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EES-20: Sistemas de Controle II

04 Setembro 2017 - Parte 1

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Margens de estabilidade

Lei de controle: u(t) = −Kx(t) + Fr(t)

r t u t y t

x t

F

K

r t u tF

K

x t Ax t Bu t Cx t y t

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r t u tF

K

x t Ax t Bu t Cx t y t

Introduzindo a notacao ψ = Kx , pode-se redesenhar o diagrama de blocosna seguinte forma:

r t u tF Kx t Ax t Bu t

C

x t

y t

t

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Para analise de estabilidade da malha de controle, pode-se considerarapenas os elementos destacados abaixo:

Kr t u t

F x t Ax t Bu t

C

x t

y t

t

Portanto, pode-se realizar a analise considerando o seguinte diagrama:

Kr t u t

F x t Ax t Bu tx t

t

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Kr t u t

F x t Ax t Bu tx t

t

Considerando estas equacoes de estado e saıda:

x = Ax + Bu, ψ = Kx

pode-se escrever a seguinte funcao de transferencia:

H(s) =Ψ(s)

U(s)= K (sI − A)−1B

R s U sF H s

s

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R s U sF H s

s

Se a malha for estavel, a robustez da estabilidade dependera da distanciaentre a curva H(jω), ω ∈ R, e o ponto crıtico (−1, 0) no plano complexo(pelo criterio de Nyquist).

Terminologia: Neste caso, esta sendo analisada a robustez considerando amalha aberta na entrada da planta.

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Exemplo: Sistema de levitacao magnetica

Fonte deCorrente

i

f

mg

Ele

troí

mã

h

v

h = v

mv = mg − f , f = Kfi2

h2

Entrada: u = i

Saıda: y = h

Estados: x1 = h, x2 = v

7 / 40


Modelo linearizado em torno de uma posicao de equilıbrio h:

δx = Aδx + Bδu

A =

0 1

2g

h0

, B =

0

−2

h

√Kf g

m

Valores adotados neste exemplo:

m = 0,02 kg, g = 9,8 m/s2, Kf = 1× 10−4 Nm2/A2, h = 0,02 m

A =

[0 1

980 0

], B =

[0

−22,1

]

Matriz A com autovalores em ±31,3 (dinamica instavel em malha aberta)

Par (A,B) controlavel8 / 40


Projeto por alocacao de polos:

• Fator de amortecimento ξdes = 0,9

• Frequencia natural ωn,des = 10 rad/s

tr (0− 100%) =π − acos(ξ)

ωn

√(1− ξ2)

= 0,62 s

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>> A = [0 1;980 0];

>> B = [0;-22.1];

>> csi = 0.9; wn = 10;

>> p = roots([1 2*csi*wn wn^2]);

>> K = place(A,B,p);

K =

-48.8688 -0.8145

10 / 40


x2

x2

y1

Integrator

1s

Integrator

1s

22.1

980

u1

x1dx1/dtdx2/dt

To Workspace

y

Planta

u

y

xConstant

0

K* u

Condicao inicial: x1(0) = 0,01 m, x2(0) = 0 m/s.

11 / 40


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2

0

2

4

6

8

10

12x 10

−3

t (s)

y (

m)

12 / 40


Introducao de ganho α na entrada da planta:

To Workspace

y

Planta

u

y

xConstant

0 alfa

K* u

13 / 40


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2

0

2

4

6

8

10

12x 10

−3

t (s)

y (

m)

alfa = 1.0

alfa = 0.95

alfa = 0.90

14 / 40


>> sys_H = ss(A,B,K,0);

>> nyquist(sys_H)

>> margin(sys_H)

15 / 40


−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Nyquist Diagram

Real Axis

Ima

gin

ary

Axis

16 / 40


−40

−20

0

Magnitude (

dB

)

100

101

102

103

104

−180

−135

−90

Phase (

deg)

Bode DiagramGm = −0.844 dB (at 0 rad/s) , Pm = 10.2 deg (at 10.8 rad/s)

Frequency (rad/s)

PM = 10,2◦

GM = −0.844 dB

>> 10^(-0.844/20)

ans =

0.9074

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Calculo da margem de ganho

A =

[0 1

980 0

], B =

[0

−22,1

], K =

[−48,87 −0,8145

]

H(s) = K (sI − A)−1B =18s + 1080

s2 − 980⇒ H(jω) =

18jω + 1080

−ω2 − 980

∠H(jωcg ) = −180◦ ⇒ ωcg = 0

|H(jωcg )| = |H(0)| =1080

980= 1,102

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Exercıcio (para casa): Calculo da margem de fase

H(jω) =18jω + 1080

−ω2 − 980

• Passo 1: Calcular ωcp tal que |H(jωcp) = 1|.

Resultado: ωcp = 10,8 rad/s

• Passo 2: Calcular ∠H(jωcp) (em graus).

Resultado: ∠H(jωcp) = −169,8◦

• Passo 3: Calcular PM = ∠H(jωcp)− (−180◦).

Resultado: PM = 10,2◦

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Resumo

−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Nyquist Diagram

Real Axis

Ima

gin

ary

Axis

−40

−20

0

Ma

gn

itu

de

(d

B)

100

101

102

103

104

−180

−135

−90

Ph

ase

(d

eg

)


Frequency (rad/s)

• Margem de ganho inferior de 0,844 dB.

• Margem de ganho superior infinita.

• Margem de fase de 10,2◦

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Alternativa: Projeto LQR

>> A = [0 1;980 0];

>> B = [0;-22.1];

>> Q = diag([1 1]); rho = 1;

>> K = lqr(A,B,Q,rho);

K =

-88.6991 -3.0045

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2

0

2

4

6

8

10

12x 10

−3

t (s)

y (

m)

alfa = 1.0

alfa = 0.95

alfa = 0.90

23 / 40


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2

0

2

4

6

8

10

12x 10

−3

t (s)

y (

m)

alfa = 1.0

alfa = 0.70

alfa = 0.60

24 / 40


−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Nyquist Diagram

Real Axis

Ima

gin

ary

Axis

−20

−10

0

10

Ma

gn

itu

de

(d

B)

100

101

102

103

−180

−135

−90

Ph

ase

(d

eg

)


Frequency (rad/s)

• Margem de ganho inferior de 6,02 dB

(isto e, αcrit = 10−6,02/20 = 0,50).



25 / 40

Alterando os pesos

>> A = [0 1;980 0];

>> B = [0;-22.1];

>> Q = diag([1 10]); rho = 1;

>> K = lqr(A,B,Q,rho);

K =

-88.6991 -4.2458

26 / 40

Alterando os pesos

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2

0

2

4

6

8

10

12x 10

−3

t (s)

y (

m)

alfa = 1.0

alfa = 0.70

alfa = 0.60

27 / 40


−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Nyquist Diagram

Real Axis

Ima

gin

ary

Axis

−20

−10

0

10

Magnitude (

dB

)

100

101

102

103

−180

−135

−90

Phase (

deg)


Frequency (rad/s)

• Margem de ganho inferior de 6,02 dB

(isto e, αcrit = 10−6,02/20 = 0,50).



28 / 40

LQR: Margens de estabilidade garantidas

R s U sF H s

s

H(s) = K (sI − A)−1B

Se o ganho K for obtido por meio de um projeto LQR, pode-se mostrar(vide material suplementar ao final dos slides) que

|1 + H(jω)| ≥ 1, ∀ω ∈ R

ou seja,|H(jω)− (−1)| ≥ 1, ∀ω ∈ R

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LQR: Margem de ganho

|H(jω)− (−1)| ≥ 1, ∀ω ∈ R

H j

H j cg

Margem de ganho superior infinita

Malha garantidamente estavel, mesmo que o ganho na entrada da plantaseja reduzido a metade: Margem de ganho inferior de pelo menos20log10(2) = 6 dB.

30 / 40

LQR: Margens de fase

H jH j cp

31 / 40


H jH j cp

PM

32 / 40


H jH j cp

33 / 40


H jH j cp

o

34 / 40


H jH j cp

PM

o

Margem de fase de pelo menos 60◦

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Material suplementar

O desenvolvimento adotado nos proximos slides segue a linha apresentadaem Faleiros e Yoneyama (2002, p. 174 e 175)1.

1Faleiros, A. C. e Yoneyama, T. Teoria Matematica de Sistemas. Sao Paulo:Arte e Ciencia, 2002.

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Seja P ∈ Rn×n uma solucao simetrica e positivo-definida da seguinteequacao algebrica de Riccati:

ATP + PA− PBρ−1BTP + Q = 0

com A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×1, Q ∈ Rn×n simetrica e positivo-definida e ρ umescalar positivo. Pode-se entao escrever

(sP − Ps)− ATP − PA + PBρ−1BTP − Q = 0

ou ainda

(sI − AT )P + P(−sI − A) + PBρ−1BTP − Q = 0

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(sI − AT )P + P(−sI − A) + PBρ−1BTP − Q = 0 (1)

Multiplicando ambos os lados de (1) por BT (sI − AT )−1 a esquerda e(−sI − A)−1B a direita, chega-se a

BTP(−sI − A)−1B + BT (sI − AT )−1PB

+ BT (sI − AT )−1PBρ−1BTP(−sI − A)−1B

− BT (sI − AT )−1Q(−sI − A)−1B = 0 (2)

Multiplicando (2) pelo escalar ρ−1, tem-se entao

(ρ−1BTP)(−sI − A)−1B + BT (sI − AT )−1(PBρ−1)

+ BT (sI − AT )−1(PBρ−1)(ρ−1BTP)(−sI − A)−1B

− ρ−1BT (sI − AT )−1Q(−sI − A)−1B = 0 (3)

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(ρ−1BTP)(−sI − A)−1B + BT (sI − AT )−1(PBρ−1)

+ BT (sI − AT )−1(PBρ−1)(ρ−1BTP)(−sI − A)−1B

− ρ−1BT (sI − AT )−1Q(−sI − A)−1B = 0 (4)

Definindo

K = ρ−1BTP, H(s) = K (sI − A)−1B, V (s) = Q1/2(sI − A)−1B

pode-se reescrever (4) como

H(−s) + H(s) + H(s)H(−s)− ρ−1V T (s)V (−s) = 0

ou entao [1 + H(s)

][1 + H(−s)

]= 1 + ρ−1V T (s)V (−s)

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[1 + H(s)

][1 + H(−s)

]= 1 + ρ−1V T (s)V (−s)

Finalmente, fazendo s = jω, conclui-se que

|1 + H(jω)|2 = 1 + ρ−1V T (jω)V (−jω)︸︷︷︸≥0

ou seja, |1 + H(jω)| ≥ 1.

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