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DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S. TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 0 2.12. PROBLEMAS RESUELTOS 2.12.1. Del siguiente grupo de vectores Hallar si |A | = 10 m , |B | = 20 m, |C | = 5 m, |D | = 22 m, α = 40°, φ= 75°, θ = 35° Hallar: a) σ R−D b) R C−C Solución: 21,712 288 , 68 - 90 288 , 68 ,388 4 11,020 - Rx Ry tg resultante vector del direccion la calcular para ngente funcion ta la Aplicando m 11,861 R 11,020 - ,388 4 Ry Rx R : Pitagoras de teorema el Aplicando m 11,020 - Ry m ,388 4 Rx 75 sen 5 - 35 sen 22 40 sen 10 Ry 20 75 cos 5 40 cos 10 5 3 cos 2 2 Rx Cy - Dy Ay Ry B - Cx - Ax Dx Rx Ry Cy - Dy Ay Rx B - Cx - Ax Dx Ry V Rx V Y eje y X eje el ene vectores de sumatoria Aplicando 2 2 2 2 Y X a) Calculo del ángulo entre la resultante y el vector D ( σ R−D ) b) Calculo de la componente de la resultante encima del eje formado por el vector C Datos A = 10 m α = 40° B = 20 m C = 5 m φ = 75° D = 22 m θ = 35° Ax Cx Cy Dx Ay Dy R Ǿ Ry Rx β β δ 288 , 33 712 , 21 5 3 90 90 90 15°° 834 , 8 ) 712 , 21 15 cos( 020 , 11 ) 15 cos( m R R R R C C C C C C

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TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 0

2.12. PROBLEMAS RESUELTOS

2.12.1. Del siguiente grupo de vectores Hallar si |A | = 10 m , |B | = 20 m, |C | = 5 m, |D | = 22 m, α = 40°, φ =

75°, θ = 35° Hallar: a) σR−D b) RC−C

Solución:

21,712 288,68 -90 288,68 ,3884

11,020-

Rx

Rytg

resultante vector deldireccion lacalcular para ngentefuncion ta la Aplicando

m 11,861R 11,020- ,3884RyRxR

:Pitagoras de teoremael Aplicando

m 11,020- Ry m ,3884Rx

75sen5-35sen 2240sen 10Ry 2075 cos5 40 cos1053 cos22Rx

Cy-DyAyRy B-Cx-AxDxRx

RyCy-DyAy Rx B-Cx-AxDx

RyV Rx V

Y ejey X eje el ene vectoresde sumatoria Aplicando

2222

YX

a) Calculo del ángulo entre la resultante y el vector D ( σR−D )

b) Calculo de la componente de la resultante encima del eje formado por el vector C

Datos

A = 10 m

α = 40°

B = 20 m

C = 5 m

φ = 75°

D = 22 m

θ = 35°

��

𝛼

��

𝜑

��

𝜃

��

��

𝑩 𝛼

��

𝜑

��

𝜃

Ax Cx

Cy

Dx

Ay

Dy

R

Ǿ

Ry

Rx

β

��

𝜽

β δ

��

288,33

712,2153 90

90

90

𝑪

��

𝜑

15°°

𝛽

𝑪

𝑹𝑪−𝑪

834,8

)712,2115cos(020,11

)15cos(

mR

R

RR

CC

CC

CC

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2.12.2. Tres vectores de |A | = 100 m, |B | = 75 m y |C | = 165 m, tienen como resultante |R | qué forma 315° con el

vector B , asimismo el vector B y C forman un ángulo de 250°. (Nota: los ángulos se miden en sentido contrario

de las agujas del reloj). Hallar: a) El ángulo que forma el vector A con la resultante R , b) La componente del

vector R sobre el eje formado por el vector A-A.

Solución:

813,29 8627,0 2sen 11,8627 2sen 3648,1sencos21

100

7570cos16570sen165sensencos2cos

BCxCysencos

BCxCysenAcosA

BCxCyAyAx

CyAyxAx

RyRx

2 Ec. Ry CyAy 1 Ec. Rx xAx

RyV Rx V

Y ejey X eje el ene vectoresde sumatoria Aplicando

2

2

22

2

2

YX

A

CB

CB

a) El ángulo que forma el vector A con la resultante R

b) La componente del vector R sobre el eje formado por el vector A-A.

Datos

A = 100 u

B = 75 u

C = 165 u

θ = 70°

R=

σ = 45°

Ax θ α

Cx

Ay

B

C

A

Cy

R

σ

Ry

Rx

B

α

A

θ

C

813,74

813,2945

024,39

)813,74cos(962,148

)cos(

R componente la de Calculo

m 962,481R

70cos16575813,29cos10045cosR

x AxRx

1 Ec. De

A-A

mR

R

RR

CB

AA

AA

AA

R

α

Ǿ

A

σ

R

Ǿ

A

A

RA-A

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2.12.3. Tres vectores situados en un plano tienen de |A | = 22 m, |B | = 35 m y |C | = 15 m de magnitud. El primero y

el segundo forman un ángulo de β=80º mientras que el segundo y el tercero forman un ángulo de θ =130º.a)

Encontrar la magnitud del vector |L |que es el doble de la resultante y su dirección respecto del menor de los

vectores. b) Encontrar la magnitud del vector dado por F = −2 ∙ A + 3 ∙ R (todos los ángulos se miden en

sentido anti horario).

Solución:

a) Encontrar la magnitud del vector |L |que es el doble de la resultante y su dirección respecto del menor de los vectores.

b) Encontrar la magnitud del vector dado por F = −2 ∙ A + 3 ∙ R

Datos

A = 22 m

B = 35 m

C = 15 m

𝛽 = 80°

θ = 30°

22,149

224,299030

Cy L entre angulo del Calculo

m 91,80

776,60cos222901,3032222901,303

cos23223

cosenos de teoremael Aplicando

22

222

F

F

ARARF

��

θ

��

��

𝛽

Bx

θ

Cx

By

C

B

Cy

A β

776,60

90224,29180

180

180

29,224 776,60 1,787 087,15

26,968

Dx

Dy) tan(

vector deldireccion la de Calculo

m 901,30R 26,968087,15 RyRx

vector del modulo del Calculo

m 26,968 Ry m 087,15Rx

30518035Ry 30cos1580cos3522Rx

Ry By Rx Cx

RyV Rx V

Y ejey X eje el ene vectoresde sumatoria Aplicando

2222

YX

R

R

R

sensen

CyBxA

R

Ǿ

��

β φ

θ

��

Ǿ α

α

mL

L

RL

80,61

901,302

2

L vector del modulo del Calculo

β

δ

𝟑 ∙ ��

−𝟐 ∙ ��

𝜶

𝟑 ∙ ��

−𝟐 ∙ ��

��

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2.12.4. Cuatro vectores de |A | = 50 u, |B | = 75 u, |C | = 90 u y D tienen como resultante |R | = 50 u y se encuentra

en el tercer cuadrante formando un ángulo de 25° con la vertical , α = 40°, φ = 35°, θ = 75°. Hallar: a) El

ángulo que forma el vector D con la resultante R b) El modulo y dirección del vector R1 = 3 ∙ D +C

Solución:

a) El ángulo que forma el vector D con la resultante R

b) El modulo del vector R1 = 3 ∙ D +C y el ángulo que forma el vector R1 con el vector C

Datos

A = 50 u

B = 75 u

C = 90 u

α = 40°

𝜑 = 35°

θ = 70°

R= 50 u

σ = 65°

Dx

θ

Cx

Dy

B C

D

Cy

R

σ

Ry

Rx

B

α

��

θ

��

948,139

948,7465

745,2 254,6770

254,67 96,994

917,153052,35sen sen

R

D3sensen

R

sen

D3

sen

senos los de teoremael Aplicando

994,96

052,35cos90917,513290917,513

cos323

cosenos de teoremael Aplicando

11

11

1

22

1

222

1

CRCR

uR

R

CDCDR

��

𝜑

By

Bx α

𝜑

β

��

A Ay

Ax β

R

β Ǿ

D

σ

052,35

948,7470180

180

180

948,74 -3,718 483,13

50,136

Dx

Dy) tan(

vector deldireccion la de Calculo

917,51D 50,136483,13 DyDxD

vector del modulo del Calculo

u 50,136 Dy u 483,13Dx

6550709040503575Dy 65cos5070cos9040cos5035cos75Dx

Ry CyAyDy Rx CxxBx

Ry CyAyDy Rx CxxBx

RyV Rx V

Y ejey X eje el ene vectoresde sumatoria Aplicando

2222

YX

D

u

D

sensensensen

ByADx

ByADx

γ

δ 3.��

��

R1

R1

C

β γ

D

θ δ

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2.12.5. Dado los siguientes vectores en el espacio B = (5,4,3) y F = (2,3, −4) : a) realizar los gráficos, b) hallar los

vectores unitarios B y F c) Hallar los cosenos directores de los vectores B y F

a) realizar los gráficos

B = (5,4,3) F = (2,3, −4)

b) hallar los vectores unitarios B y F

c) Hallar los cosenos directores de los vectores B y F

B = (5,4,3) F = (2,3, −4)

Bx= 5

By= 4

Bz= 3

��

𝛼 𝜃

𝛽

Fx= 2

Fy= 3

Fz=- 4

𝐹

𝛿

𝜑

kji

kji

u

BzByBx

ˆ4243,0ˆ5657,0ˆ7071,0b

071,7

ˆ3ˆ4ˆ5

B

Bb

b unitario vector del Calculo

071,7B

345B

B

B de modulo del Calculo

222

222

kji

kji

u

FzFyFxF

ˆ743,0ˆ557,0ˆ371,0f

385,5

ˆ4ˆ3ˆ2

F

Ff

f unitario vector del Calculo

385,5F

432F

F de modulo del Calculo

222

222

89,64 4243,0071,7

3

Bcos

55,55 5657,0071,7

4

Bcos

0,45 7071,0071,7

5

Bcos

Bz

By

Bx

01,42 743,0385,5

4

Fcos

15,56 557,0385,5

3

Fcos

22,68 371,0385,5

2

Fcos

Fz

Fy

Fx

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2.12.6. Dado los vectores A = (2,5, −3) y C = (−3,4,4), a) Graficar los vectores b) Hallar el ángulo que forman los

vectores A y C en forma escalar , c) Hallar el ángulo que forman los vectores A y C en forma vectorial

a) Grafico de los vectores A y C

b) Hallar el ángulo que forman los vectores A y C en forma escalar

c) Hallar el ángulo que forman los vectores A y C en forma vectorial

𝐴

∅ 𝐶

𝑥

𝑦

𝑧

1,87 0,0507 4031,61644,6

2

CA

CAcos cosCACA

2CA 43-453-2 4,4,32,5,-3CA

4031,6 443C

1644,6A 352A

2

222222

222222

u

uCCzCyCx

uAzAyAx

1,87 0,9987 4031,61644,6

4208,39

CA

CxA CACxA

4208,39CxA

23132CxA

ˆ23ˆ1ˆ32CxA

ˆ)5()3()4(2ˆ)3()3()4(2)3()4()4()5(

443

352

ˆˆ

CxA

2

222

sensen

u

kji

kji

kji

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2.12.7. Si la superficie de un terreno tiene forma de un paralelogramo y está definido por dos vectores A(5,-3,3) km y

B( 6,3,-2) km. a) Graficar la forma del terreno, b) Hallar el área del terreno en forma vectorial, c) Hallar los

ángulos internos del terreno.

a) Graficar la forma del terreno

b) Hallar el área del terreno en forma vectorial

c) Hallar los ángulos internos del terreno.

06,109 2

94,702360

2

2360

36022

angulo del

94,70 9452,0 557,67

382,43

AB

AB ABAB

7B 236B

557,6A 335A

222222

222222

Calculo

xsensenx

kmBzByBx

kmAzAyAx

��

𝐴

𝑥

𝑦

𝑧

𝛼

𝛼

2

2

222

382,43

382,43AxB

33283AxB

ˆ33ˆ28ˆ3AxB

ˆ)3()5()3(6ˆ)2()5()3(6)2()3()3()3(

335

236

ˆˆ

AxB

kmArea

km

kji

kji

kji

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2.12.8. Dado los vectores A y B mostrados en la figura en donde |A | = 30 m y |B | = 50 m. Hallar : a) El producto

escalar A oB , b) Hallar el ángulo que forman A y B en forma vectorial.

a) El producto escalar A xB

b) Hallar el ángulo que forman A y B en forma vectorial.

8

m 6

m

3

m

��

��

Y

X

Z

kjik,j,i-,b

k,j,i-,bk,j,i-,kji

F

F

mFFzFyFxF

FHNFNFH

736,28 368,14 38,314 B 57470 28740 7663050ˆBB

57470 28740 76630 ˆ 57470 28740 76630 10,440

63 8f

440,10 638

)6,3,8( )0,3,0()6,0,8(

obtiene se grafico Del

222222

��

��

��

��

2

222222

57,1231AB

)82,26(736,28)41,13()368,14(038,314)(AB

82,26 41,13 0 736,28 368,14 38,314AB

escalar producto del Calculo

82,26 41,13 0 A 8940 4470 0 30ˆAA

8940 4470 0 ˆ 8940 4470 0 6,708

63 0ˆ

708,6 630

)6,3,0( )6,0,8()0,3,8(

obtiene se grafico Del

m

kjikji

kjik,j,ia

k,j,iak,j,ikji

S

Ss

mSSzSySxS

SNCSCSN

��

��

�� ��

81,34 0,8210 3050

57,1231

A

Acos cos

B

BABAB

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TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 8

2.12.9. Dado los vectores A y B mostrados en la figura en donde |A | = 10 m y |B | = 20 m. Hallar :a) Hallar el

producto vectorial A xB , b) Hallar la componente del vector A sobre eje formado por el vector B-B

a) Hallar el producto vectorial A xB

b) Hallar la componente del vector A sobre eje formado por el vector B-B

5

m 8

m

2

m

��

��

Y

X

Z

kjikj,i-,b

kj,i-,bkj,i-,kji

F

F

mFFzFyFxF

FHNFNFH

0 428,7 18,57 B 0 37140 9285020ˆBB

0 37140 92850 ˆ 0 37140 92850 385,5

02 5f

385,5 025

)0,2,5( )8,2,0()8,0,5(

obtiene se grafico Del

222222

kjik,j,ia

k,j,iak,j,ikji

S

Ss

mSSzSySxS

SNCSCSN

702,9 425,2 0 A 97020 24250 0 10ˆAA

97020 24250 0 ˆ 97020 24250 0 8,246

82 0ˆ

246,8 820

)8,2,0( )8,0,5()0,2,5(

obtiene se grafico Del

222222

��

��

�� ��

mA

AA

kjikji

B

BABAB

BB

BB

901,0

83,84cos10cos

83,84

0,0901 1020

702,9 425,2 0 0 428,7 18,57cos

A

Acos cos

��

�� ��

��

kji

kji

kji

ˆ032,45ˆ166,180ˆ066,73BxA

ˆ)425,2()57,18()4,7(0ˆ),7029()57,18()0(0),7029()428,7()0()4,2(

0428,757,18

,7029425,20

ˆˆ

BxA

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2.12.10. La suma de de 2 vectores A y B es 5i + j + 3k, su producto vectorial A xB = -10i – j + 17k y su producto escalar

A ∙ B = 6 u. ¿Hallar los vectores A y B ?.

k) 0,0543,351244,0(By k) 946,2351,2244,5(A

2Solucion

k) 661,2220,2101,4(By k) 339,0220,3899,0(A

1Solucion

0,054 946,23 946,2 5

1244,5

5

3

661,2 339,03 339,0 5

1899,0

5

3

3,351 351,21 351,2 5

17 244,5

5

1

220,2 220,31 220,3 5

17 899,0

5

1

244,0 244,5 5 244,5

101,4 899,0 5 899,0

352

165354215215

0165215 35

225169154528934 85 525125

22513154517 85 525125

(25)* 105

1

5

3

5

1

5

33

5

17

5

1

5

17

5

15

1035

1031 5

10

5

17

5

1

5

1

5

3

175 153 1013

175 153 1013

17 5 1 1 53 1013

17 1 10

17 10

3 1 5

3 1 5

3 5

2

2

222

222

22

2

222

jiji

jiji

BzBzAzAz

BzBzAzAz

ByByAyAy

ByByAyAy

BxBxAx

BxBxAx

Ax

AxAx

AxAxAxAxAxAxAxAx

AxAxAxAxAxAx

AxAxAxAxAxAx

AzAzAyAyAxAx

AzAzAyAyAxAx

BzAzByAyBxAxBzByBxAzAyAxBA

AyAxAzAx

AyAxAzAxAzAy

AxAyAyAyAxAxAzAxAzAzAxAxAyAzAzAyAzAy

AxAyAyAxAxAzAzAxAyAzAzAy

AyBxByAxAzBxBzAxAzByBzAy

kjikAyBxByAxjAzBxBzAxiAzByBzAyBzByBx

AzAyAxBxA

AzBzAyByAxBx

BzAzByAyBxAx

kjikBzAzjByAyiBxAxkBzjByiBxkAzjAyiAxBA

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2.12.11. Se tiene dos vectores A y B cuya suma es S = A + B = −4i − 6j + 2k paralelos entre si y cuyo producto

escalar es -22. Hallar dichos vectores

k) 4,9542,862908,1(By k) 954,2862,8908,5(A

2Solucion

k) 393,1821,7241,5(By k) 607,0821,1241,1(A

1Solucion

4,954 954,222 954,2 908,55,050

393,1 607,02 2 607,0 214,15,050

2,862 ,8628 6 6 862,8 908,55,151

821,7 821,1 6 6 821,1 214,15,151

908,1 5,9084 4 908,5

241,5 241,14 4 241,1

32

22341414

022143

022143

22,25025,294

22,50 ,50 25,15,164

22264

2226 4

22

5,1 ,50

0 5,1 02 03

04 6 042 062

0 4 6 0 42 062

0 0 0

00 0

2 6 4

2 6 4

26 4

2

2

2

222

222

222

jiji

jiji

BzAzBzAzAx,Az

BzAzBzAzAx,Az

ByAyByAyAx,Ay

ByAyByAyAx,Ay

BxAxBxAx

BxAxBxAx

Ax

AxAx

AxAx

AxAxAxAxAxAx

AxAxAxAxAxAx

AzAzAyAyAxAx

AzAzAyAyAxAx

BzAzByAyBxAxBzByBxAzAyAxBA

AyAxAzAx

AyAxAzAxAzAy

AxAyAyAyAxAxAzAxAzAzAxAxAyAzAzAyAzAy

AxAyAyAxAxAzAzAxAyAzAzAy

AyBxByAxAzBxBzAxAzByBzAy

kjikAyBxByAxjAzBxBzAxiAzByBzAyBzByBx

AzAyAxBxA

AzBzAyByAxBx

BzAzByAyBxAx

kjikBzAzjByAyiBxAxkBzjByiBxkAzjAyiAxBA

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2.12.12. Hallar el vector unitario de un vector de módulo 20 que sea perpendicular a (2, –4, 0) y forme un ángulo de 30°

con (0, 0, 4).

k) 544,18350,3,7006(A

1Solucion

350,3 700,65,05,0

2 Ec. De

700,6

896,44

120,5625,1

400880,343 25,0

400544,18 5,0

400

1 Ec. laen 2 Ec.y 3 Ec. la doReemplazan

3 Ec. 544,18 20

22cos

20420

4

0,0,4,,

4 ,0,0,, cos cos

22 anguloun formen (0,0,4) vector elcon vector el que paraCondicion

2 Ec. 5,0 042 00 ,4,2,, 0

0 ,4,2 vector elcon vector del laridadperpenticu deCondicion

1 Ec. 400 20

buscado vector al Llamamos

2

2

22

222

222

222222

ji

AyAxAy

Ax

Ax

Ax

AxAx

AxAx

AzAyAx

AzAz

AzAz

AzAyAx

AzAyAx

CA

CACACA

CA

AxAyAyAxAzAyAxBA

BA

AzAyAxAzAyAxA

kAzjAyiAxA

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2.12.13. Hallar el volumen y superficie en forma vectorial de una prisma de base un hexágono de lado a y altura 4.a.

a

4.a

Y

X

Z

a

60°

60° 60°

a a

392,10 6012 433

:1 Ec laen el doReemplazan

4

00cos00cos4 0000

040

00

0cos

volumen del Calculo

1 Ec 3 2

6

prisma la de volumen del Calculo

)0 ; 4 ; 0( )0 ; 0 ; ( ) ; 0 ; cos(

: vectoreslos obtiene se grafico Del

prisma la de volumen del Calculo a)

333

1

1

3

1

1

1

1

11

asenasena

sena

aasenaaaasena

a

a

senaa

HBxA

aCaBsenaaA

TTT

TT

��

��

��

Y

X

Z

a

4.a

θ

��

��

Y

Z

4.a

a

��

�� X

Z

a θ

22

22

21212

1

2

2

2222

2

2

2

2

1

2222

1

2

1

1

1

196,2 6046

46 6662

626

: totalArea del Calculo

00

00cos0cos i000

00

0cos

4 004

0040040000 400

040

00

volumen del Calculo

)0 ; 4 ; 0( ) ; 0 ; 0( )0 ; 0 ; ( ) ; 0 ; cos(

: vectoreslos obtiene se grafico Del

prisma la de lsuperficia area del Calculo b)

aAsenaA

senaaAAAAA

AA

senaAsenaA

kaajsenaaasenaA

a

senaaBxAA

aAaA

kjiakajaiaaA

a

aHxCA

aHaCaBsenaaA

TT

T

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TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 13

2.12.14. Una prisma de base un pentágono de lado b y altura 5 u tiene un volumen de 2000 u³ Hallar: a) El lado del

pentágono en forma vectorial b) La superficie externa de dicho pentágono en forma vectoria .

uausenbsenah

senah

aasenaaahsena

h

a

senaa

HBxA

hCaBsenaaA

T

TT

971,12 249,15b 2000728506,055,2 5,25,2

:1 Ec laen el doReemplazan

00cos00cos 0000

00

00

0cos

volumen del Calculo

1 Ec 5,2 2

5

prisma la de volumen del Calculo

)0 ; ; 0( )0 ; 0 ; ( ) ; 0 ; cos(

: vectoreslos obtiene se grafico Del

prisma la de altura la de Calculo a)

22

1

1

2

1

1

1

1

11

��

��

Y

Z

5

a

��

�� X

Z

a θ

²24,1124 72971,12971,1255

5 5552

525

: totalArea del Calculo

00

00cos0cos i000

00

0cos

00

00000000 00

00

00

volumen del Calculo

)0 ; ; 0( ) ; 0 ; 0( )0 ; 0 ; ( ) ; 0 ; cos(

: vectoreslos obtiene se grafico Del

prisma la de lsuperficia area del Calculo b)

2

2

21212

1

2

2

2222

2

2

2

1

222

1

1

1

1

uAsenA

senaahAAAAA

AA

senaAsenaA

kaajsenaaasenaA

a

senaaBxAA

ahAahA

kjiahkhjaiahA

h

aHxCA

hHaCaBsenaaA

TT

T

Y

X Z b

5 u

��

��

��

Y

X

Z

b

h=5

θ b5,0

b

72°

54° 54°

a a

36° a

baa

bsen

8506,0

5,036

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TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 14

2.12.15. Cuatro vectores A , B , C y D definen una prisma en el espacio, el vector de menor longitud es el vector que

define la prisma, A(5,5,3), B(-2,2,2), C(2,5,-2), D(-3,4,-1): Hallar el volumen de la prisma y

3 52

3437314472 13431

321

434

137

prisma la de volumen del Calculo

)3 ; 2 ; 1( )2 ; 2 ; 2()1 ; 4 ; 3(

)4 ; 3 ; 4( )2 ; 2 ; 2()2 ; 5 ; 2(

)1 ; 3 ; 7( )2 ; 2 ; 2()3 ; 5 ; 5(

: vectoreslos obtiene se grafico Del

prisma la de volumen del Calculo a)

u

HNxL

HHBDHDHB

NNBCNCNB

LLBALALB

𝐴

��

𝐶

�� ��

�� ��