Courbes de Bézier · Courbes de Bézier 9 62 n° Niveau BTS Prérequis Notion de fonctions...

9Courbes de Bézier62

Leç

on

n°

Niveau BTSPrérequis Notion de fonctions

Références [151], [156], [163]

62.1 BarycentresDéfinition 62.1 — Barycentre de deux points pondérés. Soient A et B des points du plan. Soient αet β des nombres réels tels que α + β 6= 0. Le barycentre des points pondérés (A,α), (B, β) estl’unique point G du plan défini par l’égalité :

α# »

GA+ β# »

GB = #»0 .

Dv

L’ensemble des points M du plan tels que :

α# »

MA+ β# »

MB = #»0

est :

α# »

MA+ β# »

MB = #»0 ⇔ α# »

MA+ β( # »

MA+ # »

AB) = #»0

⇔ (α+ β) # »

MA+ β# »

MB ⇔ # »

AM = β

α+ β

# »

AB.

Cette dernière égalité définit un unique point M dans le plan. On remarquera que le barycentre Gde (A,α), (B, β) appartient, lorsque A 6= B à la droite (AB), puisque les vecteurs

# »

AG et# »

ABsont colinéaires.

Définition 62.2 — Barycentre dans le cas général. Soit n un nombre entier naturel ≥ 2. Soient,A1, A2, . . . , An des points du plan et λ1, λ2, . . . , λn des nombres réels tels que

∑ni=1 λi = 0. Le

barycentre des points pondérés (A1, λ1), (A2, λ2), . . ., (An, λn) est l’unique point G du plan définipar l’égalité :

n∑

i=1λi

# »

GAi = #»0 .

Dv

On peut montrer, en utilisant la relation de Chasles, que :

# »

A1G = 1∑ni=1 λi

n∑

i=2λi

# »

A1Ai,

ce qui permet d’obtenir à la fois l’existence et l’unicité.

10 Leçon n°62 • Courbes de Bézier

Définition 62.3 — Isobarycentre. On dit queG est l’isobarycentre des pointsA1, A2, . . . , An lorsqueG est le barycentre de :

(A1, 1), (A2, 1), . . . , (An, 1).

62.2 Polynôme de BernsteinDéfinition 62.4 — Polynômes de Bernstein. Les polynômes de Bernstein sont définis par les formulessuivantes :

Bi,n(t) =(n

i

)ti(1− t)n−i, avec n ∈ N, i ∈ N, i ≤ n.

Dv Rappel : coefficient binomial

Le coefficient (n

i

)= n!i!(n− i)!

est appelé coefficient binomial.

Théorème 62.5 Soit n un nombre entier naturel. Pour tout t dans [0, 1] :

n∑

i=0Bi,n(t) = 1.

Dv

On a :n∑

i=0Bk,n(t) =

n∑

i=0

(n

k

)ti(1− t)n−i = (t+ 1− t)n = 1

d’après la formule du binôme de Newton.

Propriété 62.6 On peut montrer par récurrence que :

B0,n = 1 et ∀i ≥ 1, Bi,n(0) = 0,

ainsi que :Bi,n(1) = 1 et ∀i ≤ n− 1, Bi,n(1) = 0.

Théorème 62.7 Pour tout entier naturel n :

B′0,n(0) = −n et B′n,n(1) = n.

Pour tout n ≥ 1 :B′1,n(0) = n et B′n−1,n(1) = −n.

Pour tout n ≥ 4 et pour tout i vérifiant 2 ≤ i ≤ n− 2 :

B′i,n(0) = B′i,n(1) = 0.

62.3 Courbes de Bézier 11

FIGURE 62.1 – Pierre BÉZIER & Paul DE CASTELJAU

62.3 Courbes de Bézier62.3.1 La naissance des courbes de Bézier

Dv La naissance des courbes de Bézier

Dans les années 60, les ingénieurs Pierre BÉZIER et Paul DE CASTELJAU travaillant respective-ment chez Renault et Citroën, réfléchissent au moyen de définir de manière la plus concise possiblela forme d’une carrroserie.

Le principe a été énoncé par BÉZIER mais l’algorithme de construction, lui, a été énoncé parson collègue de la marque aux chevrons qui n’a d’ailleurs été dévoilé que bien plus tard, la loi dusecret industriel ayant primé sur le développement scientifique. . .

Pour la petite histoire, alors que Pierre BÉZIER (diplômé de l’ENSAM et de SUPÉLEC), àl’origine des premières machines à commandes numériques det de la CAO a été mise à l’écart parsa direction. Il se consacra alors presque exclusivement aux mathématiques et à la modélisationdes surfaces et obtint même un doctorat en 1977.

Paul DE CASTELJAU était lui aussi un mathématicien d’orignie, ainci élève de la Rue d’ULM,a été un temps employé par l’industrie automobile.

Aujourd’hui, les courbes de Bézier (courbe paramétrique aux extrémités imposées avec despoints de contrôle qui définissent les tangentes à cette courbe à des instants donnés) sont trèsutilisées en informatique.

62.3.2 Définition et propriétés des courbes de BézierDéfinition 62.8 — Courbe de Bézier. Soient P0, P1, . . . , Pn des points du plan P .

SoientB0,n, B1,n, . . . , Bn,n les n+1 polynômes de Bernstein de degré n. On appelle courbe deBézier pilotée par les points P0, P1, . . . , Pn, la courbe Γ décrite par les points M(t), barycentres a

des points pondérés :

(P0, B0,n(t)), (P1, B1,n(t)), . . . , (Pn, Bn,n(t))


avec t ∈ [0, 1]. En d’autres termes :

Γ ={M(t) ∈ P, ∃t ∈ [0, 1],

n∑

i=0Bi,n(t)

# »

M(t)Pi = #»0}.

a. Ces barycentres sont bien définis puisque la somme des coefficients vaut 1 pour tout t dans [0, 1].

Définition 62.9 — Points de contrôle. Les points P0, . . . , Pn de la définition 62.8 sont les points decontrôle de la courbe de Bézier.

Théorème 62.10 Soit O un point quelconque de P . Alors, pour tout t dans [0, 1] :

n∑

i=0Bi,n(t)

# »

M(t)Pi = #»0 ⇔ # »

OM =n∑

i=0Bi,n(t) # »

OPi.

Dv

• Démonstration — Il suffit d’introduire par relation de Chasles, le point O dans chaquevecteur de l’égalité de gauche, et d’utiliser le fait que

∑ni=0 Bi,n(t) = 1, pour obtenir l’égalité

de droite. •

Ce théorème souligne qu’une courbe de Bézier est une courbe paramétrée, puisque le repère(O, #»ı , #» ), l’égalité de droite correspond à celle de la définition d’une courbe paramétrée.

Les résultats obtenus dans la session précédente permettent d’établir les propriétés suivantes descourbes de Bézier :

Théorème 62.11 On suppose que n ≥ 2 et que les points P0, P1, . . . , Pn ne sont pas tous confondus.Avec les notations de la définition 62.8, on a :

1. M(0) = P0 et M(1) = Pn ;

2. soit k le plus petit des nombrs entiers i tels que P0 6= Pi, alors# »

P0Pk dirige la tangente à Γen P0 ;

3. soit p le plus grand des nombres entiers i tels que Pn 6= Pi, alors# »

PpPn, dirige la tangente àΓ en Pn.

62.3.3 À quoi ressemble une courbe de Bézier ?La figure 62.2 nous donne des exemples de courbes de Bézier pilotées par quatre points : A, B, C

et D.Les points de contrôle, hormis le premier point et le dernier point, ne sont, en général, pas des

points de la courbe de Bézier.

62.3.4 Construction par barycentres successifsThéorème 62.12 Soient P0, P1, . . ., Pn des points du plan. On suppose n ≥ 1. Pour tout t dans [0, 1],

62.3 Courbes de Bézier 13

FIGURE 62.2 – Exemple de courbes de Bézier pilotées par quatre points

on note P (t) le barycentre de

(P0, B0,n−1(t)), . . . , (Pn−1, Bn−1,n−1(t))

et on note Q(t) le barycentre de

(P1, B0,n−1(t)), . . . , (Pn, Bn−1,n−1(t)).

Les points P (t) et Q(t) parcourent les courbes de Bézier pilotées respectivement par P0, . . ., Pn−1et P1, . . ., Pn quand t parcourt [0, 1]. Alors, pour tout t dans [0, 1], le point M(t), barycentre de(P (t), 1− t) et (Q(t), t) est aussi le barycentre de

(P0, B0,n(t)), . . . , (Pn, Bn,n(t));

autrement dit : le barycentre M(t) de (P (t), 1− t), (Q(t), t) parcourt la courbe de Bézier Γ pilotéepar les points P0, . . . , Pn quand t parcourt [0, 1].

Dv

• Démonstration — Comme M(t) est le barycentre de (P (t), 1− t), (Q(t), t), on a :

(1− t) # »

M(t)P (t) + t# »

M(t)Q(t) = #»0 .

On en déduit :# »

OM(t) = (1− t) # »

OP (t) + t# »

OQ(t).

Dans cette dernière égalité, utilisons le fait que les points P (t) etQ(t) sont des points courants


de courbes de Bézier. On obtient :

# »

OM(t) = (1− t)n−1∑

i=0Bi,n−1(t) # »

OPi +n−1∑

j=0Bj,n−1(t) # »

OPj+1

= (1− t)n−1∑

k=0

(n− 1)!k!(n− 1− k)! (1− t)

n−1−k # »

OPi

+ tn∑

k=1

(n− 1)!(k − 1)!(n− 1− (k − 1))! t

k−1(1− t)n−1−(k−1) # »

OPk

=n−1∑

k=0

(n− 1k

)tk(1− t)n−k # »

OPk +n∑

k=1

(n− 1k − 1

)tk(1− t)n−k # »

OPk

= (1− t)n # »

OP0 +(

n−1∑

k=1[(n− 1k

)+(n− 1k − 1

)]tk(1− t)n−k # »

OPk

)+ tn

# »

OPn.

Comme(

nk

)=(

n−1k

)+(

n−1k−1), on en déduit le théorème la dernière expression obtenue pour

# »

OM(t). •

Le théorème 62.12 permet de fabriquer de proche en proche, pour chaque valeur t dans [0, 1], lepoint correspondant de la courbe de Bézier pilotée par P0, P1, . . ., Pn. Par exemple, pour t = 1/2, onobtient la figure 62.3.

P0

P1 P2

P3

M(1/2)

FIGURE 62.3 – Construction de la courbe de Bézier par barycentres successifs

En effet, lorsque t = 1/2, 1−t = 1/2, et les barycentres successifs correspondent aux milieux. Onremarque sur ce dessin que la tangente à la courbe de Bézier au point M(1/2) est (P (1/2)Q(1/2)).Ce phénomène n’est pas dû au hasard et résulte du théorème suivant :

Théorème 62.13 Avec les notations du théorème précédent, on a :

ddt

# »

OM(t) = n# »

P (t)Q(t).

Donc, pour tout t dans [0, 1] tel que P (t) 6= Q(t), la droite (P (t)Q(t)) est tangente à la courbe deBézier Γ au point M(t).

Dv

62.4 Construction d’une courbe de Bézier sur GeoGebra 15

• Démonstration — En écrivant# »

OM(t) =∑n

k=0(

nk

)tk(1− t)n−k # »

OPk, on obtient :

ddt

# »

OM(t) =n∑

k=0

(n

k

)(ktk−1(1− t)n−k − (n− k)tk(1− t)n−1−k) # »

OPk

=n∑

k=1k

(n

k

)tk−1(1− t)n−k # »

OPkt−n−1∑

k=0(n− k)

(n

k

)tk(1− t)n−1−k # »

OPk

=n∑

k=1n

(n− 1k − 1

)tk−1(1− t)n−1−(k−1) # »

OPk −n−1∑

k=0n

(n− 1k

)tk(1− t)n−1−k # »

OPk

=n−1∑

j=0n

(n− 1j

)tj(1− t)n−1−j # »

OPj+1 −n−1∑

k=0n

(n− 1k

)tk(1− t)n−1−k # »

OPk

= n# »

OQ(t)− n # »

OP (t) = n# »

P (t)Q(t).

•

62.4 Construction d’une courbe de Bézier sur GeoGebraOn veut construire sur GeoGebra la courbe de Bézier pilotée, par exemple, par quatre points : A,

B, C et D.

1. Tout d’abord, on place les points A, B, C et D sur le repère avec l’outil « Nouveau point ».

2. Ensuite, on crée un curseur de variable t qui prend les valeurs de 0 à 1 par incrément de ε (où0 < ε < 1).

3. On tape les coordonnées du point M qui va nous décrire la courbe de Bézier pilotée par lespoints A, B, C et D :

((1 - t)^3*x(A) + 3*(1 - t)^2*t*x(B) + 3*(1 - t)*t^2*x(C)+ t^3*x(D), (1- t)^3*y(A) + 3*(1 - t)^2*t*y(B)

+ 3*(1 - t)*t^2*y(C) + t^3*y(D))

4. On peut faire bouger le curseur t pour voir comment se déplace M dans l’enveloppe connexedécrite par les points A, B, C et D.

5. En cliquant droit sur le point M , on peut activer l’option « Trace activée » pour obtenir unecourbe qui est, donc, la courbe de Bézier pilotée par les points A, B, C et D. En cliquant droitsur le curseur t, on peut activer l’option « Animer » pour que le point M bouge automatique-ment.

6. Plus ε est petit, plus le tracé est « continu ».

62.5 Des exercices type BTS� Exercice 62.14 Calculer et représenter la courbe de Bézier dont les points de contrôle sont lessuivants :

1. P0(−1, 0), P1(0, 1) et P2(1, 0).

2. P0(−1, 0), P1(0, 3) et P2(1, 0).

3. P0(0, 0), P1(2, 1) et P3(0, 1).


FIGURE 62.4 – Exemple d’une courbe de Bézier pilotée par quatre points construite sous GeoGebra

�

� Exercice 62.15 Soit le plan rapporté à un repère orthogonal (O, #»ı , #» ), les unités étant ‖ #»ı ‖ = 2cm et ‖ #» ‖ = 1 cm. On considère les points

A0 = O(0, 0), A1 = (0,−4), A2(1, 1) et A3(2, 5).

1. Montrer que la représentation paramétrique de la courbe de Bézier associée aux points A0,A1, A2, A3 est : {

x(t) = −t3 + 3t2

y(t) = −10t3 + 27t2 − 12t, t ∈ [0, 1].

2. (a) Déterminer les variations des fonctions x et y. On dressera le tableau de variations conjointesde x et y. Les calculs seront données à 10−1 près.

(b) Préciser les points où la courbe admet une tangente parallèle à l’un des axes de coordon-nées.

(c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point A3.

3. Déterminer, à 10−1 près, l’abscisse du point d’intersection, autre queO, de la courbe de Bézier,avec l’axe des abscisses.

4. Tracer dans le repère (O, #»ı , #» ) la courbe de Bézier ainsi étudiée.

�

� Exercice 62.16 Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, #»ı , #» ). On prendra pour unitégraphique deux centimètres.

On considère dans ce repère les points A(4, 10), B(2, 5), M(3, 10) et N(2, 9).L’objectif du problème est de relier les points O et A à l’aide de deux courbes de Bézier C1 et C2

qui se raccordent en B.— C1 est la courbe de Bézier définie à partir des points de contrôle A, M , N et B.— C2 est une coubre de Bézier reliant O et B, ayant en B une tangente parallèle à l’axe des

ordonnées et en O une tangente qui a pour équation y = x.

1. (a) Justifier que la tangente en A à la courbe C1 est parallèle à l’axe des abscisses.

62.5 Des exercices type BTS 17

(b) Justifier que les courbes C1 et C2 qui satisfont aux conditions données admettent la mêmetangente en B.

2. Tracé de C1

(a) On considère la courbe définie paramétriquement pour t dans [0, 1] par :

{x(t) = t3 − 3t+ 4y(t) = −2t3 − 3t2 + 10

Étudier les variations des deux fonctions définies sur [0, 1] par x(t) et y(t).

(b) Montrer que la courbe ainsi définie passe par les points A et B et préciser les tangentes ences points.On admettra (on ne demande pas de faire les calculs) que la courbe considérée est la courbede Bézier associée aux points de contrôle A, M , N , B.

(c) Tracer C1. La représentation graphique sera la plus précise possible.

3. Tracé de C2 C2 satisfait aux conditions données en introduction et définie par trois points decontrôle O, T et B.

(a) Caractériser géométriquement le point T . Déterminer les coordonnées de ce point.

(b) Construire géométriquement les points M1 et M2 de C2 qui correspondent aux valeurs 14

et 12 du paramètre.

(c) Donner l’allure de C2.

�

� Exercice 62.17 n étant un entier et i un entier inférieur ou égal à n, on appelle fonctions polynômesde Bernstein de degré n, les fonctions Bi,n définies sur [0, 1] par :

Bi,n =(n

i

)ti(1− t)n−i

où(n

i

)désigne le coefficient binomial n!

i!(n−i)! .

1. (a) Donner les expressions Bi,n(t) lorsque n = 4 sous forme de produit de polynômes dupremier degré, puis sous forme développée et ordonnée.

(b) Résoudre chacune des équations Bi,4(t) = 0 pour 0 ≤ i ≤ 4.

2. Dans le plan rapport à un repère orthonormal (O, #»ı , #» ), on considère les points de contrôle :

P0(3, 0), P1(0, 1), P2(−1, 0), P3(0,−1) et P4(3, 0)

et la courbe C, l’ensemble des points M(x, y) tels que :

# »

OM(t)(t) =i=4∑

i=0Bi,4(t) # »

OPi,

t étant une variable réelle de l’intervalle [0, 1].On prendra une unité graphique de 3 cm sur chaque axe pour le tracé.


(a) Soit les fonctions f et g définies sur l’intervalle [0, 1] par :{f(t) = 12t2 − 12t+ 3g(t) = 8t3 − 12t2 + 4t

.

Vérifier qu’une représentation paramétrique de C est :{x = f(t)y = g(t)

.

(b) Étudier les variations des fonctions f et g pour t appartenant à l’intervalle [0, 1], et résumerles études des fonctions f et g dans un tableau commun.

(c) Montrer que les vecteurs# »

P0P1 et# »

P3P4 sont des vecteurs directeurs des tangentes à lacourbe C respectivement aux points de la courbe C correspondant aux valeurs 0 et 1 duparamètre t.

3. Construire la courbe C dans le repère (O, #»ı , #» ). On précisera les points où la tangente estparallèle à un axe de repère.

�

� Exercice 62.18 — Courbe de Bézier et équations différentielles. Le plan est muni d’un repère or-thonormé. On prendra pour unité graphique 4 cm. La figure sera complétée au fur et à mesure desquestions posées.

L’équation différentielle :

y′ + 15− xy = 5− x

2√x

admet pour solution sur l’intervalle [0, 5; 4, 5] une fonction f qui vérifie f(1) = 4 et f(4) = 2. On nedemande pas de justifier.

Partie I

1. En utilisant l’équation différentielle, calculer f ′(1) et f ′(4).Montrer que les tangentes à la courbe représentative de f aux points A d’abscisse 1 et Bd’abscisse 4 ont pour équations respectives :

y = x+ 3 et y = −74x+ 9.

Placer les points A et B et tracer les tangentes correspondantes.

2. On veut approximer l’arc de courbe (γ) de la courbe représentative de f dont les abscissessont comprises entre 1 et 4 par une courbe de Bézier ayant en A et B les mêmes tangentes quela courbe (γ).

(a) La courbe de Bézier est définie par trois points de contrôle A, C et B.Construire le point C sur la figure.Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point de contrôle C.

(b) On décide de définir la courbe de Bézier par 4 points de contrôle A(1, 4), M1(2, 5),M2(3, α), B(4, 2).Démontrer que les points A, M1 et C sont alignés.Déterminer α pour que la droite (M2B) soit tangente à la courbe (γ) en B.

62.5 Des exercices type BTS 19

Partie IIPour des raisons techniques, on modifie un point de contrôle et on choisit les quatre points de

contrôle suivants :A0(1, 4), A1(2, 5), A2 =

(3, 7

2

)et A3(4, 2).

La courbe de Bézier (Γ) associée est formée des points M(t) définis pour t dans [0, 1] par :

# »

OM(t) =3∑

k=0

(3k

)tk(1− t)3−k # »

OAk.

On admet que les coordonnées (x(t), y(t)) d’un point M(t) de la courbe (Γ) sont :{x(t) = 3t+ 1y(t) = 5

2 t3 − 15

2 t2 + 3t+ 4

On ne demande pas de faire les calculs.

1. Calculer x′(t) et y′(t) pour t dans [0, 1].2. Calculer les coordonnées du pointE de la courbe (Γ) correspondant à la valeur 1

2 du paramètreet le coefficient directeur de la tangente à la courbe (Γ) en ce point.

3. Déterminer les coordonnées du point F de la courbe (Γ) où la tangente a pour coefficientdirecteur 0,1. Placer le point F et la tangente à (Γ) en F sur la figure.

4. Donner l’allure de la courbe (Γ) approximant l’arc de courbe (γ).

�

Bibliographie

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[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL : http://tehessin.tuxfamily.org

[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL : http://bacamaths.net

[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math.univ-lille1.fr/~ipeis/

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[17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015.http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.

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22 BIBLIOGRAPHIE

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[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem.univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/marche-aleatoire.pdf.

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[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.

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