Autoregresszív és

mozgóátlag

folyamatokGéczi-Papp Renáta

Autoregresszív folyamat

Az Yt diszkrét paraméterű sztochasztikus

folyamatok k-ad rendű autoregresszív

folyamatnak nevezzük, ha

𝑌𝑡 = 𝛼1 ∗ 𝑌𝑡−1 +⋯+ 𝛼𝑘 ∗ 𝑌𝑡−𝑘 + 𝜀𝑡

Ahol:

αi konstansok

Yt fehér zaj (várható értéke 0, szórása σy)

2

Autoregresszív folyamat

Alapkifejezés nagyon hasonló a többváltozós

regresszióhoz → „regresszív”

Saját késleltetett értékeivel magyarázzuk az Y

változásait → „auto”

„Az AR folyamatokkal általában azokat az

idősorokat modellezhetjük, amelyekről feltehetjük,

hogy jelen idejű értékeik alakulásában a közvetlen

múlton kívül a véletlen hiba is beleszól” (Prof. Dr.

Besenyei Lajos, Domán Csaba (2011))

3

Forrás:

http://www.math.bme.hu/~mogy/oktatas/villamosMSC/het_7_stacionarius.pdf

4

Mozgóátlag-folyamat

Az Yt diszkrét paraméterű sztochasztikus

folyamatot k-ad rendű mozgóátlag folyamatnak

nevezzük, ha

𝑌𝑡 = 𝛽0 ∗ 𝑈𝑡 + 𝛽1 ∗ 𝑈𝑡−1 +⋯+ 𝛽𝑘 ∗ 𝑈𝑡−𝑘

Ahol

βk konstansok

Ut diszkrét fehér zaj (várható érték 0, szórás σu)

5

Mozgóátlag-folyamat

MA folyamat várható értéke és

autokovarianciája „t”-től független

konstansok

Gyenge stacionárius folyamat

6

Forrás:

http://www.math.bme.hu/~mogy/oktatas/villamosMSC/het_7_stacionarius.pdf7

AR és MA folyamatok

A két típusú folyamatok ki lehet

egymásból fejezni

Mindkét esetben különböző rendeket

különböztethetünk meg

AR(p)

MA(q)

Ahol p és q a folyamat rendjét jelenti

8

ARMA modellek

Autoregresszív és Mozgóátlag modellek

(autoregressive and moving-average)

Sztochasztikus idősorelemzés

legegyszerűbb és leginkább elterjedt

módszere

AR és MA folyamatokat egyesít

Paraméterek megállapítása általában

empirikus idősor alapján9

ARMA (p,q)

𝑌𝑡 = 𝛼1𝑌𝑡−1 + 𝛼2𝑌𝑡.2 +⋯+ 𝛼𝑝𝑌𝑡−𝑝 +

𝜀𝑡 + 𝛽1𝜀𝑡−1 +⋯+ 𝛽𝑞𝜀𝑡−𝑞,

Ahol

εt fehér zaj

p és q az autoregresszív és mozgóátlag

folyamat rendje

10

ARMA(p,q)

Az AR tag arra utal, hogy Yt részben saját, véges

múltjának lineáris regressziójaként írható fel

A MA tag arra utal, hogy a lineáris regresszió

hibatagja az εt fehérzaj mozgó átlaga, vagyis a

jelen és a véges múlt lineáris kombinációja

(Prof. Dr. Besenyei Lajos, Domán Csaba (2011))

11

ARMA (p,q)

modellezés

Forrás: Kehl, Sipos: Excel

parancsfájlok felhasználása a

statisztikai elemzésekben (2011)

12

Forrás: Kehl, Sipos: Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben (2011)13

Forrás: Kehl, Sipos: Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben (2011)14

Forrás: http://www.federalreserve.gov/pubs/feds/2008/200806/

15

Identifikáció

Paraméterek becslésére több lehetőség is, a

feltételektől függően (pl. momentumok

módszere, OLS, stb.)

Autokorrelációs és parciális autokorrelációs fv.

árulkodó

Folyamat ACF PACF

AR(p) ≠0 ha τ>p akkor =0

MA(q) ha τ>q akkor =0 ≠0

16

Takarékosság elve

Principle of parsimony

Mindig a legegyszerűbb modell

kialakítására kell törekedni, vagyis azt a

reprezentációt kell keresni, amely a

legkevesebb paramétert tartalmazza

17

Modellválasztás

pmax és qmax meghatározása

(ökölszabály: ne legyen 3-nál nagyobb)

Minden ARMA modell becslése

Egy információs kritérium

minimalizálása (takarékosság elve)

Kiválasztott modell helyességének

ellenőrzése

Forrás: Rappai Gábor18

Információs kritériumok

1. Előrejelzés végső hibája (final prediction

error)

2. Akaike

3. Schwarz

4. Hannan - Quinn

19

ARIMA (p,d,q)

Autoregresszív Integrált Mozgóátlag modell

Legáltalánosabb, megengedi a stacionárius

transzformációkat (differenciálás,

logaritmizálás)

p= autoregresszió rendje

d= differenciák száma (nem szezonális

különbségek)

q= mozgóátlag rendje20

Ismert ARIMA modellek

ARIMA (p, d, q)

ARIMA (0,1,0)=véletlen bolyongás

ARIMA (1,1,0)=módosított elsőrendű

autoregresszív modell

ARIMA (0,1,1) nem állandó=egyszerű

exponenciális simítás

ARIMA (0,1,1)=állandó egyszerű

exponenciális simítás a növekedés

ARIMA (0,2,1) és (0,2,2) nem állandó=lineáris

exponenciális simítás

A „vegyes” modell - ARIMA (1,1,1)

Forrás: (Prof. Dr. Besenyei Lajos, Domán Csaba (2011))

21

Autokorreláció tesztelése

Forrás: Kehl, Sipos: Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben (2011)22

AR és MA

rendjének

meghatározása

információs

kritériumok

segítségével

Forrás: saját számítás, EViews programmal

23

ARMA modell becslése

Forrás: saját számítás, EViews programmal

24

Előrejelzés ARMA modellel

Forrás: saját számítás, EViews programmal

25

Köszönöm a figyelmet!

26