BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11...
Click here to load reader
Transcript of BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11...
49
BAB 4
PENGUKURAN VARIASI
Kompetensi
Mampu menjelaskan dan menganalisis hal-hal yang berkaitan dengan
pengukuran variasi
Indikator 1. Menjelaskan range
2. Menjelaskan range antar kuartil
3. Menjelaskan deviasi dan menganalisis rata-rata
4. Menjelaskan dan menganalisis standar deviasi
A. Pendahuluan
Pengukuran variasi adalah suatu harga yang menunjukkan besar
kecilnya sekelompok data itu bervariasi. Variasi adalah besarnya
penyimpangan suatu nilai dari nilai sentralnya. Mengapa pengukuran variasi
penting? Untuk memperjelas gambaran tentang sekelompok data.
Pengukuran variasi digunakan untuk melengkapi perhitungan nilai sentralnya.
Dua kelompok data mungkin memiliki rata-rata yang sama, tetapi berbeda
dalam hal variabilitas nilai-nilai observasinya.
Contoh:
Sekelompok data memiliki rata-rata yang sama tetapi variasinya berbeda:
50
30 35 27 25 33 harga rata-rata: 30
40 15 12 70 13 harga rata-rata: 30
Pengukuran variasi yang akan dipelajari adalah: range, range antar
kuartil, range semi antar kuartil, deviasi rata-rata, standar deviasi, varians,
koefisien variasi dan standar score.
B. Range
Range adalah jarak atau beda antar harga tertinggi dengan harga
terendah dari sekelompok data. Semakin besar harga range semakin besar
pula variasinya.
Kelemahan range: range belum mampu menjelaskan bentuk distribusi
angka dalam kelompok data tersebut sebab mungkin terjadi beberapa
kelompok data memiliki range yang sama, namun variasinya berbeda,
contoh:
20, 25, 26, 30, 35 range: 35 – 20 = 15
60, 62, 62, 63, 75 range: 75 – 60 = 15
20, 21, 21, 21, 35 range: 35 – 20 = 15
C. Range Antar Kuartil (RAK)
RAK memberikan gambaran bahwa 50% (antara 25% – 75%) dari data
terletak dalam interval antara kuartil pertama (K1) dengan kuartil ketiga (K3).
Rumus RAK:
RAK = K3 – K1
51
Contoh: K1 = 23, 75 dan K3 = 52, 25 maka Range Antar Kuartil adalah
RAK = 52,25 – 23,75
= 28,5
Artinya bahwa 50% dari jumlah data tersebut akan terletak antara 23,75 dan
52,25 dengan range antar kuartil 28,5.
D. Range Semi Antar Kuartil
Range Semi Antar Kuartil (RSAK) disebut juga dengan Deviasi Kuartil
(DK). Besarnya Deviasi Kuartil sama dengan setengah dari RAK, sehingga
RSAK atau DK dirumuskan:
213 KK
DK−
=
E. Deviasi Rata-Rata
Deviasi Rata-Rata (DR) adalah rata-rata dari harga mutlak semua
penyimpangan suatu nilai terhadap mean groupnya. Harga simpangan atau
deviasi dirumuskan:
XXx −=
Keterangan:
x = deviasi (simpangan) suatu data dari mean groupnya
X = angka/data yang diketahui
tersebutdatakelompokmeanX =
52
Ada dua deviasi rata-rata:
1. Deviasi rata-rata untuk data yang tidak dikelompokkan
Jika dalam penelitian diperoleh data X1, X2,… Xn dengan harga rata-
rata sama dengan X, maka deviasi rata-rata:
nx
DRΣ
=
Keterangan:
XXx −=
x = deviasi (simpangan) suatu data dari mean groupnya
X = angka/data yang diketahui
tersebutdatakelompokmeanX =
n = jumlah data
DR = MD = Mean Deviation = deviasi rata-rata
Contoh:
Tentukan deviasi rata-rata dari data nilai ujian Statistik I dari 10 mahasiswa
FE berikut ini:
53
Tabel 4.1 Nilai Ujian Statistik I
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nilai 90 75 82 60 63 70 60 65 75 70
Penyelesaian:
Tabel 4.2 Perhitungan Deviasi Rata-rata Nilai Ujian Statistik
No Nilai (X) X XXx −= lxl
1. 90
71
19 19
2. 75 4 4
3. 82 11 11
4. 60 -11 11
5. 63 -8 8
6. 70 -1 1
7. 60 -11 11
8. 65 -6 6
9. 75 -4 4
10. 70 -1 1
∑ 710 76
7110710
=== ∑nX
X
6,71076
==Σ
=nx
DR
Jadi rata-rata nilai Statistik I 10 mahasiswa berdeviasi 7,6 dari rata-ratanya
71.
54
2. Deviasi rata-rata untuk data yang dikelompokkan
Perhitungan deviasi rata-rata untuk data yang dikelompokkan
menggunakan perumusan sebagai berikut:
nxf
DRΣ
=
Keterangan:
XXx −=
x = deviasi (simpangan) suatu data dari mean groupnya
X = titik tengah
tersebutdatakelompokmeanX =
f = frekuensi masing-masing kelas
n = Σf
Contoh:
Tentukan deviasi rata-rata dari kelompok data berikut:
55
Tabel 4.3 Umur Karyawan PT Lady Valentine
Umur Jumlah Karyawan
17 – 19 20
20 – 22 39
23 – 25 102
26 – 28 28
29 – 31 11
Penyelesaian:
Tabel 4.4 Perhitungan Deviasi Rata-rata Umur Karyawan PT Lady Valentine
Umur f X fX X XXx −= lxl flxl
17 – 19 20 18 360 23,57
-5,57 5,57 111,4
20 – 22 39 21 819 -2,57 2,57 100,23
23 – 25 102 24 2448 0,43 0,43 43,86
26 – 28 28 27 756 3,43 3,43 96,04
29 – 31 11 30 330 6,43 6,43 70,73
∑ 200 4713 422,26
57,232004713
=== ∑nfX
X
56
11,2200
26,422==
Σ=
nxf
DR
Jadi rata-rata umur 100 karyawan PT Lady Valentine bervariasi 2,11 tahun
dari rata-ratanya 23,57 tahun.
Kelemahan dari deviasi rata-rata adalah ia menggunakan nilai
absolute atau mengabaikan tanda positif dan negative dari deviasi sehingga
menyulitkan manipulasi matematis (Atmaja, 1997).
F. Standar Deviasi
Standar deviasi adalah penyimpangan standar suatu nilai dari mean
groupnya. Standar deviasi positif artinya penyimpangan di atas mean-nya,
sedangkan standar deviasi negatif artinya penyimpangan di bawah mean-
nya. Guna memperbaiki kekurangan standar deviasi, Karl Pearson membuat
nilai deviasi ( XXx −= ) menjadi positif dengan cara dikuadratkan
kemudian diakar. Perhitungan standar deviasi dibagi menjadi:
1. Standar deviasi untuk data yang tidak dikelompokkan
Standar deviasi untuk data yang tidak dikelompokkan dapat dihitung dengan
perumusan sebagai berikut:
Populasi: Nx 2Σ
=σ
57
Sampel : 1
2
−Σ
=n
xSD
Keterangan:
XXx −=
x = deviasi (simpangan) suatu data dari mean groupnya
X = angka/data yang diketahui
tersebutdatakelompokmeanX =
N = banyak data
Jika jumlah data (n) relatif besar, katakanlah lebih besar dari 100, maka
untuk mencari nilai standar deviasi dapat menggunakan perumusan yang
untuk populasi. Tetapi apabila jumlah data (n) kecil, maka untuk mencari nilai
standar deviasi dapat menggunakan perumusan yang untuk sample.
Contoh:
Data berikut merupakan pendapatan pedagang batik di Pasar Beringharjo:
Tabel 4.5 Pendapatan Pedagang Batik Di Pasar Beringharjo
Nama Pedagang Pendapatan (Rp)
Parti 750.000
Siti 775.000
Tinah 800.000
Kanti 725.000
Purwanti 700.000
Berdasarkan data di atas tentukan nilai standar deviasi dari pendapatan
pedagang batik di Pasar Beringharjo:
58
Penyelesaian:
Tabel 4.6 Pendapatan Pedagang Batik Di Pasar Beringharjo
No Nilai (X) X XXx −= x2
1 750.000 750.000 0 0
2 775.000 25,000 625,000,000
3 800.000 50,000 2,500,000,000
4 725.000 (25,000) 625,000,000
5 700.000 (50,000) 2,500,000,000
∑ 3.750.000 6,250,000,000
000.7505
000.750.3=== ∑
nX
X
529.394
000.000.250.61
2
==−
Σ=
nxSD
Jadi rata-rata pendapatan 5 pedagang batik di Pasar Beringharjo berdeviasi
Rp39.529 dari rata-ratanya Rp750.000.
Jika dikerjakan menggunakan SPSS, maka output yang dihasilkan yaitu:
Statistics
PENDPTAN50
750000.0039528.47
ValidMissing
N
MeanStd. Deviation
59
Analisis Nilai mean (rata-rata) pendapatan pedagang batik di Pasar Beringharjo
sebesar Rp750.000 dan nilai standar deviasi Rp39.528,47.
2. Standar deviasi untuk data yang dikelompokkan
Standar deviasi untuk data yang dikelompokkan dapat dihitung dengan
perumusan sebagai berikut:
Populasi: Nfx 2Σ
=σ
Sampel : 1
2
−Σ
=n
fxSD
XXx −=
x = deviasi (simpangan) suatu data dari mean groupnya
X = titik tengah
tersebutdatakelompokmeanX =
N = banyak data
n = Σf
Contoh:
Data di bawah ini menunjukkan distribusi pendapatan per minggu karyawan
di PT Dendro, dengan gaji minimum Rp220.000.
60
Tabel 4.7
Pendapatan Karyawan PT Dendro
Gaji (000) Jumlah Karyawan
220 - 234 8
235 - 249 13
250 - 264 10
265 - 279 18
280 - 294 10
295 - 309 10
310 - 324 16
Jumlah 85
Berdasarkan data tersebut: hitunglah standar deviasi. Penyelesaian:
Tabel 4.8 Pendapatan Karyawan PT Dendro
Gaji (000)
f X fX X XXx −= x2 f x2
220 - 234 8 227 1.816 275,18
-48,18 2321,31 18.570,5
235 - 249 13 242 3.146 -33,18 1100,91 14.311,86
250 - 264 10 257 2.570 -18,18 330,51 3.305,12
265 - 279 18 272 4.896 -3,18 10,11 182,02
280 - 294 10 287 2.870 11,82 139,71 1.397,12
295 - 309 10 302 3.020 26,82 719,31 7.193,12
310 - 324 16 317 5.072 41,82 1748,91 27.982,6
∑ 85 23.390 72.942,35
61
18,27585390.23
=== ∑nfX
X
47,2918535,942.72
1
2
=−
=−
Σ=
nfxSD
Jadi rata-rata pendapatan 85 karyawan PT Dendro berdeviasi Rp29.470 dari
rata-ratanya Rp275.180.
G. Variance
Variance untuk data yang dikelompokkan maupun tidak merupakan pangkat
dua (kuadrat) dari standar deviasinya. Lambangnya adalah SD2 atau S2.
H. Koefisien variasi (V)
Koefisien variasi merupakan rasio atau perbandingan antara standar
deviasi dengan harga rata-ratanya yang biasanya dinyatakan dengan
prosentase. Semakin besar koefisien variasi, semakin besar pula variasi
datanya (datanya semakin tidak homogen).
%100xX
SDV =
V = koefisien variasi
SD = standar deviasi
ratarataX −=
62
Contoh:
Kualitas dari dua merk barang yang sejenis ditunjukkan oleh nilai-nilai berikut
ini:
Merk ABC: 20 15 10 17 18
Merk PQR: 12 13 25 25 18
Jika harga kedua merk barang tersebut relatif sama, manakah yang akan
saudara beli?
Penyelesaian:
Jika perhitungan nilai rata-rata dan standar deviasi dilakukan menggunakan
SPSS, maka diperoleh output sebagai berikut:
Statistics
MERKABC50
16.003.81
ValidMissing
N
MeanStd. Deviation
Statistics
MERKPQR50
18.606.27
ValidMissing
N
MeanStd. Deviation
Berdasarkan output di atas diperoleh nilai rata-rata dan standar deviasi:
Merk ABC Merk PQR
16=X 6,18=X
SD = 3,81 SD = 6,27
63
Sehingga koefisien variasinya:
%81,231001681,3%100 === xx
XSDVABC
%71,331006,18
27,6%100 === xxX
SDVPQR
Berdasarkan hasil perhitungan di atas dapat dikatakan bahwa koefisien
variasi kualitas barang merk ABC lebih kecil daripada koefisien variasi
kualitas barang merk PQR, sehingga dapat disimpulkan bahwa kualitas
barang merk ABC lebih seragam daripada kualitas barang merk PQR. Jadi
jika harga kedua barang tersebut relative sama sebaiknya membeli barang
merk ABC.
I. Standar Score (Z)
Standar score atau angka standar merupakan suatu alat untuk menilai
besarnya harga suatu variabel (gejala) terhadap rata-ratanya yang
dinyatakan dengan satuan standar deviasi. Angka standar ini dapat
digunakan untuk menilai perubahan (kenaikan atau penurunan) suatu
variabel (gejala) dari rata-ratanya. Semakin besar angka standar, semakin
besar pula perubahan variabel tersebut.
SDXXZ −
=
Z = angka standar
X = harga suatu variabel
64
ratarataX −=
SD= standar deviasi
Nilai Z akan negatif jika data variable tersebut mengalami penurunan
dan Nilai Z akan positif jika data variable tersebut mengalami kenaikan.
J. Rangkuman
Deviasi Rata-Rata (DR) adalah rata-rata dari harga mutlak semua
penyimpangan suatu nilai terhadap mean groupnya. Standar deviasi adalah
penyimpangan standar suatu nilai dari mean groupnya.
Koefisien variasi merupakan rasio atau perbandingan antara standar
deviasi dengan harga rata-ratanya yang biasanya dinyatakan dengan
prosentase. Standar score atau angka standar merupakan suatu alat untuk
menilai besarnya harga suatu variabel (gejala) terhadap rata-ratanya yang
dinyatakan dengan satuan standar deviasi.
K. Latihan Soal
1. Data gaji karyawan PT Aura yaitu:
65
Tabel 4.9 Gaji Karyawan PT Dendro
Gaji (Ribuan)
Jumlah Karyawan
500 – 549 550 - 599 600 - 649 650 - 699 700 - 749 750 - 779 800 - 849
20 10 15 5 10 15 5
Berdasarkan data di atas hitunglah:
a. Deviasi rata-rata.
b. Standar deviasi.
2. Berikut ini adalah data nilai ujian statistik:
Tabel 4.10 Nilai Ujian Statistik
Nilai Ujian Statistik Frekuensi
Kurang dari 30 Kurang dari 40 Kurang dari 50 Kurang dari 60 Kurang dari 70 Kurang dari 80 Kurang dari 90
0 10 15 22 35 47 60
66
Berdasarkan data di atas hitunglah:
a. Deviasi rata-rata
b. Deviasi standar
3. Data pendapatan pedagang kaki lima di Malioboro ditunjukkan table 4.11:
Tabel 4.11 Pendapatan Pedagang Kaki Lima Di Malioboro
Pendapatan (000) Frekuensi
750 atau lebih 1.000 atau lebih 1.250 atau lebih 1.500 atau lebih 1.750 atau lebih 2.000 atau lebih
150 125 105 75 20 0
Berdasarkan data di atas hitunglah:
a. Deviasi rata-rata
b. Deviasi standar
4. Ada 2 kelompok belajar yang masing-masing terdiri dari 10 orang. Usia
anggota kelompok adalah:
67
Tabel 4.12 Data Usia Masing-masing Kelompok
Kelompok I (Tahun)
Kelompok II (Tahun)
18 17 19 20 20 21 23 25 24 20
19 17 17 17 18 18 20 20 21 26
Berdasarkan data di atas, kelompok mana yang usia anggotanya lebih
seragam berdasarkan:
a. Deviasi rata-rata
b. Deviasi standar
c. Koefisien variasi
68