DESAFÍO 53: UN BILLAR ÁUREO Disponemos de en billar de “ϕ” de radio, a 1 de distancia de la banda está situada una bola, después de darle impulso rebota 2 veces en la banda y vuelve a su posición inicial. ¿Cuál es su recorrido? ¿Y si en vez de rebotar 2 veces rebota 3? La pregunta he de admitir que no es muy precisa, no se pide expresamente distancia, ángulos, ni puntos… es posible que rápidamente se vea su respuesta, pero para poder discutir entre nosotros se valora el como se llega a la ella, o una justificación, o mejor una demostración. Solución La solución con dos rebotes es la siguiente:

Y para el caso de tres rebotes, esta:

En general, la trayectoria de una bola sobre esta mesa será un polígono estrellado de infinitos lados. Dentro de estas trayectorias, existen dos familias muy especiales, que son las únicas cerradas:

• polígonos regulares • polígonos estrellados cuyos vértices son los de un polígono regular

En nuestro caso, las trayectorias que resuelven nuestro problema pertenecen a la segunda familia, y tienen por particularidad que la posición inicial de la bola está en la intersección de dos lados de nuestro polígono estrellado. Para demostrar que así es, tenemos que probar que si el polígono está inscrito en una circunferencia de radio ϕ, la intersección de los dos lados está a una distancia ϕ – 1 del centro. Esto es equivalente a decir que los lados del pentágono inscrito y e interior están en relación ϕ/( ϕ – 1). Esta relación la podemos calcular fácilmente:

( )( ) ( ) 2

534

1525

1515

15

15

15

12

512

51

r2

+=

+⋅+=

−⋅−

+=

−

+=

−+

+

=

Y ahora veamos que geométricamente, esta relación se cumple en nuestra estrella. En esta construcción tenemos cuatro triángulos:

• El triángulo ABC. Es isósceles y tiene por ángulos A = B = 36º y C = 108º. El segmento AB es el lado del lado del pentágono inscrito y tiene longitud ‘p’.

• El triángulo ACD. Es isósceles y tiene por ángulos A = 36º y C = D = 72º. El segmento CD es el lado del pentágono interior y tiene longitud ‘q’.

• El triángulo ACE. El punto E se escoge de tal forma que AC = AE, de modo que es isósceles. Dado que el ángulo A mide 36º es idéntico al triángulo ACD.

• El triángulo BCE. El ángulo C mide C = 180º - 72 º - 72º = 36º y el E mide E = 180º - 72º = 108º. Por lo tanto, es isósceles y BE = EC = CD = q. Es semejante al triángulo ABC.

Planteemos las relaciones de semejanza entre los triángulos ABC y BCE:

ABBC

BCEC

= � p

BCBCq

=

Y fijémonos en que:

qpAEACBC −===

Luego:

pqp

qpq −

=−

Operando:

( ) qpqp 2 ⋅=− � 01qp

3qp

2

=+

⋅−

Que tiene por solución:

253

qp

r±

==

Dado que, por planteamiento, p > q, la solución es:

2

53r

+=

Como queríamos probar.

Buscando soluciones en polígonos regulares y polígo nos estrellados regulares Clasificación de los polígonos Los polígonos regulares y estrellados regulares se pueden clasificar usando dos parámetros (a,b):

• ‘a’ es el número de vértices del polígono • ‘b’ es el número de vértices consecutivos que tenemos que recorrer en el polígono regular para

llegar al siguiente vértice de nuestro polígono Los polígonos regulares son la familia (a,1). Por ejemplo:

Polígono regular de cinco lados – Dado que pasamos de un vértice al siguiente, b = 1

Los estrellados son la familia (a,b), donde ‘b’ debe cumplir una serie de restricciones:

• ‘b’ debe ser mayor que uno. Así no incluimos los polígonos regulares • ‘a’ y ‘b’ deben ser primos entre sí. Así no incluimos polígonos estrellados que no pasen por

todos los vértices. • ‘b’ debe ser menor que a/2. Así no incluimos polígonos repetidos – el caso (a, b) sería el mismo

que el (a, b-a) –. De hecho, si ‘a’ y ‘b’ no son primos entre sí y ‘c’ es su máximo común divisor, existirán ‘c’ polígonos estrellados diferentes de a/c lados.

Polígono estrellado de ocho lados – Dado que, para construirlo, debemos pasar de un vértice al situado tres

posiciones más allá, b = 3

Polígonos estrellados de ocho lados degenerados por no ser ‘a’ y ‘b’ primos entre sí.

Soluciones en polígonos regulares En los polígonos regulares, la menor distancia entre el centro y cualquiera de sus lados se llama apotema ‘h’. Su relación con el radio de la circunferencia en la que se inscribe el polígono se puede calcular con la siguiente ecuación:

=aπ

cosRh

a h/R a h/R

1 --- 11 0.9595

2 --- 12 0.9659

3 0.5000 13 0.9709

4 0.7071 14 0.9749

5 0.8090 15 0.9781

6 0.8660 16 0.9808

7 0.9010 17 0.9830

8 0.9239 18 0.9848

9 0.9397 19 0.9864

10 0.9511 20 0.9877

Si un punto está a una distancia del centro menor que la apotema, ningún lado de un polígono de ‘a’ lados podrá pasar por él. Y, recíprocamente, si un punto está a una distancia del centro mayor que la apotema, entonces existe una trayectoria solución a nuestro problema que es un polígono regular de ‘a’ lados. Por ejemplo, en nuestro desafío de la semana, la distancia de nuestro al punto al centro es:

...381966.053

2r1

d =+

==

Como es menor que la apotema de ningún polígono regular, no hay soluciones de este tipo a nuestro problema.

Soluciones en polígonos estrellados regulares En los polígonos estrellados regulares, podemos encontrar dos tipos de soluciones. Caso 1: el punto inicial no está en la intersección de dos lados Si el punto no está situado en la intersección de dos lados, entonces para obtener una trayectoria cerrada habrá que recorrer el polígono completo. En consecuencia, la trayectoria tendrá ‘a’ rebotes. Existe una restricción a la distancia mínima al centro a la que se puede encontrar nuestro punto. En polígonos estrellados regulares, la apotema vale:

⋅=

abπ

cosRh

Al igual que sucede con los polígonos regulares, si un punto está a una distancia del centro menor que la apotema, ningún lado de un polígono de ‘a’ lados podrá pasar por él. Y, recíprocamente, si un punto está a una distancia del centro mayor que la apotema, entonces existe una trayectoria solución a nuestro problema que es un polígono regular de ‘a’ lados.

b

2 3 4 5

3 4 5 0.3090 6

7 0.6235 0.2225 8 0.3827 9 0.7660 0.1736 10 0.5878 11 0.8413 0.6549 0.4154 0.1423

a

12 0.2588

Por ejemplo, en nuestro desafío de la semana, la distancia de nuestro al punto al centro es:

...381966.053

2r1

d =+

==

Como es mayor que la apotema del caso a = 5, b = 2, hay solución sobre un polígono estrellado de cinco lados. Después veremos que cumple las condiciones del caso 2 y la trayectoria no tiene cinco rebotes.

Caso 2: el punto inicial está en la intersección de dos lados Empecemos contando cuántas intersecciones tiene un lado cualquiera. Un lado del polígono va desde un vértice hasta otro situado ‘b’ posiciones más allá, por lo que podemos decir que nos saltamos b – 1 vértices. Desde cada uno de estos b – 1 vértices nacen dos lados que, necesariamente, deben interceptar al lado de partida. Por lo tanto, un lado tiene 2·(b – 1) intersecciones. Los puntos se distribuyen de forma simétrica alrededor del punto medio de nuestro lado y, gracias a esta simetría, el número de puntos a estudiar se puede reducir a la mitad. Por lo tanto, tenemos que ver qué sucede en (b – 1) casos. Además, fijémonos en qué ocurre cuando recorremos un lado desde un vértice hacia el punto medio: el orden en que aparecen los puntos de intersección es el mismo que el de los vértices al que pertenecen los lados que producen esas intersecciones. Por lo tanto, podemos establecer una correspondencia entre vértices y puntos de intersección.

En un polígono (7,3), cada lado tiene 2·(3 – 1) = 4 intersecciones.

Ahora, veamos dos características de las trayectorias de la bola:

• Tienen número de rebotes menor que lados tiene el polígono.

Efectivamente, como nuestro punto está en una intersección, tenemos más de una forma de volver a él. Podemos hacerlo por el mismo lado en que empezamos, en cuyo caso necesariamente tendremos que dar ‘a’ rebotes. O podemos hacerlo por ese otro lado que llega al punto inicial. Como tendremos que pasar él antes de volver al lado inicial, necesariamente tendremos que dar menos de ‘a’ rebotes. Llamemos ‘n’ al número de rebotes por la trayectoria corta.

• Los rebotes posibles se presentan a pares.

Imaginemos que golpeamos la bola en un sentido de nuestra trayectoria y que hace ‘n’ rebotes antes de llegar al punto inicial. Si la hubiésemos golpeado en el sentido contrario, nuestra bola hubiese recorrido el polígono en sentido inverso, y para llegar al mismo punto hubiese necesitado ‘a – n’ rebotes. Por lo tanto, tenemos la posibilidad de dar ‘n’ o ‘a – n’ rebotes.

Calculemos el número de rebotes necesarios según sea el punto de intersección de partida. Numeremos los vértices de nuestro polígono desde 0 hasta a – 1; el lado 0-b será aquel por el que nos empecemos a mover. Numeremos también los puntos de intersección desde 1 hasta b – 1; recordemos que cada uno de ellos está asociado al vértice que llega el lado que interseca el lado de partida.

Cada vez rebote la bola, nuestra trayectoria habrá avanzado ‘b’ vértices. Por lo tanto, los puntos de rebote serán: ‘b’ para el primero, ‘2·b’ para el segundo, ‘3·b’ para el tercero, etc. Para mantenernos dentro del intervalo [0, a – 1], el punto al que llegamos tras el n-ésimo rebote lo podemos escribir en forma modular:

a mod bnvértice ⋅= Llegaremos al punto de intersección ‘q’ cuando estemos sobre el lado que vaya a parar al vértice ‘q’. Y si la bola rebota en el vértice ‘q’, habrá dado un rebote de más porque no tiene que llegar hasta ese vértice. Por lo tanto, el número de rebotes será el número ‘n’ que verifique la ecuación:

( ) a mod b1nq ⋅+= Y recordando la dualidad del número de rebotes, si recorremos la trayectoria en el otro sentido tendremos:

na'n −=

Para terminar, observemos que si el punto de partida está en una intersección, su distancia al centro del polígono es fija. Calculemos esa distancia. La apotema del polígono estrellado la podíamos calcular como:

⋅=

abπ

cosRh

Formemos un grupo con los vértices 1 de cada lado; otro con los vértices 2 de cada lado: etc. Si nos fijamos, veremos que cada grupo consiste en un polígono regular de ‘a’ lados. Cada grupo es más pequeño que el anterior y aparece girado con respecto al anterior un ángulo:

aπ

Por lo tanto, dos puntos de intersección consecutivos se ven bajo este ángulo desde el centro del polígono. Esta propiedad la podemos aprovechar para calcular la apotema como una función de la distancia del punto de intersección al centro ‘l’:

( )

−⋅⋅=

aqbπ

cosRl

Rh

de donde podemos despejar la distancia al centro del punto de intersección:

( )

−⋅

⋅

=

aqbπ

cos

abπ

cos

Rl

Hagamos recopilatorio de todas las condiciones que hemos ido imponiendo:

• ‘a’ y ‘b’ son primos entre sí.

• 2a

b1 <<

• 1bq1 −≤≤ Me queda la duda de si la distancia ‘l’ es única. Es decir, dados ‘a’, ‘b’ y ‘q’, no existen otros ‘a*’. ‘b*’ y ‘c*’ tales que l = l*. Me huelo que así es, pero ya no me da tiempo a probarlo. En fin, volvamos al problema original y supongamos que la combinación ‘a’, ‘b’ y ‘q’ es única. Buscamos dos trayectorias, una con dos rebotes y otra con tres, que salen de un mismo punto. De acuerdo con todo lo anterior, buscamos un polígono estrellado de cinco lados. Luego:

• a = 5

• 25

b1 << � b = 2

• 1q1 ≤≤ � q = 1 Luego:

( )( )( )

...381966.036cos72cos

512π

cos

52π

cos

Rl

==

−⋅

⋅

=

y tomando R = ϕ, nos queda l = ϕ – 1. Qué casualidad.