AUTOMATIQUE SLCI - chauvincpge.free.frchauvincpge.free.fr/slci/SLCI_cours.pdf · 5.3 Identification...

SLCI - Cours PTSI - SII

SLCI : AUTOMATIQUE - SLCI SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS ET INVARIANTS

SYSTEMES ASSERVIS

(COURS)

Consigne Entrée

E(p)

Mise en forme du signal

Amplificateur ou correcteur

Actionneur (et pré-actionneur)

Système dynamique

Capteur

Chaîne de retour R(p)

Chaîne directe D(p)

Sortie

S(p)

Perturbation

Ecart

ε(p) +

-

D(p)FTBF(p) =

1+FTBO(p) avec FTBO(p) = D(p).R(p)

Entrée (consigne)

Sortie (réponse) d’un système du 2e ordre

SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS ET INVARIANTS

Table des matières

1 Introduction générale à l’automatique 1 1.1 Définitions : automatique et automatisation 1 1.2 Buts et motivations 1 1.3 Bref historique 2 1.4 Différents types de systèmes automatisés 3

2 Présentation des systèmes asservis 4 2.1 Structure d’un système asservi 4 2.2 Limite d’étude (linéarité, continuité, invariance) 5 2.3 Critères quantifiant les performances d’un SLCI 6 2.4 Schématisation par schéma-bloc fonctionnel 7

3 Modélisation dans le domaine de Laplace 9 3.1 Démarche de modélisation et d’étude des systèmes asservis 9 3.2 Modélisation des SLCI par équation différentielle 9 3.3 Transformée de Laplace et fonction de transfert 11 3.3.1 Définition de la transformée de Laplace 11 3.3.2 Propriétés 12 3.3.3 Fonction de transfert (transmittance) d’un système linéaire 15 3.3.4 Transformée de Laplace de fonctions usuelles 16 3.3.5 Transformée inverse de Laplace 18 3.4 Manipulation des schémas-blocs et des fonctions de transfert 19 3.4.1 Manipulations de base 19 3.4.2 Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (FTBO) / en Boucle Fermée (FTBF) 21 3.4.3 Système multi-variables (multi-entrées) : Superposition 22 3.4.4 Exemple d’un vérin électrique asservi en position λ(t) 23

4 Analyse temporelle de SLCI particuliers 24 4.1 Système à action proportionnelle (gain pur) 24 4.2 Système intégrateur 24 4.3 Système du 1er ordre 25 4.4 Système du 2e ordre 28

5 Identification temporelle à un modèle 34 5.1 Modélisation 34 5.2 Identification à un système du 1er ordre 35 5.3 Identification à un système du 2e ordre apériodique 36 5.4 Identification à un système du 2e ordre oscillant 37

6 Analyse harmonique d’un SLCI 38 6.1 Étude fréquentielle dans le cas général 38 6.2 Diagrammes de représentation de la fonction de transfert 40 6.3 Réponse harmonique des systèmes simples 42 6.4 Réponse harmonique d’un système du 1er ordre 43 6.5 Réponse harmonique d’un système du 2e ordre 44 6.6 Fonction de transfert avec un polynôme au numérateur 47 6.7 Multiplication de fonctions de transfert 48 6.8 Bande passante 49 ANNEXES 50 A1 Tableau des transformées de Laplace des fonctions usuelles 50 A2 Transformée inverse de Laplace 51 A3 Abaque permettant de déterminer le temps de réponse à 5% d’un 2e ordre oscillant 56 A4 Abaque des dépassements relatifs d’un 2e ordre oscillant 57

SLCI : Modéliser les systèmes asservis (linéaires continus et invariants)

Extrait des compétences attendues, d’après le programme officiel :

Compétence Descriptif Connaissances Savoir-faire

A - ANA- LYSER

A3 - Conduire l'analyse

À partir d’un système et/ou de sa documentation technique, l’étudiant doit être capable de : - définir la structure d'un système ; - qualifier le comportement.

Structure des systèmes asservis · Définition et structure d'un système asservi : chaîne directe (ou chaîne d'action), chaîne de retour (ou chaîne d'acquisition), comparateur et écart ; · Consigne, perturbation ; · Régulation, poursuite ; · Définition des performances : rapidité, précision et stabilité.

Justifier la nécessité d’un asservissement (analyse du couple performances / perturbations).

S2

B - MO-DÉLI-SER

B2 - Proposer

un modèle

Un système étant fourni, et les exigences définies, l’étudiant doit être capable de : - définir les hypothèses retenues pour la proposition d’un modèle ; - proposer un modèle de connaissance du système ou partie du système à partir des lois physiques ; - proposer un modèle de comportement du système ou partie du système à partir des résultats expérimentaux.

Systèmes linéaires continus et invariants · Modélisation par équations différentielles ; · Représentation par fonction de transfert (formalisme de Laplace) ; · Modèles canoniques 1er et 2ème ordre.

- Identifier le comportement d’un système pour l’assimiler à un modèle canonique, à partir d’une réponse temporelle ou fréquentielle ; - Établir un modèle de comportement à partir de relevés expérimentaux

S1

Systèmes linéaires continus invariants asservis · Représentation par schémabloc ; · Fonction de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée ; · Classe d’un système.

- Établir le schéma-bloc du système ; - Déterminer les fonctions de transfert du système en boucle ouverte et en boucle fermée.

S1

C - RESO

U- DRE

À partir des modèles retenus : - choisir une méthode de résolution analytique, graphique, numérique ; - mettre en œuvre une méthode de résolution.

Performances d’un système asservi · Simplification d’un schéma bloc : déplacement d’un sommateur, déplacement d’un point de prélèvement.

- Déterminer à partir d’un schéma bloc ou d’une fonction de transfert les grandeurs caractérisant les performances du modèle ; - Tracer une réponse temporelle ou fréquentielle.

S2

SLCI (systèmes asservis) 1) Intro à l’automatique 1

1) INTRODUCTION GENERALE A L’AUTOMATIQUE

1.1) Définitions : automatique et automatisation L’automatique est à la fois une science et une technique qui étudie les méthodes scientifiques et les moyens techniques pour la conception et la réalisation des systèmes automatisés.

L’automatisation est l’exécution totale ou partielle de tâches domestiques, industrielles, administratives ou scientifiques sans intervention humaine.

1.2) Buts et motivations La motivation primitive est apparue depuis que l’homme a cherché à économiser son énergie musculaire en exploitant d’autres formes d’énergie : énergie animale, énergie hydraulique, énergie éolienne. Les inventions du moteur électrique et du moteur thermique ont renforcé cette évolution.

Aujourd’hui, l’automatisation permet de remplacer l’homme aussi bien dans les tâches opérationnelles, que dans les tâches informationnelles. Les systèmes automatisés (SA) permettent de :

Améliorer la sécurité.

Les SA réalisent des opérations trop complexes ou trop dangereuses qui ne peuvent pas être confiées à l’homme (alunissage d’un engin spatial, maintenance et contrôle dans les centrales nucléaires…).

Améliorer le confort.

Les SA substituent l’homme dans les opérations répétitives ou pénibles à son travail (manutention…) ou dans sa vie quotidienne (électroménager, boîte de vitesses automatique, embrayage piloté…).

Améliorer la qualité.

Les SA accroissent la précision (gestion électronique de moteur thermique, ABS, pilote automatique de bateau, applications militaires…).

Améliorer la productivité.

Les SA augmentent les cadences (chaîne de montage, atelier automatisé…). L’homme reste, cependant indispensable pour le pilotage des opérations. Il assure les tâches informationnelles, bien qu’il soit soulagé des tâches opérationnelles…


1.3) Bref historique

• La « préhistoire » de l’automatique : de l’antiquité au milieu du 19ème siècle

Des inventeurs géniaux ont conçu des systèmes automatiques de manière purement intuitive.

250 av J.C., la clepsydre ou horloge à eau de Ctésibios (régulation de niveau)

(voir schéma ci-contre montrant le principe de fonctionnement). Pour obtenir le déplacement du pointeau (horloge), on fait varier le volume d’eau d’une manière proportionnelle au temps en utilisant un débit d’alimentation Q constant.

Ctésibios eut l’idée d’installer un réservoir intermédiaire. Remarquant que pour obtenir un débit Q constant il faut que la hauteur d’eau h soit constante, il installa un flotteur qui, en obturant l’orifice de sortie du bac supérieur, permettait de maintenir une hauteur h constante et donc un débit Q constant.

1643 : la calculatrice de Pascal : Au cours du 17ème siècle, apparaissent les premières calculatrices (conçues par Pascal en 1643 et Leibniz en 1673) réalisant les quatre opérations de base. Ces calculatrices étaient constituées de roues dentées engrenant entre elles.

1788 : le régulateur à boules de Watt.

Le régulateur de Watt a pour but de maintenir constante la vitesse de rotation ω d’une turbine à vapeur. La commande d’admission de vapeur dans la turbine est contrôlée par un robinet.

Quand la vitesse de rotation ω de l’axe de la turbine augmente, les boules ont tendance à s’éloigner de cet axe par effet centrifuge, provoquant par l’intermédiaire de tringles, la fermeture progressive du robinet d’alimentation en vapeur de la turbine, ce qui diminue ω : on obtient ainsi une stabilisation de la vitesse angulaire ω.

1801 : Jacquard et son métier à tisser à cartes perforées.

Leur fonctionnement reproduit le travail manuel des dentellières.

• Seconde période : milieu du 19ème au milieu du 20ème siècle

L’empirisme fait place à une théorie du bouclage et à l’application de l’algèbre de Boole.

Des études portent sur la stabilité des systèmes de commande et l’analyse du domaine fréquentiel.

• Troisième période : depuis le milieu des années cinquante

L’apparition des calculateurs numériques (à base de transistors) révolutionne le monde de l’automatique.


1.4) Différents types de systèmes automatisés

1.4.1) Systèmes à évènements discrets (logiques ou numériques)

Les systèmes à évènements discrets (SED) sont des systèmes dont l’état change seulement à certains instants, lors de l’occurrence d’évènements particuliers, et dont les variables sont discrètes, contrairement aux systèmes continus dont l’état change en permanence avec l’évolution du temps.

Dans un système logique, les grandeurs d’entrée et de sortie sont des variables binaires (0 ou 1, ouvert ou fermé…). La commande est alors appelée TOR (Tout Ou Rien). Les systèmes à variables numériques (ou discrètes) ont quant à eux des grandeurs d’entrées et de sorties numériques, c’est-à-dire ayant une valeur parmi un nombre fini de valeurs possibles.

Dans les systèmes pluritechniques, l’information logique d’entrée provient d’un détecteur, d’un bouton poussoir, d’un contact ; l’ordre logique de sortie sert à démarrer / arrêter un moteur, à faire bouger la tige d’un vérin… Les carte de commande et les ordinateurs (basés tous deux sur des microprocesseurs) sont des systèmes numériques à évènements discrets, et sont aujourd’hui très répandus pour commander les systèmes pluritechniques.

a) Systèmes combinatoires

Ces systèmes n’utilisent aucun mécanisme de mémorisation (ils n’ont pas de mémoire). Les grandeurs de sortie s’expriment comme une combinaison des grandeurs d’entrée.

Exemple :

Grandeurs d’entrée Grandeurs de sortie

Ouvre-portail Bouton ouverture (o)

Bouton fermeture (f)… Mettre en marche le moteur (M)

Allumer borne lumineuse (L)

b) Systèmes séquentiels

Ces systèmes mémorisent l’état précédent. Les grandeurs de sortie s’expriment comme une combinaison des grandeurs d’entrée ET de l’état précédent des grandeurs d’entrée et de sortie. Exemple : bouton marche/arrêt d’une télécommande de télévision : même entrée (impulsion sur le

bouton) mais 2 actions différentes (marche ou arrêt).

Exemple :


Capsuleuse de bocaux

Présence bocal

Bocal bloqué Tiroir rentré…

Sortir tiroir

Convoyer bocal Visser capsule…

1.4.2) Systèmes linéaires, continus et invariants

Les grandeurs d’entrée et de sortie évoluent de manière continue en fonction du temps.

On désire que la sortie suive avec précision les variations de l’entrée et ceci, avec un temps de réponse minimum. Après modélisation, la relation entre les grandeurs d’entrée et de sortie s’exprime sous la forme d’une équation différentielle. Ces systèmes peuvent être très complexes. Au laboratoire, on peut trouver :


Axe de robot cueilleur Angle de l’axe souhaité θconsigne Angle de l’axe réel θ

Direction assistée de véhicule Angle de braquage souhaité θc Angle de braquage réel θ

Une cordeuse de raquette Tension de la corde souhaitée Tc Tension de la corde réelle T

SLCI (systèmes asservis) 2) Présentation 4

2) PRESENTATION DES SYSTEMES ASSERVIS

2.1) Structure d’un système asservi

• Système non asservi (commande en chaîne directe)

Un système automatique non asservi peut parfaitement fonctionner tant qu'il n'est pas perturbé, mais présenter un comportement inadapté lorsqu'une perturbation intervient. La sortie obtenue n'est alors plus la valeur attendue initialement.

Exemple : chauffage automatique

d'une pièce. Si l'on veut une

température T1, on envoie un

certain débit d'eau chaude (Q)

dans les radiateurs. Ce débit

compense les pertes thermiques

des pièces et la température

obtenue est donc stable à T1 s’il

n’y a pas de perturbations.

Si l'on ouvre une fenêtre ou une

porte (perturbation), la

température obtenue est T2 (non

désirée).

Il est donc nécessaire de vérifier la valeur de la température de la pièce pour adapter le débit d'eau chaude envoyé dans les radiateurs. C'est ce que l'on appelle un asservissement (ou régulation).

• Système asservi (commande en chaîne fermée)

Dire que le système est asservi est un abus de langage. En fait, c’est la grandeur de sortie du système qui est asservie (asservie à l’entrée). L'asservissement est réalisé grâce à une boucle de retour. Cette boucle est généralement constituée d'un capteur, qui permet de mesurer l'état de la sortie à chaque instant. Cette information est analysée par la chaîne d'information (voir cours « Analyse des systèmes »), et comparée à la consigne d'entrée.

L'écart entre la valeur de la consigne et la valeur de la sortie permet au calculateur d'élaborer un ordre vers la chaîne d'énergie.

Exemple : chauffage automatisé d'une pièce. Un capteur permet de mesurer la température de la pièce, le calculateur de la chaîne d'information peut alors élaborer un ordre destiné à la chaîne d'énergie, afin d'imposer un débit d'eau chaude adapté.

→ débit d’eau chaude

→ débit d’eau chaude

(perturbation)

Exemple d’un système non asservi

Définition : Un système asservi est un système pour lequel on asservit la valeur de la sortie à la valeur de la consigne. C'est un système automatisé bouclé.

(perturbation)

Exemple d’un système asservi

signal électrique (information)

ordre débit

d’eau chaude

T1


• Système asservi régulateur ou suiveur

On classe les asservissements en deux grandes familles :

les systèmes asservis de régulation, dans lesquels la consigne d’entrée est fixe. Ils sont destinés à maintenir une sortie constante pour une consigne d'entrée constante.

Exemples : régulateur de température, de débit,

de vitesse de voiture, de niveau d'eau de

piscine ; pacemaker ; climatisation ...

les systèmes asservis suiveurs (ou en poursuite) d’une loi de référence, dans lesquels la consigne d’entrée varie en permanence. L’objectif de ce système est d’ajuster en permanence le signal de sortie au signal d’entrée.

Exemples : suiveurs solaires, missiles à tête chercheuse, radars ...

2.2) Limite d’étude (linéarité, continuité, invariance)

Dans cette étude, nous nous limiterons aux Systèmes Linéaires Continus Invariants :

• Invariant : le système ne vieillit pas : son comportement dans le temps reste inchangé (si on reproduit la même expérience à deux dates différentes, on obtiendra les mêmes résultats). Mathématiquement, cela se traduit par l’équation : si à une entrée e1(t) correspond une sortie s1(t), alors à une entrée e1(t-τ) correspondra la sortie s1(t-τ). • Continu : un système est continu si toutes les fonctions qui décrivent son état et son fonctionnement sont des fonctions continues du temps, par opposition aux systèmes discrets. Les systèmes continus sont analogiques.

La plupart des systèmes physiques, au niveau macroscopique, sont des systèmes continus.

• Linéaire : les systèmes étudiés respectent le principe de proportionnalité et de superposition :

Si à une entrée e1(t) correspond une sortie s1(t) et si à une entrée e2(t) correspond une sortie s2(t), alors à une entrée k1.e1(t) + k2.e2(t) correspond une sortie k1.s1(t) + k2.s2(t), avec k1 et k2 constantes.

En pratique, tous les systèmes réels présentent des non-linéarités sous différentes formes : Pour les systèmes non-linéaires, il est possible de linéariser localement le comportement du système au voisinage d'un point de fonctionnement en remplaçant localement le comportement non-linéaire du système par un comportement linéaire approché. Cette linéarisation ne sera pertinente que sur un intervalle précis des entrées, autour du point de fonctionnement. Au delà, un nouveau modèle sera appliqué.

climatisation de voiture

suiveur solaire

courbure seuils saturation hystérésis

Comportement linéaire Comportement non linéaire Linéarisation de la réponse

t

t

t

t

e1(t-τ)

e1(t) s1(t)

s1(t-τ)


2.3) Critères quantifiant les performances d’un SLCI

Afin d’analyser les performances (précision, rapidité, stabilité et amortissement) d’un système, on le sollicite à une variation de l’entrée et on étudie la réponse (ou sortie) du système.

En sortie, on distinguera deux régimes, le régime transitoire, et le régime permanent. Le régime transitoire est le régime d'évolution d'un système qui n'a pas encore atteint un état stable. Cela correspond donc au laps de temps s'écoulant après une modification de la sollicitation du système. Le régime permanent s’établit après un temps plus ou moins long, lorsque le système se stabilise.

• Précision

La précision est la capacité de la réponse du système à être proche de la consigne, en régime permanent. Pour une entrée en échelon, la précision est caractérisée (quantifiée) par l’erreur statique. Pour une entrée en rampe, la précision est caractérisée par l’erreur de poursuite (ou de trainage).

Erreur (dynamique) : Er(t) = e(t) − s(t) à l’instant t.

Erreur statique : erreur en régime permanent Er(+∞) = e(+∞) − s(+∞) avec en entrée un échelon.

Erreur de poursuite ou de traînage : erreur en régime permanent Er(+∞) = e(+∞) − s(+∞) avec en entrée une rampe.

• Rapidité

La rapidité d’un système est sa capacité à entrer rapidement en régime permanent. Pour une entrée en échelon, la rapidité est caractérisée (quantifiée) par le temps de réponse.

Le temps mis par la réponse pour atteindre à moins de 5% sa valeur finale s(+∞) est souvent retenu comme critère de rapidité : t5%

Attention !!! Ce n’est pas le temps mis pour

atteindre la valeur souhaitée à ±5%.

Le temps de réponse (ou temps de réaction) d'un système asservi est étroitement lié à son inertie (donc à sa masse mise en mouvement, dans le cas d’un système mécanique).

• Stabilité

Un système est stable si lorsqu’il est éloigné de sa position d’équilibre, il tend à y revenir. Pour une entrée en échelon, la stabilité d’un système est caractérisée par sa capacité à converger.

Amortissement : L’amortissement est caractérisé par le rapport entre les amplitudes successives des oscillations de la valeur de sortie. Il se mesure en régime transitoire, et n’existe que pour des systèmes oscillants (aussi appelés « sous-amortis »). Système instable


2.4) Schématisation par schéma-bloc fonctionnel

Les systèmes industriels étant par nature complexes, il est nécessaire de décomposer le système en sous-systèmes plus facilement modélisables. Par assemblage des différents modèles, il sera possible de déduire son comportement global. Pour représenter un système automatique, on utilise un schéma-bloc fonctionnel mettant en relation les entrées et sorties du système ou sous-système, et permettant de comprendre la structure du système. Le schéma-bloc fonctionnel est constitué à partir des trois éléments suivants:

• Le bloc

Le nom du système est en général le nom du composant (moteur, réducteur, roue...) ou bien encore l'opérateur mathématique associé à une fonction particulière (exemple : l'opérateur ∫ pour décrire une intégration (passage d'une vitesse à une position par exemple). La sortie est fonction de l’entrée selon l’opération mathématique (« fonction de transfert ») modélisant la loi entrée/sortie du système – cf. domaine de Laplace dans les chapitres suivants :

sortie = entrée x « fonction de transfert ». • Le comparateur (ou point de sommation ou sommateur ou soustracteur)

Le comparateur permet de modéliser l'action de comparaison effectuée par le calculateur.

Attention : Le comparateur doit toujours comparer des valeurs comparables... c'est à dire de même unité (Volts généralement), et représentant le même type de grandeur (vitesse, température, dimension...).

• Le point de prélèvement (ou de jonction)

Nom du système (ou sa fonction de transfert)

Entrée principale Sortie

Exemple : Schéma-bloc fonctionnel d’un régulateur de vitesse de voiture


Un système automatique asservi mécatronique présente généralement une structure en schéma-bloc fonctionnel comme celle représentée ci-dessous : On distinguera la chaîne directe (ou chaîne d’action) :

Et la boucle de retour (ou chaîne d’observation) :

Exercice : Représentation par schéma-bloc fonctionnel d’un vérin asservi en position.

L’étude porte sur un vérin électrique asservi en position qui équipe un simulateur de vol.

Un vérin électrique est un mécanisme de transmission de puissance qui permet la transformation du mouvement de rotation de l’arbre moteur en un mouvement de translation sur la tige de sortie.

La rotation de la vis (3) est obtenue à partir du motoréducteur (moteur (1) et réducteur (2)). Le moteur est un moteur à courant continu et le réducteur permet d’adapter la vitesse de rotation : ωV = (1/20).ωM La rotation de la vis (3) est transformée en un mouvement de translation grâce à l’écrou (7). On donne la loi entre le paramètre de translation de sortie xs de l’écrou et le paramètre de rotation de la vis : xs = θv.pas/(2Π) Le capteur (5) prélève la vitesse de rotation de la vis par l’intermédiaire d’un système roue/vis sans fin de rapport de réduction : θv/θcapt = 25

Question : Compléter le schéma-bloc fonctionnel de ce système et préciser les unités pour chaque grandeur d’entrée et de sortie.

Consigne Entrée

e(t)

Partie commande

Partie opérative

Mise en forme

du signal

Amplificateur

ou correcteur

Actionneur (et

pré-actionneur)

Système

dynamique

Capteur

Chaîne de retour

Chaîne directe

Sortie

s(t)

Perturbation

Ecart

ε(t) +

-

Consigne Entrée

e(t)

Mise en forme

du signal

Amplificateur

ou correcteur

Actionneur (et

pré-actionneur)

Système

dynamique

Sortie

s(t)

Ecart

ε(t) +

-

Capteur

SLCI (systèmes asservis) 3) Modélisation dans le domaine de Laplace 9

3) MODELISATION DANS LE DOMAINE DE LAPLACE

3.1) Démarche de modélisation et d’étude des systèmes asservis La modélisation d’un système à pour but soit d’améliorer les performances d’un système existant, soit de concevoir un nouveau système (choix des différents éléments constituant la chaîne fonctionnelle).

On cherche donc à établir un modèle mathématique du système réel. Il existe deux méthodes de détermination du modèle d'un système :

Le modèle de connaissance : il s'établit directement à partir de l'analyse du système, en mettant en œuvre les lois fondamentales de la physique. On parle alors de modélisation. Les hypothèses choisies pour écrire ces lois sont alors primordiales.

Exemple : l'établissement du courant i dans une bobine (R,L) soumise à une tension u est décrit

par l'équation différentielle : di(t)

u(t) = L. + R.i(t)dt

Ceci constitue le modèle de connaissance d'une bobine dans l'hypothèse de non saturation du

circuit magnétique (d'où L constante) et de température constante (d'où R constante).

Le modèle de comportement : il s'établit sur la base de l'étude des signaux de sorties obtenus en fonction des signaux d'entrée appliqués au système à modéliser. Celui-ci est vu comme une boite noire dont on ne connaît que les flux (signaux) entrant et sortant. On ne considère pas la physique interne du système mais on fait quand même l'hypothèse d'une structure mathématique liant la sortie à l'entrée du système, qui sera, pour le cas qui nous intéresse (SLCI), une équation différentielle linéaire à coefficients constants. On cherchera alors, de manière expérimentale, à déterminer les coefficients de l'équation supposée. Ce processus s'appelle l'identification (cf. chapitre 5 : « Identification à un modèle »).

Exemple : L'évolution de la température θ d'un four électrique recevant une puissance P est

supposée modélisable par l'équation différentielle : 0 1 0

dθ(t)b .P(t)= a . + a .θ(t)

dt

En appliquant différents signaux à l'entrée du four, on étudie l'évolution de la température (c'est-

à-dire la sortie) et on essaie d'identifier les coefficients constants a0 , a1 et b0 .

3.2) Modélisation des SLCI par équation différentielle

Les SLCI étudiés seront représentables la plupart du temps par des équations différentielles à coefficients constants liant la grandeur d'entrée e(t) à la grandeur de sortie s(t).

a) Équation générale

D'une manière générale, un système linéaire continu invariant peut être modélisé par une équation

différentielle d'ordre n, linéaire et à coefficients constants, qui s'écrit sous la forme :

n n 1 m m 1

n mn 1 0 m 1 0n n 1 m m 1

d s(t) d s(t) d e(t) d e(t)a . a . ... a .s(t) b . b . ... b .e(t)

dt dt dt dt

− −

− −− −+ + + = + + +

où s(t) est la sortie, et e(t) est l'entrée. Le système correspondant sera donc un système d'ordre n. Dans un système causal, c’est-à-dire lorsque la cause précède l’effet (tout système physique) : n ≥ m. Deux modèles de systèmes fondamentaux sont couramment rencontrés et étudiés dans le cadre de la PTSI : les systèmes du premier ordre et les systèmes du deuxième ordre.

Dans le cas qui nous intéresse, modéliser veut dire trouver l'équation mathématique reliant la grandeur d'entrée du système à la grandeur de sortie.


b) Système de premier ordre

La forme générale de l'équation différentielle caractéristique d'un système du premier ordre simple est :

1 0 0ds(t)

a . a .s(t) b .e(t)dt

+ = => ds(t)

. s(t) K.e(t)dt

τ + =

avec : τ : constante de temps du système (unité : seconde)

K : gain statique du système (unité : [s] / [e]) Exemple : équation d’un circuit RL (moteur à courant continu)

Les équations électriques nous donnent : di(t)

e(t) L. R.i(t)dt

= + u(t) R.i(t)=

Nous obtenons alors : L du(t)

. u(t) e(t)R dt

+ =

Par identification, on détermine la constante de temps du système LR

τ = et le gain K 1= .

c) Système de deuxième ordre

La forme générale de l'équation différentielle caractéristique d'un système du second ordre simple est :

2

2 1 0 02

d s(t) ds(t)a . a . a .s(t) b .e(t)

dt dt+ + = =>

22 2

0 0 02

d s(t) ds(t)2z. . .s(t) K. .e(t)

dt dt+ ω + ω = ω

avec : ω0 : pulsation propre non amortie du système (unité : rad.s-1)

z : coefficient d'amortissement (sans unité). On emploie aussi les notations m ou ξ . K : gain statique du système (unité : [s] / [e] ) Exemple : équation d'un système masse ressort amortisseur (suspension)

On considère la masse M dont on étudie la variation de position x(t) autour de la position d'équilibre

lorsqu'on lui applique un effort noté F(t). Cette masse est liée au bâti par deux éléments en parallèle :

un ressort de raideur k et un amortisseur visqueux de coefficient b.

Le Principe Fondamental de la Dynamique appliqué à la masse donne l'équation différentielle :

2

2

d x(t) b dx(t) k 1. .x(t) .F(t)

dt M dt M M+ + =

C’est une équation classique de la mécanique vibratoire, où l’on identifie :

20

kM

= ω ; 0b

2z.M

= ω ; 2

01

K.M

= ω d’où : 1

Kk

= ; 2

0kM

ω = ; 1 b

z2 M.k

=


3.3) Transformée de Laplace et fonction de transfert

Les équations différentielles obtenues après modélisation des SLCI sont complexes à résoudre. La méthode analytique de résolution vue en cours de mathématiques ne sera pas employée.

Afin de simplifier cette résolution, on utilisera la transformée de Laplace, qui pourra nous permettre également de déterminer les fonctions caractéristiques du système (Fonction de Transfert) sans résoudre d'équation différentielle. La démarche globale est la suivante :

3.3.1) Définition de la transformée de Laplace

Soit une fonction f(t) à valeurs de R dans R, telle que f(t) = 0 pour t < 0 (fonction causale). On appelle transformée de Laplace (monolatérale) la transformation :

[ ]L p.t

0f (t) F(p) L f (t) (p) f (t).e .dt−

+∞ −→ = =

avec p une variable complexe, dont l’unité est en s-1 : p = a + j.b avec j² = -1

F(p) = L(f(t)) : transformée de Laplace de la fonction f. f(t) = L -1(F(p)) : transformée inverse de la fonction F. Remarques :

- F(p) existe si l’intégrale a un sens et converge. Dans les cas rencontrés en SII, les conditions

d’existence et de convergence sont réunies, en particulier : t

p.tlim f (t).e 0→+∞

− =

- La variable p peut aussi être notée avec la lettre s

- On a l'habitude de noter la transformée de Laplace par une majuscule quand cela est possible :

ω(t) → Ω(p) , v(t) → V(p). Cependant, on confond parfois les notations si la grandeur originelle

est déjà en majuscule : C(t) → C(p) pour les couples par exemple.


3.3.2) Propriétés

Les démonstrations des propriétés sont données mais elles ne sont pas à connaître.

1. Unicité

À une f(t) correspond une F(p) unique. À une F(p) correspond une f(t) unique.

2. Linéarité

Soit a et b des constantes réelles :

[ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 2L a.f (t) b.f (t) a.L f (t) b.L f (t) a.F (p) b.F (p)+ = + = +

Démonstration : triviale par linéarité de l'intégrale.

3. Théorème du retard

Soit f(t) une fonction dont la transformée de Laplace existe, f(t-τ) est la même fonction, mais décalée d'un temps τ.

[ ] .pL f (t ) e .F(p)−τ− τ =

où F(p) est la transformée de Laplace de f(t). Ce théorème est d’une grande importance pratique du fait de l’existence d’un décalage temporel entre la cause et la conséquence dans un système (dû aux jeux mécaniques, au temps de traitement de l’information…). Ce retard est souvent négligeable, il ne faut pas le confondre avec le temps de réponse.

Démonstration : Soit p.t

0F(p) f (t).e .dt

+∞ −= . Calculons p.t

0f (t ).e .dt

+∞ −− τ .

p.t p.t p.t

0 0f (t ).e .dt f (t ).e .dt f (t ).e .dt

+∞ τ +∞− − −τ

− τ = − τ + − τ

p.t p.t p.t p.t

0 0f (t ).e .dt 0.e .dt f (t ).e .dt f (t ).e .dt

+∞ τ +∞ +∞− − − −τ τ

− τ = + − τ = − τ

En posant t T− τ = , soit t T= + τ et dt dT= :

( )p. Tp.t .p p.T .p

0 0f (t ).e .dt f (T).e .dT e . f (T).e .dT e .F(p)

+∞ +∞ +∞− +τ− −τ − −ττ

− τ = = =

4. Théorème de dérivation

Soit f(t) une fonction dérivable : df (t)

L p.F(p) f (0)dt

= −

Soit, pour des conditions initiales nulles (conditions d’Heaviside) : df (t)

L p.F(p)dt

=

Démonstration : Calculons p.t

0

df (t).e .dt

dt−

+∞ − en intégrant par parties :

p.tu(t) e−= ;

df (t)dv(t) .dt

dt= donc :

p.tdu(t) p.e−= − ; v(t) f (t)=

p.t p.t p.t

00 0

df (t).e .dt f (t).e p. f (t).e .dt 0 f (0 ).1 p.F(p)

dt −− −

+∞ +∞+∞− − − − = + = − +


Pour la dérivée seconde (pour des CI nulles) : 2

22

d f (t)L p .F(p)

dt

=

Démonstration : On intègre

p.t

0

df (t).e .dt

dt−

+∞ − par parties avec

df (t)u(t)

dt= et

p.tdv(t) e .dt−=

p.t 2 2p.t p.t p.t

2 20 0 00

df (t) df (t) e 1 d f (t) 1 df 1 d f (t).e .dt . . .e .dt (0 ) 0 . .e .dt

dt dt p p dt p dt p dt− − −−

+∞−+∞ +∞ +∞− − − − = − + = − +

Or p.t

0

df (t).e .dt p.F(p) f (0 )

dt−

+∞ − −= − , donc :

2p.t

20

1 1 d f (t)p.F(p) f (0 ) .f '(0 ) . .e .dt

p p dt−

− +∞− −− = +

D’où :

2p.t 2

20

d f (t).e .dt p .F(p) p.f (0) .f '(0)

dt−

+∞ − = − −

Généralisation du théorème de dérivation (pour des CI nulles) :

nn

n

d f (t)L p .F(p)

dt

=

Démonstration : Par récurrence à partir du théorème précédent (dérivée seconde).

5. Théorème d’intégration

t

0

F(p)L f (u).du

p− = Pour des CI nulles, et où F(p) =L[f(t)].

Démonstration : Posons

t

0g(t) f (u).du

−= . Donc

dg(t)f (t)

dt= et

0

0g(0 ) f (u).du 0

−

−

− = =

Or nous avons montré que [ ] [ ]p.t

0

dg(t).e .dt p.L g(t) g(0 ) p.L g(t)

dt−

−+∞ − = − = . Donc :

[ ]p.t

0f (t).e .dt F(p) p.L g(t)

−

+∞ − = = et enfin : t

0

F(p)L f (u).du

p− =

Conclusion sur la dérivation et l’intégration :

Si les conditions initiales sont nulles (conditions d'Heaviside) : - Dériver par rapport à t dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine de

Laplace : df (t)L p.F(p)

dt

=

- Intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine de Laplace :

t

0F(p)L f (u).du p

− =


6. Théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale

Théorème de la valeur initiale : ( ) ( )

pt 0lim f (t) lim p.F(p)

+ →+∞→=

Théorème de la valeur finale : ( ) ( )

t p 0lim f (t) lim p.F(p)

+→+∞ →=

Remarque : On utilisera les théorèmes des valeurs finale et initiale lorsqu'on veut obtenir des

informations sur la fonction temporelle f(t) , sans déterminer la transformée inverse de F(p).

Du théorème de la valeur initiale on peut aussi en déduire la pente à l’origine :

( ) ( )2

pt 0lim f '(t) lim p .F(p)

+ →+∞→=

7. Théorème de l’amortissement ou du décalage fréquentiel

a.tL e .f (t) F(p a)− = +


3.3.3) Fonction de transfert (transmittance) d'un système linéaire

Ci-dessous, l'équation différentielle générale à laquelle répondent les SLCI (voir chapitre précédent), reliant la grandeur d'entrée e(t) à la sortie s(t) du système :

n n 1 m m 1

n mn 1 0 m 1 0n n 1 m m 1

d s(t) d s(t) d e(t) d e(t)a . a . ... a .s(t) b . b . ... b .e(t)

dt dt dt dt

− −

− −− −+ + + = + + + avec n ≥ m

On peut calculer la transformation de Laplace des membres de gauche et de droite, qui, grâce à la linéarité de la transformation de Laplace, nous permet d'écrire :

[ ] [ ]n n 1 m m 1

n mn 1 0 m 1 0n n 1 m m 1

d s(t) d s(t) d e(t) d e(t)a .L a .L ... a .L s(t) b .L b .L ... b .L e(t)

dt dt dt dt

− −

− −− −

+ + + = + + +

Par application du théorème de dérivation, on a :

n n 1 m m 1n mn 1 0 m 1 0a .p .S(p) a .p .S(p) ... a .S(p) b .p .E(p) b .p .E(p) ... b .E(p)− −

− −+ + + = + + +

Soit, en factorisant : n mn m0 1 0 1S(p). a a .p ... a .p E(p). b b .p ... b .p + + + = + + +

Enfin : m

m0 1

nn0 1

b b .p ... b .pS(p) E(p).

a a .p ... a .p

+ + + = + + +

La sortie S(p) est le produit de l'entrée E(p) par une fraction rationnelle (rapport de deux polynômes) en p (la variable de Laplace) et de coefficients ai et bk . Cette forme est beaucoup plus aisée à manipuler qu'une équation différentielle de variable réelle. Cette fraction rationnelle, qui exprime le rapport de la sortie sur l'entrée (dans l'espace de Laplace), est appelée fonction de transfert ou transmittance. On la note en général H(p).

m

m0 1n

n0 1

b b .p ... b .pS(p)H(p)

E(p) a a .p ... a .p

+ + += =+ + +

On a donc : S(p) = E(p).H(p) La forme canonique de la fonction de transfert est :

( )m'

1' m'n '

1' n '

1 b .p ... b .pH(p) K.

p 1 a .p ... a .pα+ + +=

+ + +

avec : n : ordre du système = α + n’ : degré du dénominateur ; α : classe du système ; K : gain statique du système. Pour obtenir la forme canonique :

1) Mettre H(p) sous forme d’une fraction polynomiale (un dénominateur et un dénominateur polynômes en p) (=>ordre) ;

2) Factoriser éventuellement numérateur et dénominateur par p (=> classe) ; 3) Identifier les termes d’ordre 0 au numérateur et au dénominateur, puis factoriser par ces

termes pour faire apparaître les « 1+ » (=> gain statique).

Exemple : Mettre sous forme canonique 2

2

ap

pH(p)

cb d.p

p

+=

+ + => 1)

3

2 4

p aH(p)

b.p c.p d.p+=

+ +

2) ( )3

3

a pH(p)

p. c b.p d.p

+=+ +

3) 3

3

a 1 p / aH(p) .

b dc p. 1 .p .pc c

+= + +

E(p) S(p) H(p)

gain statique = a/c classe = 1 ordre = 4


3.3.4) Transformée de Laplace de fonctions usuelles

Pour toutes les transformées ci-après les démonstrations sont données, mais ne sont pas à connaître. Les transformées usuelles (à connaître sur le bout des doigts !!!) sont récapitulées en annexe A1.

1. Échelon unitaire

Soit u(t) l'échelon unitaire défini par : u(t) = 1 ∀ t ≥ 0 ; u(t) = 0 sinon.

[ ] 1L u(t)

p=

Démonstration : [ ] p.t p.t

00

1 1L u(t) e .dt e

p p

+∞+∞ − − −= = =

Remarque importante : cette fonction est également appelée fonction de Heaviside. Pour rendre causale

une fonction quelconque, on la multiplie par u(t). Exemple : « sinus causal » : sin(t).u(t) .

Les théorèmes précédemment étudiés ne s’appliquent que pour des fonctions causales. Si f n’est pas

causale, il suffit de la multiplier par u(t). Par exemple le théorème du retard s’écrit alors :

[ ] .pL f (t ).u(t ) e .F(p)−τ− τ − τ = avec [ ]F(p) L f (t).u(t)=

2. Impulsion de Dirac

On défini la fonction Dirac δ(t) par : δ(0) = +∞ ;

δ(t) = 0 ∀ t ≠ 0 ;

(t).dt 1+∞

−∞δ =

La représentation usuelle d'un Dirac est une flèche verticale.

Il modélise une « impulsion d'amplitude infinie pendant une durée négligeable », par exemple : un choc mécanique, électrique, thermique...

[ ]L (t) 1δ =

Démonstration : On peut calculer [ ]L (t)δ en dérivant l’échelon unitaire, ou bien en calculant la

limite quand t1 → 0 d'un créneau de durée t1 d'amplitude A=1. Alors :

[ ] 1

1 1t 0 t 0

p.tt p.t

01 1

1 1 eL (t) lim e .dt lim 1

t p.t→ →

−− −δ = = =

3. Rampe

On définit la fonction rampe par : f(t) = A.t.u(t)

[ ] 2

AL A.t.u(t)

p=

Démonstration : cf. fonction puissance.


4. Fonction puissance

Fonction puissance : nf (t) t .u(t)=

Transformée de Laplace : nn n 1

n!L t .u(t) I (p)

p + = =

Démonstration : n p.t

n n 10

nI (p) t .e .dt .I (p)

p

+∞ −−= = (par parties), soit : n 0n n 1

n! n!I (p) .I (p)

p p += =

5. Fonction exponentielle

On définit la fonction exponentielle causale par : f(t) = e-a.t.u(t)

Transformée de Laplace : a.t 1L e .u(t)

p a− = +

Démonstration :

(p a).ta.t p.t

00

e 1F(p) e .e .dt

p a p a

− + +∞+∞ − − −= = = + +

De plus, on peut montrer que l’on a : a.t2

1L t.e .u(t)

(p a)− = +

6. Fonctions trigonométriques

On définit les fonctions sinus et cosinus causales par : f(t) = sin(ω.t).u(t) et g(t) = cos(ω.t).u(t)

Transformées de Laplace : [ ] 2 2L sin( .t).u(t)p

ωω =+ ω

et [ ] 2 2

pL cos( .t).u(t)

pω =

+ ω

Démonstration :

p.t

0F(p) sin( .t).u(t).e .dt

+∞ −= ω et p.t

0G(p) cos( .t).u(t).e .dt

+∞ −= ω

j. .t p.t2 2 2 2 2 20

1 p j. pG(p) j.F(p) e .e .dt j.

p j. p p p

+∞ ω − + ω ω+ = = = = +− ω + ω + ω + ω

De plus, grâce au théorème de l’amortissement, on a :

a.t2 2L e .sin( .t).u(t)

(p a)− ω

ω = + + ω et a.t

2 2

(p a)L e .cos( .t).u(t)

(p a)− +

ω = + + ω

7. Créneau de durée t1

On définit la fonction créneau par : f(t) = A pour 0 ≤ t ≤ t1 ; f(t) = 0 sinon. En remarquant que f(t) = A.[u(t) – u(t–t1)], et grâce au théorème du retard, on a :

1p.t1 eF(p) A.

p

−−=


3.3.5) Transformée inverse de Laplace

La transformée de Laplace étant bijective (propriété d'unicité), la transformée inverse existe et sera nécessaire pour retrouver le comportement temporel d’un système (évolution de la sortie en fonction du temps), à partir de son étude dans le domaine de Laplace.

1LF(p) f (t)−

→ Si l’on connait la fonction de transfert H(p) d’un système, ainsi que l’entrée E(p), alors nous pourrons en déduire la sortie S(p) dans le domaine de Laplace :

mm0 1

nn0 1

b b .p ... b .pS(p)H(p)

E(p) a a .p ... a .p

+ + += =+ + +

et donc : S(p) E(p).H(p)=

Comment retrouver la sortie temporelle s(t), lorsque nous connaissons S(p) ? Plutôt que de calculer analytiquement la transformée inverse f(t) d'une fonction F(p) (la formule existe mais n'est pas au programme), on procédera généralement par décomposition en éléments simples de F(p), puis par identification de ces éléments simples à des fonctions connues. Pour trouver les fonctions inverses se reporter aux fonctions usuelles (annexe A1). La méthode de

décomposition en éléments simples est donnée en annexe A2.

Exemple : Soit un système dont la fonction de transfert est 2

1H(p)

p 5p 6=

+ +.

On envoie une entrée à ce système 6

E(p)p

= . Quelle est la sortie temporelle ?

1) Calcul de S(p) : ( )2

6S(p) E(p).H(p)

p. p 5p 6= =

+ +

2) Décomposition de S(p) en éléments simples : ( ) ( )6 A B C

S(p)p. p 2 . p 3 p p 2 p 3

= = + ++ + + +

Identification : 6 = p².(A+B+C) + p.(5A+3B+2C) + 6A. D’où : A=1 ; B+C+1=0 ; 5+3B+2C=0

Ainsi : A=1 ; B=-3 ; C=2. Et donc : 1 3 2

S(p)p p 2 p 3

= − ++ +

3) Identification à des fonctions connues (retour aux fonctions temporelles par transformée inverse) :

( )2t 3ts(t) 1 3.e 2.e .u(t)− −= − +

Exercice : Soit un système dont la fonction de transfert est 2

p 3H(p)

p 6p 9−=

+ +.

On envoie une entrée à ce système 6

E(p)p

= . Quelle est la sortie temporelle ?


3.4) Manipulation des schémas-blocs et des fonctions de transfert

Rappel : le schéma-bloc est une représentation des systèmes sous forme de blocs. Chaque bloc, représentant un sous-système, met en relation une entrée et une sortie. Les blocs sont ainsi reliés entre eux. Les sommateurs permettent d'additionner ou de soustraire des grandeurs physiques.

La structure générale d'un système asservi (rappelée ci-dessous) présentée au chapitre 2.4 est rarement obtenue telle quelle suite à la modélisation. Ce chapitre présente la méthode de travail sur les schémas-blocs, dans le but de se ramener au schéma classique, voire de calculer directement la fonction de transfert globale d'un système. Nous avons vu au chapitre précédent que, dans le domaine de Laplace, chaque sous-système est caractérisé par sa fonction de transfert H(p), permettant de relier les valeurs d'entrée E(p) et de sortie S(p) dans ce même domaine symbolique.

On a même : S(p)

H(p)E(p)

= , ou encore : S(p) E(p).H(p)= .

3.4.1) Manipulations de base Il sera souvent préférable de ne pas manipuler un schéma-blocs complexe, et de préférer la méthode directe (par écriture de ce que vaut la sortie) dans ce cas-là - cf. exemple du paragraphe 3.4.4. • Blocs en série

Dans le cas de blocs en série, on a : S(p) = H3(p).Y(p) = H3(p).H2(p).X(p) = H3(p).H2(p).H1(p).E(p) La transmittance globale de la chaîne est le produit des transmittances de chacun des blocs.

E(p) Amplificateur

ou correcteur

Actionneur (et

pré-actionneur)

Système

dynamique

Capteur

+ -

S(p) ε(p)

H(p) S(p) E(p)

H1(p) X(p) E(p)

H2(p) Y(p)

H3(p) S(p)

H1(p).H2(p).H3(p) S(p) E(p)


• Blocs en parallèle

On a : S(p) = H1.(p)E(p) + H2 (p).E(p) = (H1 (p)+ H2 (p)).E(p) On peut donc remplacer ces deux blocs et le sommateur par un seul bloc dont la fonction de transfert est la somme de H1(p) et H2(p).

• Déplacement d’un point de prélèvement avec un bloc

Déplacement vers la droite :

Comme : E(p) = S(p)/H(p) , lors du déplacement vers la droite d'un point de prélèvement (par-dessus un bloc H), il faut rajouter après le point un bloc de fonction de transfert H'(p) = 1/H(p).

Déplacement vers la gauche :

Comme : S(p) = H(p)E(p) , lors du déplacement vers la gauche d'un point de prélèvement (par-dessus un bloc H(p)), il faut rajouter après le prélèvement un bloc de fonction de transfert H(p).

• Déplacement d’un comparateur avec un bloc

Déplacement vers la droite : Déplacement vers la gauche :

• Comparateurs en série : On peut regrouper ou inverser 2 comparateurs en série.

• Impossibilité de déplacer un point de prélèvement par rapport à un comparateur

H1(p) E(p)

H2(p)

E1(p)

E2(p)

+

+

H1(p) + H2(p) S(p) E(p) S(p)

H(p) E(p) S(p)

E(p)

H(p)

E(p) S(p)

E(p) 1

H(p)

H(p) E(p) S(p)

S(p)

H(p) E(p) S(p)

H(p) S(p)

E(p)

A(p) + +

S(p)

Y(p)

E(p)

A(p) + +

S(p)

Y(p)

A(p) S(p) = A(p).E(p) + A(p).Y(p)

E(p)

A(p) + +

S(p)

Y(p) 1

A(p)

E(p)

A(p) + +

S(p)

Y(p) S(p) = A(p).E(p) + Y(p)

+ +

X(p

+ -

Y(p

E(p S(p

+ +

X(p

-

Y(p

E(p S(p

+ +

X(p

+ -

Y(p

E(p S(p


3.4.2) Fonction de Transfert en Boucle Ouverte et en Boucle Fermée

Les systèmes asservis sont par définition bouclés. Le modèle de base d’une boucle est le suivant :

On a : Y(p) = R(p).S(p); ε (p)= E(p) – Y(p); S(p) = D(p). ε(p)

Soit S(p) = D(p).(E (p)– R(p).S(p)) Donc : S(p).(1 + R(p).D(p)) = D(p).E(p)

Soit enfin : D(p)

S(p) .E(p)1 R(p).D(p)

=+

Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF) :

La fonction de transfert équivalente de la boucle : D(p)

FTBF(p) =1+R(p).D(p)

Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (FTBO) :

La FTBO Correspond au bout de la chaîne si on ouvre le schéma au niveau du comparateur.

La FTBO est égale au produit des fonctions de transfert de chaque bloc de la boucle : FTBO(p) = D(p).R(p)

La FTBO est utilisée pour déterminer les conditions de stabilité et de précision d’un système asservi (cours de 2ème année).

Fonction de transfert de la boucle de retour (R) : R(p) Fonction de transfert de la chaîne directe : D(p) (c’est la fonction de transfert, sans la boucle de retour)

On a donc au final : Chaine directe

FTBF(p) =1+FTBO(p)

c’est la « formule de Black »

• Cas particulier du retour unitaire :

Le système est à retour unitaire si la fonction de transfert de la boucle de retour vaut 1. On peut, dans ce cas, comparer directement les valeurs d'entrée et de sortie (même grandeur physique). Toute boucle peut se ramener à une boucle unitaire :

Dans une boucle à retour unitaire, on a : D'(p)

FTBF(p) =1+D'(p)

D(p)

1+R(p).D(p)

S(p) E(p)

E(p)

D(p)

R(p)

+ -

ε(p) S(p)

Y(p)

E(p)

D(p)

R(p)

+ -

S(p)

Y(p)

D’(p) + -

S’(p) E’(p) ε’(p)

E(p)

D(p) + -

ε(p) S(p)

Y(p)

R(p)

E(p)

D(p).R(p)

+ -

S(p)

1/R(p)

S = D.(E – R.S) = D.R.(E/R – S)


3.4.3) Systèmes multi-variables (multi-entrées) : SUPERPOSITION

De manière générale, dans un système réel, plusieurs entrées aboutissent à une sortie. Ces entrées comprennent non seulement l'entrée principale (grandeur par rapport à laquelle on détermine la sortie) mais aussi des entrées supplémentaires très souvent parasites (bruit, effort résistant,...) appelées perturbations. Le schéma bloc générique d'un tel système est le suivant : Ce schéma bloc possède deux entrées : E(p) est l'entrée principale, et T(p) une entrée secondaire. Pour déterminer la fonction de transfert, on utilise le principe de superposition des SLCI. Le schéma est alors équivalent à la superposition des deux schémas. L'un pour lequel T(p)=0, et l'autre en prenant E(p)=0. On obtient ainsi deux sorties S1(p)et S2(p) qu'il suffit d'additionner pour obtenir la sortie générale, S(p). S(p) = S1(p) + S2(p) = H1(p).E(p) + H2(p).T(p)

Soit :

K(p).G(p) G(p)S(p) .E(p) .T(p)

1 R(p).K(p).G(p) 1 R(p).K(p).G(p)= +

+ +

On aurait pu retrouver ce résultat en écrivant S(p) dans le schéma complet : S = G.[T + K.(E – R.S)] S = G.T + G.K.E – G.K.R.S S.(1 + G.K.R) = G.T + G.K.E

K(p).G(p) G(p)S(p) .E(p) .T(p)

1 R(p).K(p).G(p) 1 R(p).K(p).G(p)= +

+ +

E(p)

K(p)

R(p)

+ -

ε(p) S(p)

Y(p)

+ +

G(p)

T(p) : Perturbation

E(p)

K(p)

R(p)

+ -

ε1(p) S1(p)

G(p) T(p) = 0 :

K(p)

R(p)

S2(p) +

-

G(p)

T(p) E(p) = 0 : ε2(p)


3.4.4) Exemple d’un vérin électrique asservi en position λ(t)

A, B, C, D et E sont des constantes.

La position de la tige du vérin λ(t) (en mm) dépend de la consigne λC(t) (en mm) et d’éventuelles perturbations modélisées par des forces de frottement internes Ff(t) (en N) :

1 2( ) ( ). ( ) ( ). ( )C f

p H p p H p F pλ λ= +

On cherche à déterminer les deux fonctions de transfert 1

( )( )

( )C

pH p

p

λλ

= et 2

( )( )

( )f

pH p

F p

λ=

• H1(p) par les formules de Black (au plus simple) : Par le théorème de superposition, pour connaître l’influence de la consigne λC(p) sur la position finale λ(p), on considère que les autres entrées (donc ici la perturbation Ff(p)) sont nulles. On a alors :

On détermine d’abord 2

1 2

2

..

( ). . . .1

C D

C DpFTBF p

C D E C D E p

p

= =++

par la formule de Black.

Puis idem pour FTBF2 :1

1 23

1

. ( )1

( ) . ( ) . ...1

1 . . ( ) 1 . .. . . .

BFTBF p

pH p A FTBF p A

B EA FTBF p p p

p A B A B C D

= = = =+ + +

• H2(p) (par deux méthodes différentes, dont la directe est à privilégier) : Par le théorème de superposition, pour connaître l’influence de la perturbation Ff(p) sur la position finale λ(p), on considère que les autres entrées (donc ici la consigne λC(p)) sont nulles. On a alors : Par la méthode directe (équations issues de la lecture du schéma-blocs principal, avec λC(p)=0) :

( )2( ) . ( ) . . ( ) . . . ( )f

D Bp F p C E p A A p

p pλ λ λ

= + − + −

0

=> 2 2

. .( ) 1 . . ( )f

D C A B Dp E F p

p p pλ

+ + =

=> 2 3

( ) .( )

( ) . . . . . .f

p D pH p

F p A B C D C D E p p

λ= =+ +

Par le schéma-blocs (déconseillé ici car cela donne un schéma-blocs compliqué et long à représenter !!!) :

_ Ff(p) λ(p)

²D

p

F(p) C P(p) .A B

Ep

+

+

Ff(p) λ(p)

²D

p

F(p)

.B

Ap

C P(p)

E

A B

p C

Q(p) P(p) λ(p) λC(p) ²

D

p

ε(p)

F(p)

E

A

FTBF1(p) FTBF2(p)

+

Ff(p)

A B

p C

Q(p) P(p) λ(p) λC(p) ²

D

p

ε(p)

F(p)

E

A

2

2

2

( )( ) ...

( ) .1 . .f

D

p pH p

F p D A BE C

p p

λ= = = + +

SLCI (systèmes asservis) 4) Analyse temporelle 24

4) ANALYSE TEMPORELLE DE SLCI PARTICULIERS

L'analyse temporelle consiste à étudier la réponse des systèmes à des entrées « tests » (ou entrées-type). Des signaux élémentaires sont envoyés en entrée et la sortie est étudiée, afin de caractériser au mieux le comportement de ces systèmes en fonction du temps. Cette démarche permet d'effectuer une modélisation comportementale du système considéré. Les entrées-types (déjà étudiées précédemment) sont :

- Impulsion de Dirac δ(t) ; [ ]L (t) 1δ = . La réponse à une impulsion est la « réponse impulsionnelle ».

- Echelon E0.u(t) ; [ ] 0EL u(t)

p= . La réponse à un échelon est la « réponse indicielle ».

- Rampe A.t.u(t) ; [ ] 2

AL A.t.u(t)

p= .

- Sinusoïde (harmonique) e0.sin(ω.t).u(t). La réponse à une sinusoïde est très particulière, et est étudiée dans le chapitre « étude harmonique ».

4.1) Système à action proportionnelle (gain pur)

La sortie est proportionnelle à l'entrée. s(t) = K.e(t) →L S(p) = K.E(p) H(p) = K

Exemples : résistance ; capteur (en 1ère

approximation) ; réducteur …

Les réponses d’un tel système à un échelon et à une rampe sont donc :

4.2) Système intégrateur

ds(t)= e(t)

dt →L p.S(p) = E(p)

1H(p) =

p

Exemples : passage d’une vitesse à un déplacement ; passage d’un débit à un volume …

Les réponses impulsionnelle (impulsion de Dirac) et indicielle (échelon) d’un tel système sont donc :

K E(p) S(p)

1

p

E(p) S(p)


4.3) Système du 1er ordre Rappel : un système du premier ordre est caractérisé par une équation différentielle du premier ordre, que

l'on écrit généralement sous la forme canonique suivante : ds(t)

. + s(t) = K.e(t)dt

τ

Par transformée de Laplace, cette équation donne : .p.S(p) +S(p) = K.E(p)τ , soit une fonction de transfert :

S(p) KH(p) =

E(p) 1+ .pτ=

avec : τ : constante de temps (unité : seconde) K : gain statique (unité : [s] / [e]) La racine du dénominateur de H(p) est appelée pôle de la fonction de transfert.

C’est donc un réel qui vaut : 1

p = −τ

Exemples de système du 1er

ordre : Circuit RL (cf. page 10), Moteur électrique en 1ère

approximation,…

4.3.1) Réponse impulsionnelle (impulsion de Dirac) d’un 1er ordre

e(t) = δ(t) E(p) = 1 K

S(p) = H(p).E(p) = H(p) =1+ .pτ

La réponse temporelle vaut donc : t /Ks(t) .e .u(t)− τ=

τ

• Tracé de la réponse impulsionnelle d’un 1er ordre :

• Caractéristiques de la réponse :

Discontinuité en t=0 : s(0-) = 0 et s(0+) = K/τ (plim p.S(p)

→∞= )

tlims(t) 0+

→∞= (

p 0lim p.S(p)

→= ) ; La réponse comporte une asymptote horizontale : y(t) = 0.

Tangente de pente 2

K−τ

en 0+ , coupant l’axe des abscisses en t = τ t /

2

ds(t) K.e .u(t)

dt− τ= −

τ

ou bien par le théorème de la valeur initiale :

( ) ( )( ) ( )

22

2p p p p

K. .p K. 1+ .p .pK.p K.p K.p Klim p. p.S(p) f (0 ) lim lim lim

1+ .p . 1+ .p . 1+ .p

τ

τ τ τ+

→∞ →∞ →∞ →∞

τ − − − = − = = = − τ τ τ τ


4.3.2) Réponse indicielle (échelon) d’un 1er ordre

Soit A une constante réelle : e(t) = E0.u(t) 0EE(p)

p= ( )

0E .KS(p) = H(p).E(p) =

p. 1+ .pτ

Pour déterminer la réponse temporelle, il faut décomposer S(p) en éléments simples :

( )a b a a. .p + b.p

S(p) =p 1+ .p p. 1+ .p

τ

τ τ

++ = a = E0.K et b = -E0.K.τ 0

1S(p) = E .K.

p 1+ .pτ

τ

−

La réponse temporelle vaut donc : ( )t /0s(t) E .K. 1 e .u(t)− τ= −


Continuité en t=0 : s(0) = 0

Démo dans le domaine temporel : ( ) ( )0 /0 0s(0 ) E .K. 1 e E .K. 1 1 0+ − τ= − = − =

Démo dans le domaine de Laplace : ( )0

p p

p.E .Ks(0 ) lim p.S(p) lim 0

p. 1+ .pτ+

→∞ →∞= = =

0tlims(t) E .K→∞

= (p 0lim p.S(p)

→= ) ; La réponse comporte une asymptote horizontale : y(t) = E0.K.

Tangente de pente 0E .Kτ

en 0+ , coupant l’asymptote finale en t = τ

Démo temporelle : t /0E .K.e .u(t)s '(t) − τ=

τ donc 0E .K

s '(0 )+ =τ

Démo dans Laplace : ( )2 0 0

p p p

p.E .K E .Ks '(0 ) lim p.p.S(p) lim p .S(p) lim

1+ .pτ τ+

→∞ →∞ →∞= = = =

En t = τ, ( )10 0s( ) E .K. 1 e 0,63.E .K 0,63.s( )−= − = +∞τ ≃

En t = 3.τ, ( )30 0s(3 ) E .K. 1 e 0,95.E .K 0,95.s( )−= − = +∞τ ≃

En t = 5.τ, ( )50 0s(5 ) E .K. 1 e 0,99.E .K 0,99.s( )−= − = +∞τ ≃

Pour un système du 1er ordre, le temps de réponse à 5% est : tR5% ≈ 3τ.

À partir du tracé de la réponse indicielle d'un système du 1er ordre, il est facile de retrouver, par identification, le gain K et la constante de temps τ (cf. chapitre suivant : « Identification »).

E0.K

0,95.E0.K

0,63.E0.K

pente (E0.K/τ)

5.τ

0,99.E0.K


4.3.3) Réponse d’un 1er ordre à une rampe de pente A

Soit A une constante réelle : e(t) = A.t.u(t) 2

AE(p)

p= ( )2

A.KS(p) = H(p).E(p) =

p . 1+ .pτ

Pour déterminer la réponse temporelle, il faut décomposer S(p) en éléments simples : 2

2 2

a b c 1S(p) = A.K.

p p 1+ .p p p 1+ .pτ τ

τ τ

+ + = − + +

La réponse temporelle vaut donc : ( )t /s(t) A.K. t e .u(t)τ+ τ. − τ= −

• Tracé de la réponse pour K=1 :

• Autres cas (K≠1) :


En t = 0+ : s(0) = 0 et tangente horizontale s’(0) = 0

tlims(t) A.K.t→∞

→ − τ ; La réponse comporte une asymptote oblique de pente A.K.

Dans le cas où K=1 : [ ] ( )t /

t tlim e(t) s(t) lim A. e A.τ+ τ. τ−

→∞ →∞

τ− = − = − ;

La réponse comporte une erreur de trainage en régime permanant.

Dans les cas où K≠1 , on généralise la notion d'erreur de traînage en comparant la sortie à la droite affine A.K.t . Cette erreur de traînage vaut alors A.K.τ .


4.4) Système du 2e ordre

Rappel : un système du deuxième ordre est caractérisé par une équation différentielle du deuxième ordre, que l'on écrit généralement sous la forme canonique suivante :

22 2

0 0 02

d s(t) ds(t)2 . . .s(t) K. .e(t)

dt dt+ ξ ω + ω = ω

Par transformée de Laplace, cette équation donne : 2 2 20 0 0p .S(p) + 2 . .p.S(p) + .S(p) = K. .E(p)ξ ω ω ω ,

soit une fonction de transfert :

2

20 0

S(p) KH(p) =

2 pE(p)1+ p +

=ξ

ω ω

avec : ω0 : pulsation propre non amortie, ou « naturelle » (unité : rad.s-1) ξ : (« xi ») coefficient d'amortissement (sans unité). On emploie aussi les notations z ou m. K : gain statique (unité : [s] / [e] ).

Les racines du dénominateur de H(p) sont appelées pôles de la fonction de transfert.

Les pôles sont donc les solutions de 2

20 0

2 pD(p) 1+ p + 0

ξ= =ω ω

2 20 0+ 2 . .p + p 0ω ξ ω =

D(p) est un polynôme de 2e degré, dont le discriminant vaut : ∆ = 4ξ2.ω02 – 4.ω0

2 = 4.ω02.(ξ2 – 1)

Les pôles de H(p) sont donc : 21,2 0 0p . . 1= −ξ ω ± ω ξ −

En fonction des valeurs de ξ les pôles seront réels (si ξ≥1) ou complexes (si ξ<1).

Exemple de système du 2e ordre : système masse ressort amortisseur (cf. page 10)

4.4.1) Réponse impulsionnelle (Dirac) d’un 2e ordre

Bien que la mise en œuvre pratique soit délicate, théoriquement :

e(t) = δ(t) E(p) = 1 2 2

0 02 2 2

0 02

0 0

K. K.KS(p) = H(p).E(p) = = =

2 p + 2 . .p + p D(p)1+ p +

ω ωξ ω ξ ω

ω ω

La réponse du système dépend alors des valeurs de ξ , dont dépendront la nature des racines de D(p) , c'est-à-dire des pôles de H(p) .

• Premier cas : ξ > 1 (système amorti)

D(p) admet 2 racines réelles (pôles de H(p)) : 21 0 0p . . 1= −ξ ω − ω ξ − et 2

2 0 0p . . 1= −ξ ω + ω ξ −

D’où : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

20 00 2

1 2 1 2 1 2

K. K.A B 1 1S(p) = = K. . .

p p . p p p p p p p p p p2. 1

ω ωω + = − − − − − − −ξ −

Soit :

( )1 2p .t p .t0

2

K.s(t) . e e .u(t)

2. 1

ω= −ξ −

Il s’agit d’un régime amorti (apériodique : il n’y a pas d’oscillations).

• Deuxième cas : ξ = 1

D(p) admet une racine réelle double (pôle de H(p)) : 1 0p .= −ξ ω

L’allure de la courbe ressemble alors à celle obtenue précédemment.


Cependant, dans la pratique, nous n’aurons jamais exactement ξ = 1.

• Troisième cas : ξ < 1 (système sous-amorti)

D(p) admet deux racines complexes conjuguées (pôles de H(p)).

On peut écrire S(p) sous la forme : ( ) ( )

20

2 2 20 0

K.S(p) =

p . . 1

ω+ ξ ω + ω − ξ

On pose alors 20= . 1ω ω − ξ et 0a .= ξ ω :

( )0

2 22

K.S(p) = .

p a1

ω ω+ + ω− ξ

D’où : ( )0 2002

. .tK.s(t) .e .sin . 1 .t .u(t)

1

−ξ ωω= ω − ξ− ξ

Le système est sous-amorti (régime périodique). Il y a apparition d'oscillations amorties de pseudo-

période : 2

0

2T

. 1

π=ω − ξ

Si ξ=0 (il n'y a pas d'amortissement), la réponse est une sinusoïde de période 0

2T

π=ω

, ce qui justifie

le nom de « pulsation propre non amortie » ou « pulsation naturelle » donné à ω0 .

t

s(t)


4.4.2) Réponse indicielle (échelon) d’un 2e ordre

e(t) = E0.u(t) 0EE(p)

p= 0

2

20 0

E .KS(p) = H(p).E(p) =

2 pp. 1+ p + ξ ω ω

La réponse du système dépend alors des valeurs de ξ , dont dépendront les pôles de H(p) et donc de S(p) .

• Premier cas : ξ > 1 (système amorti)

D(p) admet 2 racines réelles (pôles de H(p)) : 21 0 0p . . 1= −ξ ω − ω ξ − et 2

2 0 0p . . 1= −ξ ω + ω ξ −

Par analogie avec le 1er ordre, on prendra : 11

1p

τ = − et 22

1p

τ = −

Ainsi, la fonction de transfert devient : ( ) ( ) ( ) ( )2

0

1 2 1 2

K. KH(p)

p p . p p 1 .p . 1 .pω= =

− − + τ + τ

Elle est équivalente à deux 1er ordres en série.

Pour trouver 1τ et 2τ on procède par identification : 1 20

2ξτ + τ =ω

et 1 2 20

1.τ τ =

ω

La décomposition en éléments simples de S(p) est alors :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

0 1 20

1 2 2 1 1 2

E .K 1 1S(p) = = E .K.

p. 1 .p . 1 .p p 1 .p 1 .p

τ τ+ − + τ + τ τ − τ + τ + τ

Soit : ( ) ( )01 2

1 22 1

t / t /E

1s(t) .K. 1 .e .e .u(t)− τ − τ

= + τ − ττ − τ

Caractéristiques :

En t = 0 : tangente horizontale s’(0) = 0

Asymptote horizontale en +∞ : y(t) = E0.K La courbe ne dépasse pas son asymptote

horizontale : elle est monotone.

Temps de réponse à 5% : il n'y a pas de formule, et il convient d’utiliser les abaques. On peut toutefois remarquer que le temps de réponse est

approximativement ( )1 23. τ + τ , c’est-à-dire

0 0

2 63.

ξ ξ=ω ω

.

Lorsque 1 2τ << τ la fonction de transfert peut être approximée à un 1er ordre de constante de temps 2τ et

donc son temps de réponse est environ ( )1 2 23. 3.τ + τ τ≃ .

τ1 τ1+τ2

pente nulle à l’origine

E0.K


• Deuxième cas : ξ = 1 Dans le cas où ξ=1 (τ1 = τ2 = τ0) on parle d’amortissement critique. La présence d’un pôle double modifie la décomposition en éléments simples et on obtient :

00

0

t /ts(t) E .K. 1 1 .e .u(t)− τ

= − + τ L’allure de la courbe est très similaire au premier cas.

• Troisième cas : ξ < 1 (système sous-amorti)

H(p) admet 2 pôles complexes conjugués. Une décomposition de S(p) en éléments simples, une transformée inverse de Laplace, et un remaniement des équations trigonométriques nous donne :

0 22 -1

0 02

. .t 1es(t) E .K. 1 .sin . 1 .t tan .u(t)

1

−ξ ω − ξ = − ω − ξ + ξ − ξ

et ( )0 20 002

. .tE .K.s '(t) .e .sin . 1 .t .u(t)

1

−ξ ωω= ω − ξ− ξ

Caractéristiques : En t = 0 : s(0+) = 0 (continuité) et il existe une tangente horizontale s’(0) = 0

Asymptote horizontale en +∞ : y(t) = E0.K

On observe l'apparition d'oscillations autour de la valeur finale (réponse pseudopériodique), d'autant plus amorties que ξ est élevé. Pour ξ=0, la réponse est sinusoïdale d'amplitude 2K.

La pseudo-pulsation des oscillations (transitoires) est appelée pulsation propre amortie :

2P 0. 1ω = ω − ξ et la pseudo-période est donc :

20

2T

. 1

π=ω − ξ

Le 1er dépassement (haut d’une oscillation) est obtenu pour t1 = T/2 , soit : 1 20

t. 1

π=ω − ξ

Démo : résoudre s’(t)= 0. Les dépassements de même sens sont espacés de T.

La valeur du 1er dépassement est : 0

2

1

.

1D E .K.e

ξ π−−ξ=

Démo : introduire le temps de 1er

dépassement t1 dans l’expression temporelle de s(t)

Les dépassements suivants (avec ceux négatifs) valent : ( )0

2n 1n

n. .

1D E .K. 1 .e+

ξ π−−ξ= −

Le dépassement est souvent écrit sous sa forme relative (par rapport à la valeur finale).

Le dépassement relatif vaut : 12

1%

.

1Ds( )

D e

ξ π−−ξ

∞= =

D2

E0.K

D3

pente nulle à l’origine

T T/2


Le calcul du temps de réponse à 5% est très compliqué. On se réfèrera donc à des abaques. Cependant, on sait que le temps de réponse à 5% est minimal pour ξ ≈ 0,7 car c’est pour cette valeur que le 1er dépassement vaut « 1,05.E0.K » (+5% de la valeur finale). Dans ces conditions (ξ ≈ 0,7), on a :

5%0

3t ≈

ω

De même, le temps de réponse minimal sans dépassement est donné pour ξ = 1.

• Récapitulatif : Allure des réponses indicielles d’un système du 2e ordre, pour

différentes valeurs de l’amortissement ξ (dans le cas où E0=1 et K=1)


4.4.3) Réponse d’un 2e ordre à une rampe

L’étude exhaustive de la réponse à une rampe d’une fonction de transfert du deuxième ordre donne lieu à des calculs longs et fastidieux en fonction du coefficient d’amortissement ξ. On retrouve cependant les résultats fondamentaux vus dans le cas du premier ordre, c’est-à-dire que si le gain statique est unitaire, la limite (lorsque t tend vers l’infini) de la réponse reste parallèle à la consigne avec un retard (qui dépend de ξ et de ω0). En fonction de ξ la réponse présente des oscillations autour de cette asymptote.

SLCI (systèmes asservis) 5) Identification temporelle 34

5) IDENTIFICATION TEMPORELLE A UN MODELE

L’étude et l’amélioration des performances des systèmes asservis nécessitent de connaître l’expression des fonctions de transfert des blocs qui constituent le système à commander. Deux voies sont possibles pour déterminer ces fonctions :

a) Recherche des lois physiques liant l’entrée à la sorte du bloc. Cette solution nécessite de faire des hypothèses de modélisation souvent simplificatrices, les lois obtenues sont donc approchées. De plus, il existe des exemples où ces lois sont quasiment impossibles à déterminer précisément. Cette voie est la seule possible lorsque le système à étudier n’existe pas, comme lors de la phase de conception.

b) Procéder par identification, c’est-à-dire par mesure du comportement du système. Le système doit donc exister réellement. Cette méthode est basée essentiellement sur l’analyse de la réponse à un échelon, du système ou de l’un de ses blocs.

5.1) Modélisation

• Choix de l’entrée

L’identification débute par une activité expérimentale de mesure du comportement d’un bloc défini. On peut distinguer classiquement deux types d’identification :

a) une identification temporelle, lorsque l’entrée est une impulsion, un échelon ou une rampe. L’essai retenu est l’échelon pour des raisons de réalisation pratique ; en effet l’impulsion est difficilement réalisable (voire impossible) et la rampe est souvent limitée par l’amplitude de variation possible de la sortie.

b) une identification fréquentielle, que l’on rencontre plus souvent pour l’identification harmonique des signaux électriques. Dans le cas des grandeurs mécaniques, les limites en fréquence sont souvent faibles (< à quelques dizaines de hertz) ; de plus ce type d’entrée peut détériorer le mécanisme à étudier.

• Choix de la nature du modèle

La nature du modèle à choisir dépend de l’allure de la sortie obtenue. Par exemple un système qui présente des dépassements ne peut se modéliser par une fonction du 1er ordre. Compte tenu des limites du programme en CPGE (1er et 2e ordre), le nombre de cas possibles est donc très restreint, mais une recherche du type du modèle doit cependant être mise en œuvre :

Compte tenu de la difficulté à déterminer la pente à l’origine sur des résultats expérimentaux, le choix entre un 1er ordre ou un 2e ordre apériodique est parfois difficile. On peut toujours modéliser une réponse voisine d’un 1er ordre par un 2e ordre, mais la réciproque est fausse.


5.2) Identification à un système du 1er ordre

La fonction de transfert d’un tel système est : K

H(p)1 .p

=+ τ

ou K et τ sont à déterminer.

L’expression mathématique de la réponse à un échelon d’amplitude EC est : s(t) = K.EC.(1 – e-t/τ

)

• Le gain statique K peut être déterminé en relevant la valeur finale (permanente) : s(∞) = K.EC

• La constante de temps τ peut être déterminée de plusieurs manières :

a) au temps mis pour atteindre 0,63.K.EC car s(τ) ≈ 0,63.s(∞)

b) au temps mis pour atteindre 0,95.K.EC (et en le divisant par 3) car t5% = 3.τ (à éviter car imprécis)

c) au temps correspondant à l’intersection entre la tangente à l’origine et l’asymptote finale

d) à partir d’une tangente quelconque à la courbe (cf. tracé ci-dessus) : la tangente à la courbe à une date quelconque t1 coupe l’asymptote finale en t2 , avec t2 – t1 = τ. Cette méthode est très pratique pour relever τ lorsque ni le début ni la fin de la courbe n’est net.

Une fois les caractéristiques déterminées, il convient toujours de tracer la réponse théorique et de la

comparée à la courbe expérimentale afin de valider le modèle choisi !

Exercice : Déterminer les caractéristiques de la fonction de transfert du système suivant, dont la réponse

expérimentale à une entrée en échelon d’amplitude 2,5 uSI est donnée ci-dessous.

Vous utiliserez les 4 méthodes différentes pour déterminer τ.

Rappel : Une courbe réponse d’un 1er ordre à un échelon à une pente à l’origine non nulle et aucun dépassement.

(en s)

s(t)

e(t) E0

s(∞)=K.E0

0,63.s(∞)

τ

τ

t


5.3) Identification à un système du 2e ordre apériodique

Un 2e ordre apériodique (sans dépassement) a une fonction de transfert : ( ) ( )1 2

KH(p)

1 .p . 1 .p=

+ τ + τ

Pour rappel, on a : 1 21 0 0

1 1p . . 1

τ = − =ξ ω + ω ξ −

et 2 22 0 0

1 1p . . 1

τ = − =ξ ω − ω ξ −

La réponse d’un 2e ordre apériodique à une entrée en échelon d’amplitude EC a cette allure : • Le gain statique K peut être déterminé en relevant la valeur finale (permanente) : s(∞) = K.EC

• Les constantes de temps τ1 et τ2 peuvent être déterminées de manière approchée grâce à la méthode de la tangente au point d’inflexion (cette courbe possède un et un seul point d’inflexion) : Les intersections de cette tangente avec l’axe des abscisses et l’asymptote finale donnent τ1 et (τ1 + τ2).

Cette méthode fonctionne bien lorsque τ1 et τ2 sont suffisamment éloignés.

Lorsque τ1 << τ2 (ξ grand) le comportement du système peut être approximé par un 1er ordre de

constante de temps τ2 , retardé d’une durée τ1 . On a alors : 20

2.ξτω≃





Rappel : Une courbe réponse d’un 2e ordre apériodique à un échelon a une pente à l’origine nulle et aucun dépassement.

(en s)


5.4) Identification à un système du 2e ordre oscillant 0<z<1

Un 2e ordre oscillant (avec dépassement) a une fonction de transfert : 2

20 0

KH(p)

2z p1 .p

=+ +

ω ω

avec z<1. La réponse d’un 2e ordre apériodique à une entrée en échelon d’amplitude EC a cette allure : • Le gain statique K peut être déterminé en relevant la valeur finale (permanente) : s(∞) = K.EC

• Le coefficient d’amortissement z (ou ξ) peut être déterminé en relevant le premier dépassement :

C

2

1

z.

1 zD K.E .eπ−

−= ou de préférence avec le dépassement relatif : ( )1 2

1%

z.

1 zDs

D eπ−

−∞

= =

Il vient donc : ( )2 2

1%

1%

zln D

ln D=

+ π. Nous utiliserons l’abaque des dépassements pour déterminer z !

• La pulsation propre ω0 peut être déterminée en relevant la pseudo-période Ta ou bien le temps de

premier dépassement t1 (avec t1 = Ta/2) :

2P 0

2. 1 z

Taπω = = ω − donc 0 2

2

Ta. 1 z

πω =−

ou bien : 0 21t . 1 z

πω =−

La pulsation propre peut aussi être déterminée grâce à l’abaque des temps de réponse à 5% réduits (donnée en annexe A3). Il convient de relever t5% expérimentalement et de connaître z.





Rappel : Une courbe réponse d’un 2e ordre oscillant à un échelon a une pente à l’origine nulle et un dépassement.

(en s)

SLCI (systèmes asservis) 6) Analyse harmonique 38

ω

6) ANALYSE HARMONIQUE D’UN SLCI

La réponse harmonique (ou fréquentielle) d’un système est l'étude de la sortie en régime permanent, causée par un signal sinusoïdal en entrée. Cette étude fréquentielle est utile dans les cas où l’on a réellement des entrées sinusoïdales (courant alternatif, acoustique et autres ondes, vibrations mécaniques…), mais aussi lorsque l’entrée est quelconque pour étudier la stabilité du système (programme de 2nde année).

Exemple utilisé pour ce chapitre : suspension de voiture

Masse : M correspond au quart de la masse suspendue du véhicule chargé M = 400 kg par défaut ;

Raideur ressort : k = 200 kN/m par défaut tel que ( )0. .ressort caisse ressort caisse routeF k L k y y L→ = ∆ = − − ;

Constante d’amortissement : c = 30 kN/s par défaut telle que ( )

. caisse route

amortisseur caisse

d y yF c

dt→

−= −

On suppose que le véhicule se déplace avec la vitesse Vx sur une route ayant un profil sinusoïdal dont la période spatiale est Λ et la hauteur des creux est 2h. Valeurs par défaut : Vx = 50km/h ; Λ = 1m ; h = 0,1m

Le choix des réglages de raideur et d'amortissement d'une suspension automobile dépend de : - Confort : il faut isoler les occupants du véhicule des chocs et des vibrations en adoptant une

fréquence d'oscillation autour de 1 Hz et en limitant les accélérations verticales à 0,25 g (2,45 m/s2). - Tenue de route : à l'image des véhicules de compétition, il faut une suspension et un antiroulis durs

pour limiter les mouvements de caisse et faire travailler les pneumatiques de façon précise.

6.1) Étude fréquentielle dans le cas général

• Présentation Soit un système linéaire continu et invariant d’entrée e(t) et de sortie s(t). Il est régi par une équation différentielle à coefficients constants telle que :

n m

n m0 0n m

d s(t) d e(t)a . ... a .s(t) b . ... b .e(t)

dt dt+ + = + +

Lors d’une étude harmonique, l’entrée est une sinusoïde : e(t) = e0.sin(ω.t) Lorsque l’entrée est un signal sinusoïdal, e(t) = e0.sin(ω.t) , il faut chercher la sortie en régime permanent

sous une forme sinusoïdale de même fréquence : s(t) = s0.sin(ω.t+ϕ)

Finalement, les deux grandeurs intéressantes dans une étude fréquentielle sont :

0

0

sG

e= : rapport des amplitudes, ou gain (unité us/ue) ;

ϕ : déphasage (unité : rad).

Le gain et le déphasage nous permettent de connaître la sortie en fonction de l’entrée. Ces deux grandeurs ne dépendent pas uniquement du système, elles dépendent aussi de la pulsation du signal d’entrée.

M

k c

Vx Λ

x

y

2h

yroute(t)

ycaisse(t)

Système s(t) e(t)

Système H(p)

s(t)=s0.sin(ω.t+ϕ) e(t)=e0.sin(ω.t)

en régime permanent


Exemple de la suspension de voiture

La pulsation de l'excitation de la suspension ω est fonction de la vitesse V et de la période spatiale du profil de la route Λ : ω = 2π.Vx / Λ. Ainsi la suspension est soumise à un signal d’entrée de la forme : yroute(t) = h.sin(ω.t) Elle restitue alors à la caisse du véhicule un signal de sortie en régime permanent de la forme : ycaisse(t) = G.h.sin(ω.t + φ)

En prenant h = 10cm ; Λ = 1m ; Vx = 50 km/h (= 14 m/s) on obtient : ω = 87 rad/s En prenant les valeurs par défaut, on a alors : Gω=87rad/s = 0,84 et φω=87rad/s = -36°

• Résolution par la méthode des complexes

Pour résoudre l’équation différentielle avec des variables sinusoïdales, on utilise les écritures complexes

des sinusoïdes : j. .t0e e .e ω= et ( )j. .t

0s s .e ω +ϕ= avec j² = -1

L’équation différentielle, après calcul des dérivées, s’écrit alors :

( ) ( )n m

n m0 0a . j. .s (t) ... a .s (t) b . j. .e(t) ... b .e(t)ω + + = ω + +

On obtient finalement : ( )( )

m

nm 0

n 0

b . j. ... bs (t)H( j. )

e(t) a . j. ... a

ω + += = ω

ω + +

On reconnaît la fonction de transfert du système où la variable de Laplace p a été remplacée par j.ω

Or j.0

0

ss (t).e

e(t) eϕ=

Donc les deux grandeurs recherchées 0

0

s

e et ϕ s’obtiennent grâce au module et à l’argument de H(j.ω) :

( )0

0

sG H j.

e= = ω et ( )arg H j.ϕ = ω


Le PFD appliqué à la caisse (de masse M) donne :

( ) ( ) 2

0 2

( ) ( ) ( ). . ( ) ( ) . .caisse route caisse

caisse route

d y t y t d y tM g k y t y t L c M

dt dt

−− − − − − =

Conditions initiales nulles : ( ) ( ) 2

2

( ) ( ) ( ). ( ) ( ) . .caisse route caisse

caisse route

d y t y t d y tk y t y t c M

dt dt

−− − − =

Dans Laplace : ( ) ( ) 2. ( ) ( ) . . ( ) ( ) . . ( )caisse route caisse route caissek Y p Y p c p Y p Y p M p Y p− − − − =

Transmittance de la suspension : 2 2

( ) . 1 / .( )

( ) . . 1 / . / .caisse

S

route

Y p k c p c k pH p

Y p k c p M p c k p M k p

+ += = =+ + + +

C’est une fonction de transfert avec un 1er ordre au numérateur et un 2e ordre au dénominateur. Pour déterminer le gain et le déphasage de la suspension, il faut déterminer le module et l’argument

du nombre complexe : 2 2 2

. . . .( . )

. . . . . . .S

k c j k c jH j

k c j M j k M c j

ω ωωω ω ω ω+ += =

+ + − +

( )2 2 2

2 22 2 2

. . .( ) ( . )

. . . . .S

k c j k cG H j

k M c j k M c

ω ωω ωω ω ω ω

+ += = =− + − +

( ) ( ) ( )22

. .( ) arg ( . ) arg . . arg . . . atan atan

.S

c cH j k c j k M c j

k k M

ω ωϕ ω ω ω ω ωω

= = + − − + = − − Ainsi avec les valeurs par défaut (entre autres ω = 87 rad/s), on obtient G = 0,84 et φ = -36° (cf. ci-dessus pour le tracé de ycaisse(t)).

Suspension HS(p)

yroute(t) =

h.sin(ω.t)

en régime permanent

ycaisse(t) =

G.h.sin(ω.t+φ)


6.2) Diagrammes de représentation de la fonction de transfert

Afin d’étudier les variations du gain A et du déphasage ϕ en fonction de la pulsation ω, on utilise différents types de diagrammes. Les courbes obtenues sont appelées lieux de transfert du système.

Les diagrammes présentés dans cette partie sont des diagrammes d’une fonction de 1er ordre.

• Diagramme de Bode

Ce diagramme comporte en fait deux diagrammes : - le diagramme du gain représentant le gain (en dB) en fonction de la pulsation ; - le diagramme du déphasage représentant le déphasage en fonction de la pulsation.

Le gain G est exprimé en décibel (dB), selon la formule :

( ) 0

0

sG(dB) 20.Log G 20.Log

e

= =

De plus, l’échelle des pulsations est logarithmique (sur les deux diagrammes), et l’unité de ϕ est le degré.

Sur l’échelle logarithmique il n’y a pas d’origine des abscisses (ω=0 ne peut pas être tracé). Par conséquent le tracé ne concernera qu’une bande de pulsation qu’il faudra choisir judicieusement.

Rappel sur les logarithmes décimaux (Log10 ou encore Log) :

Log(x) est défini uniquement pour x > 0. y = Log(x) ⇔ 10y = x Log(a) + Log(b) = Log(a.b) k.Log(a) = Log(ak) Changement de base : Loga(x) = lnx/lna et donc Logx = lnx/ln10

Lecture du gain :

si GdB = 20dB, alors : 20 = 20.Log(G) Log(G) = 1 G = 101 = 10 ( s0 = 10.e0) si GdB = 0dB, alors : 0 = 20.Log(G) Log(G) = 0 G = 100 = 1 ( s0 = e0) si GdB = -10dB, alors : -10 = 20.Log(G) Log(G) = -0,5 G = 10-0,5 ≈ 0,32 ( s0 = 0,32e0)

( ) 0

0

s20.Log G 20.Log

e

= =

→ revient à multiplier par 10



On rappelle la fonction de transfert de la suspension (obtenue au paragraphe précédent) :

2 2

( ) . 1 / .( )

( ) . . 1 / . / .caisse

S

route

Y p k c p c k pH p

Y p k c p M p c k p M k p

+ += = =+ + + +

Gain :

( )2 2 2

22 2 2

.( ) ( . )

. .S

k cG H j

k M c

ωω ωω ω

+= =− +

Déphasage : ( ) 2

. .( ) arg ( . ) atan atan

.S

c cH j

k k M

ω ωϕ ω ωω

= = − −

Et les diagrammes de Bode qui correspondent :

On peut lire sur ces diagrammes, pour une pulsation de yroute(t) valant ω = 87 rad/s : Gain : GdB = -1,5dB, soit GdB = 20.log(G) = -1,5 => G = 10-1,5/20 = 0,84 Déphasage : φ = -36° = -0,63 rad Et ainsi, en régime établi, si yroute(t) = 0,1.sin(0,87.t) alors ycaisse(t) = 0,084.sin(0,87.t – 0,36)


6.3) Réponse harmonique des systèmes simples

Gain pur : Intégrateur :

H(p) K= , soit H( j. ) Kω = K

H(p)p

= , soit K K

H( j. ) .jj.

ω = = −ω ω

Gain en dB : Gain en dB :

dBG 20.log(K)= (constant) dBG 20.log(K) 20.Log( )= − ω : droite de

pente -20dB/décade (c’est-à-dire de -20 décibels lorsque l’on multiplie ω par 10), et passant par :

dBG 20.log(K)= lorsque ω = 1 rad/s

Déphasage : Déphasage :

0ϕ = ° (constant) 90ϕ = − ° (constant)

Exemples : Voiture sans amortisseur : K=1 Exemple : Moteur électrique CC avec une La caisse subit les mêmes tension en entrée et l’angle déformations que la route. en sortie : si la pulsation de tension est élevée, le moteur Réducteur à engrenages K=0,5 perdra le signal (ne bougera L’arbre de sortie oscille deux plus, G faible) ; en revanche si la fois moins vite que l’arbre tension varie lentement, le moteur d’entrée (quelle que soit sa tournera beaucoup avant de pulsation), sans déphasage. changer de sens (G fort).

K S(p) E(p)

H(p) K=

K

p

S(p) E(p)

KH(p)

p=

20.Log(K) pour ω=1


6.4) Réponse harmonique d’un système du 1er ordre

Un système d’ordre 1 a pour fonction de transfert : K

H(p)1 .p

=+ τ

, soit K

H(j. )1 j. .

ω =+ τ ω

Le gain et le déphasage s’écrivent donc :

2 2

KG H(j. )

1 .= ω =

+ τ ω

[ ] ( ) ( )Im .arg H( j. ) arg 1 j. . Arctan Arctan Arctan .

Re 1τ ω ϕ = ω = − + τ ω = − = − = − τ ω

• Représentation de Bode d’un système du 1er ordre 2 2

dBG 20.Log(G) 20.Log(K) 20.Log 1 .= = − + τ ω

( )Arctan .ϕ = − τ ω

Asymptotes du lieu de transfert du gain :

ω→0 : dBG 20.Log(K)→ : asymptote horizontale à l’origine.

ω→∞ : on a : ( ) ( )2 2 2 21 . .+ τ ω → τ ω , et donc : ( )dBG 20.Log(K) 20.Log .→ − τ ω qui est

l’équation d’une asymptote de pente -20dB/décade (c’est-à-dire de -20 décibels lorsque

l’on multiplie ω par 10) qui croise l’asymptote horizontale au point d’abscisse C

1ω =τ

Asymptotes du lieu de transfert du déphasage :

ω→0 : 0ϕ → ° : asymptote horizontale à l’origine.

ω→∞ : 90ϕ = − ° : asymptote horizontale en l’infini.

Point caractéristique de la courbe (pulsation de cassure) : C

1ω =τ

dB C

1G 20.log(K) 3dB ω = − τ

≃ Pour C

1ω =τ

la perte est de -3dB.

C

145 ϕ ω = = − ° τ

Pour C

1ω =τ

le déphasage est de -45° (la moitié de la valeur finale).

ωC=1/τ GdB (ω)

20.Log(K)

-3dB

Asymptote de pente -20dB/décade


6.5) Réponse harmonique d’un système du 2e ordre

Un système d’ordre 2 a pour fonction de transfert : 2

02 2

0 0

K.H(p)

2z. .p pω=

ω + ω +

soit 2

02 2

0 0

K.H( j. )

2z. . .jωω =

ω + ω ω − ω

Gain :

( )2

0

22 2 2 2 20 0

K.G H( j. )

4z . .

ω= ω =ω − ω + ω ω

Déphasage : [ ] ( )2 2 00 0 2 2

0

2z. .arg H( j. ) arg 2z. . .j = Arctan

ω ωϕ = ω = − ω + ω ω − ω − ω − ω

• Représentation de Bode d’un système du 2e ordre

( ) ( )22 2 2 2 2 2dB 0 0 0G 20.Log(G) 20.Log(K) 20.log 20.Log 4z . .= = + ω − ω − ω + ω ω

02 2

0

2z. .Arctan

ω ωϕ = − ω − ω

Asymptotes du lieu de transfert du gain :

ω→0 : dBG 20.Log(K)→ : asymptote horizontale à l’origine.

ω→∞ : on a ( )22 2 2 2 2 40 04z . . ω − ω + ω ω → ω

, et donc :

( ) ( )dB 0G 20.Log(K) 40.log 40.Log→ + ω − ω qui est l’équation d’une asymptote

de pente -40dB/décade (c’est-à-dire de -40 décibels lorsque l’on multiplie ω par 10) qui croise l’asymptote horizontale au point d’abscisse C 0ω = ω

Asymptotes du lieu de transfert du déphasage :

ω→0 : 0ϕ → ° : asymptote horizontale à l’origine.

ω→∞ : 180ϕ → − ° : asymptote horizontale en l’infini.

Point caractéristique de la courbe (pulsation de cassure) : C 0ω = ω

( ) ( )dB C 0G 20.Log(K) 20.Log 2.zω = ω = − pour C 0ω = ω la gain en dB est éloigné de

l’asymptote horizontale d’une valeur de ( )20.Log 2.z− (négatif ou positif selon z).

( )C 0 90ϕ ω = ω = − ° pour C 0ω = ω le déphasage est de -90° (la moitié de la valeur finale).

Résonance : Suivant les valeurs du coefficient d’amortissement z, le gain peut présenter un maximum,

supérieur au gain statique K.

S’il existe, ce maximum est obtenu à la pulsation ωr telle que ( )dBr

dG0

dω =

ω, soit :

3 2 2 20 0r r r4. 4. . 8z . . 0ω − ω ω + ω ω = 2

0r . 1 2zω = ω − avec 2

z2

< ≈ 0,707

Conclusions :

- si z 0,7≥ la courbe de gain est toujours décroissante (il n’y a pas de résonance).

- si z 0,7< la courbe de gain présente un maximum pour la pulsation de résonance 20r . 1 2zω = ω −

On définit alors un facteur de résonance ou de surtension :

20

rr

H(j. ) 1Q

H( j. ) 2z. 1 zω→

ω= =

ω −


Diagramme de Bode d’un système du 2e ordre

Remarque 1 : Un 2e ordre non oscillant est la multiplication de deux 1er ordres, et le tracé du diagramme de Bode d’une telle fonction sera alors plus précis en faisant la somme des tracés des deux 1er ordres (cf. 6.7 : Multiplication de fonctions de transfert).

Remarque 2 : A partir d’un lieu de transfert expérimental correspondant à l’allure d’un système d’ordre 2, on peut procéder à une identification en utilisant :

- Les basses pulsations pour trouver le gain du système ;

- L’intersection des asymptotes pour trouver la pulsation propre ;

- Le facteur de surtension pour trouver le coefficient d’amortissement s’il y a résonance, ou bien la distance en dB de la courbe de gain pour ω=ω0 à l’asymptote horizontale 20logK (cette distance est égale à -20log(2z) ).



Dans le cas d’une usure importante de l’amortisseur, c devient faible (1000N/s) et pour une charge normale de 400kg la fonction de transfert de l’amortisseur peut alors être approximée à un 2e ordre :

2

2

( ) 1 1( )

( ) 1 0,005. 0,002.1 . .

caisseS

route

Y pH p

c MY p p pp p

k k

= = =+ ++ +

On en déduit les caractéristiques de la suspension très usée :

K = 1 ; 0 22,4 /k

rad sM

ω = ≃ ; 0

2.z c

kω= => . 0,056

2. 2. .

c k cz

k M k M= = ≃

Comme le coefficient d’amortissement z est très faible, la résonance est grande et se produit proche

de ω0 : 2

0 0r . 1 2z 22,3rad / sω = ω − = ω≃

On peut enfin déterminer le gain (par rapport à l’asymptote horizontale) pour ω0 : il vaut -20.log(2.z) Ainsi, pour cette suspension très usée, il faudra éviter les pulsations proches de la résonance ωR = 22 rad/s car sinon cela créera une amplification des défauts de la route avec un gain atteignant presque 20dB c’est-à-dire une amplitude d’entrée multipliée par 10 ! D’ailleurs si on enlève complètement l’amortisseur et que l’on ne garde qu’un ressort, z tendra vers 0 et la résonance vers l’infini, c’est-à-dire que si l’on « excite » la suspension-ressort avec sa fréquence propre, elle entrera en résonance en augmentant son amplitude progressivement et continument. Dans la pratique, tous les systèmes sont amortis, même un simple ressort car il possède des frottements internes (matériau) et externes (avec l’air).

ω0=22rad/s 0rω ω≃

asymptote horizontale

20.log(K)=0dB

asymptote

de pente

-40dB/dec

-20.log(2.z) = +19dB


6.6) Fonction de transfert avec un polynôme au numérateur

( )1 1 120log 20log 20log ( . )

( ) ( . ) ( . )dBG H jH p H j H j

ωω ω

= = = −

( ) ( ) ( )1 1arg arg 1 arg ( . ) arg ( . )

( ) ( . )H j H j

H p H jϕ ω ω

ω

= = − = −

Le diagramme de Bode d’une fonction de transfert avec un polynôme au numérateur (hors gain statique) est identique à celui de la fonction de transfert inversée (comme si le polynôme était au dénominateur) à ceci près que les asymptotes ont des pentes inversées, et le déphasage est opposé (positif) : Pente de +20dB/dec et déphasage maximal de +90° pour un 1er ordre au numérateur ; Pente de +40dB/dec et déphasage maximal de +180° pour un 2e ordre au numérateur…

Ex 1 : tracer l’allure du diagramme de Bode du système dont la transmittance est 1( )H p p=

Ex 2 : tracer l’allure du diagramme de Bode du système dont la transmittance est 2 ( ) 1 0,2.H p p= +

Ex 3 : tracer l’allure du diagramme de Bode du système dont la transmittance est 2

3 2

2 0, 4( ) 1 .

20 20p

H p p×= + +

1 10 102

103

0,1

0

20

-20

40 G(dB)

ω (rad/s)

pente +20dB/décade

vaut 0dB (20.log(K)) pour ω=1rad/s

1 10 102

103

0,1

0

90

φ(°)

ω (rad/s)

G(dB)

ω (rad/s)

φ(°)

0°

+90° +45°

ωC = 1/τ = 1/0,2 = 5 rad/s 20.log(K) = 0dB

pente +20dB/décade

+3dB

G(dB)

ω (rad/s)

φ(°)

+180°

0°

+90°

ωC = ω0 = 20 rad/s

20.log(K) = 0dB

pente +40dB/décade

ωR = 16,5 rad/s +20.log(2.z) = -1,9


6.7) Multiplication de fonctions de transfert

Le diagramme de Bode d’un système dont la transmittance H(p) est la multiplication de plusieurs transmittances élémentaires H1(p).H2(p)… est la somme des diagrammes de Bode de chacune des transmittances élémentaires.

Démo : Soit H(p)=H1(p).H2(p) : Gain : G = |H(j.ω)| = |H1(j.ω).H2(j.ω)| = |H1(j.ω)|.|H2(j.ω)| = G1.G2

Gain en dB : GdB = 20.log(G) = 20.log(G1.G2) = 20.log(G1) + 20.log(G2) = GdB1 + GdB2

Déphasage : φ = Arg(H(j.ω)) = Arg(H1(j.ω).H2(j.ω)) = Arg(H1(j.ω)) + Arg(H2(j.ω)) = φ1 + φ2

Au final, le gain en décibel et le déphasage de la multiplication de deux transmittances est l’addition des deux gains en décibel et de deux déphasages : GdB = GdB1 + GdB2 et φ = φ1 + φ2


Allure des diagrammes de Bode de la suspension usée (c=1000N/s) et surchargée (M=1200kg) dont la

fonction de transfert est alors : 2

2

1 .( ) 1 0,005.( )

( ) 1 0,005. 0,006.1 . .

caisseS

route

cp

Y p pkH pc MY p p p

p pk k

+ += = =+ ++ +

Gain statique : 1, sans intégrateurs purs ni dérivateurs purs. Numérateur : 1er ordre de constante de temps τ1 = 0,005s donc 1/τ1 = 200rad/s Dénominateur : 2e ordre avec ω0 = 13rad/s ; z = 0,032 ; donc résonance à ωR = 12,9rad/s

1/τ1

asymptote horizontale

20.log(K)=0dB

asymptote

de pente

-40dB/dec

-20.log(2.z) = +24dB

0rω ω≃

asymptote de pente

+20dB/dec

asymptote 0°

asymptote -180°

asymptote -180°+90°=-90°

asymptote de pente

-20dB/dec

(-40+20)

+3dB


6.8) Bande passante

La plupart des systèmes physiques, s’ils ne comportent pas d’intégrateurs purs, se comportent dans Bode selon le diagramme de gain ci-dessous. Ce sont des filtres « passe-bas » : le gain est progressivement atténué. La bande passante d'un système est la plage de fréquences (ou de pulsations) sur laquelle l'atténuation relative du signal d’entrée reste inférieure à une valeur convenue. Par défaut, la bande passante sera la bande passante à -3dB (sauf précisé autrement), ce qui signifie la

plage de fréquences pour lesquelles l’amplitude de sortie s0 > (K.e0 – 3dB).

Or, -3dB correspond à une multiplication par 2

2, car

220.log 3

2dB

= −

Cela correspond à une puissance de sortie divisée par 2.

Pour un système du 1er ordre, la bande passante (à -3dB) vaut donc 1τ

(en rad/s)

On pourra aussi utiliser la bande passante à -6dB, qui correspond à une amplitude du signal de sortie divisée au maximum par 2 par rapport au gain statique K du système. Illustration pour un 2e ordre avec résonance : Trouver la bande passante (à -3dB) du système ci-dessous :

SLCI (systèmes asservis) ANNEXES 50

ANNEXE A1 : TABLEAU DES TRANSFORMEES DE LAPLACE DES FONCTIONS USUELLES

f(t) = L-1

(F(p)) F(p) = L(f(t))

Impulsion de Dirac : (t)δ 1

Échelon (fonction constante) : u(t) 1p

Rampe : t.u(t) 21p

n 1t .u(t)− ( )

n

n 1 !p−

a.te .u(t)− 1

p a+

a.tt.e .u(t)− ( )21

p a+

n 1 a.tt .e .u(t)− − ( )( )n

n 1 !

p a

−+

( )sin .t .u(t)ω 2 2pω+ ω

( )cos .t .u(t)ω 2 2p

p + ω

( )a.te .sin .t .u(t)− ω ( )2 2p a

ω+ + ω

( )a.te .cos .t .u(t)− ω ( )2 2

p a

p a

++ + ω

( )sh .t .u(t)ω 2 2pω−ω

( )ch .t .u(t)ω 2 2p

p −ω

Propriétés f(t) F(p)

linéarité [ ]1 2a.f (t) b.f (t) .u(t)+ 1 2a.F (p) b.F (p)+

dérivation

f '(t).u(t)

f ''(t).u(t) (n)f (t).u(t)

p.F(p) f (0)− 2p .F(p) p.f (0) f '(0)− −

np .F(p) (CI nulles)

intégration ( )t

0f (x).dx .u(t)−

F(p)p

retard f (t ).u(t )− τ − τ .pe .F(p)−τ

facteur d’échelle ( )f a.t .u(t) pour a≠0 1 p

.Fa a

amortissement a.te .f (t).u(t)− ( )F p a+

multiplication par tn nt .f (t).u(t) ( )n

n

n

d F(p)1 .

dp−

Théorème de la valeur initiale : ( ) ( )pt 0

lim f (t) lim p.F(p)+ →+∞→

= Théorème de la valeur finale : ( ) ( )

t p 0lim f (t) lim p.F(p)

+→+∞ →=

Donc, pente à l’origine : ( ) ( )2

pt 0lim f '(t) lim p .F(p)

+ →+∞→=


ANNEXE A2 : TRANSFORMEE INVERSE DE LAPLACE

Objectif : transformer le quotient de 2 polynômes en termes identifiables dans le tableau des transformées de Laplace, pour ensuite déterminer la transformée de Laplace inverse.

Remarque : La méthode de décomposition en éléments simples est également utilisable en mathématique pour calculer des intégrales de fractions rationnelles. L’expression de la fonction de Laplace à transformer est donnée sous la forme d’une fraction

polynomiale : P(p)

S(p)Q(p)

=

avec P(p) et Q(p) des polynômes en p tel que degré(P) < degré(Q). (Si ce n’est pas le cas, on effectue la division euclidienne de P(p) par Q(p) et le reste vérifie alors la condition).

1) Factorisation du dénominateur

Exemple 1 : ( ) ( )

2

2 2

p 3p 5R(p)

p. p 1 . p 2p 2

+ +=+ + +

Exemple 2 : 3

2 3 2 2

5. 3.( 2).( 3) .( 2 2)

p p

p p p p p

+ ++ + + +

2) Décomposition en éléments simples

Exemple 1 : ( ) ( ) ( )

2

2 2 22

p 3p 5 A B C D.p ER(p)

p p 1 p 2p 2p. p 1 . p 2p 2 p 1

+ + += = + + ++ + ++ + + +

Exemple 2 :

( )3

22 3 2 2 2 2 3 2 2

5. 3 . ..( 2).( 3) .( 2 2) 2 3 ( 3) ( 3) 2. 2 2. 2

p p A B C D E F G p H I p J

p p p p p p p p p p p p p p p

+ + + += + + + + + + ++ + + + + + + + + + + +

Racine réelle simple

Racine réelle multiple Racines complexes simples

Théorème 1 : Tout polynôme se décompose de manière unique comme produits de termes de la

forme ( ) ii

mp r− et de termes de la forme ( ) j2

j j

np a .p b+ + dont les racines sont complexes :

( ) ( ) ji 2i j j

i j

nmQ(p) K. p r . p a .p b= − + +∏ ∏

Les coefficients mi et nj sont appelés ordres de multiplicité.

Théorème 2 : La fraction rationnelle

P(p)Q(p)

se décompose de manière unique dans ℝ comme

somme d’éléments simples de Q(p) : ( ) ( )

jh jhikk h2

i k j hi j j

B .p CAP(p)Q(p) p r p a .p b

+= +

− + +

Racine réelle simple

Racine réelle multiple Racines complexes simples


3) Astuces pour déterminer les constantes (à utiliser dans cet ordre) :

3.1) Cas des racines réelles simples de Q(p)

La fraction ( ) ( ) ( )1 2 3

P(p) P(p)Q(p) p r . p r . p r ...

=− − −

se met sous la forme : 31 2

1 2 3

AA A...

p r p r p r+ + +

− − −

Exemple : Calcul de A :

On multiplie par p la fraction R(p) : ( )2 2

B C D.p Ep.R(p) A p.

p 1 p 2p 2p 1

+= + + + + + ++

On évalue p.R(p) en p=0 , on obtient ainsi directement : 5

A2

=

3.2) Cas des racines réelles multiples de Q(p)

La fraction ( ) ( )1 2

1 2

m m

P(p) P(p)Q(p) p r . p r ...

=− −

se met sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2

1 211 12 21 222 2

1 21 1 2 2

m mm m

A AA A A A... ... ...

p r p rp r p r p r p r+ + + + + + + +

− −− − − −

Les autres coefficients peuvent être déterminés par les méthodes supplémentaires détaillées dans la suite, mais aucune méthode particulière ne permet de les calculer simplement et directement. Exemple : Calcul de C :

On multiplie par ( )2p 1+ la fraction R(p) :

( ) ( )2 2

2

A B D.p Ep 1 .R(p) C p 1 .

p p 1 p 2p 2

++ = + + + + + + +

On évalue ( )2p 1 .R(p)+ en p=-1 , on obtient ainsi directement : 3 C− =

Méthode : Chaque coefficient se calcule en multipliant la fraction par le monôme correspondant et en choisissant une valeur de p annulant le monôme. Par exemple, pour calculer A2 , on multiplie par (p – r2) et on évalue la fonction en p = r2 .

Méthode de calcul des iimA : On calcule les coefficients

iimA (coefficient du plus haut degré de

chaque racine multiple) par la méthode précédente, c’est-à-dire en multipliant la fraction par

( ) ii

mp r− et en évaluant la fonction en p=ri .


3.3) Méthode des limites : permet de déterminer un coefficient supplémentaire (ou une relation entre des coefficients) pour les ordres de multiplicité supérieure à 1 ou pour les polynômes d'ordre 2.

Pour les racines réelles multiples ( ) ( )

1

1 1

111

11 1

mm m

AAP(p) P(p)... ...

Q(p) p rp r ... p r= = + + +

−− −

on multiplie par p et on évalue la limite en p→+∞ pour obtenir une relation faisant intervenir A11

Pour les racines complexes simples ( )1 1

221 11 1

B .p CP(p) P(p)...

Q(p) p a .p bp a .p b ...

+= = ++ ++ +

on multiplie par p et on évalue la limite en p→+∞ pour obtenir une relation faisant intervenir B1

Exemple : Relation entre A, B et D (et calcul de B) :

On cherche la limite en +∞ de p.R(p) , soit :

( ) ( ) ( )( )2

2 2 22p

D.p E .pp 3p 5 B.p C.plim A

p 1 p 2p 2p 1 . p 2p 2 p 1→+∞

++ + = + + ++ + ++ + + +

On obtient la relation 0 = A+ B+ D . En utilisant les valeurs trouvées précédemment, il vient : B=-4

3.4) Méthode des valeurs particulières :

Une autre méthode consiste à simplement prendre des valeurs particulières pour p (différentes des pôles) et ainsi avoir un système d'équations qui permettra de déterminer les coefficients manquants. On prend en général des valeurs simples de p (0, 1, -1 par exemple) Exemple : Vérification des coefficients trouvés précédemment :

On évalue R(p) en p=1 : 9 B C D E

A20 2 4 5

+= + + +

Soit, avec les valeurs trouvées : 5 4 3 1,5 2 50 40 15 14 92 2 4 5 20 20

+ − − +− − + = = (ouf !)

3.5) Cas des racines complexes simples de Q(p)

La fraction ( ) ( )2 21 1 2 2

P(p) P(p)Q(p) p a .p b . p a .p b ...

=+ + + +

(où p2+ai.p+bi possède deux racines complexes

conjuguées) se met sous la forme : 1 1 2 22 2

1 1 2 2

B .p C B .p C...

p a .p b p a .p b+ ++ +

+ + + +

On trouve directement Bi et Ci sous forme d'une expression de nombres complexes qu'il faut retravailler et, par identification de la partie réelle et imaginaire, on détermine les coefficients. On préfère, quand cela est possible, utiliser les méthodes supplémentaires décrites ci après. Exemple : Calcul de D et E :

On multiplie par ( )2p 2p 2+ + la fraction R(p) puis on pose p = p1 = -(1+i)

( ) ( )( ) ( )

( )2

2

1 i 3. 1 i 5D. 1 i E

1 i . i

+ − + += − + +

− + − soit

3i 1D.i E D

2− +− + − =

En identifiant parties réelle et imaginaire, on obtient : 3

D2

= et E 2=

Méthode : On peut appliquer la même méthode que pour les racines simples réelles en utilisant les racines complexes. On multiplie la fraction par le polynôme du second degré et on l'évalue pour une des racines complexes de ce polynôme.


3.6) Cas des racines complexes multiples de Q(p)

La fraction ( ) 12

1 1

n

P(p) P(p)Q(p) p a .p b ...

=+ +

(où p2+aj.p+bj possède deux racines complexes conjuguées) se

met sous la forme : ( )

1 1

1

1 111 112 2

1 1 1 1

n nn

B .p CB .p C... ...

p a .p b p a .p b

++ + + ++ + + +

On ne peut obtenir directement que les termes 11nB et

11nC , en multipliant par ( ) j2j j

np a .p b+ +

3.7) Méthode par identification (lente, donc à éviter) :

La méthode générique qui marche toujours mais qui n'est généralement pas la plus rapide (et parfois très difficile), consiste à réécrire la somme des éléments simples sur le dénominateur commun qui est Q(p), de développer le numérateur, et d'identifier les coefficients des mêmes puissances de p du membre de gauche (coefficients de P(p)) et du membre de droite.

Exemple : (Re-)Calcul de ( ) ( ) ( )

2

2 2 22

p 3p 5 A B C D.p ER(p)

p p 1 p 2p 2p. p 1 . p 2p 2 p 1

+ + += = + + ++ + ++ + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 22 2 2

2 2

A. p 1 . p 2p 2 B.p. p 1 . p 2p 2 C.p. p 2p 2 D.p E .p. p 1R(p)

p. p 1 . p 2p 2

+ + + + + + + + + + + + +=

+ + +On développe le numérateur et on identifie chaque terme avec le numérateur de R(p) initial :

( ) ( ) ( ) ( )4 3 2p A B D p 4A 3B C E 2D p 7A 4B 2C 2E D p 6A 2B 2C E 2A+ + + + + + + + + + + + + + + + +Ainsi, on obtient le système de 5 équations à 5 inconnues, qu’il faut résoudre :

A + B + D = 0 4A + 3B + C + E + 2D = 0 7A + 4B +2C + 2E + D = 1 6A + 2B + 2C + E = 3 2A = 5


4) Ré-écriture des formes à racines complexes (s’il y en a), puis transformée inverse

Si l’on a des racines complexes, après décomposition on obtient des éléments simples sous la forme :

j j

2j j

B .p C

p a .p b

++ +

Or le tableau des transformées de Laplace nous permet uniquement de déterminer les transformées inverses des fonctions de forme :

( )21

p a+

2 2pω+ ω

2 2

pp + ω

( )2 2p a

ω+ + ω

( )2 2

p a

p a

++ + ω

♦ Cas où ja 0= :

On identifie facilement : j j jj2 2 2 2 2

j

B .p C CpB . .

p b p p

+ ω= ++ + ω ω + ω

avec 2jbω =

Et on en déduit la transformée inverse : ( ) ( )jj

CB .cos .t .sin .tω + ω

ω

♦ Cas où ja 0≠ :

Il faut ré-écrire le dénominateur de notre élément simple sous cette forme :

( )22 2j jp a .p b p a+ + = + + ω

On pourra procéder par identification, on obtient alors : j2a a= et 2 2ja b+ ω =

donc : ja a / 2= et ( )22j jb a / 2ω = −

Une fois a et 2ω déterminés, il faut alors ré-écrire le numérateur pour qu’il corresponde à l’une des deux forme connues (« ω » ou « p a+ ») :

( )( )( )

( )( )

( )( )

j jj j j j j j jj2 2 2 22 2 2 2 2

j j

B .a CB .p C B .p C B . p a B .a C p aB . .

p a .p b p a p a p a p a

− ++ + + − + + ω= = = ++ + ω+ + ω + + ω + + ω + + ω

Dont la transformée inverse donne :

( ) ( ) ( )j ja.t a.tj

B .a CB .e .cos .t .e .sin .t− −

− +ω + ω

ω

♦ Cas où ja 0≠ et 0ω = : même démarche qu’au-dessus, en replaçant ( )2 2p a

ω+ + ω

par ( )2

1

p a+

Exemple : On a obtenu : ( )2 2

3.p 25 4 3 2R(p)

2p p 1 p 2p 2p 1

+= − − +

+ + ++

On repère dans le tableau les termes 1p

, 1

p 1+ ,

( )2

1

p 1+ , mais le dernier terme doit être réécrit.

Le dénominateur ( )2p 2p 2+ + doit être mis sous la forme canonique ( )( )2 2p a+ + ω pour faire

apparaître des sinus et cosinus ensuite : 2 2 2 2p 2p 2 p 2a.p a+ + = + + + ω donc a=1 et ω2=1 et donc : ( )22p 2p 2 p 1 1+ + = + +

On doit aussi faire apparaître au numérateur le terme (p+1) : ( )3 3 1.p 2 . p 1

2 2 2+ = + +

On obtient finalement : ( ) ( ) ( )2 2 2

5 1 1 1 3 p 1 1 1R(p) . 4. 3. . .

2 p p 1 2 2p 1 p 1 1 p 1 1

+= − − + ++ + + + + +

Soit en utilisant le tableau des transformées de Laplace :

t t t t5 3 1r(t) 4.e 3.t.e .e .cos(t) .e .sin(t) .u(t)

2 2 2− − − − = − − + +


ANNEXE A3 : ABAQUE PERMETTANT DE DÉTERMINER LE TEMPS DE RÉPONSE A 5% D’UN 2E ORDRE OSCILLANT

En abscisse : le coefficient d’amortissement m = z = ξ En ordonnée : la valeur du produit ω0.t5% (en rad) Lecture dans le sens « abscisse vers ordonnée » (cas unique).

Cherchons par exemple la valeur du temps de réponse à 5 % d’un système du 2e ordre de pulsation propre ω0 = 120 rad.s-1 et de coefficient d’amortissement z = 0,5 : on trace une droite verticale au niveau de m = 0,5 et, en regardant la valeur de l’ordonnée au niveau de la courbe, on trouve ω0.t5% ≈ 5,1 , ce qui donne un temps de réponse à 5 % qui vaut t5% ≈ 42,5 ms.


ANNEXE A4 : ABAQUE DES DEPASSEMENTS RELATIFS D’UN 2E ORDRE OSCILLANT

Pour un système du 2e ordre avec dépassement (z<1), voici la valeur des différents dépassements relatifs, en fonction du coefficient d’amortissement et du numéro du dépassement :

coefficient d’amortissement z

AUTOMATIQUE SLCI - chauvincpge.free.frchauvincpge.free.fr/slci/SLCI_cours.pdf · 5.3 Identification...

Documents

Transcript of AUTOMATIQUE SLCI - chauvincpge.free.frchauvincpge.free.fr/slci/SLCI_cours.pdf · 5.3 Identification...