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Experimentalphysik E1

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Elastizitätslehre

13. Jan. 2016

Elastizitätsgrenze und Plastizität

Zugfestigkeit

Versuch Biegung

Atomares Bild der plastischen Deformation

GitterfehlerVersetzungen

Zugspannung und Dehnung

AF

D⊥=σ

llΔ

=ε

Zugspannung (stress)

Dehnung (strain)

Elastizitätsmodul(Young-Modulus)

llAFE D

Δ==

εσ

!"

#$%

& = PamN2

€

σD = E ⋅ ε Hooksches Gesetz

SW carbon-nanotubes

Elastische Hysterese, Deformationsarbeit

Unter Einwirkung der Zugspannung σ erfährt ein Körper die Elongation ε.Im ε-σ-Diagramm wird dabei der Weg 0A zurückgelegt.

Wird σ danach wieder auf 0 gesetzt, so verbleibt eine Elongation (Punkt B).

⇒  elastische Hysterese

Durch temporäres Ausüben des Druckes p = -σ auf den Körper gelangt dieser über Punkt C zu Punkt D.

Elastische Hysterese, Deformationsarbeit

Beim Durchlaufen der (geschlossenen) Kurve ABCDA, genannt elastische Hysterese-Schleife, wird die Arbeit W verrichtet.Für einen Quader mit dem Querschnitt q ist die Arbeit W:

€

W = F dL0

ΔL

∫

€

= q σ dL0

ΔL

∫

€

= q σ L dε0

ε

∫

€

= V σ dε0

ε

∫

Im Geltungsbereich des Hooke‘schen Gesetzes gilt:

€

σ = E ε

€

=>Welast =12E V ε2

Außerhalb des Bereiches σ ~ ε gilt:

€

σ dε∫ ≠ 0

pro Volumeneinheit zu verrichtende Arbeit

=> Die pro Volumen in Wärme umgesetzte Arbeit entspricht der Fläche des Graphen.

L

d - Δd

L + ΔL

d

δ

€

ΔV = d + Δd( )2 L + ΔL( ) − dL2

€

= d2ΔL + 2LdΔd + LΔd2 + 2dΔdΔL + ΔLΔd2

€

ΔVV

≈ΔLL

+ 2Δdd

Querkontraktion

€

µ =Δdd

ΔLL

Poisson-Zahl

Bemerkung: µ < 0,5 ΔV > 0

Allseitige Deformation: z.B. Druck δ = -p

€

ΔVV

=ΔLL1+2Δd

dΔL

L

#

$

% %

&

'

( ( = ε 1− 2µ( )

€

ΔVV

=pE1− 2µ( )

Kompressibilität

p1

V1

p2

V2

Δp = −K ⋅ΔVV

K : Kompressionsmodul

ΔVV

= −κ ⋅ Δp κ =1K Kompressibilität

Festkörper und Flüssigkeiten sind inkompressibel (K ist groß)

F ||A

γ

γσ ⋅=GS

: Schubspannung

Definition Schubmodul, G: Einheit [τ,G]=Pa

Schubspannung und Scherung

AF

S||=σ

: Scherwinkell

Δl

llΔ

=γ

ll ⊥Δ

Scherkraft: Angriff tangential an einer Fläche

Scherung und Torsionsmodul

€

τ =Fd2

Scherspannung:

Resultat der Scherspannung: Verkippen der Kanten um den Winkel α:

€

τ = G α mit dem Schub- / Scher- / Torsionsmodul G

Die behandelten Kräfte sind alle auf atomare Kräfte zurück zu führen und damit miteinander verknüpft. Für isotrope Körper kann folgende Beziehung hergeleitet werden:

€

E2 G

= 1 + µ

€

=>2 G3 K

=1 − 2 µ

1 + µ

€

κ =1K

=3E

1 − 2 µ( )mit

ϕR r ϕ

γ

A = 2 ⋅π ⋅r ⋅ ΔrΔr

γ = ϕ ⋅rl

γ

ϕ ⋅ r

F

FA= G ⋅γ

M = G ⋅ϕ ⋅R4

2l⋅π

M = D* ⋅ϕ D* =G ⋅R4

2l⋅π

Richtmoment

Seitenansicht einer Zelle

Torsion eines Kreiszylinders

M = F x R (Drehmoment)

Torsion=Scherung

Der Draht wird aufgeteilt in Hohlzylinder mit Radius r und Dicke dr, außerdem in Segmente der Winkelbreite dφ.

Beispiel: Torsion eines Drahtes

Um den Draht um den Winkel φ zu verdrillen ist die Scherspannung τ nötig:

€

τ = GrϕL

=dFdA

€

α ≈rϕL

€

= GrϕL2πr dr

€

=> dF = GrϕL

dA

€

=> dD = r dF =2πr 3 ϕ G

Ldr

€

D ϕ( ) =2πr 3 ϕ G

Ldr

0

R

∫ =π R4 G2 L

ϕ

€

= Drϕ

€

=> Dr =π R4 G2 L

Richtmoment

Biegung eines BalkensEin Balken mit rechteckigem Querschnitt q = d b wird an einem Ende fest eingespannt und am anderen belastet.

Lokal kann die Krümmung durch Kreisbogen mit Radius r beschrieben werden.

Die Länge in der Mitte des Balkens bleibt unbeeinflusst (neutrale Faser).

Eine Schicht in Höhe z des Balkens (z=0 entspricht der neutralen Faser) wird also verlängert um:

€

Δl = z ϕ = z lr

Für diese Längenänderung nötige Zugspannung:

€

σ = E Δll

= E zr

Biegung eines Balkens

⇒  Die auf eine rechteckige Schicht des Balkens mit der Breite b, der Höhe dz und dem Abstand z von der neutralen Faser, wirkende Kraft ist :

€

dF = σ b dz =b Er

z dz

Dementsprechend wirkt das Drehmoment:

€

dD = z dF =b Er

z2 dz

⇒  Über die gesamte Balkenhöhe ergibt sich:

€

D =b Er

z2 dz−d2

d2

∫ =b Er

d 3

12

dzz = 0

b

z


Ursache der Biegung ist eine Kraft bei L, die an der Stelle x das Drehmoment D erzeugt:

€

D = F0 L − x( )

⇒  Der Balken biegt sich so lange, bis die beiden Drehmomente entgegengesetzt gleich groß sind:

€

−b Er

d3

12= F0 L − x( )

Die Krümmung am Ort x ist also:

€

1r

= −12 F0b E d3

L − x( )

Bei x=0 wird die Krümmung und damit die Zugspannung an der Oberseite (z=d/2)maximal.

€

σmax =E d2r

=6 F0 Ld2 b

=> Einkerbung und nachfolgend Bruch des Balkens wenn σmaxdie Zerreissspannung des Materials überschreitet


In der Näherung kleiner Durchbiegungen gilt:

€

z" x( ) <<1

€

a = −12 F0b E d3

€

=> z"" x( ) =1r

= a L − x( )

Zweimalige Integrationmit den Randbedingungen z(0) = z´(0) = 0

€

=> z" x( ) = a L x −12a x2

⇒  Das Balkenende x=L biegt sich um s (Biegungspfeil) nach unten:

€

s = z L( ) =13a L3 = −

4 F0b E

L3

d 3€

=> z x( ) =12a L x2 − 1

6a x3

Allgemein gilt für die Krümmung einer beliebigen Funktion z (x) ( Teubner):

€

1r

=z"" x( )

1+ z" x( )2( )32

z(x)=0 beschreibt die neutrale Faser des unbelasteten Balkens

Biegung eines BalkensDie Biegung eines Balkens mit beliebigem Querschnitt a lässt sich mit der Einführung des Biegemoments B (auch Flächenträgheitsmoment genannt)analog behandeln:

Quader: €

A = dy dz∫∫

€

B = z2 dy dz∫∫

€

B = z2 dyy=−b

2

b2

∫ dzz=−d

2

d2

∫ =112

d 3 b

Der Biegungspfeil s ist dann allgemein gegeben durch:

€

s = −L3

3 E BF

Andere Beispiele:

Def. Biegemoment: x Längsachse des Balkens, Querschnittsfläche:

€

s = −4L3

E ⋅ a3 ⋅ b⋅ Fa

b

L

neutrale Faser

ΔhObere Hälfte wird gedehnt

untere Hälfte gestaucht

Biegung=Dehnung(Stauchung)

€

s = −L3

3E ⋅ B⋅ F

€

B = z2∫∫ dydx


Liegt der Balken auf beiden Enden und die Kraft F wirkt in der Mitte, so wird die maximale Durchbiegung s:

€

s = −L3

4 E d 3 bF

Die Kraft F verteilt sich je zur Hälfte auf beide Balkenhälften der Länge L/2

⇒  s wird um den Faktor 16 kleiner!

Der Draht wird aufgeteilt in Hohlzylinder mit Radius r und Dicke dr, außerdem in Segmente der Winkelbreite dφ.

Beispiel: Torsion eines Drahtes

Um den Draht um den Winkel φ zu verdrillen ist die Scherspannung τ nötig:

€

τ = GrϕL

=dFdA

€

α ≈rϕL

€

= GrϕL2πr dr

€

=> dF = GrϕL

dA

€

=> dD = r dF =2πr 3 ϕ G

Ldr

€

D ϕ( ) =2πr 3 ϕ G

Ldr

0

R

∫ =π R4 G2 L

ϕ

€

= Drϕ

€

=> Dr =π R4 G2 L

Richtmoment

Seite 2 von 4 M5.DOC

Bringt man an der Feder die Masse m an, lenkt diese aus und überlässt sie dann der Federkraft, so lautet das dynamische Grundgesetz

xkFxm −== F bzw. 020 =+=+ xxx

mk

x ω , ( 2 – 5 ) , ( 2 – 6 )

d. h. die Masse m vollführt eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz

mk=0ω . ( 2 – 7 )

Nach ( 2 – 1 ) kann die Federkonstante statisch und nach ( 2 – 7 ) dynamisch bestimmt werden. Die Längenänderung x der Feder bei Einwirkung der Kraft F ist - wie bereits erwähnt - auf die Torsion des Feder-drahtes zurückzuführen. Die Feder bestehe aus n Windungen. Der Federdraht habe einen Kreisquerschnitt vom Durchmesser 2 r0 . Der Windungsdurchmesser 2 R wird zwischen den Mittelpunkten dieser Kreisquerschnitte angegeben. Die Kraft F bewirkt am Federende das Torsionsmoment M = F R (vgl. Bild 2). Infolgedessen wird pro Windung der Drahtquerschnitt um einen kleinen Winkel ∆ϕ verdreht und jede Windung um ein kleines Stück ∆x = R ∆ϕ verlängert, bis das dadurch im Draht hervorgerufene Schubspannungsmoment das Gleichgewicht herstellt. Für alle n Windungen zusammen erhält man die Verdrehung ϕ = n ∆ϕ und die Verlängerung x = n ∆x = R n ∆ϕ = R ϕ . Mit dem Schubspannungsmoment MS für einen Draht der Länge l und des Durchmessers 2 r0 aus einem Material mit dem Schubmodul G gilt im Gleichgewicht

RFMMl

rG===

πS

40

2ϕ . ( 2 – 8 )

(Zur Herleitung sei auf den Anhang 2a verwiesen.)

Führt man in ( 2 – 8 ) für F = k x , für Rx=ϕ und für die Drahtlänge (genähert) l = 2π R n ein, so folgt daraus für

k bzw. G

3

40

4 Rn

rGk = bzw.

40

3

r

kRn4G = . ( 2 – 9 ) , ( 2 – 10 )

2a Anhang (fakultativ, soweit nicht anders festgelegt) Die als Torsion bezeichnete Verdrehung eines elastischen Körpers soll am Beispiel eines Kreiszylinders (Draht) untersucht werden. In Bild 2 ist der Querschnitt B fest eingespannt und am anderen Ende des Zylinders greift am Querschnitt B' das Torsionsmoment M

G an.

b'a b

Hmax

B

l

B'

MK

r0

d FS

dr

dAU ( ) r r dK

dK

r

Umax

r0

Bild 2 Torsionsdraht Bild 3 Schubspannungen im Drahtquerschnitt

FedernÜberblick

Geräteelemente Prof. RedlichTorsion Biegung

=> Federkonstants: k

FedernÜberblick

Geräteelemente Prof. Redlich

FedernÜberblick

Geräteelemente Prof. Redlich

Rasterkraftmikroskop und Kraftspektroskopie

AFM experiments with single molecules

custom-built instrument (M. Rief, H. Gaub et al., Science 275, 1295 (1997)):

intermolecular forces(binding interactions)

intramolecular forces(polymer elasticity)

Deflection

Piezopath

Extension [nm]

4003002001000

600

-400

-200

0

200

400

Forc

e [p

N]

Die Erde als deformierbarer Körper 6.6. Die Erde als deformierbarer Körper 191

Mantel

Kern

r / km1000

2000

3000

4000

5000

Tie

fe /

km

4000 8000 12000 1 2 3

flüssigerKern

festerKern6000

Kruste

6000

5000

4000

3000

2000

1000

Dichte / kg / m Druck / 10 N / m

ρ(r) p(r)

3 11 2 Abb. 6.49. Querschnitt durch dieErde mit ihrem radialen Dichte-profil

aus Gravitationskraft FG, Zentrifugalkraft FZ und rück-treibender Verformungskraft FR Null wird (Abb. 6.50).Bei homogener Massenverteilung würde dadurch einRotationsellipsoid entstehen, dessen großer Durchmes-ser in der Äquatorebene

2a = 12 756,3 km

und dessen kleiner Durchmesser in Richtung derRotationsachse

2b = 12 713,5 km

b = 6356755 m

a = 6378140 mM

FG→ FZ

→FR→

ω

Abb. 6.50. Polabplattung der rotierenden Erde (stark übertrie-ben dargestellt)

beträgt. Die Abplattung ε = (a −b)/a des Rotations-ellipsoids ist deshalb ε = 3,353 · 10−3. Wegen derinhomogenen Massenverteilung weicht die Gestalt derErde etwas von dieser Ellipsoidform ab und bildet einenfast birnenförmigen Körper, der Geoid genannt wird(Abb. 2.56). Die Oberfläche dieses Geoids wird als Nor-malnull gewählt, von der aus alle Höhen auf der Erdegemessen werden [6.5].

6.6.2 Gezeitenverformung

Durch die zusätzlichen Gravitationskräfte, die Mondund Sonne auf die Erde ausüben, verformt sich die Erd-oberfläche in charakteristischer, zeitabhängiger Weise.Diese Verformung ist am deutlichsten auf den Weltmee-ren ausgeprägt (Ebbe und Flut), da bei Flüssigkeitendie rücktreibende elastische Verformungskraft fehlt, sietritt aber auch in der festen Erdkruste mit kleinererAuslenkung auf. Um diese um die Erde wanderndeGezeitenverformung genauer zu verstehen, behandelnwir zuerst den vereinfachten Spezialfall, in dem die Ei-genrotation der Erde und der Gravitationseinfluss derSonne nicht berücksichtigt werden.Unter dem Einflussder gegenseitigen Gravitationskraft

FG = −G · ME · MMo

r20

r0 (6.50)

bewegen sich Erde und Mond mit der Winkelgeschwin-digkeit Ω um ihren gemeinsamen Schwerpunkt S, dernoch im Inneren der Erde liegt (etwa 0,75 Erdradienvom Erdmittelpunkt). r0 ist der Abstand zwischen den

6.6. Die Erde als deformierbarer Körper 191

Mantel

Kern

r / km1000

2000

3000

4000

5000

Tie

fe /

km

4000 8000 12000 1 2 3

flüssigerKern

festerKern6000

Kruste

6000

5000

4000

3000

2000

1000

Dichte / kg / m Druck / 10 N / m

ρ(r) p(r)

3 11 2 Abb. 6.49. Querschnitt durch dieErde mit ihrem radialen Dichte-profil

aus Gravitationskraft FG, Zentrifugalkraft FZ und rück-treibender Verformungskraft FR Null wird (Abb. 6.50).Bei homogener Massenverteilung würde dadurch einRotationsellipsoid entstehen, dessen großer Durchmes-ser in der Äquatorebene

2a = 12 756,3 km

und dessen kleiner Durchmesser in Richtung derRotationsachse

2b = 12 713,5 km

b = 6356755 m

a = 6378140 mM

FG→ FZ

→FR→

ω

Abb. 6.50. Polabplattung der rotierenden Erde (stark übertrie-ben dargestellt)

beträgt. Die Abplattung ε = (a −b)/a des Rotations-ellipsoids ist deshalb ε = 3,353 · 10−3. Wegen derinhomogenen Massenverteilung weicht die Gestalt derErde etwas von dieser Ellipsoidform ab und bildet einenfast birnenförmigen Körper, der Geoid genannt wird(Abb. 2.56). Die Oberfläche dieses Geoids wird als Nor-malnull gewählt, von der aus alle Höhen auf der Erdegemessen werden [6.5].

6.6.2 Gezeitenverformung

Durch die zusätzlichen Gravitationskräfte, die Mondund Sonne auf die Erde ausüben, verformt sich die Erd-oberfläche in charakteristischer, zeitabhängiger Weise.Diese Verformung ist am deutlichsten auf den Weltmee-ren ausgeprägt (Ebbe und Flut), da bei Flüssigkeitendie rücktreibende elastische Verformungskraft fehlt, sietritt aber auch in der festen Erdkruste mit kleinererAuslenkung auf. Um diese um die Erde wanderndeGezeitenverformung genauer zu verstehen, behandelnwir zuerst den vereinfachten Spezialfall, in dem die Ei-genrotation der Erde und der Gravitationseinfluss derSonne nicht berücksichtigt werden.Unter dem Einflussder gegenseitigen Gravitationskraft

FG = −G · ME · MMo

r20

r0 (6.50)

bewegen sich Erde und Mond mit der Winkelgeschwin-digkeit Ω um ihren gemeinsamen Schwerpunkt S, dernoch im Inneren der Erde liegt (etwa 0,75 Erdradienvom Erdmittelpunkt). r0 ist der Abstand zwischen den

Geoid

Abplattungε = (a− b) / a = 3,3⋅10−3

Spannungstensor

H. Zabel 19. Lektion Spannungs- und Verzerrungstensor

19. Lektion Ergänzung-7


Hooke‘sches Gesetz

Hook‘sches Gesetz:

LLE ' V

Hook‘sches Gesetz in Tensorschreibweise:

, , ,

Stufe 2. TensorstensorVerzerrung

Stufe 4. TensorKonstanten elastische

Stufe 2. TensorensorSpannungst

klijklCj

HV 1


Spannungstensor

ikVRichtung der Normalkomponente der Fläche, auf die die Kraft wirkt

Richtung der Kraft

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ik

VVVVVVVVV

V

Verzerrungstensor


Hooke‘sches Gesetz

Hook‘sches Gesetz:

LLE ' V

Hook‘sches Gesetz in Tensorschreibweise:

, , ,

Stufe 2. TensorstensorVerzerrung

Stufe 4. TensorKonstanten elastische

Stufe 2. TensorensorSpannungst

klijklCj

HV 1


Verzerrung

r&

'r&u& Verschiebung eines Körperpunktes

durch Deformation:

rrurr&&&&&

o '' und

Statt die Verschiebung eines Körperpunktes betrachten wir den Abstand zwischen zwei Körperpunkten vor und nach der Deformation:rd

&

'rd&2222 dzdydxrd

&

2222 '''' dzdydxrd &


Verzerrungstensor

ikikiiki

k

k

iii dxdxdxdxdx

xu

xu

dxdx H2212' 222 ¸

¸¹

·¨¨©

§¸¹

·¨©

§ww

ww

Für kleine Verzerrungen kann man den quadratischen Term vernachlässigen und aus Symmetriegründen (iok = koi) bekommen wir:

Dabei ist :

¸¹

·¨©

§ww

ww

i

k

k

iik x

uxu

21H

der Verzerrungstensor, d.h. ein Tensor 2. Stufe.

¸¸¸

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§

zzyzxz

yzyyxy

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HHHHHHHHH

H


Verzerrungstensor

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Für kleine Verzerrungen kann man den quadratischen Term vernachlässigen und aus Symmetriegründen (iok = koi) bekommen wir:

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der Verzerrungstensor, d.h. ein Tensor 2. Stufe.

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xzxyxx

ik

HHHHHHHHH

H

Die Härte eines Festkörpers

Die Härte gibt den Widerstand eines Körpers beim Eindringen eines anderen an.

Ritzverfahren: Der härtere Körper ritzt den anderen.

Die Eindrucktiefe h misst die Brinellhärte.

⇒  Mohshärte

Härteprüfung in der Technik: Brinellverfahren

Keine analytischen Beschreibungen mehr! - numerische Verfahren, - finite Elemente Rechnungen

Ritzverfahren nach Mohs

Härteprüfung nach Brinell

€

A =12πD D− D2 − d2( )

Härteskalen

€

HB =FA

A: Eindruckflächeh : Eindrucktiefe

Def.: Brinell-Härte

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