Condizioni di drenaggio nei terreni saturi -...

Condizioni di drenaggio nei terreni saturi

• t = 0: drenaggio impedito ⇒ ∆u ≠ 0, ∆σ’=∆σ - ∆u ≠ 0 ⇒ cedimento iniziale (immediato) w0(∆u non equilibrate con le condizioni idrauliche al contorno)

Fondazione (sovraccarico)

t

w

σσ’ σ

u

wcw0w∞

• t → ∞: drenaggio libero ⇒ ∆u → 0, ∆σ’=∆σ ⇒ cedimento finale (totale) w∞ = w0+wc(∆u in equilibrio con le condizioni idrauliche al contorno)

• t > 0: consolidazione ⇒ ∆u = -∆σ’ = f(t) ⇒ cedimenti di consolidazione wc = w(t)

∆u

In un terreno saturo, soggetto ad una variazione di tensione totale ∆σ costante nel tempo, si verificano tre condizioni di drenaggio successive :

w∞

∆u/γw

Condizioni drenaggioConsolidazione

1

[ ] [ ] [ ]u Iσ σ ′= +

0

0

0

yx zxx

xy y zy

yzxz zsat

u + +

x y z xu + +

x y z yu + +

x y z z

σ τ τ

στ τ

σττ γ

′ ∂∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂′∂∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂ ∂

′∂ ∂∂ ∂+ − =

∂ ∂ ∂ ∂

0

0

0

yx zxx

xy y zy

yzxz zsat

+ +

x y z

+ + x y z

+ + x y z

σ τ τ

στ τ

σττ γ

∂∂ ∂ = ∂ ∂ ∂∂∂ ∂

=∂ ∂ ∂

∂ ∂∂− =

∂ ∂ ∂

Introducendo la definizione di tensioni efficaci

nelle equazioni indefinite dell’equilibrio del terreno saturo (γ = γsat, asse z verso il basso):

si ricavano le equazioni in termini di tensioni efficaci e pressioni interstiziali:

Condizioni di equilibrio nei terreni saturiCondizioni drenaggio

Consolidazione2

wi

hx

γ ∂

= ∂ forze di trascinamento

( )wu h zγ= +

Esprimendo la pressione neutra u in funzione della quota piezometrica h:

si ottengono le equazioni di equilibrio riferite allo scheletro solido :

Si verificano perciò condizioni di drenaggio libero quando i carichi sono lentamente variabili e:• i terreni hanno permeabilità elevata (grana grossa), per t ≥ 0• i terreni hanno bassa permeabilità (grana fine), per t → ∞

Condizioni drenate

0

0

0

yx zxxw

xy y zyw

yzxz zw

h + +

x y z xh + +

x y z yh + +

x y z z

σ τ τ γ

στ τ γ

σττ γ γ

′ ∂∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂′∂∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂ ∂

′∂ ∂∂ ∂ ′+ − =∂ ∂ ∂ ∂

Si definiscono condizioni drenate quelle per cui:• il fluido interstiziale è in quiete o in moto permanente• le quote piezometriche sono ottenibili dall’analisi di filtrazione • la distribuzione delle pressioni interstiziali è disaccoppiata da quella delle tensioni totali


3

Condizioni non drenate nei terreni a grana fine

In un terreno fine saturo sovraccaricato, sono possibili variazioni di volume (εv) solo per effetto di variazioni di massa (contenuto) d’acqua presente nei pori: ∆w ≠ 0 ⇒ εv ≠ 0

All’istante iniziale (t = 0) del processo di variazione di tensioni totali (∆σ),il drenaggio (che implica variazioni di contenuto d’acqua) è impedito: ∆w = 0 ⇒ εv ≅ 0

Per il calcolo degli incrementi di tensione totale ∆σ = f(P,ν), e anche dei cedimenti w = f(∆σ, E,ν)il terreno saturo bifase è trattabile come mezzo elastico monofase (equivalente)incompressibile (εv ≅ 0) ma capace di deformarsi per distorsione (εs ≠ 0).

00v

tε

==

,u uE ν

u σ′∆ σ∆

3(1 2 )

2(1 ) 3

u

u

u u

u

EK

E EG

ν

ν

= = ∞−

= = ≠ ∞+

rigidezza volumetrica

rigidezza distorsionale Ciò equivale ad assumere ν=νu=0.5 e pertanto:

z


4

Approcci per le analisi delle condizioni non drenate

Le variazioni di pressioni interstiziali sono accoppiate a quelle di tensioni efficaci (∆σ = ∆σ’ + ∆u)e la ripartizione di ∆σ tra le fasi è ottenibile imponendo la congruenza tra le (infinitesime) variazioni di volume di scheletro solido e acqua

Sono possibili quindi due diversi approcci per l’analisi degli stati tensionali e deformativi indotti da un processo di carico in condizioni non drenate (o ”di breve termine” o ”a t=0”):

Approccio alle… tensioni totali tensioni efficaci

incrementi tensioni totali ∆σ = f(P, νu)

incrementi pressioni interstizialiIgnoti

∆u = f(∆σ)

incrementi tensioni efficaci ∆σ’ = ∆σ - ∆u

caratterizzazione terreno monofase equivalente (Eu ; νu = 0.5) scheletro solido (E’ ; ν’)

calcolo deformazioni ε = f(∆σ, Eu, νu) ε = f(∆σ’, E’, ν’)

L’approccio alle tensioni totali è più pratico,quello alle tensioni efficaci più rigoroso.In linea di principio, dovrebbero fornire risultati congruentinell’ipotesi di validità della teoria elastica.

''2(1 ) 3 2(1 ')

u uu

u

E E EG Gν ν

= = ≡ =+ +

In particolare se:


5

Parametri di pressione interstiziale

La definizione dei ‘coefficienti di ripartizione’ esprime in genere ∆u = f(∆σ) separando i contributi di componente sferica e deviatorica della sollecitazioneSkempton (1954) definì i c.d. ‘parametri di pressione interstiziale’ A e Briferendosi a condizioni di compressione cilindrica (p. es. prove triassiali)

[ ]1 3 3 1 3( , ) ( )u f B Aσ σ σ σ σ∆ = ∆ ∆ = ∆ + ∆ − ∆

3u B σ∆ = ∆ 1 3( )u BA σ σ∆ = ∆ − ∆incremento (sferico) di σ3 ⇒ incremento di σ1 ⇒

1 3cσ σ σ∆ = ∆ = ∆

3σ

1σ

3σ

1σ

3B σ∆

q

, ,p p u′

q

, ,p p u′

3B σ∆1 3( - )BA σ σ∆ ∆

1 3Δq Δ Δσσ= −


6

Relatore

Note di presentazione

Parametri di Skempton: §3.9 - Lancellota (4° edizione)

Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - I

Applicazione di compressione isotropa 1 2 3p σ σ σ∆ = ∆ = ∆ = ∆ ad un terreno bifase

Variazioni di volume (infinitesime) per scheletro solido e fluido:

' '

f ff f

ss ssss ss

u uV V nVK K

p pV V VK K

∆ ∆∆ = =

∆ ∆∆ = =

' ( )f ff ss

ss ss

K KV V u p p u

nK nK∆ = ∆ ⇒ ∆ = ∆ = ∆ − ∆

31 1

1 1ss ss

f f

u pK Kn nK K

σ∆ = ∆ ≡ ∆ ⇒+ +

Imponendo la congruenza:

Riordinando: 3

1

1 ss

f

u u B Kp nK

σ∆ ∆

= = =∆ ∆ +


7

Considerando che Kw (≅ 2000 MPa) >> Kss (1 ÷ 100 MPa) >> Kg (≈ 0), sarà:

• terreno saturo 1 11 ss

w

B KnK

= ≅+

(∆σ è tutto ‘a carico dell’acqua’)

• terreno asciutto 1 01 ss

g

B KnK

= ≅+

(∆σ è tutto ‘a carico dello scheletro solido’)

• terreno non saturo ] [1 0,11 (1 )ss ss

w g

B K KnS n SK K

= ∈+ + −

(∆σ ripartito tra le fasi)

Nei terreni non saturi, il coefficiente B dipende quindi dalla combinazione di:

• porosità n • grado di saturazione S• rigidezza Kss dello scheletro solido

q

, ,p p u′

0 0S u= ⇒ ∆ =

1S u p= ⇒ ∆ = ∆

Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - IICondizioni drenaggio

Consolidazione8

Applicazione di un incremento di deviatore 1 3σ σ∆ − ∆ ad un terreno bifase

Dalla condizione 1 31 131 1ss ss

f f

u pK Kn nK K

σ σ∆ − ∆∆ = ∆ ≡

+ +risulta:

1 3

1 131 ss

f

uAB KnK

σ σ∆

= =∆ − ∆ +

Se il terreno è saturo, risulta e poiché B=1,

Per ‘percorsi di estensione’ (∆q<0)

13

AB ≅13

A =

23

A =

In realtà, i coefficienti A sono tutt’altro che conformi a questi valori teorici!Argilla sensitiva 0.7 – 1.5

Argilla molle 0.5 – 1.0

Argilla di media consistenza 0.0 – 0.5

Argilla molto consistente -0.5 – 0.0

Valori sperimentali tipici di A:

q

, ,p p u′

3qu ∆

∆ =

q∆

Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - III

si dimostra invece che

q∆In ogni caso, in ipotesi di elasticità,il percorso di tensioni efficaci è verticale

23

u q∆ = ∆


9

Processi di consolidazione dei terreni saturi

Il flusso necessario per ristabilire l’equilibrio idraulico al contorno è associato a variazioni di porosità (→ cedimenti) dello scheletro solido

Analogia del pistone idraulico (molla → rigidezza scheletro solido, valvola → permeabilità del terreno):

2

2 2

fed

w w

w

wf

ed

σV w A HAE

h / Δu σi H / γ H γ H

σQ kiA k Aγ H

γ HVt Q kE

= = =

= = = =

= = =

= = =

volume acqua espulsa

gradiente idraulico medio

portata media effluente

tempo di riequilibrio

w

Consolidazione = fenomeno idrodinamico transitorio tra condizioni di drenaggio impedito (t=0) e libero (t=∞)

A

k

Eed

σ

H


10

Relatore

Note di presentazione

Consolidazione: § 6.11 (Lancellotta 4° edizione)

Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi

Condizione di continuità di terreno saturo, caso monodimensionale (vx=vy=0):

zv ndz dAdt dzdA dtz t

∂ ∂− ⋅ = ⋅

∂ ∂

Indicando con u il solo incremento di pressione interstiziale (sovrappressione),

zw

h uv k kz z

ζγ

∂ ∂= − = − + ∂ ∂

e con σ′ il solo incremento di tensione efficace (=-u),

'1 v z

ed ed

e une E E

σε ε∆−∆ = − = = = = −

+

uguagliando la alla e introducendo la ,la condizione di continuità è esprimibile in funzione della sola u(z,t):

2

2

1

w ed

k u uz E tγ

∂ ∂=

∂ ∂

dz

dxdy

zz

vv dzz

∂+

∂

zv

zv nz t

∂ ∂− =

∂ ∂⇒

⇒2

2z

w

v k uz zγ

∂ ∂− =

∂ ∂

1

ed

n ut E t

∂ ∂=

∂ ∂⇒


11

Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi

2

2vu uct z

∂ ∂∂ ∂

=

2 1 edv

w

kEc L Tγ

− =

L’equazione reggente la consolidazione monodimensionale è in definitiva :

avendo definito il coefficiente di consolidazione verticale

ed è integrabile purché siano assegnate:

• condizioni di drenaggio al contorno

• distribuzione iniziale di sovrappressioni u0(z)

(dall’analisi in condizioni non drenate)

La soluzione è rappresentabile mediante curve ut(z) dette isocrone (distribuzioni di u(z), fissato t).


12

Consolidazione monodimensionale – Soluzione analitica

Nel caso più elementare (riprodotto ad es. nell’edometro), si ha:

• sovraccarico uniforme σ (⇒ isocrona iniziale rettangolare, u0 = σ) • drenaggio da entrambe le superfici (⇒ ut(0) = ut(2H) = 0)

La soluzione analitica è:

20

0

2( , ) sin( ) (2 1)2

n T

i

uu z t nZ e n in

π∞−

=

= ⋅ = + ∑

zZH

= 2vc tT

H=dove si è posto e (fattore tempo)

(H = massimo percorso della particella d’acqua ≡ ½ altezza strato)

σ

σ

u0

u

z

2H

wu

z

u(z,t)

t


13

Consolidazione monodimensionale – Soluzione adimensionale

Rappresentazione grafica in termini di isocrone adimensionali u(Z,T)/σ

HzZ =

σσ′


14

Consolidazione monodimensionale – Il grado di consolidazione

In generale, conviene esprimere l’andamento del fenomeno mediante:

• grado di consolidazione in termini di cedimento, Uw

• grado di consolidazione medio in termini di tensione, Uσ

( )w

c

w tUw

=

2

0

1 ( , )2

H

t z dzH

Uσ

σ

σ

′=

∫

[ ]2 2

0 0

1 1- ( ) ( )2 2

1-

H H

u t dz u t dzH H

Uσ

σ

σ σ= =

∫ ∫

1- 2

UHσ σ

= =area sottesa dall'isocrona (t) area campita

area rettangolo area totale


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Consolidazione monodimensionale – Soluzione sintetica2

0

1( ) ( , )H

ed

w t t z dzE

σ ′= ∫ [ ]0(0, ) 0 0z wσ ′ = ⇒ =2

ced

HwE

σ=Nel caso elementare, e

Pertanto si verifica che Uw ≡ Uσ = U (il grado di consolidazione è unico)e la soluzione è esprimibile da un’unica curva U(T):

Calcolato il cedimento di consolidazione wc per uno strato con H e cv noti,la curva di consolidazione (relazione cedimenti-tempi w:t) si ottiene:

1. fissando t → determinando il corrispondente2. calcolando il valore U(T) → w(t) = U(T)⋅wc

2vc tT

H=


16

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

Fattore tempo, T

Gra

do d

i con

solid

azio

ne, U

2

2 edv v

w

kEu uc ct z γ

∂ ∂= = ∂ ∂

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.001 0.01 0.1 1 10

Fattore tempo, T

Gra

do d

i con

solid

azio

ne, U

Equazione della consolidazione monodimensionale

La funzione U(T) è approssimabile con la formula di Sivaram & Swamee (1977)0.5

0.1792.8

4

41

TU

T

π

π

=

+

2

5.6 0.357

( / 4)[1 ]v

UTU

π=

−⇔

0.5 0.197UT = =

0.9 0.848UT = =

Curva di consolidazione teorica

2

( ) ( )

/ 1- ( )c vw t w U T c tT

u U T Hσ= ⋅ ⇒ = ∆ ∆ =


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Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari

Il caso dell’isocrona iniziale rettangolare è valido per la condizione di carico indefinito su strati semplicemente o doppiamente drenati.

Altre soluzioni del problema 1D sono di interesse applicativo per l’analisi della consolidazione indotta da sovraccarichi o da variazioni delle condizioni idrauliche

1. Isocrone iniziali triangolari, banco drenato da entrambi i lati

Soluzione = combinazione di e


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Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari

• stavolta le U(T) sono diverse caso per caso

• per un fissato T, risulta: U > U > U

Sia la che la presentano:

isocrone asimmetriche rispetto a metà strato U(T) identiche al caso

2. Isocrone iniziali triangolari, banco drenato solo da un lato

NB: la velocità di consolidazione è proporzionale ai gradienti idraulici in prossimità dell’unica superficie drenante


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