CANTIDADES OBSERVACIONALES ‘Astrophysics I: Stars’(1984), … · 2012. 2. 13. · Adem ás de...

CANTIDADES OBSERVACIONALES

‘Astrophysics I: Stars’(1984), ‘Astronomy Today’ (2001)

SISTEMAS DE MEDIDA DE BRILLO (Sesión 1)

Posición de una estrella en el cielo: sistema de coordenadas ecuatoriales (SCE). Dado un objeto en una

posición n, trazamos la circunferencia que pasa por los polos, es perpendicular al ecuador y contiene a n.

DECLINACION (δ) Distancia angular del objeto, a

partir del ecuador. Los polos N y S tienen una declinación

de ± 90º, respectivamente

ASCENSION RECTA (α) Se cuenta de 0º a 360º (más

habitualmente, entre 0 h y 24 h), desde el punto γ Aries (equinocio de primavera) hacia el este.

El ecuador celeste es el plano que

contiene al círculo ecuatorial terrestre.

Los polos celestes son extensiones de

los polos terrestres: norte (N) y sur (S).

NEje fijo

Precesión luni-solar

(P = 25800 años) !!!!

Distancia a una estrella próxima: método del paralaje trigonométrico. El paralaje p

(en segundos de arco) es la mitad del ángulo subtendido en la estrella por el diametro de la

órbita terrestre (es decir, 2 UA). La unidad de distancia es el parsec o pc. Una estrella cuyo

paralaje es de 1″, está situada a una distancia de 1 pc (aprox. 3,3 años-luz o 3 × 1018 cm).

n1

n2

cos α = n1 n2

sen (α/2) = 1 (UA) / r (UA)

α/2 (rad) ≈ 1 / r (UA)

p (″) = 1 / r (pc)

distancias grandes (r grandes) paralajes pequeños

(p pequeños)

Más de un millón estrellas en el entorno solar tienen

paralajes medidos con precisión (p ≥ 0,005 ″, d ≤ 200 pc)

Además de la posición y la distancia, podemos medir el brillo de una estrella. El ritmo

total de producción de energia (ej., erg seg-1), se denomina luminosidad absoluta L y no es observable de forma directa. La cantidad que podemos medir es la luminosidad aparente l.

Este nuevo observable se define como el ritmo al cual se recibe la energia en una unidad de

área en la Tierra (ej., erg seg-1 cm-2). Despreciando las pérdidas de energia:

l = L / 4πr2∗Midiendo l y r se puede estimar la luminosidad absoluta L

∗ Midiendo l y conociendo L se puede estimar la distancia r: r >>>> 200 pc !

Brillo en magnitudes:

m = - 2,5 log l + k y M = - 2,5 log L + K

m = M + 5 log r + C , C = - 5

La magnitud aparente de cualquier estrella se determina especificando la magnitud de una

estrella de calibración: m = - 2,5 log (l/lcal) + mcal

La atmósfera tiene un factor de transmisión A(νννν), y el telescopio (lentes, filtro, etc.) está caracterizado por otro factor de transmisión T(νννν). Por ejemplo, imaginemos una medida con

un telescopio óptico terrestre, usando un filtro rojo como el de la figura adjunta.

Si en condiciones ideales, el flujo de energia

a la frecuencia ν es l(ν) erg cm-2 seg-1 Hz-1,

con el telescopio (en condiciones

instrumentales y atmosféricas reales),

medimos: lR = ∫R A(ν) T(ν) l(ν) dν . Así, podemos definir una magnitud para el filtro o

banda R, mR = - 2,5 log lR + cte .

νR

Es más conveniente trabajar con una magnitud monocromática

m(ννννR) = R = - 2,5 log [[[[∫∫∫∫R A(νννν) T(νννν) l(νννν) dνννν / ∫∫∫∫R A(νννν) T(νννν)]]]] + kR = - 2,5 log l(ννννR) + kR

Actualmente se usan varios sistemas de filtros. Por ejemplo, se suele usar el sistema

UBVRI: desde el ultravioleta cercano (U) hasta el infrarrojo cercano (I). También se

trabaja con índices de color U – B, B – V, etc.

Para una estrella normal muy caliente (28000 K), B – V = - 0,31, mientras que para una

estrella algo mas fria (9900 K), B – V = 0, y para una aún más fria (2800 K), B – V = 1,63.

La estrella más caliente (B – V = - 0,31) emite más luz azul con relación a la amarilla.

Debemos tener en mente la relación kT ↔ hν, de forma que los objetos más calientes son más azules.

Cuando somos capaces de obtener información estelar a todas las longitudes de

onda, podemos estimar la magnitud aparente total o la magnitud absoluta total. Estas

magnitudes totales se denominan magnitudes bolométricas. Dada la magnitud en

una banda concreta, por ejemplo, en la banda V, se puede expresar la magnitud

aparente bolométrica como

m = V + CB,

siendo CB la corrección bolométrica, que será siempre negativa.

TRABAJO PERSONAL (Repaso y problemas en ‘Astrophysics I: Stars’)

1.- Probar que el índice de color de una estrella es independiente su distancia a la Tierra.

2.- Mostrar que para una estrella que radia como un cuerpo negro, l(ν) = (2πh/c2)(R2/r2)

ν3/[exp(hν / kT) – 1], donde R es el radio estelar y r es su diatancia a la Tierra. Suponiendo que λB = 4450 A y λV = 5500 A, estudia la evolución del índice de color B – V con la temperatura (3000-20000 K). Calibrar la relación con los valores solares: T = 5800 K y B – V = 0.65.

ABSORCION INTERESTELAR Y ENROJECIMIENTO (Sesión 2)

Nuestro esquema de la sesión anterior se complica cuando consideramos la absorción de

luz por el material interestelar. El material interestelar puede ser de dos tipos: gas o polvo.

GAS Absorción de radiación a frecuencias bien definidas (discretas) Líneas de

absorción interestelar en espectros estelares

POLVO Dispersión de luz sobre un amplio rango de frecuencias, afectando mas a la luz

azul que a la roja (como el polvo en la atmósfera terrestre) Enrojecimiento de los

espectros estelares

El enrojecimiento interestelar se puede

describir mediante un modelo sencillo.

Usando un coef. de extinción a(ν,r), se obtiene un espesor óptico del material en la

dirección de la estrella: ττττ(νννν) = ∫∫∫∫[0,r] a(νννν,r’) dr’. Así, en presencia de polvo, debemos

reescribir el flujo de energia como

lpolvo(νννν) = l(νννν) exp [- ττττ(νννν)] .

La magnitud aparente en la banda R será

Rpolvo= - 2,5 log l(ννννR) + kR+ 1,0857 ττττR .

La extinción interestelar aumenta la magnitud aparente de la estrella en una cantidad del

orden del espesor óptico total asociado al polvo situado entre el observador y la estrella.

¿Cómo se modifica el índice de color B – V?

∆∆∆∆(B – V) = (B – V)polvo – (B – V) = 1,0857 (ττττB – ττττV) .

Como τB > τV, se produce un aumento del índice de color, es decir, un enrojecimiento. Podemos obtener una expresión similar para el índice de color U – B, y finalmente,

∆∆∆∆(U – B) / ∆∆∆∆(B – V) = (aU – aB) / (aB – aV) ≈≈≈≈ 0.72 .

También

∆∆∆∆V / ∆∆∆∆(B – V) = aV/ (aB – aV) ≈≈≈≈ 3 .


1.- Justificar la expresión del flujo de energia monocromático en presencia de polvo.

2.- Suponiendo que el polvo se encuentra en el disco de la Vía Láctea (considerar una

lámina de altura 2h y extensión infinita) y que está distribuido homogeneamente, estimar el

enrojecimiento en la banda B, para un objeto extragaláctico distante situado a una latitud b

con relación al plano central de la Galaxia.

TAMAÑO Y TEMPERATURA (Sesión 3)

Podemos determinar la temperatura superficial de una

estrella, midiendo su luminosidad aparente a varias

frecuencias y comparando el espectro l(ν) con las curvas correspondientes a cuerpos negros a diferentes

temperaturas T. Es decir, ajustando el espectro

observado a una ley de cuerpo negro. Un método más

sencillo consiste en medir la luminosidad aparente a dos

fecuencias distintas (en dos bandas ópticas). Por

ejemplo, el índice de color B – V depende claramente

de la temperatura (repasar Sesión 2).

Mientras que la temperatura estelar se expresa habitualmente en K, la luminosidad

absoluta se suele expresar en luminosidades solares (L = 3,86 10

33 erg seg-1) y el radio

(tamaño) en radios solares (R = 6,96 10

10 cm). Cuando la emisión estelar se aproxima por

una ley de cuerpo negro, existe una relación entre luminosidad absoluta, radio y

temperatura. Es la relación LRT.

Partiendo de la potencia monocromática irradiada

hacia el exterior por unidad de superficie F(ν) = (2πh/c2)ν3/[exp(hν / kT) – 1], podemos

encontrar la potencia total emergente por unidad

de superficie (integrando sobre todas las

frecuencias): F = σ T4, σ = 2π5 k4 / 15c2 h3. Si la estrella es considerada como una esfera de radio

R, teniendo en cuenta la superficie estelar, se

concluye la relación LRT

L = 4 ππππ σσσσ R2 T4

Podemos determinar el tamaño de una

estrella conociendo L y T

Para las estrellas

con radio

conocido, se

puede usar la ley

LRT para

determinar la

temperatura

(usando la

luminosidad

absoluta y no el

espectro

Hemos visto la medida INDIRECTA de tamaños mediante la relación luminosidad-radio-

temperatura. Sin embargo, también se pueden medir tamaños de forma DIRECTA. La mayoria de

las estrellas son distribuciones de luz que no pueden resolverse espacialmente. Pero la

distribucion de luz de algunas estrellas suficientemente grandes, brillantes y próximas,

puede resolverse espacialmente y conducir a la medida del tamaño estelar. La idea es

determinar el tamaño angular y la distancia, lo que conduce directamente al tamaño físico. En

este grupo privilegiado se encuentra Betelgeuse (un miembro importante de la constelación de

Orión). Betelgeuse está situada a una distancia de 130 pc y tiene un diámetro angular de 0,045’’.

Como consecuencia de estas medidas, la estrella tiene un radio de 630 R.

MIRA tiene una temperatura de 3000 K (T/ 2) y

una luminosidad absoluta de 400 L. Estos valores

conducen a un radio igual a 80 R(ley LRT). La

estrella es una gigante (10-100 R). Como los

objetos a 3000 K son rojos, Mira es en realidad

una gigante roja. Por el contrario, SIRIUS B

tiene una temperatura igual a 4 Ty una

luminosidad de 0,04 L. Mediante la ley LRT, se

obtiene un radio de 0,01 R(del orden del radio

de la Tierra). Sirius B es una enana (R ≤ R)

blanca.


1.- Considerar una familia de estrellas que tienen un radio similar. ¿Qué relación

debemos encontrar entre el logaritmo de la luminosidad absoluta de las estrellas y el

logaritmo de la temperatura?.

2.- Vega y Sirius A son estrellas blancas con radios de 4 Ry 2 R

, respectivamente,

mientras que la estrella de Barnard y Próxima Centauri son estrellas rojas con radios de

0,07 Ry 0,03 R

, respectivamente. ¿Qué puedes decir sobre las luminosidades

absolutas de estas estrellas?.

ESPECTRO (Sesión 4)

El espectro de una estrella muestra un

comportamiento de tipo cuerpo negro,

acompañado de líneas de absorción

causadas por los elementos en la

superficie/atmósfera estelar. En algunas

estrellas, también se observan líneas de

emisión. En principio, las líneas espectrales

que pueden formarse y sus intensidades,

dependen de la composición química y de la

temperatura.

HIDROGENO MOLECULA CO

Las estrellas se pueden clasificar según su espectro: clasificación espectral. Como las

abundancias de los elementos presentes en las superficies/atmósferas de todas estrellas

difieren poco (abundancias cósmicas), aparece una fuerte correlación entre tipo espectral y

temperatura/color.

Rojo≤ 3600 KMetales neutros, moléculas …M

≥ 3600 KMetales, CaII, CH, CN, TiO …K

Amarillo≥ 5100 KMetales, bandas CH, CaII…G

≥ 6000 KCaII, TiII, FeII, H débil …F

Blanco≥ 7600 KHI, CaII (H/K), desapar. HeI…A

≥ 11000 KHeI, aparición HI (Balmer) …B

Azul≥ 25000 KHeII, SiIV, OIII, NIII, CIII…O

Cada tipo espectral se subdivide en subtipos de 0 a 9, en orden decreciente de

temperatura. Por ejemplo, el Sol es una G2 (T = 5800 K). Es decir, un poco más fria que

las G1 y un poco más caliente que las G3. Esta clasificación es válida para la mayoria de

las estrellas, caracterizadas por una composición química superficial que es muy similar.

Todo indica que las nubes protoestelares tienen ingredientes similares, y con el paso del

tiempo, las reacciones termonucleares alteran la composición interna de las estrellas,

mientras que la externa permanece. Sin embargo, hay otros tipos espectrales menos

comunes (W, R, S y N), con abundancias anómalas para las temperaturas que hemos

discutido. Se trata de estrellas con corrientes que van desde la superficie a zonas

profundas o que han perdido su envoltura. Debido a estos fenómenos, la composición

superficial inicial ha sido modificada.

ANALISIS DE UNA LINEA ESPECTRAL

En la región espectral correspondiente a una línea caracterizada por una longitud

de onda λ, primero se determina la intensidad del continuo c(λ), y luego, se calcula la razón línea/continuo r(λ) = l(λ) / c(λ).

Entonces se puede encontrar la anchura equivalente de la línea: W(λ) = ∫ [1-r(λ)]dλ

Con una línea intensa se pueden estudiar los detalles de su perfil.

PERFIL

Medida de la longitud de onda “natural” (central) λ → comparación con la

longitud de onda en un lab. terrestre λ0→ estimación de la velocidad radial

de la estrella: v/c = λ/λ0 - 1 (efecto Doppler para v << c)

La agitación térmica de las partículas conduce a un

ensanchamiento “natural” de la línea espectral, y a

que esta sea observada con una forma de campana.

Cuando más caliente es el gas, más ancha es la

distribución de velocidades y mayor es la anchura de la

línea. Midiendo la anchura de la línea, podemos estimar

la temperatura del gas que la produce.

“Anomalias”: ensanchamiento adicional causado por

rotación estelar (a mayor rotación, mayor extra-

ensanchamiento) y ensanchamiento adicional debido

a un campo magnético (ef. Zeeman). Conociendo la

temperatura por otra via (no líneas), se pueden

analizar estas “anomalias”. Además, desplazamiento

de λ0 debida al campo gravitatorio.

TRABAJO PERSONAL [Repaso, incluyendo ‘Curso Básico de Astrofísica. I. Estrellas’

(1985), y problemas]

2.- Sabiendo que el campo gravitatorio estelar provoca un desplazamiento al rojo: λ/λ0 - 1 = GM/Rc2, siendo M la masa de la estrella y R su radio, demostrar que el desplazamiento

gravitatorio puede expresarse como una velocidad radial efectiva v = 0,6362 (M/M)

(R/R)-1 km s-1. La estrella Sirius B tiene un radio de 0,0074 R

y una masa de 1,035 M

,

mientras que la estrella 40 Eri B tiene radio y masa de 0,0124 Ry 0,466 M

,

respectivamente. ¿Será importante el desplazamiento espectral gravitatorio en dichas

estrellas?.

1.- Teniendo en cuenta el esquema adjunto sobre el

sistema Alpha Centauri y el sistema Solar, determinar a

que longitudes de onda centrales se observarán las líneas α y β de Balmer. Suponer que el campo gravitatorio no es

importante.

DIAGRAMAS DE HERZTSPRUNG-RUSSELL: POBLACIONES ESTELARES Y EVOLUCION ESTELAR (Sesión 5)

Una de las herramientas observacionales más decisivas son los llamados diagramas H-

R, que fueron introducidos por Herztsprung y Russell en los años 1911-1913.

La idea básica de un diagrama H-R es la clasificación de estrellas en el plano

temperatura (eje X) -luminosidad absoluta (eje Y). A veces, en lugar de usar la

temperatura se usa el tipo espectral o el índice de color (que es equivalente a usar T), o en

lugar de usar la luminosidad absoluta L, se utiliza la magnitud absoluta (si las estrellas

formán parte de un cúmulo estelar, es decir, están a una misma distancia, se puede usar

también la magnitud aparente).

SECUENCIA

PRINCIPAL

Incluye a la

mayoria de

las estrellas.

Estrellas

realizando la

conversión

H → He.

ENANAS BLANCAS Y GIGANTES ROJAS

Un grupo importante de estrellas se situa en la parte superior derecha de los

diagramas (son estrellas muy luminosas, frias y de gran tamaño). Se denominan

gigantes rojas. En estas estrellas se ha consumido el combustible original (H), y como

consecuencia se ha producido la contracción y el calentamiento del núcleo, que

conducen al aumento en luminosidad, la expansión y el enfriamiento de la envoltura.

Otro grupo importante se situa en la parte inferior izquierda de los diagramas H-R.

Son las enanas blancas. Estas estrellas compactas se encuentran en una fase final de la

evolución estelar. El colapso gravitatorio es evitado por la presión que ejerce un gas

completamente degenerado de electrones.

Datos de la misión Hipparcos para más

de 20000 estrellas situadas a distancias

menores de 1000 pc y con magnitud

aparente menor que 12. Se trata de una

distribución sesgada en luminosidad

(datos para estrellas brillantes).

Muestras completas indican que:

SP = 90%, EB = 9%, GR = 1% .

La evolución estelar hace que una estrella situada en cierta época en una región de los

diagramas H-R, se situe en una región diferente en una época posterior. Las zonas mas

pobladas (SP) corresponden a características estructurales muy usuales y muy prolongadas

en el tiempo.

Diagramas H-R de distintos tipos de cúmulos estelares muestran diferencias muy

significativas. Las estrellas se situan siempre en las regiones que hemos visto (SP, EB, GR,

etc.), pero la densidad relativa de dichas regiones varia de cúmulo a cúmulo. Como las

estrellas de un mismo cúmulo tienen probablemente el mismo origen, y por lo tanto, edad

similar, estas diferencias entre cúmulos (de distintas edades) nos idican la trayectoria de las

estrellas en los diagramas H-R.

Dentro de la Galaxia se observan dos poblaciones estelares. Las estrellas de la

población I (como el Sol) tienen sobreabundancia de metales respecto a las estrellas de la

población II. La clasificación de las estrellas en poblaciones I y II, no procede de

diferencias en la composición química, sino de sus características cinemáticas y su situación

geográfica. Las de población I giran colectivamente en torno al centro galáctico (disco), y

sus velocidades peculiares (debidas a fenómenos locales) son pequeñas frente a la de

rotación. Están solas, en sistemas dobles o en grupos reducidos y no ligados

gravitatoriamente (cúmulos abiertos). Por el contrario, las estrellas de la población II, no

poseen velocidades coherentes de rotación, sino movimientos peculiares. Se hallan en

grandes cúmulos, que están ligados por la fuerza de la gravedad (cúmulos globulares).

Están distribuidas homogeneamente dentro de una esfera (halo), cuyo plano ecuatorial es el

disco galáctico.

TRABAJO PERSONAL [Repaso, incluyendo ‘Curso Básico de Astrofísica. I. Estrellas’

(1985), y problemas]

1.- Considerar dos estrellas en un diagrama H-R del tipo logL frentea logT. Suponer que

ambas tienen la misma temperatura y que su logL difiere en 1,5 unidades. ¿Cúal es la

relación entre sus radios?.

2.- Si en la fase “secuencia principal” (combustión de hidrógeno) las estrellas son esferas

con una densidad constante y universal, demostrar que la luminosidad puede obtenerse en

función de la masa y la temperatura. Si las estrellas más frias y débiles (3000 K, 0,0001 L)

tienen una masa de aproximadamente 0,1 M, estimar la masa de las gigantes azules (20000

K, 10000 L). ¿Te parece sensato el resultado?. Alternativamente, suponer que en la fase

SP, la luminosidad aumenta como la cuarta potencia de la masa ( L ∝ M4 ). Deducir la masa

de las gigantes azules en función de la masa aproximada de las enanas rojas.

SISTEMAS BINARIOS (Sesión 6)

Más de la mitad de las estrellas son miembros de sistemas binarios. Un sistema binario

está formado por dos estrellas unidas por la gravedad y describiendo órbitas en torno al

centro de masas. Observaciones de la dinámica de las órbitas conduce a información sobre

la masa de las componentes, y la mayoria de los datos sobre masas estelares provienen de

esta técnica. Cuando la orientación de las órbitas es especialmente favorable, podemos

deducir otras propiedades de las componentes del sistema (p.e., los radios estelares).

CLASIFICACION DE SISTEMAS BINARIOS

Binario visual: miembros

ampliamente separados y

suficientemente brillantes

como para permitir

observaciones y

monitorizaciones separadas.

Binario eclipsante: el plano

orbital del sistema está

situado casi de canto.

Cuando una estrella pasa

delante de la otra, la más

lejana queda eclipsada.

Binario espectroscópico:

estrellas muy próximas y

con plano orbital no muy

inclinado.

Curva de luz I=I(t)ORBITAS ABSOLUTAS

y RELATIVAS

ORBITAS APARENTES

(ángulo de inclinación i)

Información física sobre las componentes

1.- Observando las órbitas (visual), los mínimos en la curva de luz (eclipsante) o los

desplazamientos de las líneas espectrales (espectroscópico) se puede determinar el periodo

orbital T (horas-siglos).

2.- Midiendo la distancia a una binaria visual, se pueden determinar el semieje mayor de

la órbita relativa a. Entonces, la tercera ley de Kepler: G(M1 + M2) /a3 = (2ππππ /T)2, permite

obtener la masa total del sistema M = M1 + M2. Por otro lado, podemos trazar las órbitas

individuales y estimar los semiejes mayores a1 y a2. La relación M1a1 = M2 a2 conducirá a

un valor para la razón de masas M1/M2. Finalmente, mediante ambas la suma y la razón de

masas, se pueden medir las masas individuales M1 y M2.

R ∝∝∝∝ M y L ∝∝∝∝ M4

TRABAJO PERSONAL [Repaso y problemas]

1.- Imaginar dos estrellas idénticas de masa Mʘ ,en orbita una alrededor de la otra, a una

distancia relativa de 100 UA. Imaginar que colocamos el sistema a diferentes distancias de

la Tierra, con diferentes orientaciones del plano orbital. ¿Bajo que circunstancias veremos

al sistema como una binaria visual o una binaria eclipsante?.

2.- Obtener la curva de brillo teórica [∆m = m – m(brillo máximo)] para un sistema binario

eclipsante constituido por dos estrellas de igual radio y luminosidades L1 y L2 (L1 > L2). El

sistema tiene periodo T y esta a una distancia r (r = rCM ≈ r1 ≈ r2).3.- Considerar dos masas puntuales (M1 y M2) en órbitas circulares (con radios a1 y a2)

alrededor de su centro de masas (CM). Sea i el ángulo de inclinación del plano orbital con

respecto a la línea que une al CM y al observador. El espectro de la binaria irresoluble

tendrá corrimientos periódicos de tipo Doppler, debidos a la velocidad orbital del objeto 1.

Obtener la amplitud de la variación Doppler v1 = zmaxc, si el periodo orbital vale T. Usando

la tercera ley de Kepler, demostrar que la llamada “función de masa del objeto 1” vale

f1 = (M2sen i)3/(M1+M2)

2 = Tv13/(2πG).

PULSACION Y ROTACION (Sesión 7)

En una estrella pulsante (cefeida), el periodo de pulsación está directamente

relacionado con los parámetros físicos intrínsecos (p.e., la densidad), y dicho periodo

puede medirse con alta precisión.

Consideramos la ecuación de conservación del momento (ec. de Euler): ρ(dv/dt) = ρg - ∇∇∇∇p. Multiplicando por un elemento de volumen dV, que incluye una masa dm, se obtiene el balance más familiar: dm a = dm g + dFp (dFp = - dp dS = - ∇∇∇∇p dV). Dividiendo por dm, y teniendo en cuenta la intensidad del campo gravitatorio en un

radio intermedio R que contiene una masa M, g = - (GM/R2)u (u es un vector radial

unitario), se deduce que d2R/dt2 = - GM/R2 – [(dp/dr)/ρ]R = 0 (equilibrio hidrostático). De forma aproximada, el equilibrio hidrostático sugiere que <p> ≈ (GM/R)<ρ>, <ρ> = 3M/4πR3. Si se produce una perturbación radial (R → R + δR) y consideramos una ecuación de estado de tipo polítropo p ∝ ργ, el elemento de fluido adquiere una

aceleración no nula y d2(δR)/dt2 ≈ - (3γ – 4) (GM/R3) δR. Es decir, llegamos a la ec. diferencial para un movimiento armónico con ω2 ≈ (3γ – 4) (GM/R3). El periodo de la

oscilación vale

P = 2ππππ/ωωωω ≈≈≈≈ G −−−− 1 / 2 <ρρρρ> −−−− 1 / 2 .

Para las cefeidas, se observó una relación entre periodo y luminosidad, lo que

implica una correlación directa entre luminosidad y densidad media en este tipo de

estrellas. Si L ∝ <ρ> - α ⇒ P ∝ L 1/2α. Las observaciones indican que α ≈ 0,5, es decir,

P ∝∝∝∝ L.

Debido a relación aproximadamente lineal entre P y L, las estrellas variables cefeidas

pueden usarse como indicadores de distancia: P → L → r.

Las estrellas cefeidas son supergigantes y tienen luminosidades intrinsecas muy

altas, de modo que pueden ser observadas a grandes distancias (en galaxias próximas). Al

ser supergigantes, tienen bajas densidades y periodos de pulsación largos. El perido típico

es de 10 días, y su tipo espectral está entre el F y el G.

Un tipo importante de variables pulsantes incluye a las estrellas RR Lyrae.

Tienen espectros similares a los de las cefeidas clásicas, pero son mucho menos

luminosas. Por consiguiente, son objetos más pequeños y más densos, y tienen

periodos menores (0,5 - 1 días). Para estas estrellas, α ≈ 0,25 y P ∝∝∝∝ L 2. Se encuentran

en gran abundancia en cúmulos globulares, y por lo tanto, se trata de estrellas de

población II (relativamente pobres en metales).

Las variables de periodo largo (entre 100 días y varios años; prototipo: Mira),

tienen diferente tipo espectral. Son supergigantes rojas, es decir, las estrellas más

grandes que se conocen.

Las estrellas δδδδ Scuti forman parte de las cefeidas enanas. Al ser estrellas enanas tienen periodos mucho menores que las cefeidas normales y las estrellas RR

Lyrae. Presentan dos o más modos de pulsación, probablemente incluyendo modos de

oscilación no radiales. Las curvas de luz son complejas.

ROTACION ESTELAR → Es practicamente un fenómeno universal. El Sol tiene un

periodo de unos 25 días, una velocidad de rotación (ecuatorial) de 2 km s-1 y un momento

angular de 1048 gr cm2 s-1. Sin embargo, muchas estrellas tienen velocidades de rotación

(ecuatoriales) de 100 - 200 km s-1. Algunas estrellas muy viejas (estrellas de neutrones)

alcanzan velocidades de rotación inmensas.

Existe un límite para la velocidad de rotación de una estrella. Por encima de ese

límite, la estrella se rompería en pedazos. La velocidad de rotación crítica se obtiene

igualando la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga en la superficie estelar (radio R).

Entonces,

Vc2/R = GM/R2⇒ Vc = (GM/R)

1 / 2 .

Para el Sol, Vc = 400 km s-1, es decir, 200 veces su velocidad de rotación actual.

TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas]

1.- Usar las diferencias en los periodos para comparar la densidad media en una estrella

cefeida normal y la densidad media de una estrella RR Lyrae.

TRABAJO PERSONAL [continuación]

2.- Suponer que una estrella es un sistema aislado, y que evoluciona conservando el

momento angular y la masa. Sabiendo que la velocidad angular actual del Sol es de Ω ≈ 3 10-6 s-1, ¿a qué velocidad girará si consigue alcanzar la etapa de “estrella de neutrones” (R

≈ 10 km)?. Compara el resultado con los periodos medidos para radio púlsares: 1 ms –varios segundos. Si en el colapso se conserva el flujo magnético, ¿cúanto valdrá la relación

entre campos magnéticos B(EN)/Bʘ?.

3.- Una enana blanca (M = 1 Mʘ, R = 0.007 Rʘ) emite un chorro de radiación y gira con

periodo P. El “chorro” sale radialmente de un punto en el ecuador de la estrella. Nosotros

solo vemos la emisión, cuando este se alínea con la dirección estrella-Tierra. En nuestra

posición se observa una señal pulsada con periodo P. Obtener el mínimo periodo para la

señal.

ESTADISTICA ESTELAR (Sesión 8)

Distribución de masas y luminosidades estelares

La función de masa ΦΦΦΦ(M), se define tal que dN(M) = ΦΦΦΦ(M) dM es el número de

estrellas por unidad de volumen con masa entre M y M + dM. También se define la

función de luminosidad ΦΦΦΦ(L), como el número de estrellas por unidad de volumen y unidad de luminosidad. Así, dN(L) = ΦΦΦΦ(L) dL es el número de estrellas por unidad de volumen con luminosidad entre L y L + dL. Para diferenciarlas, se las suele

llamar ΦΦΦΦM(M) y ΦΦΦΦL(L). Estas distribuciones pueden evolucionar (cambiar con el

tiempo). Por ejemplo, como consecuencia de la evolución estelar, la función de masa

de estrellas en un cúmulo globular diferirá de la función de masa inicial.

Relación entre ΦΦΦΦM(M) y ΦΦΦΦL(L)

Ambas distribuciones pueden relacionarse mediante la ley empírica masa-luminosidad:

L = K Mαααα (p.e., α = 4 para estrellas de la SP). La ley empírica nos dice que dL = KαMα−1 dM. Con estas correspondencias directas L ↔ M y dL ↔ dM, podemos escribir:

ΦM(M) dM = ΦL(L) dL ⇒ ΦΦΦΦM(M) = ααααK Mαααα−−−−1111 ΦΦΦΦL(KMαααα) y

ΦΦΦΦL(L) = (1/K1/α1/α1/α1/α αααα) L1/α 1/α 1/α 1/α −−−− 1111 ΦΦΦΦM[(L/K)

1/α1/α1/α1/α]

Evolución de la función de masa inicial

como consecuencia del nacimiento y la

evolución estelar

Ahora consideramos dN(M,t) = ΦΦΦΦM(M,t) dM. El

número de estrellas en el rango [M, M+dM]

cambiará como consecuencia de varios

factores:

(a) razón de nacimiento estelar = B(M,t) dM dt

(b) evolución estelar → perdida de masa

A menudo (b) se considera despreciable o como

una corrección a B, lo que permite trabajar con

una B efectiva.

La función de masa y B están relacionadas mediante dΦΦΦΦM/dt = B(M,t), con ΦΦΦΦM(t=0) =

ΦΦΦΦ0(M). Integrando:

ΦΦΦΦM(M,t) = ΦΦΦΦ0(M) + ∫∫∫∫B(M,t) dt .

Si t es el tiempo actual, las observaciones pueden conducirnos a ΦΦΦΦM(M,t), mientras que

la teoria puede informarnos sobre ΦΦΦΦ0(M) y B(M,t) . De este modo, la ecuación anterior

representa un test sobre la teoria de formación y evolución estelar.

EFECTOS DE SELECCION

La principales complicaciones en estadísticas observacionales son los efectos de

selección. Por ejemplo, las estrellas de baja luminosidad intrinseca L, deben estar

relativamente próximas para poder ser observadas. La idea central está en la relación l = L

/ 4π r2. Si trabajamos con un equipo instrumental cuyo límite de sensibilidad es l0 (es decir, solo son detectables objetos con l ≥ l0), entonces, a una distancia r, solo podemos

detectar estrellas con L ≥ L0 = 4 π r2 l0. A esa distancia r, una estadistica de luminosidades L, solo será posible para L ≥≥≥≥ L0. Aunque nosotros observemos la

ausencia de estrellas con luminosidad menor que el umbral L0, se trata de un resultado

sesgado que no representa la situación real y que no debe ser tenido en cuenta

ΦΦΦΦ(MV) y ΨΨΨΨ(MV)

Usualmente se obtiene la distribución en magnitud

absoluta visual (MV), mediante un contaje de

estrellas corregido por efectos de selección. Por

ejemplo, ΦΦΦΦ(MV) representa la distribución de

estrellas de la SP en el entorno solar. La integral

de Φ(MV) sobre MV, nos da el número actual de

estrellas de la SP por pc3. Cúmulos globulares

contienen distribuciones estelares similares a la

actual en las proximidades del Sol. ¿ΨΨΨΨ(MV) ?

Los cúmulos abiertos contienen estrellas jóvenes, recién formadas, y su función de

“luminosidad” ΨΨΨΨ(MV) se asemeja a la función de “luminosidad” inicial. Las dos

distribuciones Φ(MV) y Ψ(MV) son esencialmente idénticas para MV ≥ 4. Sin embargo, la distribución en cúmulos globulares y en la vecindad solar tiene un cambio abrupto en

la pendiente para MV < 4.

???? El tiempo de vida de estrellas menos masivas que 1,2 Mʘ (más

débiles que MV ~ 4) excede la edad de la Galaxia. Estos tipos estelares

no han podido evolucionar estructuralmente. Parece razonable que

Φ(MV) ~ Ψ(MV) para MV > 4.

Las diferencias para MV < 4 se pueden atribuir a efectos de

formación estelar, evolución estelar y otros efectos.


1.- Si el índice de la relación masa-luminosidad es α = 4, y si las estrellas tienen una probabilidad uniforme de formarse en el rango de masas M1 ≤ M ≤ M2, ¿cúal es la forma de la función de

luminosidad inicial Ψ(L) entre las dos límites de masa?.

2.- Un modelo sencillo para la función de “luminosidad” inicial es Ψ(MV) = 0,03 (Mʘ / M) 1,35

(dlog10M / dMV), en unidades de estrellas / pc3. Suponiendo una relación masa-luminosidad L =

Lʘ (M / Mʘ)3,5, ¿cúanto vale la densidad de estrellas con magnitudes absolutas visuales en el

rango – 6 ≤ MV ≤ 4 ?.

ESTRUCTURA ESTELAR ESTATICA ‘Astrophysics I: Stars’(1984)

INTRODUCCION A LA ESTRUCTURA ESTELAR: LA ECUACION DE EQUILIBRIO HIDROSTATICO (Sesión 9)

Para una estrella esfericamente simétrica, el movimiento de

un elemento de fluido situado a una distancia r del centro,

está gobernado por la ec. de movimiento hidrodinámica

ρρρρ (d2r / dt2) =

- Gρρρρm(r) / r2 + ∂∂∂∂P / ∂∂∂∂r

dP / dr = - Gρρρρm(r) / r2Equilibrio hidrostático:

d2r / dt2 = 0

¿Equilibrio hidrostático?:

Suponiendo que el término ∂∂∂∂P / ∂∂∂∂r es pequeño, entonces la escala de tiempo asociada con la ec. de mov. es el tiempo de caida libre: t ~ tff ~ (GM / R

3) -1/2. Si al contrario, el gradiente de presión

domina a la fuerza gravitatoria, entonces: a ~ r / t2 ~ P / ρρρρr ⇒ (r / t)2 ~ P / ρ ρ ρ ρ ⇒ v ~ vs. Para que

exista eq. hidrostático se deben verificar las condiciones: t >> tff y v << vs.

Ecuación de equilibrio hidrostático

m (r)

r

drdm

La fuerza gravitatoria sobre la capa será

G[4π π π π r2 ρρρρ(r) dr] m(r) / r2. Mientras que la fuerza de la presión soportando su caida, será

4 ππππ r2 dP, donde dP es la diferencia de presión entre r y r + dr. La condición de eq.

hidrostático: dP / dr = - Gρρρρm(r) / r2. Es evidente que se P decrece cuando r crece.

Así, la presión es máxima en el centro de la

estrella y mínima en su superficie. En otras

palabras, Pc = P(0) > P(R) = 0.

m(r) = ∫∫∫∫[0,r] 4π π π π (r’) 2 ρρρρ(r’) dr’

La ec. de eq. hidrostático puede reescribirse de

otra forma. Para ello, tomamos la expresión

original y la dividimos por dm / dr = 4π π π π r2 ρρρρ. Entonces: dP / dm = - Gm / 4ππππr4(m). Ahora m

es la variable independiente y r = r(m).

Límite inferior sobre la

presión central Pc

Se puede mostrar que

Pc > GM2 / 8ππππ R4,

donde M y R son la masa

y el radio de la estrella

TEOREMA DEL VIRIAL

La nueva ec. de eq. hidrostático, conduce a d(4ππππr3P)/dm – 4ππππr2××××3P (dr/dm) = -Gm/r. Integrando este resultado sobre toda la estrella, es decir, entre m = 0 y M = m(R),

se obtiene [4ππππr3P] 0M - ∫∫∫∫[0,M] (3P/ρρρρ)dm = - ∫∫∫∫[0,M] (Gm/r)dm . Aquí, P, ρ y r son funciones de la variable independiente m; y el primer término es nulo, ya que r(0) = 0 y P(M) = 0.

Finalmente: ∫∫∫∫[0,M] (3P/ρρρρ)dm - ∫∫∫∫[0,M] (Gm/r)dm = 0.

Si consideramos un gas ideal clásico (no relativista), 3P/ρ es dos veces la energia térmica por unidad de masa. Por lo tanto, la primera integral representa el doble de la

energia térmica total de la estrella U. La segunda integral es la energia de enlace

gravitatorio (cohesión) de la estrella Ω. Es decir, 2U + ΩΩΩΩ = 0. Como la energia total es

E = U + Ω, también tenemos que E + U = 0.

El TV tiene consecuencias importantes en etapas primitivas de formación de la

estrella y en varias etapas de la evolución.

→ CONTRACCION QUE CONDUCE A NUEVO EQH: pasamos de una situación

inicial 2Ui + Ωi = 0 (Ei + Ui = 0) a una final 2Uf + Ωf = 0 (Ef + Uf = 0). Como aumenta

la cohesión gravitatoria, Ui – Uf = - (Ωi – Ωf)/2 < 0 ⇒ Uf > Ui (la estrella se calienta).

Además, Ei –Ef = - (Ui – Uf) > 0 ⇒ Ef < Ei (radia energia al exterior). Cuando la

presión en una estrella no puede soportar su masa, entonces la estrella se contrae, radia

y se calienta, hasta alcanzar un nuevo EQH.

Capas exteriores (atmósfera estelar)

En las capas externas de la estrella, la ec. EQH tiene una forma algo diferente, reflejando el

hecho de que la atmósfera estelar es mucho mas delgada que el radio de la estrella.

Podemos despreciar la curvatura y considerar una atmósfera como una estructura de planos

paralelos. También podemos considerar una aceleración gravitatoria constante g = GM/R2.

La ec. EQH será dP/dh = - ρρρρg . La altura h se mide con respecto a cierta capa exterior arbitraria. En una atmósfera isoterma (T = cte), con ecuación de estado P = ρρρρkT/µµµµmH,

la ec. EQH puede integrarse facilmente:

P = P0 exp(- µµµµmHgh/kT) y ρ ρ ρ ρ = ρρρρ0 exp(- µµµµmHgh/kT) ,

donde P0 y ρ0 son la presión y la densidad a h = 0, respectivamente. Al factor H = kT/µµµµmHg se le conoce como escala de la atmósfera, y es la altura a la cual las

cantidades físicas (presión y densidad) disminuyen en un factor e.

La ec. EQH se puede escribir en forma vectorial, y puede aplicarse a

estrellas rotando o a estrellas en sistemas binarios, es decir, sistemas

sin simetria esférica. Se trata de la ecuación de Euler:

grad P = ρ ρ ρ ρ g , g = - grad φφφφ .


1.- Considerar el movimiento de una nube de partículas autogravitante. Demostrar que si el

sistema está en estado estacionario, en el sentido de que el momento de inercia es constante,

se verifica el Teorema del Virial: 2U + Ω = 0.

2.- Estimar la escala H de la atmósfera terrestre (T ~ 300 K) y de la atmósfera solar (T ~

6000 K).

MODELOS ESTELARES SENCILLOS (Sesión 10)

La ec. EQH no puede integrarse y proporcionar información sobre el comportamiento

espacial de la presión, la densidad y la temperatura en una estrella. Son necesarias

hipótesis complementarias o nuevas ecuaciones (transporte radiativo, generación de

energia, etc.). Así, podemos construir modelos estelares sencillos, mediante las

hipótesis:

→ Modelo A: La densidad varia linealmente con la distancia radial. Es decir, ρρρρ = ρρρρc(1 – r/R). Aunque el modelo es muy simple, conduce a buenos resultados

(cualitativamente).

→ Modelo B: Ecuación de estado de tipo polítropo. Se verifica una relación entre

densidad y presión del tipo P = K ρρρργγγγ.

MODELO

ESTELAR

LINEAL

La ec. EQH se escribe como dP/dr = - [Gm(r)/r2] ρρρρc(1 – r/R), donde m(r) = 4ππππr3 ρρρρc/3 – ππππr4 ρρρρc/R.

Integrando la ec. EQH, obtenemos un comportamiento para la

presión: P(r) = (5ππππ/36) G ρρρρc2 R2 (1- 24r2/5R2 + 28r3/5R3 –9r4/5R4) . Si la materia obedece la ecuación de gas ideal, T(r) =

µµµµ mH P(r)/ k ρρρρ(r) .

POLITROPOS

Usando la ec. EQH y la relación complementaria masa-densidad,

se deduce una ecuación diferencial de segundo orden:

(1/r2) d[(r2 K/ρρρρ)γγγγ ρρρργγγγ-1(dρρρρ/dr)]/dr = - 4ππππGρρρρ . Para resolver la ecuación diferencial, debemos imponer las condiciones de

contorno ρρρρ(0) = ρρρρc y ρρρρ(R) = 0. Para simplificar las matemáticas:

→ introducimos la variable adimensional ξξξξ, definida como r = α ξα ξα ξα ξ. Con esta nueva variable y la ecuación anterior para la función adimensional θθθθ, se deduce la llamada ec. de

Lane-Emden: (1/ξξξξ2) d[ξξξξ2(dθθθθ/dξξξξ)]/dξ ξ ξ ξ = - θθθθn .

→ introducimos la función θθθθ, tal que ρ ρ ρ ρ = λ θλ θλ θλ θn, γγγγ – 1 = 1/n. Entonces, (αααα2/r2) d[r2(dθθθθ/dr)]/dr = - θθθθn , donde αααα = [(n+1)K λλλλ1/n -1 / 4ππππG]1 / 2 . Si λλλλ tiene dimensiones de

densidad, αααα tiene dimensiones de longitud y θθθθ es adimensional.

→ introducimos nuevas condiciones de contorno: (a) tomamos λλλλ = ρρρρc, y así, θθθθ = 1 para ξξξξ = 0; (b) como dP/dr ∝∝∝∝ dθθθθ/dξξξξ y la ec. EQH predice que dP/dr tiende a 0 en r = 0, dθθθθ/dξξξξ = 0 para ξξξξ = 0.

La ecuación de Lane-Emden con las condiciones de contorno centrales (a) y (b), puede ser

integrada para un valor arbitrario del índice n = 1/(γγγγ-1) . Sin embargo, solamente se obtienen soluciones analíticas para ciertos valores de n. Concretamente, para n = 0, 1, 5.

Las soluciones son

n = 0 (ρ =ρ =ρ =ρ = cte) θθθθ0 = 1 – ξξξξ2 / 6

n = 1 (P ∝∝∝∝ ρ ρ ρ ρ 2222) θθθθ1 = sen ξ ξ ξ ξ / ξξξξ

n = 5 (P ∝∝∝∝ ρρρρ 6 / 5) θθθθ5 = (1 + ξξξξ2 / 3) – 1 / 2 .

ESFERA GASEOSA ISOTERMA

La ecuación de estado de una esfera gaseosa isoterma (T = cte) es del tipo P ∝∝∝∝ ρρρρ, lo cual es equivalente a un polítropo “no analítico” con γγγγ = 1 o n = ∞∞∞∞.

Usando la ec. EQH (1/r2)d[(r2/ρρρρ)(dP/dr)]/dr = - 4ππππGρρρρ y despejando la presión de la ec. de estado de un gás ideal, se obtiene una ecuación para la densidad

(1/r2)d[(r2/ρρρρ)(kT/µµµµmH)(dρρρρ/dr)]/dr = - 4ππππGρρρρ .

La integración numérica de una ec. diferencial “análoga” (obtenida tras un

cambio de función y de variable) revela que la densidad no se anula nunca (se extiende

hasta el infinito), y por lo tanto, una estrella finita no puede ser una esfera gaseosa

isoterma.


1.- Para el modelo estelar lineal, representar graficamente la variación de la presión (P), la

temperatura (T) y la masa (m) desde r = 0 hasta r = R. Encontrar la energia de enlace

gravitatorio, en términos de G, M y R.

2.- Comprobar que θ0 = 1 – ξ2 / 6, θ1 = sen ξ / ξ y θ5 = (1 + ξ2 / 3) – 1 / 2, para n = 0, 1 y 5, respectivemente, son soluciones de la ecuación de Lane-Emden verificando las condiciones

de contorno. Encontrar el radio de la estrella para n = 0 y n = 1. ¿Qué ocurre para n = 5

(polítropo con γ = 6/5)?. Para los tres polítropos, encontrar la masa de la estrella.

RADIACION Y TRANSPORTE DE ENERGIA: MODELOS ESTELARES

‘Astrophysics I: Stars’(1984), ‘Stellar Interiors: Physical Principles, Structure and Evolution’ (1994)

DESCRIPCION DEL CAMPO DE RADIACION (Sesión 11)

ΩΩΩΩ

dA

La intensidad de un campo de radiación monocromática

(fotones con frecuencia entre ν y ν+dν), se llama intensidad monocromática Iν. Dada una superficie

radiante dA (con vector normal unitario n) y una

dirección ΩΩΩΩ, Iν(ΩΩΩΩ) es la potencia por unidad de superficie perpendicular a ΩΩΩΩ, por unidad de ángulo sólido en la dirección ΩΩΩΩ y por unidad de frecuencia (erg seg-1 cm-2

ster-1 Hz-1). Podemos escribir

Iν(ΩΩΩΩ) = dEν / [dt dS dΩ dν] .

Debemos tener en mente la relación: dS = dA (n . ΩΩΩΩ).

(ν , ν + dν)

c dt

Para obtener la densidad de energía de radiación, primero

consideramos que dEν es la energía del haz que atraviesa dS

en dt. Como los fotones viajan a la velocidad de la luz (c), los

fotones barren un volumen dV = dS (c dt). Entonces, dEν /

[dV dν] = (1/c) Iν(ΩΩΩΩ) dΩ. Finalmente, integrando sobre ángulos sólidos, se deduce que

uν = (1/c) ∫4π Iν(ΩΩΩΩ) dΩ .

dS

n

dS

Como un fotón con energía E tiene un momento p = E/c, la radiación monocromática

transporta momento, y ejerce fuerza y presión.

ΩΩΩΩ

dAdS

n

Si la intensidad es Iν(ΩΩΩΩ), en la dirección ΩΩΩΩ, se transporta un momento por unidad de tiempo, unidad de superficie, unidad de

ángulo sólido y unidad de frecuencia dpν / [dt dS dΩ dν] = Iν(ΩΩΩΩ)/c. Imaginemos que la superficie elemental dA está

caracterizada por un vector normal unitario n ≠ ΩΩΩΩ. Es trivial comprobar que existe una relación: dS = dA (n . ΩΩΩΩ), que conduce a dpν / [dt dA dΩ dν] = [Iν(ΩΩΩΩ)/c] (n . ΩΩΩΩ). Si queremos obtener la

presión ejercida sobre el área dA, debemos considerar la

componente del flujo del momento según la dirección n

(perpendicular a dA). Es decir,

dPν / [dΩ dν] = [Iν(ΩΩΩΩ)/c] (n . ΩΩΩΩ)2.

La presión de radiación perpendicular a dA, asociada con fotones de energía hν, se deduce integrando sobre todos los ángulos sólidos. Así,

Pν = ∫ (Iν/c) cos2θ dΩ = (2π/c) ∫[-1,+1] Iν µ2 dµ = (4π/c) Kν ,

donde n . Ω = Ω = Ω = Ω = cosθ = µ y Kν = (1/2) ∫[-1,+1] Iν µ2 dµ . Suponemos implicitamente que Iν = Iν (θ), y las unidades de Pν son dinas cm

-2 Hz-1. Para un campo de radiación isótropo,

Iν(ΩΩΩΩ) no depende de ΩΩΩΩ = (θ,φ), y Pν = (4π/c) Kν = (4π/c) (Iν/3) = (4π/3c) Iν . Además, la densidad de radiación monocromática será uν = (4π/c) Iν , lo que conduce a Pν = uν /3.

ΩΩΩΩ

dAdS

n

La energía transportada en la dirección ΩΩΩΩ a través de dS vale dEν =

Iν(ΩΩΩΩ) dt dS dΩ dν. Como dS = dA (n . ΩΩΩΩ), tenemos que dEν = Iν(ΩΩΩΩ) dt dA (n . ΩΩΩΩ) dΩ dν . Por lo tanto, el flujo de radiación a través de

dA será

Fν (erg seg-1 cm-2 Hz-1) = ∫4π Iν(ΩΩΩΩ) (n . ΩΩΩΩ) dΩ .

Si introducimos coordenadas polares esféricas tales que θ se mide con relación a n, Iν(ΩΩΩΩ) = Iν (θ,φ) y dΩ = senθ dθ dφ. La integral

para el flujo se puede re-escribir como

Fν = ∫[0,π] dθ ∫[0,2π] dφ Iν(θ,φ) senθ cosθ .

Usualmente, el flujo total se separa en dos partes: Fν+ en las

direcciones del hemisferio norte y Fν- en las direcciones del

hemisferio sur.

n

ΩΩΩΩN1ΩΩΩΩN2

ΩΩΩΩS1

ΩΩΩΩS2

Fν+ = ∫[0,π/2] dθ ∫[0,2π] dφ Iν(θ,φ) senθ cosθ

Fν-= - ∫[π/2,π] dθ ∫[0,2π] dφ Iν(θ,φ) senθ cosθ

Fν = Fν+ - Fν

-

Para un campo de radiación isótropo, como la intensidad es

independiente de la dirección, se verifica que Fν+ = Fν

-= πIν. Como era de esperar, el flujo neto será cero: Fν = 0.

En atmósferas estelares, podemos suponer que el campo de radiación tiene simetría axial

alrededor del radio estelar, tal que Iν es independiente de φ, y por lo tanto, Iν(ΩΩΩΩ) = Iν (θ) . En este caso,

Fν = 2π ∫[-1,+1] Iν(µ) µ dµ ,

Fν+= 2π ∫[0,+1] Iν(µ) µ dµ ,

Fν- = - 2π ∫[-1,0] Iν(µ) µ dµ .

SUP.

ESTELARDIR.

RADIAL

φ

θ ΩΩΩΩ


1.- Probar que la intensidad en un haz de radiación se conserva; es decir, no se atenúa con la

distancia (en ausencia de absorción).

2.- Cuando un campo de radiación es anisótropo en θ, podemos expresarlo como una combinación de términos multipolares: monopolo + dipolo + cuadrupolo + … Si

consideramos un campo anisótropo Iν(θ) = I0 + ID cosθ, deducir la intensidad promedio (promedio en direcciones), la densidad de energia, la presión y el flujo en función de las

amplitudes monopolar (I0) y dipolar (ID). Comenta la relación presión-densidad de energia.

OPACIDAD Y EMISIVIDAD: ECUACION DE TRANSPORTE RADIATIVO (Sesión 12)

Los fotones que atraviesan la materia pueden ser dispersados o ser absorbidos por átomos,

iones o moléculas. También pueden ser emitidos por partículas cargadas en movimiento o

por átomos (moléculas) excitados (as). Estos procesos, tomados colectivamente, conducen a

modificaciones del campo de radiación Iν pasando a través de la materia. Cuando esto

ocurre, se dice que la materia y la radiación están acopladas.

Vamos a considerar los efectos de dispersión, absorción y emisión sobre un haz de

fotones descrito por Iν(ΩΩΩΩ) y atravesando la materia. La absorción elimina fotones del haz y calienta el gas. La dispersión de un fotón que se mueve inicialmente en la dirección ΩΩΩΩ hacia

una nueva dirección ΩΩΩΩ’, resta energia de Iν(ΩΩΩΩ), pero la añade a otro haz Iν’(ΩΩΩΩ’). Justo al revés, algunos fotones del resto de haces Iν’(ΩΩΩΩ’) pueden ser dispersados hacia Iν(ΩΩΩΩ). La

emisión conduce a la adición de fotones a Iν(ΩΩΩΩ). Los detalles de la absorción y la dispersión (a un nivel macroscópico) se incluyen en la opacidad del material, mientras que los detalles

sobre la emisión están incluidos en la emisividad del material.

OPACIDAD

Iν

ds

Se llama opacidad del material (o coeficiente de extinción total) a la

probabilidad por unidad de longitud de que un fotón sea dispersado o

absorbido. Se suele llamar kν (cm-1), y es el inverso del recorrido libre medio

de un fotón: lν = 1/kν. También se define una opacidad específica κν (cm2 gr-1),

de forma que kν = κν ρ .

La intensidad que pierde un haz por absorción y dispersión (colisiones), cuando atraviesa

una distancia ds en cierto gas, viene dada por el producto de Iν y la probabilidad de que

un fotón sea dispersado o absorbido. Es decir, dIν(ΩΩΩΩ) = - Iν(ΩΩΩΩ) kν ds = - Iν(ΩΩΩΩ) dτν. La

cantidad adimensional dτν = kν ds = ds / lν , es el espesor óptico del material para la

frecuencia de radiación ν. Vemos que también representa la razón entre la distancia atravesada y el recorrido libre medio de la radiación. Cuando

τν = ∫[0,s] kν ds = ∫[0,s] ds / lν ≈ 1 ,

los fotones del haz profundizan lo suficiente como para sufrir dispersión o absorción.

Cuando τν >> 1, el gas es opticamente espeso, ya que la radiación sufrirá muchos

procesos de absorción o dispersión cuando atraviesa la distancia s. Cuando τν << 1, el

recorrido libre medio verifica lν >> s, y no se producirán absorciones ni colisiones. Se

dice que la región del gas es opticamente delgada. Cuando solo se produce absorción y

dispersión, se puede integrar la ecuación diferencial para la intensidad:

Iν(s) = Iν(0) exp[- τν(s)] , τν(s) = ∫[0,s] kν(s’) ds’ .

EMISIVIDAD →→→→ La materia puede ser fuente de radiación. Por ejemplo, un átomo puede estar

excitado por la absorción previa de un fotón. Podemos suponer una emisividad jν’(θ,φ), representando la energia liberada por unidad de volumen, por unidad de tiempo, por unidad de

ángulo sólido y por unidad de frecuencia, en la dirección (θ,φ) . Tiene unidades de erg cm-3 seg-1

ster-1 Hz-1. Si un haz de intensidad inicial Iν atraviesa un material con espesor ds, entonces la

ganancia en intensidad debida a emisión viene dada por dIν(ΩΩΩΩ) = jν’(ΩΩΩΩ) ds.

Ecuación de Transporte Radiativo (ETR)

El cambio en Iν cuando el haz atraviesa un material de espesor ds es

dIν(ΩΩΩΩ) / ds = - kν Iν(ΩΩΩΩ) + jν(ΩΩΩΩ) ,

donde jν contiene la emisividad (jν’) y la contribución debida a dispersión de fotones desde

(ν’,ΩΩΩΩ’) hacia (ν,Ω)Ω)Ω)Ω). Esta es la ecuación de transporte radiativo. Si la dirección radial estácaracterizada por un vector unitario n, entonces ds = dr/cosθ y dIν / ds = cosθ (dIν/ dr). Usando µ = = = = cosθ y reemplazando dr por el espesor óptico radial (según n): dτν = kν dr, se

obtiene la nueva expresión

µ (dIν / dτν) = - Iν + Sν ,

siendo Sν = jν / kν la función fuente. dr

n ΩΩΩΩθ

ds

Multiplicando por dΩ = senθ dθ dφ e integrando (simetría axial), tenemos (1/2π) (dFν/dτν) = - 2Jν + ∫[-1,+1] Sν dµ [Jν = (1/4π) ∫4π Iν(ΩΩΩΩ) dΩ]. Si la función fuente es isótropa (la emisividad no tiene direcciones privilegiadas), entonces se deduce una ecuación

relevante en modelos sencillos de atmósferas estelares: (1/4π) (dFν/dτν) = - Jν + Sν .

Multiplicando la ETR por µ e integrando en direcciones (ángulos sólidos), nos queda

2(dKν / dτν) = - Fν / 2π + ∫[-1,+1] Sν µ dµ . Si la fuente es isótropa,

dKν / dτν = - Fν / 4π .


1.- La colisión con electrones es la causa principal de opacidad en el corazón solar, con una

sección eficaz de interacción σν ~ 0,6 × 10-24 cm2. Suponer una densidad ρ = 100 gr/cm3 en

el corazón solar, y estimar la distancia atravesada por un fotón entre colisiones sucesivas.

2.- Deducir la relación entre el flujo de radiación monocromática y la presión

monocromática: Fν = - c (dPν / dτν). En interiores estelares, es interesante trabajar con el

flujo total y la presión total de radiación (integrados sobre frecuencias). Demostrar que

definiendo una opacidad media a través de la relación (1/<k>) ∫[0,∞] (dPν / dr) dν = ∫[0,∞](1/kν) (dPν / dr) dν , se deduce la expresión para la ETR en interiores estelares:

F = - (c/<k>) (dPR/dr) .

RADIACION DE CUERPO NEGRO Y EQUILIBRIO RADIATIVO (Sesión 13)

La radiación en una cavidad cerrada con paredes a temperatura T, se denomina radiación

de cuerpo negro.T

La intensidad de la radiación es independiente de la dirección y

viene dada por la función de Planck:

Iν = Bν(T) = (2hν3 / c2)1 / [exp(hν/kT) – 1].

Además de la intensidad monocromática, otras cantidades de interés son

Jν = Bν(T) , Kν = (1 / 3) Bν(T) ,

Pν = (4π / 3c) Bν(T) , uν = (4π / c) Bν(T) ,

Fν+ = Fν

− = π Bν(T) , Fν = 0 .

Integrando la función de Planck sobre todas las frecuencias, encontramos

B(T) = ∫[0,∞] Bν(T) dν = (2k4π4 / 15h3c2) T4 = (σ / π) T4 = (c / 4π) u ,

donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann y u es la densidad de energía. Si usamos una

relación u = a T4, entonces aparece la nueva constante a = 4σ / c.

INTERIOR ESTELAR

Temperaturas muy altas, con alta densidad de radiación. Sin embargo, el flujo neto

hacia el exterior es pequeño en comparación al nivel de radiación. Así, está justificado

suponer que el campo de radiación es cuasi-isótropo y con un espectro próximo al

espectro de cuerpo negro. Podemos considerar una presión monocromática Pν = (4π / 3c) Bν(T), que podemos “trasladar” a la relación flujo monocromático-gradiente de

presión monocromática que vimos en el problema 2 de la sesión anterior [Fν = - c (dPν /

dτν)]. Integrando sobre frecuencias,

F = - (4π / 3) (dT /dr) ∫[0,∞] (1 / kν) (dBν / dT) dν .

Podemos definir una opacidad promedio independiente de la frecuencia,

1 / <k> = ∫[0,∞] (1 / kν) (dBν / dT) dν / ∫[0,∞] (dBν / dT) dν ,

y usar la relación dB / dT = 4σT3 / π , para obtener F = - (4ac / 3<k>) T3 (dT / dr). Es evidente que existe una relación directa entre el flujo de radiación y el gradiente de la

densidad de energía: F = - D (du / dr), siendo D = c / 3<k> el coeficiente de difusión.

Finalmente, definimos L(r) como la energia (radiación) por unidad de tiempo

cruzando la superficie esférica de radio r. Claramente, L = L(R) es la luminosidad total

de la estrella. Por definición, L(r) = 4πr2 F, tal que

L(r) = - (16ππππac / 3<k>) r2 T3 (dT / dr) .

Esta es la ecuación de transporte radiativo (TR) adecuada en interiores estelares.

¿Cuáles son los efectos dinámicos de la radiación?

Igual que la presión del gas produce una fuerza y una aceleración, la presión de la radiación,

en principio, también producirá efectos dinámicos. Mediante la ETR, encontramos que –

dPR / dr = <k>L / 4πr2c (- dP / dr = Gρρρρm(r) / r2 !!!). Teniendo en cuenta la fuerza de la radiación por unidad de volumen, se deduce una aceleración aR = <κ>L(r) / 4πr2c, donde

<k> / ρ = <κ> es la opacidad promedio específica. Usualmente, esta aceleración es pequeña, pero en una región estelar extremadamente opaca ( <κ> grande) o con luminosidad muy grande, aR puede ser importante. De hecho, la existencia de aR conduce a un

limite superior sobre la luminosidad de una estrella en equilibrio hidrostático.

LIMITE DE EDDINGTON

Un elemento de materia estará en EQH siempre que aR = <κ>L(r) / 4πr2c ≤ Gm(r) / r2.

Como un limite absoluto, L(r) = (4πcGMʘ / <κ>) [m(r) / Mʘ]. En r ≈ R, tenemos LEdd =

(5,03 × 1037 / <κ>) (M / Mʘ) en erg seg-1. Cuando la causa principal de opacidad es la

colisión con electrones, <κ> ≈ 0,335 y LEdd = 1,5 × 1038 (M / Mʘ) erg seg-1. Si la

luminosidad en la envoltura estelar excede LEdd, la envoltura no estará en EQH,

sino acelerándose hacia el exterior. Para una estrella de “tipo solar”, la máxima

luminosidad intrínseca es de aproximadamente 1038 ergios por segundo.

EQUILIBRIO RADIATIVO

Suponer que mediante procesos termonucleares o de otro tipo, se está generando cierta

cantidad de energía por unidad de masa y por unidad de tiempo, a una distancia r del centro

de la estrella. Si nos fijamos en una capa esférica de espesor dr, la energía adicional

añadida al campo de radiación será dL = 4πr2 ρε dr. De otra forma,

dL / dr = 4ππππr2 ρερερερε .

Cuando se aplica a interiores estelares, la ecuación anterior se llama ec. de producción

de energia (PE). La razón de producción de energía ε (erg gr-1 seg-1) depende de las condiciones físicas del material en un radio dado: composición química, temperatura (T) y

densidad (ρ). La radiación se genera mediante procesos en el interior estelar, se propaga en la atmósfera estelar (F = cte), y finalmente, emerge hacia el espacio interestelar.


1.- Mostrar que la ecuación F = - (4ac / 3<k>) T3 (dT / dr) es equivalente a la ecuación para

la conducción del calor F = - κc ∇∇∇∇T. Obtener el valor de la conductividad κc.

2.- Calcular la energía promedio de un fotón en un espectro de Planck Bν(T), y estudiar la

dependencia con la energía de dBν / dT. Como dBν / dT es la función de peso para obtener

la opacidad media <k>, discutir si la opacidad media y la conductividad κc, están relacionadas con fotones de baja energía, de energía promedio (típica) o de alta energía.

ATMOSFERAS ESTELARES SENCILLAS (Sesión 14)

ATMOSFERAS SENCILLAS

El transporte de energía en las atmósferas de la mayor parte de las estrellas es radiativo. Las

principales excepciones son probablemente las enanas blancas y las estrellas frías, para las

cuales el transporte convectivo (inestabilidad en el medio que produce el ascenso de

porciones de fluido calientes hacia regiones más frías, para descargar allí su exceso de

energía interna, así como el proceso inverso) puede ser importante. Los problemas de

atmósferas se simplifican en parte, ya que no hay fuentes de energía y la estructura de la

estrella (M, R y L) se conoce mediante cálculos en el interior. Por otro lado, se complican

debido a diversos factores.

Complicaciones …

(a) La atmósfera puede no estar en equilibrio termodinámico local (ETL) e Iν puede diferir de

una ley de Planck.

(b) La radiación atravesando la atmósfera contiene información sobre las condiciones locales

(presión, composición, presencia de turbulencias, campos magnéticos, etc.). Las

mencionadas condiciones se pueden deducir mediante el número, intensidad y forma de

las líneas espectrales atómicas y moleculares.

(c) En estrellas frías que han desarrollado zonas convectivas inmediatamente debajo de la

atmósfera, debemos resolver la estructura interna y la atmósfera de forma conjunta.

ATMOSFERA STANDARD sencilla: primeramente, suponemos transporte radiativo

y ausencia de fuentes. Usualmente la escala H es mucho menor que R, de forma que

podemos aproximar la atmósfera real a una estructura planar de extensión infinita. El

flujo total será constante, y se puede expresar en función de una temperatura efectiva: F

= σ Tef4. Midiendo la profundidad óptica desde la capa más externa de la atmósfera hacia el interior, la ec. del flujo F = - (c/<k>) (dPR/dr) se re-escribe como c(dPR/dτ) = σ Tef4,

dτ = - <k> dh. Aquí, τ es la profundidad óptica promedio.

hmax , τ = 0

h = 0, τ > 0dτ > 0

Integrando la presión: PR = (σ/c) Tefef4 (τ + q), donde q es

una cte. determinada por la cond. contorno PR(τ = 0) = PRS. Es decir, q = cPRS / σTef4.

También suponemos que existe equilibrio termodinámico local (ETL), o en otras

palabras, el campo de radiación es localmente de tipo Planck. Aunque la aproximación de

ETL es bastante razonable en interiores estelares, es probablemente una mala aproximación

en una atmósfera. De este modo, los resultados son unicamente una aproximación grosera a la

realidad.

En la superficie de la estrella, la radiación solo fluye hacia el exterior (una situación muy

diferente a la del interior estelar). Si se trata de radiación de cuerpo negro con temperatura

Tef, la presión de radiación será la mitad de la presión de Planck para esa temperatura.Es

decir, PRS = (2σ / 3c) Tef4. Este resultado conduce a q = 2/3 y T4 = (3/4) Tef

4 (ττττ + 2/3).

En este modelo sencillo, la temperatura efectiva es la temperatura a una profundidad

óptica τ = 2/3. Asimismo, la temperatura superficial (τ = 0) es T(0) = 0.841 Tef.

Para completar el modelo de atmósfera, debemos usar la ec. EQH. Dicha ecuación

introduce la gravedad superficial de la estrella g, que a su vez, depende de la masa M y el

radio R de la estrella (deducibles mediante el estudio del interior estelar). Para la

mayoria de las atmósferas R + h ≈ R, Matm << M y g = GM/R2. La ec. EQH se escribe

dP/dh = - gρ, y dividiendo ambos lados por <k>, se obtiene dP/dτ = gρ/<k>. Desafortunadamente, no podemos integrar esta ecuación sin conocer como varia la

opacidad media con las propiedades físicas de la atmósfera. Como una primera

aproximación, podemos considerar que <k> es independiente de T y ρ.

Finalmente, suponiendo que la presión dominante es la presión del gas (no la de

la radiación), P = ρkBT/µmH, podemos deducir la forma explicita de la presión y la

densidad.

P = P0 exp[(gµµµµmH/<k>) ∫∫∫∫[0,ττττ] dττττ’/kBT(ττττ’)]

ρρρρ = P0 [µµµµmH/kBT(ττττ)] exp[(gµµµµmH/<k>) ∫∫∫∫[0,ττττ] dττττ’/kBT(ττττ’)]

Segundo modelo sencillo: ATMOSFERA GRIS

(opacidad independiente de la frecuencia)

Si la opacidad es independiente de la frecuencia, mediante la ec. TR se deduce: (1/4π) (dFν/dτ) = Jν - Sν, que puede integrarse en frecuencias y conducir a (1/4π) (dF/dτ) = J - S . En equilibrio radiativo (F = cte), simplemente J = S. Volviendo a la ETR integrada, µ (dI / dτ) = I - S = I - J

= I - (1/2) ∫[-1,+1] I dµ. Esta ecuación integro-diferencial (ec. de Milne-Schwarzschild) puede resolverse, y en principio, podemos obtener una solución I(τ,µ). La solución para la intensidad media J(τ), válida desde τ = 0 hasta τ = ∞, verifica J(τ) = (3/4π) F [τ + 0,7104 – 0,1331 exp(-3,449 τ)]. Como en el modelo anterior se cumplia la igualdad J = (3/4π) F (τ + q), q = 2/3, aquí

re-expresamos J como J(τ) = (3/4π) F [τ + q(τ)]. El valor de q(τ) varia desde 0,5773 para profundidad cero, hasta 0,7104 para profundidad infinita, y estos valores no son muy diferentes

del valor 2/3 encontrado en el modelo previo. Con la hipótesis de ETL (J = B = σT4/π), podemos finalmente obtener un nuevo modelo para T(τ) en una atmósfera estelar.

¿… y la composición de la atmósfera (lineas espectrales)?

En los modelos sencillos se “evitan” las líneas epectrales. Para tenerlas en cuenta,

necesitamos resolver la ETR para grupos concretos de energia, es decir, debemos trabajar

con Iν en lugar de I. Si fuésemos capaces de deducir Iν, entonces conoceriamos el espectro

de radiación continua de la estrella, el cual debe usarse para investigar la intensidad y la

forma de las líneas de emisión y absorción. Estos detalles de las líneas son sensibles a la

composición y estado de ionización del gás, así como a la temperatura, a la presencia de

campos magnéticos, etc.


1.- Suponiendo que la atmósfera solar está caracterizada por una temperatura efectiva Tef =

6000 K, comparar la variación de T con τ, para una atmósfera standard y para una gris.

2.- Usando el modelo standard, tabular P, ρ y T en función de τ para la atmósfera solar. Tomar <κ> = <k>/ρ = 1 cm2 gr-1.

MODELOS ESTELARES I: INTERIORES (Sesión 15)

Podemos construir modelos “realistas” del interior estelar, partiendo de todas las ecuaciones

de estructura estelar estática y radiativa que hemos visto: EQH + Masa-Densidad + TR +

PE

Las ecuaciones diferenciales de partida son:

dP / dr = - GρρρρMr / r2 (EQH)

dMr / dr = 4π π π π r2 ρ ρ ρ ρ (Masa-Densidad)

dT / dr = - 3<κκκκ>ρ ρ ρ ρ T-3 Lr / 16ππππacr2 (TR)

dLr / dr = 4ππππr2 ρερερερε (PE) ,

donde m(r) = Mr y L(r) = Lr.

Por otro lado, la composición química C se define mediante los parámetros (X, Y, Z), siendo

ρ(H) = Xρ, ρ(He) = Yρ y ρ(metales) = Zρ. La masa por partícula es µmH, donde 1/ µ = 2X +

3Y / 4 + Z / 2. Si solo hay hidrógeno, X = 1, Y = Z = 0 y µ = 1 / 2, mientras que para helio puro, Y = 1, X = Z = 0 y µ = 4 / 3. Cuando solo hay carbono, oxígeno o silicio, Z = 1, X = Y

= 0 y µ = 2. En estrellas de población I: X = 0,6, Y = 0,38, Z = 0,02 y µ = 0,67.

Dada una composición química C, disponemos de 4 relaciones (ec. dif. de primer orden) para

7 incógnitas: P, ρ, Mr, Lr, ε, T y <κ>. La conclusión trivial es que necesitamos tres nuevas relaciones que no nos añadan nuevas incógnitas. Junto a condiciones de contorno iniciales

(Pc= P(0), Tc= T(0), R, M = MR y L = LR !!!), las ecuaciones que completan el esquema son:

<κκκκ> = <κκκκ>(ρρρρ,T,P,C) (OPACIDAD)

εεεε = εεεε(ρρρρ,T,C) (RAZON DE PRODUCCION DE ENERGIA)

P = P(ρρρρ,T,C) (ECUACION DE ESTADO) .

S16

OPACIDAD

Los principales procesos que contribuyen a la opacidad son:

(1) Dispersión electrónica: un fotón colisiona con un electrón libre y cambia la dirección de

su movimiento (pero no pierde energía) → κe

(2) Transiciones libre-libre: un fotón es absorbido por una carga libre (esencialmente un

electrón), la cual adquiere mayor energía (se acelera). El proceso inverso es la radiación

de frenado o “Bremsstrahlung” → κff

(3) Transiciones ligado-libre: fotoionización de un átomo o ión. El proceso inverso es la

recombinación radiativa → κbf

Dispersión electrónica

La sección eficaz para la dispersión electrónica es la sec. eficaz de Thomson σT = 6,65 ×10-25 cm2. La opacidad específica (κe) es el cociente entre ke y la densidad ρ. Por lo tanto, como ke es la sección eficaz macroscópica (ke = σTne, donde ne es la densidad número de

electrones libres en el gás), se tiene que

κe = σTne/ρ = 0,2(1 + X) (cm2 gr-1).

Debemos tener en cuenta que la dispersión electrónica es independiente de la frecuencia ν.

Los fotones también pueden ser dispersados por protones libres (H+) y otros iones. Sin

embargo, la razón de secciones eficaces es muy pequeña: σ(ion)/σ(e) < 10-6.

Transiciones libre-libre

Un fotón es absorbido o emitido por una carga libre (produciéndose aceleración o

deceleración de la carga). La opacidad resultante es dependiente de la frecuencia, con un

comportamiento aproximado κff(ν) ∝ ρ ν-3 T-1/2. Cuando se calcula la opacidad media, se obtiene la opacidad de Kramers

< κff> = κ0 ρ T-3,5,

donde la amplitud κ0 depende de la composición química: κ0 = 3,68 × 1022 (1 + X) (1 – Z) <gff>. Aquí, gff es el factor de Gaunt, que es del orden de la unidad y depende debilmente

de la frecuencia.

Transiciones ligado-libre

Se trata de procesos de fotoionización y recombinación radiativa. La opacidad es

dependiente de la frecuencia, igual que sucedia en los procesos anteriores. Igual que en el

fenómeno precedente, se tiene un comportamiento aproximado κbf(ν) ∝ ρ ν-3 T-1/2, de forma que la opacidad media verifica

< κbf> = κ0 ρ T-3,5,

donde la amplitud vale κ0 = 4,34 × 1025 Z (1 + X) <gbf>/t. Aparecen dos factores de corrección: el factor de Gaunt promedio (gbf es del orden de la unidad y depende

debilmente de la frecuencia) y otro factor t.

ECUACION DE ESTADO

La presión dominante será la debida al gas de partículas. Si consideramos un gas ideal, la

presión debida a las partículas de tipo i será Pi = ρikT/mi. La presión total del gas es la suma

de las presiones ejercidas por cada una de las componentes (ley de Dalton): PG = kT ∑(ρi/mi). La temperatura es la misma para todo tipo de partículas, mientras que las densidades

número no son iguales. Ya sabemos que ρ(H) = Xρ, ρ(He) = Yρ y ρ(metales) = Zρ. Por otro lado, la densidad de electrones vale: ρ(e) = (me/mH) (X + Y / 2 + Z / 2)ρ. Sumando las densidades número, ∑ ni = ρ / µmH, 1/ µ = 2X + 3Y / 4 + Z / 2. Finalmente, tenemos una

ecuación de estado

PG = (ρ ρ ρ ρ / µµµµmH) kT .

De una forma detallada, debemos incluir también la presión debida a la radiación PR.

Dicha presión vale PR = (1/3) aT4. Usualmente, se suele trabajar con la razón de presiones

β = PG/P, de forma que la presión total vale

P = PG/ββββ = (ρ ρ ρ ρ / βµβµβµβµmH) kT .

La ventaja de esta descripción es que si β es espacialmente constante, entonces el efecto de incluir la radiación es equivalente a modificar el parámetro µ. En este último caso,

podemos trabajar solo con gas, teniendo en cuenta que µ → βµ. Sin embargo, en general, β dependerá de la posición en la estrella. La aproximación más usual en estrellas

“normales” es que ββββ = 1 y P = PG.


1.- Considerar la colisión de un fotón de frecuencia ν (longitud de onda λ) y un electrón en reposo. Suponiendo que se conserva la energía y la cantidad de movimiento, se deduce la relación

Compton para el cambio en longitud de onda del fotón: ∆λ = λ* – λ = (h / mec) (1 – cosθ) . Discute para que energias es razonable la aproximación de la dispersión Thomson.

2.- Considerando que <gff> ≈ 1, comparar las opacidades específicas para la dispersion electrónica (<κe>) y para las transiciones libre-libre (<κff>). Tomar una composición química

simple (X = 1, Y = Z = 0) y varios valores para la temperatura y la densidad en el interior estelar.

3.- Verificar que una opacidad monocromática κ(ν) ∝ ρ ν-3 T-1/2 conduce a una opacidad promedio < κ> = κ0 ρ T-3,5.

4.- Comparar las contribuciones de las transiciones ligado-libre y libre-libre a la opacidad, para

estrellas de población I y de población II (X = 0,9, Y = 0,099, Z = 0,001), usando <gbf> ≈ <gff> ≈1y t ≈ 10.

5.- En la estimación de 1/ µ = 2X + 3Y / 4 + Z / 2 en la ecuación de estado del gas de partículas,

¿se hace alguna aproximación?

ν

ν∗

θ

MODELOS ESTELARES II: RAZON DE PRODUCCION DE ENERGIA (Sesión 16)

En el interior estelar tienen lugar procesos de fusión termonuclear, que liberan gran cantidad de

energía. A altas temperaturas, los núcleos ligeros alcanzan grandes velocidades relativas, y es

más probable que puedan aproximarse lo suficiente como para fusionarse. Si pensamos en dos

protones, deberán vencer una barrera Coulombiana de aproximadamente EC ∼ e2 / R ∼ 1 MeV, donde R es la distancia donde entra en juego la atracción entre nucleones (∼ 10-13 cm).

EC

EN

R

El gas en el corazón solar tiene una temperatura de aproximadamente 2 × 107 K, y las velocidades de los protones obedecen una ley de Maxwell. La distribución de energias es f(E)

= (2/π1/2) (1/kT)3/2 exp(- E/kT) E1/2. Para esta distribución, la energia promedio vale <E> = (3/2) kT ∼ varios keV ∼ 10-3 EC. Desde un punto de vista clásico, el Sol no dispone de suficientes protones con energias mayores que EC para producir la energia que realmente

produce. Sin embargo, debido al efecto tunel de la mecánica cuántica, los protones tienen una

probabilidad finita de fusionarse, sin necesidad de poseer energias del orden de EC.

Para deducir la razón de producción de energía, tenemos que concentrarnos en dos

aspectos diferentes:

(a) La cantidad de energía liberada en cada reacción termonuclear

(b) La velocidad (o ritmo) de las reacciones

CANTIDAD DE ENERGIA LIBERADA POR REACCION

Aunque hablemos de energía por reacción, la fusión de hidrógeno para producir helio se

realiza mediante una cadena de reacciones nucleares. Se puede ver como un proceso

global 4H → He4, pero en realidad tienen lugar varios procesos diferentes (cadena).

Dependiendo de la composición química (materiales disponibles) y la temperatura,

pueden desarrollarse cadenas diferentes.

Cadenas protón-protón (pp)

La cadena pp principal consiste en el conjunto de reacciones:

H(H,e+νe)D(H,γ)He3

He3(He3,2H)He4 .

En esta cadena, la velocidad de producción de energía es gobernada por la reacción más

lenta, en la cual se produce deuterio tras un proceso de interacción electro-débil: p → n + e+ +

νe. Esto ocurre a T ∼ 107 K, y se liberan Eppp = 26,2 MeV. Domina en estrellas con M ≤ Mʘ.

Pueden ocurrir cadenas pp secundarias (pps). Por ejemplo, a T > 2 × 107 K:

He3(He4,γ)Be7(H,γ)B8( ,e+νe)Be8( ,He4)He4 .

La cadena completa libera una energía Epps= 19,27 MeV. La importancia de esta cadena

secundaria depende de cuanto He4 está presente en el medio.

Toda la energía considerada es energía fotónica. Como vemos, también se producen

neutrinos. Sin embargo, la materia es transparente a los neutrinos.

Ciclo CNO

Se piensa que las capas superficiales de la mayoria de las estrellas no han cambiado desde la

formación de las mismas. Por otro lado, en las atmósferas de algunas estrellas se encuentran

cantidades apreciables de elementos como C, N, O, así como trazas de elementos más

pesados (Na, Fe, etc.). Estas observaciones sugieren la posibilidad de que las reacciones

involucrando a los núcleos C, N y O sean importantes. Por ejemplo, el núcleo C12 puede

actuar como catalizador para convertir 4H en He4, sin ser “destruido” en el proceso. Así

tenemos el ciclo CN:

C12(H,γ)N13( ,e+νe)C13(H,γ)N14(H,γ)O15( ,e+νe)N15(H,He4)C12 .

La importancia de este proceso en interiores estelares dependerá de la abundancia de C12 y de

la temperatura. Mientras que en la cadena pp tenemos barreras Coulombianas más pequeñas,

aquí aparece una barrera de altura relativa Z1Z2 = 6. Se requieren temperaturas altas, y será

dominante en estrellas masivas: M > Mʘ.

El ciclo CN anterior puede “alimentarse” mediante nuevos procesos. Por ejemplo, se

produce nitrógeno mediante

O16(H,γ)F17( ,e+νe)O17(H,He4)N14 .

Aunque este proceso parece destruir el oxígeno, la reacción N15(H,He4)C12 no ocurre

siempre. Algunas veces tiene lugar la reacción N15(H,γ)O16, que se encarga de regenerar

el oxígeno en el medio. Al conjunto de todas las reacciones se le llama ciclo CNO.

VELOCIDAD DE LAS REACCIONES

El número total de reacciones X(a,b)Y que tienen lugar por unidad de volumen y unidad de

tiempo, para una velocidad relativa (entre a y X) v, está dado por r = na nX v σ(v). Si la distribución de velocidades relativas es f(v), la velocidad de reacción total (teniendo en

cuenta todos los movimientos posibles) se obtiene como r = na nX ∫ v σ(v) f(v) dv = na nX<vσ>. Si en la reacción se libera una energia fotónica EXa, la energia liberada por unidad de

masa y por unidad de tiempo es

ε = (na nX / ρ) EXa <vσ> .

El factor nanX mide la densidad número de pares de partículas en colisión, si ellas son

diferentes. Cuando X y a son de la misma especie (p.ej., H + H en la cadena pp), la

densidad número de pares es nX2 / 2. En la cadena pp, la primera reacción (H + H) gobierna

la razón de producción de energía, y lo mismo ocurre en el ciclo CNO, donde la primera

reacción (C12 + H) es la más lenta y gobierna la razón de producción de energía total.

La razón εεεε puede aproximarse por una ley εεεε0 ρρρρααααTββββ (erg gr-1 seg-1), donde

α α α α = 1, ββββ = 4-5 cadena ppp,

αααα = 1, ββββ = 18 ciclo CNO, y εεεε0 depende de la composición química.


1.- Dada una reacción de fusión X + Y entre dos núcleos, la temperatura necesaria para que

tenga lugar el proceso viene groseramente dada por T ≈ C Z12Z22 µ (K), donde C es una

constante, Z1 y Z2 son las cargas de los núcleos X e Y, respectivemente, y µ es la masa

reducida del par (X,Y). Si la reacción H + H se produce a una temperatura de 106 K, obtener

la temperatura a la cual se producen los siguientes procesos: D + H, He3 + He3, He3 + He4,

Li7 + H y Be7 + H.

2.- Teniendo en cuenta que la sección eficaz de interacción de un neutrino con un nucleón es

de σ ≈ 10-44 cm2, ¿cúal es la probabilidad de que un neutrino escape del corazón solar?.

MODELOS ESTELARES III: SOLUCIONES (Sesión 17)

"STELLAR INTERIORS: PHYSICAL PRINCIPLES, STRUCTURE, AND EVOLUTION”

by

CARL J. HANSEN and STEVEN D. KAWALER

PUBLISHED BY SPRINGER-VERLAG NEW YORK, INC, 1994

______________________________________________________________________

Contiene un “diskette” con programas sobre modelos estelares. El código fuente es un

programa FORTRAN (ZAMS.FOR), y el correspondiente ejecutable es ZAMS.EXE. Como

ayuda (guia) incluye los parámetros de entrada para modelizar estrellas en la SP con una

masa solar (M = 1 Mʘ) y con 15 Mʘ. También incluye las salidas correspondientes.

ENTRADA (ejemplo)

MR (Mʘ): 1. (final)

X e Y: .74 .24

Pc (CGS): 1.483e17

Tc (K): 1.449e7

R (cm): 6.93e10

LR (Lʘ): .9

Nombre Fichero de Salida: ejemplo

¿Estudios de Pulsación? (Y/N): N

SALIDA (ejemplo)

1-Mr/M log(r) log(P) log(T) log(ρ) log(L)

0.998 9.28 17.16 7.15 1.91 31.63

0.997 9.38 17.15 7.15 1.91 31.93

…

0.976 9.71 17.09 7.13 1.87 32.81

GRAFICAS (FORTRAN, MATLAB,…)

ZAMS incluye los siguientes ingredientes:

→ Transporte radiativo o convectivo. En el caso de transporte convectivo, se tiene

dT / dr = - (1 - 1/γγγγ) (T / P) (GρρρρMr / r2) (TC) + γγγγ = γγγγ(ρρρρ,T,C) (INDICE ADIABATICO)

→ Razón de producción de energia debida a la contribución de las cadenas pp y del

ciclo CNO

→ Ley de opacidad compleja, que es válida en un rango “razonable” de composiciones

químicas: 0,6 < X < 0,8, 0,2 < Y < 0,4 y 0,001 < Z < 0,02 (próximas a la población I)

→ Ecuación de estado de un gas más radiación

Nos concentramos en las soluciones para tres modelos estelares. Todos ellos tienen una

composición química X = 0,70, Y = 0,29 y Z = 0,01.

Por otro lado, las condiciones de contorno iniciales son:

196003,289 10113,275 1072,769 101615 (final)

89,351,276 10112,347 1071,141 10173 (final)

0,90836,932 10101,442 1071,482 10171 (final)

LR (Lʘ)R (cm)Tc (K)Pc (CGS)MR (Mʘ)

ATMOSFERAS

3364315

150253

63521

Tef (K)MR (Mʘ)

Dado el radio estelar R, la masa

estelar M = MR y la luminosidad

total L = LR, se pueden estimar

propiedades atmosféricas. Por

ejemplo, la gravedad atmosférica (g

= GM/R2) o la temperatura efectiva

(L = 4ππππR2 σ σ σ σ Tef4).

TRABAJO PERSONAL [Análisis de soluciones mediante el programa ZAMS]

1.- Ejecutar el programa ZAMS para una composición química X = 0,70, Y = 0,29 y Z =

0,01, una masa total igual a tres masas solares, y las condiciones (Pc,Tc,R,LR) usadas en la

segunda fila de la tabla de modelos. Comprobar que se verifican las ecuaciones de equilibrio

hidrostático y de producción de energía en las diferentes capas de la estrella. Dada la capa i-

ésima, a veces, se puede construir el gradiente de una cantidad cualquiera F, como (dF/dr)i=

(1/2)(Fi – Fi-1)/(ri – ri-1) + (1/2)(Fi+1 – Fi)/(ri+1 – ri). Este método promedio, funciona bien

cuando las capas i-1 e i+1 son aproximadamente equidistantes de la capa de referencia i. En

caso de capas sucesivas no equidistantes, es mejor aproximación hacer una media pesada

(con pesos dependientes de la separacion entre capas); o simplemente, tomar la capa más

próxima a la de referencia, por ejemplo la i+1, y estimar (dF/dr)i = (Fi+1 – Fi)/(ri+1 – ri).

2.- Compara la solución para P(r) obtenida en la cuestión 1, con el comportamiento de

(ρ/µmH) kT + (1/3) aT4 (presión de un gas ideal de H, He, metales y electrones + presión de

la radiación).

3.- Comparar la solución para la opacidad vs. r obtenida en la cuestión 1, con el

comportamiento 0,2(1 + X) + [3,68 × 1022 (1 + X) (1 – Z) + 4,34 × 1024 Z (1 + X)] ρ T-3,5

(opacidad global <κe> + <κff> + <κbf> discutida en la S15, con <gbf> ≈ <gff> ≈ 1y t ≈ 10).

4.- Con los resultados T(r) de la cuestión 1, construir la evolución espacial del gradiente

dT/dr. Comparar la ley deducida con la expresión - 3<κ>ρ T-3 Lr / 16πacr2 (transporte radiativo). ¿Encuentras alguna región en la cual el gradiente de temperatura no se pueda

aproximar por la expresión correspondiente a transporte radiativo (evidencia de transporte

convectivo)?. En caso afirmativo, ¿está en el corazón estelar o en la periferia?.

ESPECTROS ESTELARES ‘Astrophysics I: Stars’(1984)

FORMACION DE LINEAS EN ESPECTROS ESTELARES (Sesión 18)

Se forman líneas de emisión y absorción cuando la atmósfera contiene una cantidad

suficiente de átomos neutros o parcialmente ionizados. Estas líneas son de gran

importancia en astrofísica estelar, debido a que tienen impresas huellas de las

condiciones locales en el gas. Un estudio detallado de la forma de las líneas puede dar

información acerca de ρ, P y las abundancias atómicas.

Podemos comprender el mecanismo de formación de una línea de absorción a

frecuencia ν0, examinando la opacidad total: continuo (κc) más línea (κl). Si existe absorción fuerte a una frecuencia ν0, ello implica que el recorrido libre medio para fotones con frecuencias próximas a ν0, l(ν0), es pequeño en comparación al recorrido

libre medio de fotones en ausencia del agente causante de la línea, lc(ν0) = [κc(ν0)ρ]-1. Es decir, κl(ν0) >> κc(ν0) y l(ν0) = [κc(ν0) + κl(ν0)]ρ-1 ≈ [κl(ν0) ρ]-1 << lc(ν0).

Si el continuo Planckiano se forma a una profundidad óptica τc, a una profundidad óptica menor (τa), se encontrará con el agente causante de la absorción a frecuencia ν0 y

se generará la línea. Suponiendo que la dispersión de fotones no es importante, se

producirá absorción en τa < τc, que será seguida por un proceso de emisión. Se emitira a la temperatura del gas en τa, Ta = T(τa) < T(τc) = Tc.

→ Como Tc > Ta, el flujo de energía continuo ≈ B(ν0,Tc) excederá la intensidad de línea ≈B(ν0,Ta), y el espectro exhibirá un “pozo” de absorción a frecuencia ν0.

νννν0νννν

B(νννν,T)

Ta Tc

Una aproximación razonable para estudiar la formación de líneas en una estrella, consiste en

adoptar la radiación continua predicha por un modelo atmosférico, y entonces investigar la

absorción de la radiación a ciertas frecuencias, cuando esta atraviesa la atmósfera. Con este

procedimiento, podemos ajustar la composición del gas que reproduce las líneas

observadas. De forma inversa, dadas unas características espectrales deducidas de

observaciones (mediante las cuales podemos obtener la composición del material

absorbente), podemos extraer propiedades de la atmósfera, tales como la densidad, la

temperatura y la gravedad atmosférica o superficial.

PERFIL DE LINEA

→ Un primer ensanchamiento “natural” (inevitable) de una línea, se produce como

consecuencia del principio de incertidumbre: ∆E ∆t ∼ h. La sección eficaz de absorción es

σ(ν) = σ0 (γ/4π2) / [(ν – ν0)2 + (γ/4π)2] ,

donde σ0 = f (πe2/mec), f es la “intensidad de oscilador”, la FWHM de la línea es γ/2π, y por ejemplo, f = 0,641 y γ ≈ 5 × 107 seg-1 para la línea Hα (serie Balmer, λ = 656,3 nm). El otro ensanchamiento natural es debido a la agitación térmica. Un átomo en movimiento

absorbe radiación a una frecuencia diferente a la frecuencia de absorción del mismo átomo

en reposo. Si se mueve con velocidad v, entonces absorbe a frecuencia ν + ν(v/c) (efecto Doppler), en lugar de a frecuencia ν. Por otrolado, a temperatura T, la distribución de velocidades será Maxwelliana: f(v) = (1/π1/2) (m/2kT)1/2 exp(- mv2/2kT). Una velocidad característica o típica es la velocidad Doppler térmica vD = (2kT/m)

1/2, mientras que la

anchura Doppler de la línea viene dada por ∆νD = ν0 (vD/c). La anchura “natural” estádominada por el ensanchamiento Doppler. Por ejemplo, si consideramos sodio (Na) en

la atmósfera solar (T = 6000 K), tendremos vD = 2,1 km seg-1. Las línea D del Na tiene

asociada una frecuencia de 5 × 1014 Hz (seg-1), para la cual ∆νD = 3 × 109 Hz. Por el contrario, la anchura “cuántica” es mucho menor, con γ ≈ 108 Hz. Finalmente, se usa una

sección eficaz

σ(ν) = (σ0/π1/2) (1/ ∆νD) exp- [(ν – ν0)/ ∆νD]2.

→ Además del ensanchamiento natural, algunas estrellas pueden presentar ensanchamientos

adicionales (que no ocurren en todas). Por ejemplo, el ensanchamiento adicional producido

por movimientos turbulentos en la atmósfera. Si la velocidad típica de las turbulencias es

vT, aparece una velocidad Doppler efectiva vD2 = 2kT/m + vT

2. Otro efecto a considerar es el

ensanchamiento debido a desexcitación por “colisiones” (una corrección al

ensanchamiento natural mecánico-cuántico). Imaginemos un átomo excitado, que tardará un

cierto tiempo típico ∆t en desexcitarse. Si otro átomo pasa cerca (“colisiona” con el primero), puede contribuir a una desexcitación más rápida que la que se produciria en ausencia de la

“colisión”. La vida media se reduce, y volviendo al principio de incertidumbre (∆E ∆t ∼ h), la incertidumbre energetica aumenta. Todo esto se traduce en un aumento de γ. Aparece una γ

efectiva que es la suma γ + Γ, donde Γ es la probabilidad de transición inducida por

“colisión”, por unidad de tiempo.

Consideramos que σdc es la sección eficaz para desexcitación por “colisión”, que dependerá

de el campo de fuerza de las particulas que “colisionan”, asi como de las propiedades de los

niveles de energia involucrados. Ya que las velocidades térmicas típicas son del orden de vD,

podemos obtener Γ como Γ ∼ ncσdc vD, y Γ/ ∆νD ∼ ncσdc c /ν0. Aquí, nc es la densidad número de partcículas que “colisionan” con cierto átomo.

Se puede construir una sección eficaz que incorpora todos los efectos discutidos: σ(ν) = σ(ν0) H(α,η), donde H es la función de Voigt, α = γ / 4π∆νD y η = (ν – ν0)/ ∆νD. En el centro de la línea (η = 0), σ(ν0) = (σ0/π1/2) (1/ ∆νD) H(α,0). Para muchas situaciones

astrofisicamente interesantes, se verifica que α << 1, H(α,0) = 1y la sección eficaz en el centro de la línea es σ(ν0) = (σ0/π1/2) (1/ ∆νD). En las alas del perfil de la línea, se tiene que η

>> α y una función de Voigt aproximada H(α,η) ≈ (α/π1/2) (1/ η2).


1.- Discutir el motivo por el cual el espectro continuo no es exactamente Planckiano, sino un

espectro cuasi-Planckiano que está “endurecido” o “calentado”.

2.- Imaginar que la línea Hα en el espectro solar, está ensanchada únicamente como

consecuencia del efecto Doppler térmico. ¿Cuanto vale la sección eficaz en el centro de la

línea?.

3.- Considerar las densidades típicas en la atmósfera solar, y suponer que σdc es del orden de

las dimensiones atómicas (es decir, 10-16 cm2). Entonces, para una transición en la región

visible del espectro, mostrar que Γ es mucho menor que ∆νD.

INTENSIDADES DE LINEAS ESPECTRALES (Sesión 19)

Suponemos que las líneas se forman en una capa atmosférica plana (región de formación de

líneas: RFL) con propiedades físicas (T,ρ,P), la cual esta situada sobre la fuente de radiación del continuo. El espesor óptico de esta capa (cuyo espesor físico es h) es τν = ∫[0,h] kν dh = kν h, y la

intensidad de radiación que emerge de la RFL es Iν(h) = Iν(0) exp(- kν h) = Iν(0) exp(- τν). El paso

de radiación a través de la RFL produce dos efectos: una atenuación exp[- kc(ν) h], la cual varia suavemente sobre un amplio rango de frecuencias, y una atenuación adicional exp[- kl(ν) h], que se hace muy importante en la vecindad del centro de una línea ν0, pero que se hace despreciable

para ν > ν0 o ν < ν0.

Se define el perfil de línea corregido o intensidad residual como la razón entre la

intensidad total (continuo mas línea) y la intensidad del contínuo. Se puede expresar como

r(νννν) = Iν(0) exp- [kl(ν) + kc(ν)] h / Iν(0) exp[- kc(ν) h] = exp[- kl(νννν) h].

νν0

r(ν)

1

Teniendo en cuenta la definición de opacidad, se debe

verificar kl(ν) = n σ(ν), donde n es la densidad número de absorbentes que generan la línea a frecuencia ν0 y σ es la

sección eficaz microscópica del proceso. De forma mas

explícita, kl(ν) = n(T,P) [1 – exp(- hν/kT)] (πe2/mec)f Φ(ν). La sección eficaz σ(ν) incluye un factor 1 – exp(- hν/kT)]

asociado con la emisión estimulada, así como la función Φ(ν) que incorpora todos los efectos posibles: ensanchamiento

mecánico-cuántico, correcciones debidas a la desexcitación

por “colisiones”, ensanchamiento térmico, efectos de

turbulencias, efectos de rotación, etc.

Algunas veces no se dispone de datos detallados del perfil de línea corregido, y solo se

conoce la cantidad de energía total perdida (por el continuo) en la línea. Es el área amarilla

en la figura r(ν) vs. ν, y se llama anchura equivalente de la línea. En unidades de frecuencia, vale W0 = W(νννν0) = ∫∫∫∫[0,∞∞∞∞] [1-r(νννν)]dνννν.

Si la línea es débil, entonces el espesor óptico será pequeño: kl(ν) h << 1. En este caso, la intensidad residual se puede desarrollar en serie. Quedándonos en el primer orden, r(ν)

≈ 1 - kl(ν) h.

En la línea débil, vemos que existe una relación lineal entre r(ν) y kl(ν), y la anchura equivalente es simplemente una integral sobre la opacidad de línea.

W0 = ∫[0,∞] kl(ν) h dν = n h (πe2/mec)f ∫[0,∞] [1 – exp(- hν/kT)] Φ(ν) dν = n h (πe2/mec)f [1 –

exp(- hν0/kT)].

En la expresión anterior, se ha tenido en cuenta que Φ es una función prominente en ν = ν0, que el factor de emisión estimulada es una función suave en comparación a Φ y que ∫[0,∞]

Φ(ν) dν = 1. La anchura equivalente de una línea débil es proporcional a la densidad número de átomos absorbentes, al espesor físico de la RFL, y a la “intensidad del oscilador” f.

Cuando la densidad columna de átomos absorbentes (nh) crece, la aproximación de línea

débil no funciona, y la anchura equivalente de la línea será menor que la dada por la

expresión aproximada.

r(ν) = 1 - kl(ν) h + [kl(ν) h]2/2 + … → W0 = ∫[0,∞] [kl(ν) h - [kl(ν) h]2/2 - … ] dν = W0,débil -

∆W0 - …

Como ∆W0 > 0 → W0 < W0,débil . Por otro lado, cuando la densidad columna es

suficientemente grande, la mayoria de los fotones son “eliminados” del haz inicial

(absorbidos), y un aumento en la densidad columna, apenas decrecerá la intensidad. Este

fenómeno se llama saturación. W0

nh

saturación

aprox. línea débil

Comportamiento de W0 para diferentes secciones eficaces σσσσ(νννν)

PERFIL DE LINEA DEBIDO A UN ENSANCHAMIENTO DOPPLER PURO

La anchura equivalente de la línea será W0 = ∫[0,∞] 1 – exp[- n h f (πe2/mec) (1/π1/2 ∆νD) exp- [(ν – ν0)/ ∆νD]2] dν. Haciendo un desarrollo en serie completo de la exponencial, se llega a W0 = - ∑[N=1,∞] (1/N!) [– n h f (πe2/mec) (1/π1/2 ∆νD)]N ∫[0,∞] exp- N[(ν – ν0)/

∆νD]2 dν = π1/2 ∆νD C [1 + ∑M T(CM)], donde C = n h f (πe2/mec) (1/π1/2 ∆νD) = n σ(ν0) h

= τl(ν0). Para C grande, W0 ≈ ∆νD (ln C)1/2 ∝ [α + ln N]1/2. Vemos que la anchura

equivalente crece muy lentamente con la densidad columna de átomos absorbentes (N = n

h). Es practicamente constante.

PERFIL DE LINEA COMPLETO (DEBIDO A DIFERENTES

CONTRIBUCIONES)

Suponemos que para una densidad columna grande, la anchura equivalente está dominada por

σ(ν) en las alas. Recordando que σ(ν) = σ(ν0) H(α,η), con α = γ / 4π∆νD y η = (ν – ν0)/ ∆νD, y que H(α,η) ≈ (α/π1/2) (1/ η2) en las alas, obtenemos W0 = ∫ 1 – exp[- (α C/π1/2 η2)] ∆νDdη. Haciendo el cambio de variable z = α C/π1/2 η2, llegamos a W0 ∝ ∆νD C1/2 ∝ N1/2. Así, la

anchura equivalente crece como la raiz cuadrada de la densidad columna.

Curvas de crecimiento: Para una línea débil, la anchura equivalente es siempre proporcional

a la densidad columna, o en otras palabras, W ∝ C. Cuando la densidad columna crece,

aparece la saturación. Los efectos de saturación comienzan a manifestarseen la región central

de la línea. En dicha región, σ(ν) ≈ σ(ν0) = (σ0/π1/2) (1/ ∆νD) = σDoppler(ν0), y tenemos que

W ∝ (log C)1/2. Al continuar aumentando la densidad columna, la saturación también se

manifiesta en las alas, y tenemos un crecimiento W ∝ C1/2. La curva de crecimiento total será

log W

log C

C

(log C)1/2 C1/2


1.- Usualmente se define la anchura equivalente en unidades de longitud de onda (mili-

angströms), W(λ0) = ∫[0,∞] [1 - r(λ)]dλ. ¿Cuál es la relación entre W(ν0) y W(λ0)?.2.− (a) Considerar una línea que se produce desde el nivel fundamental de un átomo (energía E1), y otra que se produce desde el primer nivel excitado (energía E2). La razón entre el número

de átomos en el nivel 1 y el número de átomos en el nivel 2, viene dada por n1 / n2 = [g1 exp(-

E1/kT)] / [g2 exp(- E2/kT)], donde g1 y g2 son los pesos estadísticos de ambos niveles de energía

(g es el número de estados cuánticos distintos que corresponden a un nivel de energía). Si se

trata de líneas débiles, mostrar que la medida de las anchuras equivalentes, junto a la

identificación de las líneas (g, E, f, ν), conduce a la estimación de la temperatura de la RFL.(b) Si se tratase de líneas débiles para dos especies diferentes X e Y, mostrar que la medida de

las anchuras equivalentes, la estimación de la temperatura y la identificación de líneas (f, ν), conduce a la determinación de la abundancia relativa de ambas especies.

LINEAS DE HIDROGENO Y HELIO (Sesión 20)

En las sesiones anteriores, hemos discutido la influencia de las “colisiones” en la desexcitación

desde cierto nivel, cuando la escala de tiempo asociada a una interacción es menor que la vida

media del nivel (menor que la escala de tiempo radiativa). Si por el contrario, la escala de tiempo

de interacción es mucho mayor que la vida media del nivel, el átomo realiza las transiciones en

presencia de un potencial perturbador, de forma que su estructura de niveles de energía es

ligeramente diferente a la del átomo no perturbado. El nuevo efecto es importante para las líneas

de H y He en estrellas calientes.

Cuando Tint < Trad, esto significa que el átomo perturbador influye al átomo que radia solo

cuando está muy próximo, lo que implica que las fuerzas involucradas son de corto alcance, y

así, podemos hablar de una “colisión”. Por ejemplo, las líneas D del Na en la atósfera solar

son ensanchadas por el impacto de átomos de hidrógeno (neutros). El potencial de interacción

Na-H tiene una dependencia aproximada ∝ r-6, y es de corto alcance.

Sin embargo, en atmósferas estelares más calientes ocurre otro fenómeno. Existe un gran

número de átomos ionizados, y el campo de Coulomb de una partícula cargada es de mucho

mayor alcance (∝ r-2) que la fuerza de van der Waals entre átomos neutros. En definitiva, Tint>> Trad. Debido a que el ión situa un campo eléctrico en la vecindad del átomo radiante, al

proceso se le llama efecto Stark estadístico, ya que el efecto Stark describe la perturbación de

líneas espectrales por campos eléctricos. El ensanchamiento Stark estadístico depende de

dos cosas: (a) el campo eléctrico E en el átomo radiante, producido por cierta densidad de

iones n, y (b) el efecto de E sobre la línea espectral de interés.

Primero, definimos una distancia media entre iones <r> como (4/3)π <r>3 n = 1.

<r>

<r> = (3 / 4πn)1/3

Después introducimos un átomo radiante en la nube de iones. Suponiendo que la distancia

entre el átomo radiante y un ión (+ 1) es <r>, se define la intensidad de campo standard E0 = e/<r>2 = (4π/3)2/3 n2/3 e. El campo real debido a la nube de iones será diferente al standard. Si introducimos la cantidad β = E/E0, donde E es la intensidad real del campo, entonces podemos encontrar la distribución de probabilidad para β, considerando que los iones están aleatoriamente distribuidos. El resultado es w(β) = (2/πβ) ∫[0,∞] x sen x exp[- (x/β)3/2] dx. La

ley anterior se conoce como distribución de Holtsmark, y w(β)dβ representa la probabilidad de que el campo normalizado β se situe en el intervalo (β, β+dβ). La integral no se puede resolver analiticamente, pero se puede aproximar mediante leyes de potencias.

β

w(β)

Prob. (β)

Prob. E/E0 =

E/[(4π/3)2/3 n2/3 e)]

Para cierta densidad de

partículas ionizadas (n),

Prob. (E)

En segundo lugar, vamos a considerar el efecto del campo eléctrico E sobre los niveles

de energía atómicos. El desplazamiento en la energia de la transición (∆E) debido al campo E, puede estimarse semiclásicamente. En un átomo cuyo momento dipolar es D = e

l, el desplazamiento energético vale ∆E = h ∆ν = hc ∆λ/λ2 = E . D ∼ e E l. Cuando el

campo no es muy fuerte, l es comparable al radio de Bohr a0 = h2/mee

2. Cálculos exactos

muestran que ∆λk = (3h / 8π2 mee c) λ2 nk E = Ck E, donde nk es un entero que depende de

los números cuánticos delos estados inicial y final, y ∆λk corresponde a la k-ésima componente de linea. Como el desplazamiento en longitud de onda es proporcional a la

intensidad del campo eléctrico, el ensanchamiento de líneas de hidrógeno por este proceso

se llama efecto Stark lineal. La probabilidad de un desplazamiento ∆λk desde el centro de la línea espectral está directamente relacionada con w(β), ya que β = ∆λk / Ck E0. También

es importante tener en cuenta la intensidad relativa de cada componente de línea Ik.

Como el ensanchamiento Stark produce alas extensas, resulta interesante desarrollar una

expresión aproximada para la forma de la línea espectral en sus alas. La sección eficaz será

σ(∆λ) = (πe2/mec2) λ2 f [∑k Ik Ck

3/2 / (1,496)5/2] E03/2 (∆λ) -5/2. En las alas, hay una

dependencia en longitudes de onda como (∆λ) -5/2. El perfil de la línea también depende del campo standard a la 3/2, o equivalentemente, está directamente relacionado con la densidad

de iones n. El valor de la cte. que aparece entre corchetes … es (serie Balmer):

Hα: 3,13 × 10-16 Hβ: 0,885 × 10-16 Hγ: 0,442 × 10-16 Hδ: 0,309 × 10-16 .

He → El átomo de hidrógeno tiene una estructura relativamente simple y se produce el

efecto Stark lineal: los desplazamientos de energia dependen linealmente de la intensidad del

campo eléctrico. En átomos más complejos, el momento dipolar efectivo puede depender del

campo eléctrico externo, y los desplazamientos energéticos pueden estar relacionados con

potencias de E. Por ejemplo, puede aparecer el efecto Stark cuadrático (∝ E2). Esta es una complicación importante en el espectro de He, donde la dependencia con el campo eléctrico

no es ni lineal ni cuadrática, sino una ley justo entre ambas. Así, el ensanchamiento Stark en

He es bastante complejo. En al menos una línea de He, aparece una complicación adicional.

Existe una línea de HeI a 447,16 nm, que tiene una longitud de onda próxima a una transición

prohibida por reglas mecanico-cuánticas (446,99 nm). Sin embargo, en presencia de un

campo electrico externo, la transición inicialmente prohibida pasa a ser permitida. Se produce

entonces un solapamiento de lineas.


1.- En una estrella como Sirius, las temperaturas atmosféricas son de aproximadamente

10000 K y la presión electrónica es de aproximadamente 630 dinas cm-2. ¿Cuál es la

intensidad de campo standard?. Para comparar con valores en otros escenarios, da el valor de

E0 en el CGS y en voltios cm-1. Dibuja la sección eficaz Stark (alas) para las líneas Hα, Hβ,

Hγ y Hδ.

EVOLUCION ESTELAR ‘Astronomy Today’(2001),‘Astrophysics I: Stars’(1984), …

FASES DE LA EVOLUCION ESTELAR (Sesión 21)

La evolución estelar se puede dividir en tres fases: antes, durante y despues de la

secuencia principal (SP). La primera fase consiste en la formación de una estrella a partir

de una nube de material interestelar, mediante la contracción gravitatoria que conduce al

calentamiento del gas y a la ignición del proceso de fusión de hidrógeno (H + H). Tras la

primera fase, nace una estrella en la SP. La segunda fase, incluye la evolución de la estrella

dentro de la SP. En la tercera y última, se produce una evolución “rápida” tras el consumo

del hidrógeno en el corazón estelar.

La estrella se forma como consecuencia de la fuerza gravitatoria, y una vez formada

(aislada del resto del universo), toda su vida está determinada por diferentes procesos

físicos que tratan de evitar su destrucción mediante una implosión gravitatoria. A veces

evita el colapso mediante reacciones de fusión nuclear, que mantienen un alto gradiente

de temperatura y generan el gradiente de presión necesario para soportar la masa. En

ciertas ocasiones, se puede agotar un tipo de combustible (p.e., H), y la estrella continua el

colapso hasta que se produce la ignición de un nuevo tipo de combustible (p.e., He).

También se puede frenar el colapso por la presión de un gas degenerado de electrones o

neutrones, o mediante algún suceso violento que recompone su estructura. Cuando el

colapso es inevitable, la estrella muere convirtiéndose en un agujero negro.

Formación

Inicialmente, la nube protoestelar tiene un gran radio, baja densidad y baja temperatura. Si el

colapso es cuasi-estático (contracciones sucesivas pasando por configuraciones de equilibrio), el

teorema del Virial (2U + Ω = 0) indica la existencia de calentamientos ∆U > 0 y emisiones de radiación hacia el exterior (aumentos de la cohesión gravitatoria). Si el colapso no es cuasi-

estático, entonces (1/2) (d2I/dt2) = 2U + Ω, donde I es el momento de inercia de la estrella. En este caso, cierta cantidad de energía del colapso se transforma en energía rotacional. Al principio

el gas es transparente (no hay opacidad) y la contracción ocurre a temperatura casi uniforme. La

mayor parte del cambio en Ω se traduce en un cambio en I, y así, la implosión no es

eficientemente frenada y es rápida. Cuando la densidad es suficientemente grande, el gas se hace

opaco, y cierta cantidad de energía gravitatoria se emplea en calentar el material. Entonces se

reduce la velocidad del colapso y se llega a una evolución cuasi-estática. El interior de la estrella

puede alcanzar la temperatura para la ignición del H (H + H), y la contracción es totalmente

detenida. Finalmente, tenemos una estrella de edad cero en la secuencia principal o una

estrella ZAMS (ver sesión 17). Es importante destacar que para que ocurra el proceso completo de formación, es necesario que exista suficiente energía gravitatoria como para elevar la

temperatura hasta la Tign(H). Para una nube de gas con poca masa (M < 0,05 Mʘ), no se alcanzará

Tign(H), y el colapso puede conducir a objetos frios como los planetas gigantes (p.e., Jupiter). No

se tiene un conocimiento preciso de la función de masa de las condensaciones del material

interestelar, pero pueden existir muchos “fracasos” estelares en el universo. No son fáciles de

detectar, ya que forman parte de la “materia oscura” del universo. A pesar de no emitir

radiación, podemos detectarlos a través de sus efectos gravitatorios sobre el movimiento de otros

cuerpos celestes o sobre la radiación. También pueden detectarse “enanas marrones” (“fracaso”

estelar enfriandose).

Evolución dentro de la SP

La evolución en la SP comienza con el encendido de la fusión H + H en el corazón estelar.

Hablando groseramente, el corazón es radiativo si la producción de energía esta dominada

por las cadenas pp, mientras que es convectivo si domina el ciclo CNO. Para estrellas con

M ≤ 1,3 Mʘ, no existe una zona convectiva central. Sin embargo, para estrellas más

masivas (M ≥ 3 Mʘ), la generación de energía se produce dentro del corazón convectivo.

En casos intermedios, la genereración de energía ocurre en la zona convectiva central y en

la región radiativa que la rodea.

Evolución fuera de la SP

Cuando se ha consumido el H en el interior, a medida que la evolución avanza, se encienden

procesos de fusión de núcleos más y más pesados. La estructura resultante es altamente

inhomogenea, con generación de energía en diferentes capas de la estrella.

(a) Fusión de He: cuando comienza a agotarse el H en el corazón estelar, se reduce la presión

[tras la transformación 4H → He4, el factor µ ha cambiado de 1/2 a 4/3, lo que supone una

disminución de presión en un factor 3/8: PG = (ρ / µmH) kT]. La reducción de presión conduce a

un colapso, que puede calentar el material rico en helio hasta alcanzar Tign(He), aumentar la

presión y restablecer el EQH. Esto ocurrirá si la estrella es suficientemente masiva. Estrellas

menos masivas que 0,5 Mʘ, no tienen suficiente energia potencial gravitatoria almacenada como

para alcanzar una temperatura de unos 108 K. El proceso de quemado de He es conocido como

proceso triple-alfa, y puede resumirse como 3He4 → C12 + γ, con E3α = 7.27 MeV. La reacción

tiene lugar en dos etapas: He4(He4, )Be8(He4,γ)C12, siendo la primera endotérmica. La tercera αdebe estar disponible para asegurar la producción de Be8 y obtener ganancia neta de energía.

Durante el quemado de helio, también ocurren las reacciones C12(He4,γ)O16 y

N14(He4,e+νe)O18(He4,γ)Ne22. Debido a estas reacciones, todo el nitrógeno-14 se convertirá en oxígeno-18 y Neón-22, y C12 y O16 son los núcleos más abundantes en las siguientes dos

etapas de generación de energía.

(c) Agotado el helio, vuelve a iniciarse la contracción del núcleo. Como sucedió antes con el

hidrógeno, la combustión de He prosigue en la región adyacente al núcleo, y se inicia la

ignición de H en la zona vecina mas externa. En el núcleo puede producirse la fusión de C.

A temperaturas mayores que aproximadamente 6 × 108 K, tiene lugar el quemado de carbono mediante las reacciones: C12 + C12 → Na23 + H, Ne20 + He4, Mg23 + n, Mg24 + γ.

(d) La estrella puede seguir evolucionando, y formando cada vez más capas con el procesado

termonuclear de diferentes especies. En el núcleo, puede encenderse la fusión de O. El

oxígeno es la siguiente combustible interior, y los procesos son: O16 + O16 → S32 + γ, P31 + H, S31 + n, Si28 + He4, Mg24 + 2He4.

(b) También aumenta la temperatura en la zona adyacente al núcleo, y se produce la

combustión de H. Cuanto mayor es la masa de la estrella, debido a la mayor temperatura

central, más gruesa es esta región adyacente. La ignición de capas intermedias aumenta la

luminosidad de la estrella, y el aporte de energía de estas capas ocasiona una fuerte

expansión de la envoltura, que tiende a enfriarse. Entonces la estrella se desplaza

(diagrama H-R) hacia la zona de bajas temperaturas superficiales y gran luminosidad y

tamaño. La estrella se vuelve una gigante roja.

Ultimas fases de la evolución estelar…

(e) Los objetos menos masivos que 0,1Mʘ, desarrollan un núcleo degenerado de electrones

capaz de frenar su contracción antes de poder alcanzar la temperatura de fusión de H. Las

estrellas con masas en torno a la masa solar, llegan a una situación parecida justo en el

momento en que se alcanza la temperatura de fusión del He. Esta todavia tiene lugar, pero

al consumirse el helio en la región central y proseguir la contracción, el gas de electrones

acaba estando totalmente degenerado y es capaz de frenar la implosión gravitatoria antes de

una nueva ignición. El resultado es una enana blanca. La estrella que fue brillante en las

etapas de combustión termonuclear, acaba sus dias como una estrella compacta (radio del

orden del radio de la Tierra), formada principalmente por C (residuos de la combustión de

He) y que se enfria paulatinamente hasta dejar de radiar.

(f) Estrellas más masivas logran alcanzar la temperatura de fusión del C (C + C). La

ignición puede ser tan violenta que puede conducir a una explosión: supernova. Para las

estrellas muy masivas, si las pérdidas de masa no son dramáticas, la fusión del C debiera

producirse sin complicaciones. Las fases mas avanzadas de combustión se sucederian de

forma rápida y sin frenar el colapso del núcleo. Cuando ha cesado el quemado de C y O, no

se inician combustiones de los residuos más abundantes: Mg, Si y S. Antes de alcanzar las

Tign correspondientes, los fotones tienen suficiente energia como para producir la

fotodesintegración de núcleos ligeros. Las particulas liberadas se fusionan con otros

núcleos y se produce un aumento de los isótopos más estables: grupo del hierro (Ni56, Fe54,

Fe56,…).

(g) La contracción y el calentamiento continua y se llega a la fotodesintegración del grupo del

hierro, que conduce a una nube de neutrones y protones libres. La presión del gas degenerado

de electrones se hace tan importante que evita la desintegración neutrónica (n → p + e + ν) y hace que los electrones acaben combinándose con los protones. Tras la neutronización, el

corazón estelar es extremadamente compacto (radio de unos 10 km!) y el gas degenerado de

neutrones puede frenar su colapso. La envoltura se precipitará sobre el corazón, entrará en

combustión violenta y generará (posiblemente) una explosión de supernova, dejando el

núcleo estelar como residuo. Aparece entonces una estrella de neutrones. Se trata de un

objeto caracterizado por una alta velocidad de rotación y un campo magnético muy

importante. La estrella (pulsar) irá radiando energia, enfriándose y frenándose.

(h) Si al precipitarse la envoltura sobre en corazón o núcleo estelar, se amortigua la

explosión y no se expulsa la envoltura, el peso total de la estrella no podrá ser soportado

por la presión del gas completamente degenerado de neutrones. En este caso, el colapso no

puede detenerse por ningún mecanismo y se produce la formación de un agujero negro

estelar.

TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Curso Básico de Astrofísica. I. Estrellas’ y

‘Astrophysics I: Stars’. Problemas]

1.- Sabiendo que el tiempo durante el cual una estrella permanece en la SP (tSP) depende de

la fracción de masa que puede convertirse en energía (a través del proceso H + H) y

compensar L, deducir la relación tSP (años) ≈ 1010 (M/ Mʘ) -2,3. Suponer que L ∝ M3,3.

TRABAJO PERSONAL [continuación]

2.- Si no hay presión en una estrella y la masa colapsa en caida libre (sin oposición), obtener el

tiempo de caida libre (tCL) para una masa M y radio R. Dar el tiempo en segundos, expresando la

masa en masas solares y el radio en radios solares.

3.- Sabiendo que para una estrella en una fase de combustión termonuclear la materia no está

degenerada, es decir, la energía térmica de un electrón debe ser mayor que su energía de Fermi

(sistema caliente y no ultra-denso), deducir la masa mínima para poder lograr la ignición de una

especie nuclear a la temperatura T. Aplicar la ecuación para la fusión de hidrógeno (µ = 1/2, T =

107 K) y de oxígeno (µ = 2, T = 2 × 109 K).

FORMACION ESTELAR (Sesión 22)

Los principales constituyentes de una nube interestelar son hidrógeno atómico y molecular,

helio atómico, y polvo. Al principio, un fragmento colapsa y se calienta, hasta alcanzar una

temperatura de unos 104 K. Después, a temperaturas del orden de 105 K, se produce la

disociación de las moléculas H2, y la ionización del H (o HI), el HeI y el HeII. En esta fase,

toda la ganancia de energía interna se emplea en los procesos de disociación e ionización,

hasta que se produce una “ionización total”. Una vez que se alcanza el radio de ionización

global Rion, el colapso rápido se detiene, dando paso una contracción cuasi-estática. La

protoestrella continua la implosión cuasi-estática y el aumento de temperatura, hasta que T

= Tign(H). Por lo tanto, se entra finalmente en la etapa de encendido de H.

Ionización global: en cierta época tion se ha alcanzado la ionización total y comienza la

contracción no violenta. En t = tion podemos suponer que se verifica el Teorema del Virial

(TV): 2U + Ω= 0, y que la energia interna acumulada es principalmente la energia de

ionización global: U ≈ M EI, siendo EI la energia de ionización por unidad de masa. Llamando N0 al número de Avogadro y conociendo las energias de disociación-ionización ED= 4,48 eV, EH = 13,6 eV, EHeI = 24,58 eV y EHeII = 54,4 eV, podemos calcular EI como EI =

N0 X EH + (1/2) N0 X ED + (1/4) N0 Y EHe = 1,9 × 1013 [1 – 0,2 X] erg/gr. Hemos tenido en cuenta que X + Y = 1 y EHe = EHeI + EHeII. Ya que GM

2/R ≈ 2 M EI, se concluye que

Rion / Rʘʘʘʘ ≈≈≈≈ 50 (M / Mʘʘʘʘ) (1 – 0,2 X) -1.

Encendido de H: inicialmente tendremos una energía de cohesión gravitatoria Ωi y una

energía interna Ui, y en la época final, tendremos Ωf y Uf. Si en ambas épocas se verifica el

TV, es fácil mostrar que ∆U = Uf – Ui = (Ωi – Ωf)/2 y Ωi – Ωf ≈ - GM2/Ri + GM2/Rf ≈ GM2/R

(R = Rf). Implicitamente, hemos supuesto que Ri >> Rf y que no hay pérdida de masa. La

energía total cambiará debido a la emisión de radiación hacia el exterior: ∆E = Ei – Ef = ∆U≈ (1/2) (GM2/R). Dicha emisión estará caracterizada por una luminosidad efectiva L = ∆E /

∆t, que tiene asociada una escala de tiempo

∆∆∆∆t ≈≈≈≈ 1,6 ×××× 107 (M / Mʘʘʘʘ)2 (Rʘʘʘʘ / R) (Lʘʘʘʘ / L) años.

DETALLES SIN MATEMATICAS SOBRE UNA ESTRELLA DE TIPO

SOLAR …

ETAPA 1: UNA NUBE INTERESTELAR

La primera etapa en el proceso de formación estelar es una nube interestelar con polvo o

quizás gas molecular. El polvo representa una fracción despreciable de la masa total, pero es

importante en el enfriamiento de la nube cuando se contrae y en la formación de planetas.

Estas nubes son muy extensas, con tamaños de hasta decenas de pc. Son estructuras frías (∼10 K) con una concentración de unas 109 partículas/m3. La nube inicial puede contener miles

de veces la masa del Sol. En cierto momento se hace inestable, comenzando una implosión y

una fragmentación en trozos más pequeños, los cuales continuan colapsando individualmente.

El proceso completo (desde una nube estacionaria hasta muchos fragmentos colapsando)

puede durar algunos millones de años. Dependiendo de las condiciones concretas de la

fragmentación, la nube inicial puede conducir a decenas de estrellas mayores que el Sol o a

cientos de estrellas de tipo solar.

ETAPA 2: FRAGMENTO DE NUBE COLAPSANDO

La segunda etapa está asociada con la evolución de un fragmento destinado a formar una estrella

como el Sol. Contiene entre 1 y 2 masas solares de material, y abarca algunas centésimas de pc.

Tiene 100 veces el tamaño del sistema solar y una densidad central de 1012 partículas/m3.

.

La temperatura promedio no es muy diferente de la original, ya que el gas radia hacia el

exterior la energía liberada en el colapso (la nube es prácticamente transparente y no absorbe

la radiación que produce). Solo hay un crecimiento apreciable de temperatura en el centro de

la estructura (región más densa), donde se pueden alcanzar los 100 K.

Después de una contracción continua, el fragmento se hace tan denso que la radiación no

puede escapar facilmente. La radiación atrapada produce un aumento de temperatura y un

aumento de presión. Varias decenas de miles de años tras el comienzo de su evolución

individualizada, el fragmento tiene el tamaño de nuestro sistema solar (104 veces el tamaño

del Sol) y una temperatura central de unos 104 K. Sin embargo, la temperatura en la periferia

no ha crecido mucho: todavía es capaz de radiar su energía lejos y permanecer relativamente

fría. La densidad central es de aproximadamente 1018 partículas/m3. Esta densidad central es

apreciablemente mayor que la densidad en la corteza.

La masa del corazón protoestelar crece a medida que captura mas y mas material de la

periferia. Su radio continua disminuyendo, ya que la presión aun no es capaz de compensar

el colapso gravitatorio. En cualquier caso, el objeto comienza a parecerse a una estrella, y la

región central densa y opaca se denomina protoestrella.

ETAPA 3: PROTOESTRELLA

Unos 100000 años después de la formación del fragmento, el centro alcanza una temperatura

de 106 K. Los electrones y protones del gas ionizado viajan a velocidades de cientos de

km/seg. El tamaño aún es grande: aproximadamente el tamaño de la órbita de Mercurio. La

temperatura superficial es ahora de algunos miles de K.

Conociendo el radio de la protoestrella y la temperatura superficial, se puede calcular su

luminosidad (L = 4 π σ R2 T4). Aunque el objeto tiene una temperatura superficial algo

menor que la del Sol (la mitad), como es unas cien veces mayor, su luminosidad será mucho

mayor que la luminosidad solar. Ya que no ha comenzado el proceso 4H → He, su gran

luminosidad es debida enteramente a la energía gravitatoria que se libera.

La protoestrella no está en el equilibrio final. El balance entre

la gravedad y la presión de la radiación no es perfecto. La

estructura evoluciona en el diagrama H-R, desplazándose hacia

menor luminosidad, menor radio y temperatura ligeramente

mayor.

EVOLUCION

PROTOESTELAR

ETAPA 4: EVOLUCION PROTOESTELAR

La protoestrella alcanza un tamaño de 10 veces el tamaño solar, su temperatura superficial

se situa en unos 4000 K, y su luminosidad se reduce a 10 veces el valor solar. Ahora la

temperatura central es de unos cinco millones de K. Unos 107 años despues, la

protoestrella se convierte en una estrella real, con un radio próximo al radio solar, una

luminosidad similar a la solar y una masa de aproximadamente 1 Mʘ. La temperatura de

unos 107 K, permite la fusión de hidrógeno mediante las cadenas pp. La estrella que acaba

de nacer es ligeramente mayor que el Sol y algo más fria que nuestra estrella vecina.

ETAPA 5: EN LA SECUENCIA PRINCIPAL

En los siguientes 30 millones de años, la estrella se contrae un poco mas. Durante el ligero

reajuste final la densidad central crece hasta 1032 partículas/m3, la temperatura central

alcanza los 15 millones de K y la temperatura superficial crece hasta 6000 K. Al final, el

objeto se situa en el diagrama H-R justo donde esta el Sol. Los gradientes de presión

compensan la gravedad y la velocidad de producción de energía nuclear compensa las

pérdidas de radiación a través de la superficie estelar. Aunque el proceso completo de

formación estelar ha durado decenas de millones de años, es un periodo muy pequeño en

comparación a la vida de la estrella en la SP (∼ 7,9 × 109 años). Es decir, la formación de la estrella solo dura un 1% de su vida como “generadora” de helio, mediante el proceso 4H →

He.

El tiempo requerido para que un fragmento de nube interestelar acabe siendo una estrella de

la SP, depende fuertemente de su masa. Los fragmentos mas masivos se calientan hasta

Tign(H) y se convierten en estrellas de tipo O, en apenas 106 años. En el caso opuesto, una

estrella típica de tipo M, requiere casi 109 años para formarse. Se considera que una estrella

ha alcanzado la SP cuando comienza el quemado de H en su corazón y las propiedades físicas

tienen valores estables (tras el reajuste final). Es importante reseñar que la SP no es un

camino evolutivo, es decir, una estrella no evoluciona a lo largo de la SP. Mas bien se trata

de una “estación” en el camino estelar, en la cual la estrella permanece la mayor parte de su

vida. Si una estrella alcanza la SP como objeto de tipo G, no puede evolucionar hacia los

tipos B o M

ESTRELLAS DE OTRAS MASAS

En la figura de la izquierda podemos comparar las trayectorias

(en el diagrama H-R) de una estrella con 3 Mʘ, una estrella con

0,3 Mʘ y una estrella de masa solar. Todas las trayectorias tienen

un comportamiento similar con forma de S y un recorrido

rectilíneo en el cual hay una disminucion del radio, un aumento

de temperatura y una disminucion de luminosidad. Sin embargo,

las protoestrellas mas masivas que el Sol, se aproximan a la SP

mediante trayectos mas altos, mientras que los objetos pre-

estelares que forman estrellas menos masivas que el Sol, se

aproximan con trayectos mas bajos.

Si las nubes de gas protoestelar estuviesen formadas por los mismos elementos en las mismas

proporciones, la masa seria el único parámetro que determinaria la localización de la estrella

en el diagrama H-R, y la SP seria una curva bien definida en lugar de una banda ancha. La

composición química de la estrella afecta a su estructura interna (p.e., la opacidad depende de

la composición), y así afecta a la temperatura superficial y a su luminosidad. Estrellas con

mas elementos pesados tienden a ser mas frias y ligeramente menos luminosas que las de

igual masa pero conteniendo menos elementos pesados. Por consiguiente, las diferencias en

composición conducen a la banda ancha observada

“FRACASOS” ESTELARES

Algunos fragmentos son tan pequeños que nunca se convertirán en estrellas. Júpiter es

un buen ejemplo. Este planeta colapsó bajo la influencia de la gravedad, pero su masa no

fue suficiente como para alcanzar Tign(H). Antes de lograr dicha temperatura central, se

estabilizó mediante calor y rotación. En lugar de convertirse en estrellas, los fragmentos

con poca masa acaban siendo objetos compactos, fríos y oscuros. Mediante modelos

teóricos detallados, se piensa que la masa mínima de gas para alcanzar Tign(H) es de

aproximadamente 0.08 masas solares. Realmente, basándonos en observaciones actuales,

parece que hasta 1011 objetos fríos, oscuros y del tamaño de Júpiter pueden ocupar el

espacio interestelar. Seria un número comparable al número total de estrellas en la

Galaxia, pero irrelevante para explicar la masa oscura en la Vía Láctea. Algunos objetos

pequeños, en proceso de enfriamiento y emitiendo débilmente son conocidos como

enanas marrones.

EVOLUCION DE UNA PROTOESTRELLA (Sesión 23)

TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astronomy Today’ y ‘Astrophysics I: Stars’]

En el interior de la protoestrella recien formada, el transporte radiativo no será muy

importante, y el transporte de energia es fundamentalmente convectivo. Sin embargo,

en una protoestrella con baja densidad en la superficie, la convección es ineficiente en las

capas mas externas debido al gran gradiente de temperatura que se produce cuando ρ es pequeña. En este caso, tienen lugar importantes pérdidas radiativas en la superficie

protoestelar. Se puede mostrar que el flujo convectivo vale Fconv = (3γ/8) (γk/µmH)1/2 P

T1/2, donde γ es el índice adiabático (cte) o la razón de calores específicos a presión constante y a volumen constante. Suponiendo que el interior convectivo acaba en la

fotósfera efectiva (τ = 2/3), el flujo convectivo que abandona el interior protoestelar debe ser igual al flujo radiativo saliente (conservación de la energia): Frad = Fconv, siendo Frad =

σ Tef4. Se deduce así la expresión Pef = (8/3γ) (µmH/γk)1/2 σ Tef

3,5. Además, la opacidad en

la fotósfera se puede aproximar por <κ> = κ0 Pa Tb, donde a y b son constantes positivas (κ0 = 6,9 × 10-26, a = 0,7 y b = 5,3 para composición tipo población I). Considerando la ecuación dP/dτ = gρ/<k>, se concluye que en la fotósfera efectiva Pef = (2/3) (a + 1) (g/<κef>). Usando ambos resultados para Pef, podemos eliminar Pef y obtener Tef en

función de la masa y el radio: Tef = K (M/R2) 1 / [b + 3,5 (1 + a)]. Debemos destacar que tanto

la cte. de proporcionalidad K como el exponente dependen de la composición química.

La luminosidad protoestelar viene dada por L = 4π σ R2 Tef4.

Para protoestrellas de población I se tiene

Tef = 7,5 × 103 (M / Mʘ)0,089 (R / Rʘ

)-0,178 ,

L / Lʘ = 2,86 (M / Mʘ)0,356 (R / Rʘ

)1,288 .

Para las protoestrellas de población II se infieren leyes similares

Tef = 6,2 × 103 (M / Mʘ)0,066 (R / Rʘ

)-0,133 ,

L / Lʘ = 1,34 (M / Mʘ)0,267 (R / Rʘ

)1,466 .

Trayectoria de Hayashi en el diagrama H-R

En el diagrama H-R, la protoestrella evoluciona siguiendo la llamada trayectoria de

Hayashi. Por ejemplo, concentrándonos en un objeto de población I, las dos ecuaciones

anteriores conducen a

log (L / Lʘʘʘʘ) = log (M / Mʘʘʘʘ) – 7,24 log Tef (K) + 28,5 .

Si por el contrario fijámos nuestra atención en un objeto de población II,

log (L / Lʘʘʘʘ) = 0,99 log (M / Mʘʘʘʘ) – 11,02 log Tef (K) + 41,9 .

La trayectoria de Hayashi describe la evolución desde la ionización total y posterior

calentamiento hasta la ignición de H. La trayectoria rectilínea depende de la masa y

la composición química de la protoestrella colapsando.

TRAYECTORIA DE HAYASHI PARA 1 MASA SOLAR

L ≈ 1000 Lʘ y Tef ≈ 3000 K

L ≈ 10 Lʘ y Tef ≈ 4000 K

Considerando la TH para 1 Mʘ y población I,

se obtiene Tef ≈ 3300 K cuando L ≈ 103 Lʘ.

Cuando la protoestrella disminuye

fuertemente su luminosidad (≈ 10 Lʘ), la

temperatura efectiva crece hasta unos 6300 K,

que es algo mayor que la asociada a esa

luminosidad.

Considerando la TH para 1 Mʘ y población II, se obtiene Tef ≈ 3400 K cuando L ≈ 103 Lʘ.

Cuando L ≈ 10 Lʘ, la temperatura efectiva solo crece hasta unos 5100 K.

I

II

Para 3 Mʘ y población I, la TH predice Tef ≈ 2800 K cuando L ≈ 104 Lʘ. Cuando L ≈ 100 Lʘ, la temperatura efectiva crece

hasta unos 5300 K. Los resultados concuerdan con los de la

figura. Si la masa es pequeña (0,3 Mʘ), cuando L ≈ 10 Lʘ, la

temperatura efectiva vale unos 5300 K, que está algo desviada

del valor en la figura: ≈ 3000 K.

TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astronomy Today’ y ‘Astrophysics I: Stars’.

Problemas]

1.- Estimar la densidad promedio de una protoestrella en la época de ionización global,

suponiendo que tiene una masa solar, X = 0,7 e Y = 0,3.

2.- Considerar una protoestrella con 1 Mʘ, que tiene L ≈ 103 Lʘ y un radio de unos 102 Rʘ. El

objeto colapsa cuasiestaticamente hasta un radio de unos 10 Rʘ, adquiriendo una luminosidad

de aproximadamente 10 Lʘ. Tras el primer colapso, el objeto continua su contracción

cuasiestatica hasta un radio de ≈ 1 Rʘ, adquiriendo una luminosidad final de

aproximadamente 1 Lʘ. ¿Cúanto durará la primera contracción?, ¿y el segundo colapso?.

Discute si en la estimación de tiempos de evolución, es mas apropiado introducir como

luminosidad efectiva la inicial o la final.

3.- Usar la ec. EQH dP/dτ = gρ/<k> y la opacidad específica <κ> = κ0 Pa Tb, para demostrar que la presión en la fotósfera efectiva (situada a una profundidad óptica τ = 2/3) vale Pef =

(2/3) (a + 1) (g/<κef>). Considerar una atmósfera standard.4.- Deducir la constante de proporcionalidad (K) en la expresión Tef= K (M/R

2) 1 / [b + 3,5 (1 +

a)]. Mostrar que tomando R en radios solares y M en masas solares, K toma valores entre 6 ×103 y 8 × 103 K, dependiendo de la composición química (población I o población II). Usar γ

= 5/3.

5.- Considerar una protoestrella de 2 masas solares y población II. El objeto pasa por tres

etapas diferentes con luminosidades (a) L ≈ 103 Lʘ, (b) L ≈ 102 Lʘ y (c) L ≈ 10 Lʘ. Mediante

la trayectoria de Hayashi, obtener la temperatura efectiva y el radio en cada una de las tres

etapas protoestelares.

EVOLUCION POST-SP (Sesión 24)

A medida que una estrella en la SP envejece, su temperatura interna crece lentamente, y su

luminosidad y radio crecen. Estos cambios son muy lentos: un factor 3-4 en luminosidad

durante 1010 años!. Cuando el hidrógeno en el corazón se agota, la estructura interna y la

apariencia externa comienzan a cambiar rapidamente. La estrella abandona la SP y

evoluciona en el diagrama H-R. La evolución post-SP depende criticamente de la masa de

la estrella. Como una perspectiva global, las estrellas de poca masa mueren “apaciblemente”,

mientras que las estrellas de mucha masa mueren “catastroficamente”. La línea divisoria se

situa en unas 8 Mʘ (corazón de C). Comenzaremos viendo la evolución de una estrella de

poca masa como el Sol, cuando está cerca de concluir su quemado de H. Despues se discutirá

todo tipo de estrellas, incluyendo las masivas y las de poca masa.

EL CORAZON DE HELIO

Fijada la composición química original (a) de una estrella de tipo solar, cálculos teóricos

permiten determinar la composición interna al cabo de 5 × 109 años (b) y la composición interna tras 1010 años (c). El Sol se encuentra actualmente en la etapa (b). La cantidad de He

crece mas rapidamente en el centro, donde las temperaturas son mas altas y el quemado de

hidrógeno es mas rápido. El contenido de He también crece cerca en la región mas externa

del corazon estelar, pero mas lentamente (debido a que el ritmo de destrucción de H es

menos rápido). La región interna rica en He se agranda a medida que la estrella envejece.

Aproximadamente 1010 años despues de su llegada a la SP, desaparece practicamente todo

el H del centro y el proceso 4H → He concluye en dicha región.

En la etapa (c), el principal foco de combustión termonuclear

se situa en las capas mas altas del interior, mientras comienza

a desarrollarse un núcleo de He puro, sin combustión del

material. La presión del gas en el corazón se debilita, y los

cambios estructurales son inevitables. El corazón estelar

comienza a contraerse, y a mas escasez de hidrógeno, mas

acelerado es el proceso de implosión. Al principio, el

calentamiento por colapso no es suficiente para iniciar el

quemado de He, ya que este requiere una temperatura de 108

K. Por consiguiente, solo se logra aumentar el ritmo de

quemado de H.

La envoltura de hidrógeno produce energía a un ritmo mas

rápido que el corazón estelar original, y la producción de

energía en la capa continua creciendo a medida que el

núcleo de He continua colapsando. Contrariamente a lo

que de forma “ingenua” podriamos esperar, tras el apagado

de la combustión central, la estrella se hace mas brillante

que en epocas anteriores.

Aparece un núcleo de He

caliente pero no activo (sin

actividad termonuclear),

rodeado por una envoltura de

hidrógeno hiperactiva.

GIGANTE ROJA

La presión del gas producida por el alto ritmo en el quemado de hidrógeno, causa una

expansión de las capas mas externas no activas. La gravedad no puede frenar dicha

expansión, debida a una “sobrepresión”. Mientras que el corazón está colapsando y

calentándose, las capas externas inactivas se expanden y enfrian. La estrella se convertirá en

una gigante roja.

La luminosidad es mil veces la luminosidad solar, el radio es

de cien veces el radio solar, y la superficie es más fría que en la

SP. En el diagrama H-R es como una vuelta al pasado, a los

comienzos como protoestrella. Sin embargo, las propiedades

centrales (no reveladas en el diagrama) son muy diferentes.

Existe un corazón de He tremendamente compacto, conteniendo

aproximadamente el 25% de la masa total y abarcando una

milésima del tamaño total de la estrella (unas cuantas veces

mayor que la Tierra). La densidad central es enorme.

FUSION DE HELIO: si continua el estado de contracción interna/expansión externa y la

estrella no se estabiliza, el corazón seguirá colapsando mientras el resto de la estrella se

pierde en el espacio interestelar. Para estrellas de muy poca masa ocurrirá justamente eso. Por

el contrario, para una estrella de tipo solar, transcurridos unos 108 años tras el abandono de la

SP, comienza la fusión del He y se reinicia la actividad central.

La reacción que transforma He en C ocurre en dos pasos. Primero, se fusionan dos núcleos de

He para formar un núcleo de Be8. El Be8 es un isótopo muy inestable, que normalmente se

rompería en dos núcleos de He en unos 10 segundos. Sin embargo, teniendo en cuenta la alta

densidad en el corazón de una gigante roja, es posible que el núcleo de berilio encuentre otro

núcleo de He antes de su destrucción. Entonces, se pueden fusionar ambas partículas, dando

lugar a la aparición de C12. Este es el segundo paso en el quemado de He. La temperatura

debe ser alta (108 K), debido en parte a la importante repulsión electrostática entre los 4

protones en el Be y los dos protones en el He. El proceso completo se denomina proceso

triple alfa.

EL FLASH DE HELIO

Para estrellas con masa solar, aparece una complicación adicional. Dadas la alta densidad

en el corazón estelar, el gas ha entrado en un nuevo estado de la materia, cuyas

propiedades son gobernadas por leyes mecánico-cuánticas. La estrella contiene una gran

cantidad de electrones que juegan un papel importante en la evolución estelar. Como ya

sabemos, el principio de exclusión de Pauli prohibe que dos electrones tengan los

mismos números cuánticos, o si se prefiere, que sean indistinguibles. Desde un punto de

vista “espacial”, el principio de exclusión viene a decir que dos electrones no pueden

ocupar la misma posición y solaparse. Aparece así la presión de degeneración que evita

el solapamiento electrónico. Esta presión no tiene nada que ver con la presión térmica

(debida al calor de la estrella) que hemos discutido hasta ahora. El corazón de una gigante

roja de 1 Mʘ, es soportado por una presión electrónica que es independiente de la

temperatura.

Cuando comienza el quemado de He y crece la temperatura, no aparece el “correspondiente”

aumento en presión. El corazón sigue colapsando, el ritmo de las reacciones aumenta y la

temperatura crece rapidamente. A esta fase se la denomina flash de He. Durante algunas

horas, el helio se quema de forma violenta, hasta que finalmente el corazón adquiere una

temperatura adecuada: la presión térmica domina de nuevo. El interior estelar se expande, su

densidad cae y se alcanza el equilibrio entre la gravedad actuando hacia el centro y la fuerza

de la presión del gas actuando hacia el exterior. El corazón estable transforma He en C a

temperaturas por encima de 108 K.

El flash de He no aumenta la luminosidad de la estrella. Al

contrario, la energía liberada sirve para expandir y enfriar el

corazón, y finalmente, conduce a una reducción en la

energía emergente y el radio estelar. La temperatura

superficial crece. El reajuste dura unos 105 años, y la estrella

se sitúa en la rama horizontal del diagrama H-R. El objeto

está quemando He en el corazón y quemando H en la

envoltura que le rodea. Su posición en la rama horizontal

depende de su masa final (tras el ascenso por la rama

gigante roja), que será diferente de la masa original. La

diferencia de masas es causada por vientos, los cuales hacen

que aproximadamente el 20-30% de la masa original se

escape. Las estrellas mas masivas se sitúan a la derecha y las

menos masivas a la izquierda.

EL CORAZON DE CARBONO

Tras la ignición del He, el carbono se acumula en la región central, acompañado por capas

concéntricas de helio e hidrógeno. Después de cierto tiempo, la estrella contiene un núcleo

colapsando de C (se interrumpen las reacciones termonucleares), que está rodeado por una

capa hiperactiva quemando He, la cual está a su vez rodeada por otra capa hiperactiva

quemando H. La envoltura externa de la estrella (no activa) se expande y se produce una

segunda ascensión en el diagrama H-R.

La estrella se hace una supergigante roja. Los ritmos de

quemado en las capas alrededor del corazón de C son mas

violentos que en la etapa similar anterior (gigante roja), y

el radio y luminosidad de la estrella crecen hasta alcanzar

valores mayores que los alcanzados en el primer ascenso.

El corazón de carbono aumenta su masa a medida que este

se produce en la capa quemando He, y continua

colapsando y elevando la temperatura de las capas activas,

lo que conduce a la expansión acelerada de la envoltura no

activa. Si la temperatura central alcanzase el valor

necesario para comenzar la reacción C + C, la nueva

producción de energía pudiera devolver el equilibrio entre

gravedad y calor. Sin embargo, para 1 Mʘ jamás se

consigue la temperatura requerida de 6 × 108 K.

Antes de que el corazón pueda alcanzar la temperatura de ignición del C, aparece de nuevo la

presión de degeneración de los electrones, que esta vez frena el colapso y el aumento de

temperatura. La densidad del corazón es altísima, y la temperatura central vale unos 3 × 108

K. El radio estelar puede ser de unos 300 radios solares.

El quemado en las capas activas se hace inestable, y las

inestabilidades producen grandes fluctuaciones en la intensidad

de la radiación que llega a las capas mas externas, causando

pulsaciones violentas. Independientemente de estas

inestabilidades de origen “interno”, las capas superficiales

también se hacen inestables. La inestabilidad de origen

“externo” es causada por el enfriamiento, que conduce a la

recombinación entre núcleos y electrones, que generará

radiación adicional, la cual tiende a separar la envoltura externa

del corazón. Finalmente, la envoltura estelar es arrojada al

espacio interestelar (nebulosa planetaria). La nebulosa

planetaria se expande y se hace cada vez mas difusa y fria. Ella

enriquece el espacio interestelar con He, C y O depositados por

convección desde las profundidades del corazón hasta la

envoltura, durante la etapa final. El corazón residual es muy

compacto (tamaño de la Tierra) y tiene una masa de unas 0,5

Mʘ. Cuando se hace visible tiene una superficie “blanca”, de

forma que la estrella se llama enana blanca.

.

EVOLUCION DE ESTRELLAS MAS MASIVAS QUE EL SOL

Las estrellas abandonan la secuencia principal por un motivo común (independiente de su

masa): han agotado el hidrógeno en sus núcleos. Sin embargo, todos los cambios evolutivos

son mucho mas rápidos para estrellas masivas, debido a que su mayor masa y gravedad son

capaces de generar mas calor.

En la figura vemos la evolución post-SP de tres estrellas

con masas diferentes: 1, 4 y 15 Mʘ. Mientras que la estrella

de tipo solar asciende a gigante roja de forma casi vertical,

la estrella mas masiva se mueve casi horizontalmente. En

su desplazamiento, la luminosidad apenas sufre variación,

mientras que el radio crece y la temperatura superficial

disminuye. En estrellas con masa superior a 2,5 Mʘ, el

quemado de He comienza de forma suave y estable, no de

forma explosiva. Es decir, no hay un flash de He. Calculos

detallados indican que cuanto mas masiva es una estrella,

menor es su densidad interior al alcanzar la temperatura de

ignición del He (108 K). De este modo, a menores

densidades tendremos que los electrones degenerados

contribuiran menos a la presión. En la estrella de 4 Mʘ no

aparece un salto hacia el brazo horizontal

La estrella de 4 masas solares se desplazará suavemente hacia atrás (primero) y hacia delante

(después), siempre en paralelo al eje de temperaturas. Sin embargo, la separación de

regímenes mas importante ocurre a unas 8 masas solares (tiempo de formación del corazón

de C). Las estrellas con masa menor que dicha “masa crítica”, no pueden alcanzar los 6 × 108

K necesarios para lograr la ignición del carbono, y acaban su vida como enanas blancas de

carbono-oxígeno. Por el contrario, las estrellas con mas de 8 masas solares pueden fusionar

H, He, C y O, a medida que su corazón continua colapsando y calentándose. La evolución es

tan rápida, que en el caso de la estrella con 15 masas solares, no se alcanza la región de

gigante roja antes de la etapa de fusión de He. Llegará a la región de gigante roja en el

proceso de fusión de O. La estrella morirá poco después, tras una explosión de supernova.

Un ejemplo de supergigante azul post-SP es la estrella Rigel en la constelación de

Orion. Tiene un radio de unos 70 radios solares y una luminosidad de unas 50000

luminosidades solares. Se piensa que tuvo una masa original (SP) de unas 17 Mʘ, aunque

probablemente ha perdido y perderá una fracción significatica de su masa como

consecuencia de un fuerte viento estelar. Está próxima a la SP, pero probablemente

generando C mediante el proceso 3α. En el otro extremo de temperaturas superficiales se encuentra Betelgeuse (también en la constelación de Orión). Es un ejemplo de

supergigante roja post-SP. Su luminosidad es de 104 veces la solar, y se cree que

Betelgeuse está actualmente transformando He en C y O en su corazón. Su masa original

fue entre 12 y 17 masas solares, pero su destino es incierto. Al igual que Rigel y otras

estrellas supergigantes y superluminosas, probablemente tiene un fuerte viento estelar que

la está despojando de parte de su masa. También se trata de un objeto pulsante.

TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astronomy Today’]

DESVIACIONES DE LA EVOLUCION CUASI-ESTATICA (Sesión 25)

Una forma de comprobar si un sistema es estable o no, consiste en someterle a

pequeñas perturbaciones y analizar la evolución temporal (crecimiento) de las mismas.

Las perturbaciones pueden conducir a un nuevo estado de equilibrio dinámico, con cierto

tipo de oscilaciones que se mantienen durante grandes periodos de tiempo. Sistemas de

este tipo son las estrellas cefeidas y las RR Lyrae. A veces, el sistema es estable frente a

pequeñas perturbaciones, pero se hace inestable si estas alcanzan cierta amplitud.

Tendremos entonces un sistema metaestable.

En la S7 hemos discutido la estabilidad de sistemas esfericamente simétricos que son

sometidos a perturbaciones lineales. El análisis se basó en la ecuación de conservación del

momento (equivalente a la segunda ley de Newton): ρ(dv/dt) = ρg - ∇∇∇∇P, y en una ecuación de estado de tipo polítropo P ∝ ργ. La principal conclusión fue que un elemento de fluido en un

radio inicial R adquiere una aceleración no nula, y

d2(δR)/dt2 = - ω2 δR,

donde R(t) = R + δR(t) y ω2 ≈ (3γ – 4) (GM/R3). Vemos que las estrellas con γγγγ > 4/3 (ω real)

pueden desarrollar oscilaciones estables. Una posible solución es δR = A sen (ωt). Sin embargo, cuando γγγγ < 4/3, la estrella es inestable. Para índices politrópicos pequeños, la

“frecuencia” ω es imaginaria y la solución representa un desequilibrio creciente δR = A eiωt.

En el caso de una oscilación estable (γ > 4/3), su periodo vale

P = 2ππππ/ωωωω = [ππππ/(γγγγ – 4/3)]1/2 G −−−− 1 / 2 <ρρρρ> −−−− 1 / 2 ,

con <ρ> = 3M/4πR3 (M es la masa encerrada en el radio R).

CEFEIDAS Y RR LYRAE

Para estrellas pulsantes podemos justificar una relación periodo-luminosidad. Como P es

proporcional a (R3/M)1/2 y se tiene la relación superficial L = 4π σ R2 Tef4, se puede

concluir que

log P = - (1/2) log M + (3/4) log L – 3 log Tef + C,

siendo C una constante. Re-expresando la ecuación anterior en unidades solares, log P = -

(1/2) log (M/Mʘ) – 3 log (Tef/Tef,ʘ) – 0,3 (Mbol – Mbol,ʘ) + log Q (Q es una nueva

constante). Para estrellas brillantes de la SP, la relación masa-luminosidad se ajusta bien a

la ley Mbol = 3,96 – 8,22 log (M/Mʘ). Esta ley se puede modificar para aplicarla a cefeidas.

Suponiendo que el trayecto evolutivo de las cefeidas en el diagrama H-R es similar al de

otras estrellas no variables en la región de las gigantes, para una misma masa, una cefeida

seria una magnitud mas brillante que la correspondiente estrella en la SP. Entonces, la ley

apropiada para cefeidas seria Mbol ≈ 2,96 – 8,22 log (M/Mʘ). Argumentos similares

(partiendo de relaciones en la SP que se “trasladan” a cefeidas) conducen a Mbol = MV +

0,145 – 0,322 (B – V) y log Tef = 3,886 – 0,175 (B – V). Cuando se usan estas relaciones

“extrapoladas” junto con Tef,ʘ = 5754 K, podemos reescribir el periodo como

log P + 0,239 MV = 0,602 (B – V) – 0,456.

En la ecuación anterior, se ha eliminado la constante log Q (= -1,294), ajustando los

resultados para cefeidas con magnitud e índice de color conocido. Ajustando periodos

observados y magnitudes medidas, se obtiene una ley “promediada en color”

log P + 0,394 MV = – 0,657.

El análisis muestra que el periodo depende de la luminosidad (magnitud) y debilmente

del índice de color B -V.

Las propiedades mas dramáticas de las variables regulares son similares a las de δ Cephei. El brillo varia regularmente (no sinusoidalmente), con un periodo de 5,37 dias.

Con relación a los valores medios, la magnitud varia en un 10%, la temperatura en un

18% y el radio en un 7%. Las variables cefeidas muestran tipicamente un

crecimiento rápido en luminosidad, seguido por una caida mas suave. Los

máximos en brillo y temperatura coinciden temporalmente, pero están ligeramente

desfasados con relación al radio mínimo. Así, δ Cephei alcanza el máximo brillo poco después del radio mínimo, durante su fase de expansión. Las curvas de luz de las RR

Lyrae contienen un máximo secundario, y tienen periodos más cortos que las

cefeidas clásicas.

R↓ Tef↑

L ∝ R2 Tef4↑

R↑ Tef↓L ∝ R2 Tef

4↓

TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’. Problemas]

1.- Dibujar la relación periodo-densidad para una densidad promedio entre 10-8 gr cm-3

(supergigante) y 1015 gr cm-3 (estrella de neutrones). Ubicar las regiones de supergigante,

gigante, secuencia principal, enana blanca y estrella de neutrones. Deducir y dibujar la ley

periodo-radio para los diferentes tipos de estrellas, suponiendo que su masa vale 1 Mʘ. Usar

la aproximación [π/(γ – 4/3)]1/2 ≈ 1.2.- La masa y el radio medio de una cefeida típica son log (M/ Mʘ) = 0,8 y log (R/ Rʘ) = 1,4.

Encontrar el periodo y la velocidad superficial de la estrella. Suponer que el radio tiene una

variación máxima de un 7% con relación al radio medio.

3.- La razón de máximo a mínimo radio es de k = 1,14 para δ Cephei, y la amplitud de la velocidad de pulsación radial es 19 km s-1. Suponer que v(t) = v0sen (2π t/P) y encontrar el

radio promedio de la estrella. Sugerir un camino para medir k.

ENANAS BLANCAS (Sesión 26)

La dinámica de la mayoría de las estrellas se puede describir adecuadamente mediante la

física Newtoniana (p.e., las estrellas de la SP o estrellas “normales”), sin tener en cuenta

correcciones debidas a la existencia de un campo gravitatorio fuerte. Sin embargo, en las

últimas fases de la evolución estelar, se forman objetos muy compactos que pueden

requerir la incorporación de una nueva física. Las enanas blancas representan la

frontera entre las estrellas Newtonianas y los objetos ultracompactos no

Newtonianos.

Para una estrella Newtoniana, la energia térmica (interna) y la energia gravitatoria valen

U = ∫[0,R] 4πr2 e(r) dr y Ω = - ∫[0,R] 4πr2 [G m(r) / r] ρ(r) dr ,

donde e(r) es la densidad de energia interna.

En primer lugar, vamos a estudiar la estabilidad (inestabilidad) de la estrella con

respecto a una implosión uniforme, sin tener en cuenta efectos de “profundidad”.

Suponemos que el gas está caracterizado por una ecuación de estado de tipo politrópico P =

K ργ, y que tiene una configuración con densidad constante ρ(r) = ρ. Evidentemente esta configuración no es solución de la ecuación de EQH para un polítropo, sin embargo,

cálculos a posteriori confirman que las predicciones (sobre estabilidad) basadas en esta

aproximación son buenas.

La aplicación conjunta de los dos primeros principios de la termodinámica, conduce a T ds

= d(e/n) + P d(1/n), siendo s la entropía por nucleón, 1/n el volumen por nucleón y e/n la

energía interna por nucleón. Cuando ya no se producen reacciones de fusión termonuclear y

se ha enfriado completamente la estrella, podemos considerar que la temperatura es próxima

al cero absoluto, y consecuentemente, d(e/ρ) = - P d(1/ρ), ρ = n mn. Es fácil comprobar que

e = P / (γ – 1) es solución de le ecuación termodinámica.

Ahora debemos encontrar una expresión adecuada para la energía total de la estrella E = U

+ Ω. Partimos de

U = (4π/3) (γ – 1)-1 Kργ R3 , Ω = - (16π2/15) Gρ2 R5 , N = (4π/3mn) ρ R3 ,

donde N es el número total de nucleones, que será constante en la implosión.

Con los resultados anteriores para U, Ω y N, se llega a E = a ργ-1 – b ρ1/3, con a = mnNK/(γ -1) y b = (3/5) (4π/3)1/3 G (mnN)

5/3. Es claro que a y b son constantes en una implosión, y

unicamente variará ρ (se ha eliminado la dependencia radial). Con la ley E = E(ρ), calculamos la primera y segunda derivada: dE/dρ y d2E/dρ2. Se obtiene

d2E/dρ2 = - (2/3) ρ-1 (dE/dρ) + (γ – 4/3) a ργ - 3 (γ – 1) .

Como hay un equilibrio estable cuando se tiene un mínimo para la energía: dE/dρ = 0 →d2E/dρ2 = mnNK (γ – 4/3) ργ – 3 > 0 → γ > 4/3. Encontramos que existe una configuración de equilibrio estable para γ γ γ γ > 4/3, mientras que γγγγ < 4/3 conduce a una configuración de equilibrio inestable. Para el valor crítico γ = 4/3 se tiene un punto de inflexión. En la

configuración crítica (γ = 4/3) se verifica que E = 0 (U = - Ω), y se infiere una masa crítica (separando los dos tipos de configuración) Mcrit = (4ππππ/3)-1/2 (5K/G)3/2.

El siguiente paso consiste en analizar la ecuación de estado en una enana blanca.

Consideramos una estrella fria y muy densa cuyo colapso es evitado por la presión del gas de

electrones. Dicho gas es un gas cuántico descrito por la estadística de Fermi-Dirac. Los

electrones ocupan los niveles de energia mas bajos, desde una energia cero hasta la energia de

Fermi. Equivalentemente, tendrán momentos entre 0 y un valor máximo kF (momento de Fermi).

Es decir, n(k)dk ≈ g(k)dk para k < kF, y n(k)dk ≈ 0 para k > kF. Aquí, g(k)dk representa el número de electrones por unidad de volumen con momento entre k y k + dk, cuando k < kF. Para

estimar g(k)dk, partimos del principio de incertidumbre para un electrón d3k V = h3, donde V es

el volumen de la estrella (incertidumbre espacial) y d3k es la incertidumbre dinámica (espacio de

momentos). Tras esto, analizamos el espacio de momentos para los electrones con “spin” ± 1/2.

Existirán dos electrones en cada nivel de energía o momento (dos estados de “spin”: ± 1/2), o de forma inversa, cada tipo de electrón tiene una distribución de momentos similar. Si nos

fijamos en un tipo concreto (p.e., + 1/2), podemos tomar una corona esférica en el espacio

dinámico (definida por k y k + dk) y evaluar su volumen. El volumen dinámico será 4πk2dk. Dividiendo por h3:

4πk2dk / h3 = (4πk2dk / d3k) V-1 .

Este resultado representa el número de electrones “+ 1/2” por unidad de volumen con

momento entre k y k + dk. Teniendo en cuenta ambos estados de “spin”, g(k)dk = (8πk2 / h3) dk = [8πk2 / (2π h)3] dk, h = h/2π.

Una vez obtenida la distribución de momentos, estamos en condiciones de estimar la

concentración de electrones, así como la densidad estelar. Estas serán, ne = ∫ n(k)dk = kF3 /

3π2h3 y ρ = nemnµ = kF3 (mnµ / 3π2h3). Hemos llamado µ al número de nucleones por

electrón, que para estrellas que han consumido su hidrógeno vale µ ≈ 2. Despejando el momento de Fermi, kF = h (3π2ρ / mnµ)1/3. En general, la ecuación de estado no es sencilla, y se obtiene llevando kF = kF(ρ) a la expresión para la presión electrónica P = Pe = [8π /

3(2π h)3] ∫ [k4 / (k2 + me2c2)1/2] dk. La integral de la presión está definida entre 0 y kF(ρ), de

forma que P = P(ρ). La ecuación de estado se reduce a un polítropo en dos casos extremos: (a) ρρρρ << ρρρρc o (b) ρ ρ ρ ρ >> ρρρρc, donde ρρρρc es la densidad crítica a la cual kF = mec.

Es decir, ρc = mnµ me3c3 / 3π2h3 = 0,97 × 106 µ gr cm-3.

(a) NR (kF << mec, EF << mec2): P = 8πkF5 / [15mec (2π h)3] = (h2/15π2 mec) (3π2ρρρρ / mnµ)5/3

En el caso de electrones no relativistas (NR), tenemos un polítropo con γ = 5/3 y K = (h2/15π2 mec) (3π2/ mnµ)5/3

(b) RE (kF>> mec, EF >> mec2): P = 2πkF4 / [3 (2π h)3] = (h /12π2) (3π2ρρρρ / mnµ)4/3

En el caso de electrones relativistas (RE), tenemos un polítropo con γ = 4/3 y K = (h/12π2) (3π2/ mnµ)4/3

Como ya vimos, las configuraciones de equilibrio estable son aquellas con γ > 4/3. Por consiguiente, las enanas blancas menos densas (masivas) serán estables. El límite de

estabilidad viene dado por la masa crítica (asociada a las configuraciones críticas

relativistas) Mcrit = 7 µ-2Mʘ. Tomando µ ≈ 2, deducimos Mcrit ≈ 1,7 Mʘ. El límite de masa

fué propuesto en trabajos pioneros de Chandrasekhar, y se suele denominar masa de

Chandrasekhar.

La masa de Chandrasekhar anterior (≈ 1,7 Mʘ) se ha obtenido de forma “grosera”, usando

configuraciones con densidad constante. Cuando se consideran modelos estelares

politrópicos realistas, se deduce una masa algo inferior Mcrit = 5,8 µ-2Mʘ. Tomando µ ≈ 2: Mcrit ≈ 1,44 Mʘ. Si se tienen en cuenta las interacciones electromagnéticas entre electrones e

iones en un medio con alta densidad, la presión P(ρ) será ligeramente inferior que la de un gas ideal de la misma densidad. Al reducirse la presión, también se reduce la masa máxima

permitida. La nueva masa de Chandrasekhar (incluyendo interacción Coulombiana ión-ión,

electrón-electrón e ión-electrón) es 1,2 Mʘʘʘʘ. Algunas masas medidas (enanas blancas en

sistemas binarios) son: 40 Eri B (M ≈ 0,45 Mʘ), Sirius B (M ≈ 1,05 Mʘ) y Procyon B (M ≈0,65 Mʘ).

Modelos realistan conducen a una relación M ∝ R-3, y considerando la ley superficial L ∝R2Tef

4, podemos eliminar el radio e inferir las trayectorias evolutivas en el diagrama H-R

(enfriamiento superficial): log (L/Lʘ) = 4 log (Tef/Tef,ʘ) – (2/3) log (M/Mʘ) + C. Una enana

blanca sigue un trayecto con M y R fijos, apagándose a medida que se enfria (L↓, Tef↓).

El enfriamiento de las enanas blancas

(transición de enana blanca a enana negra)

ocurre durante un intervalo de tiempo

suficientemente largo (~ 1010 años ~ edad del

universo) como para ser facilmente observadas

en el diagrama H-R. Las enanas blancas de una

cierta masa (p.e., alrrededor de 1 Mʘ), tienen un

radio definido (aprox. 104 km) y ocuparán una

cierta línea en el diagrama H-R. Estarán debajo

y a la izquierda de la SP. En la figura puede

verse la buena concordancia entre teoria y

observaciones. No aparecen estrellas con M >

1,25 Mʘ.

TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y ‘Black Holes, White Dwarfs,

and Neutron Stars’. Problemas]

1.- Suponer que el gas de electrones presente en una estrella sigue una estadística de

Maxwell-Boltzmann. Usando la diferencia de momentos típica (∆k ≈ ∆krms) y la separación típica entre electrones (∆q), obtener el volumen fásico (∆k ∆q)3 ocupado por un electrón.

Para M = 1 Mʘ y R = 3 × 10-2 Rʘ, comparar (∆k ∆q)3 con h3. ¿Cúal es la conclusión?. Usar el teorema del Virial con |Ω| ≈ GM2/R.

2.- Considerar que la energía térmica acumulada en una enana blanca es del orden de la

energía gravitatoria: |Ω| ≈ GM2/R. Si dicha energia se radiase con una luminosidad de 10-1

Lʘ, estimar el tiempo típico de apagado para una enana blanca de 1 Mʘ y 104 km.

SUPERNOVAS (Sesión 27)

Una estrella suficientemente masiva puede quemar el H, el He, el C, el O e incluso

elementos mas pesados, mientras su núcleo continua contrayéndose y su temperatura

central continua creciendo. Cuando el corazón estelar se transforma en Fe, la estrella

llega a una encrucijada, ya que el Fe es la especie nuclear mas estable.

El hierro juega el papel de un “extintor” en el corazón

estelar. No se libera energía ni mediante un proceso de fisión,

ni de fusión. La liberación de energia por fusión cesa y el

colapso de acelera de forma violenta. A T ≈ 1010 K, los fotones tienen suficiente energia como para romper el Fe en

nucleos mas ligeros y romper los nucleos ligeros en

nucleones. La fotodesintegración dura ~ 1 seg (!!!).

La fotodesintegración absorbe parte de la energía térmica del corazón estelar, de forma que el

corazón se enfría y se reduce la presión. A medida que las especies nucleares son destruidas,

el interior estelar se hace mas incapaz de contrarrestar su propia gravedad, y el colapso se

acelera aún mas. Solo existen partículas elementales (electrones, protones, neutrones y

fotones) a una densidad enormemente alta. En cierto momento se produce la neutronización:

p + e → n + neutrino. Los neutrinos atraviesan el corazón y se pierden, quedando un interior

formado por neutrones y radiación.

Posteriormente, se alcanza tal densidad que los neutrones entran en contacto unos con

otros. La presión de degeneración de los neutrones frenará el ritmo del colapso, y producirá

un “rebote” hasta alcanzar una configuración estable. Una onda de choque energética se

propaga a través de la estrella a alta velocidad, lanzando todo el material de las capas mas

externas al espacio interestelar. La estrella explota produciendo uno de los fenómenos mas

energéticos y espectaculares del universo. Durante algunos dias, el brillo de la explosión

rivaliza con el brillo de la galaxia completa en la cual tiene lugar el evento. Se llega así a una

explosión de supernova.

La explosión de la supernova 1987A (SN

1987A) fue un evento dramático, como puede

apreciarse en la figura con el antes y durante.

Las supernovas pueden ser de dos tipos, dependiendo de la naturaleza de la explosión y de la

evolución del brillo asociado al remanente de supernova. En ambos casos se puede alcanzar

un máximo de luminosidad de unas 1010 Lʘ, pero la caida de la luminosidad tras el pico

inicial es diferente en supernovas de tipo I y en supernovas de tipo II. Las SN de tipo I son

pobres en hidrógeno y presentan una caida de luminosidad continua, mientras que las SN

de tipo II son ricas en hidrógeno (información espectral) y usualmente tienen un

“plateau” en la curva de luz (unos meses después del máximo). En las figuras vemos las

diferencias en las curvas de luz y las diferencias en el orígen de la explosión. En el tipo I, se

produce la explosión de una enana blanca de carbono en presencia de una compañera gigante

(sistema binario). Es la explosión de un objeto carente de hidrógeno, y la curva de luz está

relacionada con el decaimiento radiactivo de los elementos pesados inestables generados en

la explosión. El tipo II está relacionado con un corazón de neutrones que ha expulsado su

envoltura rica en H y He (estrellas masivas aisladas).

Los espectros de supernovas contienen una información muy rica. Exhiben un

comportamiento de tipo cuerpo negro, y tienen superpuestas líneas de absorción y/o emisión.

Las líneas presentes y sus perfiles pueden variar con el tiempo o persistir durante la

expansión del remanente.

Si nos concentramos en una supernova de tipo II, en cierto instante tras la explosión, el espectro

se originará en el remanente de SN (que fue la envoltura de una vieja estrella), a una temperatura

TSNR y en expansión (VSNR). El flujo de energía emitido hacia el exterior es Fν = π Bν(TSNR).

VSNR

TSNR

OBSERVADOR

También podemos determinar el radio angular del remanente θθθθ = [lν ν ν ν /ππππ Bνννν(TSNR)]1/2=

RSNR/D, donde D es la distancia diámetro angular (desde el observador). Por otro lado, el

desplazamiento Doppler de las lineas espectrales conduce a lamedida de VSNR. Si la

evolución temporal del radio viene dada por RSNR(t) = VSNRt + RSNR(0) (t = 0 representa el

instante de la explosión), haciendo observaciones en dos tiempos t1 y t2: D = VSNR(t2 –

t1)/(θθθθ2 – θθθθ1) y RSNR = θ θ θ θ D.

RSNR Un análisis del

continuo y de las líneas

conduce a la

estimación de TSNR.

TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y ‘Astronomy Today’.

Problemas]

1.- En la figura se puede observar la curva de luz de una

supernova de tipo II (un tanto peculiar con respecto a la

curva genérica): corresponde a SN 1987A. La detonación

fue registrada en Febrero (1987), y el máximo de

luminosidad se produjo en Mayo, unos 90 dias después.

Tras la explosión, el remanente se expandió y se enfrió

rapidamente (~ 1 semana), hasta alcanzar una temperatura

superficial de 5000 K. Después se produjo un aumento de

luminosidad, y tras el pico de brillo, una caida continua de

la potencia emitida. Explica el origen del aumento en

luminosidad y la caida posterior.

2.- En la figura se puede ver la curva de luz de una SN de tipo I,

con un claro declive a partir del pico de luz. Si la caida de la

luminosidad es debida a la desintegración del Ni56 producido en

la detonación: Ni56 → Co56 → Fe56(estable), teniendo en cuenta la

masa inicial de Ni56 (M0), las energias emitidas por un Ni56

[ε(Ni56)] y un Co56 [ε(Co56)] , y las vidas medias τ(Ni56) yτ(Co56), construye la curva teórica L = L(t). Con datos de tablas y M0 = 0,6 Mʘ, dibuja L(t) y compárala con las observaciones.

ESTRELLAS DE NEUTRONES (Sesión 28)

Tras la explosión de una SN de tipo II, hemos visto que el remanente gaseoso finalmente se

expande, se enfría y se apaga. En el centro, sobrevive un remanente compacto de neutrones.

Aunque estrictamente no es una estrella (todas las reacciones nucleares han cesado), el objeto

se denomina estrella de neutrones. Se trata de una estructura extremadamente pequeña

(radio de unos 10 km), con masa estelar (≈ 1-2 Mʘ) y una densidad de tipo nuclear (≈ 1015 gr cm-3). El colapso gravitatorio es evitado por la presión de los netrones, aunque deben tenerse

en cuenta los efectos de las interacciones fuertes (fuerzas nucleares). Por otro lado, debido a

las altas densidades, la teoria Newtoniana debe sustituirse por la teoria de Einstein para

campos gravitatorios fuertes.

La estrella de neutrones no se apagará y acabará siendo un objeto negro de igual forma

que una enana blanca, es decir, debido al enfriamiento de una superficie inicialmente

caliente. Dos fenómenos modifican la perspectiva de una muerte apacible: primero, las

estrellas de neutrones tienen una altísima velocidad de rotación (consecuencia directa de

la conservación del momento angular), y segundo, tienen un campo magnético muy

fuerte (conservación del flujo magnético). La estrella es un radiador potente en

radiofrecuencias, y recibe el nombre de pulsar. A medida que transcurre el tiempo y radia

su energía al espacio interestelar, su velocidad de rotación y su campo magnético irán

disminuyendo (ver problema 2 en S7). El primer radiopulsar fue descubierto en 1967 por

Jocelyn Bell y Anthony Hewish, y actualmente se han detectado muchos radiopulsares

con periodos entre aproximadamente 1 ms y algunos segundos.

Razones para asociar un pulsar con una estrella de neutrones rotando

Hipótesis de una enana blanca.- Existen tres posibilidades para explicar la señal periódica observada: rotación, pulsación o sistema binario. Con respecto a la rotación, el minimo

periodo de una enana blanca rotando corresponderá a una rotación extrema, es decir, con la

velocidad de rotación crítica Vc = (GM/R)1/2 → ωc = (GM/R

3)1/2 → Pc = 2π/ωc =

2π(R3/GM)1/2 ≈ π/(G <ρ>)1/2. Tomando una densidad media máxima de 108 gr cm-3, entonces

Prot ≥ 1 seg, lo que descarta la hipótesis de una enana blanca rotando. Para una enana blanca pulsando, se tiene Ppul ≈ G −1/2 <ρ>−1/2 ≥ 1 seg. Finalmente, las enanas blancas binarias deben satisfacer la relación (Kepler) Porb = 2π[r3/G(M1 + M2)]

1/2, donde r es la distancia media entre

las estrellas. Como [r3/(M1 + M2)]1/2 ≥ (R3/M)1/2, Porb ≥ 1 seg.

Un objeto más compacto…

Una estrella de neutrones pulsando tiene una densidad media de 1014-1015 gr cm-3. Como Ppulvaria con <ρ> -1/2, tenemos que Ppul ≤ 1 mseg. Es decir, periodos excesivamente cortos. Mediante una elección adecuada de los radios orbitales r, se pueden conseguir estrellas de

neutrones binarias con periodos orbitales en el rango adecuado: 1mseg - algunos seg. Sin

embargo, se observa que el periodo de los pulsares crece con el tiempo, con P/(dP/dt) ≈ 107

años. En un escenario binario, este resultado no parece tener sentido. Si el sistema se forma

con una cierta separación y periodo iniciales, las pérdidas de energia conducirán a una

disminución de la separación y del periodo orbital. El único escenario sensato, parece ser una

estrella de neutrones rotando.

Medida de la dispersión

La medida de la dispersión sirve para determinar la distancia a un pulsar. Se define como

DM = ∫[0,R] ne dr = <ne> R ,

donde R es la distancia al pulsar, ne es la densidad número electrónica y r es la longitud del

trayecto a lo largo de la línea de visión. Las unidades habituales de DM son pc cm-3, y el

nombre proviene del hecho siguiente: las ondas electromagnéticas son dispersadas por el

plasma interestelar, y DM es una medida del fenómeno.

Cuando una onda electromagnética de frecuencia ω se propaga en un plasma poco denso, los electrones adquieren una aceleración m(d2x / dt2) = - eE, donde E = E0 e

iωt es el campo

eléctrico que actúa sobre ellos. Integrando, x = (e / mω2)E. La polarización del medio es P =

ne (- e) x = - (nee2 / mω2)E, y también, P = [(ε – 1) / 4π]E, donde ε es la constante dieléctrica.

Por lo tanto, ε = 1 – ωp2/ω2, siendo ωp

2 = 4πnee2 / m la llamada frecuencia del plasma.

En la propagación de una onda electromagnética con número de onda k, se pueden distinguir

dos velocidades (dispersión): (a) de fase → vfase = ω/k = c/ε1/2 → ω2 = ωp2 + k2c2, (b) de

grupo → vgrupo = dω(k)/dk ≈ c(1 – ωp2/2ω2), ω >> ωp. El tiempo de llegada de la radiación a

frecuencia ω y recorriendo una distancia R es t(ω) = ∫[0,R] dr/vgrupo = R/c + (2πe2 / mcω2) DM.

La cantidad observable es el retardo temporal entre diferentes componentes de frecuencia del

pulso ∆t, que conduce a la estimación de DM: ∆t / ∆ω = - (4πe2 / mcω3) DM. Si somos

capaces de determinar DMs para fuentes a distancias conocidas, entonces podemos estimar

<ne>, y finalmente, la distancia R para un pulsar individual con DM conocida.

Modelo del dipolo magnético

Se supone que la estrella de neutrones gira a una velocidad angular ω, y posee un momento dipolar magnético separado un ángulo α del eje de rotación. En dicha configuración, el momento dipolar magnético varia con el tiempo y se radia energia a un ritmo dE/dt = -

Bp2R6ω4sen2α / 6c3, donde R es el radio de la estrella y Bp es el campo magnético en el polo

magnético. Se supone que la energia transportada por la radiación proviene de la energía

cinética de rotación E = (1/2) I ω2, siendo I el momento de inercia. Entonces, dE/dt = I ω(dω/dt). Ya que dE/dt < 0, se debe cumplir: dω/dt < 0. En otras palabras, el pulsar se frena.

Se puede definir una edad característica (época actual), T = - ω0 / (dω/dt)0 = 6Ic3 / Bp

2R6ω02sen2α, y deducir la evolución temporal de la velocidad angular ω(t) = ω(0) [1 +

2ω(0)2 t / ω02 T] -1/2. La edad actual del pulsar seria t0 = (T/2) [1 – ω0

2/ω(0)2] ≈ T/2 para ω0 <<

ω(0).

En el año 1972 se midió el valor de T para el pulsar Crab (Cangrejo), y se obtuvo T = 2486

años. Según el modelo, la edad del pulsar en 1972 seria t0 ≈ 1243 años. El pulsar está situado en la nebulosa del Cangrejo, que es el remanente de una explosión de SN. La explosión ocurrió en el

verano del año 1054 y fué observada por los astrónomos chinos. Es fácil concluir que la edad del

pulsar en 1972 era de 1972 – 1054 = 918 años, en bastante buena concordancia con la estimación

basada en T y el modelo. También para el pulsar Cangrejo (P = 0,0331 seg):

I = 1,4 × 1045 gr cm2 → dE/dt = 6,4 × 1038 erg s-1 → Bp = 5,2 × 1012 G (R = 12 km, α = π/2)

Considerando el colapso de una estrella de la SP con un campo magnético superficial típico de

102 G, la disminución del radio en un factor ≈ 105 conduce a un crecimiento de Bp en un factor ≈1010, y las cosas encajan de forma bastante razonable.

Mecanismos de emisión

¿Qué mecanismo convierte la energía rotacional de la estrella de neutrones en los pulsos

observados?.

Requisitos observacionales:

(a) La radiación debe emitirse como un haz estrecho, con una orientación dada respecto al

eje de rotación de la estrella. El haz debe tener una anchura angular ≤ 10º (para un observador distante), y esta anchura debe mantenerse sobre un amplio rango de

frecuencia y muchos periodos de rotación.

(b) El mecanismo debe producir radiación de banda ancha en el óptico y a

radiofrecuencias. Los radiopulsos tienen anchuras de banda ≥ 100 MHz.

(c) Los procesos de radiación deben generar las luminosidades y temperaturas de brillo

observadas (radio, óptico y rayos X).

(d) En radiofrecuencias, la emisión debe mostrar una fuerte polarización lineal, que es

aproximadamente independiente de la frecuencia y estable durante grandes intervalos

de tiempo.

La temperatura de brillo (Tb) de una región emisora, se define “conectando” la intensidad

específica emitida Iν (erg s -1 cm -2 Hz -1 sr -1) con la función de Planck Bν. Aparece entonces

una temperatura de brillo (efectiva) tal que Iν = Bν (Tb). Para hν << kTb, se deduce la relación de Rayleigh-Jeans Iν = (2ν2/c2) kTb.

Suponiendo distancias razonables a púlsares y emisión en un haz cónico, las

luminosidades en radio son L ~ 1025 – 1028 erg s -1. Podemos estimar la radiointensidad

específica como Iν ~ L / [(c∆t)2 (100 MHz) (10-2 sr)], donde ∆t ~ 10-3 seg es la duracióntípica de un pulso. Haciendo números, Iν ~ 10

4 – 107 erg s -1 cm -2 Hz -1 sr -1. Esta

intensidad conduce a una temperatura de brillo Tb ~ 1023 – 1026 K → kTb ~ 10

19 - 10 22 eV.

Está claro que esta temperatura efectiva (de brillo) no es una temperatura real, y así, la

radioemisión no es de origen térmico. Si se produjese radiación térmica a Tb, el pico de

emisión estaria situado a muy altas frecuencias y no en radiofrecuencias.

TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars’.

Problemas]

1.- Suponer que <ne> ≈ 0,03 cm-3 para el medio interestelar, y que se conocen las distancias a

los pulsares PSR 0950+08 (≈ 100 pc) y PSR 1648-42 (≈ 18 kpc). Haciendo medidas a 500 MHz y a 400 MHz, calcular el retardo entre las señales a ambas frecuencias. ¿Para qué

radiopulsar será más importante?.

2.- Un parámetro observable es el llamado índice de frenado n. Se define como n = -

ω(d2ω/dt2) / (dω/dt)2. Para el pulsar en la nebulosa del Cangrejo, n = 2,515 ± 0,005. ¿Puedes explicar el resultado mediante el modelo del dipolo magnético?. Si se superpone una pérdida

adicional de energia (no asociada al momento dipolar variable), ¿se arregla o se empeora la

situación?.

3.- Si la luminosidad en rayos X del pulsar Cangrejo vale LX ≈ 1035 erg s-1, determinar la temperatura de brillo asociada. La radiación X, ¿tendrá un origen térmico?.

AGUJEROS NEGROS: DISCOS DE ACRECCION (Sesión 29)

Cálculos detallados indican que la masa de una estrella de neutrones no puede exceder de 3

masas solares. Este límite es el equivalente al límite de Chandrasekhar para enanas blancas.

Por encima de esta masa, la presión de degeneración de los neutrones no puede evitar el

colapso gravitatorio, y no se conocen fuerzas capaces de contrarrestar la gravedad en dicha

situación. La teoría de la evolución estelar indica que las estrellas en la SP con masa por

encima de 25 Mʘ, morirán colapsando en “un punto”. Cuando el corazón estelar se hace muy

pequeño, la gravedad es tan importante que incluso la luz no puede escapar de la región. El

objeto resultante no emite luz, y se denomina agujero negro.

… nueva luz !!!

Una estrella compacta aislada

pueden capturar gas del medio

interestelar, y una estrella

compacta en un sistema binario,

puede capturar la envoltura de su

compañera. Debido a la alta

velocidad de rotación, se formará

un disco de acrección caliente y

brillante, que se mantendrá tras

un posible colapso total final.

Aguj. Negro

El plano central del disco está definido por z = 0, y el

espesor del mismo vale 2h. Aunque cada elemento del

gas en el disco orbita al AN de una forma cuasi-

circular, en realidad, adquiere un pequeño momento

radial de caida hacia el AN, debido a que la fricción

viscosa elimina momento angular. Simultáneamente,

la viscosidad es la responsable del calentamiento por

fricción del gas. La mayor parte de este calor es

radiado desde las caras superior e inferior del disco, que

aparece en el cielo como un objeto brillante.

La estructura del disco se determina resolviendo simultáneamente cuatro ecuaciones de

conservación (masa, momento angular, energía y momento vertical). Además, debemos

especificar la ley de viscosidad, la opacidad, la ecuación de estado y el transporte

radiativo. La solución para un disco Newtoniano fue obtenida por Shakura y Sunyaev en

1973, y el modelo ha jugado y juega un papel central en el estudio de discos gaseosos en

torno a agujeros negros estelares y en el análisis de las regiones centrales de galaxias.

El disco es opticamente grueso. Si los procesos de absorción libre-libre (“bremsstrahlung”

inverso) dominan a los procesos de colisión fotón-electrón, la emisión local (desde las caras

del disco) será de tipo cuerpo negro. En dichas regiones, el espectro está descrito por una ley

de Planck a la temperatura Ts. Los fotones se crean a diferentes profundidades ópticas τff ≤ 1 por debajo de las caras del disco, y la temperatura Ts caracteriza a la materia en dichos

sustratos.

∆z N(τff)

N

τff

La población de fotones a una profundidad física ∆z, o si se quiere, a una profundidad óptica τff= kff ∆z = κff ρ ∆z, se puede relacionar con la población fotónica en la cara del

disco: N = N(τff) exp(-τff). Para τff ≤ 1 → N ≈ N(τff), mientras que para τff > 1, N << N(τff). Así, podemos

considerar que la radiación emergente se produce en los

sustratos verificando τff ≤ 1 (fotones que son capaces de escapar).

Fotones que emergen con una frecuencia particular ν, son creados en sustratos hasta una profundidad τff(ν) = κff (ν) ρ ∆z ~ 1. Por otro lado, la intensidad de la radiación emergente Iν serála emisividad debida a radiación de “bremsstrahlung” en un espesor físico de ∆z ~ 1/ κff(ν)ρ. Es

decir, Iν = jff(ν) ∆z → Iν ~ jff(ν) / κff (ν) ρ = Bν(Ts) = (2hν3 / c2)1 / [exp(hν/kTs) – 1].

La absorción domina al proceso de colisión fotón-electrón solo en las regiones externas

del disco de acrección [Ts↓, κff (ν)↑]. Es las regiones medianas e internas del disco (radios intermedios y pequeños), las colisiones con electrones dominan a los procesos de

absorción [κes > κff (ν)]. Por lo tanto, debemos tener en cuenta la modificación del espectro en las zonas no externas. En dichas zonas más profundas, el espectro puede ser

diferente a la ley de Planck. Tras ser emitido, un fotón puede sufrir muchas colisiones

elásticas antes de escapar por una cara del disco, y como consecuencia de las mismas,

realizar un trayecto en “zig-zag”.

ZONAS NO EXTERNAS

∆z*

∆z

Cuando se ignoran las colisiones, el máximo camino vertical

de un fotón (creado por efecto de frenado) es ∆z ~ 1/ κff(ν)ρ, mientras que considerando colisiones, el máximo camino

vertical evitando absorción es ∆z* < ∆z. Obviamente, el máximo camino total (en “zig-zag”) será ∆s ~ 1/ κff(ν)ρ.

Se reduce la profundidad a la cual las emisiones contribuyen al flujo emergente, y Iν = jff(ν) ∆z*. Si Nνs es el número medio de colisiones antes del escape (recorriendo ∆s), entonces

Nνs = ∆s/λes , λes = 1/κesρ,

donde λes es el recorrido libre medio entre colisiones. Ahora es posible estimar la distancia atravesada en la dirección vertical: ∆z* ~ Nνs

1/2 λes, y combinando los resultados anteriores,

Nνs ~ κes/κff(ν) , ∆z* ~ 1/[κes κff(ν)]1/2ρ ~ ∆z [κff(ν)/κes]1/2

↓

Iν ~ [jff(ν)/κff (ν) ρ] [κff(ν)/κes]1/2 = Bν(Ts) [κff(ν)/κes]1/2 .DISTORSION

ESPECTRAL !!!

Como la opacidad para absorción libre-libre en hidrógeno ionizado tiene una dependencia

espectral κff(ν) ∝ (1 – e-x) x -3, con x = hν/kTs, se deduce que Iν ∝ x3/2 e -x/2 (ex – 1) -1/2.

Aparece un espectro de tipo Planck “modificado” [Planck: Iν ∝ x3 (ex – 1) -1].

Temperatura

Por ejemplo, en las regiones externas, el gas radia con un espectro de tipo cuerpo negro y

la temperatura varia radialmente como Ts(r) = (3/8π)(GM/σ r3)(dM/dt)[1 – (rin/r)1/2]1/4.

Es decir, la distribución de temperaturas está determinada por la masa del AN central y la

velocidad de acrección de materia.


Problemas]

1.- Considerando que la luminosidad total de un disco de acrección en torno a un AN vale L

≈ 0,1 (dM/dt) c2, estimar la luminosidad de un disco que captura 10 -9 Mʘ / año. ¿Será tan

brillante como el Sol?.

2.- La transición entre las regiones externas (relativamente frias y emitiendo radiación con un

espectro de Planck) y las no externas (relativamente calientes y emitiendo con un espectro de

Planck modificado) ocurre cuando κes ~ <κff(ν)>. El correspondiente radio de transición verifica rtran ≤ 103 [(dM/dt) / 10 -9 Mʘ año

-1]2/3 (Mʘ / M)2/3 rin, siendo rin el radio interno del

disco. Discute si es posible la existencia de discos de acrección emitiendo unicamente

radiación de cuerpo negro.

3.- Cuando se hacen dominantes las colisiones fotón-electron (frente a las absorciones libre-

libre), discute si el espectro se “ablanda”, o por el contrario se “endurece”, con respecto al

espectro Planckiano a la misma temperatura.

SISTEMAS BINARIOS ‘Astronomy Today’(2001),‘Astrophysics I: Stars’(1984), ‘Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars’(1983)

MECANICA Y ESTRUCTURA DE SISTEMAS BINARIOS (Sesión 30)

Ya hemos comentado que gran parte de las estrellas en la Galaxia no están aisladas, ya que

forman parte de sistemas binarios. Cuando las dos estrellas de un sistema binario están muy

separadas, tendremos una mecánica y estructura simples, con dos objetos describiendo órbitas

en torno al centro de masas (ver S6), sin una importante influencia extra-dinámica y con una

apariencia de dos estrellas bien diferenciadas. Sin embargo, cuando los dos objetos están

relativamente próximos, las cosas cambian. En un sistema binario próximo, cada estrella

tiene una zona de influencia gravitatoria llamada lóbulo de Roche, dentro del cual la materia

puede considerarse como parte de esa estrella. Los dos lóbulos de Roche se juntan en el

llamado punto lagrangiano entre los dos objetos. Fuera de los lóbulos de Roche, la materia

puede fluir hacia cualquiera de las dos estrellas.

Transferencia de

masa

En sistemas binarios cuyas componentes están muy separadas (p.e.,

distancia entre las estrellas mayor que 1000 radios estelares), las dos

estrellas siguen vidas separadas y evolucionan de forma

independiente. Por el contrario, si se trata de un sistema binario

próximo, la atracción gravitatoria de un objeto puede influir

fuertemente la envoltura del otro. Es decir, la materia exterior al

lóbulo de Roche de una estrella puede ser capturada por la compañera

(acrección). Un escenario propicio es el de dos estrellas relativamente

próximas, siendo una de ellas de tipo gigante y excediendo en tamaño

a su lóbulo de Roche. Cuando ambas estrellas están dentro de sus

respectivos lóbulos de Roche, se dice que son independientes. Sin

embargo, cuando una estrella abandona la SP y se mueve hacia la

región de las gigantes rojas, es posible que su radio se haga tan grande

que cruce los limites del lóbulo de Roche. En este segundo caso, el

gas de la envoltura fluirá hacia la compañera a través del punto

lagrangiano. Ahora los objetos son semi-independientes. Debido a la

fluencia de materia de una estrella a la otra, también se dice que

tenemos una binaria con transferencia de masa. Si por alguna razón

la otra estrella también excede su lóbulo de Roche (debido a evolución

estelar o al exceso de material capturado), las superficies de las dos

estrellas se funden. El sistema consiste en dos corazones estelares

quemando material (reacciones de fusión) rodeados por una sola

envoltura común. Se trata de una binaria en contacto.

Un ejemplo binaria con transferencia de masa es la estrella

Algol en la constelación de Perseus. Estudiando su espectro y la

variación en su intensidad (curva de luz), se ha encontrado que

Algol es realmente una binaria espectroscópica de doble

espectro (aparece el espectro de ambas componentes) y

eclipsante. Algol consiste en una estrella de la SP, con 3,7 Mʘ y

de tipo espectral B8 (gigante azul), que esta acompañada por

una subgigante roja de 0,8 Mʘ . El movimiento orbital es casi

circular y con un periodo de 3 dias. Las estrellas están

separadas por solo 4 × 106 km (Rʘ ≈ 7 × 105 km !!!).

ALGOL

Se piensa que Algol comenzó siendo una binaria

independiente, constituida por una estrella 1 (actual subgigante

con 0,8 Mʘ ) y una estrella 2 (actual SP con 3,7 Mʘ ).

Inicialmente, la estrella 1 era la más masiva, con M1(0) ≈ 3 Mʘ.

Debido a ello evolucionó primero fuera de la SP. La estrella 2 era

originalmente menos masiva, con M2(0) ≈ Mʘ. Cuando 1 se hace

gigante roja, su envoltura rebasa el lóbulo de Roche y comienza a

fluir gas hacia la estrella 2. Comienza a disminuir la masa de 1 y

a aumentar la masa de 2, lo cual conduce a una disminución del

lóbulo de Roche de 1 a medida que su campo gravitatorio se

reduce. Se produce así una transferencia de masa rápida, tras la

cual M1 < M2. Posteriormente, la transferencia de masa se reduce

fuertemente, y el sistema entra en la etapa actual.

Sistema binario →→→→ Transferencia de masa →→→→ Cambios evolutivos

Al formar parte de un sistema binario, la evolución de las estrellas en el sistema Algol se

ha alterado dramaticamente. La estrella que tenia originalmente una masa alta (1) es

ahora una subgigante roja de baja masa, mientras que la estrella con masa inicial de tipo

solar (2), es ahora una estrella masiva de la SP (gigante azul). La pérdida de masa en la

estrella 1, puede incluso evitar que esta alcance el flash de helio. En lugar de eso, el

corazón estelar puede acabar como una enana blanca de He. En algunas decenas de

millones de años, la estrella 2 comenzara a expandirse y llenar su propio lóbulo de Roche.

Si la estrella 1 es todavia una subgigante o una gigante en dicha época, se formará una

binaria en contacto. En caso contrario, si la estrella 1 ya se ha convertido en una enana

blanca, aparecerá un nuevo periodo de transferencia de masa, con la materia viajando

desde la estrella 2 a la 1. En este último caso, Algol puede tener un futuro muy activo y

violento: supernova de tipo I.

El sistema Algol es un ejemplo claro de evolución binaria, y de cómo se complican las

cosas cuando dos estrellas evolucionan de forma dependiente. Una fracción

significativa de las estrellas binarias en la Vía Láctea atraviesan por etapas de

transferencia de masa o envoltura común. El en la sesión siguiente nos concentraremos en

los detalles sobre la evolución de estrellas binarias.

TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astronomy Today’ y ‘Astrophysics I: Stars’]

EVOLUCION DE ESTRELLAS BINARIAS (Sesión 31)

El radio efectivo del lóbulo de Roche alrededor de la estrella 1 es (aprox. analítica con una

precisión mejor que el 1%)

r1 = a[0,38 + 0,2 log (M1/M2)] ,

donde a es la separación entre las estrellas 1 y 2. Para la estrella 2 se tiene una expresión

similar, simplemente intercambiando M1 y M2. Supongamos que inicialmente ri > Ri (Ri

son los radios estelares), y que durante la evolución tras la SP (contracción del núcleo y

expansión de la envoltura), la estrella primaria (mayor masa) rebasa su lóbulo de Roche y

comienza a transferir materia a su compañera de menor masa (secundaria). Si no hay

pérdida de masa de la binaria y se conserva el momento angular, también puede mostrarse

que

a ∝ M1-2M2

-2 = M1-2(M – M1)

-2 ,

siendo M = M1 + M2 la masa total constante. Las dos expresiones que hemos visto nos dicen

lo siguiente:

(a) Cuando hay transferencia de masa, cambia la separación entre las estrellas. Si la estrella 1

es la primaria (M1 > M2), y cede masa a su compañera, la separación estelar decrece

con el tiempo.

(b) Como la separación estelar decrece y las masas cambian (M1 decrece, mientras que M2

crece), el tamaño de los lóbulos de Roche cambia a medida que pasa el tiempo.

Cuando una estrella evoluciona fuera de la SP,

su radio R1 comienza a crecer rapidamente. Si

R1 < r1, la evolución de la estrella se puede

aproximar a la de un objeto aislado. Sin

embargo, durante las etapas avanzadas de la

combustión termonuclear, se producirán

varias fases de expansión y posibles

situaciones R1 > r1. Por ejemplo, en la figura

vemos la variación del radio de una estrella

con 5 Mʘ. Durante la combustión del corazon

de H (fase A), el radio crece ligeramente

(menos que un factor 2) y probablemente no

se producirá transferencia de masa. La

primera fase de expansión importante

corresponde al quemado de la envoltura de

hidrógeno, justo antes de la ignición de He en

el corazón estelar.

El comienzo de la fase B, ocurre al cabo unos 6 × 107 años. En este comienzo expansivo y rápido, el radio aumenta en aprox. un orden de magnitud. La siguiente fase de expansión

precede a la ignición de C en el núcleo (comienzo de la fase C), y es nuevamente violenta

(rápida). El radio estelar vuelve a aumentar en un factor 10 con respecto al radio en la fase

previa.

Evolución avanzada en sistemas binarios

Los detalles de la evolución del sistema dependerán de cuando llena el lóbulo de Roche

la primaria: durante el quemado de H o precediendo a la ignición de He o C, asi como del

comportamiento de las estrellas durante la transferencia de masa.

A modo de ejemplo, vamos a considerar un sistema que contiene inicialmente una

primaria de 20 Mʘ y una secundaria de 6 Mʘ, en órbitas circulares con periodo orbital de

4,4 días. Ambas estrellas están inicialmente en la SP.

La primaria consume el H en el corazón durante 6

× 106 años. La secundaria tarda 10 veces más. Cuando la envoltura de la primaria se expande tras el quemado

de H, la estrella rebasa su lóbulo de Roche. Se

transfiere materia a la secundaria, en un regimen muy

rápido, y se forma un disco de acrección en torno a la

estrella inicialmente menos masiva. Finalmente, se

completa el proceso de transferencia de materia,

formándose una estrella de 20,6 Mʘ, que será rica en

hidrógeno. Esta evolucionará como si fuese una

estrella joven de 20,6 Mʘ, que está quemando H. La

primaria (inicialmente) es ahora la menos masiva (5,4

Mʘ), y está quemando He. Despues, quemará C, O y

Si, mientras la secundaria (inicialmente) sigue una

evolución relativamente lenta en la SP.

La estrella evolucionada sufre una explosión de SN, expulsando una capa de materia de

3,4 Mʘ y dejando un remanente de 2 Mʘ. El remanente sufre una rápida implosión hasta

convertirse en una estrella de neutrones o un agujero negro. La explosión de SN no provoca

la ruptura del sistema binario, pero la pérdida de masa aumentará el tamaño de la órbita, y

puede provocar la aparición de una excentricidad orbital importante.

La inicialmente secundaria es una estrella

del tipo O o B, en la SP. Cuando completa el

quemado de H, su envoltura se expande y se

convierte en una supergigante azul. Al

comienzo de la fase de expansión, la estrella

pierde materia como consecuencia del viento

estelar debido a la alta presión de radiación en

las capas más externas. El objeto compacto

captura materia y se convierte en una fuente

de rayos X. Despues, la estrella en expansión

rebasa su lóbulo de Roche y se produce una

transferencia rápida de masa hacia el objeto

compacto. Finalmente, se forma un disco de

acrección en torno a la estrella compacta, que

emitirá rayos X, y radiación ultravioleta y

óptica. Si hay un campo magnético

importante, también se observará

radioemisión.

¿Explosión de SN sin ruptura del sistema binario?

En el dibujo superior vemos una configuración pre-SN. Consideramos

un sistema de referencia en reposo con relación al progenitor de SN,

con masa M1. Por simplicidad, se toman órbitas circulares. En esta

etapa inicial, la energía total de la binaria es Etotal= (1/2)[M1M2/(M1 +

M2)]v2 – GM1M2/a, con v

2 = G(M1 + M2)/a. En una segunda etapa, se

produce la explosión de SN y la capa en expansión está dentro de la

órbita relativa. Durante esta segunda etapa, la estrella M2 continua

moviéndose en su órbita circular de radio a, ya que el potencial

gravitatorio neto que actua sobre ella es equivalente al generado por

una masa M1 = MR + δM localizada en el centro de la órbita. La energia total del sistema sigue siendo Etotal = - GM1M2/2a. En una

tercera etapa, la capa en expansión atraviesa instantaneamente la órbita

de M2, la velocidad orbital de M2 permanece inalterada: v2 = G(M1 +

M2)/a, y la nueva energia total es Etotal = (1/2)[MRM2/(MR + M2)]v2 –

GMRM2/a = (GMRM2/2a)[(M1 + M2)/(MR + M2) – 2]. El nuevo

sistema con masas MR y M2 permanecera ligado gravitatoriamente si

Etotal < 0. Si Etotal > 0, el sistema binario se “romperá”. Es decir, si MR

< (M1 – M2)/2, o equivalentemente, δM > (M1 + M2)/2, entonces habrá

ruptura del sistema. Para que se produzca la ruptura del sistema, la

explosión debe expulsar al menos la mitad de la masa total inicial.

Tras el paso de la capa en expansión, M2 ajustará gradualmente su órbita a la nueva fuerza

gravitatoria de MR. Suponiendo que el sistema permanece ligado, se alcanzará una nueva

configuración de equilibrio, con un nuevo radio orbital y un nuevo periodo orbital: a → b,

Pa → Pb. En concreto, (b – a)/a = δM/(M1 + M2 – 2δM) y Pb = Pa (b/a)3/2 [(2b –a)/b]1/2. Como δM > 0, el radio orbital y el periodo orbital aumentan.

TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’. Problemas]

1.- Si en un sistema binario no hay pérdida de masa y se conserva el momento angular,

estudiar la evolución de la separación a con la masa de la estrella primaria (inicialmente) M1.

Suponer que inicialmente M1 > M2, y que se produce transferencia de masa, llegándose

primero a una configuración M1 = M2, y más tarde, a configuraciones con M1 < M2.

2.- Un sistema binario consiste en dos estrellas de masas M1 = 5 Mʘ y M2 = 2,5 Mʘ. Las

órbitas son circulares y el periodo vale 146 días. Ambas estrellas están inicialmente en la SP.

¿Durante qué fases de la evolución de la estrella 1 puede producirse transferencia de masa?.

3.- Deducir las expresiones para el nuevo radio orbital y el nuevo periodo orbital (b y Pb),

cuando la capa expulsada en una explosión de SN atraviesa la órbita de la estrella compañera

y se produce una nueva configuración de equilibrio. Suponer que las órbitas son circulares y

que la energía del sistema se conserva durante la “reorganización” orbital.

BINARIAS INCLUYENDO OBJETOS COMPACTOS: EMISION EN LA BANDA X Y RADIOFRECUENCIAS (Sesión 32)

Se han descubierto muchos sistemas binarios en los cuales una estrella es miembro de la SP o

se encuentra en un estado de evolución no muy avanzado, mientras que la otra estrella es un

objeto compacto. La estrella compacta no se observa en el óptico, pero es una fuente brillante

de rayos X. Una de las binarias de rayos X más conocidas es Cyg X-1, en la cual se supone

que reside un agujero negro estelar. Cuando la estrella compacta es una estrella de neutrones,

se observan pulsos de rayos X. El periodo de los pulsos varía entre 1 seg y unos 10 minutos.

En la figura vemos una estrella de

neutrones magnetizada que está capturando

material (de una compañera). El gás no se

precipita sobre toda la superficie de la

estrella compacta, sino que es “guiado”

hacia los polos magnéticos. No hay

acrección a través de la región toroidal del

campo magnético (lóbulos sombreados).

Haciendo un “zoom”, se observa como el

gas cae a lo largo de las lineas de campo

abiertas, y al chocar contra la superficie

estelar se alcanzan temperaturas muy altas y

se emite radiación en la banda X.

Modelo standard

Se supone que el gas es capturado a un ritmo de acrección dM/dt, hacia una estrella de

neutrones con masa MX y radio RX. Para analizar groseramente la radiación en la banda X,

se desprecia la presencia de campos magnéticos y el “guiado” que estos producen. Así,

suponemos que el gas fluye esfericamente hacia la superficie estelar. Cuando alcanza la

superficie, se decelera abruptamente, y su energia cinética se convierte en calor y

radiación. La velocidad de una corona de gas con masa M y próxima a la superficie del

objeto compacto (r ≈ RX), será: (1/2)M V2 = GMXM/RX (E = 0) → V2 = 2GMX/RX. La

corona esférica tiene una energia cinética asociada GMXM/RX, la cual se invierte en

calentar la superficie y en producir rayos X. Tras la colisión, GMXM/RX = Q + EX.

M

El gas fluye continuamente con un ritmo de acrección

dM/dt, y por consiguiente, se recibe continuamente materia y

energia cinética: GMX(dM/dt)/RX = dQ/dt + LX. Consideramos

que se alcanza una temperatura Ts = cte, y que la acrección

mantiene dicha temperatura y alimenta la luminosidad en la

banda X. Es decir, LX = GMX(dM/dt)/RX (regimen dQ/dt = 0).

La eficiencia de la emisión radiativa en términos de la energia

de la masa en reposo incidente vale

RX

MX

V

εX [potencia emitida (rayos X)/ energía de la masa en reposo que se deposita por unidad de tiempo] = LX/[(dM/dt)c

2] = GMX/RXc2. Para estrellas de neutrones típicas, la eficiencia

alcanza valores importantes: εX ~ 10%.

Se supone que la radiación se emite como radiación de cuerpo negro a la temperatura Ts.

Es decir, LX = 4πRX2σTs4. Las luminosidades “observadas” de ≈ 1037 erg s-1 (rayos X

blandos de 1 keV), conducen a una temperatura típica de ≈ 107 K, y así todo el marco de trabajo es razonable: los rayos X tienen un origen térmico, ya que kTs ≈≈≈≈ 1 keV. Es fácil comprobar que el ritmo de acrección requerido para generar la luminosidad “observada” es

dM/dt ≈ 10-9Mʘ/año. Estas velocidades de acrección se pueden lograr facilmente en sistemas

binarios próximos.

Algunas binarias de rayos X son un poco diferentes. Se trata de las fuentes asociadas con

el halo de nuestra galaxia. No presentan pulsos periódicos y suelen generar “llamaradas” en

la banda X (“bursts”). Se distribuyen como las estrellas viejas de población II, a diferencia de

las binarias normales asociadas con estrellas masivas y jóvenes de población I (en el disco).

Para una fuente con “bursts” de rayos X, podemos relacionar el flujo observado, la

luminosidad emitida y la distancia: FX = LX/4πd2. También es fácil mostrar que FX = (RX/d)2

σTs4, donde suponemos emisión Planckiana. En principio, uno puede pensar que los “bursts”(FXburst > FXback) son debidos a un calentamiento violento, seguido por un enfriamiento más

lento de una estrella con cierto radio y a cierta distancia. Sin embargo, esta imagen no esta de

acuerdo con algunas observaciones. Por ejemplo, para cierta fuente con “bursts”, se analizó

un “burst” en detalle y se obtuvieron conclusiones apuntando hacia una posible pulsación

estelar. Suponiendo una distancia de 10 kpc, y midiendo la evolución temporal de FXburst y Ts,

se dedujo que RX ≈ 100 km durante los primeros 10 segundos del “burst”, mientras que RX ≈15 km en la fase posterior.

Radiación no térmica: emisión sincrotrón

La emisión no térmica no tiene un comportamiento espectral Planckiano. La forma

más común de emisión no térmica es la llamada emisión de sincrotrón, que proviene

basicamente de la aceleración de particulas cargadas en un campo magnético y que es

observada en radiofrecuencias. Las partículas cargadas suelen ser electrones, ya que en

comparación a los protones, tienen poca masa y sufren aceleraciones más importantes.

Cuando electrones energéticos atraviesan un campo magnético, describen trayectorias

espirales alrrededor del mismo, cambiando continuamente su dirección de movimiento,

sufriendo aceleración y emitiendo radiación. La frecuencia de emisión está directamente

relacionada con la velocidad del electrón, y puede estar determinada por la velocidad

inicial del mismo o ser debida a la intensidad del campo magnético. Para que la emisión

sea suficientemente intensa como para ser detectada por un observador terrestre, los

electrones deben viajar a velocidades próximas a la de la luz, es decir, deben ser

electrones relativistas.

A frecuencias suficientemente bajas, se puede

hacer importante la absorción de radiación por

electrones relativistas en presencia de un campo

magnético. Se trata del proceso inverso a la emisión

de sincrotrón, y se denomina autoabsorción

sincrotrón (AAS). Los electrones responsables de

la radiación a la frecuencia ν tienen una energia Ee ~ (2πνmec/eB)

1/2 mec2 (c-1/2).

Cuando se produce AAS, un análisis detallado muestra que se puede obtener la

intensidad emitida, reemplazando la energia media por particula para una fuente térmica

(~ kT) por la energía de cada electrón. En el límite Rayleigh-Jeans, para una fuente

sincrotrón opticamente espesa obtenemos Iν = (2ν2/c2) Ee ~ 10-30 ν5/2 B-1/2 erg s-1 cm-2 Hz-1

sr-1. Como el flujo observado es Fν = ΩIν ~ θ2Iν, se deduce que

B (en G) ~ 5 × 10-3 θ4 ν5 Fν-2,

donde θ se mide en mas (= 10-3 "), ν en GHz y Fν en Jy (= 10-23 erg s-1 cm-2 Hz-1). La

energía de los electrones se deduce directamente de la temperatura de brillo, Ee = kTb, y

el factor de Lorentz vale γ = Ee/mec2 = kTb/mec

2.


Problemas]

1.- Repetir el formalismo del modelo standard (acrección esférica de gas hacia la superficie

de una estrella de neutrones) para acrección esférica hacia la superficie de una enana blanca.

Comenta las diferencias.

2.- Para cierta binaria de rayos X se ha medido un diámetro angular de la radioemisión θ ~ 1 mas. Si la radiofuente está situada a una distancia de ~ 10 kpc, ¿cúal es su tamaño físico (en

cm)?. Suponiendo que observaciones a ~ 1 GHz conducen a un flujo de ~ 1 Jy, y un escenario

con autoabsorción sincrotrón, ¿cuanto vale el campo magnético?. Determinar la temperatura

de brillo Tb, la energía de los electrones y el factor de Lorentz (relatividad especial). ¿Los

electrones son relativistas (γ >> 1) o clásicos (γ ~ 1)?.

MEDIO INTERESTELAR, AMBIENTE ESTELAR Y OTRAS CUESTIONES

‘Astronomy Today’(2001)

MEDIO INTERESTELAR: GAS Y POLVO (Sesión 33)

En la imagen se puede ver un gran campo de La Vía Láctea. En algunas direcciones la

materia que extingue la luz está practicamente ausente, permitiendo estudiar todo tipo de

objetos galácticos y extragalácticos. En otras direcciones, existen pequeñas cantidades de

materia interestelar, de forma que la extinción de luz es moderada. No podemos ver objetos

extragalácticos, pero si gran parte de las estrellas en la Galaxia. Algunas regiones del campo

están fuertemente oscurecidas, de forma que incluso la luz de las estrellas relativamente

próximas es completamente absorbida antes de alcanzar la Tierra.

La materia entre las estrellas se denomina medio interestelar. Este medio interestelar está

constituido por dos componentes: gas y polvo. El gas consta principalmente de átomos

individuales (gas atómico), con tamaño promedio de 10-10 m (0,1 nm), o de pequeñas

moléculas (gas molecular), no mayores de 10-9 m (1 nm). El polvo interestelar es más

complejo, y está formado por agregados de átomos y moléculas. Aparte de producir

numerosas líneas de absorción atómicas y moleculares, el gas no produce una extinción

importante. La extinción (oscurecimiento) es causada por polvo. La luz de estrellas distantes

no puede penetrar las acumulaciones más densas de polvo interestelar, formado por partículas

(granos de polvo) con un tamaño típico de aproximadamente 10-7 m (0,1 µm), comparable a

las longitudes de onda del ultravioleta próximo y cercano a las longitudes de onda del visible.

La capacidad de una partícula para dispersar un rayo de luz depende del tamaño de la

partícula y de la longitud de onda de la radiación involucrada. Como una regla grosera, solo

las partículas con diámetros comparables o mayores que una longitud de onda dada pueden

influenciar significativamente el haz de radiación a dicha longitud de onda, y por otro lado, la

cantidad de dispersión producida por las partículas de un tamaño dado crece cuando decrece

la longitud de onda. Consecuentemente, las regiones polvorientas del espacio interestelar son

transparentes a la radiación infrarroja y a las señales de radio, pero son opacas a la radiación

de longitudes de onda más cortas, en especial, en el ultravioleta y rayos X. Actualmente, los

astrónomos son capaces de analizar la extinción y el enrrojecimiento en diferentes

direcciones, y así, de construir mapas del polvo en la Galaxia (distribución, concentración y

tamaño de los granos).

Gas y polvo

Densidades: Las densidades del medio interestelar son muy bajas. La densidad gaseosa

promedio es de 1 átomo cm-3, aunque existen grandes variaciones para diferentes regiones,

con un pico en 103 átomos cm-3 y un mínimo en 10-2 átomos cm-3. La materia con una

densidad tan extremamente baja es incluso más “light” que el mejor “vacio” logrado hasta

la fecha en los laboratorios terrestres. El polvo interestelar es incluso más raro, ya que en

promedio, hay 10-12 granos cm-3. Con tan bajísima concentración de polvo, nos podemos

preguntar como es capaz de extinguir la radiación tan eficientemente. La respuesta está en

las dimensiones del espacio interestelar, ya que la extinción es un efecto integrado sobre el

camino del haz de luz. Como vimos en la S2: lpolvo(ν) = l(ν) exp [- τ(ν)] , τ(ν) = ∫[0,r] a(ν,r’) dr’ = a*(ν) r. A pesar de que la densidad de materia es muy baja, el espacio interestelar en la vecindad del Sol contiene tanta masa como la masa contenida en las estrellas próximas.

Composición: La composición del gas se conoce mediante estudios de líneas de

absorción, y las abundancias de elementos son casi similares a las encontradas en otras

estructuras cósmicas: Sol, estrellas,… Casi todo el gas es hidrógeno atómico o molecular

(90%), con una fracción importante de helio (9%) y un 1% de elementos más pesados

(metales). Las abundancias de algunos metales escasos (C, O, Si, Mg y Fe) son bastante

mas bajas en el gas interestelar que en el sistema solar o en estrellas. Posiblemente,

cantidades importantes de estos elementos forman parte de los granos de polvo, lo que

explicaria la “anomalia”. La composición del polvo es incierta, aunque hay evidencias de

silicatos, grafito y hierro. También se piensa en una población de “hielo sucio”: agua

contaminada con amoniaco, metano y otras sustancias (← cometas).

Forma de los granos de polvo: Según estudios basados en la polarización de la luz

estelar, los granos tienen una forma elongada y están alineados.

Basándonos en simulaciones realizadas con ordenador, se

piensa que tras la colisión y fragmentación de granos, las

partículas resultantes serán de tipo “barra elongada” en

pequeña escala, pero con una estructura global más compleja.

Las estrellas emiten luz no polarizada desde sus fotósferas, y

la polarización de la luz estelar no ocurre por casualidad. Se

cree que el polvo permite el paso de las ondas con campos

eléctricos orientados en cierta dirección, dependiente de la

elongación y alineación de los granos (como ocurre en un

filtro polaroide).

El alineamiento del polvo interestelar es un tema de investigación

y de discusión ahora mismo. La hipótesis actual es que los granos

sufren el efecto de un campo magnético interestelar débil, quizás

un millón de veces más débil que el campo magnético terrestre.

Cada partícula de polvo responderia al campo del mismo modo,

tal como ocurre con las pequeñas limaduras de hierro cuando se

situan cerca de un imán. Las medidas de la atenuación y la

polarización de la luz estelar conducen a información sobre el

tamaño y la forma de los granos de polvo, así como sobre los

campos magnéticos en el espacio interestelar.

NEBULOSAS DE EMISION

Las nebulosas de emisión son nubes brillantes de gas interestelar caliente. El gas se calienta

debido a la proximidad de una estrella joven. Como las nebulosas contienen principalmente

hidrógeno ionizado, también se las denomina regiones HII (las regiones que basicamente

contienen hidrógeno atómico neutro se las conoce como regiones HI). La mayor parte de los

fotones emitidos tras la recombinación de los electrones y los núcleos, escaparán de la

nebulosa. Estos fotones no transportan suficiente energía como para ionizar el gas, y pasan a

través de la nube sin apenas problemas. El espectro de una nebulosa es muy diferente a un

espectro estelar. En general, un espectro estelar consiste en un continuo de tipo cuerpo negro

y líneas de absorción. Por otro lado, el espectro nebular solo contiene una distribución de

líneas de emisión.

Análisis de muchas nebulosas sugieren

que las abundancias son las usuales

(90% H, 9% He y 1% metales). Su

tamaño es suficientemente grande

como para ser medido por simple

geometria, y el uso del tamaño y la

cantidad de materia según la línea de

visión, permite deducir la densidad

(1022 veces menor que la de un

planeta). La anchura de las líneas

indica que T ~ 8000 K.

ESPACIO OSCURO: NUBES DE POLVO

Las nebulosas de emisión representan una minúscula región del espacio, ya que más del 90%

del mismo no contiene ni estrellas, ni nebulosas calientes. Se trata de un espacio oscuro. La

temperatura promedio de una región oscura típica con materia interestelar es de

aproximadamente 100 K. Es decir, el espacio oscuro es muy frío. En los agujeros de luz se

encuentra otra clase de objeto astronómico: la nube de polvo. Una nube de polvo es incluso

más fría que su entorno (~ 10 K) y miles o millones de veces más densa. Su densidad número

puede alcanzar un valor de 106 átomos cm-3, y suele tener dimensiones que exceden las del

sistema solar, pudiendo alcanzar un tamaño de muchos pc. A pesar de su nombre, el principal

componente de las nubes es gas. Sin embargo, la absorción de luz estelar es basicamente

debida al polvo que contienen. En la figura inferior vemos imágenes ópticas (a-b) de una

nube de polvo típica. Aparecen regiones fuertemente oscurecidas donde el polvo y el gas

están especialmente concentrados y la luz de las estrellas profundas está completamente

extinguida. Esta nube se llama como la estrella más próxima (Rho Ophiuchi), y se encuentra

a 300 pc de distancia. Las piezas brillantes dentro de la

región oscura son nebulosas de

emisión y grupos de estrellas. Algunas

son parte de la nube, donde se han

formado estrellas jóvenes que crean

“manchas calientes” en el gas oscuro y

frío. Ver imagen IR en (c).

Otras huellas: espectro óptico de absorción y emisión IR/radio

Los primeros datos sobre la extensión de una nube se obtuvieron mediante estudios de

espectros ópticos de estrellas distantes. El gas absorbe cierta cantidad de radiación estelar,

dependiendo de la temperatura, densidad, velocidad y composición de la nube. Debido a que

las líneas de absorción interestelar son producidas por gas frío y no denso, es fácil

distinguirlas de las líneas mucho más anchas e intensas producidas en la atmósfera estelar

caliente.

En la figura superior se puede ver un ejemplo de una

nube oscura en la constelación del Cisne (Cygnus).

En (a) se muestra la imagen óptica, que incluye una

via oscura de polvo y gas. En (b) aparece la imagen a

radiofrecuencias, con una fuerte radioemisión

asociada a la línea del CO molecular. La radiación

más intensa se aprecia en la zona central más densa.

RADIACION DE 21 CM

¿Por qué no ha decaido todo el hidrógeno atómico hacia su estado fundamental?. Nosotros

vemos la radiación de 21 cm debido a la pequeñísima energía que se necesita para excitar H

hasta el nivel “paralelo”. La energía de excitación es comparable a la energía típica de un

átomo a 100 K, que es una temperatura típica del medio interestelar. En cualquier instante,

tendremos un alto porcentaje de H en el estado “paralelo”, y por consiguiente, siempre se

emitirá radiación de 21 cm. Un hecho de vital importancia es que λ >> Rgrano-polvo, lo que

implica que esta radiación viaja hasta nosotros sin ser afectada por el polvo interestelar.

El hidrógeno atómico interestelar produce una radioemisión de

relativamente baja energía. En el estado fundamental (mínima energía),

el electrón (e) y el protón (p) tienen “spin” antiparalelo. Es decir, las

dos partículas giran en direcciones opuestas. Muy cerca de este nivel

fundamental de energía, se encuentra un nivel en el cual e y p tienen

“spin” paralelo, o lo que es equivalente, giran en la misma dirección.

Como todo sistema tiende hacia el estado de mínima energía posible, el

gas interestelar también. Así, si existen átomos de hidrógeno con e y p

girando en la misma dirección (ligeramente excitados), tienden a

alcanzar el estado de mínima energia, con las dos partículas girando en

direcciones opuestas. En la transición se libera un fotón con energia

igual a la diferencia de energia entre los niveles involucrados (λ = 21,1 cm, ν = 1,42 GHz), y dicho foton forma parte de la denominada

radiación de 21 cm. La radiación de 21 cm es la huella del hidrógeno

atómico frío en nuestra Galaxia.

p

e

Sp↑↓Se

Sp↑↑Se

λ = 21 cm

MOLECULAS

En ciertas regiones de gas neutro frío (~ 20 K), las densidades pueden ser de ~ 106

partículas cm-3. Hasta finales de los años 70 (década 1970-1980) los astrónomos veian a estas

regiones como nubes “anormalmente” densas. Actualmente, se piensa que son objetos con un

nuevo tipo de materia interestelar. Las partículas gaseosas no son átomos, sino moléculas.

Dada la abundancia de moléculas en estas regiones interestelares densas, se las denomina

nubes moleculares. Cuando una molécula cambia desde una rotación rápida hacia una

rotación más lenta, se emite un fotón que puede detectarse mediante un radio telescopio. Las

moléculas también pueden vibrar, y emitir radiación asociada con transiciones vibratorias.

¿Por qué las moléculas se encuentran solo en las nubes mas densas y polvorientas?.

Probablemente el polvo actua como catalizador para formar moléculas, y por otro lado, es

capaz de protegerlas de la radiación de alta frecuencia que pudiera destruirlas.

Para hacer mapas de nubes moleculares, se encuentra un problema. El principal

constituyente es H2, pero curiosamente, esta molécula no emite en radiofrecuencias. Solo

emite radiación UV, que no puede ser usada como trazador de la estructura de nubes

moleculares. Así, los astrónomos tienen que recurrir a otras moléculas escasas para estudiar

los interiores oscuros de estas regiones polvorientas. Actualmente se sabe que existen más de

100 clases de moléculas en el espacio interestelar. Moléculas tales como CO, CHN, NH3

(amoniaco), H2O, CH3OH, H2CO. La presencia de H2CO a abierto el debate sobre el orígen

de la vida: ¿en la Tierra?, ¿en el medio interestelar?. La discusión alcanzó su nivel más alto (a

favor de la teoria “extraterrestre”) a mediados de la decada pasada, cuando un grupo de

radioastrónomos encontraron evidencias de la presencia de NH2CH2COOH (uno de los

principales aminoácidos) en el espacio interestelar.

.

Las moléculas diferentes a H2 se encuentran en cantidades muy

pequeñas (106 o 109 veces menos abundantes que H2). Sin embargo, son

decisivas como moléculas trazadoras de la estructura y propiedades

físicas de una nube molecular. En la figura de la izquierda (panel

superior), vemos un mapa de H2CO (en absorción) cerca de la nebulosa

de emisión M20. Más abajo (panel inferior) podemos apreciar un mapa

de contornos trazando la distribución de H2CO en la vecindad de M20.

Los contornos se obtuvieron mediante la observación de radiolíneas de

absorción en varias localizaciones, tras lo cual se dibujaron contornos

conectando las regiones con similar abundancia de H2CO. Es claro que

la zona con mayor cantidad de H2CO (y probablemente también de

hidrógeno) se situa en el límite inferior derecho de la nebulosa visible.

Radio mapas del gas interestelar y mapas infrarrojos del polvo

interestelar revelan que las nubes moleculares no existen como objetos

separados y distintos en el espacio. Realmente forman complejos de

nubes moleculares, con un tamaño típico de 50 pc y conteniendo

suficiente gas como para formar 106 estrellas como el Sol. En la Vía

Láctea se conoce la existencia de 1000 complejos gigantes.

complejos, es decir, regiones densas del

espacio interestelar, donde abundan las

moléculas y se forman las estrellas.

En la figura inferior aparece un radiomapa cubriendo una vasta región del cielo. Se han usado

ciertas líneas de emisión del monóxido de carbono (CO), y se aprecian complejos de nubes

moleculares a lo largo de todo el campo de visión. Las regiones brillantes son los


AMBIENTE ESTELAR: NUBES DE MATERIA Y EXOPLANETAS (Sesión 34)

En la figura adjunta se aprecia la formación del

sistema solar, a partir de un disco rotando y una

condensación central que conducirá a una estrella

en la SP (el Sol). Pequeñas condensaciones en las

regiones más externas pueden generar los planetas

jovianos (p.e., Júpiter) (a). Los granos de polvo

actuan como núcleos de condensación, formando

acumulaciones de materia que colisionan, se agregan

y crecen hacia objetos de tamaño lunar. La

composición de los granos depende de la

localización en el disco (b). Fuertes vientos desde el

Sol en formación, expulsan el gas de la nebulosa

primitiva. Algunos objetos externos han comenzado

la acrección de gas nebular (c). Los objetos en órbita

continuan chocando y creciendo. Los planetas

gigantes gaseosos ya se han formado (d). Durante

unos 108 años, las estructuras menores son acretadas

o expulsadas de su órbita, para llegar a una situación

en la cual unos pocos planetas viajan en órbitas

cuasi-circulares en torno al Sol (e).

DISCOS DE POLVO Y EXOPLANETAS

NUEVO

PLANETA EN

ORBITA CASI

CIRCULAR A

2,3 UA DE UNA

ESTRELLA

UA = UNIDAD ASTRONOMICA =

DISTANCIA SOL-TIERRA

TIERRA

MARTE

JUPITER

DESCUBRIENDO EXOPLANETAS

La detección de planetas orbitando otras estrellas ha sido un objetivo de los astrónomos

durante siglos. Sin embargo, hasta hace aproximadamente 10 años, no existía ninguna

detección firme de este tipo de objetos en ambientes estelares. En realidad la detección de

exoplanetas no es por una vía directa, es decir, resolviendo su posición y estructura en el

cielo, junto a las estrellas asociadas. Se encuentran planetas mediante métodos indirectos,

basados en el análisis de la luz de la estrellas asociadas, no en el estudio de los planetas en si

mismos. Por ejemplo, cuando un planeta orbita a su estrella “madre”, debido al campo

gravitatorio planetario, se produce un pequeño “baile” estelar. El efecto es más importante

para planetas masivos o para estrellas de poca masa, y puede medirse a través del

desplazamiento Doppler.

También podemos intentar detectar líneas de absorción en

el espectro estelar, causadas por el gas en la atmósfera

planetaria.

Técnica Doppler: velocidad radial estelar, masa del planeta …

Medidas de la estrella de tipo solar “51 Pegasi” con la técnica

Doppler [ver panel (a)], conducen a una velocidad radial

claramente periódica, sugiriendo la presencia de un planeta de

masa al menos la mitad de masa de Júpiter: M ≥ 0,5 MJ

(degeneración!), en una órbita circular con un periodo de 4,2

dias. Los datos de velocidad radial para “Upsilon

Andromedae” (tipo solar) son mucho más complejos, pero

pueden ser explicados [línea contínua en el panel (b)]

mediante un sistema de tres planetas orbitando la estrella. Las

órbitas de los tres planetas están dibujadas en el panel (c),

junto a las órbitas de los planetas solares (para comparar). En

este sistema complejo (el más complejo fuera del sistema

solar), las masas mínimas son todas del orden de MJ. Usando

esta técnica se han detectado del orden de 100 planetas

extrasolares. Para órbitas de cara, en principio, se puede tratar

de medir el desplazamiento estelar transversal.HD 209458: Vel.radial +

ocultaciones → P = 3,5 dias, M

= 0,6 MJ, ρ = 0,2 gr cm-3 →planeta gigante, gaseoso y

caliente, muy próximo a la

estrella compañera

PROPIEDADES DE LOS EXOPLANETAS

En la figura adjunta se muestran las órbitas de todos los

planetas extrasolares con distancias a la estrella

compañera mayores que 0,15 UA. La masa típica de los

exoplanetas es comparable a MJ = 318 MT, de modo que

no se parecen mucho a la Tierra. Aunque son objetos muy

masivos, sus órbitas son generalmente mucho menores

que la de Júpiter y Saturno, y están caracterizadas por una

importante excentricidad. Algunos gigantes gaseosos

pasan muy cerca de la estrella “madre”, a distancias

mucho menores que 1 UA.

Por otro lado, aunque se han encontrado algunos sistemas con dos planetas, e incluso con

tres, la mayoria tiene un planeta masivo solitario. El hecho de no observar planetas de masa

baja no es sorprendente. En realidad está totalmente ligado al método de detección usado. Es

un efecto de selección, ya que los planetas poco masivos no producirán velocidades radiales

detectables. Sin embargo, las órbitas excentricas y el carácter solitario de los objetos

detectados, indica que los sistemas realmente difieren del sistema solar. Las órbitas y masas

de los planetas encontrados hacen inviable la presencia de planetas de tipo Tierra o

protoplanetas de masa lunar en torno a sus estrellas “madre”. En presencia de un planeta tipo

Júpiter, acercándose repetidamente a las regiones internas del sistema, cualquier objeto de

tipo Tierra o miniplaneta seria muy probablemente expulsado del sistema.

¿VIVIMOS EN UN SITIO RARO?

Hoy sabemos que las estrellas suelen estar acompañadas por planetas, pero los sistemas

que forman parecen ser diferentes a nuestro sistema solar. Así, debemos preguntarnos si el

sistema solar es algo inusual, y si las observaciones extrasolares invalidan la teoría actual

sobre la formación de nuestro entorno.

La teoría actual proporciona muchos caminos que conducen a planetas masivos en órbitas

excentricas y con periodos pequeños. Realmente, muchos astrónomos se han preguntado

acerca de cómo Júpiter logró permanecer en una órbita estable, tras su formación en el disco

protosolar. Es razonable pensar que planetas de tipo Júpiter hayan alcanzado órbitas

excéntricas mediante interacciones con otros planetas similares o mediante los efectos

de arrastre de estrellas próximas. También, si se han formado mediante inestabilidad

gravitatoria, pueden tener órbitas excéntricas desde el momento de su formación.

Finalmente, interacciones gravitatorias entre un planeta masivo y el disco de gas en el

que se mueve, conducen a un movimiento espiral hacia el interior, y pueden situar al

planeta en una órbita muy próxima a la estrella compañera. Parece que la presencia de

Saturno ayudó a estabilizar la órbita de Júpiter y evitar este último efecto. Según la teoría,

“Jupiters” solitarios en órbitas excéntricas no presentan ningún problema. Al contrario,

parece una situación bastante natural.

¿Somos raros?. Probablemente no. El método de detección empleado conduce a

resultados fuertemente sesgados hacia planetas masivos en órbitas próximas (máximo

efecto gravitatorio sobre la estrella!).

Casi todos los sistemas encontrados tienen velocidades radiales claramente mayores que los

12 m s-1 que Júpiter genera en la posición del Sol. Además, aunque un “baile” como el del Sol

pudiera ser detectado con la tecnologia moderna, el movimiento está próximo a los límites

observacionales, y serian necesarias varias órbitas para confirmarlo (decenas de años!). No

somos raros, sino dificilmente detectables mediante la técnica Doppler.

¿Cómo encontrar un planeta como la Tierra?. El método más prometedor es el del tránsito

delante de la estrella “madre”. El efecto del tránsito sobre el brillo de una estrella es débil

(menor que un factor 10-4 para el tránsito de un planeta de tipo Tierra cruzando la cara del

Sol) y solamente se manifiesta en sistemas orientados de canto. Sin embargo, es un efecto

medible con la tecnologia actual. NASA ha propuesto una misión para monitorizar las

fluctuaciones de brillo en 100.000 estrellas de tipo solar, durante un periodo de 4 años. Con

hipótesis optimistas, se espera la detección de 100 transitos de planetas de tipo terrestre. Si

fuesen detectados, implicaria que los planetas similares al nuestro son comunes en la Galaxia.

En realidad se han encontrado planetas como la Tierra, pero “en lugares donde no debieran

estar”. En torno al pulsar PSR 1257+12 (estrella compacta) se detectaron dos planetas de masa

similar a la de la Tierra y un planeta con masa similar a la de la Luna. Las órbitas son casi

circulares, con radios de 0,2-0,5 UA y periodos variando entre 25 y 100 dias. Sin embargo, la

formación de estos planetas fue el resultado de sucesos muy diferentes a los que dieron lugar a la

formación de la Tierra y del sistema solar. Es dificil imaginar como planetas como la Tierra,

formados tras la evolución de una nube protoestelar y a una distancia < 1 UA, han podido

sobrevivir a los episodios violentos en la vida de la estrella tras el abandono de la SP.


CANTIDADES OBSERVACIONALES ‘Astrophysics I: Stars’(1984), … · 2012. 2. 13. · Adem ás de...

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