Cónicas: rotación

Rotación de los ejes coordenados

Motivación

• Dado que en una cónica cuyo eje está rotado, no podemos obtener su ecuación canónica (tampoco sus foco/s, vértice/s, etc), debemos utilizar el siguiente método.

• La ecuación general de segundo grado en donde B≠0 puede transformarse siempre en otra de la forma :

¿Cómo?

• Rotando los ejes coordenados un ángulo θ agudo positivo para que los nuevos ejes coincidan con los ejes principales de la cónica.

• Observemos la figura siguiente y veamos cómo podemos relacionar las coordenadas de un punto P en el sistema OXY con las coordenadas del mismo punto en el sistema rotado O’X’Y’

Rotación de los ejes coordenados

Relación: OXY <–> O’X’Y’• Viendo el gráfico anterior se deduce que:• (1) (2)

• Utilizando el seno y el coseno de la suma en (1)

• Reemplazo desde (2) en la anterior:

Forma matricial

• El sistema puede expresarse en forma matricial:

• Donde la matriz de los coeficientes, A, es la matriz de rotación. A es una matriz ortogonal, ya que At=A-1

• Por lo tanto, si quisiéramos ver cuál es el valor de X’ e Y’ sería muy fácil hallar la inversa.

Transformación de la ecuación• Reemplazando las ecuaciones de X e Y en la

ecuación general de segundo grado queda:

• Agrupando se obtiene una ecuación en términos de X’ Y’ donde el término cruzado es

• Y utilizando las identidades trigonométricas:

• El término cruzado queda:

Elección del ángulo θ

• Podemos elegir el ángulo θ para que B’=0, es decir para que desaparezca el término cruzado que es a donde queríamos llegar.

• Por lo tanto B’=(C-A).sen(2 θ) +B.cos(2 θ )=0•

• Con 2θ en el primero o en el segundo cuadrante

• Para ver en que cuadrante está 2 θ me fijo si es positivo está en el primero y si es negativo es porque el cos(2 θ ) es negativo, por lo tanto está en el segundo cuadrante.

• Luego calculo el • Y tenemos que

Determinación del tipo de cónica

• Interesa determinar qué tipo de cónica es sin hacer la rotación de ejes.

• Puede demostrarse que la siguiente igualdad: 4AC-B2 = 4A‘C’-(B’)2

• Donde A’ B’ y C’ son los coeficientes de la ecuación luego de la rotación de ejes.

• En conclusión, el término 4AC-B2 permanece invariante ante la rotación.

Determinación del tipo de cónica

• Por lo tanto: si 4AC-B2

–es > 0 la cónica es tipo elipse–es <0 la cónica es tipo hipérbola– es =0 la cónica es tipo parábola