L3 TRAVAUX DIRIGS

Communications Numriques

2010/2011

Sujet 1 : Codage numrique en bande de base

1.1 Codage NRZAfin de raliser une communication numrique sur un cble de transmission (par voie lectrique), on

considre une suite numrique binaire (k = 0, 1) alatoire valeurs quiprobables cadence par une hor-loge de priode T. On applique cette information un codage trivial consistant associer la valeur "-V"(tension lectrique de valeur ngative) ltat binaire "0" et la valeur "+V" ltat binaire "1" (ce code senomme NRZ, Non Return to Zero).

1. Reprsenter un tel signal en fonction du temps ; on le nommera x(t). Que peut-on dj en tirer commeproprits (au sens de la fonction du temps) ?

Afin dvaluer la bande passante spectrale ncessaire prvoir (ou rserver) sur le cble, on cherche exprimer le spectre dun tel signal numrique.

2. Donner dabord lexpression du formant de ce code, cest--dire la fonction g(t) qui permet dexprimerle signal numrique x(t) sous la forme :

x(t) =k

akg(t kT )

3. Rechercher lexpression du spectre G(f) de cette fonction g(t) et de la densit spectrale de puissanceassocie :

Sgg(f) = |G(f)|2

4. Grce la formule de Bennett, exprimer la densit spectrale de puissance Sxx(f) du signal numriquex(t) et la reprsenter.

5. Que peut-on en dduire relativement la bande passante ncessaire ? Quelle sera donc loprationindispensable raliser ?

1.2 Codage 2B1Q-NRZDans le mme contexte que prcdemment, et avec la mme source numrique binaire dinformation,

on a lide de raliser le mme type de codage, mais appliqu, non pas chaque symbole, mais chaquedoublet de symboles (ce nouveau code se nomme 2B1Q-NRZ, comme 2 binaires - 1 quaternaire.

1. Dfinir un exemple de choix de valeurs bk (un symbole bk quaternaire reprsentera un doublet de bitsde la source numrique binaire). Reprsenter nouveau un tel signal xq(t) en fonction du temps :xq(t) =

k bkg(t kT )

2. Exprimer la nouvelle densit spectrale de puissance Sxqxq (f) et la comparer la prcdente.

3. Que peut-on en dduire et quel est lintrt dun tel codage ?

4. Pourrait-on tendre ce principe un codage appliqu sur un grand nombre de bits conscutifs ? Quelphnomne limitera la valence du systme ?

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Sujet 2 : Transmission sur canal bruit

Nous considrons la transmission dune squence binaire par un codage en ligne (en bande de base) surun canal bande non limite. Le bruit considr est un bruit blanc gaussien de densit spectrale de puissancen(f) = N0/2.

Le codage considr est le code Manchester : ak = 1, et

g(t) =

{V pour 0 t < T/2V pour T/2 t < T

2.1 Filtre adapt1. Quelle est lexpression de Eb, lnergie moyenne par bit ?

2. Le filtre de rceptiopn adapt est gr() = A g(t0 ). Dterminer lexpression du filtre adapt pourle code de Manchester (on choisira t0 de sorte que le filtre de rception soit causal).

Le signal reu esty(t) =

akg(t kT ) + n(t)

Lestimation des symboles mis est faite en chantillonnant r(t), le signal la sortie du filtre de rception,aux instants t0 + nT

r(t) =

akh(t kT ) + b(t)

3. Quelle est lexpression de h(t) ?

2.2 Probabilit derreur

On montre que, lorsquil y a adaptation, la probabilit derreur est fonction du quotient Eb/N0.

1. Quelle est lunit de N0 ? Quelle est la puissance du bruit sur une bande de frquence de largeur W ?

2. Rappeler lexpression de la probabilit derreur en fonction du quotient Eb/N0, pour un codage biva-lent antipolaire (ak = 1).

3. Que vaut lexpression du quotient Eb/N0 en fonction de V , N0, D ? Conclure sur linfluence du dbitsur la probabilit derreur binaire.

4. Dterminer P la puissance dmission en fonction de D et Eb. On mesure N0 = 4 1021W/Hz,valuer la puissance minimale Pmin mettre pour un dbit binaire D = 34 Mbits/s garantissant uneprobabilit derreur Pe 104.

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.092.30 0.00114 0.00109 0.00103 0.00098 0.00094 0.00089 0.00085 0.00080 0.00076 0.000722.40 0.00069 0.00065 0.00062 0.00059 0.00056 0.00053 0.00050 0.00048 0.00045 0.000432.50 0.00041 0.00039 0.00037 0.00035 0.00033 0.00031 0.00029 0.00028 0.00026 0.000252.60 0.00024 0.00022 0.00021 0.00020 0.00019 0.00018 0.00017 0.00016 0.00015 0.000142.70 0.00013 0.00013 0.00012 0.00011 0.00011 0.00010 0.00009 0.00009 0.00008 0.000082.80 0.00008 0.00007 0.00007 0.00006 0.00006 0.00006 0.00005 0.00005 0.00005 0.00004

TABLE 2.1 Valeurs de la fonction erreur complmentaire

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Sujet 3 : Canal bande limite en bande de base

Nous tudions une transmission en bande de base sur un canal bande limite. Le filtrage opr par lecanal a pour effet la cration dune interfrence entre symboles (IES). A la sortie du canal le signal reu r(t)est tel qu linstant dchantillonnage t1 + nT , r(t1 + nT ) ne dpend pas uniquement de an mais vaut

r(t1 + nT ) = anh(t1) +k 6=0

ankh(t1 + kT )

o h(t) est lexpression du formant g(t) filtr par le canal. En effet, lentre du canal le signal cod a pourexpression :

x(t) =m

amg(tmT )

3.1 Filtrage passe-bas du premier ordre

Nous tudions empiriquement ce phnomne pour un signal cod NRZ (ak {1, 1} et g(t) = V pour0 t T ) et un canal modlis par un filtre passe-bas du premier ordre (dont la frquence de coupure vautc =

1 ).

1. Tracer h(t), la forme donde (ou le formant, ici un crneau) filtre par un filtre passe-bas du premierordre, pour diffrentes valeurs de .

(a) T(b) ' T(c) T

2. Reprsenter le signal r(t) pour ces diffrentes valeurs de .

3. Que devient le filtrage du signal x(t) dans le cas T ? En quoi sagit-il dune interfrence entresymboles ? Transposer la relation T dans le domaine frquentiel (rappel : R = 1 ).

3.2 Filtrage passe-bas idalNous tudions le mme signal NRZ binaire. Le canal est cette fois modlis par un filtre passe-bas idal.

Lensemble codeur canal filtre de rception a pour transforme de Fourier H(f) = A (f/(2fc)).

1. Dterminer lexpression de h(t).

Le signal reu qui permettra de dterminer (estimer) le symbole mis est

r(t) =

akh(t kT )

avec an = r(n T ).2. Quelle est lexpression de an (en fonction de h(t) et de la suite (ak)) ?

3. Donner une valeur de fc, minimale, permettant lannulation de lIES.

4. Rappeler lexpression du premier critre de Nyquist dans le domaine frquentiel. Montrer que H(f)le vrifie.

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Sujet 4 : Modulation numrique, multiplexage

4.1 ConstellationLa modulation permet de raliser une transmission numrique sur voie hertzienne en transposant le

spectre du signal numrique autour dune frquence porteuse dans une bande de frquence troite alloue.Lensemble frquencebande se nomme canal hertzien.

1. Donner lexpression dune porteuse de frquence f0 module en amplitude par un signal x(t) ou enphase par un signal y(t).

2. Montrer quun signal s(t) modul en amplitude par le signal x(t) et simultanment en phase par lesignal y(t) peut scrire comme tant un signal modul en quadrature, cest--dire

s(t) = I(t) cos(2f0t)Q(t) sin(2f0t)

3. Dans le cadre dune transmission numrique, montrer que si lon considre que I(t) et Q(t) peuventprendre un nombre fini de valeurs, les couples I/Q peuvent reprsenter des n-uplets de bits. Repr-senter ces diffrents tats sur un diagramme I/Q. Cette reprsentation se nomme la constellation.

4. Sachant que I(t) et Q(t) sont constants sur une priode Ts, quel est le dbit binaire D de la transmis-sion en fonction de M le nombre de points de la constellation (la valence) et R = 1/Ts (la rapidit demodulation) ?

5. Reprsenter sur la constellation la perturbation apporte par un bruit additif.

6. La rapidit de modulation est limite par la bande de frquence alloue. Quelle est la limitation danslaugmentation du dbit par laugmentation de la valence ?

7. Etablir un schma fonctionnel de modulation.

8. En crivant s(t) = I(t) cos(2f0t) Q(t) sin(2f0t), tablir un processus de dmodulation et enfaire le schma fonctionnel. 1

4.2 Multiplexage frquentiel inverseOn considre un canal physique (paire de conducteurs cuivre) de bande passante utilisable [0 1 MHz],

mais pouvant prsenter des irrgularits spectrales de transmission ("trous", perturbations ponctuelles, grandesdiffrences dattnuation,. . .). De manire pouvoir quand mme utiliser ce support avec un dbit maximal,on divise la bande passante en 256 canaux frquentiels de largeur 4.3 kHz chacun (principe de lADSL) avecla rpartition suivante :

canaux 1 6 : tlphonie classique (analogique ou RNIS), canaux 7 31 : donnes numriques "montantes", canaux 32 256 : donnes numriques "descendantes".

Sachant que, pour les donnes, on applique une modulation QAM de 2 512 tats et en considrant unfiltrage optimal tel que lmission dun tat par seconde occupe 1 Hz, en dduire les dbits maximum etminimum pour les donnes "descendantes".

1. Ecrire cos2(2f0t) = 1 sin2(2f0t) = 12 (1 + cos(4f0t)), cos(2f0t) sin(2f0t) =12sin(4f0t)

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