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L’approssimazione di svuotamento - Equazione di Poisson Le soluzioni quantitative per la densita’ di carica e il potenziale lungo la giunzione, sono legate alla soluzione dell’equazione di Poisson:

( )ADs

NNnpqdxVd

−+−−=ε2

2

Tale equazione nella sua forma esatta e’ molto complessa da risolvere, per cui e’ necessario apportare delle semplificazioni. Quell’insieme di semplificazioni che permettono di risolvere facilmente l’equazione e’ chiamato “approssimazione di svuotamento”. Vedremo nel seguito quando questa approssimazione è accettabilmente giustificata nei diodi reali.

2

Come si risolve l’equazione di Poisson?

Si considera che la differenza nella regione di transizione e’ minore rispetto alle regioni neutre.Quindi si assume che: • All’interno della regione di transizione si abbia totale svuotamento di portatori mobili

Fi EE −

00

=

=

np [ ])()(2

2

xNxNqdxVd

ADs

−−=ε

• All’esterno di questa regione la neutralita’ di carica sia perfetta

[ ]0)()( =−+− npxNxN AD 02

2

=dxVd

• Il raccordo sia di estensione trascurabile (approssimazione rettangolare)

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L’equazione di Poisson si risolve in maniera differente a seconda della distribuzione delle impurita’. Consideriamo quindi due casi: 1.  Giunzione brusca

Posto che: a) xp e xn sono sconosciuti, b) W= xp + xn , c) il sistema e’ neutro ( ) si puo’ impostare l’equazione per le quattro zone:

nDpA xNxN =

01 =IIVs

AII qNVε

=2s

DII qNVε

−=304 =IIV

01 =IV ( )ps

AI xxqNV +=ε2 ( )n

s

DI xxqNV −−=ε3 04 =

IV

Le condizioni al contorno:

)()( 21 pI

pI xVxV −=− )0()0( 32

II VV = )()( 43 nI

nI xVxV =

ρ

4

Integrando ancora:

01 =V ( )22 2 ps

A xxqNV +=ε

( ) bins

D VxxqNV +−−= 23 2ε biVV =4

Con:

( ) ( )pp xVxV −=− 21 ( ) ( )00 32 VV = ( ) ( )nn xVxV 43 =

La seconda equazione pone una seconda condizione su xn e xp, oltre alla neutralita’ del sistema:

nDpA

bins

Dp

s

A

xNxN

VxqNxqN

=

+−= 22

22 εε

Esplicitando queste relazioni in funzione di W si ottiene:

DA

An

DA

Dp

NNNWx

NNNWx

+=

+=

biDA

DAs VNNNN

qW +=

ε2 Larghezza della regione svuotata per una giunzione brusca

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Riassumendo: noti NA e ND nella giunzione brusca, si conosce

e quindi si conosce: • La carica netta

• Il campo elettrico

• Il potenziale elettrostatico

• La curvatura delle bande

2lni

ADbi n

NNqKTV =

biDA

DAs VNNNN

qW +=

ε2

DA

An

DA

Dp

NNNWx

NNNWx

+=

+= [ ]

[ ]i

DniF

i

ApFi

nNKTEE

nNKTEE

ln

ln

=−

=−

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2. Giunzione a gradiente lineare

in questo caso impostando l’equazione di Poisson nelle tre zone si ottiene:

0

0

3

2

1

=

−=

=

IIs

II

II

V

axqV

V

ε

0

22

0

3

22

2

1

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=

=

I

s

I

I

V

WxqaV

V

ε

7

bi

s

VV

cxWxqaV

V

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=

=

3

23

2

1

*232

0

ε

Condizioni al contorno:

3

232

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=Wc

biVWVWV

WVWV

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

22

022

32

21

sbi

qaWVε12

3

=

312qaVW bisε=

8

Le concentrazioni delle impurita’ alle due estremita’ della regione di svuotamento sono identiche e pari ad aW/2. Di conseguenza il potenziale Vbi puo’ essere espresso come:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

iibi n

aWqKT

n

Wa

qKT

n

n

qKTV

p

n

2ln22lnln 2

2

dove a e’ il gradiente della concentrazione delle impurita’ ed e’ noto

Variazione di Vbi per giunzioni a gradiente lineare in Si e GaAs in funzione del gradiente di impurita’ a.