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Robot Millennium Version 15.0 Manuel dUtilisation Page 543 12.ANNEXES 12.1. Elmentsdetypebarredansl'analysenon-linaire disponible dans le logiciel Robot Symboles utiliss : E - module dYoung G - module de cisaillement G - coefficient de Poisson fd - limite de plasticit Ax - section dacier Ix - moment dinertie en torsion Iy - moment dinertie en flexion dans le plan XZ Iz - moment dinertie en flexion dans le plan YZ ky, kz - coefficients correctifs pour la rigidit du cisaillement dans la direction Y et Z L - longueur de la barre. 1. Remarques initiales et principes Pour les lments de type barre (poutre), les principes suivants ont t adopts : Les mmes formulations pour 2D et 3D (portique 2d & 3D, grillages)Le mme lment permettant lanalyse non-linaire matrielle et/ou gomtrique Llment utilise uniquement les degrs de liberts standard dans deux nuds extrmes : Tz y x z y xu u u ] , , , , , [ } , { = = u dIl est possible dutiliser : - linfluence du cisaillement (modle de Timoshenko)- section inertie variable - uniquement pour la non-linarit gomtrique. - sol lastique (de Winkler) Deux niveaux de non-linarit gomtrique sont disponibles : non-linarit (thorie de IIme ordre), P-DELTA (la thorie la plus prcise possible - dplacements et rotations importants - approche incrmentale avec la mise jour de la gomtrie)Si on admet que les dplacements sont faibles et la non-linarit physique est absente, dans la limite, les rsultats sont identiques ceux pour les lments linaires standard Dans lanalyse de la non-linarit matrielle, on utilise lapproche oriente fibre et la loi constitutive contrainte-dformation pour ltat uniaxial au niveau du point (fibre) Etats de cisaillement et torsion sont traits comme lastiques linaires et ils ne sont pas conjugus avec ltat des efforts axiaux/de flexion au niveau de la sectionRelchements et rotules non-linaires peuvent tre raliss uniquement en tant qulments DSCTous les types de charges sur lments (comme pour les lments standard) sont admissibles, moins que les forces nodales agissant sur la structure soient dfinies au dbut du processus (cela RoboBAT, 2,rue Lavoisier, Montbonnot Zirst 38334 St-Ismier Cedex - France Tl. : 04 76 41 80 82 Fax : 04 76 41 97 03 Internet-web : http ://www.robobat.come-mail : service@robobat.fr RoboBAT, Service Technique Tl. : 04 76 41 38 90 - Fax : 04 76 41 22 61 Page 544 Robot Millennium Version 15.0 Manuel dUtilisation veut dire que lanalyse ne prend pas en compte de modifications dues au transfert des charges sur lments vers les nuds causes par la non-linarit gomtrique ou matrielle) A part llment lasto-plastique, il est possible de gnrer les rotules lasto-plastiques dans les sections voulues de la barre - dveloppement de loption rotules non-linaires (voir point 5) 2. Gomtrie, cinmatique et approximation du champ de dformation Gomtrie, convention des signes pour les efforts, dplacements, contraintes et dformations Dpendances cinmatiques principales : Dans le repre local de llment, domaine gomtrique linaire, les dformations gnralises E au niveau de la section constituent (symbolesignifie la diffrentiation le long de laxe de la barre) :x), (Tz y z y ox} , , , , , { = o : Dformation longitudinale dans laxe de la barre : x oxu, = Courbures:x z zx y y,, == Angles moyens de dformation propre : y x zz x ywv + = =,, , Angle de torsion unitaire : x x, = Approximation du champ des dplacements Puisquilestpossibledeprendreencomptelinfluenceducisaillement et la conformit des rsultats obtenuspourllmentnon-linaire,lesfonctionsappeles fonctionsphysiquesdeforme qui prennent en compte linfluence du cisaillement ont t introduites. Barres 2D: RoboBAT, 2,rue Lavoisier, Montbonnot Zirst 38334 St-Ismier Cedex - France Tl. : 04 76 41 80 82 Fax : 04 76 41 97 03 Internet-web : http ://www.robobat.come-mail : service@robobat.fr RoboBAT, Service Technique Tl. : 04 76 41 38 90 - Fax : 04 76 41 22 61 Robot Millennium Version 15.0 Manuel dUtilisation Page 545 Les fonction de forme et leurs drives sont dfinies daprs les formules suivantes : o : Lx= )`=2 26,6GAL k EIGAL k EIzyyz respectivement pour les plans XY et XZ. Relations cinmatiques dans lcriture matricielle (thorie gomtrique linaire) De faon gnral, si linfluence des dformations imposes est prise en compte } , , {TzTyToo = Elincrment des dformations gnralises (sectionnelles) : 2D : RoboBAT, 2,rue Lavoisier, Montbonnot Zirst 38334 St-Ismier Cedex - France Tl. : 04 76 41 80 82 Fax : 04 76 41 97 03 Internet-web : http ://www.robobat.come-mail : service@robobat.fr RoboBAT, Service Technique Tl. : 04 76 41 38 90 - Fax : 04 76 41 22 61 Page 546 Robot Millennium Version 15.0 Manuel dUtilisation 3D : o : RoboBAT, 2,rue Lavoisier, Montbonnot Zirst 38334 St-Ismier Cedex - France Tl. : 04 76 41 80 82 Fax : 04 76 41 97 03 Internet-web : http ://www.robobat.come-mail : service@robobat.fr RoboBAT, Service Technique Tl. : 04 76 41 38 90 - Fax : 04 76 41 22 61 Robot Millennium Version 15.0 Manuel dUtilisation Page 547 Dformations dans le point (fibre) Etant donnes les dformations gnralises{ }z y ox , ,de la section, la dformationxlou son incrment xl dans un point quelconque de la section l aux coordonnes yl, zl est dfini comme : lincrment final de la dformation dans la fibre : 3. Contraintes et efforts internes dans llment Loi constitutive au niveau du point Elle est prise en mode gnral, incrmental, o les contraintes actuellessont dfinies en tant que fonction de la contrainte dans le dernier tat dquilibreet de lincrment actuel des dformations avec la prise en compte des dformations imposes (temprature) 1 + nxnx en se basant sur la fonction = f() qui dcrit la dpendance dans le processus de la charge active et sur la spcification de la loi de dchargement et de rechargement. Cela peut tre la loi lasto-plastique avec crouissage linaire et la loi de dchargement spcifie, cest--dire : (a) lastique, (b) plastique, (c) endommagement, (d) mixte. Pour le dchargement lastique, le processus passif et actif se droulent suivant la mme formule = f(). Dans les autres cas, il se droule suivant la droite dont le point initiale est dfini pour le processus de dchargement donn { } ,UNL UNL et le module de dchargement dfini comme : UNLD ne est une dformation mmorise pour laquelle le processus actif a commenc, initialis aprs le passage par 0 dans les contraintes lors du dchargement ( e ). 01=La rigidit actuelle considre comme drive est ncessaire dans lanalyse : RoboBAT, 2,rue Lavoisier, Montbonnot Zirst 38334 St-Ismier Cedex - France Tl. : 04 76 41 80 82 Fax : 04 76 41 97 03 Internet-web : http ://www.robobat.come-mail : service@robobat.fr RoboBAT, Service Technique Tl. : 04 76 41 38 90 - Fax : 04 76 41 22 61 Page 548 Robot Millennium Version 15.0 Manuel dUtilisation Dfinition des forces et rigidits sectionnelles Au niveau de la section, le vecteur des forces sectionnelles (contraintes gnralises) est cr : Les tats de cisaillement et de torsion sont traits comme lastiques linaires et non conjugus avec ltat des forces axiales/de flexion au niveau de la section.ST Les tats de compression/traction et flexion sont, de faon gnrale, traits comme conjugus laide de lapproche oriente fibre. Jusquau moment o ltat lastique est assur, cest--dire, les dformations gnralises satisfont la condition de ltat lastique suivant : NM o : la section est traite comme lastique et lapproche oriente fibre nest pas active. Si la condition de ltat lastique a t dpasse, les contraintes dues aux dformations axiales et la flexion sont dfinies sparment pour chaque fibre et partir de ces valeurs, on dfinit les grandeurs sectionnelles La rigidit au niveau D est dfinie : dans ltat lastique comme : } , , , , , {x z y z yGI GA k GA k EI EI EA diag = D Aprs le dpassement de la condition de ltat lastique comme : o : RoboBAT, 2,rue Lavoisier, Montbonnot Zirst 38334 St-Ismier Cedex - France Tl. : 04 76 41 80 82 Fax : 04 76 41 97 03 Internet-web : http ://www.robobat.come-mail : service@robobat.fr RoboBAT, Service Technique Tl. : 04 76 41 38 90 - Fax : 04 76 41 22 61 Robot Millennium Version 15.0 Manuel dUtilisation Page 549 Vecteur des forces nodales et matrice de rigidit de llment Ils sont dfinis laide des formules standard, en utilisant la quadrature de Gauss (Ngauss=3). 4. Non-linarit gomtrique Les cas de figures suivants sont considrs : 0B - initial nB - de rfrence (dernier pour lequel les conditions dquilibre sont satisfaites) 1 + nB - actuel (itratif) Le point de dpart de la formulation de llment est le principe des travaux virtuels, crit pour les incrments des dplacements sous forme suivante : o : incrment de la dformation lors du passage de Bn Bn+1, e, tant ses parties, respectivement : linaire et non-linaire par rapport lincrment des dplacements u, tant la contrainte rfre la configuration de rfrence, Cijkl tant le tenseur des modules dlasticits tangents. RoboBAT, 2,rue Lavoisier, Montbonnot Zirst 38334 St-Ismier Cedex - France Tl. : 04 76 41 80 82 Fax : 04 76 41 97 03 Internet-web : http ://www.robobat.come-mail : service@robobat.fr RoboBAT, Service Technique Tl. : 04 76 41 38 90 - Fax : 04 76 41 22 61 Page 550 Robot Millennium Version 15.0 Manuel dUtilisation Option Non-linarit Elle correspond la formulation non-linaire, cest--dire la thorie de IIme ordre. Puisque la non-linarit matrielle est possible, lon introduit la formulation incrmentale (mais sans modification de la gomtrie de llment). Relations cinmatiques Incrments des dformations dans lcriture matricielle : o : tant le gradient dincrment des dplacements g = u et tant la matrice de slection. RoboBAT, 2,rue Lavoisier, Montbonnot Zirst 38334 St-Ismier Cedex - France Tl. : 04 76 41 80 82 Fax : 04 76 41 97 03 Internet-web : http ://www.robobat.come-mail : service@robobat.fr RoboBAT, Service Technique Tl. : 04 76 41 38 90 - Fax : 04 76 41 22 61 Robot Millennium Version 15.0 Manuel dUtilisation Page 551 Vect