Dinamika Rotasi(a) Sebuah benda tegar (rigid) sembarang bentuk yg berputar terhadap sumbu tetap di 0 serta tegak lurus bidang gambar. Garis 0P, garis tetap pada benda dan ikut berputar dengan benda.

x

P

θ

0

P

P

t1

t2

Δθ

θ2θ1

x

(a) (b)

(b) Perubahan sudut Δθ suatu benda berputarKecepatan sudut rata-rata :

Kecepatan sudut sesaat (ω):

Percepatan sudut rata-rata :

Percepatan sudut sesaat (α):

)/( sradt

dtd

tt

0lim

)/( 2sradt

dd

dtd

dd

dtd

dtd

dtd

dtd

tt

.

lim 2

2

0

Rotasi dengan percepatan sudut konstan :

Hubungan Kecepatan Sudut dan Kecepatan Linier dengan Percepatan

220

2

221

0

0

tt

t

x

V

Pr s

θ

Jika θ dalam radian : S = r θ didiferensiasi terhadap waktu :

)1.5(

rVdtdr

dtds

Dengan mendiferensiasi pers. 5.1 terhadap waktu :

radtdr

dtdV

T

aT = r α

a

aR = ω2 r

P

r

0 xθ

Komponen radial percepatan di titik P :

VrrVaR 22

Gaya Putar dan Percepatan SudutDinamika rotasi terhadap sumbu tetap yaitu relasi antara gaya-gaya terhadap suatu benda yang berputar dan percepatan sudutnya.

ri

θi

φi

Fi

mi

fi

0

Sebuah benda tegar yg berputar terhadap sebuah sumbu tetap melalui titik 0 yang tegak lurus bidang gambar. merupakan salah satu partikel benda yg massanya mi. Partikel itu mengalami gaya luar Fi dan juga gaya dakhil fi , yaitu resultan gaya-gaya yg dilakukan terhadapnya oleh semua partikel lain benda itu.Tinjau gaya Fi dan fi yg terletak pada bidang yg tegak lurus pada sumbu. Dari hukum Newton II : Fi + fi = mi ai

Diuraikan ke komponen radial dan komponen singgung. Maka:

Apabila kedua ruas persamaan kedua dikalikan dengan jarak ri dari partikel ke sumbu, diperoleh:

Suku pertama di ruas kiri adalah momen Гi gaya luar terhadap sumbu dan suku kedua ialah momen gaya dakhil. Apabila persamaan (5.2) dijumlahkan maka momen-momen gaya dakhil akan saling meniadakan , karena momen resultan setiap pasangan aksi-reaksi sama dengan nol. Sehingga:

iiiTiiiii

iiiRiiiii

rmamfFrmamfF

sinsincoscos 2

)2.5(sinsin 2 iiiiiii rmrfrF

iiii rF sin

Karena benda itu tegar,maka semua partikel memiliki percepatan sudut α yg sama dan oleh karena itu:

Jumlah Σmiri2 disebut momen kelembaman benda

terhadap sumbu yg melalui titik O dan dilambangkan dengan I :

Maka persamaan 5.3 menjadi :

Artinya apabila seuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar (Torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen kelembaman benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut.

)3.5()(....)( 2222

211 iirmrmrm

2iirmI

dtdII

Sebuah roda berjari-jari R massa m2 dan momen kelembaman I terpasang pada sebuah poros yg bertopang pd gandar yg tidak bergerak. Seutas tali lemas dan ringan dililitkan keliling roda itu. Pada tali ini bergantung sebuah benda bermassa m1. Gesekan di dalam gandar(bearing) diabaikan. Tentukan percepatan benda tergantung.

Gambar

P

R

TT

w2

w1

m1

Solusi:Gaya resultan benda yg tergantung w1 – T, dari Hukum Newton II:

w1 – T = m1 a (1)Gaya P dan w2 tidak punya momen terhadap

sumbu roda. Gaya putar resultan pada roda terhadap sumbu ialah TR, dan berdasarkan hukum Newton II untuk rotasi:

TR = Rα (2)Karena percepatan linier benda yg tergantung

sama dengan percepatan singgung tepi roda, maka:

a = R α (3)Penyelesaian sekaligus persamaan 1, 2,3 diatas :)/(1

1. 21RmI

ga

Menghitung Momen Inersia (I)

Solusi:a. I = Σmiri

2 = 10 x 52 + 20x 42 = 570 g cm2

b.I = Σmiri2 = 30 x 42 = 480 g cm2

A

B

C

10 g

20 g

30 g

5 cm

3 cm

4 cm

Hitung momen Inersia:a. Terhadap sumbu melalui A tegak lurus bidang gambarb. Terhadap sumbu yg berhimpitan dengan batang BC

Untuk suatu benda yg bukan terdiri atas massa titik melainkan atas materi yg terdistribusi secara tidak terputus-putus maka:

Jika dV ialah volume dan dm adalah massa sebuah elemen, maka kerapatan (rapat massa) ρ didefinisikan berdasarkan hubungan: dm = ρ dV , sehingga:

Kalau rapat massa sebuah benda sama di semua titik, maka benda itu dikatakan uniform, maka:

dmrmrIm

22

0lim

dVrI 2

dVrI 2

Momen Inersia dari beberapa bentuk sederhana dan homogenA. Batang Langsing

yl L - l

x dx

dm

0

L

Dengan memasukkan dm = λ dx dengan λ adalah massa persatuan panjang =m/L dan batas integrasi dari x = -1 samapai x = L – l diperoleh :

)4.5()33(31

)33(31

)33(31

)()(3131

22

223

223

33

3

2

lLlLmI

LllLLLmI

LllLL

llL

x

dxxI

lL

l

lL

l

Piringan Tipis

dr

r

R0

Piringan tipis berjari-jari R mempunyai massa persatuan luas = δ = m/A. Piringan diputar dengan sumbu putar pada titik 0 tegak lurus bidang gambar

dm = δ dAdA = 2π r dr

221

2

44

0

3

0

2

2

:,24

2

2

2

mRI

makaRAkarenaAmRRI

drr

drrr

dmrI

R

R

Silinder Berongga Konsentrisdr

r

R1

R2

L

dm = ρ dV = ρ .2π r dr. L

2

1

3

2

2

2

2.R

R

drrLI

Ldrrr

dmrI

Bila benda homogen , ρ sama disetiap titik:

2

21

221

21

21

22

22

212

1

41

42

3

0)()(

22

2

1

mRI

RRRtipissilinderuntukmRI

RRdanRpejalsilinderuntukRRLmRRmI

RRLdrrLIR

R

Gerak Menggelindingmerupakan gerak campuran yaitu gerakan translasi pusat massa dan gerak rotasi.

Energi kinetik yg dipunyai oleh silinder yang menggelinding adalah:

VoVoP

O

Q

ωR

ω Suatu silinder menggelinding dengan jari-jari R dan massa M. Titik-titik P, O, dan Q masing-masing adalah titik-titik dasar yaitu titik singgung antara tanah dengan silinder, pusat massa dan puncak silinder.Kecepatan pusat massa O adalah Vo, ini sama dengan VT = ω R jadi Vo = ωR

2212

21 IMVE ok

Untuk silinder menggelinding pada bidang miring

Berdasarkan hukum kekekalan Energi:

Dengan memasukkan I = ½ MR2 dan V = ωR, maka:

SR

θ

h

θ

I

II

Pada kedudukan I energi yang dipunyai adalah energi potensial :Ep = M g (h + R)atau Ep = M.g (h + R cos θ )

MgRIMVRhMg 2212

21)(

ghV

MVRVMRMVMgh

34

243

22

21

212

21 )(

Terlihat bahwa kecepatan benda

menggelinding lebih kecil dari pd benda meluncur tanpa gesekan yg kecepatannya: ghV 2

Energi Kinetik, Usaha dan DayaBila sebuah benda tegar berputar terhadap suatu sumbu tetap, kecepatan Vi sebuah partikel pada jarak tegak lurus ri dari sumbu itu sama dengan riω , dimana ω adalah kecepatan sudut. Maka energi kinetik partikel itu adalah:

dan energi kinetik total benda itu :

22212

21 iiii rmVm

221

2

222122

21

:,

IE

sehinggakelembamanmomenrmI

rmrmE

k

ii

iiiik

Contoh: gaya luar F dilakukan di titik P sebuah benda tegar yg berputar terhadap sumu tetap melalui O , tegak lurus bidang gambar. Ketika benda itu berputar melalui sudut kecil dθ titik P bergerak sejauh ds = r dθ dan usaha yg dilakukan oleh gaya F ialah:

P

O

FsF

dsdθ

φ

2

1

:,

dW

makasumbuterhadapgayamomenialahrFkarena

drFdsFW

s

ss

212

1222

12

1

2

1

IIdIdW

dIdddII

Artinya usaha momen rsultan sama dengan pertambahan energi kinetik

Jika V kecepatan titik tangkapnya, maka daya yg ditimbulkan oleh gaya Г adalah:

Contoh : sebuah pabrik mobil membuat ketentuan bahwa mesinnya memberikan 345 Hp dan gaya putar 475 Lb ft. Berapa kecepatan sudut yg bersesuaian ?solusi:

Momentum Sudut

VFPdengananaPrFVFP

s

ss

log

sradxP /400475550345

sudutmomentumILdtId

dtdII

)(

Sehingga:

atau gaya putar resultan sama dengan kecepatan perubahan momentum sudut, tepat seperti gaya luar resultan sama dengan kecepatan perubahan momentum linier.kalikan dengan dt dan integrasikan, didapat:

Jadi Impuls sudut resultan gaya putar pada suatu benda sama dengan perubahan momentum sudut benda.

dtdL

0

Im

0

LLdt

putargayasudutpuls

t

Contoh soal: sebuah roda yg diameternya 3 m mempunyai kecepatan sudut /angular yg berkurang secara uniform dari 100 rpm pada t = 0 hingga berhenti pada t = 4 detikhitung :a. Percepatan tangensial b. Percepatan normal sebuah titik di tepi roda pada

t = 2 detikSolusi:

kecepatan awal :det/47,10

60100.21000 radrpm

Setelah 4 detik ωt = 0karena berkurang secara uniform, maka α konstan sehingga:

Percepatan tangensial: aT = R α =1,5 x 2,62 = 3,93 m/s2 .

Percepatan NormalPada t = 2 detik ω2= 10,47 – 2,62 x 2 = 5,23 rad/sV2 = R . ω2= 1,5 x 5,23 = 7,85 m/s

maka:

2

0

/62,2447,10

4.47,100

srad

tt

222

/08,415,185,7 sm

RVaR

Sebuah roda gila memerlukan waktu 3 detik untuk berputar melalui 234 rad. Pada akhir waktu ini kecepatan sudutnya 108 rad/s. Hitung: Percepatan sudut konstannya

Solusi:

2

0

0

221

0

221

0

/205,1781085,178108

3.)5,178(108

5,17835,423433.234

srad

t

tt

t

Tentukan momen kelembaman sebuah batang yg diameternya 4 cm dan panjangnya 2 m, massanya 8 kg.a. Terhadap suatu sumbu yg tegak lurus pada batang

dan lewat salah satu ujungnyab. Terhadap sumbu memanjang melalui pusat batang

ituSolusi:

a.

Ld

l = 0

22

2

22

.67,102.8.3131

)33(31

mkgI

Lm

lLlLmI

b. Silinder pejal

2

221

221

.0016,0

02,0.8.

mkgI

RmI

Hitung percepatan linier balok A dan B dan tegangan dalam tiap bagian tali massa balok A = 8 gr , B = 4 gr dan radius roda = 0,5 m. jika tidak ada gesekan pd permukaan roda itu. Momen kelembaman roda terhadap sumbu 0,125 kg.m2

R

AB