Automatique PTSI

7/21/2019 Automatique PTSI

http://slidepdf.com/reader/full/automatique-ptsi 1/131

LATEX ε



ii



I



iv



v

II



L



M

M = 1 M = 0

M



8 28 256

ω

ω

M

ω

ω



U

S i (t)

ei (t)



{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

100

0

101

1

B

B

B

{0,1}

{0,1,2, . . . ,9,A,B,C,D,E,F }



01101001

26 + 25 + 23 + 20 = (105)10



(11111010110)2 4 × 4 = 16

p n n p 1 (n − p) 0

C pn = n! p!·(n− p)!

1 0

C pn!

3 5 10!

3628800

3 5

C 35 = 5!

3!2! = 10



10

10!

3628800

3628800

b4 b3 b2 b1 b0

1 0



E = {0,1}

S = a

S = a

S = a + b

S = a · b



•

S =

•

S =

•

S =

S = 1

•

S =

S = 1



a + b = b + a a · b = b · a

(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)

a · (b + c) = a · b + a · c a + (b · c) = (a + b) · (a + c)

a + 0 = a a · 1 = a

a + a = 1 a · a = 0 a + a = a a · a = a

a = a

a + 1 = 1 a · 0 = 0

a + (a · b) = a a · (a + b) = a

a + b = a · b a · b = a + b

n

•

S =

S = 1

S =

•

S =

S = 1

S =



16 24

•

S = a ⊕ b

S = 1

•

S =

S = 1

S =

•

S =

S =



•

S =

M

M = f ( p,e,c,d)

S =



n

2n p q

S =

S =

S =



S =

a + 0 = a a + a = 1 a · 1 = a a · a = 0 a + 1 = 1 a · 0 = 0 a = a

M = p · e · d · c + p · e · d · c + p · e · d · c

M =M =M =



a + a = 1

S = a · b · c · d + a · b · c · d + a · b · c · d

S =S =S =

00

01

03

02

04

05

07

06

012

113

015

014

08

19

111

010

S =



2n

10

11

13

02

04

05

07

06

112

113

015

114

08

19

111

010

an · xn

an



Φ

Φ

10

11

13

02

04

05

07

06

112

113

015

114

0 8 Φ 9 Φ11 0 10

Φ = 0

·



a + a · b = a ⇔

a + 0 = a ⇔

(

)

(

)

10

11

13

02

04

05

07

06

112

113

015

114

08

19

111

010



M = p ·d ·(c + e)



M = p · d · (c + e)

M = p · d · (c + e) = p · d · (c + e) = p · d · (c · e)

M = p · d · (c + e) = p · d · (c + e) = p + d + (c + e)



P

S i(t) = f (e1,e2, . . . ,en).

S i(t) = f (e1,e2, . . . ,en,t)



X i

ti



X i



M = a · (x + m)



M = a · x + m



−

ε



L



{3;10;101}

0 1 10



X i i X i = 1 i X i = 0 i

SX i S (X i) X i



◦

◦

◦

◦

◦



C i

C j

A = X 20 · p B = X 20



1

↑ ∗

↓ ∗



40

50

60

c

c

c

70

1

Evacuation

40

50

60

70

e

e

e

Evacuation

cartons ØvacuØs

a



X 6/X 10



10 A:=1 20 K:=1 30

b

B:=B+1 a

C:=C+1



N

I



Actionneur Système

physique

Capteur

SortieConsigne

Perturbation



S

E

S

E

Réflexion Action

Observation

-

SortieConsigne

Mesure de la sortie



◦



Correcteur Servomoteur

Accélérateur

Moteur

voiture

Capteur

de vitesse

+

-

Calculateur

Sortie

(km/h)

Consigne

(km/h)

Mesure de la sortie

(V)

Erreur

(V)

Perturbation

(montée, descente)

Transducteur

(bouton)

Image

consigne (V)



εs

a e(t) = a · t

εv

tr t5%



t



Système

Capteur

+-

Sortie

Mesure de la sortie

ErreurConsigne

Correcteur

Système

Capteur

+-

Sortie

Mesure de la sortie

ErreurConsigne

+-

Correcteur



L

Se(t) s(t)



θ

θconsigne

θconsigne

θ − θconsigne

δ m

[e (t) −→ s (t)] =⇒ [e (t − τ ) −→ s (t − τ )]

t = 0

τ



e (t) s (t)

λ · e (t) λ · s (t)

e1 (t) s1 (t) e2 (t) s2 (t)

e1 (t) + e2 (t) s1 (t) + s2 (t)



◦

e (t) = e0 · u (t)

u (t)

t = 0 ∀t < 0; u (t) = 0∀t > 0; u (t) = 1

e0 = 1



δ (t) = d

dtu (t)

e (t) = e0 · sin(ω · t + ϕ) · u (t)

eo

ω

ϕ



f (t) L (f (t)) = F ( p)

[a · f (t) + b · g (t)] · u (t) a · F ( p) + b · G ( p)

df (t)

dt · u (t) pF ( p) − f (0+)

d2f (t)

dt2 · u (t) p pF ( p)−f (0+)

−f (0+)

g(t) =

t0

f (x) · dx · u (t) F ( p)

p +

g(0+)

p

f (t − τ ) e− pτ · F ( p)

f (at) · u (t) 1

a

· F pa

f (t) L (f (t)) = F ( p)

e−at · f (t) F ( p + a)

limt→0

f (t) = lim p→∞ p · F ( p)

limt→∞ f (t) = lim

p→0 p · F ( p)

f (t) ∗ g(t) =

t0

f (u) · g(t − u)du

L (f (t) ∗ g(t)) = F ( p) · G( p)



f (t) · u(t) F ( p) f (t) · u(t) F ( p)

δ (t) K · u(t) K

p

Kt · u(t)K

p2 e−at · u(t)

1

p + a

sin ωt · u(t)ω

p2 + ω2 cos ωt · u(t) p

p2 + ω2

sinh ωt · u(t)ω

p2 − ω2 cosh ωt · u(t) p

p2 − ω2

e−at · sin ωt · u(t)ω

( p + a)2 + ω2 e−at · cos ωt · u(t) p + a

( p + a)2 + ω2

tn · u(t)n!

pn+1

tn · e−at

n! · u(t)

1

( p + a)n+1

1 − e−

tτ

· u(t)

1

p (1 + τ p)1

τ e−

tτ · u(t)

1

(1 + τ p)t − τ + τ e−

tτ

· u(t)

1

p2 (1 + τ p)t

τ 2e−

tτ · u(t)

1

(1 + τ p)2



E ( p) S ( p)

H ( p)

S ( p) = H ( p) · E ( p)

S ( p) = H ( p) · E ( p)H(p)

E(p) S(p)

Processus

physique

Sortie

Perturbation

Entrée 1

Entrée 2

Sortie

Perturbation

Entrée 1

Entrée 2

+ -+

+

Actionneur

Entrée ProcessCommande

Transducteur

Image consigneConsigne



Capteur

Image SortieSortie

+-

Image sortie

EcartImage consigne

Régulateur

CommandeEcart

Transducteur

Consigne

Régulateur+ --

Capteur

Image Sortie

Sortie

Actionneur Process+ -+

Perturbation

H ( p)



H1(p)X1(p)

H2(p)Y(p)X(p)

H(p)X(p) Y(p)

H ( p) =

H1(p)X(p)

H2(p)

Y(p)

++

Y1(p)

Y2(p)

H(p)X(p) Y(p)

H ( p) =

+-

H1(p)Y(p)

H2(p)

X(p) E(p)

Y1(p)

H(p)X(p) Y(p)

H ( p) =

+-

H1(p)Y(p)X(p) R(p)

H(p)X(p) Y(p)

H ( p) =

+-

H(p)Y(p)

G(p)

X(p) E(p)

R(p)



U

s(t) = K · e(t) ⇔ S ( p) = K · E ( p) ⇒ H ( p) = K

ds(t)

dt = K · e(t) ⇔ p · S ( p) = K · E ( p) ⇒ H ( p) =

K

p

e(t) s(t)

s(t)

τ · ds(t)

dt + s(t) = K · e(t)

K

K = s(t)

e(t)

s(t) = 0

τ



s(0) = 0

τ · p · S ( p) + S ( p) = K · E ( p)

H ( p) = S ( p)

E ( p) =

K

1 + τ · p

e(t) = u(t)

E ( p) = 1 p

S ( p) = K

1 + τ · p ·

1

p =

K

p −

K · τ

1 + τ · p

s(t)

s(t) = K ·

1 − e−tτ

· u(t)

s(t)

H ( p) = 2

1 + 3 · p



s(0+) = s(τ ) = s(3τ ) =

ds(t)

dt = ⇒ lim

t→0+

ds(t)

dt =

t5% =

ε(∞) = limt→∞ (e(t) − s(t)) =

K

τ

e(t) = δ (t)

E ( p) = 1

S ( p) = H ( p) = K

1 + τ · p =

K τ

1τ

+ p

s(t) = K

τ · e−

tτ · u(t)



e(t) =a ·t ·u(t)

E ( p) = a p2

S ( p) = K

1 + τ p ·

a

p2

s(t) = a · K ·

t − τ + τ · e−tτ

· u(t)

s(t) e(t) = 2 · t · u(t)

H 1( p) = 1

1 + 3 · p H 2( p) =

2

1 + 3 · p

s(0+) = limt→∞

s(t) =

ds(t)

dt = ⇒ lim

t→0+

ds(t)

dt =

∆ = limt→∞ (e(t) − s(t)) =



s(t)

τ 2 · d2s(t)

dt2 + 2ξ · τ ·

ds(t)

dt + s(t) = K · e(t)

K τ ξ

ξ > 0

ω0 = 1τ

rad · s−1

1

ω20

· d2s(t)

dt2 + 2

ξ

ω0· ds(t)

dt + s(t) = K · e(t)

d2

s(t)dt2

ds(t)dt

s(t)

s(t)

s(0) = ds(t)dt

= 0

τ 2 · p2 · S ( p) + 2 · τ · ξ · p · S ( p) + S ( p) = K · E ( p)

H ( p) = S ( p)

E ( p) =

K

τ 2 · p2 + 2 · τ · ξ · p + 1 =

Kω20

p2 + 2 · ω0 · ξ · p + ω20

e(t) = e0 · u(t) E ( p) = e0 p

S ( p)

S ( p) = e0

p ·

Kω20

p2 + 2 · ω0 · ξ · p + ω20

e0 = 1



τ 1 = − 1 p1

τ 2 = − 1 p2

s(t) = K

1 −

1

τ 1 − τ 2·

τ 1 · e− t

τ 1 − τ 2 · e− t

τ 2

ξ ≥ 1

ξ = 1

p = −ω0

S ( p) = K · ω2

0

( p + ω0)2 · p= −

K · ω0

( p + ω0)2 −

K

( p + ω0) +

K

p

s(t) = K

1 − (1 + ω0 · t) · e−ω0·t

t5%



k

Drk% =

s(∞) − s(tk)

s(∞)

= e

−ξω0tk 1 − ξ 2

· sin

ω0

1 − ξ 2 · tk + ψ = e

− ξkπ√ 1−ξ2

ξ

0.01 0.1 10.01

0.1

1

Coefficient d’ammortissement ξ

D é p a s s e m e n t D

r k %

k=1

k=2

k=3k=4

k=5



ξ = 0,7

ω0 · t5%

0.01 0.1 1 10 1001

3

5

10

30

50

100

300

500

1000

amortissment ξ

ω o

⋅ t r



f (t) · u(t) F ( p) f (t) · u(t) F ( p)

δ (t) K · u(t) K

p

Kt · u(t)K

p2 e−at · u(t)

1

p + a

sin ωt · u(t)ω

p2 + ω2 cos ωt · u(t) p

p2 + ω2

sinh ωt · u(t)ω

p2 − ω2 cosh ωt · u(t) p

p2 − ω2

e−at · sin ωt · u(t)ω

( p + a)2 + ω2 e−at · cos ωt · u(t) p + a( p + a)2 + ω2

tn · u(t)n!

pn+1tn · e−at

n! · u(t)

1

( p + a)n+1

1 − e−

tτ

· u(t)

1

p (1 + τ p)1

τ e−

tτ · u(t)

1

(1 + τ p)t − τ + τ e−

tτ

· u(t)

1

p2 (1 + τ p)t

τ 2e−

tτ · u(t)

1

(1 + τ p)2



f (t) · u(t) F ( p)

t − 2τ + (t + 2τ ) e−

tτ

· u(t)

1

p2 (1 + τ p)2

1 −

t + τ

τ e−t

τ

· u(t)1

p (1 + τ p)2

1

τ − ν

e−

tτ − e−

tν

· u(t)

1

(1 + τ p) (1 + νp)

1 +

1

τ − ν

τ e−

tτ − νe−

tν

· u(t)

1

p (1 + τ p) (1 + νp)

t − (τ + ν ) + 1

τ − ν τ 2e−tτ − ν 2e−

tν

· u(t) 1

p2 (1 + τ p) (1 + νp)

ω0

1 − ξ 2e−ξω0t sin

ω0

1 − ξ 2t

· u(t)1

1 + 2ξ pω0

+ pω0

2 ξ < 1

1 −

1 1 − ξ 2

e−ξω0t sin

ω0

1 − ξ 2t + ψ

· u(t)1

p

1 + 2ξ p

ω0+ pω0

2 ξ = cos ψξ < 1



U = R · i

i

U

R

I(p) U(p)

R

U(p) I(p)

1/R

U = L didt

i

U

L

I(p) U(p)Lp

U(p) I(p)

1/Lp

U = 1

C

i · dt

i

U

C I(p) U(p)

1/Cp

U(p) I(p)Cp



F = k · x FF

X(p) F(p)

k

F(p) X(p)1/k

F = f vdx

dt

F F

F = M d2x

dt2

FM

C = J dω

dt



◦

Automatique PTSI

Documents

Transcript of Automatique PTSI