Ondas de Materia: Dualidad Partıcula–Onda 55

5.1. Ondas de materia.

En 1924, Louis de Broglie propuso que, al igual que la radiacion electromagnetica lleva asociada

un corpusculo o partıcula, el foton, de forma que la propiedades ondulatorias, λ y ν, propor-

cionan la enerıa y el momento a traves de E = hν, p = h/λ, toda partıcula de energıa E y

momento P lleva asociado un movimiento ondulatorio de longitud fe onda λ = h/p. Ası pues,

los conceptos corpusculares (E y p) y los ondulatorios /λ, ν) se relacionan entre sı a traves de

la constante de Planck.

La cuestion es si estas ondas, ondas de materia, pueden ser detectadas experimentalmente. Para

esto hay que tener en cuenta el hecho de que los dispositivos fısicos disenados para medir una

longitud de onda dada deben tener unas distaccias caracterısticas del orden de las longitudes

que se quieren medir. Por ejemplo, una red de difraccion con 500 lıneas por milımetro (distancia

entre lıneas de 2.000 nm, o 20.000 A) permiten determinar longitudes de onda en el espectro

visible (entre 400 y 700 nm) con bastante precision. Si aplicamos la relacion de de Broglie a

una partıcula macroscopica de masa 1g y velocidad 10 m/s, su longitud de onda es del orden

de 10−32m, mas de 15 ordenes de magnitud mas pequena que el tamano de las partıculas mas

ligeras que se conocen). Es por esto por lo que si se quiere observar el caracter ondulatorio

de la materia es necesario trabajar con partıculas atomicas o subatomicas que, con su masa y

momento tan pequenos, den lugar a una longitud de onda lo suficientemente grande como para

ser medida experimentalmente. Por ejemplo, un electron de E = 100eV (la energıa cinetica que

adquiere cuando es acelerado con una diferencia de potencial de 100V) llevarıa asociado una

onda de materia de λ = 1,2A.

La medicion de longitudes de onda de ese orden no se pudo llevar a cabo hasta 1912, ano

en el que los trabajos de von Laue y, posteriormente, Bragg sobre redes cristalinas, permiten

utilizar cristales, que son estructuras periodicas que se encuentran ya formadas, para estudiar

la dispersion de un enete fısico en su interaccion con ellas.

5.1.1. Ley de Bragg

5.1.2. Experimento de Davidson y Germer

Este experimento, llevado a cabo en 192 con electrones de 54 eV, a los que les corresponderıa

una λ =, los cuales se hicieron incidir sobre un cristal de cutya distancia entre planos es de

d = A.

56 5 Ondas de Materia: Dualidad Partıcula–Onda

5.1.3. Experimento de Thomson

Einstein en 1905 propone la teorıa cuantica de la radiacion en la que a las ondas electromagneti-

cas se les asocia propiedades tıpicas de partıculas como energıa y momento, aun manteniendo

propiedades caracterısticas de las ondas como longitud de onda, o frecuencia y naturalmente

produciendo fenomenos tıpicamente ondulatorios como los de difracion o interferencia. En 1923,

Louis de Broglie propone lo contrario, esto es, asociar a una partıcula propiedades de onda, com-

pletando de esta forma la dualidad onda–partıcula. Estas nuevas ideas desembocaron en la

mecanica ondulatoria de Schrodinger, que posteriormente el mismo mostro que era equivalente

a la denominada mecanica de matrices de Heisenberg, y que son el nucleo central de la moderna

Mecanica Cuantica.

Las ideas de De Broglie apuntan hacia una relacion mas fundamental entre ondas y partıculas

que la apuntada por Einstein para la teorıa del foton. El punto de partida de estas ideas lo toma

del propio Hamilton quien habıa establecido, en la forma indicada en el primer capıtulo, una

estrecha relacion formal entre los rayos definidos en la optica geometrica y las trayectorias de la

dinamica de sistemas de partıculas.

Recordemos que para un rayo de luz en un medio cuyo ındice de refraccion es n(x, y, z) Fermat

nos proporciona las ecuaciones para la trayectoria que seguira el rayo en forma de enunciado

variacional, y que hay conocemos como principio de Fermat (1657)

δ

∫ B

A

ds

u(x, y, z)= 0, u(x, y, z) =

c

n(x, y, z)(5.1)

siendo u(x, y, z) la velocidad de fase de la onda. El principio nos dice que el rayo de luz va desde

el punto A al punto B siguiendo una trayectoria en la que el camino de transito es un extremo.

La ecuacion (5.21) puede ser escrita en terminos de la longitud de onda λ(x, y, z), entonces como

para una radiacion de frecuencia ν, νλ(x, y, z) = u(x, y, z), la ecuacion puede escribirse como

δ

∫ B

A

ds

λ(x, y, z)= 0. (5.2)

Por otra parte para una partıcula sometida a la accion de un potencial, Maupertius en 1744

enuncia el principio de mınima accion como condicion que determina la trayectoria que sigue

dicha partıcula como

δ

∫ B

A2T (x, y, z)ds = 0. (5.3)

Esta ecuacion nos dice que el movimiento de la partıcula entre dos puntos A y B es tal que la

integral de la energıa cinetica a lo largo de la trayectoria que sigue ha de ser un extremo. Si se

aproxima la velocidad por ds/dt y por tanto se cumple la relacion dt =√

m/2Tds, para una

partıcula en un potencial V (x, y, z) podemos escribir

Ondas de Materia: Dualidad Partıcula–Onda 57

δ

∫ B

A2T (x, y, z)dt = δ

∫ B

Amv(x, y, z)ds = δ

∫ B

Ap(x, y, z)ds

= δ

∫ B

A

√

2m [E − V (x, y, z)]ds = 0. (5.4)

La comparacion de las ecuaciones (5.24) y (5.22) sugiere una equivalencia entre ambos movi-

mientos, si se admite que el momento lineal de la partıcula y el ındice de refraccion de los

fenomenos opticos son proporcionales, o sea

n(x, y, z) ∝ p(x, y, z), o bien1

λ(x, y, z)∝ p(x, y, z). (5.5)

Atendiendo a estas consideraciones de caracter fundamental de Broglie propone que este para-

lelismo no es solo formal sino que es intrınseco a la naturaleza de las cosas. El afirma que una

partıcula de energıa E y momento p lleva asociada una onda de frecuencia ν y longitud de onda

λ, dada por

ν =E

h, λ =

h

p(5.6)

Para justificar esta relacion utiliza argumentos de relatividad especial. El sabe que el tetravector

energıa–momento asociado a una partıcula de masa m0 y velocidad v, en un sistema inercial, es

(~p,iE

c) =

m0vx√

1 −(

vc

)2,

m0vy√

1 −(

vc

)2,

m0vz√

1 −(

vc

)2,

im0c√

1 −(

vc

)2

. (5.7)

En el mismo sistema inercial una onda plana esta representada por

Ψ(x, y, z, t) = ei(kxx+kyy+kzz−ωt). (5.8)

La longitud de onda podemos escribirla en terminos del modulo del vector ~k = (kx, ky, kz) como

|k| = 2πλ

. Ademas el exponente de la onda plana puede escribirse como (~k · ~r − ωt) que no es

otra cosa que el producto escalar de los tetravectores (~k, iωc) y (~r, ict). De la comparacion de

los vectores (~k, iωc) de la onda y el (~p, iE

c) para la partıcula de Broglie establece las relaciones

de proporcionalidad que se resumen en (5.26). Estas relaciones completan la dualidad onda–

partıcula.

Aunque la naturaleza de la onda que asociamos a la partıcula no aparece aun clara podemos

apuntar las propiedades siguientes:

1. La velocidad de fase de una onda plana es u = νλ, para una partıcula de masa m y

momento lineal p, segun la hipotesis de de Broglie sera u = c2

v. Segun esto la velocidad de

fase es mayor que la velocidad dela luz, aunque no lo sea la velocidad de la partıcula.

58 5 Ondas de Materia: Dualidad Partıcula–Onda

2. La velocidad de grupo vg de una onda viene dada por

1

vg

=d

dν

(

1

λ

)

, u = νλ. (5.9)

Utilizando las relaciones (5.26) podemos escribir la relacion

1

vg=

d(

Ph

)

d(

Eh

) =dP

dE. (5.10)

Ahora bien la relatividad dice que p2 = E2

c2− m2

0c2, ası que

1

vg=

Ec2

p=

E

pc2=

1

v. (5.11)

Se obtiene ası que la velocidad de grupo de la onda es igual a la velocidad de partıcula,

vg = v.

3. La onda (5.28) que debemos asociar al electron en un atomo de hidrogeno conduce a la

condicion de cuantificacion de Bohr como sigue: Si suponemos que la condicion para esta-

dos estacionarios coincide con la condicion de ondas estacionarias para la onda asociada,

entonces el perımetro de la orbita seguida por el electron debe ser un multiplo entero de

la longitud de onda 2πa = nλ siendo a el radio de la orbita, entonces de la condicion de

de Broglie λ = hp

obtenemos que 2πpa = nh, que es justo la condicion de cuantificacion de

Bohr.

En 1924 de Broglie parace haber sugerido a A.Dauvillier un experimento de difraccion de elec-

trones por cristales para comprobar su teorıa, pero desafortunadamente para Dauvillier el ex-

perimento no fue realizado. El experimento crucial lo realizaron Davidson y Germer en 1927 y

Thomson por otro lado, trabajando ambos con electrones y cristales de metales como el niquel,

encontrando fenomenos inequivocos de difraccion. Experimentos similares fueron realizados por

Kikuchi en Japon y Rupp en Alemania. Posteriormente se realizaron experimentos con haces

de Hidrogeno y Helio por Estermann, Stern y Frish en 1930, y en 1947 Fermi, Marshall y Zinn

comprobaron el comportamiento ondulatorio de los neutrones. Todos los experimentos estan en

perfecto acuerdo con la relacion λ = hp.

Los experimentos de difraccion de electrones de Davidson y Germer de 1927, Thomson 1927 y

Rupp en 1928 muestran que los electrones tienen tambien propiedades de onda con longitudes

de onda dadas por las ecuaciones de Einstein (3.1), esto es λ = hp. Posteriormente Esterman y

Ondas de Materia: Dualidad Partıcula–Onda 59

Stern en 1930 muestran el mismo fenomeno con moleculas de hidrogeno y atomos de helio que

inciden sobre una superficie de cristales de LiF. Estos experimentos satisfacen perfectamente la

teorıa de de Broglie, que analizaremos en los capıtulos siguientes, y que asocia a una partıcula

de energıa E y momento p, la frecuencia y longitud de onda

ν =E

h, λ =

h

p. (5.12)

Estas relaciones cierran la idea de la dualidad onda–partıcula de la materia que nos rodea. La

dualidad apuntada no es una cuestion tecnica, sino algo intrınseco a la naturaleza de las cosas,

de manera que los entes fısico no son partıculas, ni ondas, sino otra cosa ondas–partıculas.