο-λογίσετε την απόσταση μεταξύ των σωμάτων Σ1 και Σ2, τη χρονική στιγμή t2 = 7 s.


F26 16

υ

t1t

1υ

A

Β

0

Iro Markaki





Θέμα Β – Λύση:

Β1. Σωστή Απάντηση: β) «μικρότερη από 𝜧𝒈𝑯.»

Στον αλεξιπτωτιστή εκτός από το βάρος του ασκείται και η αντίσταση του αέρα που δεν είναι συντηρητική δύναμη. Επομένως, η μηχανική ενέργεια δε διατηρείται και η τελική μηχανική ενέργεια είναι μικρότερη από την αρχική μηχανική ενέργεια που ισούται με 𝑀𝑔𝐻. (Αρχικά ο αλεξιπτωτιστής είχε: 𝛦 = 𝛫 + 𝑈 = 0 + 𝑈 = 𝑀𝑔𝐻). Εξάλλου καθώς ο αλεξιπτωτιστής κινείται με σταθερή ταχύτητα, η κινητική του ενέργεια μένει σταθερή, ενώ η δυναμική του ενέργεια μειώνεται καθώς πλησιάζει προς το έδαφος. Οπότε η μηχανική ενέργεια μειώνεται.

Β2. Σωστή Απάντηση: β) « 𝒔𝑩 = 𝒔𝑨.»

Το σώμα Α εκτελεί ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι: 𝑠 = 𝑎𝑡 , ενώ η εξίσωση της ταχύτητας είναι: 𝑣 = 𝑎𝑡. Τη χρονική στιγμή 𝑡 όπου τα δύο

σώματα έχουν κοινή ταχύτητα θα ισχύει: 𝑡 = οπότε και 𝑠 = 𝑎 = .

Το σώμα Β κινείται ευθύγραμμα και ομαλά, με 𝑠 = 𝑣 𝑡. Οπότε για 𝑡 = 𝑡 είναι: 𝑠 = = 2𝑠 .


Δ1) Γνωρίζουμε ότι: 𝛮 = 𝛣 = 𝑚 𝑔 = 150 𝑁 και 𝛮 = 𝛣 = 𝑚 𝑔 = 250 𝑁. Επομένως για το μέτρο της τριβής ολίσθησης που ασκείται σε κάθε σώμα έχουμε: 𝛵 = 𝜇 𝛮 = 0,4 ∙ 150 = 60 𝛮 και 𝛵 = 𝜇𝛮 = 0,4 ∙ 250 = 100 𝛮

Δ2) Για το σώμα (𝛴 ) έχουμε : 𝛵 − 𝛵 = 𝑚 𝑎 ⇒ 𝑇 = 𝑇 +𝑚 𝑎 ⇒ 𝑇 = 100 + 25 ∙ 2 = 150 𝑁. Δηλαδή, η δύναμη που ασκείται στο δεύτερο σώμα μέσω του νήματος είναι 150 𝛮.

Δ3) Αρχικά υπολογίζουμε τη μετατόπιση του σώματος μεταξύ των χρονικών στιγμών 𝑡 = 0 έως 𝑡 = 4 𝑠. Είναι: 𝛥𝑥 = 𝑎𝑡 = ∙ 2 ∙ 16 = 16 𝑚. Στη συνέχεια υπολογίζουμε το μέτρο της δύναμης 𝐹 εφαρμόζοντας για το σώμα (𝛴 ) το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής: 𝐹 − 𝑇 − 𝑇 = 𝑚 𝑎 ⇒ 𝐹 = 150 + 60 + 15 ∙ 0,4 ⇒ 𝐹 = 216 𝑁.

Οπότε για το έργο της δύναμης έχουμε: 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝛥𝑥 = 216 ∙ 16 = 3456 𝐽

𝑇

𝐵 𝐵

𝐹 𝑇 𝛵

𝛵

𝑁 𝑁 �⃗�



Δ4) Αν κοπεί το νήμα και υπό την επίδραση της δύναμης 𝐹 το (𝛴 ) εξακολουθεί να επιταχύνει. Στην περίπτωση αυτή για την επιτάχυνση έχουμε: 𝐹 − 𝑇 = 𝑚 𝛼 ⇒ 216 − 60 = 15𝛼

⇒ 𝛼 = = 10,4 𝑚/𝑠 και αρχική ταχύτητα 𝑣 = 𝑎 𝑡 = 8 𝑚/𝑠.

Το διάστημα που διανύει το σώμα (𝛴 ) για τη χρονική διάρκεια 𝑡 = 4 έως 𝑡 = 7 𝑠 δίνεται από τη σχέση: 𝛥𝑥 = 𝑣 𝛥𝑡′ + 𝛼 𝛥𝑡′ = 8 ∙ 3 + ∙ 10,4 ∙ 9 = 70,8 𝑚 (1), όπου 𝛥𝑡′ = 7 − 4 = 3 𝑠 .

Στο (𝛴 ) ασκείται μόνο η τριβή και επομένως αυτό επιβραδύνεται με 𝛼 = = = 4𝑚/𝑠 και

το διάστημα που διανύει είναι: 𝛥𝑥 = 𝑣 𝛥𝑡′ − 𝛼 𝛥𝑡′ (2)

Η σχέση (2) ισχύει για το διάστημα που το σώμα επιβραδύνεται έως ότου σταματήσει. Πρέπει να ελέγξουμε πότε σταματά. Η ταχύτητά του δίνεται από την εξίσωση: 𝑣 = 𝑣 − 𝑎 𝑡′, όπου ο χρόνος 𝑡′ μετρά από τη χρονική στιγμή που κόβεται το νήμα.

Για 𝑣 = 0 προκύπτει: 𝛼 𝑡 ′ = 𝑣 ⇔ 𝑡 ′ = = 2 𝑠. Επομένως το 𝛴 σταματά το 6ο s έχοντας

διανύσει: 𝛥𝑥 = 𝑣 𝑡 − 𝛼 𝑡 = 8 ∙ 2 − ∙ 4 ∙ 2 = 8 𝑚

Tα σώματα απέχουν: 𝛥𝑠 = 𝑙 + 𝛥𝑥 − 𝛥𝑥 = 2 + 70,8 − 8 = 64,8 𝑚.

Παρατήρηση: το θέμα αυτό είναι ιδιαίτερα απαιτητικό σε σχέση με άλλα θέματα!

𝐵 𝐵

𝐹 𝛵 𝛵

𝑁 𝑁

𝒗𝟐 = 𝟎 �⃗�𝟏

𝒕 = 𝟕s

𝐵 𝐵

𝐹 𝛵

𝛵

𝑁 𝑁 �⃗�𝟐 �⃗�𝟏

𝒕 = 𝟒𝒔

𝛥𝑥

𝛥𝑥

𝛥𝑠

𝑙

Απαντήσεις - methodiko-frontistirio.gr · ΘΕΜΑ Δ Δύοκιβώτια Α καιΒ...

Documents

Transcript of Απαντήσεις - methodiko-frontistirio.gr · ΘΕΜΑ Δ Δύοκιβώτια Α καιΒ...