Condizioni di drenaggio nei terreni saturi · 2020. 12. 18. · Condizioni di drenaggio nei terreni...

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Condizioni di drenaggio nei terreni saturi t = 0: drenaggio impedito ⇒∆u 0, ∆σ’=∆σ - u 0 cedimento iniziale (immediato) w 0 (u non equilibrate con le condizioni idrauliche al contorno) CONDIZIONI NON DRENATE Fondazione (sovraccarico) t w σ σσ u w c w 0 w t →∞: drenaggio ‘libero’ ⇒∆u 0, ∆σ’=∆σ ⇒ cedimento finale (totale) w =w 0 +w c (u in equilibrio con le condizioni idrauliche al contorno) CONDIZIONI DRENATE t > 0: consolidazione ⇒∆u = -∆σ’ = f(t) cedimenti di consolidazione w c = w(t) u In un terreno saturo, soggetto ad una variazione di tensione totale ∆σ costante nel tempo, si verificano tre condizioni di drenaggio successive : w u/γ w Condizioni drenaggio Consolidazione 1

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  • Condizioni di drenaggio nei terreni saturi

    • t = 0: drenaggio impedito ⇒ ∆u ≠ 0, ∆σ’=∆σ - ∆u ≠ 0 ⇒ cedimento iniziale (immediato) w0(∆u non equilibrate con le condizioni idrauliche al contorno)CONDIZIONI NON DRENATE

    Fondazione (sovraccarico)

    t

    w

    σσ’ σ

    u

    wcw0w∞

    • t → ∞: drenaggio ‘libero’ ⇒ ∆u → 0, ∆σ’=∆σ ⇒ cedimento finale (totale) w∞ = w0+wc(∆u in equilibrio con le condizioni idrauliche al contorno)CONDIZIONI DRENATE

    • t > 0: consolidazione ⇒ ∆u = -∆σ’ = f(t) ⇒ cedimenti di consolidazione wc = w(t)

    ∆u

    In un terreno saturo, soggetto ad una variazione di tensione totale ∆σ costante nel tempo, si verificano tre condizioni di drenaggio successive :

    w∞

    ∆u/γw

    Condizioni drenaggioConsolidazione

    1

  • [ ] [ ] [ ]u Iσ σ ′= +

    0

    0

    0

    yx zxx

    xy y zy

    yzxz zsat

    u + +

    x y z xu + +

    x y z yu + +

    x y z z

    σ τ τ

    στ τ

    σττ γ

    ′ ∂∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂′∂∂ ∂ ∂

    + =∂ ∂ ∂ ∂

    ′∂ ∂∂ ∂+ − =

    ∂ ∂ ∂ ∂

    0

    0

    0

    yx zxx

    xy y zy

    yzxz zsat

    + +

    x y z

    + + x y z

    + + x y z

    σ τ τ

    στ τ

    σττ γ

    ∂∂ ∂ = ∂ ∂ ∂∂∂ ∂

    =∂ ∂ ∂

    ∂ ∂∂− =

    ∂ ∂ ∂

    Introducendo la definizione di tensioni efficaci

    nelle equazioni indefinite dell’equilibrio del terreno saturo (γ = γsat, asse z verso il basso):

    si ricavano le equazioni in termini di tensioni efficaci e pressioni interstiziali:

    Condizioni di equilibrio nei terreni saturiCondizioni drenaggio

    Consolidazione2

  • wi

    hx

    γ ∂

    = ∂ forze di trascinamento

    ( )wu h zγ= +

    Esprimendo la pressione neutra u in funzione della quota piezometrica h:

    si ottengono le equazioni di equilibrio riferite allo scheletro solido :

    Si verificano perciò condizioni di drenaggio libero quando i carichi sono lentamente variabili e:• i terreni hanno permeabilità elevata (grana grossa), per t ≥ 0• i terreni hanno bassa permeabilità (grana fine), per t → ∞

    Condizioni drenate

    0

    0

    0

    yx zxxw

    xy y zyw

    yzxz zw

    h + +

    x y z xh + +

    x y z yh + +

    x y z z

    σ τ τ γ

    στ τ γ

    σττ γ γ

    ′ ∂∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂′∂∂ ∂ ∂

    + =∂ ∂ ∂ ∂

    ′∂ ∂∂ ∂ ′+ − =∂ ∂ ∂ ∂

    Si definiscono condizioni drenate quelle per cui:• il fluido interstiziale è in quiete o in moto permanente• le quote piezometriche sono ottenibili dall’analisi di filtrazione • la distribuzione delle pressioni interstiziali è disaccoppiata da quella delle tensioni totali

    Condizioni drenaggioConsolidazione

    3

  • Condizioni non drenate nei terreni a grana fine

    In un terreno fine saturo soggetto ad una variazione di stato tensionale sono possibili variazioni di volume (εv) solo per effetto di variazioni di massa (contenuto) d’acqua presente nei pori: ∆w ≠ 0 ⇒ εv ≠ 0

    All’istante iniziale (t = 0) del processo di variazione di tensioni totali (∆σ),il drenaggio (che implica variazioni di contenuto d’acqua) è impedito: ∆w = 0 ⇒ εv ≅ 0

    Per il calcolo degli incrementi di tensione totale ∆σ = f(P,ν), e anche dei cedimenti w = f(∆σ, E,ν)il terreno saturo bifase è trattabile come mezzo elastico monofase (equivalente)incompressibile (εv ≅ 0) ma capace di deformarsi per distorsione (εs ≠ 0).

    00v

    ==

    ,u uE ν

    u σ′∆ σ∆

    3(1 2 )

    2(1 ) 3

    u

    u

    u u

    u

    EK

    E EG

    ν

    ν

    = = ∞−

    = = ≠ ∞+

    rigidezza volumetrica

    rigidezza distorsionale Ciò equivale ad assumere ν=νu=0.5 e pertanto:

    z

    Condizioni drenaggioConsolidazione

    4

  • Approcci per le analisi delle condizioni non drenate

    Le variazioni di pressioni interstiziali sono accoppiate a quelle di tensioni efficaci (∆σ = ∆σ’ + ∆u)e la ripartizione di ∆σ tra le fasi è ottenibile imponendo la congruenza tra le (infinitesime) variazioni di volume di scheletro solido e acqua

    Sono possibili quindi due diversi approcci per l’analisi degli stati tensionali e deformativi indotti da un processo di carico in condizioni non drenate (o ”di breve termine” o ”a t=0”):

    Approccio alle… tensioni totali tensioni efficaci

    incrementi tensioni totali ∆σ = f(P, νu)

    incrementi pressioni interstizialiIgnoti

    ∆u = f(∆σ)

    incrementi tensioni efficaci ∆σ’ = ∆σ - ∆u

    caratterizzazione terreno monofase equivalente (Eu ; νu = 0.5) scheletro solido (E’ ; ν’)

    calcolo deformazioni ε = f(∆σ, Eu, νu) ε = f(∆σ’, E’, ν’)

    L’approccio alle tensioni totali è più pratico,quello alle tensioni efficaci più rigoroso.In linea di principio, dovrebbero fornire risultati congruentinell’ipotesi di validità della teoria elastica.

    ''2(1 ) 3 2(1 ')

    u uu

    u

    E E EG Gν ν

    = = ≡ =+ +

    In particolare se:

    Condizioni drenaggioConsolidazione

    5

  • Parametri di pressione interstiziale

    La definizione dei ‘coefficienti di ripartizione’ esprime in genere ∆u = f(∆σ) separando i contributi di componente sferica e deviatorica della sollecitazioneSkempton (1954) definì i c.d. ‘parametri di pressione interstiziale’ A e Briferendosi a condizioni di compressione cilindrica (p. es. prove triassiali)

    [ ]1 3 3 1 3( , ) ( )u f B Aσ σ σ σ σ∆ = ∆ ∆ = ∆ + ∆ − ∆

    3u B σ∆ = ∆ 1 3( )u BA σ σ∆ = ∆ − ∆incremento (sferico) di σ3 ⇒ incremento di σ1 ⇒

    1 3cσ σ σ∆ = ∆ = ∆

    3B σ∆

    q

    , ,p p u′

    q

    , ,p p u′

    3B σ∆1 3( - )BA σ σ∆ ∆

    1 3Δq Δ Δσσ= −

    Condizioni drenaggioConsolidazione

    6

  • Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - I

    Applicazione di compressione isotropa 1 2 3p σ σ σ∆ = ∆ = ∆ = ∆ ad un terreno bifase

    Variazioni di volume (infinitesime) per scheletro solido e fluido:

    ' '

    f ff f

    ss ssss ss

    u uV V nVK K

    p pV V VK K

    ∆ ∆∆ = =

    ∆ ∆∆ = =

    ' ( )f ff ssss ss

    K KV V u p p u

    nK nK∆ = ∆ ⇒ ∆ = ∆ = ∆ − ∆

    31 1

    1 1ss ssf f

    u pK Kn nK K

    σ∆ = ∆ ≡ ∆ ⇒+ +

    Imponendo la congruenza:

    Riordinando: 3

    1

    1 ssf

    u u B Kp nK

    σ∆ ∆

    = = =∆ ∆ +

    Condizioni drenaggioConsolidazione

    7

  • Considerando che Kw (≅ 2000 MPa) >> Kss (1 ÷ 100 MPa) >> Kg (≈ 0), sarà:

    • terreno saturo 1 11 ss

    w

    B KnK

    = ≅+

    (∆σ è tutto ‘a carico dell’acqua’)

    • terreno asciutto 1 01 ss

    g

    B KnK

    = ≅+

    (∆σ è tutto ‘a carico dello scheletro solido’)

    • terreno non saturo ] [1 0,11 (1 )ss ss

    w g

    B K KnS n SK K

    = ∈+ + −

    (∆σ ripartito tra le fasi)

    Nei terreni non saturi, il coefficiente B dipende quindi dalla combinazione di:

    • porosità n • grado di saturazione S• rigidezza Kss dello scheletro solido

    q

    , ,p p u′

    0 0S u= ⇒ ∆ =

    1S u p= ⇒ ∆ = ∆

    Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - IICondizioni drenaggio

    Consolidazione8

  • Applicazione di un incremento di deviatore 1 3σ σ∆ − ∆ ad un terreno bifase

    Dalla condizione 1 31 131 1ss ss

    f f

    u pK Kn nK K

    σ σ∆ − ∆∆ = ∆ ≡

    + +risulta:

    1 3

    1 131 ss

    f

    uAB KnK

    σ σ∆

    = =∆ − ∆ +

    Se il terreno è saturo, risulta e poiché B=1,

    Per ‘percorsi di estensione’ (∆q

  • Processi di consolidazione dei terreni saturi

    Il flusso necessario per ristabilire l’equilibrio idraulico al contorno è associato a variazioni di porosità (→ cedimenti) dello scheletro solido

    Analogia del pistone idraulico (molla → rigidezza scheletro solido, valvola → permeabilità del terreno):

    2

    2 2

    fed

    w w

    w

    wf

    ed

    σV w A HAE

    h / Δu σi H / γ H γ H

    σQ kiA k Aγ H

    γ HVt Q kE

    = = =

    = = = =

    = = =

    = = =

    volume acqua espulsa

    gradiente idraulico medio

    portata media effluente

    tempo di riequilibrio

    w

    Consolidazione = fenomeno idrodinamico transitorio tra condizioni di drenaggio impedito (t=0) e libero (t=∞)

    A

    k

    Eed

    σ

    H

    Condizioni drenaggioConsolidazione

    10

  • Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi

    Condizione di continuità di terreno saturo, caso monodimensionale (vx=vy=0):

    zv ndz dAdt dzdA dtz t

    ∂ ∂− ⋅ = ⋅

    ∂ ∂

    Indicando con u il solo incremento di pressione interstiziale (sovrappressione),

    zw

    h uv k kz z

    ζγ

    ∂ ∂= − = − + ∂ ∂

    e con σ′ il solo incremento di tensione efficace (=-u),

    '1 v z ed ed

    e une E E

    σε ε∆−∆ = − = = = = −+

    uguagliando la alla e introducendo la ,la condizione di continuità è esprimibile in funzione della sola u(z,t):

    2

    2

    1

    w ed

    k u uz E tγ

    ∂ ∂=

    ∂ ∂

    dz

    dxdy

    zz

    vv dzz

    ∂+

    zv

    zv nz t

    ∂ ∂− =

    ∂ ∂⇒

    ⇒2

    2z

    w

    v k uz zγ

    ∂ ∂− =

    ∂ ∂

    1

    ed

    n ut E t

    ∂ ∂=

    ∂ ∂⇒

    Condizioni drenaggioConsolidazione

    11

  • Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi

    2

    2vu uct z

    ∂ ∂∂ ∂

    =

    2 1 edvw

    kEc L Tγ

    − =

    L’equazione reggente la consolidazione monodimensionale è in definitiva :

    avendo definito il coefficiente di consolidazione verticale

    ed è integrabile purché siano assegnate:

    • condizioni di drenaggio al contorno

    • distribuzione iniziale di sovrappressioni u0(z)

    (dall’analisi in condizioni non drenate)

    La soluzione è rappresentabile mediante curve ut(z) dette isocrone (distribuzioni di u(z), fissato t).

    Condizioni drenaggioConsolidazione

    12

  • Consolidazione monodimensionale – Soluzione analitica

    Nel caso più elementare (riprodotto ad es. nell’edometro), si ha:

    • sovraccarico uniforme σ (⇒ isocrona iniziale rettangolare, u0 = σ) • drenaggio da entrambe le superfici (⇒ ut(0) = ut(2H) = 0)

    La soluzione analitica è:

    20

    0

    2( , ) sin( ) (2 1)2

    n T

    i

    uu z t nZ e n in

    π∞ −=

    = ⋅ = + ∑

    zZH

    = 2vc tT

    H=dove si è posto e (fattore tempo)

    (H = massimo percorso della particella d’acqua ≡ ½ altezza strato)

    σ

    σ

    u0

    u

    z

    2H

    wu

    z

    u(z,t)

    t

    Condizioni drenaggioConsolidazione

    13

  • Consolidazione monodimensionale – Soluzione adimensionale

    Rappresentazione grafica in termini di isocrone adimensionali u(Z,T)/σ

    HzZ =

    σσ′

    Condizioni drenaggioConsolidazione

    14

  • Consolidazione monodimensionale – Il grado di consolidazione

    In generale, conviene esprimere l’andamento del fenomeno mediante:

    • grado di consolidazione in termini di cedimento, Uw

    • grado di consolidazione medio in termini di tensione, Uσ

    ( )w

    c

    w tUw

    =

    2

    0

    1 ( , )2

    H

    t z dzH

    σ

    σ

    ′=

    [ ]2 2

    0 0

    1 1- ( ) ( )2 2

    1-

    H H

    u t dz u t dzH H

    σ

    σ σ= =

    ∫ ∫

    1- 2

    UHσ σ

    = =area sottesa dall'isocrona (t) area campita

    area rettangolo area totale

    Condizioni drenaggioConsolidazione

    15

  • Consolidazione monodimensionale – Soluzione sintetica2

    0

    1( ) ( , )H

    ed

    w t t z dzE

    σ ′= ∫ [ ]0(0, ) 0 0z wσ ′ = ⇒ =2

    ced

    HwE

    σ=Nel caso elementare, e

    Pertanto si verifica che Uw ≡ Uσ = U (il grado di consolidazione è unico)e la soluzione è esprimibile da un’unica curva U(T):

    Calcolato il cedimento di consolidazione wc per uno strato con H e cv noti,la curva di consolidazione (relazione cedimenti-tempi w:t) si ottiene:

    1. fissando t → determinando il corrispondente2. calcolando il valore U(T) → w(t) = U(T)⋅wc

    2vc tT

    H=

    Condizioni drenaggioConsolidazione

    16

  • 0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

    Fattore tempo, T

    Gra

    do d

    i con

    solid

    azio

    ne, U

    2

    2 ed

    v vw

    kEu uc ct z γ

    ∂ ∂= = ∂ ∂

    0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    0.001 0.01 0.1 1 10

    Fattore tempo, T

    Gra

    do d

    i con

    solid

    azio

    ne, U

    Equazione della consolidazione monodimensionale

    La funzione U(T) è approssimabile con la formula di Sivaram & Swamee (1977)0.5

    0.1792.8

    4

    41

    TU

    T

    π

    π

    =

    +

    2

    5.6 0.357

    ( / 4)[1 ]v

    UTU

    π=

    −⇔

    0.5 0.197UT = =

    0.9 0.848UT = =

    Curva di consolidazione teorica

    2

    ( ) ( )

    / 1- ( )c vw t w U T c tT

    u U T Hσ= ⋅ ⇒ = ∆ ∆ =

    Condizioni drenaggioConsolidazione

    17

  • Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari

    Il caso dell’isocrona iniziale rettangolare è valido per la condizione di carico indefinito su strati semplicemente o doppiamente drenati.

    Altre soluzioni del problema 1D sono di interesse applicativo per l’analisi della consolidazione indotta da sovraccarichi o da variazioni delle condizioni idrauliche

    1. Isocrone iniziali triangolari, banco drenato da entrambi i lati

    Soluzione = combinazione di e

    Condizioni drenaggioConsolidazione

    18

  • Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari

    • stavolta le U(T) sono diverse caso per caso

    • per un fissato T, risulta: U > U > U

    Sia la che la presentano:

    isocrone asimmetriche rispetto a metà strato U(T) identiche al caso

    2. Isocrone iniziali triangolari, banco drenato solo da un lato

    NB: la velocità di consolidazione è proporzionale ai gradienti idraulici in prossimità dell’unica superficie drenante

    Condizioni drenaggioConsolidazione

    19

    Diapositiva numero 1Diapositiva numero 2Diapositiva numero 3Diapositiva numero 4Diapositiva numero 5Diapositiva numero 6Diapositiva numero 7Diapositiva numero 8Diapositiva numero 9Diapositiva numero 10Diapositiva numero 11Diapositiva numero 12Diapositiva numero 13Diapositiva numero 14Diapositiva numero 15Diapositiva numero 16Diapositiva numero 17Diapositiva numero 18Diapositiva numero 19

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