Diferencijalne jednadzbe viseg reda - moje- · PDF fileMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise...

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike

Diferencijalne jedn. viseg reda 1

12. Diferencijalne jednadzbe viseg reda 12.1 Homogene diferencijalne jednadzbe sa konstantnim koeficijentima

1 2

1 02

1 0

1 2 1 2

2 1 1 1 2 2

1. Za jednadzbu oblika '' ' 0 ovisno o rjesenju karakteristicne

algebarske jednadzbe, + ' 0 rjesenje je:

Ako su realni: odnosno ako je = : cosh cosh

Ako

y a y a y

a a

y c e c ey k x k x

λ λ

λ λ

λ λλ λ λ λ

+ + =

+ =

≠ = +− = +

( ) ( )

1 1

1 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

su : cos sin

Ako su : cos sin

a bi x a bi x ax ax

ax ax

a bi y d e d e y c e bx c e bx

y c e c xe y c e bx c e bxλ λ

λ

λ λ

+ −= + = + ⇒ = +

= = + ⇒ = +

( ) ( )

1 2

22 1

5 51 2 1 2

1 2

1

Rijesi '' 5 0

Karakteristicna jednadzba glasi: 5 0 5 = i rjesenje je:

cosh sinh zamjenimo

cosh sinh

cosh 5 sinh 5 cosh 5 sinh 5

xx x

x

y y

e x xy c e c e c e c e

e x x

y c x x c x x

c c

λλ λ

λ

λ λ λ λ

λ λλ λ

−−

− =

− = ⇒ = ± ⇒ −

= += + = + ⇒

= −

= + + − =

= +( ) ( )2 1 2 1 2cosh 5 sinh 5 cosh 5 sinh 5x c c x y k x k x+ − ⇒ = +

( ) ( )

( ) ( )

21,2

1 2

2 2 2 21 2 1 2

2. Rijesi '' 4 ' 5 0Karakteristicna jednadzba glasi: 4 5 0 2 i rjesenje je:

odnosno za 2 i 1 cos sin

3. Rijesi 10 21 0K

a bi x a bi x

i x i x x x

y y yi

y d e d e

y c e d e a b y c e x c e x

y y y

λ λ λ+ −

− + − − − −

+ + =

+ + = ⇒ = − ±

= +

= + = − = = +

+ + =

1 2

21 2

3 71 2 1 2

arakteristicna jednadzba glasi: 10 21 0 3; 7 i rjesenje je:

t ty c e c e y c e c eλ λ

λ λ λ λ− −

+ + = ⇒ = − = −

= + ⇒ = +

1 1

2

2

2 2

2 2

21,2

0.1 0.11 2 1 2

4. Rijesi 100 20 0

Preuredimo DJ: 100 20 0 0.2 0.01 0

Karakteristicna jednadzba glasi: 0.2 0.01 0 0.1 i rjesenje je:

t t

d K dK Kdtdtd K dK d K dKK K

dt dtdt dt

y c e c e y c e c eλ λ

λ λ λ− −

− + =

− + = ⇔ − + =

− + = ⇒ = −

= + ⇒ =

21 2

5. Rijesi '' ' 2 0Karakteristicna jednadzba glasi: 2 0 1; 2 i rjesenje je:

y y yλ λ λ λ

− − =

− − = ⇒ = − =


Diferencijalne jedn. primjena 2

1 2 21 2 1 2 x xy c e c e y c e c eλ λ −= + ⇒ =

12.2 Linearne diferencijalne jednadzbe sa konstantnim koeficijentima

( ) ( )1 '1 1 0

6. Slicno homogenim DJ, drugog reda, linearne homogene DJ imaju rjesenje analogno rjesenju karakteristicne jednadzbe. DJ sa konstantnim koeficijentima ( 1,2,3,... )

blika: ... 0 j

n nn

a j n

y a y a y a−−

=

+ + + + =( ) ( )

1 2

11 1 0

1 2

3 2

ima karakteristicnu jednadzbu:

... 0 i rjesenje

...

Rijesi ''' 6 '' 11 ' 6 0Karakteristicna jednadzba glasi: 6 11 6 0 Za rjesenje algebarskih jednadzbi

n

n nn

xx xn

a a a

y c e c e c e

y y y y

λλ λ

λ λ λ

λ λ λ

−−+ + + + =

= + + +

− + − =

− + − = ⇒

( )( )( )1 2 3

1 2

viseg reda pogledati u dijelu Mate Vijuga, Rijesni zadaci za srednju skoluJednadzbe viseg reda.Jednadzba ima tri rjesenja: 1; 2; 3 pa je mozemo pisati u obliku

1 2 3 Rjesenje DJ: xy c e c e

λ λ λ

λ λ λ

= = =

− − − = + 2 33

x xc e+

( ) ( )

4 3 2

4 3 2

4 3 2

1 2 3 4

2 2 2 21 2 3 4

7. Rijesi 4 7 4 6 0

Karakteristicna jednadzba glasi: 4 7 4 6 0

Jednadzba ima 4 rjesenja: 2 2; 2 2; ;

Rjesenje DJ: . Primiji t i t it it

d x d x d x dx xdtdt dt dt

i i i i

x c e c e c e c e

λ λ λ λ

λ λ λ λ+ − −

− + − + =

− + − + =

= + = + = = −

= + + +( )

( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2

2

2 21 2 3

4

2 2 21 1 2

enimo Euler-ov

identitet pa mozemo pisati: cos 2 sin 2

cos 2 sin 2 Primijenimo:

cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos sin

cos sin

cos 2 sin 2

i t t it it

it

t t

t t

e e e e t i t

e t i t

x c e t i t c e t i t c t i t

c t i t

x c e t ic e t c e

+

−

= ⇒ = +

= −

= + + − + +

+ −

= + +

+

( ) ( ) ( ) ( )

22 3 3

4 4

1 1 2 2 1 2 3 3 4 4 3 4

2 21 2 3 4

cos 2 sin 2 cos sin

cos sinSredimo: ; ; ; rjesenje glasi:

cos 2 sin 2 cos sin

t t

t t

t ic e t c t ic t

c t ic td c c d c c d c c d c c

x d e t d e t d t d t

− + +

+ −

= + = − = + = −

= + + +

+

( )2

8. Nadji opce rjesenje linearne homogene DJ treceg reda ako su poznata dva rjesenja:

i sin 3 .x

y x

e x−



( )( )( )1 2,3

3 2

Iz zadanog rjesenja znamo da je 2 i 3. Karakteristicna jednadzba se

moze napisati kao produkt: 2 3 3 =0 2 9 18 0Pripadajuca DJ glasi: ''' 2 '' 9 ' 18 0

i

i iy y y

λ λ

λ λ λ λ λ λ

= − = ±

+ + − ⇔ + + + =

+ + + =

12.3 Linearne diferencijalne - Metoda sa nedefiniranim koeficijentima

( ) ( ) ( )Poznavajunje rjesenja homogene linearne DJ viseg reda, moze se koristiti u rjesavanju DJ po ranije opisanom poucku: ; ; Poznata rjesenja su za 0.

Ova metoda primijenjuje predpostavku da h pL y x y y y L y= Φ = + =

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

1 1 2 2

11 1 1

1

su partikularna rjesenja ... gdje su neodredjene konstante. Rjesenje je:

Za - polinom n-tog reda: ...

, ,. treba izracunati!

Za - k, s

p n n n

n nn p n n

n nx

y A y x A y x A y x a

x p x y A x A x A x

A A

x keα α

−−

−

= + + +

Φ = = + + +

Φ =

( ) 1 2

u poznate konstante: konstantu treba izracunati!

Za sin cos - k, su konstante: sin cos

konstante , treba izracunati!

xp

p

y Ae A

x k x k x y A x B x

A B

α

β β β β β

=

Φ = + = +

( ) ( ) ( )

1 2

2

21 1

21 2 1 2

2

9. Rijesi '' ' 2 4Rijesimo naj prije homogenu DJ: '' ' 2 0Karakteristicna jednadzba: 2 0 ima rjesenja: 1; 2

Rjesenje DJ: ...

4

nxx x x xn

n

np n n

y y y xy y y

y c e c e c e y c e c e

x x x p x

y A x A

λλ λ

λ λ λ λ−

− − =− − =

− − = = − =

= + + + ⇒ = +

Φ = ⇒ Φ =

= +

( ) ( )

( ) ( ) ( )

11 1 1

2 ' "2 1 0 2 1 2

2 22 2 1 2 1 0

2 22 2 1 2 1 0

22 2 1 2 1 0

... shodno tome predpostavljamo:

2 2

Zamijenimo: '' ' 2 4 2 2 2 4

odnosno: 2 2 2 2 2 4

2 2 2 2 2 4

n

p p p

x A x

y A x A x A y A x A y A

y y y x A A x A A x A x A x

A A x A A x A x A x

x A x A A A A A

−− + +

= + + ⇒ = + ⇒ =

− − = ⇒ − + − + + =

− − − − − =

− + − − + − − = ( )

2

( )

2

2 2 1 2 1 0

2 1 02 2

2 1 0

2 2 2 21 2 1 2

0 0izjednacimo koeficijente: 2 4; 2 2 0 2 2 0 rijesimo:

2; 2; 3

2 2 3 Sveukupno rjesenje je onda:

2 2 3 2 2 3

p p

x x x xh p

x xA A A A A A

A A A

y A x A x A y x x

y y y c e c e x x y c e c e x x− −

+ +

− = − − = ⇒ − − == − = = −

= + + ⇒ = − + −

= + = + + − + − ⇒ = + − + −



( ) ( )

21

3 4 3 4 3 31 2 1 2

10. Rijesi 6 25 2sin cos2 2

Rijesimo naj prije homogenu DJ: 6 25 0Karakteristicna jednadzba: 6 25 0 ima rjesenja: , 2 3 4

Rjesenje homogene DJ: cos 4 sini t i t t t

t ty y y

y y yi

y c e c e k e t k e

λ λ λ+ −

− + = −

− + =

− + = = ±

= + ⇒ +

( ) 1 2

' "

4 (Euler!)

sin cos - k, su konstante. Rjesenje je: sin cos

sin cos cos sin sin cos2 2 2 2 2 4 2 4 2

Zamijenimo: 6 25 2sin cos2 2

sin cos 6 c4 2 4 2 2

p

p p p

t

x k x k x y A x B x

t t A t t A t B ty A B y B y

t ty y y

A t B t A

β β β βΦ = + = +

= + ⇒ = − ⇒ = − −

− + = −

− − −

β

os sin 25 sin cos 2sin cos2 2 2 2 2 2

sin cos 6 cos 6 sin 25 sin 25 cos 2sin cos4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2

99 993 sin 3 cos 2sin cos izjednacimo koeficijente:4 2 4 2 2 2

994

t t t t t tB A B

A t B t A t t t t t tB A B

t t t tA B A B

A

− + + = −

− − − + + + = −

+ + − + = −

2 1 0

3 31 2

31

993 2 3 14

99 12 8 56 20Rijesimo: A= ; 2; 2; 399 -12 -16 663 663

56 20sin cos sin 2cos Sveukupno rjesenje je:2 2 663 2 663 2

cos 4 sin 4

p p

t th p p

t

B A B

A BB A A A

B At t t ty A B y

y y y k e t k e t y

y k e

+ = − + = −

+ = −⇒ = ⇒ = − = = − =

= + ⇒ = −

= + = + +

= 32

56 20cos 4 sin 4 sin 2cos663 2 663 2

t t tt k e t+ + −

( )

3 21 2 3

2 31 2 3

11. Rijesi ''' 6 " 11 ' 6 2Rijesimo naj prije homogenu DJ: ''' 6 " 11 ' 6 0Karakteristicna jednadzba: 6 11 6 0 ima rjesenja: 1; 2; 3

Rjesenje homogene DJ:

2

x

x x x

x

y y y y xey y y y

y c e c e c e

x xe

λ λ λ λ λ λ

−

−

− + − =− + − =

− + − = = = =

= + +

Φ = ⇒ ( ) ( )( )1 0 1 0

' "1 1 0 1 1 0

'''1 1 0

kombinacija od 1, 2 .

Predpostavljamo rjesenje:

2

3 Zamijenimo:

xn n

x x xp p

x x x x x xp p

x x xp

e p x p x x

y e A x A y e A x e A

y e A x e A e A y e A x e A e A

y e A x e A e A

α α− − −

− − − − − −

− − −

− = − =

= + ⇒ = +

= − + − ⇒ = − +

= − + −

''' 6 " 11 ' 6 2 xy y y y xe−− + − =



( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 0 1 1

1 0 1

3 6 2

11 6 2 + 0 Sredimo :

24 26 24 2 + 0 24 2 26 24 0

1 13; Zamijenimo i dobijemo: 12 144

x x x x x x

x x x x x x x

x x x x

xp

e A x e A e A e A x e A e A

e A x e A e A e A x e A xe e

e A x e A A xe e A A A

A A y e A x

− − − − − −

− − − − − − −

− − − −

−

− + − − − + +

+ − + − − + =

− + − = ⇒ − = −

= − = − =

0 =

0

2 31 2 3

2 31 2 3

1 13 Opce rjesenje: 12 144

1 1312 144

x

x x x x xp h p

x x x x x

e A

y xe e y y y c e c e c e y

y c e c e c e xe e

−

− −

− −

+

= − − = + = + + +

= + + − − −

p

12.4 Linearne diferencijalne - Metoda varijacije parametara

1 1

Ova metoda koristi ranije spomenuti poucak, da je opce rjesenje jednako zbroju rjesenja homogene DJ i partikularnog rjesenja.Ako partikularno rjesenje ima u sebi funkcije od , moze se pisati: px y u y=

( )2 2

' ' '1 1 2 2'1

...

nepoznate funkcije ; linearno nezavisna rjesenja ( ) 0Rjesenje se svodi na rjesavanje simultanih linearnih jednadzbi po ', koje se potom integriraju:

... 0

n n

i i

n n

u y u y

u u x y L yu

u y u y u y

u y

+ + +

− − =

+ + + =

( )

' ' ' ' '1 2 2

' 2 ' 2 ' 21 1 2 2' 1 ' 1 ' 11 1 2 2

... 0

... 0

...

n n

n n nn n

n n nn n

u y u y

u y u y u y

u y u y u y x

− − −

− − −

+ + + =

+ + + =

+ + + = Φ

( )3 3

21 2

2 21 2 1 2

12. Rijesi DJ " ' 2 2Rijesimo naj prije homogenu DJ: " ' 2 0Karakteristicna jednadzba: 2 0 ima rjesenja: 1; 2;


Postavimo sada

x x

x x x xh

y y y e n x ey y y

y c e c e y e y e

λ λ λ λ− −

− − = = Φ =

− − =

− − = = − =

= + = =

( ) ( ) ( )

21 2

' ' 2' ' '1 21 1 2 2

' 1 ' 1 ' 1 ' ' 2 31 1 2 2 1 2

4 4 4' '1 1 2 2

parametre:

0... 0... 2

rjesenje sistema daje:

3 3 12 3

x xp

x xn n

n n n x x xn n

x x x x x

y u e u e

u e u eu y u y u yu y u y u y x u e u e e

e e e e eu u dx u u

−

−

− − − −

= +

+ = + + + = ⇒ + + + = Φ − + =

= − ⇒ = − = − = ⇒ =∫

Zamjena:3 3

xedx =∫



4 3 32 2

1 2

3 32

1 2

ili, opce rjesenje:12 3 12 3

12 3

x x x xx x x x

p

x xx x

h p

e e e ey u e u e e e

e ey y y y c e c e

− −

−

= + = − + = − +

= + ⇒ = + − +

( )2 2

21

1 2 1 2

13. Rijesi DJ 4 sin 2 2 sin 2Rijesimo naj prije homogenu DJ: 4 0Karakteristicna jednadzba: 4 0 ima rjesenja: , 2 2Rjesenje homogene DJ: cos 2 sin 2 cos 2 sin 2Postavim

h

x x t n x tx x

ix c t c t y t y

λ λ

+ = = Φ =

+ =

+ = = ±= + = =

( ) ( ) ( )

t

1 2

' ' ' ' '1 1 2 2 1 2

' 1 ' 1 ' 1 ' ' 21 1 2 2 1 2

' 31 1

o sada parametre: cos 2 sin 2

... 0 cos 2 sin 2 0... 2sin 2 2cos 2 sin 2

1 1Rjesenje sistema: sin 2 sin2 2

p

n nn n n

n n

x u t u t

u y u y u y u t u tu y u y u y x u t u t t

u t u

− − −

= +

+ + + = + = ⇒ + + + = Φ − + =

= − ⇒ = −

( )

( )

3 3

' 32 2

3 31 2

2 4 4

2 2 2 2 2

1 12 cos 2 cos 24 12

12cos 2 2cos 2 sin 2 Zamijenimo:12

1 1 1cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 24 12 12

1 1cos 2 cos 2 sin 24 12

1 1cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin4 12

p

p

tdt t t

u t u t t

x u t u t t t t t t

t t t

x t t t t

= −

= ⇒ = =

= + = − + =

= − −

= − − +

∫

∫

( )1

2 2 2 2 2

2 21 2

2

1 1 1 1 1cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 24 12 12 6 12

1 1cos 2 sin 2 cos 2 sin 26 12

p

h p

t

x t t t t t

y y y c t c t t t

= − + = +

= + ⇒ + + +

( ) ( )( )

4

4

41,2,3,4

2 41 2 3 4

2 31 2 3 4

14. Rijesi DJ 5 4 5

Rijesimo naj prije homogenu DJ: 0Karakteristicna jednadzba: 0 ima rjesenja: 0


1; ; ;

Postavimo sada par

h

y x n x x

y

y c c x c x c x

y y x y x y x

λ λ

= = Φ =

=

= =

= + + +

= = = =

( ) ( ) ( ) (2 31 2 3 4ametre: 1py u u x u x u x= + + + )



( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

' 4 4 51 1

' ' ' 2 ' 31 2 3 4

' 3 3 42 2' ' ' ' 2

1 2 3 4

' ' ' ' ' 2 2 31 2 3 4 3 3' ' ' '1 2 3 4

'4 4

5 5 16 6 6

1 0 5 5 50 1 2 3 0 2 2 8

5 5 50 0 2 6 02 2 60 0 0 6 5

5 56 6

u x u x dx xu u x u x u x

u x u x dx xu u u x u x

u u u u x u x u x dx xu u u u x

u x u xdx

= − → = − = − + + + = = → = = + + + = ⇒ + + + = = − → = − = − + + + =

= → =

∫

∫

∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

3

2 3 5 4 3 21 2 3 4

3 3 5 2 4 51 2 3 4

512

Zamijenimo vruijednosti:1 5 51 16 8 6

5 1 112 24 24

Brze i jednostavnije rjesenj

p p

h p

x

y u u x u x u x y x x x x x

x x x y y y c c x c x c x x

=

= + + + = = − + + −

+ = ⇒ = + = + + + +

∫

e dobije se integriranjem obiju strana jednadzbe, cetiri puta.

+

( ) ( ) ( )

3 21 2 3

15. Rijesi ''' 6 " 11 ' 6 0. Izracunaj DJ ako su poznati pocetni uvjeti: 0; ' 0; " 1Rijesimo homogenu DJ: ''' 6 " 11 ' 6 0Karakteristicna jednadzba: 6 11 6 0 ima rjesenja: 1; 2; 3

y y y yy y y

y y y yπ π π

λ λ λ λ λ λ

− + − =

= = =

− + − =

− + − = = = =

( )( )( )

2 31 2 3

2 3 2 31 2 3 1 2 3

2 3 2 31 2 3 1 2 3

2 3 21 2 3 1 2

Rjesenje homogene DJ: Uvrstimo pocetne uvjete:

0

' 2 3 ' 2 3 0

" 4 9 " 4 9

x x xh

x x xh

x x xh

x x xh

y c e c e c e

y c e c e c e y c e c e c e

y c e c e c e y c e c e c e

y c e c e c e y c e c e c

π π π

π π π

π π

π

π

π

= + +

= + + ⇒ = + + =

= + + ⇒ = + + =

= + + ⇒ = + +

( )( ) ( ) ( )

33

2 31 2 3

2 3 2 2 3 31 2 3

2 3

1

Rjesenje sistema daje:1 1; ; Uvrstimo u nase opce rjesenje DJ:2 2

1 12 2

1 12 2

x x x x x xh

x x xh

e

c e c e c e

y c e c e c e e e e e e e

y e e e

π

π π π

π π π

π π π

− − −

− − −

− − −

=

= = − =

= + + = + − +

= − +



12.5 Primjena linearnih diferencijalnij jednadzbi drugog reda

( )1 0

Linearne DJ drugog reda primjenjuju se u racunanju problema vezanih za probleme titranja, uzgona i u elektrotehnici. Opci oblik linearne DJ sa konstantnim koficijentima je:

Opce rjesenj

x a x a x f t+ + =

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 2

e DJ za nepriguseno titranje, je pri a 0; 0 : cos sin

Prirodna frekvencija:2

Cirkularna frekvencija: 21Perioda sistema:

Drugi oblik rjesenja DJ: cos sin je: 1 ck

f t x t c t c t

f

f

Tf

x t c t c t x t A

ω ω

ωπω π

ω ω

= = = +

=

=

=

= + = − ( )

2

2 2 11 2 1 1

2

os gdje je:

; arctan ; 1 za 0 0 za 0

tc

A c c k c k cc

ω ϕ

ϕ

−

= + = = > = <

16. Masa od 0.25 kg objesena je na opruzi usljed cega se opruga istegne za 39.24 cm.

U pocetku je gibanje imalo brzinu od 4 m/s u smjeru prema dolje. Izracunaj gibanje maseako se gibanju suprostavlja o

( ) ( )

( )1 0

tpor zraka u vrijednosti od 2 kg.

Upisimo pocetnu jednadzbu:

0.25; 2; 0, jer nema vanjske sile.0.25 9.81Konstantu nadjemo preka Hook-ovom zakonu:

0.3924

x

f ta kx a x a x f t x x xm m m

m a f tm gk kl

−

+ + = ⇔ + + =

= = =

⋅ ⋅= =

( )

( ) ( )

2

1,2

41 2 1 2

6.25

2 6.25Postavimo jednadzbu: 00.25 0.25

8 25 0 8 25 0Rjesenja su konjugirano kompleksna: 4 3 pa je rjesenje DJ:

cos sin cos3ax ax t

f ta kx x x x x xm m m

x x xi

y x c e bx c e bx x t c e t c e

λ λλ

− −

=

+ + = ⇔ + + =

+ + = ⇒ + + == − ±

= + ⇒ = +

( ) ( )( )

( )( )

( )

4

4 4 4 0 4 01 2 1 2 1

4 41 2

4 4 4 41 1 2 2

2

sin 3

Iz pocetnih uvjeta imamo: 0 0; 0 4

cos3 sin 3 0 cos3 0 sin 3 0 0

cos3 sin 30 4

4 4 cos3 3 sin 3 4 cos3 3 sin 34 :3

t

t t

t t

t t t t

t

x x

x t c e t c e t c e c e c

d c e t c e tx

dtc e t c e t c e t c e t

c x t

− − − ⋅ − ⋅

− −

− − − −

= =

= + ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ =

+= ⇒

= − − − −

= = 44 sin 3 Titranje je priguseno, 0 za 3

te t x t− → →∞



17. Uteg mase 2kg visi na opruzi poznate konstante 6N/m u stanju mirovanja. Izracunaj jednadzbu kretanja ako je kretanje zapoceto brzinom od 150cm/s. Potom odredi prirodnu i cirkularnu frekvencije i pe

( ) ( )

( )( ) ( )

1 0

21,2

riodu sistema.


0 nema valjske sile na uteg i otpora zraka: 0

62 6 / 0 3 02

: 3 0 3 0


f t a

f ta km kg k N m x x x x x x t x xm m m

DJ x x iλ λ

+ + = ⇔ + + =

= =

= = + + = ⇒ + = ⇒ ≡ + =

+ = ⇒ + = → = ±

( ) ( )

( )( )

1 2 1 2

1 2 1

2

0

3 pa nase rjesenje glasi:

cos sin cos 3 sin 3

Primijenimo pocetne uvjete:

U trenutku 0, sistem miruje, 0 : 0 cos 3 0 sin 3 0 0

sin 3

Pocetna brzina je zadana: 150 / 1.

y x c bx c bx x t c t c t

t x x c c

x t c t

v cm s

= + ⇒ = +

= = = ⋅ + ⋅ ⇒

=

= =

c =

( )

( ) ( )

2

2 2

2

5 / :

sin 3 1.51.5 3 cos 3dt 3

1.5Konacno rjesenje: sin 3 sin 3 0.866sin 33

Cirkularna frekvencija: 2 3 1.7321.732Prirodna frekvencija: 0.276

2 21 2 1Perioda sistema:

0

m s

d c tx c t c

x t c t t x t t

f Hz

f Hz

Tf

ω πωπ π

πω

= = = ⇒ =

= = ⇒ =

= = =

= = =

= = = 3.627.276

s=

( )

18. Uteg mase 10kg visi na opruzi poznate konstante 140N/m u stanju mirovanja. Izracunaj jednadzbu kretanja ako je kretanje zapoceto brzinom od 1 m/s prema gore uvjetovanuvanjskom silom of 5sin . Krf t t=

( ) ( )1 0

etanju se suprostavlja otpor zraka od -90x. Potom odredi jednadzbu nepromijenjenog stanja, nakon sto je prijelazna pojava zavrsila.


10 1


m kg k

+ + = ⇔ + + =

= = ( )( ) ( )

40 / 5sin 90

90 140 5sin 19 14 sin10 10 10 2

N m f t t a

f ta k tx x x x x x x t x x x tm m m

= =

+ + = ⇒ + + = ⇒ ≡ + + =



121,2

2

2 71 2

1: 9 14 sin Rijesimo naj prije homogenu DJ: 2

29 81 4 149 14 0 9 14 072

Opce rjesenje glasi:

1Partikularno rjesenje 9 14 sin , po metodi2

t th

DJ x x x t

x x x

x c e c e

x x x t

λλ λ λ

λ− −

+ + = ⇒

= − − ± − ⋅+ + = ⇒ + + = ⇒ = = = −

= +

+ + =

( ) ( ) ( ) ( )

nedefiniranih koeficijenata glasi:

sin cossin cos cos sin

sin cos

1sin cos 9 cos sin 14 sin cos sin 0 cos2

9 13 013 9;1 50013 9

2

p

p p

p

x A t B tx A t B t x A t B t

x A t B t

A t B t A t B t A t B t t t

A BA B

A B

= + = + ⇒ = − = − −

− − + − + + = +

+ = ⇒ = = −

− =

( )

( ) 2 71 2

500

13 9sin cos sin cos500 500

Cjelokupno rjesenje DJ glasi:

13 9sin cos500 500

Stady state sistema nastaje nakon prestanka prelazne pojave, oznacene sa , tj samo

za :

p

h p

t t

h

p

x A t B t t t

x t x x

x t c e c e t t

x

x x

− −

= + = −

= +

= + + −

( )

( )

( ) ( ) ( )

2 22 21 2

11

2

13 9sin cos500 500

Cirkularna frekvencija 1 pa prema ranijem tumacenju imamo:

13 9 0.0316500 500

1313500arctan arctan 0.965 54.7 0 1

9 9500

1 cosk

t t t

A c c

crad c k

c

x t A t

ω

ϕ

ω ϕ

= −

=

= + = + − =

= = = − = − − > → = −

= − − ( ) ( )0.0316cos 0.965x t t⇒ = − +

19. Strujni krug sa serijski spojenim 10 , 0.01 i 0.5 ima narinuti napon od

12 . U trenutku 0 nema protoka struje i nema naboja na kondenzatoru. Izracunaj struju strujnog kruga.

R C F L HE V t

= Ω = == =



( )( )

2 2

2 2

2

1,2 1 2

10 101 2

1 1DJ ima oblik: 20 200 0

Karakteristicna jednadzba : 20 200 0 sa rjesenjem: 10 10 Rjesenje DJ: cos sin

cos10 si

ax ax

t t

d I R dI dE d I dII IL dt LC L Ldt dtdt dt

a bi i y x c e bx c e bx

I t c e t c e

λ λ

λ − −

− −

+ + = ⇒ + + =

+ + = ⇒

= ± = − ± ⇒ = +

= +

( ) ( ) ( )

( )0 0

10 10 10 0 10 01 2 1 2

10 10 101 1 2

n10

Pocetni uvjeti za 0 daju:1 1 1 10 1 0 12 0 0 24

0.5 0.5 0.5 0.01cos10 sin10 0 cos10 0 sin10 0 0

10 cos10 10 sin10 10 sin

t t

t t t

t

tdI RE I qdt L L LCI t c e t c e t c e c e cdI c e t c e t c edt

− − − ⋅ − ⋅

− − −

=

= − − ⇒ − − =⋅

= + ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇔

= − − −

1 =

( )

( )

102

10 0 10 0 10 02 2 2

10 102 1 2

10

10 10 cos10

24 10 sin10 0 10 cos10 0 24 10 cos10 010 5 Zamijenimo: cos10 sin1024 12

5 sin1012

t

t t

t

t c e t

c e c e c e

c I t c e t c e t

dqI t e tdt

−

− ⋅ − ⋅ − ⋅

− −

−

+

= − ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅

= = = +

= =

420. Strujni krug sa serijski spojenim 5 , 4 10 i 0.05 ima narinuti napon od 200cos100 V. U trenutku 0 nema protoka struje i nema naboja na kondenzatoru. Izracunaj struju strujnog kruga.

DJ

R C F L HE t t

−= Ω = ⋅ == =

( )

2

2

2

2 4

2

2

2

1 1 ima oblik:

5 1 1 200 100 sin1000.05 0.050.05 4 10

100 50000 400000sin100

Karakteristicna jednadzba : 100 50000 0 sa rjesenjem:

d I R dI dEIL dt LC L Ldtdt

d I dI I tdtdt

d I dI I tdtdt

λ λ

−

+ + =

+ + = − ⋅ ⋅⋅ ⋅

+ + = −

+ + = ⇒

( )( )

1,2

1 2

50 501 2

50 50 19

Rjesenje homogenog dijela: cos sin

cos50 19 sin 50 19

Partikularno rjesenje 100 50000 400000sin100 , po metodi nedefiniranih koeficijenata g

ax ax

t th

a bi i

y x c e bx c e bx

I t c e t c e t

I I t

λ− −

− −

= ± = − ±

= +

= +

+ + = −lasi:



( ) (( )

sin100 cos100sin100 cos100 100 cos100 100 sin100

10000 sin100 10000 cos100

10000 sin100 10000 cos100 100 100 cos100 100 sin100

50000 sin100 cos100 400000s

p

p p

p

I A t B tI A t B t I A t B t

I A t B t

A t B t A t B t

A t B t

= + = + = − = − −

− − + − +

+ + = − ( )( ) ( ) ( )

)

( )

in100 0 cos100

40000 10000 sin100 40000 10000 cos100 400000sin100 0 cos100

4 40 160 40;4 0 17 17

160 40sin100 cos100 sin100 cos10017 17

Cjelokupno rjesenje DJ glasi:

p

h p

t t

A B t B A t t

A BA B

B A

I A t B t t t

I t I I

I

+

− + + = − +

− = − ⇒ = = + =

= + = − +

= +

( )

t

( )

( ) ( )

( )

50 501 2

1 2

0 0

4

501 2

40 160cos50 19 sin 50 19 cos100 sin100 17 17

Iz pocetnih uvjeta nadjimo c 1 1Pocetni uvjeti za 0 daju: 0

1 5 1200 0 0 4000 0.05 0.05 0.05 4 10

cos50 19

t t

t

t c e t c e t t t

i cdI Rt E I qdt L L LC

I t c e t c e

− −

−

−

= + + −

= = − −

− − =⋅ ⋅

= +

( )

( )

50

0 01 2 1 1

50 501 1

50 502 2

40 160sin 50 19 cos100 sin10017 17

40 160 40 400 cos 0 sin 0 cos 0 sin 0 0 2.3517 17 17 17

50 cos50 19 50 19 sin 50 19

4000 16050 sin 50 19 50 19 cos50 19 sin10017

t

t t

t t

t t t

c e c e c c

dI c e t c e tdt

c e t c e t t

−

− −

− −

+ −

= + + − ⇒ + = ⇒ = − = −

= − − +

− + − −

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )

0 0 02 2

2 2

10 10

00 cos10017

4000 2.35 50 cos 0 2.35 50 19 sin 0 50 sin 0 50 19 cos 04000 16000 16000sin 0 cos 0 4000 2.35 50 50 19 22.1317 17 17

40 160Zamijenimo: 2.35 cos10 22.13 sin10 cos10017 17

t t

t

e e c e c

c c

I t e t e t t− −

= − − − − + − + −

− − ⇒ = − − + − ⇒ =

= − + + −

0e

sin100t

21. Izvedi jednadzbu gibanja cilindra koji pluta u tekucini. Cilindar radijusa 0.4m, visine 1m

i tezine 402 kg, pusti se da padne u tekucinu sa 20% vlastite visine, brzinom 5 m/s. Tekucina ima specific 3nu gustoce 1000kg/m .



2

Prema Ahimedovom zakonu, tezina istisnute tekucine i tezina tijela su u ravnotezi:

Kada tijelo nije u ravnotezi zbog djelovanja sile, pomak po osi , koristeci Newton-ov

zakon mozemo prikaza

mg r hx

π ρ=

( )2

2

3

2

2 2

ti jednadzbom:

odnosno 0

402Postavimo zadatak: 402 ; 0.4 ; 1000kg/m ; 9.81

U ravnotezi, cilindar pluta u tekucini uronjen: 402 0.8

0.4 1000

ma mx r h x t mg

rx xm

mg kg r m m

mg r hmgh mr

π ρ

πρ

ρ

π ρ

πρ π

= = − −

+ =

= = = =

=

= = = ⇒⋅

( )

2

2

2

0.8 Iznad tekucine vidi se dio cilindra u

visini od 1- 0.8 0.2

Zadano je 25% 0.25 1 0.25 i DJ ima oblik: 0

0.4 1000 0.25 0 153.25 0 Karakterisitcna jednadzba: 4029.81

1

h m

mrx h x m x xm

x x x

πρ

π

λ

= →

=

= ⇒ = ⋅ = + =

+ = ⇒ + = ⇔

+

( )

( )

1,2

1 2

53.25 0 12.38 Rjesenje DJ glasi:

cos12.38 sin12.38

U trenutku 0, 25% visine je van vode sto iznosi 0.25 ili 0.05 iznad ravnoteznog stanja (0.2 ), pa mozemo pisati: 0, 0 0.05. Pocet

i

x t c t c t

t mm t x

λ= ⇒ = ±

= +

=

= = ( )

( ) ( )

m

( ) ( )

1 2

1 2 1

1 2

2

na brzina je 0 5. Izracunajmo konstante: 0, 0 0.05 cos12.38 sin12.380.05 cos12.38 0 sin12.38 0 0.05

0 5 12.38 sin12.38 12.38 cos12.38

5 12.38 0.05sin12.38 0 12.38

x

t x x t c t c tc c c

dx tx c t c t

dtc

= −

= = ⇒ = +

= ⋅ + ⋅ ⇒ =

= = − = − +

− = − ⋅ ⋅ +

( )( )

2 2

1 2

cos12.38 0 5 12.38 0.4

Zamijenimo: cos12.38 sin12.38

0.05cos12.38 0.4sin12.38

c c

x t c t c t

x t t t

⋅ ⇒ − = ⇒ = −

= +

= −

Diferencijalne jednadzbe viseg reda - moje- · PDF fileMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise...

Documents

Transcript of Diferencijalne jednadzbe viseg reda - moje- · PDF fileMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise...