Balance Entropia (1)

EntropíaEntropía

Origen: Rudolf Clausius

Ecuación General:

Cambio de entropía:

Δ

0TQ

revTQdS

int

• Entropía:

2

1 12

revIntTQSSS

Caso especial, Procesos isotérmicos de transferencia de calor internamente reversibles:

Ejemplo:

Un dispositivo cilindro-émbolo contiene una mezcla de liquido y vapor de agua a 300K. Durante un proceso a presión constante se transfiere al agua 750KJ de calor. Evaporando todo el líquido. Determine el cambio de entropía.

0TQS Δ

KJQconstKT

750300

La desigualdad de Clausius nos permite definir una nueva propiedad:

0

revTQ

El hecho de que esta integral cíclica sea 0 indica que la cantidad en el integrando Es la diferencial de una función de estado, a diferencia del calor y del trabajo que son funciones de la trayectoria.

2

1

2

1

1

2

2

1

0

BA

BArev

TQ

TQ

TQ

TQ

TQ

Definición de entropía

2

112

revrev TQSSS

TQdS

En un proceso de transferencia de calor isotermo y reversible el cambio de entropía es igual.

TQS

Consideremos el siguiente ciclo formados por dos procesos: uno reversible y el otro arbitrario.

00

1

2

2

1 revTQ

TQ

TQ

Este es el enunciado matemático de la segunda ley de la termodinámica para una masa fija. La igualdad se cumple para los procesos reversibles y la desigualdad para los irreversibles.

El signo de la desigualdad nos indica que el cambio de entropía de un sistema cerrado durante un proceso reversible siempre es mayor que la transferencia de entropía, es decir, se genera entropía durante un proceso irreversible. A esta entropía generada se le denomina generación de entropía.

2

112 0; gengen SS

TQSS

“La entropía de un sistema aislado siempre aumenta durante un proceso o, en el caso de procesos reversibles, permanece constante”

Un sistema y sus alrededores pueden ser los dos subsistemas de un sistema aislado, y el cambio de entropía de un sistema aislado durante un proceso es igual a la suma de los cambios de entropía del sistema y su entorno, lo cual recibe el nombre de cambio de entropía total o generación de entropía. El principio del incremento de entropía para cualquier proceso se expresa como:

0 entornosistematotalgen SSSS

Esta es la forma general del principio de cambio de entropía y es aplicable tanto a sistemas abiertos como cerrados. Este principio establece que el cambio de entropía total asociado con un proceso debe ser positivo para los procesos irreversiblesy cero para los reversibles

La ecuación anterior no implica que la entropía de un sistema o de su entorno no puedan disminuir. El cambio de entropía de un sistema o de sus alrededores puede ser negativo durante el proceso, pero su suma no. El principio del aumento de entropía. Puede resumirse como sigue:

ALGUNOS COMENTARIOS SOBRE LA ENTROPIA

Los procesos sólo suceden en una dirección, no en cualquier dirección. Un proceso debe seguir su curso en la dirección que cumpla con el principio del incremento de entropía, es decir, ∆Sgen ≥ 0. Un proceso que viola este principio es imposible. Este principio frecuentemente obliga a que las reacciones químicas se interrumpan antes de alcanzar su terminación.

La entropía es una propiedad que no se conserva y no hay postulado como el principio de la conservación de la entropía. La entropía solo se conserva durante el proceso reversible idealizado y aumenta durante todos los procesos reales. En consecuencia la entropía del universo aumenta continuamente.

El desempeño de los sistemas de ingeniería se degrada por la presencia de irreversibilidades y la generación de entropía es una medida de las magnitudes de las irreversibilidades, tanto mayor resulta la generación de entropía durante ese proceso. Cuanto mayor es el grado de las irreversibilidades, tanto mayor resulta la generación de entropía. Por consiguiente, la entropía puede usarse como una medida cuantitativa de irreversibilidades asociadas con un proceso.

CAMBIO DE ENTROPIA DE SUSTANCIAS PURAS

La entropía es una propiedad, y por lo tanto el valor de la entropía se fija una ves que el sistema se fija. El hecho de especificar dos propiedades intensivas independientes fija el estado de un sistema compresible sencillo, y por lo tanto también el valor de la entropía, así como también los valores de otras propiedades en ese estado.

El valor de la entropía en un estado especifico se determina del mismo modo que cualquier otra propiedad.

En las regiones de mezcla saturada, se determina de

Cuando se carece de datos de líquido comprimido, la entropía de liquido comprimido se calcula:

El cambio de entropía de una masa m (como sistema cerrado) es:

Procesos IsoentrópicosProcesos Isoentrópicos

Son procesos Son procesos internamente reversiblesinternamente reversibles y y adiabáticosadiabáticos, por lo tanto, la entropía se , por lo tanto, la entropía se mantiene constante.mantiene constante.

Proceso Isoentrópico: Δs = 0 ó s2 = s1

Es decir, cuando una sustancia tenga el mismo valor de entropía tanto al final del proceso como al inicio del proceso se lleva a cabo de una manera

isoentrópica.

Un proceso adiabático reversible necesariamente es Isoentrópico (s2 = s1), pero uno isoentrópico no es necesariamente un proceso adiabático

reversible.

P1 = 5MPaT1 = 450°C

Turbina de Vapor

Wsalida = ?

P2 = 1.4MPa

Ejemplo: Expansión isoentrópica de vapor en una turbina.

En una turbina adiabática entra vapor a una presión P1 y a una temperatura T1; y sale a una presión P2. Determine el trabajo de salida de la turbina por unidad de masa de vapor si el

proceso es reversible.

Solución:

De una manera reversible, el vapor se expande en una turbina adiabática a una presión especificada. Se determinará el trabajo de salida de la turbina.

Suposiciones:

1.- Éste es un proceso de flujo estable porque no hay cambio con respecto al tiempo en cualquier punto, por lo tanto Δmvc = 0, ΔEvc = 0

2.- El proceso es reversible.3.- Las energías cinéticas y potencial son insignificantes.

4.- La turbina es adiabática.5.- Como es un proceso reversible y adiabático, entonces es Isentrópico:

ΔSvc = 0

Análisis:

Se toma la turbina como el sistema (VC), se observa que sólo hay una entrada y una salida, por lo tanto, m1 = m2 = m

Wsalida = m ( h1 – h2 )

P1 = 5MPaT1 = 450°C

Turbina de Vapor

Wsalida = ?

P2 = 1.4MPa


Estado 1:P1 = 5MPa

T1 = 450°C


Estado 1:P1 = 5MPa

T1 = 450°C

h1 = 3317.2 kJ/Kg

S1 = 6.8210 kJ/Kg . K


Estado 1:

Estado 2:

P1 = 5MPa

T1 = 450°C

h1 = 3317.2 kJ/Kg

S1 = 6.8210 kJ/Kg . K

P2 = 1.4MPa


Estado 1:

Estado 2:

P1 = 5MPa

T1 = 450°C

h1 = 3317.2 kJ/Kg

S1 = 6.8210 kJ/Kg . K

P2 = 1.4MPa

S2 = S1


Estado 1:

Estado 2:

P1 = 5MPa

T1 = 450°C

h1 = 3317.2 kJ/Kg

S1 = 6.8210 kJ/Kg . K

P2 = 1.4MPa

S2 = S1

h2 = 2967.4 kJ/Kg


Estado 1:

Estado 2:

P1 = 5MPa

T1 = 450°C

h1 = 3317.2 kJ/Kg

S1 = 6.8210 kJ/Kg . K

P2 = 1.4MPa

S2 = S1

h2 = 2967.4 kJ/Kg

Entonces, el trabajo de salida de la turbina por unidad de masa de vapor se convierte en:

wsalida = h1 – h2 = 349.8 kJ/Kg

Cambio de Entropía de Líquidos y Sólidos

Los líquidos y sólidos pueden aproximarse a sustancias incompresibles, dado que sus volúmenes específicos permanecen casi constantes durante un proceso. Por lo tanto,

dV = 0, para líquidos y sólidos.

En las relaciones T ds tenemos que:

ds = du/T + PdV/T

Nos queda:

ds = du/T = c dT/T

Ya que Cp = Cv =C y du = C dT para sustancias incompresibles.

Entonces el cambio de entropía durante un proceso es determinado por integración como:

Donde Cprom es el calor especifico de la sustancia a lo largo de un intervalo de temperatura dado.

____________________________________________________________________

Una relación para procesos isoentópicos de líquidos y sólidos se obtiene igualando la relación del cambio de entropía a cero, lo que da:

Es decir, la temperatura de una sustancia verdaderamente incompresible permanece constante durante un proceso isentrópico. Por consiguiente, el proceso isentrópico de una sustancia incompresible es también isotérmico. Este comportamiento se acerca

mucho a líquidos y sólidos.

2

1 1

212 )(

TTCpromLn

TdTTCss kJ/Kg.K

121

212 0 TT

TTCpromLnss

Cambio de entropía de Gases Ideales.Cambio de entropía de Gases Ideales.Las expresiones para el cambio de entropía puede obtenerse mediante las ecuaciones:

TvdP

Tdhds

TPdv

Tduds

Mediante las relaciones de propiedades para gases ideales siguientes:

CpdTdhCvdTduRTPv

Tomando:

TPdv

Tduds

Sustituyendo:

CvdTduvRTP

Resulta:

vdvR

TdTCvds

El cambio de entropía para un proceso se obtiene integrando esta relación entre los

estados extremos:

2

1 1

212 )(

vvRLn

TdTTCvss

De manera similar a lo anterior, tomando:

TvdP

Tdhds

Sustituyendo:

CpdTdhPRTv

Resulta:

PdPR

TdTCpds

El cambio de entropía para un proceso se obtiene integrando esta relación entre los

estados extremos:

2

1 1

212 )(

PPRLn

TdTTCpss

Calores específicos constantes Calores específicos constantes (tratamiento aproximado).(tratamiento aproximado).

Los calores específicos de gases ideales, con la excepción de gases monoatómicos, dependen de la temperatura.

Las relaciones de cambio de entropía para gases ideales bajo la suposición de calor especifico constante se obtienen al sustituir Cv(T) y Cp(T) por Cvprom y Cpprom .

1

2

1

2,12

1

2

1

2,12

PPRLn

TTLnCss

vvRLn

TTLnCss

promp

promv

(kJ/Kg K)

(kJ/Kg K)

Los cambios de entropía también se pueden expresar por mol al multiplicar estas relaciones por la masa molar.

1

2

1

2,12

1

2

1

2,12

PPLnR

TTLnCss

vvLnR

TTLnCss

upromp

upromv

(kJ/Kmol K)

(kJ/Kmol K)

Calores específicos variables Calores específicos variables (tratamiento exacto).(tratamiento exacto).

Cuando el cambio de temperatura durante un proceso es grande y los calores específicos del gas ideal no varían linealmente dentro del intervalo de temperatura, la suposición de calores específicos constantes puede conducir a errores considerables en los cálculos del cambio de entropía.

Se ha definido: 12

2

1

)( ssTdTTCp

1

21212 P

PRLnssss

Puede expresarse con base molar:

1

21212

PPLnRssss u

oo

(kJ/Kg.K)

(kJ/Kmol.K)

Calores específicos constantes, procesos Calores específicos constantes, procesos isoentrópicosisoentrópicos

(tratamiento aproximado).(tratamiento aproximado).

Diversas relaciones para los procesos de gases ideales se pueden obtener igualando a cero las relaciones del cambio de entropía.

De la ecuación:

Igualando a cero:1

2

1

2,12 v

vRLnTTLnCss promv

1

2

1

2

vvLn

CR

TTLn

v

vCR

vvLn

TTLn

2

1

1

2

Relación entre los calores Relación entre los calores específicos de un gas ideal.específicos de un gas ideal.

CvCpK

CvCpR

1

2

1

1

2

k

cttesvv

TT

Primera relación isoentrópica Primera relación isoentrópica para gases ideales.para gases ideales.

De la ecuación:

Igualando a cero:

1

2

1

2

vvLn

CR

TTLn

v

pCR

vvLn

TTLn

2

1

1

2

1

2

1

2,12 P

PRLnTTLnCss promp

KK

cttesPP

TT

/)1(

1

2

1

2

Segunda relación isoentrópica Segunda relación isoentrópica para gases ideales.para gases ideales.

Tercera relación isoentrópica para gases Tercera relación isoentrópica para gases ideales.ideales.

Se obtiene igualando la primera y la segunda relación isoentrópica.

K

cttesvv

PP

2

1

1

2

VALIDAS VALIDAS PARA:PARA:

1

2

1

/)1(

1

2

1

2

kKK

cttesvv

PP

TT

Gases Ideales.Gases Ideales.Procesos isoentrópicos.Procesos isoentrópicos.Calores específicos constantes.Calores específicos constantes.

Calores específicos variables Calores específicos variables (tratamiento exacto).(tratamiento exacto).

Cuando no es apropiada la suposición de calor especifico constante, las relaciones isoentrópicas antes desarrolladas producirán resultados que no son muy exactos. En tales casos, se debe utilizar la siguiente relación isoentrópica:

1

212

1

2120

PPRLnss

PPRLnss

Presión relativa y Volumen especifico Presión relativa y Volumen especifico relativo.relativo.

)/exp()/exp(

1

2

1

2

RsRs

PP

La cantidad se define como la presión relativa Pr, transformándose lo anterior en:

)/exp( Rs

1

2

1

2

r

r

ctesPP

PP

1

2

1

2

r

r

ctesvv

vv

11

22

1

2

//

r

r

PTPT

vv

La cantidad T/P es una cantidad solo de la temperatura y se define como el volumen especifico relativo vr.

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