Universitat Heidelberg 6. November 2017Institut fur InformatikPD Dr. Wolfgang Merkle

Ubungen zur Vorlesung

Berechenbarkeit und Komplexitat I

Blatt 2

Aufgabe 1 (4 Punkte)

Es sei ϕ0,ϕ1, . . . die Standardnummerierung. In der Vorlesung wurde eine Nummerierung ψ0, ψ1, . . . kon-struiert, die universell, aber keine Godelnummerierung ist. Die Nummerierung ψ0, ψ1, . . . ist fur alle iund t definiert durch

ψ〈i,t〉(x) ∼= ϕi(x) fur alle x 6= 0, ψ〈i,t〉(0) ∼=

{↑, falls t = 0,

t− 1, sonst.

Ist die Folge α0, α1, . . . mit α2e = ϕe und α2e+1 = ψe eine Nummerierung, eine universelle Nummerierungoder sogar eine Godelnummerierung? Begrunden Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 2 (4 Punkte)

Eine Folge A0, A1, . . . heißt eine Nummerierung von Mengen, wenn es eine Nummerierung α0, α1, . . . vonpartiellen Funktionen gibt mit Ae = dom(αe). Fur eine solche Nummerierung sagt man, die Folge derMengen A0, A1, . . . sei uniform r.a., oder kurz, die Mengen A0, A1, . . . seien uniform r.a. (Die partiellenFunktionen α0, α1, . . . heißen entsprechend uniform partiell berechenbar).

Es sei E gleich der Menge der geraden Zahlen. Fur welche der folgenden Definitionen sind die Men-gen A0, A1, . . . uniform r.a.? Begrunden Sie Ihre Antwort jeweils kurz.

(i) Ae =

{N e ∈ H,

∅ sonst,(ii) Ae =

{∅ e ∈ H,

N sonst,(iii) Ae =

{{e} e ∈ H,

{0} sonst,(iv) Ae =

{H e ∈ H,

H ∩ E sonst.

Hinweis: Das Halteproblem H = {e ∈ N : ϕe(e) ↓} ist r.a., aber nicht entscheidbar.

Aufgabe 3 (4 Punkte)

Es sei M0,M1, . . . die Standardaufzahlung aller Turingmaschinen. Weiter sei τ(e) gleich der Anzahl derRechenschritte der Rechnung von Me bei Eingabe e, falls diese Rechnung terminiert, und τ(e) sei unde-finiert sonst. Man kann zeigen, dass die partielle Funktion τ partiell berechenbar ist.

Zeigen Sie, dass es keine berechenbare Funktion t gibt, die auf dem Definitionsbereich von τ mit τubereinstimmt, d.h., die partiell berechenbare Funktion τ kann nicht zu einer berechenbaren Funktionfortgesetzt werden.

Bitte wenden!

Aufgabe 4 (4 Punkte)

Es seien M0,M1, . . . und ϕ0,ϕ1, . . . die Standardaufzahlungen aller Turingmaschinen beziehungsweise allerpartiell berechenbaren Funktionen. Dabei ist nach Definition ϕe gleich der von Me berechneten partiellenFunktion, diese wird auch als ϕMe geschrieben.

Beim Nachweis, dass die Nummerierung ψ0, ψ1, . . . in Aufgabe 1 keine Godelnummerierung ist, wurde inder Vorlesung eine berechenbare Funktion g verwendet, so dass die partiell berechenbare Funktion ϕg(e)

konstant gleich 0 ist, falls ϕe(e) definiert ist, wahrend anderenfalls ϕg(e) uberall undefiniert ist.

a) Argumentieren Sie anschaulich, dass man zu gegebenem e effektiv einen Index g(e) wie gefordert findenkann und beschreiben Sie dabei insbesondere die Arbeitsweise der Turingmaschine Mg(e).

b) Beweisen Sie unter Verwendung des s-m-n-Theorems die Existenz einer berechenbaren Funktion gwie oben beschrieben. Zeigen Sie dabei zunachst, dass die wie folgt definierte Funktion α parrtiellberechenbar ist

α(e, x) ∼=

{0 falls ϕe(e) ↓,↑ sonst.

Am Donnerstag, den 9. November, findet um 11 Uhr wie ublich die Vorlesungstatt und dann um 14 Uhr an Stelle der Ubung eine weitere Vorlesung.

Abgabe: Bis Montag, den 13. November 2017, 14.00 Uhr.

Fur die Abgabe konnen Sie die Kasten vor dem Dekanat im ersten Stock des Gebaudes INF 205 (Mathe-matikon) benutzen. Die Ubungsblatter sind im PDF-Format abrufbar unter

http://math.uni-heidelberg.de/logic/ws17/komplex ws17.html .