Erzwungene Schwingungen

Inhalt:

• Aufbau zur Erzeugung erzwungener Schwingungen

• Resonanz– Phase– Amplitude

• Ein zu harmonischen Schwingungen fähiges System mit Eigenfrequenz ω0

• Ein antreibendes System mit frei wählbarer Frequenz ω

• Beide Systeme werden über eine Feder gekoppelt

Aufbau

Zwei über eine Feder gekoppelte Oszillatoren:Antrieb (rot) und angetriebener Oszillator (blau)

Kopplungs-Feder

Antriebsfrequenz kleiner als Oszillatorfrequenz

Antriebsfrequenz kleiner als Oszillatorfrequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht

Praktisch gleichphasige Auslenkungen

Antriebsfrequenz höher als Oszillatorfrequenz

Antriebsfrequenz höher als Oszillatorfrequenz: Kopplungsfeder wird stark beansprucht

Auslenkung in Gegenphase

Antriebsfrequenz gleich Oszillatorfrequenz: Führt ohne Dämpfung zur Resonanz-Katastrophe

Antriebsfrequenz gleich als Oszillatorfrequenz: Jede Schwingung überträgt Energie vom Antrieb in den angetriebenen Oszillator

Phasenverschiebung π/2, Auslenkung wächst mit jeder Periode an

Resonanz

• Resonanz, falls Antriebsfrequenz gleich Eigenfrequenz– Die Amplitude wächst bei jeder Schwingung

und führt ohne Dämpfung zur „Resonanzkatastrophe“

• Unabhängig von der Dämpfung „springt“ die Phase an der Resonanzstelle

Versuch

• Erzwungener Oszillator mit unterschiedlicher Antriebsfrequenz

Film

• Resonanz der Tacoma Narrow Bridge

• Quelle im Internet z. B. :

http://www.enm.bris.ac.uk/anm/tacoma/tacoma.html

0,00,5

1,0

1,5

2,01,4

1,21,0

0,80,6

0,40,2

0,0

0

2

4

Am

plitu

de

Dämpf

ung

Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz

Amplitude einer erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit von dem Verhältnis zwischen Antriebs- und Eigenfrequenz und der Dämpfung. Die Resonanzkurve wird mit abnehmender Dämpfung schärfer

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,02,5

2,01,5

1,00,5

0,0

0

50

100

150

Pha

se z

wis

chen

Ant

rieb

und

Osz

illat

or

Däm

pfung

Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz

Phase zwischen Antrieb und Schwingung des Systems in Abhängigkeit von dem Verhältnis zwischen Antriebs- und Eigenfrequenz und der Dämpfung.

Amplitude, falls Antriebsfrequenz

kleiner als die Oszillatorfrequenz

0,00,5

1,0

1,5

2,01,4

1,21,0

0,80,6

0,40,2

0,0

0

2

4

Am

plitu

de

Dämpf

ung

Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz

Bereich im Amplituden-Diagramm:

•Keine Dämpfung

•Antriebs- kleiner als die Eigenfrequenz ω < ω0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,02,5

2,01,5

1,00,5

0,0

0

50

100

150

Pha

se z

wis

chen

Ant

rieb

und

Osz

illat

or

Däm

pfung

Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz

Bereich im Amplituden-Diagramm:

•Keine Dämpfung

•Antriebs- kleiner als die Eigenfrequenz ω < ω0

Phase, falls Antriebsfrequenz

kleiner als die Oszillatorfrequenz

Amplitude, falls Antriebsfrequenz

größer als die Oszillatorfrequenz

0,00,5

1,0

1,5

2,01,4

1,21,0

0,80,6

0,40,2

0,0

0

2

4

Am

plitu

de

Dämpf

ung

Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz

Bereich im Amplituden-Diagramm:

•Keine Dämpfung

•Antriebs- größer als die Eigenfrequenz ω > ω0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,02,5

2,01,5

1,00,5

0,0

0

50

100

150

Pha

se z

wis

chen

Ant

rieb

und

Osz

illat

or

Däm

pfung

Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz

Bereich im Amplituden-Diagramm:

•Keine Dämpfung

•Antriebs- größer als die Eigenfrequenz ω > ω0

Phase, falls Antriebsfrequenz

größer als die Oszillatorfrequenz

Amplitude, falls Antriebsfrequenz

gleich der Oszillatorfrequenz

0,00,5

1,0

1,5

2,01,4

1,21,0

0,80,6

0,40,2

0,0

0

2

4

Am

plitu

de

Dämpf

ung

Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz

Bereich im Amplituden-Diagramm:

•Keine Dämpfung

•Antriebs- gleich der Eigenfrequenz ω = ω0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,02,5

2,01,5

1,00,5

0,0

0

50

100

150

Pha

se z

wis

chen

Ant

rieb

und

Osz

illat

or

Däm

pfung

Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz

Bereich im Amplituden-Diagramm:

•Keine Dämpfung

•Antriebs- gleich der Eigenfrequenz ω = ω0

Phase, falls Antriebsfrequenz

gleich der Oszillatorfrequenz

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,02,5

2,01,5

1,00,5

0,0

0

50

100

150

Pha

se z

wis

chen

Ant

rieb

und

Osz

illat

or

Däm

pfung

Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz

Phase zwischen Antrieb und Schwingung des Systems in Abhängigkeit von dem Verhältnis zwischen Antriebs- und Eigenfrequenz und der Dämpfung.

Zusammenfassung

• Ein schwingungsfähiges System ist über eine Feder an einen periodischen Antrieb gekoppelt

• Die Anregung prägt dem System seine Frequenz auf• Antriebsfrequenz < Eigenfrequenz: Gleichphasige

Auslenkung, Amplitude wird vom Antrieb vorgegeben• Resonanz, falls Antriebsfrequenz = Eigenfrequenz

– Der Antrieb überträgt bei jeder Bewegung Energie auf das schwingende System, die Folge ist:

– Die Amplitude wächst bei jeder Schwingung und führt - ohne Dämpfung - zur „Resonanzkatastrophe“

• Unabhängig von der Dämpfung „springt“ die Phase an der Resonanzstelle

• Antriebsfrequenz > Eigenfrequenz: Gegenphasige Auslenkung, die Amplitude wird bei zunehmender Frequenz oberhalb der Resonanzstelle beliebig klein– Das angetriebene System „kommt nicht mehr mit“

finis