Exercice I : La montée en voiture Une voiture de masse 1200kg (considérée comme un point matériel !) monte une côte à α=5? avec une vitesse constante de v=36 km/h. a)- Calculez le travail que fournit le moteur en 5 min. b)- Quelle est la puissance développée par le moteur Solution : a)- Le mouvement de l’automobile le long de la cote est du à la force F exercée par le moteur et la composante selon X de la force de pesanteur Px Px = -mgsinα D’après le principe fondamental de la dynamique. F-mgsinα=ma Comme le mouvement es uniforme on a : F =mgsinα = 1023 Ν La vitesse de l'automobile étant de V=36km/h = 10m.s-1, elle aura parcouru une distance d = 3000 m en 5 min. Comme la force F est colinéaire au déplacement, le travail est donné par : W = F.d=1023×3000 = 3.069×106 J b)- La puissance est définie comme le travail par unité de temps soit : P= W / t= 1.023 × 103 W (Watt = J.s-1) La puissance peut être aussi définie comme le produit d’une force par une vitesse : P = F.s = 1.023 × 103 W

N = mg cos α

Y

F = mg sin α

Px = - mg sin α

Py = - mg cos α P = mg

α

X

Exercice II : Collision avec ressort

Un bloc se déplace (m1 = 2kg ) se déplace vers la droite avec une vitesse de 4 m/s sur une

piste horizontale sans frottement lorsqu’il rentre en collision avec un second bloc (m2 = 8kg ) animé d’une vitesse de 3 m/s vers la gauche. Sur le cote de celui-ci, un ressort de masse négligeable et de raideur 5000 N/m est accroché contre l’un des blocs. L’énergie emmagasiné d’un ressort comprimé de dx est Ep =1/2.k.x2

1) Pendant un instant les deux blocs restent immobiles l’un par rapport à l’autre, la

compression du ressort est alors maximum. A quelle vitesse se déplace l’ensemble ? 2) De quelle longueur dx le ressort a-t-il diminué et quelle la quantité d’énergie

emmagasinée par le ressort. 3) Déterminer les vitesses après le choc des deux blocs, d’abord dans le référentiel du centre

de masse puis dans le référentiel fixe. Le choc est élastique ou bien ? Correction 1) Ecrivons la conservation de la quantité de mouvement pour le système m1 et m2 sur lequel n’intervient aucune force extérieure.

1 1 2 2 1 2( )m v m v m m V− = + 1.6 /V m s= −

en considérant maintenant la conservation de l’énergie mécanique entre le début du mouvement et la collision, on peut écrire.

2 2 2 21 1 2 2

1 1 1 1( )

2 2 2 2m v m v MV k dx+ = +

ici on suppose qu’au moment de la collision les deux masses sont collées et donc ont la même vitesse. On trouve alors dx =12.5 cm et Ep=39.2 J 2) On considère un référentiel dont la vitesse est identique à celle du centre de masse de l’ensemble . Dans celui-ci la quantité de mouvement à la fin de la collision est nulle. Soit la première équation : la conservation de l’énergie nous donne :

(1) 1 1 2 2 0f fm v m v+ =uur uuur r

(2) 2 2 21 1 2 2

1 1 1( )

2 2 2f fm v m v k dx+ =

En remplaçant 1 2 2f fv m v= − /m1 = -4 2 fv dans la dernière équation on obtient ds le CM

2 1.4fv = m/s 1 fv = -5.6 m/s choc inélastique puisque les vitesses de sortie sont différentes.

M1 M2

Exercice III : Choc de deux billes Une bille de masse 200 g rentre en collision avec une autre de masse 400 g et de la même forme et taille. Avant le choc la première bille se déplaçait le long de l’axe x à une vitesse de 15 m/s, tandis que la deuxième se déplaçait le long de l’axe y à une vitesse de 10 m/s. Après la collision la première bille part dans la direction positive de l’axe y, calculez la vitesse de chacune des billes (donner les deux composantes ou la norme et l’angle avec l’un des axes). Considérez que le choc est parfaitement élastique.

SOLUTION

Soit 1 la bille de 200 g et 2 l’autre. Comme il s’agit d’un choc élastique, l’énergie cinétique, ainsi que la quantité de mouvement de système se conservent. Le système étant constitué par les deux billes. Donc, on aura que :

cfci EE = (1)

fi PPrr

= (2)

22i2

21i1

2ci

1cici vm

21

vm21

EEE +=+= (3)

22

f2

21f1

2cf

1cfcf vm

21

vm21

EEE +=+= (4)

2i

1ii PPP

rrr+= (5)

2f

1ff PPP

rrr+= (6)

Les indices 1 et 2 correspondent aux masses 1 et 2 et les indices i et f représentent les moments avant et après la collision. En remplaçant les équations 3 et 4 dans 1, on obtient l’expression de la conservation de l’énergie. Quant à l’équation 2, vu que c’est une équation vectorielle, elle contient en fait, 3 égalités, c’est-à-dire, une pour chaque axe de coordonnées. D’autre part, comme les billes ont la même taille et il n’y a pas de vitesse initiale selon l’axe z, on sait que le mouvement, tant avant le choc, comme après celui-ci, aura lieu dans le plan x-y, donc, seulement les équations pour ces axes seront considérées.

1i1

2ix2

1ix1

2ix

1ixix vmvmvmPPP =+=+= (7)

2i2

2iy2

1iy1

2iy

1iyiy vmvmvmPPP =+=+= (8)

2fx2

2fx2

1fx1

2fx

1fxfx vmvmvmPPP =+=+= (9)

2fy2

1f1

2fy2

1fy1

2fy

1fyfy vmvmvmvmPPP +=+=+= (10)

Les indices x et y donnent les composants des vecteurs selon les axes respectifs. On a aussi considéré que la vitesse finale de la bille 1 est dirigée le long de l’axe x. C’est pourquoi elle n’apparaît pas dans l’expression de la composante x de la quantité de mouvement. En faisant l’égalité entre 7 et 9, et puis entre 8 et 10, on obtient les expressions des équations de conservation de la quantité de mouvement :

2fx2

1i1 vmvm = (11)

2fy2

1f1

2i2 vmvmvm += (12)

De 11 on peut directement déduire :

1i

2

12fx v

mm

v = (13)

Et de 12 on peut exprimer, par exemple 2

fyv :

1f

2

12i

2fy v

mm

vv −= (14)

Appelons 2

1

mm

=η le rapport des masses, 14 devient :

1f

2i

2fy vvv η−= (14.1)

On peut également modifier 13 :

1i

2fx vv η= (13.1)

Maintenant faisant l’égalité entre 3 et 4 on obtient l’équation de conservation de l’énergie cinétique :

22f2

21f1

22i2

21i1 vm

21

vm21

vm21

vm21

+=+ (15)

D’ici on peut exprimer 21

fv :

η−

η+=

22f

22i21

i

21f

vvvv (16)

Ici il faut se rendre compte que les deux vitesses initiales, ainsi que la vitesse finale de la bille 1 sont parallèles aux axes. Par contre, dans le cas de la bille 2 elle a, en général, deux composantes. Donc, sa norme au carré est égale à la somme des carrés de ses deux composantes.

( ) ( )η

+−

η+=

22fy

22fx

22i21

i

21f

vvvvv (16.1)

( )22fxv et ( )22

fyv peuvent être remplacés par leurs expressions respectives 13.1 et 14.1 Après avoir

fait ce remplacement on peut exprimer 21

fv :

21f

1f

2i

22i21

i

22i21

i

21f vvv2

vv

vvv η−+

η−η−

η+= (16.2)

( ) ( ) 0v1vv2v121

i1f

2i

21f =−η+−+η (16.2)

Les solutions pour cette équation sont :

( )( )1

v1vvv

21i

222i

2i1

f +η

−η−±= (16.3)

En remplaçant les valeurs numériques pour les vitesses initiales et le rapport des masses on obtient :

1fv = 17,6 m/s et 1

fv = -4,3 m/s (16.4)

C’est donné dans l’énoncé du problème que la bille 1 part dans les y positifs, donc, la première solution est celle que l-on cherche. De 13 : 2

fxv = 7,5 m/s Et de 14.1 : 2

fyv = 1,2 m/s

L’étude expérimentale de la chute d’une bille sphérique de masse m, de rayon r, abandonnée sans vitesse dans le champ de pesanteur uniforme (g = 10 m s-2 ) montre que la vitesse varie avec le temps suivant la loi v = V th kt (V , k constantes) avec th x = ( 1 – e -2x ) / ( 1 + e -2x ). La résistance de l’air est de la forme f = K a r2 v2 (K = coefficient sans dimension qui dépend de la forme de la bille).

1) L’expérience montre l’existence d’une vitesse limite 40 m/s. En déduire la valeur de k.

2) a) Exprimer la force résultante agissant sur la bille en fonction de son pids et du rapport v/V. b) En déduire la valeur du coefficient (m = 30 g, r = 1 cm, a = 1.3 g/l)

3) Exprimer la variation de l’énergie mécanique totale de la bille entre les instants t et t + dt.

4) Calculer le chemin parcouru au bout de 2 s de chute, et comparer au chemin théorique calculé en négligeant la résistance de l’air. On donne th x dx = ln ch x + cte, avec ch x = ( ex + e-x )/2