GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano

Problemas Métricos

Distância entre Dois Planos

GENERALIDADES

A distância entre dois planos é medida numa recta ortogonal aos dois planos, para planos paralelos entre si. A distância entre dois planos é a distância entre quaisquer dois pontos dos planos (um ponto de cada plano) contidos numa mesma recta ortogonal aos planos.

pdA

αδ

B

O método geral para a determinação da distância entre dois planos paralelos consiste em:

• 1. conduzir uma recta qualquer, ortogonal aos dois planos;

• 2. determinar os pontos de intersecção dessa recta com ambos os planos;

• 3. a distância entre os dois pontos de intersecção é a distância entre os dois planos (é o comprimento do segmento de recta que tem extremos nos dois pontos).

Distância entre Dois Planos Projectantes

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.

x

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p.

fα

hα

A1

A2Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como os planos são projectantes frontais, as intersecções são determinadas nos cruzamentos da projecção frontal da recta com os traços frontais dos planos.

p2

p1 B1

B2

A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta frontal, pelo que a V.G. de AB está na projecção frontal de AB, A2B2.

V.G.

fδ

hδ

São dados dois planos verticais, α e γ . O plano α faz um diedro de 45º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. O plano γ corta o eixo x num ponto situado 4 cm para a direita do ponto de intersecção do plano α com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.

x

fα

hα

fγ

hγ

p1

p2

A1

A2

B1

B2

V.G.

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p.

Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como os planos são projectantes horizontais, as intersecções são determinadas nos cruzamentos da projecção horizontal da recta com os traços horizontais dos planos.

A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta horizontal, pelo que a V.G. de AB está na projecção horizontal de AB, A1B1.

Distância entre Dois Planos Oblíquos

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.

x

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p.

fα

hα

A1

A2

Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar γ, que é projectante horizontal e contém a recta p.

p2

p1

B1

B2

A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de AB tem que ser obtida pelo processo de rebatimento.

V.G.

fθ

hθ

F1

F2

H1

H2

fγ

≡ hγ ≡ i1

i2

H’1

H’2

i’2

≡ i’1

(fυ) ≡ e2

≡ e1 Br

≡ Ar

É dado um plano oblíquo α, ortogonal ao β1,3. O traço frontal do plano α faz um ângulo de 40º (a.e.) com o eixo x. É dado um plano μ, paralelo ao plano α. O plano μ corta o eixo x num ponto situado 8 cm para a esquerda do ponto de intersecção do plano α com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.

x

fα

hα

fμ

hμ

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p.

p1

p2

Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar θ, que é projectante frontal e contém a recta p.

≡ fθ

hθ

H1

H2

F1

F2

≡ i2

i1

F’1

F’2

i’1

A1

A2

B1

B2

A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de AB tem que ser obtida pelo processo de rebatimento.

(hφ) ≡ e1

≡ e2

≡ Ar

Br

V.G.

≡ i’2

São dados dois planos oblíquos e paralelos, θ e δ. O plano θ corta o eixo x num ponto com -4 cm de abcissa, com o seu traço horizontal a fazer um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x, e o seu traço frontal a fazer um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. O plano δ corta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa. Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.

x

y ≡ z

fθ

hθ

fδ

hδ

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p.

p1

p2

Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar α, que é projectante horizontal e contém a recta p.

fα

≡ hα

H’1

H’2

H1

H2

F1

F2

i2

≡ i1 ≡ i’1

i’2

A1

A2

B1

B2

A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de AB tem que ser obtida pelo processo de rebatimento.

(fυ) ≡ e2

≡ e1

Br

≡ Ar

V.G.

Distância entre Dois Planos de Rampa via Rebatimento

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.

x

fρ

hσ

hρ

fσ

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. p1 ≡ p2

Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar π, que é plano de perfil e contém a recta p.

Para se determinar os pontos A e B é necessário recorrer ao processo de rebatimento.

≡ fπ ≡ hπ

H2

H1

≡ F1

F2

≡ i1 ≡ i2

F’2

≡ F’1

≡ i’1 ≡ i’2 ≡ e1 ≡ hπr

≡ (e2)

≡ fπr

≡ Hr

Fr

ir

F’r

i’r

pr

Ar

Br

V.G.

ArBr é a V.G. da distância entre os dois planos.

Invertendo o rebatimento do plano π, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB].

A1

A2

B1

B2

São dados dois planos de rampa paralelos ao β2,4 , ρ e σ. O traço frontal do plano ρ tem 2 cm de cota e o traço horizontal do plano σ tem 5 cm de afastamento. Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.

x

fρ

hσ

hρ

fσ

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p.

p1 ≡ p2

Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar π, que é plano de perfil e contém a recta p.

Para se determinar os pontos A e B é necessário recorrer ao processo de rebatimento.

≡ fπ ≡ hπ

H1

H2≡ F1

F’2

F2

≡ i1 ≡ i2

≡ F’1

H’1

≡ i’1 ≡ i’2

≡ H’2

≡ e1

≡ (e2)

≡ hπr

≡ fπr

≡ Hr

Fr

ir

≡ H’r

F’r

i’r

pr

Ar

Br

V.G.

ArBr é a V.G. da distância entre os dois planos.

Invertendo o rebatimento do plano π, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB].

A1

A2

B1

B2