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Electrocinétique 5

Résonance électrique

I. Réponse du dipôle RLC série à une excitation sinusoïdale

Soit un circuit RLC série, et un générateur de tension e(t) = Ecos ωt de résistance interne négligeable. A t = 0 on ferme l'interrupteur.

I.1. Régime transitoire

La loi des mailles : uR + uL + uC = e (t) = Ri + L

€

didt

+ uc où i = C

€

du Cdt

se traduit par l'équation

différentielle

€

d 2uC

dt 2 +

€

RL

€

du Cdt

+

€

1L ⋅C

uc =

€

1L ⋅C

e(t) dont la solution uC(t) est la somme de la solution

générale uT de l'équation à second membre nul et d'une solution particulière up de l'équation complète.

La forme de uT dépend de la résistance du dipôle RLC, de sa valeur dépend le signe du discriminent Δ

de l'équation caractéristique :

• si R > 2•

€

LC

→ uT = e- λt(AeΩt + Be- Ωt) où A et B sont deux constantes, Ω =

€

12

€

Δ et λ =

€

R2 ⋅L

• si R = 2•

€

LC

→ uT = e- λt(At + B) où A et B sont deux constantes

• si R < 2•

€

LC

→ uT = e- λt(Acos ωnt + Bsin ωnt) où A et B sont deux constantes et ωn =

€

12

€

−Δ

Dans tous les cas cette solution est évanescente donc uT correspond à un régime transitoire.

Noter que si R est nul, uT ne s'annule jamais et ce superpose à la solution up. Ce qui se traduirait par une

catastrophe (apport d'énergie à un système qui n'en perd pas) mais heureusement R n'est jamais nul.

I.2. Régime permanent

Il s'agit donc de trouver une solution up particulière de l'équation complète. Nous cherchons cette

solution sous la forme up = Ucmcos(ωt + ϕu). up correspond au régime permanent.

Pour ce faire, à chacune des tensions u nous associons un vecteur

€

U de norme égale à l'amplitude Um

de la tension et faisant avec l'axe des abscisses un angle ϕ phase à l'origine de cette tension. La tension u

est l'abscisse du vecteur

€

U c'est à dire la partie réelle de l'affixe du point M tel que

€

OM =

€

U

I.2.1. Méthode de Fresnel

uR = RImcos (ωt + ϕi). Je ne connais pas ϕi. Mais je vais quand même représenter

uR par un vecteur horizontal. J'obtiendrai ϕi quand le diagramme sera terminé.

uL = L

€

didt

= LωImcos(ωt + ϕi+

€

π2

) et uC =

€

1C ⋅ω

Imcos(ωt + ϕi -

€

π2

). Puisque j'ai

posé URm = RIm je peux représenter ULm et UCm.

⇒ Je constate qu'il existe plusieurs cas selon le signe de Lω -

€

1C ⋅ω

donc selon la valeur de ω.

URm

ϕi

E

ULmUCm

URm

E

ULmUCm

URm

ϕi

E

ULmUCm

Lω >

€

1C ⋅ω

→ ϕi < 0 Lω =

€

1C ⋅ω

→ ϕi = 0 Lω <

€

1C ⋅ω

→ ϕi > 0

uR(t) uL(t)

i(t)

uC(t)

L C

e(t)

R

K

URm

ϕi

E

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URm = RIm = Ecos ϕi. Le signe de ϕi est donné par le diagramme et tan ϕi =

€

L ⋅ω−1

C ⋅ωR

=

€

L ⋅C ⋅ω2 −1R ⋅C ⋅ω

dans tous les cas. J'en déduis Im puis toutes les tensions.

Im =

€

ER

cos ϕi → i(t) =

€

ER

cos ϕicos(ωt + ϕi) → up =

€

1C ⋅ω

€

ER

cos ϕicos(ωt + ϕi -

€

π2

) est la

solution permanente de uC.

I.2.2. Méthode complexe

Toutes les lois que nous avons appliquées aux valeurs instantanées de u(t) et i(t) en régime quelconque, peuvent être appliquées aux amplitudes complexes U et I de ces grandeurs.

C'est vrai des lois de Kirchhoff et de tout ce qui en découle : la loi des nœuds en termes de potentiel, les transformations Norton ↔ Thévenin d'un dipôle actif et les formules des diviseurs de tension et diviseurs de courant.

Ici on cherche uC on peut utiliser la formule du diviseur de tension avec les impédances complexes :

→ UC =

€

ZCZR +ZL +ZC

E =

€

YCYC

€

ZCZR +ZL +ZC

E or YCZC = 1 → UC =

€

1ZR ⋅YC +ZL ⋅YC +1

E

→ UC =

€

Ej ⋅R ⋅C ⋅ω−L ⋅C ⋅ω2 +1

son module est UCm =

€

E

L ⋅C ⋅ω2 −1( )2 + R ⋅C ⋅ω( )2

Puisque E est réel, ϕC = Arg[UC] = Arg[1 - LCω2 - jRCω] → tan ϕC = -

€

R ⋅C ⋅ω

1−L ⋅C ⋅ω2 , le signe de

cos(ϕC) est celui de la partie réelle (1 - LCω2) donc il dépend de ω et sin (ϕC) est du signe de la partie

imaginaire donc toujours négatif → - π < ϕC < 0.

⇒ On retrouve la dépendance de uC avec ω.

On a donc ici : up =

€

E

L ⋅C ⋅ω2 −1( )2 + R ⋅C ⋅ω( )2cos (ωt + ϕC) reste à démontrer que ce résultat est

identique à celui que donnait la méthode de Fresnel up =

€

1C ⋅ω

€

ER

cos ϕicos(ωt + ϕi -

€

π2

).

I.2.3. Identité des résultats

On doit donc démontrer que

€

E

L ⋅C ⋅ω2 −1( )2 + R ⋅C ⋅ω( )2 =

€

1C ⋅ω

€

ER

cos ϕi et que ϕC = ϕi -

€

π2

. Pour cela

il nous faut calculer ϕi argument de I = UCYC. Or YC est un imaginaire pur → ϕi = ϕC +

€

π2

.

I = UCYC =

€

YCZR ⋅YC +ZL ⋅YC +1

E =

€

j ⋅C ⋅ω ⋅E

j ⋅R ⋅C ⋅ω−L ⋅C ⋅ω2 +1 =

€

E

R + j ⋅L ⋅ω +1

j ⋅C ⋅ω

→ Arg[I] = Arg

€

R− j ⋅ L ⋅ω−1

C ⋅ω

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ → cos ϕi =

€

R

R2 + L ⋅ω−1

C ⋅ω

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

→

€

1C ⋅ω

€

ER

cosϕi =

€

1C ⋅ω

€

ER

€

R

R2 + L ⋅ω−1

C ⋅ω

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

=

€

E

C ⋅ω ⋅ R2 + L ⋅ω−1

C ⋅ω

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

=

€

E

L ⋅C ⋅ω2 −1( )2 + R ⋅C ⋅ω( )2

⇒ Les deux méthodes conduisent bien au même résultat.

Si l'on veut i(t) la méthode de Fresnel est plus rapide. Si l'on veut uC(t), la méthode complexe est plus

rapide.

La méthode de Fresnel ne peut être appliquée que pour des dipôles tous en série ou tous en parallèle alors que la méthode complexe s'applique quel que soit le réseau.

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Nous avons donc trouvé qu'en régime permanent sinusoïdal forcé i(t) et uC(t) sont des fonctions

sinusoïdales du temps

Le dipôle RLC série est ici un oscillateur qui oscille à une pulsation ω différente de sa pulsation propre

ω0 =

€

1L ⋅C

et imposée par le générateur extérieur au dipôle → c'est un oscillateur forcé.

Nous avons montré que les amplitudes et les phases de ces fonctions dépendent de la pulsation ω imposée par le générateur extérieur. Nous allons maintenant regarder de plus près comment Im et ϕi

dépendent de ω. Puis nous ferons la même étude pour UCm et ϕC.

II. Etude de intensité en fonction de ω

i(t) = Imcos(ωt + ϕi) où Im et ϕi sont respectivement le module et l'argument de l'amplitude

complexe I de i(t). L'étude de Im et ϕi se résume donc à celle de I.

II.1. Amplitude complexe

I =

€

EZRLC

= EYRLC =

€

EZR +ZL +ZC

=

€

E

R + j ⋅L ⋅ω +1

j ⋅C ⋅ω

Nous pouvons reprendre les notations utilisées en régime libre :

ω0 =

€

1L ⋅C

et

€

ω0Q

=

€

RL

→ Q =

€

L ⋅ω0R

=

€

C ⋅L ⋅ω0C ⋅R

=

€

1R ⋅C ⋅ω0

→ Lω = QR

€

ωω0

et

€

1C ⋅ω

= QR

€

ω0ω

→ I =

€

ER

€

1

1 + j ⋅Q ⋅ωω0

−ω0ω

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

avec Im =

€

ER

€

1

1 +Q2 ⋅ωω0

−ω0ω

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

et tan ϕi = - Q

€

ωω0

−ω0ω

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ avec cos ϕi du signe de la partie réelle de I donc positif soit -

€

π2

≤ ϕi ≤

€

π2

.

On pose x =

€

ωω0

→ I =

€

ER

€

1

1 + j ⋅Q ⋅ x −1x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

et Im =

€

ER

€

1

1 +Q2 ⋅ x −1x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

et tan ϕi = - Q(x -

€

1x

)

II.2. Résonance

On dit qu'il y a résonance d'intensité pour une pulsation ωr si Im(ω) est maximal lorsque ω = ωr.

Im =

€

EZRLC

est une fonction de ω qui est maximale lorsque son dénominateur est minimal.

ZRLC = R

€

1 +Q2 ⋅ x −1x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

est minimale pour x =

€

1x

soit ω = ω0.

Le circuit RLC série en régime forcé présente une résonance d'intensité pour ωr = ω0 qui est la pulsation

propre du circuit..

Le minimum de ZRLC est R → le maximum de Im est Imr =

€

ER

.

Lorsque ω = ω0 le terme

€

1

1 + j ⋅Q ⋅ωω0

−ω0ω

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

= 1 est un réel d'argument nul

A la résonance d'intensité, l'intensité qui traverse le dipôle RLC série et la tension à ses bornes sont en phase et l'impédance du dipôle est égale à sa résistance.

On a alors Lω = QR

€

ωω0

= QR et

€

1C ⋅ω

= QR

€

ω0ω

= QR donc les impédances

de la bobine et du condensateur sont égales.

Tous ces résultats sont confirmés par la construction de Fresnel ci-contre.

A la résonance d'intensité les amplitudes complexes des tensions : Z

R

ZL ZC

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UL = jLω0Imax = jLω0

€

ER

= jQE aux bornes de L, et UC = -

€

1j ⋅C ⋅ω0

€

ER

= - jQE aux bornes de

C, sont opposées donc elles ont même module QE et sont déphasées de π.

⇒ Q est également appelé coefficient de surtension propre du circuit.

⇒ QE peut être très supérieur à E. Il y a danger de surtension pour les composants lorsque l'on est à la résonance.

Retrouvons ces résultats par l'étude de I = f(ω) = f(x).

II.3. Etude fréquentielle de l'intensité : Courbe de résonance

II.3.1. Etude expérimentale

Puisque UR = RI l'étude de la tension aux bornes de la

résistance revient, à une constante réelle près, à l'étude de l'intensité dans le circuit série.

On peut donc utiliser un oscilloscope bi-courbe pour visualiser simultanément e(t) et Ri(t) = s(t).

On fera varier successivement les paramètres R, L, C et ω pour visualiser leur incidence sur l'amplitude de i(t) et sur le déphasage ϕi/e.

II.3.2. Etude du module Im = f(x).

Partons de I =

€

ER

€

1

1 + j ⋅Q ⋅ x −1x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

→ Im =

€

ER

€

1

1 +Q2 ⋅ x −1x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

• Si x = 0 (régime continu)

€

1x

→ ∞ donc Im → 0 évidemment puisqu'il y a un condensateur dans le

circuit.

• Si x → ∞, Im → 0 évidemment puisqu'il y a une bobine dans le circuit.

⇒ Im passe par un extremum et comme Im est positif, cet extremum ne peut être qu'un maximum.

Ce maximum vaut → Im =

€

ER

et a lieu pour x = 1. C'est la résonance.

II.3.3. Etude de l'argument ϕi = f(x)

tan ϕi = - Q(x -

€

1x

) sachant que

€

π2

< ϕi <

€

π2

• Si x → 0 (basses fréquences)

€

1x

→ ∞ donc tan ϕi → + ∞ et ϕi → +

€

π2

.

i(t) étant constamment nul en régime continu, il est impossible de donner son déphasage pour x = 0

• Si x → ∞ alors tan ϕi → - ∞ et ϕi → -

€

π2

..

• A la résonance x = 1 → tan ϕi = 0 et ϕi = 0.

ω

Imϕi

€

π

2

ωr = ω0

Imr

x

e(t)

Ci(t)

s(t)

L

RGBF

voie 2voie 1

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II.3.4. Bande passante à - 3 dB (Le - 3 dB sera justifié dans le chapitre suivant).

On appellera bande passante à - 3 dB, la différence ∆ω = ω2 - ω1 où ω1 et ω2 sont les pulsations

appelées pulsation de coupure, pour lesquelles Im =

€

12

Imr =

€

12

€

ER

. La courbe de résonance montre

bien que ces deux valeurs existent. On peut également définir la bande passante comme la différence des fréquences F1 et F2 correspondant à ω1 et ω2 → ∆ω = 2π∆F.

Recherchons ω1 et ω2 en utilisant les deux écritures :

En fonction de R, L et C

I =

€

E

R2 + L ⋅ω−1

C ⋅ω

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

=

€

12

€

ER

Les solutions sont celles de l'équation

R2 + (Lω -

€

1C ⋅ω

)2 = 2R2

ce qui revient à résoudre deux équations du

second degré en ω : (Lω -

€

1C ⋅ω

) = ± R

LCω2 - RCω - 1 = 0

et LCω2 + RCω - 1 = 0

de même discriminent ∆1 = R2C2 + 4LC > 0

En fonction de ω0 (ou x) et Q

I =

€

ER

€

1

1 +Q2 ⋅ x −1x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

=

€

12

€

ER

Soit 1 + Q2(x -

€

1x

)2 = 2 ou Q(x -

€

1x

) = ± 1

→ deux équations en x :

Qx2 + x - 1 = 0

et Qx2 - x - 1 = 0

de même discriminent ∆2 = 1 + 4Q2 > 0.

→ A priori 4 racines mais deux n'ont pas de sens physique puisque les pulsations doivent être positives

ω2 =

€

R2 ⋅L

+

€

Δ1

2 ⋅L ⋅C et ω1 = -

€

R2 ⋅L

+

€

Δ1

2 ⋅L ⋅C

⇒ la bande passante : ∆ω = ω2 - ω1 =

€

RL

x2 =

€

12 ⋅Q

+

€

Δ2

2 ⋅Q et x1 = -

€

12 ⋅Q

+

€

Δ2

2 ⋅Q

∆ω = ω2 - ω1 = ω0(x2 - x1) =

€

ω0Q

Evidemment les deux solutions sont identiques.

Calculons le déphasage ϕi lorsque ω = ω1 ou ω2. tan ϕi = - Q(x -

€

1x

) et

€

π2

< ϕi <

€

π2

Si x = x1 ou x2 on a Q(x -

€

1x

) = ± 1. x2 > x1 → Q(x2 -

€

1x 2

) = 1 et Q(x1 -

€

1x 1

) = - 1. On a donc

tan ϕi = 1 pour ω = ω1 → ϕi =

€

π4

et tan ϕi = - 1 pour ω = ω2 → ϕi = -

€

π4

.

C'est une remarque utile pour déterminer expérimentalement la bande passante. Il suffit de

déterminer les fréquences pour lesquelles ϕ = ±

€

π4

.

III. Résonance en tension

Il y a résonance en tension s'il existe une valeur ωr de ω pour laquelle UCm est maximale.

III.1. Amplitude complexe

Nous avons déterminé plus haut la tension uC(t) aux bornes du condensateur d'un dipôle RLC série,

soumis à une excitation sinusoïdale de pulsation ω imposée par un générateur de tension e(t) par la méthode complexe. Avec les notations Q et x on a

UC =

€

1ZR ⋅YC +ZL ⋅YC +1

E =

€

Ej ⋅R ⋅C ⋅ω−L ⋅C ⋅ω2 +1

. devient U =

€

E

1−ω2

ω02 +

jQ⋅ωω0

=

€

E

1−x 2 +jQ⋅x

de

module UCm =

€

E

1−x 2( )2 +xQ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2 et d'argument - π < ϕC < 0 (sin ϕC < 0) avec tan ϕC = -

€

1Q

€

x1−x 2 .

Um et ϕC dépendent de ω (ou de x)

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III.2. Etude fréquentielle de l'amplitude

UCm =

€

E

1−x 2( )2 +xQ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2. Cherchons s'il existe une valeur ωr de ω pour laquelle UCm soit maximal.

UCm est maximal si son dénominateur D est minimal, mais D2 est somme de deux termes dépendant

tous les deux de x donc trouver le minimum de D2 nécessite une dérivation.

€

d D2( )dx

= - 4x(1 - x2) +

€

2 ⋅xQ2 = 2x[ - 2(1 - x2) +

€

1Q2 ] = 0 a deux solutions :

• x = 0 → ω = 0 régime continu solution qui ne convient pas à notre hypothèse de régime sinusoïdal forcé

• [ - 2(1 - x2) +

€

1Q2 ] = 0 ce qui n'est possible que si 1 -

€

12 ⋅Q2 > 0 soit si Q >

€

12

.

Noter que si Q =

€

12

la seconde solution est également x = 0.

⇒ Si Q ≤

€

12

, UCm(ω) est strictement décroissante donc U(0) est un maximum.

⇒ Si Q >

€

12

, UCm prend une valeur extrémale si x =

€

1−1

2 ⋅Q2 → ω = ω0

€

1−1

2 ⋅Q2 . Cette valeur

extrême vaut E

€

2 ⋅Q2

4 ⋅Q2 −1 > E ce qui montre que, s'il existe l'extremum est un maximum.

Donc, en régime sinusoïdal forcé, si Q >

€

12

, il y a résonance en tension pour ωr = ω0

€

1−1

2 ⋅Q2 .

III.3. Etude fréquentielle de l'argument

tan ϕC = -

€

1Q

€

x1−x 2 et - π < ϕC < 0.

tan ϕC est une fonction décroissante de x.

• Si ω = 0, x = 0 et ϕC = 0, et si ω → ∞, x → ∞ et ϕC → - π

III.4. Bande passante à 3 dB

La définition de la bande passante n'a de sens que s'il y a résonance donc si Q >

€

12

Suivant les valeurs de Q il existe deux ou une seule valeurs de ω pour lesquelles UCm =

€

UCmr

2. Ces

pulsations sont dites pulsations de coupure et elles ne définissent de bande passante que s'il y en a deux.

⇒ Exemple pour Q = 1 figure ci - dessous, il n'y a qu'une pulsation de coupure alors que pour Q = 2 on a une bande passante limitée par deux pulsations de coupure.

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Q = 0,5

Q = 0,707

Q = 1

Q = 2

€

E2

E

ω1 ω2ωr

ωr

UCm