BTS CIM 2 – LA TRANSFORMATION DE LAPLACE1) Définition

A toute fonction réelle du temps f(t), on associe une fonction F(p) de la variable complexe p=σ+jω par :

L[f(t)] = F(p) = ∫0

∞

f t e−pt dt

2) Quelques transformées de Laplacea) échelon

L[f(t)] = F(p) = ∫0

∞

e− pt dt=[ e−pt

−p ]∞ 0=[ e−∞

−p− e0

−p ]= 1p

b) rampe

F(p) = ∫0

∞

at e− pt dt=∫0

∞

f g ' dt=[ fg ]∞0−∫

0

∞

f ' g dt

F(p) = [ ate−pt

−p ]∞ 0−∫

0

∞ ae−pt

−pdt

F(p) = [a ∞ e−p∞

− p− a.0.e0

− p ]−[ ae−pt

p2 ]∞ 0

F(p) = [0−0 ]−[ ae−∞

p2 −ae0

p2 ]= ap2

b) exponentielle décroissante

L[f(t)] = F(p) = ∫0

∞

e−t e−pt dt=∫

0

∞

e−

1 p t

dt

F(p) = [ e−

1 p t

− 1 p ]

∞ 0

=[ e−

1 p∞

− 1p

− e−

1 p0

− 1 p ]

F(p) = [ 0

− 1 p

− 1

− 1 p ]= 1

p1

c) exponentielle croissante

L[f(t)]=F(p)= ∫0

∞

1−e−t e−pt dt=∫

0

∞

e− pt dt−∫0

∞

e−t e−pt dt

F(p) = [ e−pt

−p ]∞ 0−[ e−

1p t

− 1p ]

∞ 0

F(p) = [ e− p∞

−p− e0

−p ]−[ e−1/ p∞

−1 / p− e0

−1/p ]F(p) = [ 0

− p− 1−p ]−[ 0

− 1 p

− 1

− 1 p ]= 1

p− 1

1p

=

1p− p

p 1 p

= 1

p 1 p

= 1p 1 p

1

0t

1f(t) Γ(t)

Γ(t)=0si t≤0

Γ(t)=1si t≤0

t0

f(t)

at

f(t)

t0

1- e-t/τ

1

τ

tτ0

f(t)

e-t/τ1

d) sinus

L[f(t)]=F(p)= ∫0

∞

sin t e− pt dt=∫0

∞ e jt−e− j t

2je−pt dt

F(p) = 12j ∫0

∞

e j t e−pt dt−∫0

∞

e− j t e−pt dt F(p) = 1

2j ∫0∞

e j− p t dt−∫0

∞

e − j t− p t dtF(p) = 1

2j [ e j− p t

j− p ]∞ 0−[ e− j p t

− jp ]∞ 0= 1

2j [ e j− p ∞

j− p− e j− p0

j− p ]−[ e− jp ∞

− j p− e− j p0

− j p ]F(p) = 1

2j [ e−∞

j− p− e0

j− p ]−[ e−∞

− jp − e0

− j p ]= 12j [ −1

j− p− −1− j p ]

F(p) = −12j 1

j−p 1

j p=−12j jp j− p

j− p jp =−12j 2j

j2−p2 = −−2− p2=

p22

e) cosinus

L[f(t)]=F(p)= ∫0

∞

cos t e− pt dt=∫0

∞ e j te− j t

2e−pt dt

F(p) = 12∫0

∞

e j t e− pt dt∫0

∞

e− j t e−pt dt F(p) = 1

2∫0∞

e j− p t dt∫0

∞

e − j t− p t dtF(p) = 1

2[ e j − p t

j− p]∞ 0[ e− jp t

− j p ]∞ 0 =1

2 [ e j−p∞

j− p− e j−p 0

j−p ][ e− j p∞

− j p− e− j p 0

− j p ]F(p) = 1

2[ e−∞

j− p− e0

j− p][ e−∞

− jp− e0

− j p ]=12 [ −1

j− p −1− jp ]

F(p) = −12 1

j−p− 1

jp =−12 j p− j− p

j− p j p=−12 2p

j2−p2 = −p−2− p2=

pp22

f) sinus décroissant exponentiellement

L[f(t)]=F(p)= ∫0

∞

e−t sin t e− pt dt=∫0

∞ e jt−e− j t

2je− p1 t dt

F(p) = 12j ∫0

∞

e j t e−p1t dt−∫0

∞

e− jt e− p1 t dtF(p) = 1

2j [ e j− p1 t

j− p1 ]∞ 0−[ e− j p1 t

− j p1 ]∞ 0

2

t0

1

-1T

sin(t)

f(t)

t0

1

-1T

cos(t)f(t)

t0

e-tsin(t)

F(p) = 12j [ e−∞

j− p1− e0

j− p1 ]−[ e−∞

− j p1− e0

− j p1 ]F(p) =

12j [ −1

j− p1− −1− j p1]

F(p) = −12j 1

j− p1 1

j p1=−12j j p1 j− p−1

j− p1 j p1=−12j 2j

j2− p12 F(p) =

−−2− p12

= p122

3) Table des transformées de Laplace

3

4) Propriétésa) linéarité

L[α f1(t) + β f2(t)] = α L[f1(t)] + β L[f2(t)] = α F1(p) + β F2(p)b) dérivation

On considère la dérivée au sens des distributions alors :L[f'(t)] = p F(p) – f(0-)

Remarques :– si f(t) est continue à t=0 alors f(0-) = f(0+) = f(0) et L[f'(t)] = p F(p) – f(0)– si f(t) est discontinue à t=0 alors f(0-) ≠ f(0+) et il existe une impulsion de Dirac de poids

[f(0+)-f(0-)] à t=0 pour f'(t), dérivée au sens des distributions de f(t).c) intégration

L [∫ f t dt ] = F pp

4

d) théorème du retardSoit une fonction f(t) causale, c'est à dire f(t)=0 pout t<0. Alors :

L[f(t-T)] = e-Tp F(p)e) translation dans le plan complexe

F(p+a) = L[e-atf(t)]f) théorème de la valeur finale

limt +∞

f t =limp0

pF p

(lorsque cette limite existe)g) théorème de la valeur initiale

limt 0+

f t = f 0+= limp+∞

pF p

5) Transformée de Laplace de l'impulsion de Dirac

t =lima0

f t

t =lima0

f ' t = ' t

L'impulsion de Dirac est la dérivée, au sens des distributions, d'une fonction échelon.L'impulsion de Dirac est toujours nulle sauf en t=0 où elle vaut + ∞.Par contre, l'aire sous l'impulsion de Dirac est finie, elle est appelée « poids » de l'impulsion (elle vaut 1 sur cet exemple).

∫-∞

+∞

f ' tdt=a 1a=1=∫

-∞

+∞

t dt

Comme t = ' t On a, si l'on considère la dérivée au sens des distributions :

L[δ(t)] = L[Γ'(t)] = p L[Γ(t)]-Γ(0-) = p 1p−0 = 1, que l'on retrouve bien dans la table des transformées.

6) Impédance opérationnellea) définition

Soit un dipôle linéaire :v(t) = relation intégro-différentielle de i(t), en appliquant la transformée de Laplace à cette équation, il vient :

V(p) = Z(p) I(p) + V0(p)ou I(p) = Y(p) V(p) + I0(p)

Z(p) est appelée impédance opérationnelle.

5

0t

1f(t)

a

0t

1f'(t)

a

a

Γ(t)

0t

1Γ(t)=0si t≤0

Γ(t)=1si t≤0

Fonction échelon Г(t)

0t

δ(t)

1Représente le « poids » de

l'impulsion de Dirac

+ ∞impulsion de Dirac δ(t)

i(t)v(t)

Termes dûs aux conditions initiales dans le dipôle

Alors : Z p= 1Y p

=[V pI p ]

conditions initiales nulles

b) dipôles de baseDipôle Fonctions temporelles i(t) et u(t) Transformées de Laplace I(p) et U(p)

Résistance

v(t) = R i(t) V(p) = R I(p)

Z p= 1Y p

=V p I p

=R

Inductance

v t =L didt

V p=L Laplace di t dt

=L p I p−i 0-

V p=Lp I p−Li 0-Lp I p =V pLi 0-

I p=V pLi 0-Lp

=V pLp

i 0-p

I p=Y p V p i 0 -p

=V pZ p

i 0 -

Z p= 1Y p

=[V pI p ]

i(0-)=0

=Lp

Capacité

v t = q t C

v t =∫ i t dtC

∫ i t dt=C v t d ∫ i t dt

dt=

d C v t dt

i t =C dv t dt

I p=C Laplace dv t dt

I p=C [ pV p−v 0-]I p=CpV p−Cv 0- CpV p=I pCv 0-

V p= I pCv 0-Cp

= I pCp

v 0-p

V p=Z p I p v 0-p

Z p=[V pI p ]

v(0-)=0

= 1Cp

6

Les conditions initiales sont modélisées par un échelon de courant d'amplitude i(0-)

i(t)

v(t)

R I(p)

V(p)

R

i(t)

v(t)

L

Lp

I(p)

V(p)

Y pV p

i(t)

v(t)

Cq(t)

i 0-p

Z p I p

I(p)

V(p)

v 0- p

1Cp

Échelon de tension d'amplitude v(0-)

7) Fonction de transfert isomorphea) définition

Puisque le système est linéaire les grandeurs e(t) et s(t) sont liées par une équation différentielle linéaire à cœfficients constants :

and n s t

dt n an−1d n−1 s t

dt n−1 ⋯a0st =bmd m e t

dt m bm−1d m−1e t

dtm−1 ⋯b0 e t

En prenant la transformée de Laplace de cette équation, on obtient une relation de la forme :S p=T p E pF0 p

avec T p=b0b1 p⋯bm pm

a0a1 p⋯an pn =N pD p

T p=[ S pE p ]

conditions initiales nulles

T(p) est la fonction de transfert isomorphe (ou transmittance isomorphe, notée parfois H(p)) du système linéaire.– Les racines de D(p) sont appelées les pôles de T(p).– Les racines de N(p) sont appelées les zéros de N(p).

b) réponse impulsionnelleL'entrée est une impulsion de Dirac, la sortie s(t) est appelée la réponse impulsionnelle du système linéaire. On montre que :L[s(t)] = T(p)

Par conséquent, si on connaît la fonction de transfert isomorphe T(p) du système linéaire, on trouve sa réponse impulsionnelle s(t) en faisant la transformation inverse de Laplace de T(p).

c) réponse harmonique, fonction de transfert isochrone ou transmittance isochroneLorsque l'entrée e(t) est un signal sinusoïdal et que l'on s'intéresse à la réponse en régime sinusoïdal permanent, alors la fonction de transfert complexe, T(jω) du système linéaire peut-être obtenue à l'aide de la transformation suivante :

T p p= j

T j

– T (jω) : fonction de transfert isochrone (ou transmittance isochrone)– T(p) : fonction de transfert isomorphe (ou transmittance ismorphe)

d) stabilité d'une fonction de transfertDéfinition : Un système linéaire est stable si sa réponse impulsionnelle tend vers 0 lorsque t tend vers +∞On obtient alors la condition suivante pour T(p) :Un système linéaire, de transmittance isomorphe T(p) est stable si tous ses pôles sont à partie réelle négative.

Système du premier ordre Système du deuxième ordre Système du troisième ordre

T p=T 0

1 pstable si τ>0

T p=T 0

12m p0

p0

2

stable si ω0>0 et si m>0

T p=T 0

1 p p2 p3

stable si α, β, γ >0et si αβ > γ

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Système linéaireentrée e(t) sortie s(t)

conditions initiales

δ(t) s(t)T(p)

dû aux conditions initiales non nulles