Einführung in Moderne Portfolio-Theorie -...

Einführung in Moderne Portfolio-Theorie

Dr. Thorsten OestOktober 2002

2© 2002 d-fine All rights reserved.12. Juli 2002

Portfolio-Theorie

Einleitung

Überblick

Grundlegende Frage bei Investitionen:

Wie bestimmt sich eine optimale Strategie für eine Geldanlage?

1. Rendite und Risiko

2. Diversifikation

3. Einführung in Moderne Portfolio-Theorie – „Portfolio Selection“ , Harry Markowitz (1959)

– Harry Markowitz, Merton Miller und William Sharpe: Nobelpreis 1990


Portfolio-Theorie

Grundbegriffe

Grundbegriffe

• Die Qualität einer Investition wird über die Rendite und das Risikogemessen.

• Rendite:Prozentualer Wertzuwachs pro Jahr

• Risiko:Verschiedene Ansätze zum Messen des Risikos

– Varianz (wird in der Regel verwendet)

– Höhere Momente ⇒ Absicherung gegen hohe Verluste

– Lower partial Moment ⇒ Post-Moderne Portfolio-Theorie

• Bei einem Portfolio sollte die Rendite maximal und das Risiko minimal sein.

)()()()( 1

i

iii tS

tStStR −= +

[ ]22ttt RR −=σ


Portfolio-Theorie

Grundbegriffe

Beispiele für Geldanlagen

≈ 20 %≈ 6 - 13 %Aktien (DAX)≈ 0 %≈ 4 %Festgeld (AAA)RisikoRenditeAsset

• Je höher das Risiko, desto höher wird die Rendite erwartet.

• Preis des Risikos: λ = (Rendite – risikolose Zinsrate) / Risiko– skaliert mit

– Für Aktien schwer zu schätzen, da Rendite große Fehler hat. Mit Rendite über Zinsenrate von 2-9 % ⇒ λ ≈ 2-9 % / 20 % = 0.1 –0.45

t∆


Portfolio-Theorie

Grundbegriffe

Zeitentwicklung Return / Risk

λ = 0.5

λ = 0.4

λ = 0.3

λ = 0.1

λ = 0.2


Portfolio-Theorie

Diversifikation

Diversifikation

505050

Preis

30 %13 % Aktie 320 %10 %Aktie 210 %7 %Aktie 1RisikoRenditeAsset

• Annahme: Preise sind nicht korreliert

• Portfolio aus je einer der drei Aktien:– Rendite: R = (R1 + R2 + R3) / 3 = 10 %

– Risiko:

⇒ Diversifikation reduziert das Risiko, sofern Korrelationen ≠ 1

% 5.1231 2

322

21 ≈++⋅= σσσσ


Portfolio-Theorie

Moderne Portfolio-Theorie

Moderne Portfolio-TheorieAnnahmen:

– Preisänderungen (Renditen) sind normalverteilt.– Kovarianzmatrix und Rendite sind zeitunabhängig und bekannt.

ProblemstellungGesucht wird das optimale Portfolio für eine Geldanlage:– Bei vorgegebenem Risiko ist die Rendite maximal.– Bei vorgegebener Rendite ist das Risiko minimal.

Weiteres Vorgehen:1. Rendite und Volatilität des Portfolios.2. Beispiel für zwei Aktien3. Lösung des Problems für n Aktien.4. Berücksichtigung einer risikolosen Anlage (Renten).


Portfolio-Theorie


Rendite und Volatilität des Portfolios

• Preise seinen auf normiert (keine Einschränkung der Allgemeinheit).

• Investition von 1 Währungseinheit in n Aktien mit Anteil λ i.

Normierung: Wert des Portfolios:

Rendite:

11

=∑=

n

iiλ

[ ]

∑

∑

=

=Π

⋅=

−∆+⋅=−∆+Π=Π

Π−∆+Π=n

iii

n

iii

R

ttSttt

tttR

1

11)(

11)(

)()()(

λ

λ

1)( =tSi

∑=

⋅=Πn

iii S

1)()( τλτ


Portfolio-Theorie


∑=

Π ⋅=n

iii RR

1λVolatilität des Portfolios

Falls Volatilität klein, ist σlog-Return ≈ σReturn:

Volatilität der Gesamtrendite:

Kovarianzmatrix:

Korrelationsmatrix:

RSSSS StSσσσ

µσ =⋅≈⋅

∆⋅+≈ ∆

00/ln

110

∑∑∑==

Π

=

Π ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=∂∂⋅⋅

∂∂=

n

jiijijii

n

jijiji

j

n

jiij

iR R

RRR

1,1,1,

2 σλρσλλσλσσ

( ) ( )jjiiij RRRR −⋅−=σ

( ) ( )( ) ( )22

jjii

jjiiij

RRRR

RRRR

−⋅−

−⋅−=ρ


Portfolio-Theorie


Rendite / Volatilität für zwei Aktien

Return:

Volatilität der Gesamtrendite:

100 % korreliert:

100 % antikorreliert:

2211 RRR ⋅+⋅= λλ

22

22122211

21

21

2

1,

2 2 σλρσλσλσλσλρσλσ ⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅⋅⋅= ∑=ji

ijijiiR

( )22211

21, σλσλσ ρ ⋅+⋅==R

( )22211

21, σλσλσ ρ ⋅−⋅=−=R


Portfolio-Theorie


Rendite / Volatilität für zwei Aktien

ρ = 1ρ = 0ρ = -1

Bei 100 % Antikorrelation kann ein risikofreies Portfolio gebildet werden.


Portfolio-Theorie


Rendite / Volatilität für drei AktienDrei unkorrelierte Aktien:

1. Kombiniere 2 Aktien wie eben gezeigt.

2. Kombiniere die 3. Aktie mit den möglichen Portfolien der ersten beiden Aktien.


Portfolio-Theorie


Rendite / Volatilität für n Aktien

Beispiel mit 6 Aktien:

Korrelationsmatrix:

VolatilitätRen

25 %20 %18 %13 %15 %10 %13 %12 %9 %10 %7 %5 %dite

654321

10.70.30.10.20.46

0.710.30.20.40.15

0.30.310.30.40.34

0.10.20.310.4-0.13

0.20.40.4010.52

0.40.10.3-0.10.511

654321ρij


Portfolio-Theorie


Rendite / Volatilität für n Aktien

Minimiere Volatilität bei fester Rendite ⇒ Effizienzlinie

Effizienzlinie

Bereich möglicher Portfolien

λ i < 0 erlaubt⇒ Leerverkäufe


Portfolio-Theorie


Ermittlung der EffizienzlinieBestimme λ i durch Minimierung der Volatilität

unter den Nebenbedingungen:

Methode der Lagrange-Multiplikatoren:

gesucht: λ i, α und β

min1,

2 =⋅⋅=⋅⋅= ∑=

λσλλσλσrr

ijT

n

jijijiR

λλrv

⋅==∑=

111

n

ii RRR

n

iii

rr⋅=⋅=∑

=Π λλ

1

( ) ( ) min11 =⋅−⋅+⋅−⋅+⋅⋅= Π

rrrrrrλβλαλσλ RRL ij

T


Portfolio-Theorie


( ) ( ) min11 =⋅−⋅+⋅−⋅+⋅⋅= Π

rrrrrrλβλαλσλ RRL ij

T

(1) 1-R-20rrr

r ⋅⋅⋅⋅=∂∂= βαλσλ ijLAbleitung nach λ i :

Ableitung nach α, β:

(1) ⇒

(1,2) ⇒

(1,3) ⇒

(3) 110rr

⋅−=∂∂= λβL

(2) R0rr

⋅−=∂∂= Π λα

RL

( ) ( )∑ −−− ⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅=j

ijjijij R 111

211R

21 σβσαβασλ

rrr

( )

( )∑

∑

⋅+⋅=⋅+⋅⋅⋅=

⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

−−

−−Π

jiijjij

jiijijiji

cbR

baRRRR

,

11

,

11

211

21

βασβσα

βασβσα


Portfolio-Theorie


(2) 1

=

⋅

ΠRcbba

βα

(1) 1-R-20rrr

⋅⋅⋅⋅= βαλσ ij

⋅

−

−⋅

−⋅=

⋅

=

ΠΠ−

11

1 2

1 Rabbc

bcaR

cbba

βα

(2) Auflösung nach α, β:

βασλβλαλσλ −⋅−⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ΠΠ RTTij

T 22 1-R-20rrrrrr(1) Volatilität:

( )βασ +⋅⋅=⇒ ΠΠ R21 2

( ) aRbRcbca

+⋅⋅−⋅−⋅⋅

= ΠΠΠ 22

1 2

2σEffizienzlinie ⇒


Portfolio-Theorie


Berücksichtigung von Anleihen

Anleihen haben • feste Rendite (Zinssatz)• kein Risiko (bei guten Schuldnern).

Portfolio mit einer Aktie (R, σ) und einer Anleihe (R0, σ0):Rendite:

Volatilität:

000 )1( RRRRR ⋅−+⋅=⋅+⋅=Π λλλλ

σλσσρλλσλσλσ ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=Π 0020

20

22 2

ΠΠΠ

Π ⋅−+=⋅

−+⋅= σ

σσσ

σσ 0

001 RRRRRR⇒


Portfolio-Theorie


Berücksichtigung von Anleihen

KapitalmarktlinieMarktportfolio


Portfolio-Theorie


KapitalmarktlinieMarktportfolio

tan-1 θ

Kapitalmarktlinie: Menge der optimalen Portfolien

Marktpreis des Risikos Θ: Maximales Verhältnis von (Rendite – Zinsrate) / Risiko


Portfolio-Theorie


RRrr

⋅=Π λBestimmung des Marktportfoliosλσλσrr

⋅⋅=Π ijT

Bestimme λ i des Marktportfolios durch Maximierung von

( )

λσλ

λ

σ

λrr

⋅⋅

−⋅=

⋅−=Θ

∑∑=

Π

=Π

ijT

n

iii

n

ii RRRR

10

10

Zunächst keine Einschränkung für Σ λi , da Θ unabhängig von der Normierung ist.

( ) ( )1z 221110 0

120

rrrrrrrr ⋅−⋅=⋅Θ≡⇒⋅⋅⋅Θ⋅−⋅−⋅=

∂Θ∂= −

ΠΠΠ

RRRR ijij σλσ

λσσσλ

Θ⇒=⇒Θ=

∑∑Π

iii

i zzzrr

λσ

Nebenbedingung Σ λi = 1:


Portfolio-Theorie


Beispiel einer Portfolio-OptimierungBeispiel mit 6 Assets:

8.2 %

8.0 %

5.3 %

11.5 %

10.1 %

9.1 %

-

KVG-1

1.9 %

5.4 %

15.1 %

10.1 %

13.0 %

0 %

6.1 %

4 %

hist.Rendite

-39 %

-29 %

100 %

76 %

90 %

-98 %

-

-

λ i

0.66

1.28

0.57

1.05

0.78

1.31

-

-

hist.Beta

36.9 %

52.1 %

34.5 %

42.5 %

37.6 %

53.7 %

36.4 %

0 %

hist.Volatilität

26 %

-70 %

-34 %

136 %

74 %

-33 %

-

λ i

Thyssen Krupp

Siemens

Schering

Deutsche Bank

BMW

Allianz

DAX

Anleihe

Quelle: www.comdirect.deVolatilitäten, Beta-Faktoren aus der

Historie des letzen Jahres.

Rendite = historische Rendite der letzten 10 Jahre

KGV-1 = Mittelwerte der Gewinn-Kurs-Verhältnisse für 2002, 2003

Werte vom 7.10.2002

iIndexiii RR εβα +⋅+=Capital Asset Pricing Model: α: spezifische Renditeε: spezifische Schwankung

2, Indexjiiji σββσ ⋅⋅=≠⇒

http://www.comdirect.de/


Portfolio-Theorie


Portfolio-Optimierung mit historischen Renditen

Θ = 0.60

Allianz (-0.98)

Siemens (-0.29)

Dt. Bank (0.76)

Thyssen (-0.39)

BMW (0.9)

Schering (1.0)


Portfolio-Theorie


Portfolio-Optimierung mit Kurs-Gewinn-Verhältnis

Θ = 0.24

Allianz (-0.33)

Siemens (-0.70)

Dt. Bank (1.36)

Thyssen (0.26)

BMW (0.74)

Schering (0.34)


Portfolio-Theorie

Zusammenfassung:

Moderne Portfolio-TheorieAnnahmen

• Preisänderungen sind normalverteilt und stationär.• Renditen, Volatilitäten und Korrelationen sind bekannt.

Portfolio-Optimierung• Für vorgegebene Rendite oder vorgegebenes Risiko gibt es ein optimales Portfolio.• Das Risiko ändert sich linear mit der Volatilität

⇒ Marktpreis des Risikos

Anwendbarkeit ist beschränkt, da die Vorhersage der zukünftigen Renditen schwierig ist.

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