ČVRSTOĆA

12 TEORIJE ČVRSTOĆE

NAPREGNUTO STANJE

Pri analizi unutarnjih sila koje se pojavljuju u kosom presjeku štapa opterećenog na vlak ili tlak, pri jednoosnom napregnutom stanju, u tim presjecima istodobno nastaju normalna i tangencijalna naprezanja, i odgovarajuće deformacije.

σ1 σ2 σ1 σ1

σ2

σ2

σ1

σ1σ2σ2

σ3

σ3

a) b) c)

NAPREGNUTO STANJE

I u najjednostavnijem slučaju napregnutog stanja — pri aksijalnomrastezanju štapa — uzrokom pojave opasnog stanja materijala mogu biti kako normalna, tako i tangencijalna naprezanja. Zato je važno znati koje je od tih naprezanja odlučujuće u lomu materijala, tj. u odnosu na koje od njih treba izvršiti provjeravanje čvrstoće materijala. Kod jednoosnog napregnutog stanja (a), npr. pri aksijalnom rastezanju, kada su glavna naprezanja:

provjeravanje čvrstoće vrši se prema uvjetu:

1PF

σ =2 0σ = 3 0σ =

1 dσ ≤ σ

NAPREGNUTO STANJE

Ako dva od glavnih naprezanja nisu jednaka nuli (b), a to je ravninsko ili dvoosno napregnuto stanje ili kada sva tri glavna naprezanja imaju vrijednosti različite od nule —troosno ili prostorno napregnuto stanje (c) — pojava opasnog napregnutog stanja može biti izazvana raznim kombinacijama vrijednosti glavnih naprezanja σ1, σ2 i σ3.

Pri raznim odnosima naprezanja nastajat će nova posebna opasna stanja materijala.

NAPREGNUTO STANJE

Na osnovu teorije, laboratorijskih pokusa i prakse može se pretpostaviti nekoliko uzroka koji izazivaju lom materijala. Uzmemo li složen rad elementa konstrukcije i postavimo pitanje, što može biti uzrok popuštanju odnosno lomu materijala, može se dati niz odgovora, odnosno hipoteza, kao:

a) popuštanje materijala može nastati ako naprezanje u napregnutom stanju postigne vrijednost najvećih normalnih naprezanja, koja je jednaka granici razvlačenja ,

b) popuštanje se može pojaviti kada deformacija postigne određenu vrijednost najvećeg produljenja štapa,

c) popuštanje je moguće pri pojavi određene veličine tangencijalnih naprezanja itd.

To su hipoteze popuštanja ili teorije čvrstoće.

NAPREGNUTO STANJE

• Pri jednoosnom napregnutom stanju materijala rezultati koje dobivamo provjeravanjem čvrstoće jednaki su neovisno o teoriji po kojoj je izvršeno provjeravanje, jer jednoosno napregnuto stanje je ona mjera (etalon) s pomoću koje se ocjenjuje rezultat proračuna za sve teorije. Pri dvoosnom odnosno troosnom napregnutom stanju uvjeti čvrstoće bit će različiti u zavisnosti od teorije po kojoj je provedeno provjeravanje čvrstoće.

• Prema tome, teorije čvrstoće imaju zadatak da objasne uzroke loma materijala koji se nalazi u složenom napregnutom stanju i da na osnovu zadanih mehaničkih karakteristika materijala, dobivenih pri aksijalnom rastezanju ili sabijanju, postuliraju formule za proračun.

• Kao kriterij za opasno stanje plastičnih materijala uzima se pojava razvlačenja ili popuštanja (pojava velikih permanentnih deformacija), a za krhke materijale raskid (pojava naprslina).

TEORIJA NAJVEĆIH NORMALNIH NAPREZANJA

Prema prvoj teoriji čvrstoće, teoriji najvećih normalnih naprezanja, koju je prvi postavio Galilei, opasno stanje materijala nastaje u trenutku kada najveća normalna naprezanja postižu opasne vrijednosti.

Teorija najvećih normalnih naprezanja pretpostavlja da i u općem slučaju, kada su σ1, σ2 i σ3 različiti od nule, treba uzeti u obzir samo veličinu najvećeg naprezanja na rastezanje ili najvećeg naprezanja na sabijanje i da druga dva glavna naprezanja uopće ne utječu na čvrstoća materijala. Odatle slijedi da u toj teoriji nema razlike između provjeravanja čvrstoće pri jednoosnom i troosnom napregnutom stanju.

Uvjet čvrstoće po Teoriji najvećih normalnih naprezanja izražen je nejednakošću:

1 dσ ≤ σ

TEORIJA NAJVEĆIH JEDNOOSNIH DEFORMACIJA

Teorija najvećih jednoosnih deformacija pretpostavlja da opasno stanje materijala nastaje zbog najvećih jednoosnih deformacija, kao posljedica najvećeg relativnog produljenja.

Prema toj teoriji koja se naziva i hipotezom najveće dilatacijeopasna relativna deformacija ne smije biti veća od dopuštene relativne deformacije pri jednoosnom rastezanju ili sabijanju:

max dε ≤ ε dd E

σε =

TEORIJA NAJVEĆIH JEDNOOSNIH DEFORMACIJA

Za određivanje relativnih jednoosnih deformacija pri dvoosnom napregnutom stanju vrijede relacije:

1 21 E E

σ σε = −μ

2 12 E E

σ σε = −μ

TEORIJA NAJVEĆIH JEDNOOSNIH DEFORMACIJA

Ako uvjet čvrstoće za dvoosno napregnuto stanje izrazimo s pomoću naprezanja:

uvjeti čvrstoće glase:

d1 2

E E Eσσ σ

−μ ≤

1 2 dσ −μσ ≤ σ 2 1 dσ −μσ ≤ σ

TEORIJA NAJVEĆIH JEDNOOSNIH DEFORMACIJA

Za troosno napregnuto stanje umjesto formula:

Treba primijeniti formule:

( )1 1 21E

ε = σ − μσ ( )2 2 11E

ε = σ − μσ ( )3 1 2Eμ

ε = σ + σ

ekv 1 2 dσ = σ −μσ ≤ σ

ekv 2 1 dσ = σ −μσ ≤ σ ekv 1 2 3 d( )σ = σ −μ σ + σ ≤ σ

TEORIJA NAJVEĆIH JEDNOOSNIH DEFORMACIJA

naziva ekvivalentno ili reducirano naprezanje. S pomoću tog naprezanja može se proizvoljno napregnuto stanje svesti na aksijalno rastezanje ili sabijanje, pri čemu se može izostaviti izračunavanje relativnih deformacija, i uvjete čvrstoće izraziti s pomoću normalnih naprezanja.

Iako teorija uzima u obzir utjecaj svih naprezanja, rezultati provjeravanja po njoj nisu uvijek u skladu s eksperimentalnim rezultatima za plastične materijale. Osim toga, ona se slaže s eksperimentalnim ispitivanjima za troosno jednoliko sabijanje samo kada je = 0,5. Teorija se ponekad primjenjuje na krhke materijale.

ekvσ

TEORIJA NAJVEĆIH TANGENCIJALNIH NAPREZANJA

Teorija najvećih tangencijalnih naprezanja zasniva se na hipotezi da opasno stanje materijala nastaje uslijed djelovanja najvećih tangencijalnih naprezanja. Materijal se smatra otpornim ako prisloženom napregnutom stanju najveće tangencijalno naprezanje nije veće od dopuštenog tangencijalnog naprezanja pri jednoosnomnapregnutom stanju.

Prema tome, uvjet čvrstoće po toj teoriji glasi:

max dτ ≤ τ

TEORIJA NAJVEĆIH TANGENCIJALNIH NAPREZANJA

Pri jednoosnom rastezanju dopušteno normalno naprezanje, i najveće tangencijalno naprezanje prema određena su relacijom:

i usmjerena su u ravnini koja s pravcem vlačne sile zatvara kut od 45°.

max d12

τ = σ

TEORIJA NAJVEĆIH TANGENCIJALNIH NAPREZANJA

Ako veličine tangencijalnih naprezanja izrazimo s pomoću normalnih naprezanja i uzimajući u obzir da za dvoosno napregnuto stanje vrijedi relacija:

možemo uvjet čvrstoće za taj slučaj izraziti u obliku:

1 2max 2

σ − στ =

d1 2max 2 2

σσ − στ = ≤

( )1 2 dσ −σ ≤ σ

TEORIJA NAJVEĆIH TANGENCIJALNIH NAPREZANJA

je ekvivalentno naprezanje i zato se uvjet čvrstoće može napisati u obliku:

( )1 2 dσ −σ ≤ σ

ekv 1 2 dσ = σ − σ ≤ σ

TEORIJA NAJVEĆIH TANGENCIJALNIH NAPREZANJA

Za troosno napregnuto stanje može se analogno s tom formulom uvjet čvrstoće izraziti u obliku:

Ova se teorija u većini slučajeva poklapa s eksperimentalnim rezultatima, naročito za plastične materijale. Ona je u skladu s rezultatima pokusa i pri svestranom sabijanju materijala. Za krhke materijale ova teorija ne daje zadovoljavajuće rezultate.

ekv 1 3 dσ = σ − σ ≤ σ

ENERGETSKE TEORIJE ČVRSTOĆE

• Teorija najvećih normalnih naprezanja, teorija najvećih jednoosnihdeformacija i teorija najvećih tangencijalnih naprezanja nazivaju se elementarne teorije čvrstoće i imaju niz nedostataka.

• Krajem 19. stoljeća Beltrami (1885) postavio hipotezu da prijelaz u plastično stanje zavisi od granične vrijednosti energije elastične deformacije na jedinicu volumena pri aksijalnom opterećenju, te lom nastupiti kada specifična energija deformacije dostigne vrijednost specifičnog deformacionog rada.

• Ta se hipoteza naziva hipotezom najvećeg deformacionog rada.Hipotezu je kasnije razradio i dopunio Haigh (1919), ali ona nije potvrđena eksperimentalno, te se rijetko primjenjuje.

ENERGETSKE TEORIJE ČVRSTOĆE

• Huber je (1904) postavio hipotezu najvećeg deformacionog rada utrošenog na promjenu oblika.

• Prema toj teoriji lom nastupa kada je energija elastične deformacije akumulirana pri promjeni oblika jednaka deformacionom radu pri promjeni oblika kod zamišljenog aksijalnog opterećenja.

• Tu su hipotezu kasnije dopunili von Mises (1913) i Hencky (1924). Zato je ta hipoteza poznata i pod oznakom HMH hipoteza (prema inicijalima imena njezinih autora). Ta je hipoteza dobila široku primjenu u praksi.

ENERGETSKE TEORIJE ČVRSTOĆE

U slučaju jednoosnog rastezanja specifični deformacioni rad je određen relacijom:

Pri dvoosnom napregnutom stanju, ako orijentiramo bridove kocke u ravni-nama u kojima djeluju naprezanja σ1 i σ2, dobivamo:

2

spA 2E 2σ σε

= =

1 1 2 2spA 2 2

σ ε σ ε= + ( )2 2

sp 1 2 1 21A 22E

= σ + σ − μσ σ

ENERGETSKE TEORIJE ČVRSTOĆE

Uvjet čvrstoće za dvoosno napregnuto stanje po HMH teoriji može se odrediti prema relaciji:

Uvjet čvrstoće za troosno napregnuto stanje po HMH teoriji može se odrediti prema relaciji:

2 2ekv 1 2 1 2 dσ = σ + σ − σ σ ≤ σ

2 2 2ekv 1 2 3 1 2 2 3 1 3 dσ = σ + σ + σ −σ σ −σ σ − σ σ ≤ σ