Condizioni di drenaggio nei terreni saturi · 2020. 12. 18. · Condizioni di drenaggio nei terreni...

Condizioni di drenaggio nei terreni saturi

• t = 0: drenaggio impedito ⇒ ∆u ≠ 0, ∆σ’=∆σ - ∆u ≠ 0 ⇒ cedimento iniziale (immediato) w0(∆u non equilibrate con le condizioni idrauliche al contorno)CONDIZIONI NON DRENATE

Fondazione (sovraccarico)

t

w

σσ’ σ

u

wcw0w∞

• t → ∞: drenaggio ‘libero’ ⇒ ∆u → 0, ∆σ’=∆σ ⇒ cedimento finale (totale) w∞ = w0+wc(∆u in equilibrio con le condizioni idrauliche al contorno)CONDIZIONI DRENATE

• t > 0: consolidazione ⇒ ∆u = -∆σ’ = f(t) ⇒ cedimenti di consolidazione wc = w(t)

∆u

In un terreno saturo, soggetto ad una variazione di tensione totale ∆σ costante nel tempo, si verificano tre condizioni di drenaggio successive :

w∞

∆u/γw

Condizioni drenaggioConsolidazione

1

[ ] [ ] [ ]u Iσ σ ′= +

0

0

0

yx zxx

xy y zy

yzxz zsat

u + +

x y z xu + +

x y z yu + +

x y z z

σ τ τ

στ τ

σττ γ

′ ∂∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂′∂∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂ ∂

′∂ ∂∂ ∂+ − =

∂ ∂ ∂ ∂

0

0

0

yx zxx

xy y zy

yzxz zsat

+ +

x y z

+ + x y z

+ + x y z

σ τ τ

στ τ

σττ γ

∂∂ ∂ = ∂ ∂ ∂∂∂ ∂

=∂ ∂ ∂

∂ ∂∂− =

∂ ∂ ∂

Introducendo la definizione di tensioni efficaci

nelle equazioni indefinite dell’equilibrio del terreno saturo (γ = γsat, asse z verso il basso):

si ricavano le equazioni in termini di tensioni efficaci e pressioni interstiziali:

Condizioni di equilibrio nei terreni saturiCondizioni drenaggio

Consolidazione2

wi

hx

γ ∂

= ∂ forze di trascinamento

( )wu h zγ= +

Esprimendo la pressione neutra u in funzione della quota piezometrica h:

si ottengono le equazioni di equilibrio riferite allo scheletro solido :

Si verificano perciò condizioni di drenaggio libero quando i carichi sono lentamente variabili e:• i terreni hanno permeabilità elevata (grana grossa), per t ≥ 0• i terreni hanno bassa permeabilità (grana fine), per t → ∞

Condizioni drenate

0

0

0

yx zxxw

xy y zyw

yzxz zw

h + +

x y z xh + +

x y z yh + +

x y z z

σ τ τ γ

στ τ γ

σττ γ γ

′ ∂∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂′∂∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂ ∂

′∂ ∂∂ ∂ ′+ − =∂ ∂ ∂ ∂

Si definiscono condizioni drenate quelle per cui:• il fluido interstiziale è in quiete o in moto permanente• le quote piezometriche sono ottenibili dall’analisi di filtrazione • la distribuzione delle pressioni interstiziali è disaccoppiata da quella delle tensioni totali


3

Condizioni non drenate nei terreni a grana fine

In un terreno fine saturo soggetto ad una variazione di stato tensionale sono possibili variazioni di volume (εv) solo per effetto di variazioni di massa (contenuto) d’acqua presente nei pori: ∆w ≠ 0 ⇒ εv ≠ 0

All’istante iniziale (t = 0) del processo di variazione di tensioni totali (∆σ),il drenaggio (che implica variazioni di contenuto d’acqua) è impedito: ∆w = 0 ⇒ εv ≅ 0

Per il calcolo degli incrementi di tensione totale ∆σ = f(P,ν), e anche dei cedimenti w = f(∆σ, E,ν)il terreno saturo bifase è trattabile come mezzo elastico monofase (equivalente)incompressibile (εv ≅ 0) ma capace di deformarsi per distorsione (εs ≠ 0).

00v

tε

==

,u uE ν

u σ′∆ σ∆

3(1 2 )

2(1 ) 3

u

u

u u

u

EK

E EG

ν

ν

= = ∞−

= = ≠ ∞+

rigidezza volumetrica

rigidezza distorsionale Ciò equivale ad assumere ν=νu=0.5 e pertanto:

z


4

Approcci per le analisi delle condizioni non drenate

Le variazioni di pressioni interstiziali sono accoppiate a quelle di tensioni efficaci (∆σ = ∆σ’ + ∆u)e la ripartizione di ∆σ tra le fasi è ottenibile imponendo la congruenza tra le (infinitesime) variazioni di volume di scheletro solido e acqua

Sono possibili quindi due diversi approcci per l’analisi degli stati tensionali e deformativi indotti da un processo di carico in condizioni non drenate (o ”di breve termine” o ”a t=0”):

Approccio alle… tensioni totali tensioni efficaci

incrementi tensioni totali ∆σ = f(P, νu)

incrementi pressioni interstizialiIgnoti

∆u = f(∆σ)

incrementi tensioni efficaci ∆σ’ = ∆σ - ∆u

caratterizzazione terreno monofase equivalente (Eu ; νu = 0.5) scheletro solido (E’ ; ν’)

calcolo deformazioni ε = f(∆σ, Eu, νu) ε = f(∆σ’, E’, ν’)

L’approccio alle tensioni totali è più pratico,quello alle tensioni efficaci più rigoroso.In linea di principio, dovrebbero fornire risultati congruentinell’ipotesi di validità della teoria elastica.

''2(1 ) 3 2(1 ')

u uu

u

E E EG Gν ν

= = ≡ =+ +

In particolare se:


5

Parametri di pressione interstiziale

La definizione dei ‘coefficienti di ripartizione’ esprime in genere ∆u = f(∆σ) separando i contributi di componente sferica e deviatorica della sollecitazioneSkempton (1954) definì i c.d. ‘parametri di pressione interstiziale’ A e Briferendosi a condizioni di compressione cilindrica (p. es. prove triassiali)

[ ]1 3 3 1 3( , ) ( )u f B Aσ σ σ σ σ∆ = ∆ ∆ = ∆ + ∆ − ∆

3u B σ∆ = ∆ 1 3( )u BA σ σ∆ = ∆ − ∆incremento (sferico) di σ3 ⇒ incremento di σ1 ⇒

1 3cσ σ σ∆ = ∆ = ∆

3σ

1σ

3σ

1σ

3B σ∆

q

, ,p p u′

q

, ,p p u′

3B σ∆1 3( - )BA σ σ∆ ∆

1 3Δq Δ Δσσ= −


6

Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - I

Applicazione di compressione isotropa 1 2 3p σ σ σ∆ = ∆ = ∆ = ∆ ad un terreno bifase

Variazioni di volume (infinitesime) per scheletro solido e fluido:

' '

f ff f

ss ssss ss

u uV V nVK K

p pV V VK K

∆ ∆∆ = =

∆ ∆∆ = =

' ( )f ff ss

ss ss

K KV V u p p u

nK nK∆ = ∆ ⇒ ∆ = ∆ = ∆ − ∆

31 1

1 1ss ss

f f

u pK Kn nK K

σ∆ = ∆ ≡ ∆ ⇒+ +

Imponendo la congruenza:

Riordinando: 3

1

1 ss

f

u u B Kp nK

σ∆ ∆

= = =∆ ∆ +


7

Considerando che Kw (≅ 2000 MPa) >> Kss (1 ÷ 100 MPa) >> Kg (≈ 0), sarà:

• terreno saturo 1 11 ss

w

B KnK

= ≅+

(∆σ è tutto ‘a carico dell’acqua’)

• terreno asciutto 1 01 ss

g

B KnK

= ≅+

(∆σ è tutto ‘a carico dello scheletro solido’)

• terreno non saturo ] [1 0,11 (1 )ss ss

w g

B K KnS n SK K

= ∈+ + −

(∆σ ripartito tra le fasi)

Nei terreni non saturi, il coefficiente B dipende quindi dalla combinazione di:

• porosità n • grado di saturazione S• rigidezza Kss dello scheletro solido

q

, ,p p u′

0 0S u= ⇒ ∆ =

1S u p= ⇒ ∆ = ∆

Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - IICondizioni drenaggio

Consolidazione8

Applicazione di un incremento di deviatore 1 3σ σ∆ − ∆ ad un terreno bifase

Dalla condizione 1 31 131 1ss ss

f f

u pK Kn nK K

σ σ∆ − ∆∆ = ∆ ≡

+ +risulta:

1 3

1 131 ss

f

uAB KnK

σ σ∆

= =∆ − ∆ +

Se il terreno è saturo, risulta e poiché B=1,

Per ‘percorsi di estensione’ (∆q<0)

13

AB ≅13

A =

23

A =

In realtà, i coefficienti A sono tutt’altro che conformi a questi valori teorici!Argilla sensitiva 0.7 – 1.5

Argilla molle 0.5 – 1.0

Argilla di media consistenza 0.0 – 0.5

Argilla molto consistente -0.5 – 0.0

Valori sperimentali tipici di A:

q

, ,p p u′

3qu ∆

∆ =

q∆

Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - III

si dimostra invece che

q∆In ogni caso, in ipotesi di elasticità,il percorso di tensioni efficaci è verticale

23

u q∆ = ∆


9

Processi di consolidazione dei terreni saturi

Il flusso necessario per ristabilire l’equilibrio idraulico al contorno è associato a variazioni di porosità (→ cedimenti) dello scheletro solido

Analogia del pistone idraulico (molla → rigidezza scheletro solido, valvola → permeabilità del terreno):

2

2 2

fed

w w

w

wf

ed

σV w A HAE

h / Δu σi H / γ H γ H

σQ kiA k Aγ H

γ HVt Q kE

= = =

= = = =

= = =

= = =

volume acqua espulsa

gradiente idraulico medio

portata media effluente

tempo di riequilibrio

w

Consolidazione = fenomeno idrodinamico transitorio tra condizioni di drenaggio impedito (t=0) e libero (t=∞)

A

k

Eed

σ

H


10

Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi

Condizione di continuità di terreno saturo, caso monodimensionale (vx=vy=0):

zv ndz dAdt dzdA dtz t

∂ ∂− ⋅ = ⋅

∂ ∂

Indicando con u il solo incremento di pressione interstiziale (sovrappressione),

zw

h uv k kz z

ζγ

∂ ∂= − = − + ∂ ∂

e con σ′ il solo incremento di tensione efficace (=-u),

'1 v z

ed ed

e une E E

σε ε∆−∆ = − = = = = −

+

uguagliando la alla e introducendo la ,la condizione di continuità è esprimibile in funzione della sola u(z,t):

2

2

1

w ed

k u uz E tγ

∂ ∂=

∂ ∂

dz

dxdy

zz

vv dzz

∂+

∂

zv

zv nz t

∂ ∂− =

∂ ∂⇒

⇒2

2z

w

v k uz zγ

∂ ∂− =

∂ ∂

1

ed

n ut E t

∂ ∂=

∂ ∂⇒


11

Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi

2

2vu uct z

∂ ∂∂ ∂

=

2 1 edv

w

kEc L Tγ

− =

L’equazione reggente la consolidazione monodimensionale è in definitiva :

avendo definito il coefficiente di consolidazione verticale

ed è integrabile purché siano assegnate:

• condizioni di drenaggio al contorno

• distribuzione iniziale di sovrappressioni u0(z)

(dall’analisi in condizioni non drenate)

La soluzione è rappresentabile mediante curve ut(z) dette isocrone (distribuzioni di u(z), fissato t).


12

Consolidazione monodimensionale – Soluzione analitica

Nel caso più elementare (riprodotto ad es. nell’edometro), si ha:

• sovraccarico uniforme σ (⇒ isocrona iniziale rettangolare, u0 = σ) • drenaggio da entrambe le superfici (⇒ ut(0) = ut(2H) = 0)

La soluzione analitica è:

20

0

2( , ) sin( ) (2 1)2

n T

i

uu z t nZ e n in

π∞−

=

= ⋅ = + ∑

zZH

= 2vc tT

H=dove si è posto e (fattore tempo)

(H = massimo percorso della particella d’acqua ≡ ½ altezza strato)

σ

σ

u0

u

z

2H

wu

z

u(z,t)

t


13

Consolidazione monodimensionale – Soluzione adimensionale

Rappresentazione grafica in termini di isocrone adimensionali u(Z,T)/σ

HzZ =

σσ′


14

Consolidazione monodimensionale – Il grado di consolidazione

In generale, conviene esprimere l’andamento del fenomeno mediante:

• grado di consolidazione in termini di cedimento, Uw

• grado di consolidazione medio in termini di tensione, Uσ

( )w

c

w tUw

=

2

0

1 ( , )2

H

t z dzH

Uσ

σ

σ

′=

∫

[ ]2 2

0 0

1 1- ( ) ( )2 2

1-

H H

u t dz u t dzH H

Uσ

σ

σ σ= =

∫ ∫

1- 2

UHσ σ

= =area sottesa dall'isocrona (t) area campita

area rettangolo area totale


15

Consolidazione monodimensionale – Soluzione sintetica2

0

1( ) ( , )H

ed

w t t z dzE

σ ′= ∫ [ ]0(0, ) 0 0z wσ ′ = ⇒ =2

ced

HwE

σ=Nel caso elementare, e

Pertanto si verifica che Uw ≡ Uσ = U (il grado di consolidazione è unico)e la soluzione è esprimibile da un’unica curva U(T):

Calcolato il cedimento di consolidazione wc per uno strato con H e cv noti,la curva di consolidazione (relazione cedimenti-tempi w:t) si ottiene:

1. fissando t → determinando il corrispondente2. calcolando il valore U(T) → w(t) = U(T)⋅wc

2vc tT

H=


16

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

Fattore tempo, T

Gra

do d

i con

solid

azio

ne, U

2

2 edv v

w

kEu uc ct z γ

∂ ∂= = ∂ ∂

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.001 0.01 0.1 1 10

Fattore tempo, T

Gra

do d

i con

solid

azio

ne, U

Equazione della consolidazione monodimensionale

La funzione U(T) è approssimabile con la formula di Sivaram & Swamee (1977)0.5

0.1792.8

4

41

TU

T

π

π

=

+

2

5.6 0.357

( / 4)[1 ]v

UTU

π=

−⇔

0.5 0.197UT = =

0.9 0.848UT = =

Curva di consolidazione teorica

2

( ) ( )

/ 1- ( )c vw t w U T c tT

u U T Hσ= ⋅ ⇒ = ∆ ∆ =


17

Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari

Il caso dell’isocrona iniziale rettangolare è valido per la condizione di carico indefinito su strati semplicemente o doppiamente drenati.

Altre soluzioni del problema 1D sono di interesse applicativo per l’analisi della consolidazione indotta da sovraccarichi o da variazioni delle condizioni idrauliche

1. Isocrone iniziali triangolari, banco drenato da entrambi i lati

Soluzione = combinazione di e


18

Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari

• stavolta le U(T) sono diverse caso per caso

• per un fissato T, risulta: U > U > U

Sia la che la presentano:

isocrone asimmetriche rispetto a metà strato U(T) identiche al caso

2. Isocrone iniziali triangolari, banco drenato solo da un lato

NB: la velocità di consolidazione è proporzionale ai gradienti idraulici in prossimità dell’unica superficie drenante


19

Condizioni di drenaggio nei terreni saturi · 2020. 12. 18. · Condizioni di drenaggio nei terreni...

Documents

Transcript of Condizioni di drenaggio nei terreni saturi · 2020. 12. 18. · Condizioni di drenaggio nei terreni...