“Não existe triunfo sem perda, não há vitória sem sofrimento, não há liberdade sem sacrifício” – Filme – O Senhor dos Anéis Página 1

AULA 13 – Probabilidades

Espaço amostral e evento: Em um experimento (ou

fenômeno) aleatório, o conjunto formado por todos os

resultados possíveis é chamado espaço amostral (Ω).

Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado

de evento.

Vamos analisar a seguir alguns exemplos de

fenômenos aleatórios.

Ex.: Lançamento de um dado e registro do resultado.

Conjunto de todos os resultados possíveis: Ω={1,2,3,4,5,6}.

Um subconjunto dele é {1, 3, 5}, que pode ser

identificado por “ocorrer número ímpar no lançamento

de um dado” A = {1, 3, 5}

1. No lançamento de um dado, defina o espaço

amostral e os eventos:

Ω = { }

A: ocorrência de número par; ⇒ A = { }

B: ocorrência de um número menor que 4; ⇒ B = { }

C: ocorrência de múltiplo de 3; ⇒ C = { }

D: ocorrência de um número menor que 1; ⇒ D = { }

E: ocorrência de um número maior que zero e menor

que 7. ⇒ E = { }

2. No lançamento simultâneo de duas moedas

distinguíveis, defina o espaço amostral e os eventos:

Ω = { }

A: ocorrência de exatamente uma cara; ⇒ A = { }

B: ocorrência de coroa em ambas; ⇒ B = { }

C: ocorrência de pelo menos uma cara. ⇒ C = { }

Eventos certo, impossível e mutuamente exclusivos

No experimento aleatório “lançar um dado e registrar o

resultado”, temos: Espaço amostral ⇒ Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento A: “ocorrência de um número menor que 7”

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ Portanto, A = Ω.

Evento B: “ocorrência de número maior que 6”

não existe número maior que 6. ⇒ Portanto, B = ∅.

Dizemos que: Quando um evento coincide com o

espaço amostral, ele é chamado de evento certo, como

o evento A. Quando um evento é vazio, ele é chamado

evento impossível, como o evento B.

União de Eventos, Intersecção de eventos e

Complementar de um Evento

Consideremos, no exemplo do lançamento de um dado,

os eventos:

C: ocorrência de número par C = {2, 4, 6}

D: ocorrência de múltiplo de 3 D = {3, 6}

E: ocorrência de número par ou número múltiplo

de 3 E = C ∪ D = {2, 4, 6} ∪ {3, 6} = {2, 3, 4, 6}

⇒ (união de eventos)

F: ocorrência de número par e múltiplo de 3

F = C ∩ D = {2, 4, 6} ∩ {3, 6} = {6}

⇒ (intersecção de eventos)

H: ocorrência de número ímpar, dado por

H = CC (complementar de C em relação a Ω)

[ou seja, o que falta em C para completar Ω]

⇒ Portanto, H = (1, 3, 5).

Os eventos C e H são chamados eventos

complementares, pois observe que C ∩ H = ∅. Quando a

intersecção de dois eventos é o conjunto vazio, eles são

chamados eventos mutuamente exclusivos.

Cálculo de probabilidades

Quando num dado fenômeno (ou experimento)

aleatório, com espaço amostral finito, consideramos que

todo evento elementar tem a mesma “chance” de

ocorrer (o espaço é equiprovável), a probabilidade de

ocorrer um evento A, indicada por P(A), é um número

que mede essa chance e é dado por:

)(

)()(

n

An

deelementosdenúmero

AdeelementosdenúmeroAP

ou possíveisresultadosdetotalnúmero

favoráveisresultadosdenúmeroAP )(

3. (FEI-SP-G:D) No lançamento de três moedas normais, a

probabilidade de se obter 2 caras e 1 coroa é:

a) 4

1. b)

4

3. c)

2

1. d)

8

3. e)

8

1.

4. (CESGRANRIO-G:B) Dois dados perfeitos são lançados

ao acaso. A probabilidade de que a soma dos

resultados obtidos seja 6 é:

a) 36

1. b)

36

5. c)

30

5. d)

30

1 e)

36

6.

5. (FUVEST-SP-G:C) Escolhido ao acaso um elemento do

conjunto dos divisores positivos de 60, a probabilidade

de que ele seja primo é:

a) 2

1. b)

3

1. c)

4

1. d)

5

1. e)

6

1.

6. (UPE-G:A) Numa sala há 10 homens e 20 mulheres,

metade dos homens e metade das mulheres tem olhos

azuis. Uma pessoa entre eles é escolhida

aleatoriamente. Podemos afirmar que a probabilidade

de essa pessoa escolhida ser homem ou ter olhos azuis

é:

a) 3

2. b)

3

1. c)

5

2. d)

5

1. e) 2,0 .

“Não existe triunfo sem perda, não há vitória sem sofrimento, não há liberdade sem sacrifício” – Filme – O Senhor dos Anéis Página 2

7. (UFPE-G:E) Um saco contém 12 bolas verdes e oito

bolas amarelas. Quantas bolas azuis devem ser

colocadas no saco, de modo que a probabilidade de

retirarmos do mesmo, aleatoriamente, uma bola azul,

seja 2/3?

a) 5 b) 10 c) 20 d) 30 e) 40

8. (UPE-SSA|G:C) Em um jogo, dois apostadores

decidiram jogar uma moeda honesta 3 vezes seguidas.

Se houver maior número de “caras” nesses 3

lançamentos, vencerá o primeiro jogador e, caso

contrário, vencerá o segundo jogador. Sabendo que, em

um dos lançamentos, houve “cara”, as chances do

segundo jogador ter vencido são de:

a) 2

1. b)

4

1. c)

7

3. d)

7

4. e)

3

1.

9. (G:C) A prefeitura de Rio Claro, município de São

Paulo, com o intuito de analisar a realidade da renda

dos jovens de 16 a 24 anos, resolve lançar uma pesquisa,

onde um dos itens girava em torno da faixa salarial. O

gráfico abaixo nos apresenta os resultados obtidos nessa

pesquisa.

Escolhendo um jovem, ao acaso, dentre os que têm

renda, qual a probabilidade de ser um jovem cuja faixa

salarial gire em torno de 2 salários mínimos?

a) 0,23 b) 0,30 c) 0,39 d) 0,42 e) 0,58

10. (ENEM-G:A) Uma loja acompanhou o número de

compradores de dois produtos, A e B, durante os meses

de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve

este gráfico:

A loja sorteará um brinde entre os compradores do

produto A e outro brinde entre os compradores do

produto B. Qual a probabilidade de que os dois

sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de

2012?

a) 20

1. b)

242

3. c)

22

5. d)

25

6. e)

15

7.

10. (ENEM-G:A) Numa escola com 1200 alunos foi

realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses

em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol.

Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam

inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um

desses idiomas.

Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e

sabendo-se que ele não fala inglês qual a probabilidade

de que esse aluno fale espanhol?

a) 2

1. b)

8

5. c)

4

1. d)

6

5. e)

14

5.

(ENEM) O diretor de um colégio leu numa revista que os

pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos,

a média do tamanho dos calçados das mulheres era de

35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma

informação científica, ele ficou curioso e fez uma

pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o

quadro a seguir:

Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que

ela tem calçado maior que 36,0 a probabilidade de ela

calçar 38,0 é:

a) 3

1. d)

7

5.

b) 5

1. e)

14

5.

c) 5

2.

“Não existe triunfo sem perda, não há vitória sem sofrimento, não há liberdade sem sacrifício” – Filme – O Senhor dos Anéis Página 3

(ENEM) A figura I abaixo mostra um esquema das

principais vias que interligam a cidade A com a cidade

B. Cada número indicado na figura II representa a

probabilidade de pegar um engarrafamento quando se

passa na via indicada.

Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar

engarrafamento no deslocamento do ponto C ao ponto

B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa

por E3. Essas probabilidades são independentes umas

das outras.

Paula deseja se deslocar da cidade A para a

cidade B usando exatamente duas das vias indicadas,

percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de

engarrafamento possível.

O melhor trajeto para Paula é

a) E1E3.

b) E1E4.

c) E2E4.

d) E2E5.

e) E2E6.

(ENEM) Em um concurso de televisão apresentam-se ao

participante, três fichas voltadas para baixo, estando

representada em cada uma delas as letras T, V e E. As

fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer.

O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto,

mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter

a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na

posição correta ganhará um prêmio de R$ 200,00. A

probabilidade de o participante não ganhar qualquer

prêmio é igual a:

a) 0 .

b) 3

1.

c) 4

1.

d) 2

1.

e) 6

1.

(ENEM) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu

se mudar, por recomendações médicas, para uma das

regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou

Residencial Suburbano. A principal recomendação

médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da

região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais

temperaturas são apresentadas no gráfico:

Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões

para morar, a probabilidade de ele escolher uma região

que seja adequada às recomendações médicas é:

a) 5

1.

b) 4

1.

c) 5

2.

d) 5

3.

e) 4

3.

Uma unidade de saúde, que funciona em três turnos,

apresenta em sua equipe a seguinte distribuição dos

médicos por turno:

Para os plantões no final de semana, são formadas,

aleatoriamente, equipes com dois desses médicos. A

probabilidade de que a equipe do plantão de final de

semana seja formada por dois médicos do turno da

manhã será de aproximadamente

a) 3,0%

b) 4,3%

c) 6,0%

d) 23%

e) 46%

“Não existe triunfo sem perda, não há vitória sem sofrimento, não há liberdade sem sacrifício” – Filme – O Senhor dos Anéis Página 4

(ENEM) O gráfico mostra a velocidade de conexão à

internet utilizada em domicílios no Brasil. Esses dados são

resultado da mais recente pesquisa, de 2009, realizada

pelo Comitê Gestor da Internet (CGI).

Escolhendo-se, aleatoriamente, um domicílio

pesquisado, qual a chance de haver banda larga de

conexão de pelo menos 1 Mbps neste domicílio?

a) 0,45

b) 0,42

c) 0,30

d) 0,22

e) 0,15

(ENEM) Todo o país passa pela primeira fase de

campanha de vacinação contra a gripe suma (HIN1).

Segundo um médico infectologista do Instituto Emilio

Ribas, de São Paulo, a imunização “deve mudar”, no

país, a história da epidemia. Com a vacina, de acordo

com ele, o Brasil tem a chance de barrar uma tendência

do crescimento da doença, que já matou 17 mil no

mundo. A tabela apresenta dados específicos de um

único posto de vacinação.

Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida

nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser

portadora de doença crônica é:

a) 8%

b) 9%

c) 11%

d) 12%

e) 22%

(ENEM) Os estilos musicais preferidos pelos jovens

brasileiros são o samba, o rock e a MPB. O quadro a

seguir registra o resultado de uma pesquisa relativa à

preferência musical de um grupo de 1000 alunos de uma

escola.

Alguns alunos disseram não ter preferência por nenhum

desses três estilos. Se for selecionado ao acaso um

estudante no grupo pesquisado, qual é a probabilidade

de ele preferir somente MPB?

a) 2%

b) 5%

c) 6%

d) 11%

e) 20%

Incluídas todas as mulheres vacinadas, considerando ao

acaso uma delas, a probabilidade de ela estar

infectada é de

a) 0,94

b) 0,70

c) 0,36

d) 0,06

e) 0,02

(UFPE-CTG) Em um grupo de cinco torcedores, três

torcem pelo time A, e dois torcem pelo time B.

Escolhendo aleatoriamente três torcedores do grupo,

qual a probabilidade percentual de serem selecionados

os dois torcedores do time B?

“Não existe triunfo sem perda, não há vitória sem sofrimento, não há liberdade sem sacrifício” – Filme – O Senhor dos Anéis Página 5

A senha do cartão de crédito de Paulo é composta

por quatro algarismos. Quando foi utilizá-lo em

uma compra não conseguia lembrar dela, mas

sabia que nela havia os números 1, 4, 8 e 9, não

necessariamente nessa ordem. Ele então escreveu

todas as possibilidades de senha em um papel

para escolher aleatoriamente (e não repetir a já

escolhida anteriormente) qual seria a correta e

sabia que poderia errar apenas duas vezes, pois,

na terceira tentativa errada, o seu cartão ficaria

bloqueado. Dessa maneira, a probabilidade de o

cartão de crédito de Paulo não ser bloqueado na

efetivação dessa compra é:

a) 4

1. b)

6

1. c)

8

1.

d) 9

1. e)

12

1.

“Não existe triunfo sem perda, não há vitória sem sofrimento, não há liberdade sem sacrifício” – Filme – O Senhor dos Anéis Página 6

a) 350

24. b)

47

24. c)

350

47.

d) 350

23. e)

47

23.

Uma pessoa lança três dados não viciados. Veja

alguns dos resultados obtidos.

(1, 3, 4) (2, 4, 1)

(6, 6, 6) (6, 4, 2)

A probabilidade de os três números obtidos

formarem uma progressão aritmética de razão 1 é

igual a:

a) 6

1. b)

9

1. c)

27

1.

d) 54

1. e)

36

7.

Um casal estima que suas chances de sair de casa

em determinado sábado são 20% se chover no dia

e 60% se não chover. O Instituto Nacional de

Meteorologia (INMET) prevê que a probabilidade

de chover no sábado em questão é de 70%.

Considerando essas condições, a

probabilidade de esse casal sair de casa nesse

sábado é:

a) 30% d) 26%

b) 20% e) 24%

c) 32%

Os alunos de uma classe de um colégio foram

interrogados sobre qual sua área de conhecimento

preferido. A classe possui 48 alunos. 17 alunos

responderam que preferem a área de biológicas e

12 responderam que preferem a área de humanas.

Sorteado, ao acaso, um dos alunos da classe, a

probabilidade de ele ter preferido a área de exatas

ou a de biológicas é de:

a) 70% d) 77%

b) 72% e) 80%

c) 75%

GABARITO

1 - D 2 - D 3 - B 4 - E 5 - D

6 - D 7 - C 8 - D 9 - D 10 - 30

11 - D 12 - E 13 - E 14 - C 15 - E

16 - D 17 - B 18 - C 19 - C 20 - E