Ausschnitt aus „Die Schule von Athen“ Raffael 1510 „Die...

NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer

PythagorasΠυθαγόρας * um 570 v. Chr † um 500 v. Chr

Mathematiker und Naturphilosoph

„Die Zahl ist das Wesen aller Dinge“

-gründete 531v.Chr die religiös-politische Lebensgemeinschaft der Pythagoreer.Anhänger: u.a. Philolaos, Euklid undPtolemäus

Ausschnitt aus„Die Schule von Athen“Raffael 1510

Wikipedia / Pythagoras


Pythagoras„Die Zahl ist das Wesen aller Dinge“

Der Satz des Pythagoras war schon viel früher bekannt und wurde ihm von Euklid zugeschrieben.

Für die Pythagoreer, gehörten die Musik, die Harmonie und die Zahlen untrennbar zusammen.

Verstehst du die Zahlen, dann verstehst du die Welt!


Pythagoras - eine grausame Entdeckung -

a

a2 a⋅

Die Länge der Diagonalen in einem Quadrat steht in keinemrationalen Verhältnis zur Länge der Seite.

≈ 1.4142135623730952 04...


Pythagoras

- Die Existenz irrationaler Zahlen passteüberhaupt nicht in das Weltbild derPythagoreer.

Sind diese Gebilde überhaupt Zahlen?


Die Tetraktys (Vierzahl)

Die "Vierzahl" (griechisch "ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ") stellte für Pythagoras die Harmonie des Kosmos dar: Bei Halbierung einer gespannten Saite im Verhältnis 1:2 erklingt die Oktave, im Verhältnis 2:3 die Quinte und im Verhältnis 3:4 die Quarte.

Die Pythagoreer :Segne uns, geheiligte Zahl X, du, die du Götter und Menschen erschaffen hast! Oh heilige, heilige Tetraktys, du umfasst die Wurzel und den Ursprung der ewig fließenden Schöpfung!


Die Tetraktys (Vierzahl) und GeometriePunkt

Gerade

Ebene

Unser 3-dimensionaler Raum


Pythagoras Tonerzeugung am Monochord

f1

Monochord

Diese Schwingungsform der Saite heißt GrundschwingungDie Frequenz f der Schwingung hängt von der Saitenlänge L, von der Spannung der Saite und von dem Saitenmaterial ab.


Pythagoras Die Oktave

f8=2 f1

= = ⋅81

18

22 :1 d.h f.

1f

ff

Dieses Frequenzverhältnis (Intervall) heißt Oktave

Monochord

1L

21

L2

Gr.: acht Lat. : octavus der achteοκτωɺ ≙ ≙


Pythagoras Die Quinte

Monochord

1L

32

L3

= = ⋅51

15

33 : 2 d.h f.

2f

ff

Dieses Frequenzverhältnis (Intervall) heißt Quinte

= ⋅ 15f3

f2

Gr.: fünf Lat. : qu intus der fünfteπεντε ≙ ≙


Pythagoras Die Quarte

= ⋅ 14f4

f3

1L

43

L4

= = ⋅41

14

44 : 3 d.h f.

3f

ff

Dieses Frequenzverhältnis (Intervall) heißt Quarte

Gr.: vier Lat.: quartus der vierteτεσσεριςɺ ≙ ≙


Pythagoras

1L

5

4L

5

Niemals 5 oh heilige Tetraktys

= ⋅ 0f5

f4

Diese Frequenz f kam für Pythagoras nicht in Frage!


Pythagoras

2L

3

Wie bekomme ich trotzdem sinnvoll weitere Töne?

Die Quinte ist der Schlüssel mit dem die Götter die Harmonie erzeugt haben.

=2L

32 4

von L3 9

Monochord

Das ist weniger als bei der Oktave, also:

⋅ =4 82 L L

9 9


Pythagoras 8

L9

Monochord

= = ⋅ = ⋅21

21

99 : 8

ffd.h. f 1,125 f

f 8

Dieses Frequenzverhältnis (Intervall) heißt Sekunde

Gr.: zwei Lat. : secundus der zweiteδυο ≙ ≙


Pythagoras und die Saitenlängen für seine TonleiterDer Schlüssel ist für ihn die Quinte d.h. wiederholte 2/3-Verkürzung bei anschließender Verdopplung, falls x/y< ½ ist.

1

⋅ =⋅2332

289

=⋅8 239

1627

⋅⋅ =162

22

376481

=⋅6 1248 31

2 8243

12

23

34

89

1627

6481

128243


Pythagoras Der Aufbau der Tonleiter1

fL∼


Pythagoras und seine Intervalle in der Musik

6 1Oktave (Diapason)

12 2=

6 2Quint e

9 3=

6 3Quarte

8 4=

8Ganzton

9

8 2Quint e

12 3=

Diapente

9 3Quarte

12 4=

Diatessaron

Gr.: Diatessaron „alle vier“ Diapente „alle fünf“Diapason „durch alle“ d.h. hier „durch alle Noten“

Das sind seine zentralen Zahlenproportionen für die Harmonie


Ausschnitt von „Die Schule von Athen“ Raffael 1510


Pythagoras und seine Tonleiter

f1 Primf12 kl. Sekunde

f2 = 9/8 · f1 gr. Sekunde

f23 kl. Terz

f3 = 81/64 · f1 gr. Terz

f4 = 4/3 · f1 Quarte

f45 kl. Quinte

f5 = 3/2 · f1 gr. Quinte

f56 kl. Sexte

f6 = 27/16 · f1 gr. Sexte

f67 kl. Septe

f7 = 243/128 · f1 gr. Septe

f8 = 2 · f1 Oktave

Pythagoras hat für die Oktave 12 Halbtonschritte eingeführt.f1 f8f2 f3 f4 f5 f6 f7


f1 f8f2 f3 f4 f5 f6 f7

98i

98i i

256243

98i

98i

98i i

256243

⋅ =256 2187 9243 2048 8

⋅ =

7 5256 2187

2243 2048

≈2561,053

243

≈21871,068

2048

Welche Möglichkeiten habe ich?

i256243

21872048i


Pythagoras und seine Tonleiter f1 f8f2 f3 f4 f5 f6 f7

i256243

21872048i i

256243

i256243

21872048i i

256243

i256243

21872048i i

256243

21872048i i

256243

21872048i

f1 = 1 · f1 Prim

f12= 256/243·f1 kl. Sekunde

f2 = 9/8 · f1 gr. Sekunde

f23= 32/27 · f1 kl. Terz

f3 = 81/64 · f1 gr. Terz

f4 = 4/3 · f1 Quarte

f45 = 1024/ 729 · f0 kl. Quinte

f5 = 3/2 · f0 Quinte

f56 = 128/81 · f0 kl. Sexte

f6 = 27/16 · f0 gr. Sexte

f67 = 16/9 · f0 kl. Septime

f7 = 243/128 · f0 gr. Septime

f8 = 2 · f0 Oktave


Pythagoras und die Entstehung der Tonleiter

f0 2f0

256243i

21872048i

256243i

c‘ d‘ e‘ f‘ g‘ a‘ h‘ c‘‘cis‘ dis‘ fis‘ gis‘ ais‘

293,3

260,7Hz

521,4

391,1

274,6

309329,9347,6366,2

412440

463,5495

256243i

21872048i

256243i

256243i

21872048i i

256243

98i i

98

98i i

98

98i

21872048i i

256243

21872048i


Die chromatische Tonleiter mit gleichen IntervallenOktavierung : Frequenzverdopplung


f0 2f0

i12 2 i12 2 12 2 1,0595≈i i

c‘ d‘ e‘ f‘ g‘ a‘ h‘ c‘‘

cash‘

dis‘ fis‘ gis‘ ais‘

261,6Hz

523,2

392

311,1

277,2293,7

329,6349,2370

415,3440

493,9466,2

des‘ es‘ ges‘ as‘ b‘


Die chromatische Tonleiter mit gleichen IntervallenOktavierung : Frequenzverdopplung


c‘ d‘ e‘ f‘ g‘ a‘ h‘ c‘‘

cash‘

dis‘ fis‘ gis‘ ais‘

261,6Hz523,2

392

311,1

277,2293,7

329,6349,2370

415,3440

493,9466,2

des‘ es‘ ges‘ as‘ b‘


Die Sphärenmusik

Die gleichförmige Kreisbewegung mit der Umlaufzeit T entspricht einer Schwingung mit der Frequenz f=1/T

Beispiel: Die Erde beschreibt bei ihrem Umlauf um die Sonne näherungsweise eine Kreisbahn mit

T 31.558.118,4s365,256Tage≈ ≈

10,000.000.0

T s

1f 32= ≈


Pythagoras Die Harmonie in der Welt

Die 5 Planeten erzeugen für unser Ohr nicht hörbare Töne.

M V E MJ

S

http://www.solarsystemscope.com/de


Pythagoras Vorstellung von der Sphärenmusik

Durch Oktavierung können wir die Planetentöne hörbar machen!

Beispiel: Die Erde T=365,2422d

0

10,000.000.0

T s

1f 32= ≈

3232 0,000.00

1f

s1

s

2 0.0

1

32

136,≈

≈ ⋅

32 Oktaven höher:

cis≙


Pythagoras Vorstellung von der Sphärenmusik

Durch Oktavierung können wir die Planetentöne hörbar machen!

Beispiel: Saturn T= 29,4577 Jahre

0 0,000.000.001.01

fT

76 Hz= ≈

3737 0,000.000.001,076 Hz2

147,1 5

f

8 Hz

≈ ⋅≈

37 Oktaven höher:

d≙


Die SphärenmusikPlanet T [y] f [Hz]

oktaviertOktave Ton

Merkur 0,2409 141,27 30 cis

Venus 0,6152 221,23 32 a

Mars 1,8809 144,72 33 d

Jupiter 11,8622 183,52 36 fis

Saturn 29,4577 147,85 37 d

Uranus 84,015 207,36 39 gis

Neptun 164,79 211,44 40 gis

Pluto 248,43 140,25 40 cis


Die SphärenmusikMond 29,531d 210,42 29 gis

ErdeEigendrehung

1d 194,18 24 g

Pluto 248,43 140,25 40 cis

Auf YouTube findet ihr viele Beispiele vertonter Sphärenmusik

Ausschnitt aus „Die Schule von Athen“ Raffael 1510 „Die...

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