Contam-se com os dados da filtração em laboratório de uma suspensão de CaCO3 em água a 298,2 K (25°C) e a uma pressão constante (∆∆∆∆p) de 338 kN /m2.

Exercício:

Avaliação das Constantes para Filtração à Pressão

Constante

Área do filtro prensa de placa-e-marco A = 0,0439 m2

Concentração de alimentação cs = 23,47 kg/m3

Calcule as constantes αααα e Rm a partir dos dados

experimentais de volume de filtrado (m3) versus tempo de

filtração (s). Estime o tempo necessário para filtrar 1m3

da mesma suspensão em um filtro industrial com 1m2 de

área. Se o tempo limite para essa filtração fosse de 1h,

qual deveria ser a área do filtro?

Tempo (s) Volume (m3)

4,4 0,498 x 10-3

9,5 1,000 x 10-3

16,3 1,501 x 10-3

24,6 2,000 x 10-3

34,7 2,498 x 10-3

46,1 3,002 x 10-3

59,0 3,506 x 10-3

73,6 4,004 x 10-3

89,4 4,502 x 10-3

107,3 5,009 x 10-3

)(2 pA

cK s

p ∆=

µα

)( pA

RB m

∆=

µ

A = 0,0439 m2

cs = 23,47 kg/m3

µ = 8,937 x 10-4 Pa.s (água a 298,2 K)

(∆∆∆∆p) = 338 kN/m2

VpA

RV

pA

c

t m

s

)(2

)( 22

∆+

∆=

µµα

Dados são usados para obter t/V

Solução:

tV x 103 (t/V) x 10-3

4,4 0,498 8,84

9,5 1,000 9,50

16,3 1,501 10,86

24,6 2,000 12,30

34,7 2,498 13,89

46,1 3,002 15,36

59,0 3,506 16,83

73,6 4,004 18,38

89,4 4,502 19,86

107,3 5,009 21,42

t/V

V

Dados são usados para obter t/V

Solução:

B = 6400 s/m3

Kp/2 = 3,00 x 106 s/m6

Kp = 6,00 x 106 s/m6

kgmx

x

x

pA

cxK s

p

/10863,1

)10338()0439,0(

)47,23()()10937,8(

)(1000,6

11

32

4

2

6

=

=∆−

==−

α

ααµ

110

m

3

m

4

m

m10x10,63R

)10x(338 0,0439

))(R10x(8,937

∆p)A(

µR6400B

−

−

=

=−

==

3000000∆X

∆Y≅

BX10 x 3Y 6 +=

Solução:

VpA

RV

pA

ct ms

)()(2

2

2 ∆+

∆=

µµα

1)10 338(1

)10 63,10)(10 937,8(1

)10 338(12

)47,23()10 x 863,1()10 x 937,8(3

1042

32

11-4

x

xx

xxxt

−

+=

horas segundos t 68,178,6061 ==

Solução:

VpA

RV

pA

ct ms

)()(2

2

2 ∆+

∆=

µµα

2

2

2

3,1

057102863600

3600

2865710

mA

AA

st

AAt

=

=−−

=

+=

Compressibilidade da torta

Torta incompressível (α = constante): um aumento na vazão acarreta em um aumento proporcional da queda de pressão (∆p), ou seja, para dobrar a vazão da filtração, deve-se dobrar (∆p).

Torta compressível (α = f(∆p)): um aumento na vazão acarreta em um aumento maior que o proporcional da queda de pressão (∆p), ou seja, para dobrar a vazão da filtração, deve-se utilizar uma (∆p) maior que o dobro.Equação empírica comumente utilizada:

s é o fator de compressibilidadevaria entre 0,2 e 0,8, na prática.

s = 0 para torta incompressível

+

∆=

ms RA

Vc

p

dtA

dV

αµ

( )sp∆= 0αα

Filtrações a pressão constante foram realizadas para uma suspensão de CaCO3 em H2O sendo obtidos os resultados apresentados na tabela. A superfície total de filtração foi 440 cm², a massa de sólidos por volume de filtrado foi de 23,5 g/L e a temperatura foi de 25 oC (µH2O=0,886x10-3kg/[m s]). Calcule os valores de α e Rm em função da diferença de pressão e elabore uma correlação empírica entre α e ∆P.

Exercício:

Experimento: 1 2 3 4 5∆P 5x104 1x105 2x105 4 x105 8 x105

V(L) t1 t2 t3 t3 t50,5 13,7 8,2 4,9 2,9 1,71 46,7 28,2 17,2 10,4 6,3

1,5 99,1 60,2 36,7 22,3 13,62 170,8 104,1 63,7 38,8 23,6

2,5 261,8 159,9 97,9 59,8 36,53 372,2 227,5 139,4 85,3 52,1

3,5 307,1 188,3 115,3 70,54 398,6 244,5 149,8 91,7

4,5 308,1 188,8 115,65 378,9 232,3 142,4

5,5 280,4 171,96 332,9 204,1

V t1/V t2/V t3/V t4/V t5/V0,0005 27391 16333 9844 5870 34810,001 46728 28236 17172 10380 62580,0015 66065 40140 24499 14891 90340,002 85402 52043 31826 19401 118110,0025 104739 63946 39153 23912 145870,003 124076 75849 46481 28422 173640,0035 87753 53808 32933 201400,004 99656 61135 37443 229170,0045 68463 41953 256930,005 75790 46464 284700,0055 50974 312470,006 55485 34023

Solução:

Regressão linear:

t/V=aV+B � a= Kp/2=cαµ/(2A2∆p), B=Rmµ/(A∆p)

α= α0 ∆ps � log(α)=log(α0) + s log(∆p)

Solução:

Regressão linear:

t/V=aV+B � a=cαµ/(2A2∆p), B=Rmµ/(A∆p)

α= α0 ∆ps � log(α)=log(α0) + s log(∆p)

∆P a (s/m^6) B(s/m^3) α(m/kg) Rm(1/m) log(∆p) log(α)

5 x104 3,8674x107 8054,5 3,6x1011 2,0x1010 4,69897 11,55582

1 x105 2,3806x107 4430,0 4,43x1011 2,2x1010 5,00000 11,64613

2 x105 1,4655x107 2517,0 5,45x1011 2,5x1010 5,30103 11,73644

4 x105 9,0210x106 1359,2 6,71x1011 2,7x1010 5,60206 11,82675

8 x105 5,5530x106 704,8 8,26x1011 2,8x1010 5,90309 11,91706

log(α0)=10,146 � α0 = 1,4x1010 m/kg

s=0,3

3,010104,1 P∆⋅=α

Um filtro prensa com a área de abertura do quadro igual a 1 m2 e espessura do quadro de 1 cm utiliza 20 quadros para filtrar a suspensão de CaCO3 utilizada no ensaio anterior. Admitindo que a pressão compressiva utilizada seja de 300 kPa, que a massa específica da torta (seca) formada seja de ρtorta=1600 kg/m

3 e a do CaCO3seja ρsólido=2800 kg/m

3.

a) Calcule a área total de filtração;b) Calcule o volume total dos quadros;c) Calcule a porosidade ε da torta;d) Calcule o volume total de filtrado a ser coletado até que os quadros fiquem cheios;e) Calcule o tempo de filtração total até que os quadros fiquem cheios (considere que tenha sido utilizado a mesma lona filtrante do experimento apresentado no exercício anterior).Solução:

a) A = 2 (lados) x 1 (área de 1 lado) x 20 (quadros) = 40 m2

b) Vquadros

= 1 (área de 1 lado) x 10-2 (espessura) x 20 (quadros) = 0,2 m3

c) ε=Vporos

/Vtorta

= (Vtorta

-Vsólidos

)/Vtorta

=1-Vsólidos

/Vtorta

ε= 1-(m/ρsólido)/(m /ρtorta) = 1-ρtorta /ρsólido = 1-1600/2800 = 0,43

d) Vtorta

=Vquadros

=0,2m3;

mtorta

=ρtorta Vtorta= 1600 x 0,2 = 320 kg

V=mtorta

/c= 320/23,5=13,6 m3

e) α=α0∆Ps=1,4 1010 x (3 105)0,3=6,16 1011 m/kg

Por interpolação: Rm= 2,6 1010 m-1

a= cαµ/(2A2∆P) = 23,5x6,16 1011x0,886 10-3/(2 x 402 x 3 105)=13,36 s/m6

b=Rmµ/(A∆P)= 2,6 1010 0,886 10-3/(40x3 105)=1,92 s/m3

t =aV2+bV=13,36 x 13,62 + 1,92 x 13,6 = 2497 s = 41,6 min

Exercício:

• Aplicados a filtros de tambor rotativo a vácuo;• Alimentação, o filtrado e a torta se movem com mesma velocidade.• Resistência do meio filtrante é desprezível, quando comparada a resistência da torta, logo, Rm pode ser considerado zero.

Para caso particular de um filtro rotatório a vácuo, o tempo t é menor que o tempo total do ciclo tc:

t = f tc

Onde f é a fração do ciclo usada para formação da torta. No filtro rotatório, f é a fração submersa da superfície do tambor na suspensão.

2

2 )(2V

pA

ct s

∆−=

µα

Filtração Contínua

Exercício:

Um filtro de tambor rotativo, estando 33% submerso, será usado para a filtração da suspensão do exercício 1. Calcule a área do filtro necessária para se obter 0,12 m3 de filtrado por ciclo de filtração, sabendo que: - Será usada uma queda de pressão de 67 kPa;- A resistência do meio filtrante pode ser desprezada;-O tempo de ciclo de filtração é de 250 s.

Solução:

Equação da filtração contínua a pressão constante:

t=µαcV2/(2A2∆p)

t=f tc=0,33x250 = 82,5 s

α=α0∆Ps=1,4 1010 x (67 103)0,3=3,93 1011 m/kg

A=[µαcV2/(2t∆P)]0,5=[0,886 10-3 x 3,93 1011 23,5 x 0,12^2/(2 x 82,5 x 67 103)]0,5

A=3,26 m2

Filtração a velocidade (ou vazão) constante

+

∆=

ms RA

Vc

p

dtA

dV

αµ

constantevelocidade ====tA

V

dtA

dVu

( ) ctuPPs

m

2

0

1 µα=∆−∆ −

( ) ( ) ( )cuPPst m2

0loglog1log µα−∆−∆−=

Sendo:

mm Pperdat

V

A

R∆== filtrante meio no pressão de

µ

ctuPP m

2αµ=∆−∆

( )smPP ∆−∆= 0αα

Considerando a seguinte equação empírica para torta compressível:

Obtém-se:

Obtém-se:

Linearizando:

• Alimentação do filtro é feita por uma bomba de deslocamento positivo.

A seguinte tabela apresenta os dados experimentais obtidos em uma filtração a

vazão constante de uma suspensão de MgCO3 em água. A velocidade de

filtração foi de 0,0005 m/s, a viscosidade do filtrado foi de 0,00092 kg/(ms) e a

concentração da suspensão era 17,3 kg/m³. Calcule os parâmetros de filtração

Rm, s e α0.

Exercício:

∆P(KPa) t(s)30,3 1034,5 2044,1 3051,7 4060 50

70,3 6081,4 7093,1 80104,8 90121,3 100137,9 110

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 20 40 60 80 100 120

t (s)

∆∆ ∆∆P

(kP

a)

110109,50005,000092,0

27000 −⋅=⋅

=∆

= mu

PR m

m µ

( ) ( ) ( )cuPPst m2

0loglog1log µα−∆−∆−=

3243,06757,01 =−=s

kg

m107,5

3,170005,000092,0

10 9

2

3584,1

0 ⋅=⋅⋅

=α

Determinação de ∆Pm:

Extrapolando a curva de ∆P versus t, obtem-se uma estimativa aproximada de 27 kPa:

Cálculo de Rm:

Determinação de α0 e s: