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Capitolo 7 Settima lezione 7.1 Introduzione Nei capitoli precedenti abbiamo presentato un certo numero di modelli contenenti livelli e flussi. In questi modelli i livelli presenti variano per effetto di flussi in ingresso o in uscita e le relazioni fra un flusso φ e un livello L sono descrivibili tramite equazioni che hanno la forma seguente 1 : ˙ L = φ (7.1) φ = k * L (7.2) dove k individua una costante ad hoc sia come significato sia come unit` a di misura. Da quanto visto nel capitolo 2 sappiamo che tali equazioni hanno le seguenti soluzioni: L = L(0)e kt (7.3) φ = kL(0)e kt (7.4) dove L(0) rappresenta il valore iniziale del livello L. Se k< 0 la (7.2) identifica un flusso in uscita dal livello il cui valore decresce nel tempo, dal valore iniziale L(0), con una legge di tipo esponenziale. Se k> 0 il flusso φ ` e un flusso in ingresso al livello L per cui si ha una crescita esponenziale a partire dal valore L(0). La (7.3) e la (7.4) mostrano il legame stretto che esiste fra un livello e un flusso se questi sono in relazione mediante equazioni quali la (7.1) e la (7.2). In entrambi i casi di k> 0e k< 0 il livello si modifica con un ritardo pari a: T = | 1 k | (7.5) 1 Come di consueto si usa il simbolo * per indicare l’operatore prodotto solo in quei casi in cui la sua omissione pu` o dare luogo a qualche ambiguit` a di interpretazione. 318

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Capitolo 7

Settima lezione

7.1 Introduzione

Nei capitoli precedenti abbiamo presentato un certo numero di modellicontenenti livelli e flussi. In questi modelli i livelli presenti variano per effettodi flussi in ingresso o in uscita e le relazioni fra un flusso φ e un livello L sonodescrivibili tramite equazioni che hanno la forma seguente1:

L = φ (7.1)

φ = k ∗ L (7.2)

dove k individua una costante ad hoc sia come significato sia come unita dimisura. Da quanto visto nel capitolo 2 sappiamo che tali equazioni hanno leseguenti soluzioni:

L = L(0)ekt (7.3)

φ = kL(0)ekt (7.4)

dove L(0) rappresenta il valore iniziale del livello L. Se k < 0 la (7.2)identifica un flusso in uscita dal livello il cui valore decresce nel tempo, dalvalore iniziale L(0), con una legge di tipo esponenziale. Se k > 0 il flusso φe un flusso in ingresso al livello L per cui si ha una crescita esponenziale apartire dal valore L(0).La (7.3) e la (7.4) mostrano il legame stretto che esiste fra un livello e unflusso se questi sono in relazione mediante equazioni quali la (7.1) e la (7.2).In entrambi i casi di k > 0 e k < 0 il livello si modifica con un ritardo pari a:

T = |1

k| (7.5)

1Come di consueto si usa il simbolo ∗ per indicare l’operatore prodotto solo in quei casi

in cui la sua omissione puo dare luogo a qualche ambiguita di interpretazione.

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7.2 Capitolo 7

Come si e visto nella sezione 2.10 il valore di T misura il tempo di crescita odi decrescita di un esponenziale e quindi il tempo medio di variazione di unlivello o di un flusso. In questi casi, come vedremo meglio nella sezione 7.2,si parla di ritardi di tipo esponenziale.Ci sono casi in cui si vuole modellare il fatto che una certa quantita di mate-ria (o anche una certa quantita di informazione) subisce in blocco un ritardodi una certa entita nel senso che arriva ad un punto di un diagramma diflusso al tempo t e si trasferisce al punto successivo al tempo t +∆t.In questi casi si parla di ritardi di tipo pipeline. La metafora di un ritardodi tipo pipeline e quella del tapis-roulant che trasporta quanti di materia daun punto ad un altro in un tempo finito e percio con un ritardo prefissato.Presenteremo i ritardi di tipo pipeline nella sezione 7.3. Nella sezione 7.4presenteremo due esempi di interazione dei ritardi dei due tipi messi uno incascata all’altro.Si fa notare, infatti, che i due approcci sono in genere mutuamente esclusivinel senso che nei modelli o si usano ritardi di tipo esponenziale o si usanoritardi di tipo pipeline. Puo tuttavia capitare che alcune parti di un mo-dello richiedano l’uso di ritardi di tipo esponenziale mentre le parti restantirichiedano l’uso di ritardi di tipo pipeline. In questi casi e bene avere chia-re le tecniche utilizzabili per gestire le interazioni fra i due tipi di ritardo.Torneremo su queste ibridazioni nel capitolo 9 con esempi piu complessi.

7.2 I ritardi di tipo esponenziale

Per apprezzare le caratteristiche principali dei ritardi di tipo esponenzialesi puo iniziare dal modello di figura 7.1.Il modello di figura 7.1 contiene i due livelli L1 (con un contenuto inizialeL10 = 100) e L2 (inizialmente vuoto). In questo caso il primo livello sitravasa nel secondo tramite un flusso definito mediante la seguente relazione:

flux =L1

T(7.6)

nella quale T rappresenta il tempo medio di permanenza nel livello L1.L’andamento dei due livelli e mostrato nella figura 7.2 mentre le relazionidescrittive del modello sono riportate qui di seguito.

(01) FINAL TIME = 100

Units: Month [5,100,1]

The final time for the simulation.

(02) flux=L1/T

Units: individui/Month

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7.2 Capitolo 7

Figura 7.1: Due livelli con travaso

(03) INITIAL TIME = 0

Units: Month

The initial time for the simulation.

(04) L1= INTEG (-flux,L10)

Units: individui

(05) L10=100

Units: individui [0,100,1]

(06) L2= INTEG (flux,L20)

Units: individui

(07) L20=0

Units: individui [0,50,1]

(08) SAVEPER = TIME STEP

Units: Month [0,?]

The frequency with which output is stored.

(09) T=1.24

Units: Month [1,20,0.01]

(10) TIME STEP = 1

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]

The time step for the simulation.

Da un esame della figura 7.2 e delle relazioni precedenti si vede che al modellosono associabili le seguenti equazioni differenziali:

L1 = −L1

T(7.7)

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7.2 Capitolo 7

Figura 7.2: Andamenti dei livelli del modello di figura 7.1

(con il valore iniziale L1(0)) e:

L2 =L1

T(7.8)

(con il valore iniziale L2(0) = 0). Utilizzando tecniche note si ha che:

- il livello L1 si svuota con un andamento del tipo e−t

T ovvero secondola legge seguente

L1 = L1(0)e−

t

T (7.9)

- il livello L2 si riempie con un andamento del tipo 1−e−t

T ovvero secondola legge seguente

L2 = L1(0)(1− e−t

T ) (7.10)

- il contenuto di materia nel sistema e costante ovvero si ha la seguenteequazione di bilancio L1 + L2 = L10 + l20 se si usa la notazione deimodelli sviluppati con Vensim.

Tali relazioni caratterizzano fenomeni che variano con andamenti di tipoesponenziale e sostanzialmente continuano ad essere valide anche se il modelloviene complicato come mostrato in figura 7.3. Nel modello di questa figura siha che il livello L2, oltre ad avere un flusso in ingresso proveniente dal livello

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7.2 Capitolo 7

L1, ha un flusso in uscita caratterizzato da un ritardo R ovvero e descrittodalla seguente equazione differenziale:

L2 =L1

T−

L2

R(7.11)

con il valore iniziale L2(0) = 0.

Figura 7.3: Due livelli con travaso e perdita

Figura 7.4: Andamenti dei livelli del modello di figura 7.3

Le relazioni caratteristiche di questo secondo modello sono elencate qui diseguito mentre gli andamenti dei due livelli sono mostrati nella figura 7.4.

(01) FINAL TIME = 100

Units: Month [5,100,1]

The final time for the simulation.

(02) flux=L1/T

Units: individui/Month

(03) INITIAL TIME = 0

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7.2 Capitolo 7

Units: Month

The initial time for the simulation.

(04) L1= INTEG (-flux,L10)

Units: individui

(05) L10=100

Units: individui [0,100,1]

(06) L2= INTEG (flux-out,L20)

Units: individui

(07) L20=0

Units: individui [0,50,1]

(08) out=L2/R

Units: individui/Month

(09) R=1

Units: Month [1,100,1]

(10) SAVEPER = TIME STEP

Units: Month [0,?]

The frequency with which output is stored.

(11) T=1

Units: Month [0.01,20,0.01]

(12) TIME STEP = 1

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]

The time step for the simulation.

Da un’esame di tale figura si possono ricavare le seguenti considerazioni.

(1) La legge di variazione del livello L1 e identica a quella del caso pre-cedente ovvero e ottenuta come soluzione della seguente equazionedifferenziale del primo ordine:

L1 = −L1

T(7.12)

per cui ha la forma seguente:

L1(t) = L1(0)e−

t

T (7.13)

(2) La legge di variazione del livello L2 risente della presenza del flussoin uscita ovvero e ottenibile come soluzione della seguente equazionedifferenziale del primo ordine:

L2 =L1

T−

L2

R=

L1(0)e−

t

T

T−

L2

R(7.14)

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7.2 Capitolo 7

Utilizzando uno dei metodi visti nel capitolo 2 si puo ricavare laseguente soluzione generale della (7.14):

L2(t) = L2(0)e−

t

R + L1(0)R

T −R(e−

t

T − e−t

R ) (7.15)

Nel nostro caso si ha L2(0) = 0 per cui la (7.15) assume la formaseguente:

L2(t) = L1(0)R

T − R(e−

t

T − e−t

R ) (7.16)

alla quale (se si pone R = T = 1) corrisponde l’andamento di figura7.4.

Nel caso in cui sia R = T = 1 la (7.14) assume la forma seguente:

L2 = L1 − L2 = L1(0)e−t − L2 (7.17)

alla quale corrisponde la seguente soluzione.

L2(t) = L2(0)e−t + L1(0)te

−t (7.18)

Anche in questo caso il contributo del valore iniziale L2(0) si annullarapidamente nel tempo per cui se si pone L2 = 0 si ha:

L2(t) = L1(0)te−t (7.19)

E facile vedere come la (7.19) goda delle seguenti proprieta:

- ha un massimo per t = 1,

- ha una andamento crescente per t < 1 e decrescente per t > 1,

- ha la concavita verso il basso per t < 2 e verso l’alto per t > 2 con unflesso in t = 2.

Si e quindi visto come introdurre uno o piu ritardi di tipo esponenziale in unmodello definendone in modo opportuno la struttura. Da un esame di questimodelli sembrerebbe necessaria la presenza dei livelli per l’implementazionedei ritardi di tipo esponenziale. Potrebbe, inoltre, sembrare che l’unico mododi introdurre un ritardo di tipo esponenziale in un modello sia quello didefinire un legame, del tipo quelli visti nei modelli precedenti, fra un flussoed un livello.La figura 7.5 presenta due modi che possono essere usati per introdurre inun modello Vensim un ritardo di tipo esponenziale. Il modello etichettatocome (a) fa uso di un livello L intermedio fra i due flussi in e out mentre

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7.2 Capitolo 7

Figura 7.5: Due realizzazioni di un ritardo esponenziale

nel modello etichettato come (b) i due flussi sono in collegamento diretto.In questi due modelli e nel modello di figura 7.7 il flusso etichettato comein (ma anche con le sue varianti in1 e inL) consiste in un impulso di cuie possibile modificare altezza, inizio e durata. La differenza che esiste fra idue modelli consiste essenzialmente nel fatto che in uno di questi compareesplicitamente un livello L che compare nell’altro solo implicitamente comelivello nascosto. In entrambi i modelli il legame fra i due flussi e ottenutoutilizzando una relazione quale la seguente:

out=DELAY1I(in, R, init)

Units: individui/Month

nella quale, utilizzando la funzione propria di Vensim DELAY 1I, si assegnaalla variabile out il valore della variabile in su cui si applica un ritardo ditipo esponenziale pari al valore del parametro R che coincide con il para-metro delay time (vedi oltre). Il valore del parametro init moltiplicato peril valore del ritardo R rappresenta il valore iniziale del livello nascosto nellaistruzione DELAY 1I. Di solito tale valore viene impostato a 0 tranne chein casi particolari.Dal manuale di Vensim ([17]) si ha che la versione PLE del programmamette a disposizione, per l’implementazione di un ritardo di tipo esponenzia-

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7.2 Capitolo 7

le, l’istruzione DELAY 1(input, delay time) a cui corrispondono le istruzioniseguenti:

DELAY1=LV/delay time

LV=INTEG(input-DELAY1,input*delay time)

nelle quali si ha LV (0) = input ∗ delay time. Oltre a tale istruzione Ven-sim mette a disposizione, per l’implementazione di un ritardo di tipo espo-nenziale, anche l’istruzione DELAY 1I(input, delay time, initial value) a cuicorrispondono le istruzioni seguenti:

DELAY1I=LV/delay time

LV=INTEG(input-DELAY1I,initial value*delay time)

nelle quali si ha LV (0) = initial value ∗ delay time.A parte l’assenza del livello i due modelli mostrati in figura 7.5 sono equiva-lenti per quanto riguarda i due flussi in e out (denominati anche in1 e out1)come e possibile vedere dagli andamenti riportati nella figura 7.6 nella qualegli andamenti etichettati come (a) sono associati al modello (a) di figura 7.5e gli andamenti etichettati come (b) sono associati al modello (b) della stessafigura. Come abbiamo gia visto e possibile realizzare un ritardo del primo

Figura 7.6: Andamenti dei flussi per il modello Vensim di figura 7.5

ordine in un modello Vensim mediante una struttura ad hoc mostrata in fi-gura 7.7 la quale e detta realizzare un ritardo del primo ordine dal momentoche la dinamica del livello viene descritta da una equazione differenziale delprimo ordine. La figura 7.8 presenta gli andamenti dei flussi in e out (indicaticome inL e outL) per il modello di figura 7.7. Confrontando tali andamenticon quelli della figura 7.6 si puo verificare la perfetta corrispondenza fra imodelli, almeno per quello che riguarda i due flussi in (denominato anchein1) e out (denominato anche out1).Le relazioni caratteristiche di questi tre modelli sono elencate qui di seguito.

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7.2 Capitolo 7

Figura 7.7: Realizzazione strutturale di un ritardo esponenziale

(01) FINAL TIME = 10

Units: Month [5,100,1]

The final time for the simulation.

(02) height=50

Units: individui/Month [5,50,5]

(03) in=height*PULSE(start, width )

Units: individui/Month

(04) in1=height*PULSE(start, width )

Units: individui/Month

(05) init=0

Units: individui/Month [0,0]

(06) INITIAL TIME = 0

Units: Month

The initial time for the simulation.

(07) inL=height*PULSE(start , width)

Units: individui/Month

(08) L= INTEG (in-out,L0)

Units: individui

(09) L0=0

Units: individui [0,100,1]

(10) La= INTEG (inL-outL,La0)

Units: individui

(11) La0=L0

Units: individui

(12) out=DELAY1I(in, R, init)

Units: individui/Month

(13) out1=DELAY1I(in1, R, init)

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7.2 Capitolo 7

Figura 7.8: Andamenti dei flussi per il modello Vensim di figura 7.7

Units: individui/Month

(14) outL=La/R

Units: individui/Month

(15) R=3

Units: Month [1,10,1]

(16) SAVEPER = TIME STEP

Units: Month [0,?]

The frequency with which output is stored.

(17) start=0

Units: Month [0,10,1]

(18) TIME STEP = 1

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]

The time step for the simulation.

(19) width=1

Units: Month

Nei tre casi visti si parla di un ritardo esponenziale del primo ordine. Cosaaccade se si mettono in cascata due o piu ritardi esponenziali del primo or-dine? In quali casi puo essere necessario farlo?L’uso di piu ritardi del primo ordine in cascata permette di descrivere tuttequelle situazioni in cui si ha uno “scivolamento” di materia attraverso unaserie di stadi in successione e tale “scivolamento” e governato dalla inerziadeterminata dai tempi medi di transito da uno stadio al successivo condizio-nato dalla possibile presenza di perdite (ovvero flussi in uscita verso il mondo

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7.2 Capitolo 7

esterno) da ciascuno stadio intermedio (ovvero, nel nostro caso, gli stadi L1 eL2), perdite che impoveriscono (fino anche ad annullarlo) il flusso di materiafra l’ingresso al primo stadio e l’uscita dall’ultimo stadio della catena.Se si considera la relazione fra il flusso in ingresso al primo stadio e il flusso inuscita dall’ultimo stadio si puo dimostrare che n stadi in cascata equivalgonoad un ritardo di tipo esponenziale di ordine n al quale si puo far corrispon-dere una equazione differenziale di ordine n.La figura 7.9 illustra il caso di tre ritardi di tipo esponenziale del primo ordi-ne in cascata (realizzati con tre ritardi senza perdite intermedi ovvero senzaulteriori flussi in uscita) mentre la figura 7.10 mostra gli andamenti dei flussiin e out e dei tre livelli L1, L2 e L3.

Figura 7.9: Modello Vensim con tre ritardi del primo ordine in cascata

Le equazioni di bilancio dei tre livelli sono le seguenti:

L1 = in−L1

R1

(7.20)

L2 =L1

R1

−L2

R2

(7.21)

L3 =L2

R2

−L3

R3

(7.22)

Utilizzando le tecniche viste nel capitolo 6 si possono trasformare le tre equa-zioni differenziali del primo ordine (7.20), (7.21) e (7.22) in una equazionedifferenziale del terzo ordine perfettamente equivalente la cui soluzione cipermette, ad esempio, di ricavare L3(t) e, in successione, L2(t) e L1(t).Il procedimento da seguire e il seguente:

- si usa la (7.21) per ricavare L1

R1

;

- si deriva la (7.21) per ottenere una nuova relazione nella quale a primomembro compare il termine L2;

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7.2 Capitolo 7

Figura 7.10: Andamenti di flussi e livelli per il modello Vensim di figura 7.9

- si sostituiscono in questa nuova relazione tutti i termini in cui compareL1 (o la sua derivata) con le relazioni equivalenti in cui compare soloL2 o la sua derivata;

- si arriva ad una equazione differenziale del secondo ordine in cuicompare solo L2 con le sue derivate.

A questo punto si ripete il procedimento, con le necessarie variazioni, su que-sta nuova equazione insieme alla (7.22) in modo da ottenere una equazionedifferenziale del terzo ordine in cui compare solo L3 con le sue derivate.Una volta nota una espressione per L3 dalla (7.22) si puo ricavare una espres-sione per L2 e dalla (7.21) si puo ricavare una espressione per L1.In questo caso la trasformazione e ridondante dal momento che la (7.20) puoessere risolta in modo autonomo dalle altre due equazioni differenziali datoche dipende solo da L1. Una volta nota l’espressione di L1(t) si puo risolvere

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7.2 Capitolo 7

la (7.21) da cui si ricava l’espressione di L2(t). Si puo infine risolvere la (7.22)da cui si ricava l’espressione per L3(t).Il modello di figura 7.9 e perfettamente adatto al nostro scopo se, oltre allarelazione fra i flussi in e out, siamo interessati anche ad accedere ad almenouno dei livelli intermedi. In questo caso i livelli intermedi rappresentano deglistadi significativi del flusso di materia soggetto a vincoli di conservazione nelsenso che siamo interessati a conoscerne gli andamenti nel tempo allo scopodi controllarli e manipolarli agendo sui flussi tramite le variabili esogene.Se invece siamo interessati solo alla relazione fra i flussi in e out si puo usareil modello di figura 7.11.

Figura 7.11: Modello Vensim sintetico per il ritardo del terzo ordine

In questo modello si ha un solo livello L e la relazione fra i flussi in e out eottenuta utilizzando la funzione seguente i cui parametri hanno i significatigia visti per la funzione DELAY 1I:

out0=DELAY3I(in0, R, init)

Units: individui/Month

Dal manuale di Vensim ([17]) si ha che l’istruzioneDELAY 3I(input, delay time, initial value) viene implementata inter-namente (e quindi in modo trasparente all’utilizzatore) mediante le seguentiistruzioni:

DELAY3I=LV3/DL

LV3=INTEG(RT2-DELAY3I,

initial value*DL)

RT2=LV2/DL

LV2=INTEG(RT1-RT2,LV3)

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7.2 Capitolo 7

Figura 7.12: Andamenti dei flussi per il modello Vensim di figura 7.11

RT1=LV1/DL

LV1=INTEG(input-RT1,LV3)

DL=delay time/3

dalle quali si vede come il valore delay time del ritardo si equiripartisca sulleuscite dei tre livelli mentre il valore iniziale initial value determini il valoreiniziale del terzo livello LV 3 il cui valore iniziale definisce anche quello deidue livelli precedenti LV 1 e LV 2. Come nel caso del ritardo di tipo esponen-ziale si ha l’istruzione DELAY 3(input, delay time) nella quale non compareil termine initial value e per la cui trattazione si rimanda al manuale delprogramma ([17]).La figura 7.12 mostra gli andamenti dei flussi in (etichettato come in0) eout (etichettato come out0) in questo caso. Il confronto fra gli andamentidi questa figura e gli andamenti dei flussi della figura 7.10 ci permette diverificare l’equivalenza dei due modelli in relazione ai flussi suddetti. Va dase che non e possibile un confronto fra gli andamenti dei livelli non essendocifra i due casi alcuna corrispondenza possibile.Come e facile immaginare si puo seguire, infine, l’approccio illustrato a pro-posito del ritardo esponenziale del primo ordine in modo da implementare ilritardo esponenziale del terzo ordine con tre blocchi in cascata ciascuno deiquali usa in modo appropriato la seguente istruzione:

out=DELAY1I(in, R, init)

Units: individui/Month

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7.2 Capitolo 7

Esercizio 7.2.1 Utilizzare l’istruzione DELAY 1I(in, R, init) per imple-

mentare un ritardo esponenziale del terzo ordine utilizzando allo scopo tre

livelli ed un flusso di ingresso di andamento arbitrario.

Per facilitare l’implementazione dei modelli esaminati in questa sezione siriportano qui di seguito le loro relazioni caratteristiche.

(01) "12"=L1/R1

Units: individui/Month

(02) "23"=L2/R2

Units: individui/Month

(03) duration=1

Units: Month [0,4,0.2]

(04) FINAL TIME = 100

Units: Month [5,100,1]

The final time for the simulation.

(05) in=50*PULSE(start , duration)

Units: individui/Month

(06) in0=50*PULSE(start, duration)

Units: individui/Month

(07) init=0

Units: individui/Month [0,0]

(08) INITIAL TIME = 0

Units: Month

The initial time for the simulation.

(09) L= INTEG (in0-out0,0)

Units: individui

(10) L1= INTEG (in-"12",0)

Units: individui

(11) L2= INTEG ("12"-"23",0)

Units: individui

(12) L3= INTEG ("23"-out,0)

Units: individui

(13) out=L3/R3

Units: individui/Month

(14) out0=DELAY3I(in0, R, init)

Units: individui/Month

(15) R=R1+R2+R3

Units: Month [1,10,1]

(16) R1=1

Units: Month [0.01,5,0.01]

333

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7.3 Capitolo 7

(17) R2=1

Units: Month [0.01,5,0.01]

(18) R3=1

Units: Month [0.01,5,0.01]

(19) SAVEPER = TIME STEP

Units: Month [0,?]

The frequency with which output is stored.

(20) start=0

Units: Month [0,10,1]

(21) TIME STEP = 1

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]

The time step for the simulation.

7.3 I ritardi di tipo pipeline

Se i ritardi di tipo esponenziale sono associabili a fenomeni di “scivola-mento” di materia (con vincoli di conservazione) i ritardi di tipo piepline sonoassociabili a fenomeni di “trasferimento in blocco” di materia (con identicivincoli) sotto forma di “quanti di materia”, almeno in prima approssimazio-ne. In questi casi si hanno coppie di flussi (in e out) il secondo dei quali (out)e la copia ritardata del primo (in). Nei modelli che vedremo faremo semprel’ipotesi che il flusso in sia un impulso di altezza e durata variabili in mododa descrivere il concetto di “quanto di materia” da trasferire mediante copiaritardata. Questa copia ritardata e ottenuta utilizzando l’istruzione seguentenella quale i parametri hanno i significati noti tranne che per la variabile initil cui valore rapresenta il valore del flusso out all’inizio della simulazione:

out=DELAY FIXED(in, R , init)

Units: individui/Month

Questo vuol dire che se in = f(t) si ha out = f(t + T ) in modo che latrasformazione ha pienamente significato nel caso in cui la funzione f(t)sia assimilabile a un impulso (come e mostrato nella figura 7.14) o a unasuccessione di impulsi.Un modello Vensim che implementa un ritardo pipeline pari ad R e mostratoin figura 7.13 mentre la figura 7.14 mostra gli andamenti dei due flussi in eout e del livello L in questo caso.Dalla figura 7.14 si vede che:

- il flusso out e la copia del flusso in R unita di tempo dopo;

334

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7.3 Capitolo 7

Figura 7.13: Modello Vensim per il ritardo di tipo pipeline

Figura 7.14: Andamenti dei flussi e del livello per il modello Vensim di figura

7.13

- il livello L si carica con tutta la materia contenuta nel flusso di ingressoe poi inizia a scaricarsi quando si inizia a produrre il flusso out per esseredel tutto scarico quando questo flusso si e esaurito.

Piu in dettaglio si ha che il livello L mantiene un valore costante pari all’areadell’impulso in ingresso dal momento in cui questo termina fino al momentoin cui il flusso in uscita al livello non inizia ad assumere valori non nulli ovverofino allo scadere del ritardo R. Nel caso di figura si ha che tale intervallo ditempo ha una durata pari a R − width = 3− 1 = 2.Dato che il ritardo pipeline interessa direttamente i due flussi in e out ci sipuo aspettare che il livello L possa essere completamente rimosso dai modelli,rimozione che, del resto, e stata vista essere possibile anche nel caso delritardo esponenziale.La figura 7.15 mostra un modello Vensim nel quale i due flussi in (etichettatocome in1) e out (etichettato come out1) sono collegati direttamente fra diloro in modo che non sia necessario utilizzare il livello L mentre la figura7.16 mostra l’andamento dei flussi in e out in questo caso. Dal confronto

335

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7.3 Capitolo 7

fra le figure 7.14 e 7.16 si vede chiaramente l’equivalenza dei due modelli perquanto riguarda l’andamento dei due flussi. Qui di seguito si riportano le

Figura 7.15: Modello Vensim sintetico per il ritardo di tipo pipeline

Figura 7.16: Andamenti dei flussi per il modello Vensim di figura 7.15

relazioni caratteristiche dei due modelli Vensim nel caso di un ritardo di tipopipeline.

(01) FINAL TIME = 100

Units: Month [5,100,1]

The final time for the simulation.

(02) height=1

Units: individui/Month [1,4,1]

(03) in=height*PULSE(start, width )

Units: individui/Month

336

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7.3 Capitolo 7

(04) in1=height*PULSE(start, width )

Units: individui/Month

(05) init=0

Units: individui/Month [0,10,1]

(06) INITIAL TIME = 0

Units: Month

The initial time for the simulation.

(07) L= INTEG (in-out,0)

Units: individui

(08) out=DELAY FIXED(in, R , init)

Units: individui/Month

(09) out1=DELAY FIXED(in1, R , init)

Units: individui/Month

(10) R=3

Units: Month [0,10,1]

(11) SAVEPER = TIME STEP

Units: Month [0,?]

The frequency with which output is stored.

(12) start=0

Units: Month [0,10,1]

(13) TIME STEP = 1

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]

The time step for the simulation.

(14) width=1

Units: Month [1,6,1]

Come per il ritardo di tipo esponenziale e possibile avere la necessita dimettere in cascata piu ritardi di tipo pipeline. La figura 7.17 mostra duemodelli Vensim con due ritardi di tipo pipeline in cascata: il primo di talimodelli usa i due livelli L e L1 e tre flussi in, outIn e out mentre il secondousa solo i tre flussi (etichettati come in1, outIn1 e out1). Si fa notare che idue modelli sono a tutti gli effetti separati dato che condividono solamentele due variabili esogene Rin e R.La figura 7.18 mostra l’andamento dei due livelli e dei tre flussi per il primomodello e dei tre flussi per il secondo modello. Da un confronto fra gliandamenti dei flussi nei due casi si puo dedurre l’equivalenza dei due modelli,almeno in relazione ai flussi.Le relazioni caratteristiche di questi due modelli sono riportate qui di seguito.

(01) FINAL TIME = 100

Units: Month [5,100,1]

The final time for the simulation.

337

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7.3 Capitolo 7

Figura 7.17: Modello Vensim di due ritardi pipeline in cascata

Figura 7.18: Andamenti dei flussi e dei livelli per il modello Vensim di figura

7.17

(02) height=1

Units: individui/Month [1,4,1]

(03) in=height*PULSE(start, width )

Units: individui/Month

(04) in1=in

Units: individui/Month

(05) INITIAL TIME = 0

Units: Month

The initial time for the simulation.

(06) L= INTEG (in-outIn,0)

Units: individui

(07) L1= INTEG (outIn-out,0)

Units: individui

(08) out=DELAY FIXED(outIn, R , 0)

Units: individui/Month

338

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7.3 Capitolo 7

(09) out1=DELAY FIXED(outIn1, R , 0)

Units: individui/Month

(10) outIn=DELAY FIXED(in, Rin , 0)

Units: individui/Month

(11) outIn1=DELAY FIXED(in1, Rin , 0 )

Units: individui/Month

(12) R=3

Units: Month [0,10,1]

(13) Rin=3

Units: Month [0,10,1]

(14) SAVEPER = TIME STEP

Units: Month [0,?]

The frequency with which output is stored.

(15) start=0

Units: Month [0,10,1]

(16) TIME STEP = 1

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]

The time step for the simulation.

(17) width=1

Units: Month [1,6,1]

Fino a questo punto l’assunzione implicita di base era che il flusso in uscita daun ritardo di tipo pipeline coincide con il flusso in ingresso a parte il ritardodi trasferimento del primo sul secondo. In casi come questi la metafora del“quanto di materia” e perfettamente plausibile. Cosa accade, invece, se unafrazione del flusso in va persa e pertanto non arriva sul flusso out? In questocaso si deve pensare che il “quanto di materia” in igresso al livello vienespezzato in que “quanti” piu piccoli la cui somma, tuttavia, coincide con ilvalore del “quanto” di partenza in modo che i vincoli di conservazione sianosoddisfatti.Nel caso dei ritardi di tipo esponenziale abbiamo visto come affrontare ilproblema. La figura 7.19 mostra come si possa affrontare e risolvere unproblema analogo nel caso dei ritardi di tipo pipeline. In questo caso sipresenta il modello che fa uso del livello L ma e possibile concepire la versionecon tre flussi nella quale non e presente il livello L.Nel modello di figura 7.19 si ha:

- un flusso in ingresso in con le caratteristiche di un impulso,

- una percentuale di questo flusso (individuata dalla variabiletassoDiPerdita) viene dispersa per varie cause per cui viene trasfe-

339

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7.3 Capitolo 7

Figura 7.19: Modello Vensim di un ritardo pipeline con perdita di materia

rita nel flusso perdita con un ritardo pari a R (vedi la relazione (07)qui di seguito),

- la percentuale residua di questo flusso individuata dalla variabile 1 −tassoDiPerdita viene trasferita sul flusso out con un identico ritardopari a R (vedi la relazione (06) qui di seguito).

La figura 7.20 mostra l’andamento dei tre flussi e del livello L in questo caso.Si fa notare che la somma dei “quanti” in uscita coincide con l’entita delquanto in ingresso (in modo che i vincoli di conservazione siano soddisfatti)e che il livello Lsi carica fino ad immagazzinare tutta la materia in ingresso,la trattiene per un tempo pari a R e poi la rilascia in mdod da produrre idue “quanti” in uscita.

Figura 7.20: Andamenti dei flussi e del livello per il modello Vensim di figura

7.19

Qui di seguito si riportano le relazioni caratteristiche di questo modello.

(01) FINAL TIME = 100

340

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7.3 Capitolo 7

Units: Month [5,100,1]

The final time for the simulation.

(02) height=1

Units: individui/Month [1,4,1]

(03) in=height*PULSE(start, width )

Units: individui/Month

(04) INITIAL TIME = 0

Units: Month

The initial time for the simulation.

(05) L= INTEG (in-out-perdita,0)

Units: individui

(06) out=DELAY FIXED(in*(1-tassoDiPerdita), R , 0)

Units: individui/Month

(07) perdita=DELAY FIXED(in*tassoDiPerdita, R , 0)

Units: individui/Month

(08) R=3

Units: Month [1,10,1]

(09) SAVEPER = TIME STEP

Units: Month [0,?]

The frequency with which output is stored.

(10) start=0

Units: Month [0,10,1]

(11) tassoDiPerdita=0.15

Units: Dmnl [0,1,0.01]

(12) TIME STEP = 0.0078

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]

The time step for the simulation.

(13) width=1

Units: Month [1,6,1]

Esercizio 7.3.1 Implementare il modello Vensim corrispondente al modello

di figura 7.19 ma senza fare esplicitamente uso del livello L. Verificare che i

due modelli sono equivalenti per quello che concerne gli andamenti dei flussi.

Nel modello di figura 7.19 si e fatta l’ipotesi che il flusso di perdita e quellodi transito siano caratterizzati dallo stesso ritardo R. La figura 7.21 mostrail caso in cui il flusso di perdita ha un ritardo R1 inferiore a quello R dellamateria in transito. L’andamento dei tre flussi e del livello in questo caso emostrato in figura 7.22. Si notino gli andamenti dei flussi in uscita (sfalsatinel tempo a causa della differenza fra i valori R1 e R) e il corrispondenteandamento del livello L. In questo caso il livello L si carica come nel caso

341

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7.3 Capitolo 7

precedente ma si scarica parzialmente (di una frazione determinata dal valoredel tassoDiPerdita) allo scadere del ritardo R1 e completamente allo scaderedel ritardo R.

Figura 7.21: Modello Vensim di un ritardo pipeline con perdita di materia e

ritardi indipendenti

Le relazioni caratteristiche di questo modello sono riportate qui di seguito.

(01) FINAL TIME = 100

Units: Month [5,100,1]

The final time for the simulation.

(02) height=1

Units: individui/Month [1,4,1]

(03) in=height*PULSE(start, width )

Units: individui/Month

(04) INITIAL TIME = 0

Units: Month

The initial time for the simulation.

(05) L= INTEG (in-out-perdita,0)

Units: individui

(06) out=DELAY FIXED(in*(1-tassoDiPerdita), R , 0)

Units: individui/Month

(07) perdita=DELAY FIXED(in*tassoDiPerdita, ritardo , 0)

Units: individui/Month

(08) R=3

342

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7.3 Capitolo 7

Figura 7.22: Andamenti dei flussi e dei livelli per il modello Vensim di figura

7.21

Units: Month [1,10,1]

(09) R1=2

Units: Month [0,10,1]

(10) ritardo=IF THEN ELSE(switch=0, R, R1 )

Units: Month

(11) SAVEPER = TIME STEP

Units: Month [0,?]

The frequency with which output is stored.

(12) start=0

Units: Month [0,10,1]

(13) switch=1

Units: Dmnl [0,1,1]

(14) tassoDiPerdita=0.18

Units: Dmnl [0,1,0.01]

(15) TIME STEP = 0.0078

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]

The time step for the simulation.

(16) width=1

Units: Month [1,6,1]

Di tali relazioni si ritiene di segnalare le seguenti:

(08) R=3

Units: Month [1,10,1]

(09) R1=2

Units: Month [0,10,1]

(10) ritardo=IF THEN ELSE(switch=0, R, R1 )

Units: Month

343

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7.4 Capitolo 7

(13) switch=1

Units: Dmnl [0,1,1]

che implementano il caso in cui i ritardi fra i due flussi in uscita assumono lostesso valore R (se switch = 0) e il caso in cui sono indipendenti e possonoassumere valori R e R1 diversi (se switch = 1 come accade nel caso delmodello delle figure 7.21 e 7.22).

7.4 Esponenziale e pipeline in combinazione

semplice

A questo punto sono stati introdotti i ritardi di tipo esponenziale e iritardi di tipo pipeline. Le due tipologie di ritardo sono state introdotteuna indipendentemente dall’altra. In molti casi, infatti, siamo interessati adefinire modelli in cui compaiono ritardi o di un tipo o dell’altro ma nondi entrambi i tipi contemporaneamente. In alcuni casi, invece, puo esserenecessario usare i ritardi dei due tipi nello stesso modello. In questa sezionevedremo solo i due casi seguenti, rimandando al capitolo 9 per una trattazionedi casi piu complessi:

(1) un ritardo di tipo pipeline con in cascata un ritardo di tipo esponenziale;

(2) un ritardo di tipo esponenziale con in cascata un ritardo di tipo pipeline.

Nel caso (1) si ha un trasferimento in blocco di materia (caratterizzato daun ritardo) seguito uno “scivolamento” di materia con un certo ritardo chedefinisce un tempo medio di trasferimento. Un modello Vensim di questasituazione e mostrato in figura 7.23 mentre la figura 7.24 mostra l’andamen-to dei tre flussi in, outIn e out e la figura 7.25 mostra l’andamento dei duelivelli L e L1.

Figura 7.23: Modello Vensim di un ritardo pipeline e uno esponenziale in

cascata

344

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7.4 Capitolo 7

Da un esame degli andamenti dei flussi di figura 7.24 si individua facilmen-te il tipico comportamento di trasferimento con ritardo del ritardo di tipopipeline seguito dal tipico comportamento di trasferimento per scivolamentodel ritardo di tipo esponenziale. Un discorso analogo puo essere fatto per gliandamenti del due livelli mostrati in figura 7.25. In questo caso il livello Lsi carica con tutta la materia in ingresso, la rilascia in ingresso al livello L1che si comporta come nel caso di un ingresso di tipo impulsivo e una uscitacon un ritardo di tipo esponenziale ovvero:

- mostra inizialmente una crescita di tipo 1− e−t fino ad un valore mas-simo minore del valore massimo del livello L a causa della presenzacontemporanea del flusso in uscita;

- quando l’impulso in ingresso si e esaurito mostra una decrescita di tipoe−t fino a svuotarsi del tutto in un tempo teoricamente infinito.

Figura 7.24: Andamenti dei flussi per il modello Vensim di figura 7.23

Le relazioni caratteristiche di questo modello sono riportate qui di seguito.

(01) FINAL TIME = 100

Units: Month [5,100,1]

The final time for the simulation.

(02) height=1

Units: individui/Month [1,4,1]

(03) in=height*PULSE(start, width )

Units: individui/Month

(04) INITIAL TIME = 0

345

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7.4 Capitolo 7

Figura 7.25: Andamenti dei livelli per il modello Vensim di figura 7.23

Units: Month

The initial time for the simulation.

(05) L= INTEG (in-outIn,0)

Units: individui

(06) L1= INTEG (outIn-out,0)

Units: individui

(07) out=L1/R

Units: individui/Month

(08) outIn=DELAY FIXED(in, Rin , 0)

Units: individui/Month

(09) R=3

Units: Month [1,1000,1]

(10) Rin=3

Units: Month [1,10,1]

(11) SAVEPER = TIME STEP

Units: Month [0,?]

The frequency with which output is stored.

(12) start=0

Units: Month [0,10,1]

(13) TIME STEP = 0.0078

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]

The time step for the simulation.

(14) width=1

Units: Month [1,6,1]

Nel caso (2) si ha una situazione duale ovvero si ha uno “scivolamento” dimateria caratterizzato da un certo ritardo Rin (che definisce un tempo mediodi trasferimento) seguito da un trasferimento in blocco di materia (caratte-

346

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7.4 Capitolo 7

rizzato da un ritardo R di tipo pipeline). Un modello Vensim di questasituazione e mostrato in figura 7.26 mentre la figura 7.27 mostra l’andamen-to dei tre flussi in, outIn e out e la figura 7.28 mostra l’andamento dei duelivelli L e L1.

Figura 7.26: Modello Vensim di un ritardo esponenziale e uno pipeline in

cascata

Da un esame degli andamenti dei flussi di figura 7.27 si individua subitoil tipico comportamento di trasferimento per scivolamento del ritardo di ti-po esponenziale seguito da un trasferimento con ritardo del ritardo di tipopipeline. In questo caso l’impulso in ingresso al livello L da luogo ad unandamento del livello del tipo:

- crescita con legge del tipo 1− e−t,

- decrescita con legge del tipo e−t

a cui corrisponde un andamento, scalato del fattore Rin, del flusso

outIn = L/Rin

mentre il flusso out e una copia ritardata di R istanti di tempo del flussooutIn e il livello L1 evolve di conseguenza, come viene mostrato in figura7.28.Le relazioni caratteristiche di questo modello sono riportate qui di seguito.

(01) FINAL TIME = 100

Units: Month [5,100,1]

The final time for the simulation.

(02) height=1

Units: **undefined** [1,4,1]

347

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7.4 Capitolo 7

Figura 7.27: Andamenti dei flussi per il modello Vensim di figura 7.26

Figura 7.28: Andamenti dei livelli per il modello Vensim di figura 7.26

(03) in=height*PULSE(start, width )

Units: individui/Month

(04) INITIAL TIME = 0

Units: Month

The initial time for the simulation.

(05) L= INTEG (in-outIn,0)

Units: individui

(06) L1= INTEG (outIn-out,0)

Units: individui

(07) out=DELAY FIXED(outIn, R , 0)

Units: individui/Month

348

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7.4 Capitolo 7

(08) outIn=L/Rin

Units: individui/Month

(09) R=6

Units: Month [0,10,1]

(10) Rin=3

Units: Month [1,10,1]

(11) SAVEPER = TIME STEP

Units: Month [0,?]

The frequency with which output is stored.

(12) start=0

Units: Month [0,10,1]

(13) TIME STEP = 1

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]

The time step for the simulation.

(14) width=1

Units: Month [1,6,1]

349