ds(t ) τ + = Automatique et régulation et régu ation l z=0 ...

Cours, Travaux dirigés et Travaux pratiques

AA a iquuuttoommattiquee eett rréégguullaattiioonn


Maher CHAABENE (Maître assistant GEII) Mohamed DAMMAK (Assistant technologue GEII)

kat

1K

)ap(1e

)!1K(tLP

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

Maher CHAABENE (Maître assistant GEII) Mohamed DAMMAK (Assistant technologue GEII)

Institut Supérieur des études technologiques de Sfax

x.bdtdxb

dtdxb...

dtdxby.a

dtdya

dtdya...

dtdya 012

2

2m

m

m012

2

2n

n

n ++++=++++

)t(e.K)t(sdt

)t(ds=+τ

p.1K

)p(E)p(S)p(H

τ+==

)t(ue1K)t(st

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−τ

).t(u.texp.)t(.Ka)t(y ⎢⎣

⎡⎜⎝⎛−+−= ττ ⎥

⎦

⎤⎟⎠⎞

τ ( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⇒−=

+=

+−+

+=⇒

τ²w²K)H(jw)(Imτ²w²1K)H(jw)(Re

²τ.w1jKτ

²τ.w1KH(j.w)

+1τ

1pww 0

2z.2p

Kwp.w.z.2p

w.K)p(E)p(S)p(H

0

222

20 =

++==

00 ++

( )2 ⎤.t.z1wsin.e.

z1

11K)t(s 0tzw

20

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎡+−

−−= − ϕ Pour le technicien supérieur


10-3 10-2 10-1 100 101-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Pulsation W

G dB

-3 dB

f1 10.f1

-40 dB/d c

wo

20.logK

e

z=2 1 z=z=0.7

z=0.5

z=0.1

10-3 10-2 10-1 100 101-200

-150

-100

-50

0Pulsation W Dephasage

-90

-180

wo

z=2

z=1 z=0.7 z=0.5

z=0.1

0 100 200 300 400 500 6000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step R sponse

Time (sec)

Ampl

itude

e

z=0.1

z=0.3

z=0.5 z=0. 7

z=1

z=2

AAuuttoommaattiiqquuee et régu ationet régulation l

Plan du cours

Nomenclature Chapitre 1 : Notion de systèmes lineaires asservis 1. Notion de systèmes................................................................................................................. 2

1.1. Définition........................................................................................................................... 2 1.2. Classification des systèmes.............................................................................................. 2

1.2.1. Les systèmes linéaires .............................................................................................. 2 1.2.2. Les systèmes invariants ............................................................................................ 3 1.2.3. Les systèmes à modèle déterministe ........................................................................ 3 1.2.4. Les systèmes asservis .............................................................................................. 3

1.3. Performances des systèmes asservis .............................................................................. 5 1.3.1. Notion de stabilité...................................................................................................... 5 1.3.2. Notion de rapidité ...................................................................................................... 5 1.3.3. Notion de précision ................................................................................................... 6

2. Notion de signal....................................................................................................................... 6 2.1. Définition........................................................................................................................... 6 2.2. Signaux canoniques ......................................................................................................... 6

3. Réponses particulières d’un système scalaire ..................................................................... 7 3.1. Réponse impulsionnelle.................................................................................................... 7 3.2. Réponse indicielle............................................................................................................. 7

4. Réponse à un signal quelconque........................................................................................... 7 Chapitre 2 : Les systèmes linéaires continus 1. Présentation........................................................................................................................... 10

1.1. Définition......................................................................................................................... 10 1.2. Principe de proportionnalité ............................................................................................ 10 1.3. Principe d'additivité ou de superposition......................................................................... 11

2. Mise en équation d’un système linéaire .............................................................................. 11 3. Transformée de Laplace ....................................................................................................... 12

3.1. Formulation mathématique ............................................................................................. 13 3.2. Propriétés et théorèmes ................................................................................................. 13 3.3. Table des transformées de Laplace................................................................................ 14 3.4. Exemple.......................................................................................................................... 17

4. Série de TD N°1...................................................................................................................... 19

Cours d’automatique et régulation - I -

Chapitre 3 : Représentation graphique des systèmes linéaires continus 1. Fonction de transfert............................................................................................................. 21 2. Diagramme fonctionnel......................................................................................................... 22

2.1. Définition......................................................................................................................... 22 2.2. Exemple de schéma bloc d’un système en boucle fermée ............................................. 22 2.3. Règles de simplification .................................................................................................. 22

2.3.1. Mise en série........................................................................................................... 22 2.3.2. Mise en parallèle ..................................................................................................... 23 2.3.3. Structure en boucle fermée ..................................................................................... 23 2.3.4. Déplacement des nœuds d’informations ................................................................. 24 2.3.5. Permutation de deux nœuds successifs.................................................................. 24 2.3.6. Déplacement de sommateurs ................................................................................. 24 2.3.7. Permutation de deux sommateurs successifs ......................................................... 25

2.4. Principales transmittances électriques et mécaniques ................................................... 25 2.5. Applications .................................................................................................................... 26

2.5.1. Système électronique.............................................................................................. 26 2.5.2. Moteur à courant continu......................................................................................... 28

3. Lieux de transfert................................................................................................................... 29 3.1. Introduction..................................................................................................................... 29 3.2. Interprétation dans le plan complexe .............................................................................. 29 3.3. Les lieux de transfert ...................................................................................................... 30

3.3.1. Lieu de Bode ........................................................................................................... 30 3.3.2. Lieu de Nyquist ....................................................................................................... 30 3.3.3. Lieu de Black........................................................................................................... 31 3.3.4. Abaque de Black ..................................................................................................... 31

4. Série de TD N°2...................................................................................................................... 32 Chapitre 4 : Etudes des systèmes élémentaires 1. Etude d'un système de premier ordre.................................................................................. 35

1.1. Etude temporelle............................................................................................................. 35 1.1.1. Définition ................................................................................................................. 35 1.1.2. Réponse impulsionnelle .......................................................................................... 35 1.1.3. Réponse indicielle ................................................................................................... 36 1.1.4. Application............................................................................................................... 36 1.1.5. Relation temps–fréquence ...................................................................................... 37

1.2. Etude harmonique .......................................................................................................... 37 1.2.1. Représentation de Bode.......................................................................................... 38 1.2.2. Représentation deNyquist ....................................................................................... 39 1.2.3. Représentation de Black ......................................................................................... 40

2. Etude d'un système de second ordre .................................................................................. 41 2.1. Définition......................................................................................................................... 41 2.2. Etude temporelle............................................................................................................. 42

2.2.1. Réponse impulsionnelle .......................................................................................... 42 2.2.2. Réponse indicielle ................................................................................................... 43

Cours d’automatique et régulation - II -

2.3. Etude harmonique .......................................................................................................... 47

2.3.1. Diagrammes de Bode.............................................................................................. 47 2.3.2. Représentation dans le plan de Nyquist.................................................................. 50 2.3.3. Représentation dans le plan de Black ..................................................................... 50 2.3.4. Exemple .................................................................................................................. 51

3. Série de TD N°2...................................................................................................................... 52 Chapitre 5 : Performances des systèmes linéaires asservis 1. Introduction............................................................................................................................ 58 2. Stabilité................................................................................................................................... 58

2.1. Définition......................................................................................................................... 58 2.2. Condition de stabilité ...................................................................................................... 58

2.2.1. Critère de Routh ...................................................................................................... 59 2.2.2. Applications ............................................................................................................. 59

2.3. Critère de Nyquist ........................................................................................................... 60 2.3.1. Critère de Nyquist simplifié...................................................................................... 60 2.3.2. Marge de gain ......................................................................................................... 61 2.3.3. Marge de phase ...................................................................................................... 61

2.4. Critère de Black .............................................................................................................. 62 2.4.1. Critère de Black....................................................................................................... 62 2.4.2. Abaque de Black–Nichol’s....................................................................................... 63

2.5. Critère de Bode............................................................................................................. 64 2.5.1. Critère de Rivers ..................................................................................................... 64 2.5.2. Critère de Bode ....................................................................................................... 64

3. Précision ................................................................................................................................ 64 3.1. Définition......................................................................................................................... 64 3.2. Classe d’un système....................................................................................................... 65

4. Rapidité .................................................................................................................................. 66 4.1. Rappel et définition ......................................................................................................... 66 4.2. Critère de Naslin ............................................................................................................. 66

5. Série de TD N°3...................................................................................................................... 68 6. Série de TD N°4...................................................................................................................... 69 Chapitre 6 : Les régulateurs 1. Généralités ............................................................................................................................. 72

1.1. Tâches du régulateur...................................................................................................... 72 1.2. Inventaire........................................................................................................................ 72

2. Rôles des régulateurs ou correcteurs ................................................................................. 73 3. Réglage proportionnel .......................................................................................................... 73

3.1. Principe........................................................................................................................... 73 3.2. Statisme.......................................................................................................................... 73 3.3. Correcteur à action Proportionnelle ................................................................................ 74 3.4. Correcteur à action Dérivée............................................................................................. 74 3.5. Correcteur à action Intégrale........................................................................................... 75

Cours d’automatique et régulation - III -

4. Types de correcteurs ............................................................................................................ 75

4.1. Correcteur à action Proportionnelle Dérivée................................................................... 75 4.2. Correcteur à action Proportionnelle Intégrale ................................................................. 75 4.3. Correcteur à action Proportionnelle Intégrale Dérivée .................................................... 76

5. Série de TD N°5...................................................................................................................... 77 Problèmes 1. Problème n°1 ......................................................................................................................... 80 2. Problème n°2 ......................................................................................................................... 80 3. Problème n°3 ......................................................................................................................... 81 4. Problème n°4 ......................................................................................................................... 81 5. Problème n°5 ......................................................................................................................... 82 6. Problème n°6 ......................................................................................................................... 82 7. Problème n°7 ......................................................................................................................... 84 Travaux Pratiques TP d'initiation : Equipement du laboratoire............................................................................. 87 TP1 : Étude d’un système de premier ordre............................................................................ 94 TP2 : Étude d’un système de second ordre .......................................................................... 101 TP3 : Simulation d’un système de premier et de second ordre........................................... 109 TP4 : Simulation de la régulation de vitesse d’un moteur .................................................. 114 Annexe Bibliographie

Cours d’automatique et régulation - IV -

Nomenclature

Arg Argument. C Capacité. α Classe d'un système. z Coefficient d’amortissement d'un système de second ordre. τ Constante du temps ou temps de réponse d'un système de premier ordre. Dk Dépassement relatif d’ordre k. ϕ Déphasage en degrés.

( )tu Échelon de position unitaire. e(t) Entrée d'un système. ε Erreur ou écart. f.e.m Force électromotrice.

cf Fréquence de coupure d'un système de premier ordre. Gdb Gain en décibels. τd Gain statique du régulateur Dérivée. τi Gain statique du régulateur Intégral. KP Gain statique du régulateur Proportionnel. K Gain statique d'un système de premier ordre ou de second ordre.

)(tδ Impulsion de Dirac. L Inductance. Am Marge de gain.

mϕ Marge de phase. J Moment d'inertie.

chC Moment du couple de charge. k Ordre du dépassement relatif. Im Partie imaginaire. Re Partie réelle. m Pôles de l’équation caractéristique d'un système. Ta

Pseudo–période.

aw Pulsation amortie.

cw Pulsation de coupure d'un système de premier ordre.

Rw Pulsation de résonance. w0 Pulsation propre non amortie d'un système de second ordre. w Pulsation.

Cours d’automatique et régulation - V -

D Régulateur Dérivée. I Régulateur Intégral. PD Régulateur Proportionnel Dérivée. PID Régulateur Proportionnel Intégral Dérivée. PI Régulateur Proportionnel Intégral. P Régulateur Proportionnel.

chR Résistance de charge. R Résistance. s(t) Sortie d'un système. tm Temps de montée. Tpic Temps de pic. t10% Temps de réponse à 10%. t5% Temps de réponse à 5%. t90% Temps de réponse à 90%. Ts Temps de stabilisation tk Temps du dépassement relatif d’ordre k.

LP-1 Transformée Laplace inverse.

LP Transformée Laplace. p Variable de Laplace Ω Vitesse de rotation angulaire. n Zéros de l’équation caractéristique d'un système.

Cours d’automatique et régulation - VI -

Notion de systèmes linéaires asservis

Cours d’automatique et régulation - A -

Chapitre 1

Chapitre 1 Notion de systèmes linéaires asservis

Cours d’automatique et régulation 2

Chapitre 1 : Notion de systèmes lineaires asservis

1. Notion de systèmes 1.1. Définition

Un système peut être défini comme un ensemble d’éléments exerçant collectivement une fonction déterminée. Un système communique avec l’extérieur par l’intermédiaire de grandeurs, fonctions du temps, appelés signaux.

Dans la suite, on essaiera de garder les notations suivantes : x1(t)…xN(t) pour les signaux d’entrée de commande. y1(t)…yM(t) pour les signaux de sortie.

Les signaux de sortie d’un système sont aussi appelés réponse du système.

Remarque

Les systèmes à une entrée et à une sortie sont appelés systèmes monovariables ou systèmes scalaires.

Un système est connu par son action sur le milieu extérieur. Lorsqu’on applique certains signaux d’entrée, le système se manifeste en émettant des signaux de sortie particuliers. Le système est parfaitement connu par la connaissance des relations liant les entées avec les sorties.

Exemple Soit le circuit électrique suivant :

( ) ( ) ( )dt.tiC1ti.Rtx ∫+=

avec ( ) ( )dt.tiC1ty ∫= .

On a donc l’équation du système : ( ) ( ) ( )txty

dttdy.C.R =+ .

1.2. Classification des systèmes 1.2.1. Les systèmes linéaires

Un système est linéaire si la réponse de ce système à une combinaison linéaire de signaux d’entrée est égale à la combinaison linéaire des réponses.

Si on applique à l’entrée : ( ) ( ) ( )tx.btx.atx 21 += . On obtient en sortie : ( ) ( ) ( )ty.bty.aty 21 += . Cette propriété des systèmes linéaires est aussi appelée principe de superposition.

SYSTEME x1(t) y1(t)

xN(t) yM(t)

SYSTEME y1(t)x1(t)

SYSTEME y2(t)x2(t)

R

( )tx C ( )ty ( )ti



1.2.2. Les systèmes invariants Un système est dit invariant (stationnaire) si la réponse du système à un signal x(t)

différé d’un temps τ est la même que la réponse y(t) du système mais différée deτ .

Un système invariant est aussi appelé système à paramètres constants localisés ou à

constantes localisées. Cette propriété des systèmes invariants est aussi appelée principe de permanence.

Exemple: Moteur

Si on néglige l’usure, le moteur n’évolue pas dans le temps : le système est invariant.

1.2.3. Les systèmes à modèle déterministe Un modèle déterministe ( ≠ stochastique) possède des entrées et des paramètres non

bruités de telle façon que son comportement soit parfaitement prévisible en avance.

1.2.4. Les systèmes asservis L’étude des systèmes est destinée à commander au mieux les différents processus

rencontrés. Il existe deux solutions pour commander un système :

1. Commande en boucle ouverte Dans ce cas, la commande est envoyée en entrée sans contrôle sur les sorties.

Exemple :

Pour utiliser ce type de commande, il est nécessaire de connaître le système et les

réponses aux commandes envoyées. Malgré tout, de multiples perturbations peuvent modifier l’action de ces commandes : si la porte du four reste ouverte, les graduations du rhéostat ne correspondent plus à la température intérieure.

2. Commande en boucle fermée Pour améliorer les performances d’une commande, il est indispensable d’observer

les sorties du système pour les comparer à ce que l’on désire obtenir. Dans ce deuxième type de commande, les sorties du système sont contrôlées. C’est à ce niveau que l’on rencontre la notion de système asservi.

( )tx Entrée Entrée

t-τSortie Sortie

t-τ

( )ty

( )τ−tx

( )τ−ty

τ−t τ−t

tt

Résistance chauffante Four Rhéostat

MOTEUR Couple Courant



Un système asservi est un système dont le rôle consiste essentiellement à établir une correspondance définie entre une ou plusieurs grandeurs d’entrée, de faibles niveaux énergétiques, et une ou plusieurs grandeurs de sortie de niveaux énergétiques plus élevés.

Un système asservi est caractérisé par la présence de : • Chaînes directes: Elles comprennent des éléments amplificateurs et éventuellement,

des convertisseurs de puissance, en liaison avec la source d’énergie. • Chaînes de retour : Elle sont constituées d’éléments de précision généralement

passifs. Ce ne sont pas des chaînes de puissance ; elles transmettent à l’entrée des informations sur les grandeurs de sortie. Ces informations sont comparées aux signaux d’entrée au moyen de comparateurs. Ces derniers élaborent les différences ou écarts entre les signaux d’entrée et les informations images des signaux de sortie.

Exemple : Chauffage d’un immeuble

La figure A représente le système. La température θ à l’intérieur de l’immeuble est

fonction de la température T de l’eau chaude envoyé dans les radiateurs et de la température extérieure eθ . Nous représentons cette description, volontairement simplifiée par une boite munie d’une sortieθ , d’une entrée de commande T à la disposition de l’opérateur et d’une perturbation eθ .

Le rayonnement solaire dans l’immeuble, le vent ou d’autres grandeurs agissant aussi sur la températureθ . C’est volontairement que ces grandeurs ne sont pas prises en compte par notre modèle qui doit, avant tout, être simple. C’est l’utilisateur qui règle T, en

Système

Figure A

Système T a -

+

Figure B

Système T a

P

- + + -

Figure C

eθ

θ T

eθ eθ

0θ θ

eθ eθ Cθ

θ



vue d’obtenir C19°=θ par exemple (en régime permanent). Il sait, par expérience, qu’il obtient un bon résultat en réglant T.

La figure B représente alors une première tentative de réglage automatique de T, tel que ( e.aT )θθ −= . Dans cette configuration, l’opérateur n’aura plus besoins de retoucher T en fonction de la température extérieure. En effet, T va varier automatiquement en sens inverse de eθ . Quand e0 θθ = on a T=0, ce qui signifie qu’on doit bien entendue, couper le chauffage. Cette commande en boucle ouverte donne de bons résultats.

La figure C représente une amélioration du réglage automatique de T. Supposons que par temps froide le soleil pénètre à l’intérieur de l’immeuble. La températureθ va s’élever sans pour autant que la température T de l’eau des radiateurs ne soit réduite puisqu’il ne dépend que eθ . Il se produira une surchauffe et on doit modifier T, c’est à dire pour diminuer 0θ . Il est clair que cette opération peut s’effectuer de façon automatique en rendant 0θ dépendant de la températureθ effectivement atteinte dans l’immeuble. Pour cela θ est comparée à une consigne Cθ , réglable par l’utilisateur à l’aide d’une boucle d’asservissement.

1.3. Performances des systèmes asservis

1.3.1. Notion de stabilité On dit qu’un système est stable, lorsque celui-ci tend à revenir à son état d’équilibre

lorsqu’on lui applique une perturbation de courte durée.

1.3.2. Notion de rapidité

La rapidité quantifie le temps de réponse du système.

Le temps mis par la réponse pour ne plus dépasser ±5% de la valeur finale. Ce temps est retenu comme critère de rapidité : t5%



1.3.3. Notion de précision La précision quantifie l’erreur lorsque l’équilibre est atteint.

Avec et ( )te ( )ts de même nature. Autrement, l’erreur est mesurée à la sortie du comparateur.

2. Notion de signal 2.1. Définition

Un signal dans un système de commande automatique représente une grandeur physique qui peut être une température, une force, une pression, une vitesse, une tension, un débit. Ce signal peut être sous forme logique (binaire), analogique, numérique (codé), selon la nature de commande : analogique ou numérique.

Dans notre cas, nous étudions les signaux analogiques relatif à la commande linéaire continue des processus. En pratique, un signal est une tension entre 0 et 5V ou un courant entre 0 et 20 mA, cas de processus industriels.

• Un signal ( )ts est causal si ( ) 0ts = ∀ 0t < . • Un signal ( )ts est déterministe si ( )ts est connu. • Un signal ( )ts est aléatoire si ∃ t tel que ( )ts est inconnu.

2.2. Signaux canoniques

Impulsion de Dirac

Si ∞→ε alors 01→

ε.

Si 0→ε alors ∞→ε1

.

( )te est une impulsion de Dirac idéale.

Echelon de position Si : . 0t > ( ) 0ete =Si : . 0t < ( ) 0te =Si : est un échelon de 1e0 = ( )teposition unitaire noté . ( )tu

Echelon de vitesse ( ) ( )tu.t.tgte α= .

Si 1tg =α : ( ) ( )tu.tte =( )te est appelée échelon de vitesse unitaire.

t

e(t)

α

t

e(t)

e0

t

e(t)=δ(t)

ε

ε1



Echelon d’accélération ( ) ( )tu.t.ate 2= .

Si a=1 : appelée échelon ( )te d’accélération unitaire. unitaire.

Sinusoïde Sinusoïde ( ) ( ) ( )tu.tsin.Ete m( ) ( ) ( )tu.tsin.Ete m ω= .

Si Em=1 : appelée ( )te sinusoïde unitaire.

3. Réponses particulières d’un système scalaire On considère ici un système scalaire, c’est à dire à une entrée et à une sortie.

Pour connaître le comportement du système et le comparer à d’autres systèmes, on

étudie les réponses à quelques signaux particuliers.

3.1. Réponse impulsionnelle On appelle réponse impulsionnelle, la réponse notée ( )th , obtenue par l’application

d’une impulsion de Dirac )(tδ à l’entrée du système, celui- ci étant initialement au repos.

3.2. Réponse indicielle

On appelle réponse indicielle, la réponse notée ( )tω , obtenue par l’application d’un échelon unité à l’entrée du système, celui-ci étant initialement au repos. ( )tu

4. Réponse à un signal quelconque

Définition de la convolution temporelle

On considère un système scalaire linéaire invariant de réponse impulsionnelle ( )th . Pour un système scalaire, linéaire et invariant, initialement au repos, la réponse à un ( )ty

Système x(t) y(t)

1

y(t)=h(t)

t t

)(tδ

t t

( ) ( )tty ω=( )tu1

t

e(t)

t

e(t)



signal d’entrée quelconque est donnée par le produit de convolution entre et la réponse impulsionnelle du système :

( )tx ( )tx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫+∞

∞−

⊗=−= thtxdv.vth.vxty

Cette expression est fondamentale. Elle permet, en connaissant le système par sa réponse impulsionnelle et l’entrée( )th ( )tx , de déterminer ( )ty . Elle peut donc remplacer totalement l’équation différentielle régissant le système.

Cette expression se note de façon condensée : ( ) ( ) ( )thtxty ⊗= . ‘ ⊗ ’ est l'opérateur de convolution ; est la convolution du signal d'entrée avec la réponse impulsionnelle du système.

( )ty

Remarques

• Le produit de convolution est commutatif : ( ) ( ) ( ) ( ) (txththtxty )⊗=⊗= . • L’impulsion de Dirac et la réponse impulsionnelle (si x et y ont la même dimension) sont homogènes à l’inverse d’un temps. Ce sont des éléments mathématiques qui permettent de formaliser les comportements des systèmes mais qui n’ont pas de réalité physique. Si l’impulsion de Dirac est appliquée à l’instant zéro, la réponse impulsionnelle est forcément nulle pour car vt < ( ) 0vth =− , le système étant supposé causal (cas des systèmes physiquement réalisables). De plus, si le signal est lui-même causal (appliqué au temps ), alors si 0t = ( ) 0vx = 0v < . Les bornes de l’intégrale de convolution se simplifient et le produit de convolution s’écrit :

( ) ( ) ( )∫+∞

−=0

dv.vth.vxty

Exemple: Calcul de la réponse indicielle d’un circuit RC à partir de sa réponse impulsionnelle.

La réponse impulsionnelle d’un circuit RC s’écrit : τ

τ

t

exp.1)t(h−

= avec C.R=τ .

On se propose d’utiliser la convolution pour déterminer la réponse indicielle ( )tω du circuit RC à un échelon d’amplitude E à partir de sa réponse impulsionnelle . ( )th

ννννν d).t(hEd).(u.E).t(h)t(u.E)t(h)t(w0 0∫ ∫

+∞ +∞

−=−=⊗= . Soit

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

−=−

−= ∫+∞ +∞

)texp(1.E)texp(.Ed).texp(.1.E)t(w0 0 ττ

νττ

ντ

ντ

.

Les systèmes linéaires continus


Chapitre 2

Chapitre 2 Les systèmes linéaires continus

Chapitre 2 : Les systèmes linéaires continus

1. Présentation On appelle système dynamique un système dont l'étude ne peut être réalisée qu’en

prenant en compte les valeurs passées du phénomène. Les grandeurs de sortie dépendent des valeurs présentes et passées des grandeurs d'entrées. Les phénomènes d'inertie (inertie mécanique, inertie thermique...) influent sur le comportement du système.

Nous limiterons notre étude aux seuls systèmes linéaires continus et invariants.

1.1. Définition Un système linéaire est un système pour lequel les relations entre les grandeurs

d'entrée et de sortie peuvent se mettre sous la forme d'un ensemble d'équations différentielles à coefficients constants. Les systèmes linéaires se caractérisent principalement par deux propriétés, la proportionnalité et l’additivité.

1.2. Principe de proportionnalité L’effet est proportionnel à la cause

Remarque L'effet de proportionnalité n'est effectif que lorsque le système a atteint sa position d'équilibre ou que le régime permanent s'est établi.

La caractéristique Entrée/Sortie d'un système linéaire est une droite dont la pente

XY

est appelée gain du système.



La réponse, en régime définitif, d’un système linéaire à une entrée donnée est un signal de même nature que l’entrée.

1.3. Principe d'additivité ou de superposition

Le principe de superposition est important car il va nous permettre, connaissant la

réponse d'un système à des sollicitations simples de déterminer par additivité et proportionnalité la réponse à des sollicitations plus complexes.

2. Mise en équation d’un système linéaire Un système dynamique linéaire peut être représenté par une équation différentielle à

coefficients constants liant les grandeurs d’entrée et de sortie.

Système linéaire

Sortie y

Entrée x

L’équation générale d’un système linéaire est de la forme :

x.bdtdxb

dtdxb...

dtdxb

dtdxby.a

dtdya

dtdya...

dtdya

dtdya 012

2

21m

1m

1mm

m

m012

2

21n

1n

1nn

n

n +++++=+++++−

−

−−

−

−

Nous ne savons résoudre dans le cas général que les équations différentielles du

premier et du second ordre et dans quelques cas particuliers des équations d’ordre supérieur.

Le problème de l’automatisation est plus complexe que la résolution puisqu’il s’agit de déterminer la loi d’entrée x qui permet d’obtenir la sortie désirée y. La représentation par l'équation différentielle nécessite pour connaître la réponse à une entrée de résoudre l'équation.

Principe de la résolution La solution d’une équation différentielle est la somme d’une solution générale et de

la solution particulière. La solution générale représente la composante transitoire, la solution particulière représente la composante permanente. La solution générale est



déterminée par la résolution de l'équation sans second membre. La solution particulière est déterminée en fonction de la forme de ( )tx .

Exemple circuit RC

C ue us

R En utilisant la loi des mailles on obtient :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−

dtdu

.Ci

)t(i.R)t(u)t(us

se

D’où l’équation différentielle en substituant i dans la première équation :

dtdu

.C.R)t(u)t(u sse =−

)t(udt

du.C.R)t(u s

se +=⇒

La solution générale est solution de l’équation suivante :

0)t(udt

du.C.R s

s =+

La solution est de la forme atg e.K)t(s =

Par identification, on détermine le coefficient « a ».

τ1

RC1a −=−=

Le coefficient K sera déterminer en fonction des conditions initiales.

La solution particulière dans le cas où 0e U)t(u = est solution de l’équation ci-

dessous :

0ss U)t(u

dtdu

.C.R =+

La solution particulière est de la même forme que l’entrée. Ici 0p U)t(s =

La solution complète est la somme des deux solutions :

0RCt

pgs Ue.K)t(s)t(s)t(u +=+=−

La dernière constante est déterminée en fonction des conditions initiales (on suppose ici que le condensateur est complètement déchargé).

0s UK0)0t(u −=⇒==

D’où⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−RCt

0s e1U)t(u .

3. Transformée de Laplace L'étude des systèmes s'accompagne inévitablement de la manipulation d'équations différentielles. Or les opérations liées à cette manipulation sont souvent délicates et la résolution des équations n'est pas toujours simple. Pour faciliter les calculs, on utilise un outil mathématique puissant: la transformée de Laplace.




3.1. Formulation mathématique Soit une fonction réelle de la variable réelle t , définie pour toute valeur de t ,

sauf éventuellement pour certaines valeurs, en nombre fini dans tout intervalle fini, et nulle pour .

( )tf

0t <La transformée Laplace de est définie par l'égalité : ( )tf

( ) ( )∫+∞

−=0

pt dt.tf.epF

p étant une variable complexe.

On note : et( ) ( )[ ]tfLPpF = ( ) ( )[ ]pFLPtf 1−= .

On dit que est la transformée de ( )pF ( )tf et que ( )tf est l'original de . ( )pFPour résoudre les équations différentielles grâce à la transformée de Laplace, il est

nécessaire de savoir effectuer le passage de ( )tf à ( )pF mais aussi de à . ( )pF ( )tf

3.2. Propriétés et théorèmes Les propriétés de la transformée de Laplace sont réunies dans le tableau ci-après :

Originale Transformée de Laplace Propriété f(t) F(p)

Linéarité )t(f.b)t(f.a 21 + )t(F.b)t(F.a 21 +

Dérivation ( )tf ′ )0(f)p(F.p +−

Dérivation d’ordre n

( )tf n (n>0)

)0(f)0(f.p...)0(f.p)p(F.p 1n2n1nn +−+−+− −−−−

Intégration ∫ dt).t(f p

)p(F

Retard )t(f θ− )p(F.e pθ−

Changement d’échelle

)t.a(f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

apF.

a1

A ces propriétés, on doit joindre les théorèmes suivants :

Théorème de la valeur finale : )t(flim)p(F.plim

t0p ∞→→=

Théorème de la valeur initiale : )t(flim)p(F.plim

0tp →∞→=

Théorème de Borel : Si ( )tf et ( )tg ont respectivement pour transformée de Laplace ( )pF et ( )pG , alors ( ) ( ) ( )tgtfth ⊗= a pour transformée :

( )pG.p . ( ) ( )FpH =


Théorème du développement de Heaviside : Pour trouver l’originale d’une fraction

rationnelle)p(G)p(F , où le degré de ( )pF est inférieur au degré de ( )pG , on la

décompose en éléments simples de première espèce, et l’on applique la formule:

kat

1K

)ap(1e

)!1K(tLP

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

3.3. Table des transformées de Laplace Il est souvent plus simple de calculer la transformée de Laplace d’une fonction à

partir de la transformée connue d’une autre fonction en utilisant les propriétés et théorèmes énoncés. A partir de quelques résultats de base, on peut ainsi retrouver rapidement les Transformées de Laplace de la plupart des fonctions utilisées en électronique ou en automatique dans les asservissements. Afin d’éviter le calcul systématique de ces fonctions de base, on les regroupe dans des tables de Transformées de Laplace. Une table résumée des Transformées de Laplace les plus usuelles en électronique est la suivante :

( )tf ( )pF

)t(δ 1

)t()n(δ 0np n >

A pA

t.A ²pA

)!1n(t 1n

−

−

n entier 1n ≥ npA

Tt

Tt

Tt

TeTt

e1

e.T1

−

−

−

+−

−

)Tp1²(p1

)Tp1(p1Tp1

1

+

+

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−

−−21 Tt

Tt

21ee

TT1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−−

−−21 Tt

2Tt

121

e.Te.TTT

11

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−−+−

−−12 Tt

21

Tt

22

2121 e.Te.T

TT1TTt

)pT1).(pT1(1

21 ++

)pT1).(pT1.(p1

21 ++

)pT1).(pT1².(p1

21 ++



( )tf ( )pF

Tt

3 e).tT(T1 −

−

Tt

2 e.Tt −

Tt

e.Tt11

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

Tt

e).T2t(T2t−

++−

2)Tp1(p

+

2)Tp1(1

+

2)Tp1.(p1+

22 )Tp1.(p1+

( )zcosArc

0tzw

20 t²z1wsin.e.

²z1w

0

−=

− +−−

πθ

θ

( ) 1z0t²z1wsin.e.²z1

w0

tzw0 0 <<−−

−

( )zcosArc

0t.w.z0 t²z1wsin.e.

²z1w

1 0

=

− +−−

−

Ψ

Ψ

( )Ψ2t²z1wsin.e.²z1w

1w

z2t 0t.w.z

00

0 +−−

+− −

20

2

0 wpp

wz21

p

++

20

2

0 wpp

wz21

1

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

20

2

0 wp

pw

z21.p

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

20

2

0

2

wpp

wz21.p

1

ate).1t)ab(( −+− 2)ap(bp

++

nt 1np!n+

wtcos 22 wpp+

)wtcos( ϕ+ 22 wpsinwcos.p

+− ϕϕ

wtsin 22 wpw+

)wtsin( ϕ+ 22 wpcoswsin.p

++ ϕϕ

Si : 22 ba > ( )tptp

21

21 eepp

1−

−

avec⎪⎩

⎪⎨⎧

−−−=

−+−=22

2

221

baapbaap

Si : 22 ba = ate.t −

Si : 22 ba < wtsin.e.w1 at− avec 22 abw −=

22 bap2p1

++



( )tf ( )pF

Si : 22 ba > ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+ tptp

212 21 e

1e

1pp

1b1

avec⎪⎩

⎪⎨⎧

−−−=

−+−=22

2

221

baapbaap

Si : 22 ba = ( )atat2 e.t.ae1

a1 −− −−

Si : 22 ba < ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−

)wtcos.wwtsin.a(w

e1b1 at

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

−

)wtsin(.we.b1

b1 at

2 ϕ

avec 22 abw −= et awtg =ϕ

( )222 bap2p

1

++

)wtsin(.e.w1 at ( ) 22 wap

1+−

)wtcos(.eat ( ) 22 wapap+−

−

)wt(sh.w1 22 wp

1−

)wt(ch 22 wpp−

)wt(sh.e.w1 at ( ) 22 wap

1−−

)wt(ch.eat ( ) 22 wapap−−

−

abee atbt

−− ( ) )bp(ap

1−−−

abe.ae.b atbt

−− ( ) )bp(ap

p−−−

abe).bc(e).ac( atbt

−−−− ( ) )bp(ap

cp−−−

+

)cb)(ca(e

)bc)(ba(e

)ac)(ab(e ctbtat

−−+

−−+

−−

−−−

)cp)(bp)(ap(1

+++

3w.2)wtcos(.t.w)wtsin( −

222 )wp(1

+



( )tf ( )pF

)wtsin(.t.w21 222 )wp(

p+

w.2)wtcos(.t.w)wtsin( − 222

2

)wp(p+

)wtsin(.t.w21)wtcos( − 222

3

)wp(p+

)wtcos(.t 222

22

)wp(wp

+−

⎩⎨⎧

=+=

)x(ch)ixcos()x(sh.i)ixsin(

avec Formules en

22 wp1−

changer w en iw

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −2wt3

2

2wt

ewt.23coswt.

23sin3

w.3e

33 wp1+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −2wt32

wt

ewt.23sin3wt.

23cos

w.3e

33 wpp+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−wt.

23cos.e.2e

31 2

wtwt

33

2

wpp−

3

atbt

t.).ab(2

ee

π−

−−−

bpap

1+++

t.e t4

²a

π

−

pe pa−

.t2

a3π

t4²a

e− pae−

( )atbt eet1 −− − ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

bpapLn

3.4. Exemple

us

R

C ue

i(t)




Le comportement de chaque constituant est décrit par les équations suivantes :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−

dtdu

.Ci

)t(i.R)t(u)t(us

se

Passons dans le domaine symbolique On pose :

)p(U)]t(u[L ss = , )p(U)]t(u[L ee = , )p(I)]t(i[L = . Nous savons que la dérivée première d’une fonction temporelle est :

)0(f)p(F.pdt

)t(dfL +−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ , si )p(F)]t(f[L =

de même pour la dérivée seconde :

)0(f)0(f.p)p(F.pdt

)t(dfL 22

2+

•+ −−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Nous supposons que les conditions initiales sont nulles :

)p(I.R)p(U)p(U)t(i.R)t(u)t(u sese =−⇒=−

)p(U.p.C)p(Idt

du.Ci s

s =⇒=

En substituant I(p), on obtient :

)p(U.p.1

1)p(U)p(U.C.R)p(U)p(U essse τ+=⇒=−

On prend pour l’entrée , donc dans le domaine symbolique0e U)t(u =p

U)p(U 0

e = .

pU

.p.1

1)p(U 0s τ+

=

Décomposition en éléments simples :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

+=

p)p.1()p.1.(Bp.AU)p(U

pB

p.1AU

pU

.p.1

1)p(U 0s00

s ττ

ττ

On déduit donc τ−== A1B

La décomposition s’écrit ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

=p1

p.1U)p(U 0s τ

τ.

D’où la solution : ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−RCt

0s e1U)t(u



4. Série de TD N°1

Exercice n°1 1. ( )exp.2)t(s1 t.5,0−= 2. ( ) ( )t.1,0exp1.4)t(s2 −−=3. ²t3)t( s3 =Calculer la transformée de Laplace des signaux causaux, on vérifiera les théorèmes des valeurs finale et initiale. Donner la réponse indicielle de ces trois fonctions.

Exercice n°2 Donner les transformées de Laplace des fonctions suivantes : 1. ( ) ( )tu.t.aexp.t)t(y1 −= . 2. ( ) ( ) ( )tu.t.wsin.t.aexp)t(y2 −= .

3. ( ) ( )tu.t.w . sin)t(y 23 =

4. ( )tu.wt . sin.tsin)t(y .4 Ω=

Exercice n°3 Inverser la transformation de Laplace (p est la variable de Laplace) en utilisant la table de Laplace.

1. 3p0,1

4(p)F1 += .

2. 2p3p

3(p)F22

++= .

3. ( )p1

p2exp0,5.(p)F3 +−

= .

4. p)p(1p)24(1(p)F4 +

+= .

Si est la réponse indicielle d’un processus P, donner la réponse impulsionnelle. )t(f4

Exercice n°4 Calculer la transformée de Laplace inverse de chacune des fonctions suivantes :

1. ( )²

1²p²p

1pF1

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

= .

2. ( )( ) ( )22pp1p

1pF2

.32

+++= .

3. ( )4p.p1(p)F 43

+= .

4. 10)p2(p1)p(p

p)3exp(1(p)F224

+++

−−= .

Représentation graphique des systèmes linéaires

continus


Chapitre 3

Chapitre 3 Représentation graphique des systèmes linéaires continus


Chapitre 3 : Représentation graphique des systèmes linéaires continus

1. Fonction de transfert

Un système linéaire d’entrée ( )tx et de sortie ( )ty est régi par une équation différentielle à coefficients constants du type :

x.bdtdxb

dtdxb...

dtdxb

dtdxby.a

dtdya

dtdya...

dtdya

dtdya 012

2

21m

1m

1mm

m

m012

2

21n

1n

1nn

n

n +++++=+++++−

−

−−

−

−

Si on écrit la transformation de la Laplace de l’équation différentielle à conditions initiales nulles on trouve :

)p(X)p(Y)p(H = appelée fonction de transfert ou transmittance du système :

( )pH est appelée fonction de transfert du système.

Le but de cette représentation est de pouvoir déterminer les caractéristiques de la sortie connaissant la fonction de transfert ( )ty ( )pH du système et le signal d’entrée ( )tx .

On peut mettre ( )pH sous la forme :

01n

1nn

n

01m

1mm

m

a.......p.ap.ab.......p.bp.b

)p(X)p(Y)p(H

+++

+++==

−−

−−

( )pH peut s’écrire sous la forme :

( ))pp)......(pp).(pp()zp)......(zp).(zp(

kpHn21

m210 −−−

−−−= ;

L’ensemble des forme les zéros deiz ( )pH , l’ensemble des forme les pôles deip ( )pH , et n est l’ordre de système.

Exemple

• Le circuit intégrateur : circuit RC :

( ) ( ) ∫+= dt).t(iC1ti.Rtx .

( ) ( )tydt

dy(t).RCtx += .

avec y(t) = ( ) ∫= dt).t(iC1ty

( )tx

L

P LP

( )pH( ) ( )( )txLPpX =

( ) ( )( )pYLPty 1−=

( ) ( ) ( )pX.pHpY =

y(t)

R

x(t) C



On appliquant la transformée de Laplace on trouve :

( ) ( ) ( )pXpYpY.p.RC =+ ⇒ ( ) ( ) ( )pXpY.1p.RC =+

D’où la fonction de transfert de ce système ( )p.RC1

1X(p)Y(p)pH

+== .

2. Diagramme fonctionnel 2.1. Définition

Le diagramme fonctionnel ou schéma bloc, constitue une représentation graphique d’un système asservi ou d’une partie du système. Chaque diagramme fonctionnel est constitué d’un certains nombre de symbole graphique qui sont :

Elément ou groupe d’élément :

* Comparateur algébrique * Branchement d’un signal

2.2. Exemple de schéma bloc d’un système en boucle fermée

2.3. Règles de simplification

2.3.1. Mise en série

Soit un système formé par la mise en série de deux sous systèmes de fonction de transfert et . La fonction de transfert de l’ensemble est( )pG1 ( )pG2 ( ) ( ) ( )pG.pGpG 21= .

Equivalent à :

( ) ( )pG.pG 21 ( )pX ( )pY

( )pG ( )pY ( )pX

( )pY

( )pX ( )pε + _

( )pY

( )pY

( )pG1 ( )pY ( )pX( )pε

+ _

( )pG2

Capteur

Deux signaux de même nature

( )pG1 ( )pG2( )pX ( )pY



2.3.2. Mise en parallèle

Soit un système formé par la mise en parallèle de deux sous systèmes de fonction de transfert et . La fonction de transfert de l’ensemble est :

. ( )pG1 ( )pG2

( ) ( ) ( )pGpGpG 21 +=

Equivalent à :

2.3.3. Structure en boucle fermée

Equivalent à :

On a ( ) ( ) ( )pG.ppY 1ε= et ( ) ( ) ( ) ( )pG.pYpXp 2−=ε .

)p(G)).p(G).p(Y)p(X()p(Y 12−=⇒ .)p(X).p(G))p(G).p(G1).(p(Y 121 =+⇒ .

D’où ( ) ( )( ) ( )pG.pG1

pG)p(X)p(YpF

21

1

+== : Formule de Black.

)p(G)p(T 1= : Fonction de transfert en boucle ouverte.

)p(F : Fonction de transfert en boucle fermée.

Remarques :

* Dans le cas où 1)p(G2 = ⇒ ( ) ( )( )pG1pG

)p(X)p(YpF

1

1

+== .

)(pF a une chaîne de retour de transmittance 1.

* Il est toujours possible de ramener un système à retour non unitaire à un système à retour unitaire.

( )pY ( )pX ( )pF

( ) ( )pGpG 21 + ( )pX ( )pY

( )pG1

( )pY ( )pX ++

( )pG2

( )pG1 ( )pY ( )pX ( )pε

+ _

( )pG2



Equivalent à :

2.3.4. Déplacement des nœuds d’informations

• De l’amant à l’aval

• De l’aval à l’amant

2.3.5. Permutation de deux nœuds successifs

2.3.6. Déplacement de sommateurs

• De l’amant à l’aval

( )pY( )pX ( )pε

+ _ ( ) ( )p2G.pG1 )p(G

1

2

( )pG1 ( )pY ( )pX ( )pε

+ _

( )pG2

G(p)

X(p)

Y(p) X(p) = G(p)

X(p)

Y(p) X(p)

)(1pG

G(p)

Y(p)

Y(p) X(p) G(p)

Y(p)

Y(p) X(p)

G(p)

=

N1 N2

N1 N2 =

G(p) G(p) Y(p) + + X1(p)

X2(p)

Y(p) + + X1(p)

X2(p) G(p)

=



• De l’aval à l’amant

2.3.7. Permutation de deux sommateurs successifs

2.4. Principales transmittances électriques et mécaniques

Résistance

Inductance

Condensateur

Ressort

Frottement visqueux

(amortisseur)

Masse

Inertie en rotation

G(p) Y(p)+ + = X1(p)

X2(p)

G(p) Y(p) + + X1(p)

X2(p) )(1pG

= Y(p)+ + + + X(p)

X1(p) X2(p)

Y(p)+ + + + X(p)

X2(p) X1(p)

F(p) X(p)

R i

u u=Ri

R U(p) I(p)

1/R I(p) U(p)

I(p) U(p)

L i

u dt

diLu =

U(p) Lp

I(p)

1/Lp

i

u

C

∫= idtC1

u

I(p)

U(p) I(p)

U(p) 1/Cp

Cp

FF

F=KxF(p) X(p)

K

1/K

dt

dxfvF =

F F X(p) F(p)

fv.p

F

m ²dt

x²dmF =

X(p) F(p) m.p²

w Ω(p)

dt

dwJC = C(p)

J.p



2.5. Applications

2.5.1. Système électronique

Les équations régissant ce système sont :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

32

11

RpSpUpI

RpVpEpI

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

−=

+=

p.CpIpS

pIpIRpU

pUp.CpIpV

2

2

212

1

1

Le diagramme fonctionnel relatif à ces systèmes d’équations :

Avec : p.C.R1

1

p.C.R11

p.C.R1

B23

23

231 +

=+

=

e(t)

R1 R3

R2

C1

C2 s(t) v(t) u(t)

i2(t)i1(t)

1R1

E(p) _

+

pC1

1

R2 S(p)_ +_ + 3R

1

pC1

2

V(p) + +

U(p)I1(p) I2(p)

1R1

E(p) _

+

pC1

1

R2 S(p)_ +_ + pC.R1

23

pC2

B1

+ +

V(p)

U(p)I1(p)



Avec : p.C.R.B1

B.RB

221

122 +

=

Avec : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=

p.C.B1

B1

RR1

RB

B

12112

12

3

1R1

E(p) _

+

pC1

1

R2 _ +

pC2

B1

1B1

B2

+ +

V(p)

S(p) U(p)I1(p)

1R1

E(p)

pC1

1

_ + B2

1B1+

+

S(p)

V(p)

I1(p)

E(p)

pC.B1

12

_ +

1B1+

+V(p)

S(p) 21

B.R1

E(p)

pC.B1

B1

121+

_ +

B3

1

2

RB

V(p)

S(p)



2.5.2. Moteur à courant continu Vu de l’extérieur, la machine peut être représentée par la mise en série d’une

résistance R, d'une inductance L et d’une f.e.m à vide donnée par la relation EvΩ.KEv = , si Ω est la vitesse de rotation. Nous supposerons que l'ensemble fixé à l'arbre

de la machine est de moment d'inertie J et que le moment du couple de frottement est Ω.fC = (frottement visqueux).

Equation électrique : )t(.K

dt)t(di.L)t(i.R)t(e Ω++=V

Soit en variable de Laplace )p(.K)p(I.p.L)p(I.R)p(Ve Ω++=

Equation mécanique : )t(C)t(.f)t(i.Kdt

)t(d.J ch−−= ΩΩ

Soit en variable de Laplace )p(C)p(.f)p(I.K)p(.p.J ch−−= ΩΩ )t(Cch est le moment du couple de charge. Si l’on suppose que la charge mécanique

de notre moteur est une génératrice à courant continu débitant sur une charge , alors on peut dire que :

chR

Ω.R

²KRE.KI.KC

chchchch === soit ΩΩ '.K.

R²KC

chch == .

Le système peut être représenté par :

On peut écrire alors :

p.Jf)p(C

)p(I.p.Jf

K)p( ch

+−

+=Ω et )p(.

p.LRK

p.LR)p(V

)p(I e Ω+

−+

=

Le digramme fonctionnel de ce système est le suivant :

Ve(p)

Système Ve(p) )p(Ω

Cch(p)

p.LR1

+

p.LRK

+

+ _ _

+ Ve(p) )p(Ω

Cch(p)

I(p) p.Jf

K+

p.Jf1

+



3. Lieux de transfert 3.1. Introduction On applique au système une entrée harmonique : ).wtsin(.u)t(u o= En régime permanent ; on admet que la sortie est également un signal sinusoïdal déphasé ; on a donc : ).wtsin(.u.A)t(y o φ+= On peut dire la même chose de l’entrée ).wtcos(.u)t(u o=

Donc également de l’entrée qui ; d’après le théorème de superposition nous donne la sortie :

jwtooo e.u)wtsin(.u.j)wtcos(.u)t(u =+=

.e.u).w(A)wtsin(.u).w(A.j)wtcos(.u).w(A)t(y jwtooo

φφφ +=+++=

Plus généralement ; on peut donc considérer une entrée de la forme ; qui nous

donnera une sortie de la forme :

jwto e.u

.e.u).w(A jwto

φ+

Appliquons cette entrée à l’équation différentielle ;

x.bdtdxb...

dtdub

dtduby.a

dtdya...

dtdya

dtdya 011m

1m

1mm

m

m011n

1n

1nn

n

n ++++=++++−

−

−−

−

−

On obtient : [ ]

[ ] jwto

00

1m1m

mm

)wt(jo

00

1n1n

nn

e.u.)jw.(b...)jw.(b)jw.(b

e.u.A.)jw.(a...)jw.(a)jw.(a

+++=

+++−

−

+−−

φ

.

Ou bien :

[ ][ ]0

01n

1nn

n

00

1m1m

mmj

)jw.(a...)jw.(a)jw.(a)jw.(b...)jw.(b)jw.(b

e.A)jw(u)jw(y

++++++

==−

−

−−φ .

Il apparaît dans cette expression que le terme de droite n’est rien d’autre que la fonction de transfert dans la quelle on a remplacé les "p" par des "jw". On a donc : ; )jwp(He).w(A j ==φ

où A est le gain en amplitude du signal et φ le déphasage de ce signal.

3.2. Interprétation dans le plan complexe

)wt(j

o e.u.A φ+ est le vecteur d’amplitude A et de déphasage φ par rapport au vecteur

d’origine : . jwto e.u

φ Re

Im

[ ])wtsin(.j)wtcos(u).w(A o φφ +++

[ ])wtsin(.j)wtcos(uo +

[ ])wtcos(u).w(A o φ+

[ ])wtsin(u).w(A o φ+



On obtient donc le gain en prenant le module du nombre complexe et le

déphasage

)w(A )jw(H

φ en recherchant l’angle )cossintg(

φφφφ = donc :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

))jw(HRe())jw(HIm(arctg

;)jw(H).jw(HA *

φ

Remarque :

Attention à la définition de l’arctg : on doit en considérer deux définitions différentes pour les demi-plans réels positifs et négatifs.

Pour les parties réels positifs : La définition précédente est bonne.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

))jw(HRe())jw(HIm(arctgφ

Pour les parties réels négatifs : .))jw(HRe())jw(HIm(arctg ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= πφ

Lorsque la partie réelle est nulle, on n’a pas besoin de cette définition, on considère directement l’affixe (le vecteur est sur l’axe des imaginaires).

01n

1nn

n

01m

1mm

m

a...)jw.(a)jw.(ab...)jw.(b)jw.(b

)jw(H++++++

= −−

−−

Pour un système physique; le gain tend vers 0 quand la fréquence tend vers ∞ ; on a donc : m<n; sauf si le modèle choisi est spécifique pour une zone de fréquences donnée.

3.3. Les lieux de transfert On appelle lieux de transfert la représentation des évolutions de la sortie (temps–fréquence) pour toutes les pulsations de 0w = à +∞→w . On a les évolutions de deux grandeurs à figurer dans un plan; paramétrées par la troisième; plusieurs solutions sont donc possibles. Trois représentations sont proposées ici; portant chacune le nom de leur auteur : Black; Nyquist; et Bode. Ces représentations; utiles pour connaître les évolutions des systèmes; ont chacune leur intérêt. L'équation du lieu à tracer s'obtient en se plaçant en régime harmonique et en remplaçant les p par des ϕ dans la fonction de transfert. On est donc bien en train de représenter ce qui se passe dans l'espace de Laplace.

3.3.1. Lieu de Bode Représentation comportant deux graphiques possédant les mêmes abscisses : les fréquences ou pulsations en échelle logarithmique. Le premier raphique porte le gain en échelle linéaire; mais exprimé en décibel

g( ))jw(Hlog(.20Gdb = .

Sur le second; on a en ordonnée le déphasage en échelle linéaire.

3.3.2. Lieu de Nyquist Le lieu de Nyquist est une représentation; paramétrée par la pulsation; exprimée en coordonnées polaires :

en rayon : le gain en échelle linéaire ;

en angle : la phase en degrés.


Dans le plan complexe, le lieu de Nyquist représente pour chaque point (fréquence donnée); la partie réelle en l'abscisse; la partie imaginaire en l'ordonnée.

3.3.3. Lieu de Black Le lieu de Black est une représentation comportant en abscisse; la phase en échelle linéaire; et en ordonnée le gain; en échelle linéaire; mais exprimé en décibels.

3.3.4. Abaque de Black

Le diagramme de Black est une représentation de la réponse harmonique du système, c'est à dire une représentation de ( )jwH quand parcourt R, où est la fonction de transfert du système.

w ( )pH

o en abscisse: phase (en degrés)

o en ordonnée: gain (en décibels)





Exercice n°1 :

Déduire les diagrammes fonctionnels suivants afin de se ramener dans les deux cas à la structure suivante :

et donner les expressions de D(p) et de R(p). Cas 1 :

Cas 2 :

_ + E(p) S(p)

R(p)

D(p)

_ + G3 G1 E(p) + + _ +

_ G2 + +

H2

H1

H3

S(p)

E(p) 2R

1 S(p) 1R

1pC

1

2_ + _ +

pC1

1 _ +



Exercice n°2 :

Simplifier le schéma fonctionnel suivant et déterminer sa fonction de transfert.

Exercice n°3 :

Déterminer la transmittance des circuits suivants : 1-

2-

_ + G1 G3

G2

H1

++

_ +H2

G4

E(p) S(p)

e(t)

R1 C1

C2s(t)

R3

R2 I1 I

I2 I3 I4

V1 V2

e(t) s(t)

R

C

R

C

Etudes des systèmes élémentaires


Chapitre 4

Chapitre 4 Etude des systèmes élémentaires

Chapitre 4 : Etudes des systèmes élémentaires

1. Etude d'un système de premier ordre 1.1. Etude temporelle

1.1.1. Définition Un système physique d’entrée e(t) et de sortie s(t) est du premier ordre, s’il est régi par une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants :

)t(e.K)t(sdt

)t(ds=+τ

où K est le gain du système et τ est la constante du temps.

Si les conditions initiales sont nulles (s(0)=0), la fonction de transfert dans le domaine de Laplace s’écrit : ( ) )p(E.K)p(S.1p. =+τ

Soit p.1

K)p(E)p(S)p(H

τ+==

1.1.2. Réponse impulsionnelle L’entrée est définie par )t()t(e δ= , soit dans le domaine de Laplace E(p)=1.

La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace : .p1

K

p.1K)p(S

+=

+=

τ

ττ

La réponse temporelle a donc pour expression : )t(u.e.K)t(stτ

τ−

= .

La représentation graphique de la réponse impulsionnelle d’un système de premier ordre est donnée par la figure ci-dessous :




1.1.3. Réponse indicielle

L’entrée est définie par e(t)=u(t), soit dans le domaine de Laplace .p1)p(E =

La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace : .)p.1(p

K)p(Sτ+

=

Une décomposition en éléments simples nous donne : p.1

.KpK

p.1B

pA)p(S

ττ

τ +−=

++= .

La réponse temporelle a donc pour expression : )t(ue1K)t(st

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−τ .

La représentation graphique de la réponse indicielle d’un système de premier ordre est donnée par la figure ci-dessous :

Particularités :

Pente à l’origine.

τ

τ

t

e.K)t('s−

= d’où τK)t('slim

0t=

+→.

Temps de réponse à 5%. On cherche t5% tel que s(t5%)=0.95.K.

τ%5t

e05.0−

=→ soit τ%5t05.0Ln −=

→ τ.3t %5 ≈ .

Détermination expérimentale des paramètres du modèle d’ordre 1. Utiliser la valeur finale pour déterminer le gain K. Utiliser la pente à l’origine pour déterminer la constante de temps τ. Utiliser 63% de la valeur finale pour déterminer la constante de temps τ.

1.1.4. Application

Réponse à un échelon de vitesse (rampe)

x(t) = a.t, on obtient alors : 2pa.

p.1K)p(Yτ+

= .

p.a.K

pa.K

p.1.a.K

p1.

p11.Ka)p(Y 22

ττ

τ

ττ

−++

=+

= .

D’où ).t(u.texp.)t(.Ka)t(y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−=

τττ

Pente à l’origine : ( ) )0('sKtg ==τ

α

α


1.1.5. Relation temps–fréquence Le comportement dynamique d’un système est entièrement décrit par sa constante

de tempsτ. Cette dynamique est aussi appelé espace fréquentiel. On définie pulsation de

coupureτ1wc = , donc la fréquence de coupure est τπ.2

1=cf .

On appelle temps de montée du système : c’est le temps nécessaire pour passer de10% de la valeur finale de la sortie à 90 % de la valeur finale pour un échelon d’entrée.

)t(u).texp(1(K)t(wτ

−−= .

On a et K.1,0)t(w %10 = k.9,0)t(w %90 =

Or %10%90m ttt −=Après tout calcul fait on obtient tm=2,2τ.

Donc c

m f35.0t = .

1.2. Etude harmonique

( )p.1

KpHτ+

= et en posant p=jw ⇒ ( ) wj1jwH K

τ+= .

)jexp(.H))w(jArctgexp(.)²w(1

)w.j(H K ϕττ

=−+

=⇒

( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⇒

+−=

+=

+−+

+=⇒

τ²w²1K)H(jw)(Imτ²w²1K)H(jw)(Re

²τ.w1jK τ

²τ.w1KH(j.w) τ

.

Dans la pratique trois méthodes de représentations sont utilisées.




1.2.1. Représentation de Bode On trace les deux courbes suivantes : •

dBwjH ).( de la fonction )w.j(H en fonction de la pulsation w.

• ))w.j(H(Arg=ϕ de la fonction )w.j(H en fonction de la pulsation w.

Représentation du module en dB

( )( ) ( )[ ]2

1010210dB w.1log.10Klog.20w.1

Klog.20)w.j(H ττ

+−=+

=

Etude des asymptotes

• Pour 1ww

c<<

Klog20)w.j(H 10dB → : Asymptote d’équation Klog.20)w.j(H 10dB =

• Pour τ1w = ⇒ dB3Klog.20)w.j(H 10dB −= .

• Pour 1ww

c>> ⇒ ( )w.log.20)w.j(H 10dB τ−→ .

( ) ( )( )110110dB1dB1 w.log.20w.10.log.20)w.j(H)w.10.j(H ττ −−−=−

( ) ( )( )110110 w.logw.10.log.20 ττ −−=

( ) dB2010log.20w.

w.10.log.20 10

1

110 −=−=−=

ττ

→ C’est une droite de pente –20dB/décade. ou

( ) ( )( )110110dB1dB1 w.log.20w.2.log.20)w.j(H)w.2.j(H ττ −−−=−

( ) ( )( )110110 w.logw.2.log.20 ττ −−=

( ) dB62log.20w.w.2.log.20 101

110 −=−=−=

ττ

C’est une droite de pente –6dB/octave.

Représentation de la phase

ϕ = w.arctg))w.j(H(Arg τ−= .


• Pour 0w → 0=⇒ ϕ : asymptote horizontale.

• Pour τ1w = ⇒

41Arctg πϕ −=−= .

• Pour ∞→w ⇒2

arctg))w.j(H(Arg πϕ −=∞−== : asymptote horizontale2πϕ −= .



1.2.2. Représentation de Nyquist

On trace la courbe ( ) ( )( )( )jwHRef).j(HIm =ω

Soient ( )( )jwHRex = et ( )( )jwHImy = .

D’où ( )2w.1Kxτ+

= (1) ; ( )2w.1

w..Kyττ

+−= (2)

(y <0 → demi cercle négatif)

(1)xK)²w.(1 =+⇒ τ et 1

xK)²w.( −=τ

x.w.y)2( τ−=⇒ ²xKx²x)1xK(²x)².w.(²y −=−==⇒ τ .

Donc 4²K²y

2Kx0²yKx²x

2

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⇒=+− :

C’est une équation d’un cercle de centre )0,2K( et de rayon

2K

.

10-1

100

101

102

103

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-3 db w1 10.w1

-20d

b|de

c

τ1w =


-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0K/2

-K/2

K

0

Im Re

w w 0

wc

1.2.3. Représentation de Black On représente ( )ϕfGdb = : C’est un diagramme contracté obtenu en éliminant w.

Etude des asymptotes :

• Pour 0w → ⇒ Klog.20)w.j(H 10dB → ; ϕ =0.

• Pour τ1w = ⇒ dB3Klog.20)w.j(H 10dB −= ;

4πϕ −= .

• Pour ∞ →w ⇒2

et)w.j(H dBπϕ −

→−∞→ .c’est une asymptote.

-90 -75 -60 -45 -30 -15 0-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0Nichols Chart

pp

()

wc -3dB

GdB

Phase



Exemple

C x(t)

R Le circuit intégrateur : circuit RC :

( ) ( ) ∫+= i(t).dtC1ti.Rtx y(t)

avec ( ) ∫= i(t).dtC1ty

( ) ( ) ( )tydt

tdy.RCtx +=

On conclue que τ = RC et K=1.

⇒ ( ) ( ) ( )tydt

tdy.tx += τ

A.N. : R=10kΩ ; C=10μF ; 1,0=τ⇒ et K=1.

W(rd/s) 0 0.01 0.1 0.12 0.5 1 2 5 10 20 50 100 200 500 103

H

dbH

ϕ

)jw(H(eℜ

)jw(HIm(

• Remplir le tableau. • Faire l’étude temporelle et dégager les différents paramètres (fc, tm, …). • Effectuer l’étude harmonique par les trois méthodes.

2. Etude d'un système de second ordre 2.1. Définition Un système physique d’entrée e(t) et de sortie s(t) est du deuxième ordre, s’il est régi par une équation différentielle du second ordre à coefficients constants :

)t(e.K)t(sdt

)t(ds.w

z.2dt

)t(sd.w1

02

2

20

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

où K est le gain du système. w0 est la pulsation propre non amortie positif. z est le coefficient d’amortissement positif.




Si les conditions initiales sont nulles (s(0)=s’(0)=0) , la fonction de transfert dans le

domaine de Laplace s’écrit : )p(E.K)p(S.1pw

z2pw1

0

220

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

Soit 1p

wz.2

wp

Kwp.w.z.2p

w.K)p(E)p(S)p(H

020

2200

2

20

++=

++==

2.2. Etude temporelle

2.2.1. Réponse impulsionnelle L’entrée est définie par )t()t(e δ= , soit dans le domaine de Laplace E(p)=1. La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace :

200

2

20

wp.w.z.2pw.K

)p(S++

= .

Discriminant : ( )1zw4 220 −=Δ .

Cas 1 : z>1 , le système est amorti est le dénominateur possède deux racines réelles : 0>Δ⇒

( ) .01zzwp 2021 <−±−=

S(p) se décompose en eux éléments simple :

( )( ) 2121

20

ppB

ppA

ppppw.K

)p(S−

+−

=−−

= .

Après identification, on trouve : 1z2

w.KBA

20

−=−= .

La réponse temporelle a donc pour expression : ( )tptp2

0 21 ee1z2

w.K)t(s −

−= .

Cas 2 : z=1 , amortissement critique. La sortie dans le domaine de Laplace s’écrit : 0=Δ⇒

( )20

20

wpw.K

)p(S+

= .

La réponse temporelle a donc pour expression : . t.e.w.K)t(s t.w20

0−=



Cas 3 : z<1 , le système est sous–amorti et le dénominateur possède deux racines

complexes conjuguées :

0<Δ⇒

( )2021 z1.jzwp −±−=

La réponse temporelle a donc pour expression : ( )tptp2

0 21 ee1z2

w.K)t(s −

−= .

Soit, après développement des exponentielles complexes :

( )tz1wsin.e.z1

w.K)t(s 2

0ztw

20 0 −

−= −

.

Représentation graphique :

2.2.2. Réponse indicielle


La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace :

( ) .p.wp.w.z.2p

w.K)p(S 2

002

20

++=

Cas 1 : z>1, le système est amorti et la réponse est apériodique. S(p) se décompose en trois éléments simples :

( )( ) 2121

20

ppC

ppB

pA

p.ppppKw

)p(S−

+−

+=−−

= .

Avec a=K ;

12

0

20

121

20

p.1z.w.2

w.Kp).pp(

w.KB

−=

−= et

22

0

20

221

20

p.1z.w.2

w.Kp).pp(

w.KC

−=

−= .

La réponse temporelle a donc pour expression : ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=

1

t1p

2

t2p

20

pe

pe

1z2

w1K)t(s .

Si on pose 1

11p

τ−= et

22

1pτ

−= où 1τ et 2τ sont les constantes du temps, la réponse

temporelle s’écrit :

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−−=

−−21

t

2

t

121

ee11K)t(s ττ ττττ

.



s(∞)=K.E

t10% tm

t90% t5%

Particularités : Pente à l’origine :

( )tptp

2

20 21 ee

1z2

Kw)t('s −

−= d’où 0)t('slim

0t=

+→

Temps de réponse à 5% : Il n’y pas de formule simple.

Temps de montée : tm=t90% – t10% Cas 2 : z=1, amortissement critique. La sortie dans le domaine de Laplace s’écrit :

.pK

wpK

)wp(w.K

p.)wp(w.K

)p(S0

20

02

0

20 +

+−

++

−=

+=

La réponse temporelle a pour expression : ( )( )tw0

0etw11K)t(s −+−= .

Particularités : Pente à l’origine.

( )( ) tw20000

tw 00 e.w.Kwtw1we.K)t('s −− =−+= d’où 0)t('slim0t

=+→

Temps de réponse à 5%. Il n’y pas de formule simple.

Cas 3 : z<1, le système est sous–amorti et la réponse est pseudo–périodique. La réponse a toujours pour expression dans le domaine de Laplace :

( ) .p.wp.w.z.2p

w.K)p(S 2

002

20

++=

On décompose cette expression sous la forme : 200

2 wp.w.z.2pCBp

pA)p(S

+++

+= .

Après identification des constantes, on trouve : 200

20

wp.w.z.2pw.z.K.2p.K

pK)p(S

+++

−= .



On modifie le dénominateur d’ordre 2 pour faire apparaître un carré parfait :

( ) ( )220

20

020

20

220

20

20

z1ww.zp

w.z.K.2p.KpK

ww.zw.zp.w.z.2pw.z.K.2p.K

pK)p(S

−++

+−=

+−++

+−= .

Une nouvelle transformation permet d’identifier les transformées de Laplace des cosinus et sinus amortis :

( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−++

−

−−

−++

+−= 2

20

20

20

222

02

0

0

z1ww.zp

z1w

z1

z

z1ww.zp

w.zpp1K)p(S .

La réponse dans le domaine temporel s’écrit donc :

( ) ( ) .t.z1wsin.e.z1

zt.z1wcos.e1K)t(s 20

tzw2

20

tzw 00

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−−−−= −−

On pose zcos =ϕ et 2z1sin −=ϕ .

La réponse temporelle s’écrit : ( ) .t.z1wsin.e.z1

11K)t(s 20

tzw2

0

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−

−−= − ϕ


Particularités :

Pseudo–période. La réponse présente des oscillations amorties dont la période, appelée pseudo–période, est :

a20

w2

z1w

2Ta ππ=

−= où 2

0a z1ww −= est la pulsation amortie.

Pente à l’origine.

( )t.z1.wsin.e.z1

w.K)t('s 2

0tzw

20 0 −

−= − donc 0)t('slim

0t=

+→ et la pente est nulle.

Dépassements relatifs. Les dépassements relatifs sont donnés pour les instants tk tels que s’(tk)=0.

Donc 2

0k

z1wkt

−=

π avec k entier.

On définit le dépassement relatif d’ordre k par :

( ) 2k0z1

.k.z

k2

02

tzwk

rk et.z1wsin.z1

e)(s

)t(s)(sD −

−−−

=+−−

=∞−∞

=π

ϕ .



Les dépassements relatifs ne dépendent donc que du coefficient d’amortissement z :

2z1

.k.z

rk eD −

−−

=π

. On utilise cette particularité pour identifier z à partir d’un tracé expérimental modélisable par une fonction de transfert de second ordre. Le premier dépassement est retenu et on a :

( )( )2

1r2

21r

DlnDln

z+

=π

avec )(s

DD 1

1r ∞= . (Voir annexe)

Temps de réponse.

Il n’y a pas d’expression simple. Un abaque donne la valeur du temps de réponse réduit, t5%.w0, en fonction du coefficient d’amortissement. Le temps de réponse minimum est obtenu pour un dépassement relatif de 5% ce qui correspond à un coefficient d’amortissement de valeur z=0,7. On a alors : t5% : w0=3.

Pulsation de résonance Pour z< 0,7 Alors la réponse présente une résonance pour la pulsation :

²z1ww 0R −=

Temps de stabilisation Le temps de stabilisation est définit par :

Ts ≈ 3/z.w0 à ±5% pour z< 0,7. Ts ≈ 4/z.w0 à ±2% pour z< 0,7.

0 100 200 300 400 500 6000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

z=0.1

z=0.3

z=0.5 z=0.7

z=1

z=2




2.3. Etude harmonique On a jwp = , ce qui donne :

0

2

0

022

0

20

ww.z.j.2

ww1

Kw.w.z.j.2ww

w.K)w.j(H

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=+−

=

On a alors : ( ) ( )( )220

244010

2010dB w.w.2z.4ww10.log-w.Klog.20)w.j(H −++=

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

0

22

01010dB w

w.z.2ww110.log-Klog.20)w.j(H

2.3.1. Diagrammes de Bode

A/ Représentation du module

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

0

22

01010dB w

w.z.2ww110.log-Klog.20)w.j(H


• Pour 1ww

0<< ⇒ Klog.20)w.j(H 10dB →

On a asymptote d’équation Klog.20)w.j(H 10dB =

• Pour 0w w = ⇒ dB3Klog.20)w.j(H 10dB −= .

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==⇒= dB3-Klog.20210.log-Klog.20)w.j(H

22zSi 101010dB

• Pour 1ww

0>> ⇒ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−→

010dB w

wlog40)w.j(H .

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

0

110

0

110dB1dB1 w

wlog.40

ww.10

log.40)w.j(H)w.10.j(H

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

0

110

0

110 w

wlog.40

ww.10

log.40 ( ) dB4010log.40

www

w.10

log.40 10

0

1

0

1

10 −=−=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

→ C’est une droite de pente –40dB/décade.



B/ Représentation de la phase

ou

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

0

110

0

110dB1dB1 w

wlog40

ww.2

log40)w.j(H)w.2.j(H

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

0

110

0

110 w

wlog.40

ww.2

log.40 ( ) dB122log.40

wwww.2

log.40 10

0

1

0

1

10 −=−=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

C’est une droite de pente –12dB/octave.

ωτϕ .arctg))w.j(H(Arg −== 2

0

0

ww1

ww.z.2

arctg)w.j(H

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⇒


On a asymptote horizontale de

• Pour 0w → 0≈ϕ : asymptote horizontale.

• Pour 0w w = ⇒ ( )2

Arctg πϕ ∞+−=

→ ⇒

−=

• Pour ∞w ( ) πϕ −=ϕ

−≈= 0 arctg))w.j(H(Argπ−= .

10-3 10-2 10-1 100 101-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Pulsation W

G dB

-3 dB

f1 10.f1

-40 dB/dec

wo

20.logK

z=2 z=1

z=0.7 z=0.5

z=0.1



10-3 10-2 10-1 100 101-200

-150

-100

-50

0Pulsation W Dephasage

-90

-180

wo

z=2

z=1 z=0.7 z=0.5

z=0.1


2.3.2. Représentation dans le plan de Nyquist ( )

( ) ( ) ( ) ( )20

2220

20

20

2220

220

20

w.w.z.2ww

w.w.K2j

w.w.z.2ww

ww.w.K)w.j(H

+−−

+−

−=

-3 -2 -1 0 1 2 3-6

-5

-4

-3

-2

-1

0Re Im

z=0.1

z=0.5

z=0.7 z=1

z=2

2.3.3. Représentation dans le plan de Black 20log ( )ϕf)w.j(Hlog.20 10 = C’est un diagramme contracté obtenu en éliminant w.

Etude des asymptotes : • Pour 0w → ⇒ kwjH

dBlog20).( → ; ϕ =0.

• Pour 0w w = ⇒ dBkwjHdB

3log20).( −= ; ϕ = 2π−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

22z

• Pour ∞ →w ⇒ −∞→dB)w.j(H et πϕ −=→ y .C’est une asymptote.

-180 -135 -90 -45 0-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20Nichols Chart

z=0.1

z=0.7 z=1

z=2

GdB

Dephasage



2.3.4. Exemple Le circuit Oscillateur amorti :

dt)t(iC1i(t) R

dt)t(diL x(t) ∫++=

x(t) y(t) C L R

avec dt)t(iC1)t(y ∫=

)t(ydt

)t(dy RC ²dt

)t(y²dLC x(t) ++= ⇒ 1RCp²LCp

1 H(p)++

=

Identifions les paramètres :

LC1 w0 = est la pulsation propre d’un circuit oscillant LC.

CL.2

R z = est le facteur d’amortissement.

A.N. : R=100Ω ; C=100μF et L=1H.

W(rd/s) 0 0.1 1 2 5 10 20 50 100 200 500 103 2.103 5.103 104

H

dbH

ϕ

)jw(H(eℜ

W(rd/s)

• Remplir le tableau. • Faire l’étude temporelle et dégager les différents paramètres (fc, tm, …). • Effectuer l’étude harmonique par les trois méthodes.



3. Série de TD N°2 Exercice n°1 :

Un système physique a pour fonction de transfert : )20p4p).(1p(

2p)p(H 2 ++++

=

1. Décomposer H(p) en éléments simples. 2. En déduire la réponse impulsionnelle du système.

Exercice n°2 : Soit un processus linéaire défini par la fonction de transfert suivante :

)5p2p).(1p(4pp)p(F 2

2

+++++

= transformée de f(t).

1. Calculer f(0) et )(f +∞ à partir de F(p). 2. Décomposer F(p) en éléments simples et en déduire la réponse impulsionnelle f(t). 3. En déduire la réponse indicielle s(t), vérifier en calculant directement s(0) et )(s +∞

à partir de F(p). Exercice n°3 :

On considère le réseau suivant :

ΩK100R1 = ; ΩK200R2 = ; F10C1 μ= ; F50C2 μ= .

1. Déterminer la fonction de transfert )p(Ve)p(Vs et en déduire la nature de ce correcteur.

2. Tracer dans le lieu de Bode la réponse harmonique réelle. Exercice n°4 :

Soit le réseau suivant

Avec ΩK1R = ; H1L = et F100C μ= .




1. Montrer que la fonction de transfert du réseau peut se mettre sous la forme :

2BpAp1K)p(F

++= en précisant les valeurs de K, A et B.

2. En déduire le gain statique, la fréquence propre non amortie et le coefficient d’amortissement du réseau.

3. En déduire que la fonction de transfert précédente est équivalente à deux éléments du premier ordre en série.

Exercice n°5 : On souhaite identifier un système par une analyse harmonique. Pour ceci on enregistre la réponse du procédé à des sinusoïdes A.sin(wt) pour différentes valeurs de w. on relève la phase ϕ (en degrés) et le gain G (en dB).

W(rd.s-1) ϕ (degrés) G(db) 0

0.1 0.3 0.5 0.7 0.8 0.9

1.00 2 3 5

10

0 -5.8

-18.2 -33.7 -53.9 -65.8 -78.1 -90.0

-146.3 -159.4 -168.2 -174.2

20.00 20.04 20.37 20.90 21.25 21.14 20.7 20.0 8.9 1.4 -7.8 -20

1. Dessiner ces courbes dans le plan de Bode. 2. Dire en le justifiant s’il s’agit d’un système du premier ou du deuxième ordre. 3. donner la fonction de transfert du précédé.

Exercice n°6 : Représenter dans le plan de Nyquist, Bode et Black le lieu des fonctions de transfert suivantes :

1. Intégrateur pur : p1)p(H = .

2. Dérivateur pur : p)p( . H =

3. Double intégrateur pur : 2p

1)p(H = .

Exercice n°7 : On considère un système du second ordre ayant comme fonction de transfert :

2

00 wpp

wz21

K)p(H

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

avec z=0,1 ; K=1 et w0=1.

Ce système est inséré dans une boucle à retour unitaire afin d’effectuer un asservissement.

1. Le système en boucle ouverte possède-t-il des résonances ? 2. Tracer H(p) dans le diagramme de Bode en boucle ouverte puis en boucle fermée.

H(p)E(p) + -

S(p)


Exercice n°8 :

1. Tracer H(p) dans l’abaque de Black en prenant les points suivants pour la pulsation w :

w (rd/s) 0.4 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2. Déterminer à l’aide de l’abaque de Black le facteur de surtension Mw et la pulsation de

résonance wRW en boucle fermée. Tracer la fonction de transfert en boucle fermée dans le lieu de Bode. 3. Peut-on régler K afin de diminuer le facteur de surtension pour obtenir MWdb=10dB ?

Justifier votre réponse à l’aide de l’abaque de Black puis par un calcul direct.

Pour cela, exprimer la fonction de transfert en boucle fermée E(p)S(p)W(p) = sous la forme :

2

W0W0

W

W

wpp

wz.2

1

K)p(W

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

Et donner les expressions de zW, KW et w0W. En déduire wRW et MW. Comparer avec les résultats obtenus à l’aide de l’abaque de Black.

Exercice n°9 : On considère un système du second ordre ayant comme fonction de transfert :

2p.10p.523)p(H++

= .

1. Déduire z ; K et w0. 2. Tracer la réponse indicielle. 3. Tracer la réponse du système dans le lieu de Bode, le lieu de Nyquist et le lieu de

Black. Corrigé exercice n°9 :

1. K = 1,5. z = 0,56. w0 = 0,447. 2. Réponse indicielle

( )k12,2exp.100Dk% −= .

%12D1 = , %44,1D2 = . 7,2..kTpic π= .

s5,8Tp1 = , s17Tp2 = . s17Ta = .

s12Tr5% = , . s16Tr2% =



0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

System: sys Time (sec): 8.5 Amplitude: 1.68

System: sys Time (sec): 12 Amplitude: 1.57

System: sys Time (sec): 17 Amplitude: 1.48

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

3. Etude Harmonique. Lieu de Bode

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)



Lieu de Nyquist

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Lieu de Black

-180 -135 -90 -45 0-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB)


Performances des systèmesasservis linéaires


Chapitre 5

Chapitre 5 Performances des systèmes asservis linéaires

Chapitre 5 : Performances des systèmes linéaires asservis

1. Introduction On s’intéresse à l’étude des systèmes asservis à retour unitaire, puisque tout système pouvant être transformé en système à retour unitaire.

T(p) S(p) ε(p) + _ E(p)

)p(T : Fonction de transfert en boucle ouverte.

( )( )pT1

pT)p(F+

= : fonction de transfert en boucle fermée.

( ) ( )( )pDpN

pa...papaapb...pbpbb

pF nn210

mm

2210 =

++++

++++= , où n ≥ m.

Analyser le système asservi linéaire revient à étudier la fonction de transfert en boucle ouverte ( )p(T1 + ). L’étude des performances consiste à étudier :

• La stabilité et la rapidité qui sont deux critères dynamiques. • La précision qui est un critère statique.

( ) n2

2210 pa...papaapD +++= : s’appelle équation caractéristique.

Les racines de N(p) s’appellent les zéros de F(p). Les racines de D(p) s’appellent les pôles de F(p).

2. Stabilité 2.1. Définition

Un système initialement au repos est stable si pour une entrée impulsion de Dirac, le système rejoint une position d’équilibre après un certain temps.

2.2. Condition de stabilité L’étude de la stabilité revient à résoudre l’équation caractéristique D(p)=0. Soit : iii jp ωσ ±= une racine de D(p).

La condition nécessaire et suffisante pour que le système soit stable est : toutes les racines de D(p) sont à partie réelle strictement négative. iσ

Remarque

Cette condition nécessaire est suffisante exige un calcul des racines ce qui rend cette condition inexploitable lorsque l’ordre du système devient important, pour cela on propose le critère algébrique suivant.



2.2.1. Critère de Routh

Pour cette section, l'approche est purement algébrique et ne requiert pas de représentation graphique. Le polynôme dénominateur du système en boucle fermée est écrit sous sa forme développée et on utilise les propriétés des polynômes pour tirer des conclusions concernant les racines, mais sans les calculer explicitement. Les racines de ce polynôme sont les pôles du système :

011n

1nn

n apa...papa)p(D +++= −−

On construit d'abord un tableau de n lignes et (n+1)/2 colonnes, arrondi à l'entier supérieur. Les éléments des deux premières lignes sont les coefficients du polynôme D(p). Pour le reste du tableau, on définit le terme de la ligne i et la colonne j.

1,1i

1j,1i1,2i1j,2i1,1ij,i A

A.AA.AA

−

+−−+−− −=

pn an an-2 an-4 a0 pn-1 an-1 an-3 an-5 … pn-2 b1 b2 b3 … pn-3 c1 c2 … … p1 y1 y0 p0 z0

1n

3nn2n1n1 a

a.aa.ab

−

−−− −= ;

1n

5nn4n1n2 a

a.aa.ab−

−−− −=

1

1n23n11 b

a.ba.bc −− −= ;

1

1n35n12 b

a.ba.bc −− −

=

La condition nécessaire est suffisante de stabilité s’exprime par un tableau de Routh par : • Tous les ai doivent être présents et sont strictement positifs. • Tous les coefficients de la première colonne du tableau doivent être strictement

positifs.

Remarques

• Si un seul coefficient est nul alors le système est dit marginalement instable. • Le nombre de changement de signe dans la première colonne du tableau est égal au

nombre de pôles à partie réelle positive.

2.2.2. Applications

1°/ ( ) 3p.3p.4p.3ppD 234 ++++=Etudier la stabilité de ce système.

p4 1 4 3 p3 3 3 0 p2 3 3 0 p1 0 ε > 0 0 p0 3



33

312b1 =−

= ; 33

09b2 =−

= ; 0b3 = .

Le coefficient de la deuxième colonne, quatrième ligne est nul donc le système est marginalement instable. D’où on peut écrire le polynôme auxiliaire.

3.p2 + 3 = 0 p = j .

2°/ D(p) = p3+a.p2 +b.p+c.

Etudier la stabilité de ce système en fonction de a, b, et c.

p3 1 b

p2 a c

p1 a

cab − 0

p0 c

Condition de stabilité a, b, c >0 et ab>c.

3°/ Soit)3p)(1p(p

K)p(T++

= .

Étudier la stabilité de ce système en boucle fermée en fonction de K. )(pD = p3+4.p2+3.p +K

p3 1 3 p2 4 k

p1 4

K12 − 0

p0 K • K > 0

• 04

K12>

− K<12

Le système est stable lorsque 0 < K < 12.

Remarque

L’étude de la stabilité par la détermination des pôles n’est applicable que si on connaît la fonction de transfert ou l’équation différentielle du système. Souvent on ne dispose pas de T(p) analytiquement par contre des essais expérimentaux sont possibles. Et on dispose alors du tracé de Nyquist, Bode et Black, il s’agit d’étudier la stabilité du système à partir de ces tracés : on dit qu’on étudie la stabilité en boucle fermée à partir de la transmittance en boucle ouverte.

2.3. Critère de Nyquist

2.3.1. Critère de Nyquist simplifié Pour l'étude de la stabilité du système en boucle fermée, on va tracer dans le plan complexe la réponse harmonique en boucle ouverte et examiner son tracé par rapport au point critique "–1". Si |T(j ωπ)|>1, le système est instable, si |T(j ωπ)|<1, le système est stable.



Enoncé : Le critère de Nyquist simplifié ou critère du Rivers s'énonce ainsi: Si, en parcourant la courbe de réponse harmonique en boucle ouverte )j(T ω dans les sens des pulsations croissantes, on laisse le point "–1" à gauche, le système en boucle fermée est stable.

( )jwG0

mA

1

mϕ( )1wϕ

w1

-1

2

3

1

w

w

w

Re

1 Système stable

2 Système en limite de stabilité

3 Système instable

On est souvent intéressé à une réponse plus nuancée que stable ou instable. Les notions de marge de gain Am ou de phase mϕ permettent d'apporter cette nuance.

2.3.2. Marge de gain La marge de gain permet d'indiquer la qualité de la stabilité en exprimant la distance sur l'axe réel par rapport au point critique "–1". L'intersection de la réponse harmonique avec l'axe réel a lieu pour une pulsation notée wπ, car la phase pour cette pulsation vaut –π.

)jw(T1Am

π= avec ππ −=))jw(Targ(

2.3.3. Marge de phase La marge de phase permet d'indiquer la qualité de la stabilité en exprimant la distance angulaire par rapport au point critique "–1". L'intersection de la réponse harmonique avec le cercle unité a lieu pour une pulsation notée w1, car le module pour cette pulsation vaut "1".

πϕ += ))jw(Targ( 1m avec 1)jw(T 1 =




2.4. Critère de Black

2.4.1. Critère de Black Le critère du Rivers peut aussi être exprimé dans le plan de BLACK. Ici le point "–1" devient le point (0 dB; –180°). Pour pouvoir appliquer le critère, les conditions sont les mêmes que pour le critère de Nyquist : le système en boucle ouverte ne doit compter aucun pôle à partie réelle positive.

Énoncé : Un système linéaire F(p) en boucle fermée est stable si, en parcourant le lieu de BLACK de sa réponse harmonique en boucle ouverte dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique (0 dB; –180°) à droite.

Sur la figure précédente, les marges de phase et de gain peuvent être lues directement sur les deux axes. La pulsation est celle qui détermine le point de la réponse harmonique à l'intersection avec l'axe horizontal à 0[dB]. La pulsation est celle qui détermine le point de la réponse harmonique à l'intersection avec l'axe vertical à 180° et

avec l'axe vertical à 135°.

1w

πw

cw

2 3 1

cw

1w

πw Am

mϕ

1 Système stable

2 Système en limite de stabilité

3 Système instable

-135°


2.4.2. Abaque de Black–Nichol’s L'abaque de Black–Nichol’s est formé d'un système de coordonnées curvilignes, superposé au plan de BLACK, sur lesquelles on peut directement lire les valeurs de module et d'argument du système en boucle fermée . Pour appliquer l'abaque, le système bouclé doit être à retour unitaire.

)jw(F

On procède de la manière suivante: On trace le lieu de BLACK de la réponse harmonique en boucle ouverte )jw(T d'après

le système de coordonnées rectilignes. Par exemple, pour la pulsation wx, on a calculé module et argument : [ ]dB2)jw(T x = et 0 . x 125))jw(Targ( −=

On peut alors lire sur la même courbe pour une valeur de pulsation donnée les valeurs de module et d'argument du système en boucle fermée )jw(F sur les coordonnées curvilignes. Pour cette même pulsation, et le même point, on lit en coordonnée curviligne : [ ]dB1)jw(F x ≅ et 0 . x 50))jw(Farg( −=

La pulsation de résonance est déterminée pour le point où le module de la réponse harmonique en boucle ouverte a la valeur la plus élevée (ici ~1,3 [dB]). On peut encore déterminer la pulsation , au-delà de laquelle le module de la réponse harmonique en boucle fermée est toujours plus faible que –6 [dB].

rw

6w



2.5. Critère de Bode

2.5.1. Critère de Rivers Le critère du Rivers s'énonce comme suit dans le plan de Bode, ou dans l'espace fréquentiel : Un système asservi (en boucle fermée) est stable si la courbe du module de sa réponse harmonique en boucle ouverte |T(jw)| coupe l'axe de module unité pour une phase arg(T(jw)) supérieure à –180°.

2.5.2. Critère de Bode Le critère du Rivers peut être simplifié en appliquant la relation ci-dessus. Un système asservi (en boucle fermée) est stable si la courbe du module de sa réponse harmonique en boucle ouverte |T(jw)| coupe l'axe de module unité pour une pente supérieure à –2.

Si l'intersection de la réponse harmonique en boucle ouverte et de l'axe à 100 a lieu avec une pente de –1, le système en boucle fermée est stable, avec –2, il est en limite de stabilité. Il est judicieux d'affiner le critère en exprimant la qualité de la stabilité: "à quelle distance de la pente –2" doit-on placer l'intersection de l'axe avec la pente –1?

3. Précision 3.1. Définition L’étude de la précision d’un système à retour unitaire revient à étudier la valeur de la différence (écart), notée ( ) ( )pSpE)p( −=ε . En régime transitoire cette différence s’appelle erreur dynamique. En régime permanent cette différence s’appelle erreur statique.

T(p) S(p) E(p) ε(p) + _

)t(lim)p(.plim)(

t0pεεε

∞→→==∞

( ) ( )p).p(T)p(E)p(S)p(Ep εε −=−= ( ))p(T1

)p(Ep+

=ε .

)p(T1)p(E.plim)(

0p +=∞

→ε : C’est la précision.



3.2. Classe d’un système La classe d’un système est déterminée à partir de sa fonction de transfert en boucle

ouverte, pour cela il faut mettre T(p) sous la forme suivante :

( ))p.'a...p'.a1(

)p'b...p'b1(.

pKpT n

'n

m'm

+++

+++= α

.

Avec : • α : Classe du système (nombre d’intégrateurs). • K : Gain statique du système en boucle ouverte.

)p(T1)p(E.plim)(

0p +=∞

→ε

)p'a...p'a1(

)p'b...p'b1(.

pK1

)p(pElim)(

'n'n1

'm'm1

0p

+++

++++

=∞→

α

ε

α

ε

pK1

)p(E.plim)(0p

+=∞

→

)( ∞ε dépend de la classe du système, du gain statique et de E(p).

Entrée E(p) Classe p

E 2pE

3pE

0 1K

E+

∞ ∞

1 0 KE ∞

2 0 0 KE

• pE : échelon de position.

• 2p

E : échelon de vitesse.

• 3p

E : échelon d’accélération.

Plus on augmente la classe, plus qu’on améliore la précision.

Si ( )pEpE = : )( ∞ε s’appelle erreur statique de position.

Si ( ) 2pEpE = : )( ∞ε s’appelle erreur statique de traînage ou de vitesse.




Exemple

Soit ( ))3p)(1p(p

Kp++

=T .

Calculer K pour avoir une erreur statique de traînage unitaire inférieur à 10 %.

( )2p

31p

341

1.p.3

K)3p)(1p(p

KpT++

=++

= ; 3KK =′ ; 1=α

)(∞ε = ( ) 30K1,0K3

3K1

'kE

≥⇒≤===∞ε

4. Rapidité

4.1. Rappel et définition Les paramètres temps de réponse, temps de stabilisation et dépassement caractérisent la rapidité d’un système. Pour un système de second ordre, la rapidité est étroitement liée au coefficient d’amortissement z.

( )012

02

00

20

apa²pab

wp.w.z.2²pKw

pF++

=++

= .

On désigne le rapport d’amortissement 1α : ²z.4w

)²w.z.2(a.a

a2

0

0

20

21

1 ===α .

1α : caractérise la rapidité du système : dépend de z et du temps réponse.

4.2. Critère de Naslin

Soit : ( )01

1n1n

nn

0

ap.a...papab

pF++++

=−

−

.

On définit n-1 rapports :

1i1i

2i

i a.aa

a+−

= avec 1<i<n-1.

Quelques soit i, αα =i avec α donnée par la première loi de la courbe moyenne, qui a deux lois :

• ( ) α28,4Dlog %10 −= .

• 2

1pic a

a.2,2T =

Dans le cas générale, on choisis les iα ≥ α Quelque soit i, pour garantir une rapidité optimale.



Exemple :

Calculer k a fin de garantir un dépassement D% ≤ 0,1 Fonction de transfert en boucle fermée :

( )k3p11p1,11p

k.3pF 23 +++= .

( ) α28,4Dlog %10 −= . =……………………. α

E(p)) ε(p) S(p) + _ )p101).(p1,01).(1p(

k.3+++




Exercice n°1 :

A l’aide de critère de Routh étudier la stabilité des systèmes dont les équations caractéristiques sont les suivantes : 1. 0100 . p9p20p 23 =+++

2. 0002 . p9p20p 23 =+++

3. 02p . p5p10p3 234 =++++

4. 08p . 8p6p2p 234 =++++

Exercice n°2 :

A l’aide du critère de Nyquist complet, étudier la stabilité du système asservi à retour

unitaire dont la fonction de transfert en boucle ouverte est K.G(p), dans les cas suivant :

)p1(pKK.G(p)+

= ; 3pKK.G(p) = et

p2.01KK.G(p)

−= .

Appliquer le critère de Rivers pour déduire la stabilité.

Exercice n°3 :

Soit)p2.01)(p1.01(p

Kk.G(p)++

= , la fonction de transfert de la boucle d’un système

asservi. Déterminer les valeurs de K pour lesquelles le système est stable en boucle fermée. Et ce en utilisant le critère de Nyquist, puis le critère de Rivers.

Même question pour)p2,01)(p1,01²(p

)p1(KK.G(p)++

+= .

Exercice n°4 :

Soit le système de la figure suivante :

a- En utilisant le critère de Routh déterminer les valeurs de K pour lesquelles le système est stable. b- Retrouver le résultat par le critère de Nyquist.

_+ K.G(p)

²)p4p8,01(pp51G(p)++

+=




Exercice 1 :

Étudier la stabilité des systèmes définis par les équations suivantes :

1. e(t)1,5.y0,02dtdy0,1

dtyd2

2=−− .

2. e(t)1,5.ydtdy

dtyd2

2=+− α étudier la stabilité du système en fonction deα .

3. e(t)1,5.ydtdy

dtyd2

2=−− βα étudier la stabilité du système en fonction de α et β .

4. e(t)1,5.ydtdy

dtyd2

2=−− βαλ étudier la stabilité du système en fonction deα , β et λ .

Exercice 2 :

Étudier la stabilité, en Boucle Ouverte et Boucle Fermée, du système suivant :

En Boucle Fermée, faire l’étude dans le plan α , A .

Exercice 3 :

Étude d’un système de troisième ordre On se propose d’étudier le système défini par la fonction de transfert :

.1,0z;s/rd1w;s5,0:avec

wp

pwz21).p.1(

K)p(H 02

00

s ===

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

= τ

τ

1. Représentation

On prend =1. sK Diagramme de Bode

Éffectuer le tracé asymptotique du module et de la phase de )( pH dans le diagramme de Bode fourni.

Lieu de BLACK Donner les expressions du module H et de la phase φ de )( pH . Compléter le tableau ci-dessous et tracer le lieu de BLACK de )( pH . Donner la pulsation de résonance du système.

++( )pE ( )pS A 11−p

α+p

1


w(rd/s) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 3

dbH

Φ°

2. Étude de la stabilité

Le système est-il stable pour sK =1. Donner sK maimum pour que le système soit juste stable.

3. Effet d’une intégration

On étudie à présentppHpH )()(1 = .

Quelle est l’opération mathématique effectuée ? Quelle est la conséquence sur la stabilité ?



Chapitre 6

Les Régulateurs

Chapitre 6 Les régulateurs

Chapitre 6 : Les régulateurs

1. Généralités 1.1. Tâches du régulateur Le présent chapitre a pour but d'étudier le seul élément de la boucle sur lequel l'automaticien est habilité à agir : le régulateur (GR). Les autres éléments de la boucle sont regroupés dans ce qu'on appelle le système à régler (GS).

GS CR + _ E Ucm

Bloc correcteur Gcf V

Y W

La fonction du régulateur est d'agir sur le système à régler par un signal de commande ucm en fonction de l'écart de réglage : différence entre la valeur de consigne w et la valeur actuelle y de la grandeur réglée. On peut attendre du régulateur différentes tâches : Maintien dans un intervalle prescrit de la grandeur y en présence d'une consigne w

constante, malgré la présence de perturbations v : régulation de maintien. Suivi dans un intervalle prescrit de la consigne w par la grandeur y : régulation de

correspondance. Suivi dynamique de la consigne en présence de perturbations.

Le choix et le dimensionnement du régulateur dans une boucle dépend de ce qu'on attend de lui, on commence donc par examiner quels sont les régulateurs dont on dispose, en relevant leur points forts et leur points faibles.

1.2. Inventaire On peut distinguer les régulateurs selon deux critères : relation entre entrée et sortie : linéaire ou non linéaire. entrée unique, l'écart de réglage ou plusieurs entrées.

Les régulateurs classiques sont caractérisés par une entrée unique: l'écart de réglage. Les régulateurs tout–ou–rien ont une sortie ucm qui ne peut prendre que deux ou trois valeurs prédéterminées, choisies en fonction de l'écart de réglage. Exemple : régulateur de température pour un four électrique de cuisine.

Les autres sont formés d'une combinaison de trois modules : Le module P (proportionnel) assure la fonction de réglage de base. Le module I (intégrateur) annule l'écart statique, assure la précision. Le module D (dérivateur) améliore la stabilité et accélère le réglage.

On décrira les principaux régulateurs: Le régulateur P fournit un signal de commande proportionnel à l'écart de réglage. Exemple : réglage de fréquence d'un groupe turbine–alternateur. Le régulateur PI fournit un signal de commande proportionnel à l'écart de réglage et à son intégrale.



Exemple : réglage de vitesse d'une voiture récente. Le régulateur PID fournit un signal de commande proportionnel à l'écart de réglage, à son intégrale et à sa dérivée. Exemple : réglage standard industriel. Le régulateur PD fournit un signal de commande proportionnel à l'écart de réglage et à sa dérivée.

2. Rôles des régulateurs ou correcteurs • Pour obtenir une bonne précision il faut avoir une ou plusieurs intégrations en chaîne

directe. • Pour avoir un bon degré de stabilité il faut que :

- Le gain soit le plus faible possible en boucle ouverte d’où une faible bande passante. - Le déphasage soit faible d’où un minimum d’intégration possible (régulateurs

proportionnels). - Les régulateurs ou correcteurs ont pour but de délivrer un signal de commande U(p)

de manière à préserver les exigences de précision et de stabilité, à priori incompatible. On distingue deux types de correcteurs : Correcteurs série et correcteurs parallèle.

3. Réglage proportionnel 3.1. Principe Parmi les régulateurs linéaires le plus immédiat est le régulateur proportionnel : son signal de commande est proportionnel à l'écart de réglage.

ucm(t)=Kp e(t)=Kp (w(t) - y(t)) Dans un schéma fonctionnel, on représente un régulateur linéaire par un bloc dans lequel on dessine sa réponse indicielle.

La fonction de transfert se réduit pour ce régulateur à un simple nombre réel.

GR(p ) = Kp

3.2. Statisme On est intéressé à savoir si la grandeur réglée y suit correctement la consigne w. En particulier, pour une consigne constante, la sortie s'établit-elle pour la même valeur?

Traitons tout d'abord d'un système à régler comme cellule du premier ordre.

p.T11Gs

+=



La fonction de transfert en boucle ouverte s'obtient par le produit des fonctions de transfert des deux blocs.

p.T11.KpG0 +

=

Ce qui nous intéresse est le comportement du système en boucle fermée :

p.T1KpKp

p.T11.Kp1

p.T11.Kp

GCF ++=

++

+=

Plutôt que de calculer dans l'espace temps à quelle valeur s'établit y(t), on applique le théorème de la valeur finale.

Kp1Kp)p(Glim)p(G.

p1.plim)p(Y.plim)t(ylim f0pf0p0pt +

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

→→→∞→.

On constate que, quelle que soit la valeur du gain statique KP, la valeur finale de y(t) sera différente de 1. Il apparaît un écart statique e∞.

Kp11

Kp1Kp1))t(y)t(w(lim)t(elime

tt +=

+−=−==

∞→∞→∞

3.3.Correcteur à action Proportionnelle L’action proportionnelle représente l’action minimale indispensable du réseau

correcteur, elle correspond à un gain constante positif k : k)p(c = c’est à dire ( ) )t(.ktu ε= ; ou ( ) )p(.kpU ε= .

⇒ ( ) k)p()p(UpC ==

ε.

R

R__

++ U(p) ε(p)

En statique, le régulateur améliore la précision du système si k augmente.

En dynamique, il augmente la rapidité du système et déstabilise le système s’il présente des oscillateurs (en augmentant trop k on risque de toucher à la stabilité du système).

3.4.Correcteur à action Dérivée

( )dt

)t(d.tu dετ= .

( ) )p(.p.pU d ετ= ⇒ p.)p(C dτ= . En statique elle peut diminuer la précision du système et en dynamique elle

augmente la rapidité et renforce la stabilité du système.



R

__

++

C

U(p)ε(p)

( )dt

)t(d.RCtu ε= .

( ) )p(.p.RCpU ε= . ⇒ RCd =τ ⇒ p.)p(C dτ=

3.5.Correcteur à action Intégrale C’est un correcteur utilisé lors d’une étude en régime harmonique, il permet

d’augmenter la marge de phase de ce système (la stabilité).

( ) ∫= dt).t(1tui

ετ

⇒ ( ) ( )p.p.

1pUi

ετ

= ⇒ ( )p.

1pCiτ

=

R __

++

C

U(p) ε(p)

Elle élimine l’écart entre la consigne et la sortie même du système en dynamique, elle ralentit est déstabilise le système.

4. Types de correcteurs 4.1. Correcteur à action Proportionnelle Dérivée

dt)t(d.d.k)t(.k)t(u τ εε +=

)t().p.d1(k)p(U τ ε+=

)p.d1(k)p(C τ+= Le régulateur à action Proportionnelle Dérivée (PD) provoque un accroissement du

gain et de la phase pour les fréquences élevées.

4.2. Correcteur à action Proportionnelle Intégrale

∫+= dt).t(.k)t(.k)t(ui

εετ

)t(.p.

11.k)p(Ui

ετ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

p.11.k)p(Ciτ

Le régulateur à action Proportionnelle Intégrale (PI) agit sur la stabilité du système.




4.3. Correcteur à action Proportionnelle Intégrale Dérivée Le régulateur à action Proportionnelle Intégrale Dérivée (PID) permet

d’améliorer les performances globales du système, et on trouve deux structures de PID.

a. Structure Série (cascade) :

b. Structure parallèle (produit) :

K )(pε )p(U p.1 dτ+ p.11iτ

+

)(pC

K

( )pU ++

++ ++

p11iτ

+

p1 dτ+

( )pC

( )pε



5. Série de TD N°5 Exercice n°1: Un système asservi répond au schéma fonctionnel suivant :

R(p) est la fonction de transfert du régulateur. G(p) est un processus à commander dont le lieu de transfert est donné par le tableau suivant :

w(rd/s) 0 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 + ∞ G(db) 0 -3.1 -7.3 -13.6 -18.4 -22.4 -26.1 -29.4 - ∞ φ° 0 -56 -86 -120 -142 -160 -174 -186 -270

Le correcteur R(p) est un gain proportionnel K (K>0). 1. Déterminer la valeur de K de telle sorte que l’écart permanent à la réponse indicielle

soit de 5%. 2. Pour cette valeur de K l’asservissement est-il suffisamment stable ?

Exercice n°2 : Un correcteur est régi par l’équation intégro–différentielle suivante :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++= ∫

t

0

dt).t(x.05,0dt

)t(dx.5)t(x.K)t(u .

)t(u : Signal de sortie du correcteur. )t(x : Signal d’entrée du correcteur.

1. Quel est le type de correcteur et son intérêt. 2. Tracer dans le lieu de Bode la réponse harmonique du correcteur pour K=5. 3. En déduire une nouvelle valeur de K telle que le correcteur présente un point invariant

pour une certaine pulsation w0 que l’on précisera.

Exercice n°3 : Dans le système bouclé suivant, le gain k reste à déterminer. Pour cela, on demande de

calculer la fonction de transfert )p(c)p(s)p(F = et

)p(c)p(ε

, puis de tracer le lieu des pôles

de quand k varie de 0 à )p(F ∞+ . Où sont les pôles pour ? Pour 1k = 10k = ? Choisir la valeur de k qui assure un pôle double.

G(p) + _ E(p) S(p) R(p) ε(p) U(p)

k p1

1050+p

++

--

)p(C )p(E )p(s( )p ε



Exercice n°4 :

Dans l’asservissement suivant de COBAYE, il y a un retour tachymétrique. Expliquer.

Les gains a etb étant paramétrables, calculer la fonction de transfert en fonction de et . Déduire le gain statique et donc l’erreur statique de l’asservissement. Déterminer et

pour imposer un pôle double

a ba

b 1,0p −= puis 10p −= à l’asservissement. En pratique, quel capteur supplémentaire cet asservissement nécessite t’il par rapport au précédent ?

Exercice n°5 : Calculer la fonction de transfert du système bouclé suivant où un processus du second ordre est asservi à l’aide d’un filtre correcteur Proportionnel Intégral Dérivé (P.I.D) à retrouver sur le schéma bloc. Quelle est la relation entre et ? Qu’obtient-on pour les valeurs , et

)t(e )t(u11g = 11Ti = 1110Td = ?

Exercice n°6 :

Pour le schéma bloc ci-après (à gauche), calculer)p(C)p(S ,

)p(C)p(E et

)p(E)p(S .

Que valent le gain statique et le temps de réponse à 5% de ce système bouclé?

On ajoute (à droite) un filtre correcteur de fonction de transfert bpap.)p(D

++

= λ en série

dans la chaîne d’action de l’asservissement, entre la sortie du comparateur et l’entrée du processus.

Calculer la fonction de transfert du système bouclé ainsi corrigé.

Montrer que pour a=1 et b=2, on divise par 2 le temps de réponse à 5% du système bouclé sans correcteur pour une certaine valeur de λ. Le gain statique est il conservé ?

Comment diviserait-on par 3 le temps de réponse en conservant le gain statique ?

1p1,05

+

+ -

+ -

a

b

p1

)p(C g

T pd 10

1 1 10( )( )+ +p p+ -

+ + +

)p(U )p(S

)p(E

pT1

i

1p1,0

+

)p(C

+ -

)p(E 1p

1,0+

+

-bpap.

++

λ )p(S )p(C )p(E )p(S

Les problèmes


Problèmes


Problèmes

1. Problème n°1 On considère le circuit suivant :

1. Etablir la fonction de transfert )(

)()(

pHpVpV

e

s = en fonction de R et C.

Calculer H(p) pour les valeurs suivantes : R = 3 kΩ et C = 10 µF. 2. Relever expérimentalement la réponse indicielle et en déduire H(p). 3. Relever la réponse harmonique et la porter dans Bode, Nyquist et Black. En déduire H(p).


1. Etablir la fonction de transfert

)p(Ve)p(Vs)p(H = en fonction de en fonction de R1, R2 et C.

Calculer H(p) pour les valeurs suivantes : R1 = 2 KΩ, R2 = 1 KΩ et C = 10 µF. 2. Relever expérimentalement la réponse indicielle et en déduire H(p). 3. Relever la réponse harmonique et la porter dans Bode, Nyquist et Black.

En déduire H(p).

Vs Ve C

R

Ve Vs

C

R1

R2

Problèmes



1. Etablir la fonction de transfert )p(H

)p(Ve)p(Vs

= en fonction de en fonction de R1, R2 et C.

2. Calculer H(p) pour les valeurs suivantes : R1=3KΩ, R2=1.5KΩ et C=10µF.

3. Relever expérimentalement la réponse indicielle et en déduire H(p).

4. Relever la réponse harmonique et la porter dans Bode, Nyquist et Black. En déduire H(p).

4. Problème n°4

On considère le circuit suivant :

1. Etablir la fonction de transfert )p(H

)p(Ve)p(Vs

= en fonction de R, L, r et C.

En déduire la valeur du coefficient d'amortissement z et la pulsation propre non amortie w0 en fonction de R, r, L et C. Suivant les valeurs de z donner l'expression de la pseudo–pulsation wp et la pulsation de résonance wr.

2. Déterminer H(p) pour R=0Ω, C=1µF, L=1H et r=350Ω. En déduire la valeur de z, w0, wp et wr.

3. Mêmes questions pour les valeurs R=1kΩ et R=1,8kΩ. 4. Tracer dans les diagrammes de Bode et Black les trois réponses harmoniques H(jw).

Vs R2

R1

C

Ve

R

C

r , L

Ve Vs

Problèmes


5. Problème n°5

On désire réguler un processus de fonction de transfert G(p) par un correcteur C(p).

Le schéma fonctionnel est représenté par la figure ci-dessous.

1. Identifier le processus grâce à la réponse à un échelon en boucle ouverte. En déduire l'expression de G(p). 2. Tracer G(jw) dans le diagramme de Black. En déduire la valeur du gain Ko et la période

To du pompage limite. 3. On choisit C(p)=K (K>0), déterminer expérimentalement la valeur du gain Ko et la

période To du pompage limite. 4. En déduire d'après le tableau de Ziegler et Nichol's la valeur de K, Ti et Td du

régulateur PID. 5. Visualiser la réponse à un échelon en boucle fermée, conclure. On rappelle que la sortie bipolaire de la carte est comprise entre +10 V et -10 V et que les entrées doivent être comprises entre +5 V et -5 V.

6. Problème n°6

Etude d'un asservissement de position

1° Principe de fonctionnement Il s'agit d'un asservissement de position potentiomètrique dont l'organe d'action est un moteur à courant continu à excitation constante. Le mouvement de rotation du moteur est transformé, par un réducteur et une poulie, en mouvement rectiligne d'un index devant une règle graduée. L'ensemble est schématisé par la figure ci-dessous :

K est un atténuateur compris entre 0 et 1. A est un préamplificateur de gain 10 ou 100. Le moteur est alimenté par un amplificateur de puissance de gain en tension unitaire. La fonction de transfert approchée de l'ensemble moteur et amplificateur de puissance a pour expression :

)1()(

TppKvpG+

= avec Kv gain en vitesse et T constante de temps.

C(p) G(p)E

+ - X U S

Capteur

+ -

Vitesse

Moteur A K Réducteur Poulie

v(t) r(t)

e(t) x(t) s(t)

Problèmes


Dans ces conditions le schéma fonctionnel de l'asservissement peut être représenté par la figure ci-dessous :

2° Etude qualitative Réaliser le montage de l'asservissement en boucle fermée et observer la réponse indicielle avec «physcope » en mode synchronisation sur l'entrée. On prendra le générateur de fonction en mode signaux carrés de fréquence 1 Hz. Faire varier le produit KA et expliquer qualitativement les modifications du signal de sortie.

3° Réponse harmonique en boucle ouverte Le but de l'opération est de tracer G(jw) réelle dans Black et d'en déduire la valeur de KA qui permet d'avoir une stabilité satisfaisante pour un temps de réponse le meilleur possible. On opère de la façon suivante : Ouvrir la boucle d'asservissement. Régler KA = 1 et vérifier que l'off set du générateur est à 0. Sélectionner signaux sinusoïdaux et régler l'amplitude de telle sorte que le signal ne soit pas écrêté par « physcope ». Agir simultanément sur le décalage de manière à centrer le signal de sortie. Pour chaque valeur de la fréquence relever le gain en amplitude et le déphasage. Faire varier f de 10 Hz à 1Hz (10, 8, 5, 3, 2.5, 2, 1.5, 1) par exemple. Tracer la réponse dans Black. En déduire la valeur de Kv et T (déphasage de -135°) et la valeur de KA qui assure une stabilité suffisante.

4° Réponse en boucle fermée Pour KA = 10 effectuer l'analyse harmonique et comparer aux valeurs issues de l'abaque de Black.

5° Correcteur à avance de phase Le but de la manipulation est de vérifier qualitativement l'efficacité d'un réseau correcteur à avance de phase représenté par le schéma ci-dessous :

+ - K + + A G(p) E(p)

X(p) U(p)S(p)

Décalage

x’(t) x(t) R2 R1

C

Problèmes


R1=27kΩ, R2=8,2kΩ et C=µF.

Le schéma fonctionnel devient alors :

Comparer les réponses en boucle fermée avec et sans correcteur pour diverses valeurs de KA et conclure sur l'intérêt d'un tel correcteur.

7. Problème n°7

Etude d'un asservissement de vitesse

1° Principe de fonctionnement Il s'agit de faire tourner une charge mécanique à une vitesse donnée (sortie) conformément à la loi d'évolution d'une grandeur d'entrée (consigne). L'écart entre la consigne et la vitesse du moteur est pré amplifié et éventuellement écrêté avant d'attaquer l'amplificateur de puissance du moteur à courant continu et excitation constante. La mesure de la vitesse est transformée en tension par une dynamo tachéométrique. La mesure du courant absorbé par le moteur est transformée en tension par un transformateur d'intensité. La boucle secondaire de courant permet de limiter le courant dans le moteur pendant les phases transitoires et a un effet stabilisateur (le courant est l'image du couple absorbé et par conséquent la variation de courant est l'image de la variation de vitesse Cm - Cr = Jθ'').

K est un atténuateur compris entre 0 et 1. M est un préamplificateur de gain 1 ou 10 avec éventuellement écrêtage. G est un amplificateur de puissance qui alimente le moteur. Une commande permet de débrayer ou d'embrayer la charge.

+ - C(p) KA G(p) E(p)

X(p) U(p) S(p) X'(p)

Problèmes

2° Etude qualitative Réaliser le montage de l'asservissement en boucle fermée et observer la réponse indicielle avec « physcope » en mode synchronisation sur l'entrée. On prendra le générateur de fonction en mode signaux carrés de fréquence 1Hz. Faire varier le produit KM en gardant G = 10 et expliquer qualitativement les modifications du signal de sortie avec et sans bouclage de courant du point de vue stabilité et précision. 3° Réponse harmonique en boucle ouverte

a) Sans bouclage de courant à vide Le but de l'opération est de tracer G(jw) réelle dans Black et d'en déduire la valeur de KM qui permet d'avoir une stabilité satisfaisante pour un temps de réponse le meilleur possible. On opère de la façon suivante : Ouvrir la boucle d'asservissement. Régler KM = 1, pas d'écrêtage et G = 10 de plus vérifier que l'off set du générateur est à 0. Sélectionner signaux sinusoïdaux et régler l'amplitude de telle sorte que le signal ne soit pas écrêté par physcope. Pour chaque valeur de la fréquence relever le gain en amplitude et le déphasage. Faire varier f de 0,2 Hz à 80Hz (0.2, 5, 10, 20, 30, 40, 50, 80) par exemple. Tracer la réponse dans Black. En déduire une modélisation de G(p), le processus est-il naturellement intégrateur. b) Même étude avec bouclage de courant à vide Expliquer quel type de correction effectue ce bouclage de courant. 4° Réponse indicielle en boucle fermée Compte tenu des résultats précédents et des critères de stabilité choisir K de telle sorte que la réponse indicielle soit satisfaisante du point de vue de la stabilité avec et sans bouclage de courant à vide. Quel correcteur faut-il envisager pour régler le problème de l'écart statique. Déterminer les paramètres d'un régulateur PID (K, Ti, Td) par la méthode du pompage limite et par la méthode du pivot. Relever la réponse dans ces conditions. Expliquer qualitativement quelle peut-être l'influence de la charge sur le comportement de l'asservissement. 6° Réponse harmonique en boucle fermée Pour KM = 2 effectuer l'analyse harmonique et comparer aux valeurs issues de l'abaque de Black Nichol's.



Les travaux pratiques

INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE SFAX

Laboratoire d'Automatique et régulation

Travaux Pratiques

TP d'initiation : Equipement du laboratoire

TP Initiation

Equipement du laboratoire


TP Initiation Equipement du laboratoire


Annexe 1 NOTICE D’UTILISATION DE L’OSCILLOSCOPE NUMERIQUE

« TEKTRONIX TDS 220»

Fig. 1 : Panneau avant du TDS 220

Fig.2 : Zone d’affichage autour de l’écran

1- Mode d’acquisition (normal, détection crêtes, moyenne). 2- Etat de déclenchement. 3- Marqueur de position horizontale du déclenchement. 4- Indique la différence de temps entre le centre du réticule et la position de déclenchement horizontale. 5- Marqueur de niveau de déclenchement. 6- Cet indicateur donne la valeur numérique du niveau de déclenchement.

7- Icône indiquant le type de déclenchement (front montant, front descendant, vidéo ligne, vidéo trame) 8- Signal sur lequel est synchronisé le déclenchement. 9- Cet indicateur montre le paramètre de base de temps de la fenêtre si il est utilisé. 10- Base de temps. 11- Sensibilités verticales. 12- L’écran affiche momentanément les messages en ligne. 13-0 Vdes voies si 1 et 2.


L’exploitation du TDS 220 A- Mise en service de l’oscilloscope : bouton Marche / Arrêt (Power) situé sur le haut de l’appareil.

B- Mise en service des voies : L’oscilloscope possède 2 voies : CH1 et CH2. Pour les mettre en service, il suffit d’appuyer sur les boutons : CH1 MENU et CH2 MENU. Pour mettre les voies hors service, appuyez sur ces mêmes boutons. Remarque : Le fait d’appuyer sur ces boutons permet d’afficher un menu dans la partie droite de l’écran.

C- Réglage du couplage CC de la voie Dans le menu CH1 ou C112, il faut faire apparaître dans la case couplage, le terme CC (couplage continu). Pour cela appuyez autant de fois que nécessaire sur le bouton situé en face la case couplage. Vous verrez apparaître successivement : Masse ; CC (Couplage Continu) ; CA (Couplage Alternatif). Remarque : Dans le cas du couplage CC, la tension appliquée est visualisée telle qu’elle est réellement. Si l’on utilise le couplage CA, la tension est visualisée sans composante continue.

D- Réglage du zéro Régler le 0V à votre convenance grâce au potentiomètre POSITION au-dessus de CH1 MENU pour la voie 1 ou CH2 MENU pour la voie 2. Le zéro est repéré à gauche de l’écran par une flèche précédée d’un chiffre indiquant le numéro de la voie (fig2 marqueurs 13).

E- Utilisation sans sonde Les mesures étant effectuées sans sonde, vérifiez que le menu sonde de chaque voie affiche 1X.

F- Type de Base de temps Vérifier que la base de temps sélectionnée est : Base de temps principale. Pour cela, faire apparaître le menu de la base de temps en appuyant sur le bouton HORIZONTAL MENU.

G- Réglage de la base de temps La base de temps se règle avec le commutateur : SEC/DIV. Le réglage permet d’aller de 5s/div à 5ns/div. Remarque : Au milieu et en bas de l’écran est affichée la valeur de la base de temps. (Exemple : M 10.0ms).

H- Réglage des sensibilités verticales Le réglage des sensibilités verticales, s’effectue à l’aide des commutateurs : VOLTS/DIV. Le réglage permet d’aller de 5 V/div à 2 mV/div. Remarque : En bas de l’écran, on peut visualiser en permanence la sensibilité des 2 voies. (Exemple CH15.00V).

I- Déclenchement

1. Choix de la voie et du type de déclenchement L’oscilloscope doit être synchronisé sur un signal. C’est généralement le signal injecté sur la voie 1 qui sert à la synchronisation. Pour cela, appuyez sur le bouton : «TRIGGER MENU ». En appuyant sur le bouton situé en face la case Source, vous sélectionnerez CH1.



Remarque : La synchronisation peut aussi se faire sur « CH2 », sur l’entrée de synchronisation prévue à cet effet «EXT TRIG » ou sur la tension délivrée par le secteur. Vous devez également indiquer le style de déclenchement souhaité : exemple : FRONT ; PENTE ; MONTANTE.

2. Réglage du seuil de déclenchement Sur le côté droit de l’écran, se trouve une flèche (fig.2 marqueur 5). Elle indique le niveau (ou seuil) de déclenchement de l’oscilloscope. Il faut que la flèche soit située entre le minimum et le maximum de la tension de la voie de synchronisation. Si ce n’est pas le cas, l’oscillogramme n’est pas stable. Pour le rendre stable, c’est à dire déclencher correctement l’oscilloscope, il faut régler le bouton rotatif NIVEAU dans la colonne TRIGGER Remarque : En bas à droite de l’écran, est affichée la voie de synchronisation (fig2 : marqueur 8) ainsi que la valeur du seuil de déclenchement de l’oscilloscope (fig2 marqueur 6).

3. Réglage de la position horizontale de déclenchement En haut de l’écran, se trouve une flèche (fig.2 marqueur 3). Elle indique la position horizontale du déclenchement de l’oscilloscope. Le réglage de cette position horizontale de déclenchement se fait en agissant sur le bouton rotatif POSITION dans la colonne HORIZONTAL. Ce réglage est particulièrement important dans le cas d’un déclenchement monocoup.



J- Capture d’un signal monocoup Utilisez le mode monocoup pour saisir une acquisition unique d’un signal. Procédure à suivre :

Réglez les boutons VOLTS/DIV et SEC/DIV à des valeurs adaptées au signal à visualiser.

Appuyez sur le bouton ACQUISITION et sélectionnez NORMALE. Appuyez sur le bouton TRIGGER MENU et choisissez le MODE MONOCOUP. Sélectionnez PENTE MONTANTE s’il s’agit d’une tension croissante ou PENTE

DESCENDANTE s’il s’agit d’une tension décroissante. Utilisez le bouton rotatif NIVEAU pour régler le seuil de déclenchement entre les

deux niveaux extrêmes de la tension. Utilisez le bouton rotatif POSITION dans la colonne HORIZONTAL pour régler

la position horizontale de déclenchement (l ou 2 division en partant de la gauche de l’écran par exemple).

Si la mention «Armed » (armé) ou «Ready» (prêt) n’apparaît pas en haut de l’écran, appuyez sur RUN/STOP.

Lorsque l’acquisition est terminée, «Stop » s’affiche. Appuyez de nouveau sur RUN/STOP pour lancer une nouvelle acquisition en mode monocoup.

K- Autoset La touche AUTOSET en haut à gauche, permet de ne faire aucun réglage préliminaire avant de visualiser un signal. En appuyant sur ce bouton, l’oscilloscope se débrouille tout seul pour afficher le signal, choisir le bon calibre, la bonne base de temps ... C’est pratique mais attention, cela modifie tous les réglages préalables.

L- Faire des mesures L’oscilloscope permet de faire de nombreuses mesures. Appuyer sur la touche : MESURES. La 1 case permet de choisir la Source ou le Type de mesure à effectuer. Appuyez sur

le bouton en face pour choisir Source ou Type. Sur les 4 autres cases, on peut afficher des mesures relatives à la voie 1 et/ou à la

voie 2. Exemples de mesures : Fréquence, Période, Moyenne, Tension crête-crête ( C—C ), Tension efficace.

M- Curseurs On peut faire des mesures de tension et de durée en appuyant sur la touche : CURSEURS. • Sur la 1 case, on choisit le type de curseur que l’on veut : Aucun, Tension ou

Temps. Les curseurs apparaissent sur l’écran : horizontaux pour des mesures de tension et verticaux pour des mesures de temps.

Sur la 2 case, on choisit la source : CH1 ou CH2. Sur la 3 case, apparaît l’écart (Delta) entre les deux curseurs. Sur la 4 case, apparaît la valeur de la tension ou du temps, où se trouve le curseur 1. Sur la 5 case, apparaît la valeur de la tension ou du temps, où se trouve le curseur 2.

Les curseurs se déplacent en agissant sur les 2 potentiomètres : POSITION dans la colonne VERTICAL.

N- Langage Pour choisir le mode «français », appuyez sur UTILITAIRE et sélectionnez le langage à l’aide du bouton en face la dernière case.



O- Affichage Pour augmenter ou diminuer le contraste de l’affichage, appuyez sur AFFICHAGE et réglez à l’aide des deux derniers boutons.

P- ModeXY Pour le tracé de courbes en mode XY (c’est à dire CH2 en fonction de CH1) appuyez sur le bouton AFFICHAGE et sélectionnez le mode XY à la 3 case.

Q- Signal bruité Si le signal que vous visualisez est bruité, l’oscilloscope peut faire l’acquisition de plusieurs signaux et en faire la moyenne avant de l’afficher. Pour cela appuyer sur le bouton ACQUISITION et sélectionner Moyenne. Sinon restez dans le mode Normal.

R- Menu mathématiques Appuyez sur la touche MATH MENU afin d’afficher les opérations mathématiques sur les signaux. Appuyez à nouveau sur cette touche pour effacer l’affichage d’un signal mathématique. Opérations possibles : CH1-CH2 ; CH2-CH1 ; CH1+CH2 ; CH1 inversée ou CH2 inversée. Remarque importante : Les opérations effectuées tiennent compte des réglages effectifs de chaque voie : en particulier des sensibilités verticales et des zéros. Il est donc impératif de choisir le même zéro et le même calibre sur les deux voies pour additionner ou soustraire deux tensions.



Annexe 2 Agilent 33120A - 15 MHz Function/Arbitrary Waveform Generator

Fig. 1 : Panneau avant de l’Agilent 33120A

1- Function / Modulation keys 2- Menu operation keys 3- Waveform modify keys 4- Single / Internal Trigger key (Burst and Sweep only) 5- Recall / Store instrument state key 6- Enter Number key 7- Shift / Local key 8- Enter Number “units”


TP n°1 Etude d’un système de premier ordre



TP1 : Étude d’un système de premier ordre

TP 1

Étude d’un système de premier ordre

Objectif :

Identifier les paramètres d’un système du premier ordre par la méthode indicielle et la méthode harmonique. Contenu : Partie 1 :

Analyse temporelle d’un système du premier ordre : Étude en boucle ouverte. Étude en boucle fermée.

Partie 2 : Analyse temporelle d’un système du premier ordre :

Lieu de Bode. Lieu de Nyquist. Lieu de Black.



Partie 1 :

Analyse temporelle d’un système du premier ordre

1. Etude en boucle ouverte

1) Visualiser à l’aide de l’oscilloscope une tension Ve carrée (Umax=6V, Umin=0V) de fréquence f=10Hz issue d’un générateur basse fréquence (G.B.F).

2) Appliquer cette tension (sortie du G.B.F) à l’entrée d’un montage RC donner par la figure suivante :

R

C Ve Vs

3) Visualiser sur l’oscilloscope les tensions Ve et Vs (sortie du système). 4) Relever sur papier millimétrique ces deux courbes. (noter les échelles de temps et

de tension) 5) Déterminer graphiquement les valeurs de K et τ.

2. ETUDE THEORIQUE Refaire l’étude du montage RC théoriquement (R=10KΩ et C=10nF) et tracer sur le même papier millimétrique la réponse théorique du système.

3. CONCLUSION



Partie 2 : Analyse harmonique d’un système du premier ordre

1. MODE OPERATOIRE

1) Visualiser à l’aide de l’oscilloscope une tension Ve sinusoïdale (Umax=6V, Umin=0V) de issue d’un générateur basse fréquence (G.B.F).

2) Appliquer cette tension (sortie du G.B.F) à l’entrée d’un montage RC précédent. 3) Visualiser sur l’oscilloscope les tensions Ve et Vs (sortie du système). 4) Remplir le tableau suivant :

F(Hz) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1K 2K 3K 4K 5K w(rd/s) Vs(v) Ve(v)

G Gdb Δt ϕ°

6K 7K 8K 9K 10K 20K 30K 40K 50K 60K 70K 80K 90K 100K 200K 300K

2. LIEU DE Bode 1) Tracer sur papier semi-logarithmique le lieu du gain et le lieu des phases. 2) Retrouver les valeurs de K et τ.

3. LIEU DE Nyquist

1) Tracer dans le plan complexe le lieu de Nyquist du système. 2) Retrouver les valeurs de K et τ.

4. LIEU DE BLACK

1) Tracer le lieu de transfert du système sur l’abaque de Black. 2) Retrouver les valeurs de K et τ.

5. ETUDE THEORIQUE Refaire l’étude du montage RC théoriquement (R=10KΩ et C=10nF) et tracer sur les mêmes abaques le lieu de Bode, le lieu de Nyquist et le lieu de Black.

6. CONCLUSION



Annexe 1

Réponse à un échelon de position (réponse indicielle) d’un système de premier ordre.

pE)p(E)t(u.E)t(e =⇒=

p.1K.

pE)p(S

τ+= ⇒ )e1.(E.K)t(s

tτ

−−=

Pour t = 0 s(0) = 0 ⇒Pour t = τ s(τ) = K.E.(1-e-1) = 0.63.K.E ⇒Pour t = 3.τ s(3.τ) = K.E.(1-e-3) = 0.95.K.E ⇒Pour t → ∞ s(⇒ ∞ ) = K.E

τ

τ

t

e.E.K)t('st

)t(s −−==

∂∂

On définie : Le temps de réponse à 5%, obtenu lorsque la courbe s(t) atteint 95% de sa valeur finale.

tr à 5% = 3.τ

tr : détermine la rapidité du système. ε(∞ ) = 1-K : détermine la précision du système (la meilleur précision est obtenue lorsque K=1).



Annexe 2

• Détermination du gain : Le gain en décibel est : Gdb = 20*log10(Vs/Ve)

• Détermination de l’argument :

0 1 2 3 4 5 6 7-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Ve

Vs

0 1 2 3 4 5 6 7

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Vs

Ve

……..Volt/Div ………Sec/Div …… ..Volt/Div ………Sec/Div

Arg(°) = - 360*t/T Arg(°) = +360*t/T




Annexe 3

( )p.1

KpHτ+

= et en posant p=jw ⇒ ( ) wj1jwH K

τ+= .

)jexp(.H))w(jArctgexp(.)²w(1

)w.j(H K ϕττ

=−+

=⇒

( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⇒

+−=

+=

+−+

+=⇒

τ²w²1K)H(jw)(Imτ²w²1K)H(jw)(Re

²τ.w1jK τ

²τ.w1KH(j.w) τ

.

Représentation du lieu de Bode On trace les deux courbes suivantes :

• dB

wjH ).( de la fonction ).( ωjH en fonction de la pulsation w.

• ϕ = de la fonction )).(( wjHArg ).( ωjH en fonction de la pulsation w.

Représentation du module en db

]).ωτ (1log[10Klog20)).(1(

Klog20)w.j(H 2

212dB

ωτ+−=

+=

Etude des asymptotes • Pour 0w → ⇒ Klog20)w.j(H dB → : Asymptote d’équation dB)w.j(H =20log K

• Pour τ1w = ⇒ dB3Klog20)w.j(H dB −= .

• Pour ⇒ ∞→w w.log20)w.j(H dB τ−→ . C’est une droite de pente –20dB/décade ou –6dB/octave.

Représentation de la phase ϕ = ωτ.)).(( arctgwjHArg −= .

Etude des asymptotes • Pour ⇒ 0w → 0=ϕ : asymptote horizontale.

• Pour τ1w = ⇒ ϕ =

41 π−=− Arctg .

• Pour ϕ =∞→w ⇒2

arctg))w.j(H(Arg π−=∞−= : asymptote horizontale

2πϕ −= .


Représentation du lieu de Nyquist On trace la courbe ( ) ( )( )( )jwHRef).j(HIm =ω

Soient ( )( )jwHRex = et ( )( )jwHImy = .

D’où ( )2w.1Kxτ+

= (1) ; ( )2w.1

w..Kyττ

+−= (2) (y <0 → demi cercle négatif)

(1)xK)²w.(1 =+⇒ τ et 1

xK)²w.( −=τ

x.w.y)2( τ−=⇒ ²xKx²x)1xK(²x)².w.(²y −=−==⇒ τ .

Donc 4²K²y

2Kx0²yKx²x

2

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⇒=+− :

C’est une équation d’un cercle de centre )0,2K( et de rayon

2K

.

Etude des asymptotes • Pour ⇒ ; 0w → Kx = .0y =

• Pour τ1w = ⇒

2Kx = ;

2Ky −=

• Pour ⇒ : asymptote verticale x=0. ∞→w 0x →

Représentation du lieu de Black On représente 20log )w.j(H =f(ϕ) : C’est un diagramme contracté obtenu en éliminant

w. Etude des asymptotes

• Pour 0w → ⇒ klog20)w.j(H dB → ; ϕ =0 : asymptote horizontale

Klog20)w.j(H db =

• Pour τ1w = ⇒ dB3Klog20)w.j(H dB −= ; ϕ = 4

π− .

• Pour ⇒ ∞→w −∞→dB)w.j(H et 2πϕ −

→ : asymptote. verticale2πϕ −= .


TP n°2 Etude d’un système de second ordre


Travaux pratiques


TP2 : Étude d’un système de second ordre

TP 2

Étude d’un système de second ordre

Objectif :

Identifier les paramètres d’un système de second ordre par la méthode indicielle et la méthode harmonique. Contenu : Partie 1 :

Analyse temporelle d’un système de second ordre : Système amorti. Système oscillant amorti.

Partie 2 : Analyse temporelle d’un système de second ordre :

Lieu de Bode. Lieu de Nyquist. Lieu de Black.



Partie 1 :

Analyse temporelle d’un système de second ordre

1. SYSTEME AMORTI

1) Visualiser à l’aide de l’oscilloscope une tension Ve carrée (Umax=8V, Umin=0V) de fréquence f=10Hz issue d’un générateur basse fréquence (G.B.F).

2) Appliquer cette tension (sortie du G.B.F) à l’entrée d’un montage RLC donner par la figure suivante :

P

C Ve

L R=…………

L=………… C=…………

Vs 3) Visualiser sur l’oscilloscope les tensions Ve et Vs (sortie du système). 4) Relever sur papier millimétrique ces deux courbes. (noter les échelles de temps et

de tension) 5) Déterminer graphiquement les paramètres du système.

2. SYSTEME CRITIQUE

1) Diminuer la valeur de la résistance du potentiomètre et visualiser sur l’oscilloscope les tensions Ve et Vs (sortie du système).

2) Relever sur le même papier millimétrique la courbe de Vs. 3) Déterminer graphiquement les paramètres du système.

3. SYSTEME OSCILLANT

1) Diminuer la valeur de la résistance du potentiomètre et visualiser sur l’oscilloscope les tensions Ve et Vs (sortie du système).

2) Relever sur le même papier millimétrique la courbe de Vs. 3) Déterminer graphiquement les paramètres du système.

4. CONCLUSION



Partie 2 : Analyse harmonique d’un système de second ordre

1. MODE OPERATOIRE

1) Visualiser à l’aide de l’oscilloscope une tension Ve sinusoïdale (Umax=8V, Umin=0V) de issue d’un générateur basse fréquence (G.B.F).

2) Appliquer cette tension (sortie du G.B.F) à l’entrée d’un montage RLC précédent pour un cœfficient d’amortissement inférieur à 1(z<1).

3) Visualiser sur l’oscilloscope les tensions Ve et Vs (sortie du système). 4) Remplir le tableau suivant :

F(Hz) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1K 2K 3K 4K 5K w(rd/s) Vs(v) Ve(v)

G Gdb Δt ϕ°

6K 7K 8K 9K 10K 20K 30K 40K 50K 60K 70K 80K 90K 100K 200K 300K

2. LIEU DE Bode

1) Tracer sur papier semi-logarithmique le lieu du gain et le lieu des phases. 2) Retrouver les paramètres du système.

3. LIEU DE Nyquist

1) Tracer dans le plan complexe le lieu de Nyquist du système. 2) Retrouver les paramètres du système.

4. LIEU DE BLACK

1) Tracer le lieu de transfert du système sur l’abaque de Black. 2) Retrouver les paramètres du système.

5. ETUDE THEORIQUE

Refaire l’étude du montage RLC théoriquement et tracer sur les mêmes abaques le lieu de Bode, le lieu de Nyquist et le lieu de Black.

6. CONCLUSION



Annexe 1 : Etude temporelle


La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace :

( ) .p.wp.w.z.2p

w.K)p(S 2

002

20

++=

Cas 1 : z>1, système amorti (réponse apériodique) On pose

11

1pτ

−= et 2

21p

τ−= où 1τ et 2τ sont les constantes du temps.

La réponse temporelle s’écrit :

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−−=

−−21

t

2

t

121

ee11K)t(s ττ ττττ .


Cas 2 : z=1, amortissement critique La réponse temporelle a pour expression :

( )( )tw0

0e.tw11.K)t(s −+−= .

Cas 3 : z<1, système sous-amorti (réponse est pseudo-périodique) La réponse temporelle s’écrit :

( ) .t.z1wsin.e.z1

11K)t(s 20

tzw2

0

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−

−−= − ϕ




Tatm tp

Pseudo–période.

La réponse présente des oscillations amorties dont la période, appelée pseudo–période, est :

a20

w2

z1w

2Ta ππ=

−= où 2

0a z1ww −= est la pulsation amortie.

Dépassements relatifs. Les dépassements relatifs sont donnés pour les instants tk.

Donc 20

pkz1w

kt−

=π

avec k entier.

On définit le dépassement relatif d’ordre k par :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=

2kz1

.k.zexpD π.

Temps de réponse. Le temps de réponse minimum est obtenu pour un dépassement relatif de 5% ce qui correspond à un coefficient d’amortissement de valeur z=0,7. On a alors : t5%.w0=3.

Pulsation de résonance Pour z< 0,7 la réponse présente une résonance pour la pulsation :

²z.21ww 0R −=

Temps de stabilisation Le temps de stabilisation est définit par :

Ts ≈ 3/z.w0 à ±5% pour z< 0,7. Ts ≈ 4/z.w0 à ±2% pour z< 0,7.



Identification de z

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=

21%z1

z.π100.expD ⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=

21z1

.zexpD π

⇒ 21

z1

.z)D(Ln−

−=

π

⇒ Az1

z)D(Ln2

1 =−

−=

π ⇒ 2z1²z²A

−=

2z1²z²A

−= ⇒ 2A1

²A²z+

= ⇒2A1

Az

+=

Identification de w0.

20

1z1w

t−

=π

⇒ 21

0z1.t

w−

=π

⇒

²A11.t

²A1A1.t

w

1

2

1

0

+

=

+−

=ππ

⇒ 1

0 t²A1.w +

=π




Annexe 2 : Etude harmonique

On a : p= j. , ce qui donne w )w.j(H = 0

220

0

w.w.z.j.2www.K

+−

Représentation du lieu de Bode Représentation du module en dB

dB)w.j = 20log(K. 20w )-10log[ 22

0 ] (H 2440 w.w).2z.4(ww −++

Etude des asymptotes • Pour 0w → ⇒ Klog20)w.j(H dB → : On a asymptote d’équation

dBwjH ).( =20log k

• Pour ⇒ =w 0w dB3Klog20)w.j(H dB −= .

• Pour ∞→w ⇒ w.log.40)w.j(H dB τ−→ : C’est une droite de pente –40dB/déc

ou –12db/oct.

Représentation de la phase ϕ = w.arctg))w.j(H(Arg τ−=

Etude des asymptotes • Pour ⇒ 0w → 0≈ϕ : asymptote horizontale.

• Pour ⇒ ϕ =0ww =2

1Arctg π−=−

• Pour ∞→w ϕ =⇒ π−=∞−≈ arctgwjHArg )).(( : On a asymptote horizontale de πϕ −= .

Représentation du lieu de Nyquist On trace la courbe Im( ).( ωjH )=f(Re( ).( ωjH ))

022

0

0

w.w.z.j.2www.K)w.j(H

+−=

20

2220

20

20

2220

2200

)w.w.z.2()ww(w.w.K2j

)w.w.z.2()ww()ww.(w.K)w.j(H

+−−

+−

−=

Soient x=Re(( ).( ωjH ) et y=Im(( ).( ωjH )).

D’où : 20

2220

2200

)w.w.z.2()ww()ww.(w.Kx

+−

−= (1) ;

20

2220

20

)w.w.z.2()ww(w.w.K2y

+−−= (2).



• Pour ⇒ 0w →0w

Kx = ; 0y =

• Pour ⇒ ; 0ww = 0x = .w².z.2

Ky0

−=

• Pour ⇒ : asymptote horizontale de ∞→w 0y → .0y =

Représentation du lieu de Black 20log ).( wjH =f(ϕ) C’est un diagramme contracté obtenu en éliminant w.

Etude des asymptotes • Pour 0w → ⇒ kwjH

dBlog20).( → ; ϕ =0 : C’est une asymptote.

• Pour 0ww = ⇒ dB3Klog20)w.j(H dB −= ; ϕ = 2π

−

• Pour ∞→w ⇒ −∞→dB)w.j(H et πϕ −=→ y : C’est une asymptote.


TP n°3 Simulation d’un système de premier et de second ordre



TP3 : Simulation d’un système de premier et de second ordre

TP 3

Simulation sous Matlab d’un système de premier

et de second ordre Objectif :

Simulation d’un système du premier ordre et d’un système de second ordre. Etude de la réponse de chaque système pour différents types d’entrées. Contenu : Partie 1 :

Système du premier ordre : Réponse à un échelon. Réponse à une rampe. Etude fréquentielle. Etude en boucle fermée.

Partie 2 : Système de second ordre :

Réponse à un échelon. Réponse à une rampe. Etude fréquentielle. Lieu des racines



Partie 1 :

Etude d'un système du premier ordre

0,5p+110=H(p)

I. Ecriture de la fonction de transfert num=10; den=[0.5 1]; printsys(num,den)

II. Etude de la réponse à un échelon step(num,den) Pour voir la réponse à un échelon pendant 10s t=0:0.1:10 ; le ; évite d'afficher le résultat y=step(num,den,t); plot(t,y) Commentaires sur la courbe : title('réponse à un échelon'); xlabel('temps'); ylabel('y'); Pour lire des valeurs sur la courbe : ginput(30) et cliquer avec la souris sur le point à mesurer Pour tracer un quadrillage ou une ligne : grid line([0 10],[9.5 9.5] ,'color','g')

Exercice : Donner le gain statique K=H(0) =……………………………...… Donner la constante de temps T=………………………………. Mesurer le temps de réponse à 5% =.......................................

III. Réponse à une rampe t=0:0.1:4; ramp=t; y=lsim(num,den,ramp,t); plot(t,y)

IV. Etude fréquentielle bode(num,den) Pour avoir un diagramme de Bode personnalisé puls=logspace(-2,3,1000); [ampli,phase,puls]=bode(num,den,puls); subplot(211),semilogx(puls,20*log10(ampli)), grid subplot(212),semilogx(puls,phase) grid nichols(num,den)



ngrid figure nyquist(num,den) Mesure de la marge de phase et de la marge de gain ainsi que des pulsations correspondantes margin(num,den) [Gm,Pm] = margin(num,den) Pour construire un système en boucle fermée : t=0:0.02:0.5; [numf,denf]=cloop(num,den,-1); t=0:0.02:0.5; z=step(numf,denf,t); plot(t,z)



Partie 2 :

Etude d'un système du second ordre

100+20.z.p+p10=H(p) 2

I. Ecriture de la fonction de transfert Saisir la fonction de transfert précédente dans les cas suivants :

z=0,1. z=0,7. z=1. z=2.

Utiliser la commande hold on pour faire la superposition des courbes. II. Etude de la réponse à un échelon

Déterminer la réponse à un échelon pendant 10s Ecrire les commentaires sur la courbe :

Exercice : Donner le gain statique K=……………………………………………………… Donner l’amortissement réduit z=……………………………….……………… Donner la pulsation propre non amortie wn=………………………………..… Mesurer le temps de réponse à 5% =…………………………………………. Mesurer le dépassement D%=...................................................................... Mesurer le temps de montée au premier pic tpic=......................................... III. Réponse à une rampe

Tracer la réponse du système pour une rampe IV. Etude fréquentielle

Tracer le lieu de Bode personnalisé. Tracer le lieu de Black. Tracer le lieu de Nyquist. Mesurer la marge de phase et de la marge de gain ainsi que des pulsations correspondantes margin(num,den) [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(num,den) Etudier le système en boucle fermée. V. Lieu des racines

La méthode consiste à regarder où se trouvent les pôles du système bouclé lorsque l'on fait varier le gain du correcteur proportionnel.



Pour afficher le lieu des pôles : rlocus(num,den); Pour préciser une zone sur le lieu des pôles : zeta=0.2; wo=5; sgrid(zeta,wo) Pour chercher la valeur du gain k permettant d'obtenir les pôles désirés en boucle fermée [k,poles]=rlocfind(num,den); k poles VI. Exercice

Regarder le lieu des pôles pour les fonctions de transfert suivantes

5)p+4p+(p1=)p(H

5)+4p+(p

1=)p(H 0,2)p+p)(p+(1

1=)p(H 0,2)+p)(p+(1

2)+(p=)p(H

0,2)+p)(p+(10,5)+(p=)p(H

0,2)+p)(p+(11=)p(H

p+11=)p(H

27

2654

321

Choisir la valeur à donner au gain pour que le système H7 ait un amortissement de 0,7 en boucle fermée. Simuler alors la réponse à un échelon du système bouclé.


TP n°4 Simulation de la régulation de vitesse d’un moteur



TP4 : Simulation de la régulation de vitesse d’un moteur

TP 4

Simulation sous Simulink de la régulation de vitesse

d’un moteur à courant continu Objectif :

Etudier la régulation de vitesse d’un moteur à courant continu. Etudier la régulation de vitesse d’un moteur à courant continu avec un retard. Contenu : Partie 1 :

Régulation de vitesse d’un moteur à courant continu : Partie 2 : Régulation de vitesse d’un moteur à courant continu avec un retard :

Système non corrigé. Correction P du système bouclé. Correction du système par PID classique. Correction avec CTM.



Partie 1 :

Premier exemple

Lors de cette première partie, vous allez étudier la régulation de vitesse d’un moteur à courant continu dont la fonction de transfert est :

1p05,06,0)p(H

+=

Pour cela, sur la fenêtre SIMULINK, choisissez file et cliquez sur new. Une

nouvelle fenêtre apparaît intitulé « untitled ». Pour construire votre système, il faut revenir à la fenêtre de base et double cliquez sur le bloc « linear ». A l’aide de la souris, tirez le bloc « transfer Fcn » et transportez le sur la fenêtre « untitled ». Refaites la même opération pour les blocs sum et gain. Ensuite reliez les différents blocs entre eux, de préférence à l’aide du bouton droit de la souris. En fin, vous obtenez la figure suivante :

Fermez la fenêtre « linear » et double cliquez sur le bloc « sources » situés dans

la fenêtre SIMULINK afin de prendre une entrée de type échelon (Step Input). Par la famille « sinks », prenez le bloc « Graph » pour visualiser la sortie du système. Pensez à sauvegarder régulièrement votre schéma (File / Save as). Le fichier sera enregistré sous simoteur.m. En fin, vous obtenez la figure suivante :



Il ne vous reste plus qu’à configurer les différents blocs. Ainsi, double cliquez

sur le bloc « Transfert Fcn » de votre simulation. La fenêtre suivante apparaît :

Vous indiquons au « Numerator » [0,6] et pour le « Denominator » [0,05 1] et

validez par OK. De la même manière, déterminez le gain à 1 et modifiez « sum » en indiquant + -. Ensuite, configurez l’échelon en mettant l’instant de départ à 0, la valeur initiale à 0 et la valeur finale à 1. Enfin, pour le bloc « graph », réglez les paramètres de temps de simulation à 0,5, l’amplitude minimale à 0 et l’amplitude maximale à 1. Le schéma apparaît de la manière suivante :

Après avoir réglé les paramètres de simulation, vous démarrez la simulation en appuyant sur « start ».

Relever la courbe et déterminer le gain statique ainsi que l’erreur de position pour ce système. Comparer les résultats aux valeurs théoriques.



Partie 2

Deuxième exemple De nombreux systèmes possèdent par nature un retard pur. Il est donc logique d’introduire dans leur description un retard sous la forme d’un terme e-Tp au numérateur de leur fonction de transfert.

I. Système non corrigé Vous allez étudier avec SIMULINK un système à retard pur en boucle ouverte

de la forme : L p gse

p

Tp

( ) .=+

−

1 τ avec T = 1s, τ = 2 s et gs = 0.5.

Pour faciliter les études suivantes, il est conseillé de placer la fonction de premier ordre en tête de schéma et le retard pur à la suite.

Observer sa réponse en boucle ouverte. Relever la courbe, le gain statique théorique ainsi que l’erreur de position.



II. Correction P du système bouclé

Parmi les différentes méthodologies de régulation direct, Broïda a proposé une solution s’appuyant directement sur les paramètres de l’identification de Strejc. Le tableau suivant résume les valeurs adoptées pour les différents types de régulateurs :

Type de correction P PI PID gr

gs.T4.τπ π τ.

.4T gs

08..

τT gs

Ti ∞ τ τ Td 0 0 0.4 T

Mettre en place une structure de correction proportionnel P.

Boucler le système.

Relever la courbe ainsi que le gain statique. Insérer ensuite le gain de réglage gr défini par Broïda. Observer la réponse à l’échelon correspondante et indiquer la précision statique du système. Relever ensuite la réponse à une rampe et donner l’erreur de traînage.



III. Correction du système par PID classique Mettre en place une structure de correction PI classique puis PID. Dans chaque cas, régler les coefficients suivant Broïda.

Dans chacun des cas, observer la réponse à l’échelon, déterminer l’erreur de position ainsi que la valeur du dépassement. Conclure sur les différentes corrections apportées.

IV. Correction avec CTM Dans un système présentant un retard pur, la réaction de la sortie se fait toujours avec retard par rapport à l’établissement de l’entrée. L’asservissement se faisant par comparaison entre la sortie et la consigne, il apparaît donc un écart « systématique » lors des transitoires de l’entrée. Pour ne pas envoyer de commande directe au système, on utilise un Compensateur de Temps Mort (CTM) dont le rôle est d’empêcher la réaction instantanée du comparateur lors d’un changement de consigne. Une des structures possibles est celle du prédicteur de Smith qui conduit à l’expression pour le compensateur :

CTM p gse

p

Tp

( ) .=−+

−11 τ

Avec cette technique, il est possible de faire intervenir un correcteur PI ou PID classique de façon satisfaisante. C’est comme si le retard était rejeté en dehors de la boucle de régulation. Mettre en place la structure de compensation de type CTM comme le montre la figure ci-dessous. La correction étant ramenée à celle d’un système du premier ordre, seuls les correcteurs P et PI sont à envisager.




Utiliser une correction P seule. Observer la réponse et la comparer lorsqu’il n’y a pas la correction CTM. Pour le régulateur PI, observer les réponses du système pour différentes valeurs de gr. Comparer avec la correction PID du paragraphe précédent.

Conclusions

Annexe


Annexe

Annexe

Lieu de Bode


Annexe

Lieu de Nyquist


Annexe

Lieu de Black–Nichol's


Annexe

Dépassement Dm en fonction du coefficient d'amortissement z


Annexe

Temps de réponse réduit en fonction du facteur d'amortissement


Bibliographie


Bibliographie

Bibliographie

[1] B. Bergeon, AUTOMATIQUE : Systèmes linéaires analogiques, IUT Bordeaux 1, GEII, septembre 2007.

[2] Frédéric Gouaisbaut, Automatique des systèmes linéaires, Université Paul Sabatier, Laboratoire d’Analyse et d’Architecture des Systèmes, 2007.

[3] Anne Johannet et Daniel Diep, Cours d’Automatique de première année, Ecole des mines d’Alès, 2005.

[4] Michel ETIQUE, Régulation automatique (REG), Haute Ecole d’Ingénierie et de Gestion du canton de Vaud (HEIG-Vd), Département d’électricité et d’informatique Filière Génie Electrique, octobre 2005.

[5] Eric Magarotto, Cours de Régulation, Université de Caen, Département Génie Chimique et Procédés, Version septembre 2004.

[6] Jean-Marc Allenbach, Systèmes asservis, Volume 1: Asservissements linéaires classiques, Ecole d’Ingénieurs de Genève, Laboratoire d’Automatique, N° 132, Edition 2004.

[7] Eric Ostertag, Systèmes et asservissements continus : Modélisation, analyse, synthèse des lois de commande, Ellipses / Editions marketing S.A. 2004, ISBN 2-7298-2013-2.

[8] Jean–Yves Fabert, Automatismes et automatique, Ellipses / Editions marketing S.A. 2003, ISBN 2-7298-1429-9.

[9] Yves Granjon, Automatique : Systèmes linéaires, non linéaires, à temps continu, à temps discret, représentation d'état, Dunod, Paris 2003, ISBN 2 10 007118 1.

[10] Dominique Jacob, Régulation PID en génie électrique, Ellipses / Editions marketing S.A. 2000, ISBN 2-7298-0075-1.

[11] M. Ksouri et P. Borne, Systèmes asservis linéaires continus : Cours et exercices résolus, Centre de publication universitaire, 2000.

[12] Jean–Pierre Caron, Jean–Paul Hautier et Pierre–Jean Barre, Systèmes automatiques, Tome 3, Ellipses / Editions marketing S.A. 1997, ISBN 2-7298-6780-5.

[13] Philippe de Larminat, Automatique : Commande des systèmes linéaires, Editions Hermès 1996, ISBN 2-86601-515-0.

[14] El–Kébir Boukas, Systèmes asservis, Editions de l'école polytechnique de Montréal, 1995, ISBN 2-553-0043-3.


Bibliographie

[15] Gérard Blanchet et Jacques Prado, Eléments d'automatiques, Ellipses / Editions marketing S.A. 1995, ISBN 2-7298-4559-3.

[16] Maurice Rivoire, Jean Louis Ferrier et Jean Groleau, Exercices d'automatiques : Signaux et systèmes, Edition Chihab–Eyrolles 1994.

[17] C. Sermondade et A, Toussaint, Régulation : Identifications, stabilité, réglage, Tome 2, Editions Nathan, Paris 1994, ISBN 2-09-177-743.

[18] P. Borne, G. Dauphin–Tanguy, J. P. Richard, F. Rotella et I. Zambettakis, Analyse et régulation des processus industriels, Editions Technip, Paris 1993, ISBN 2-7108-0639-8.

[19] Marek Zelazny, Fouad Giri et Taїeb Bennani, Systèmes asservis : Commande et régulation, Tome 1, Editions Eyrolles 1993, ISBN 2-212-09569-4.

[20] Jean–Charles Gille, Théorie et calcul des asservissements linéaires, Dunod, Paris 1992, ISBN 2-10-001440-4.

[21] J. J. stefano, A. R. Stubberud et I. J. Williams, Systèmes asservis 1: Cours et Problèmes, Mc Graw-Hille, Paris 1991, ISBN 2-7042-0017-3.

[22] Joseph J. Distefano, Allen R. Stubberud et Ivan J. Williams, Systèmes asservis : Cours et problèmes, Série Schaum, McGraw–Hill Inc, ISBN : 0–07–017047–9, 2ème édition, Paris 1990.

[23] Michel Gondran, Informatique et asservissement, Editions Gasteilla, Paris 1989.

[24] Patrick Siarry, Automatique de Base, Ellipses / Editions marketing S.A. 1989, ISBN 2-7298-8928-0.

[25] Pierre Faurre et Maurice Allègre, Eléments d'automatiques, Dunod, Paris 1984, ISBN 2-04-015702-6.


Ce cours d'automatique et de régulation traite les systèmes

asservis, linéaires, invariants, continus et monovariables. Il s'articule

autour de trois grands thèmes : les pré–requis mathématiques,

l’étude des systèmes et l'analyse de leurs performances et, enfin, la

synthèse de correcteurs pour améliorer ces performances. Chaque

chapitre est enrichi par une série d’exercices. De plus, des

problèmes traitant l’asservissement et la régulation des systèmes

industriels sont proposés à la fin du cours. Enfin, Cette note englobe

des travaux pratiques à câbler sur simulateurs réels et logiciels

(Matlab/Simulink).

Ce manuel est destiné en priorité aux étudiants de 1er cycle qui

abordent l'automatique (des instituts d’enseignement supérieur et

des classes préparatoires), aux enseignants qui veulent disposer

d'un support de cours et aux ingénieurs désireux de mettre à jour

leurs connaissances.

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