Aufgaben zur Vorlesung ”Finanzmanagement”

B. ErkeFH Gelsenkirchen, Abteilung Bocholt

February 16, 2006

Aufgabenblatt: CAPM1

Musterlösung

1 EigenkapitalkostenDie Aktien der nonprofit.com AG werden an einem speziellen Marktsegment fürWachstumswerte gehandelt. Das Unternehmen erzielt aktuell einen Gewinn vonEURO26,00 pro Aktie. Die Aktie weist ein Beta von 2 auf. Die erwartete Ren-dite auf das Marktportfolio beträgt 10%, risikofreie Anlagen erbringen derzeit4% Rendite.

1. Wie hoch wären die Eigenkapitalkosten der nonprofit.com AG bei richtigerBewertung der Aktie?

e = 4 + 2 · (10− 4) = 16

2. Sie sind der Meinung, daß der Aktienkurs dem richtig diskontierten Barw-ert der zukünftigen Dividenden entsprechen soll. Wie hoch wäre demnachder faire Marktpreis für die noprofit.com-Aktie, wenn die Gewinne des Un-ternehmens in der Zukunft konstant bleiben und stets voll ausgeschüttetwerden?

Aktienkurs =26

.16= 162.5

3. Der aktuelle Börsenkurs der noprofit.com AG sei EURO600,00 und Markt-beobachter verweisen zur Rechtfertigung auf zukünftig steigende Gewinneje Aktie. Nehmen Sie an, die noprofit.com AG steigere ihren zukünftigenGewinn um einen von Jahr zu Jahr konstanten Prozentsatz und schüttedie Gewinne stets vollständig aus. Wie hoch muß dieser Prozentsatz sein,damit der Aktienkurs gerechtfertigt ist?

600 =26 · (1 + g)

.16− g, Lösung ist: 0.111 82

1Quelle: Prof. Schmidt, Universität Frankfurt, mit fre-undlicher Genehmigung

1

2 CAPM und WertpapiermarktlinieDas systematische Risiko und die Standardabweichung der Renditen zweierWertpapiere A und B sei gegeben durch βA = 1, 2 und βB = 0, 8 und σB = 0, 1.σA = 0, 16 Ihnen ist ferner bekannt, daß µm = 18%, σm = 0, 1 und if = .08%.

1. Ermitteln Sie die Gleichung der Wertpapiermarktlinie.

ei = .08 + βi · (.18− .08)

2. Wie hoch sind die nach dem CAPM erwarteten Renditen der beiden Wert-papiere A und B?

eA = .08 + βA · (.18− .08) = .08 + 1.2 · (.18− .08) = 0.2

eB = .08 + βB · (.18− .08) = .08 + .8 · (.18− .08) = 0.16

3. Geben Sie die Korrelationskoeffizienten und die Kovarianzen zwischen denRenditen der beiden Wertpapiere und der Rendite des Marktportfolios an.

Cov¡eA,M

¢(σm)

2 =Cov

¡eA,M

¢(.1)

2 = 1.2, Lösung ist: 0.012

Cov¡eB,M

¢(σm)

2 =Cov

¡eB,M

¢(.1)2

= 0.8, Lösung ist: 0.008

Cov¡eA,M

¢=σA · σM · ρA,M

(σm)2 = .

0.16 · .1.001

· ρA,M = 1.2, Lösung ist: 0.075

Cov¡eB,M

¢=σB · σM · ρB,M

(σm)2 = .

0.1 · .1.001

· ρB,M = .8, Lösung ist: 0.08

4. Sie möchten eine erwartete Rendite von 25% erzielen. Wie sollte ihr Port-folio aussehen? Welche Standardabweichung weist die Portfoliorenditeauf?

.25 = x · .08 + (1− x) · .18, Lösung ist: x = −0.7 Kreditaufnahme!!

3 Durchschnittliche KapitalkostenEin Unternehmen hat Aktien mit einem Marktwert von 20 Millionen EURO und(riskantes) Fremdkapital mit einem Marktwert von 10 Mio. EURO ausstehen.Der Fremdkapitalkostensatz für das Unternehmen beträgt 14%, während derZinssatz für risikoloses Fremdkapital 8% beträgt. Die erwartete Risikoprämiedes Marktes ist (µm − if ) = 10% und das Eigenkapital des Unternehmens weiseein Beta von 0,9 auf.

2

1. Welche Kapitalstruktur hat das Unternehmen?EK

FK+EK = 2030 =

23

2. Wie hoch sind die durchschnittlichen Kapitalkosten?

βA =EK

FK+EK · βEK = 23 · .9 = 0.6

WACC = .08 + .6 · (.1) = 0.14

4 CAPM und InvestitionsrechnungEin neu gegründetes Unternehmen hat die Möglichkeit, folgende Investition-sprojekte durchzuführen:

Projekt a b c d eE (r̃i) = µi 6 9 12 10 5

Cov³r̃i, r̃m

´0 32 128

βi 0,83 0,9Der Erwartungswert der Rendite des Marktportfolios beträgt 10%, die Stan-

dardabweichung dieser Rendite beträgt 8% und der risikolose Zinssatz 7%.

1. Welche(s) Projekt(e) sollte(n) durchgeführt werden?

Projekt a b c d eE (r̃i) 6 9 12 10 5

Cov³r̃i, r̃m

´0 32 128

.83 =x

(8)2

x = 53.12

.9 =x

(8)2

x = 57.6βi 0 32

82 =12

12882 = 2 0,83 0,9

µa = .07 + 0 · (.1− .07) = 0.07 = 7 > 6, also nicht durchführen!

µb = .07 + 12 · (.1− .07) = 0.085 = 8.5 < 9, also durchführen!

µc = .07 + 2 · (.1− .07) = 0.13 = 13 > 12, also nicht durchführen

µd = .07 + .83 · (.1− .07) = 0.094 9 = 9.5 <10, also durchführen

µe = .07 + .9 · (.1− .07) = 0.097 = 9.7 > 5, also nicht durchführen

2. Nehmen Sie an, alle lohnenden Projekte werden durchgeführt. Der Mark-twert aller durchgeführten Projekte sei gleich (d.h. die Projekte unter-scheiden sich zwar hinsichtlich ihres Risikos, nicht aber hinsichtlich ihresMarktwertes). Ermitteln Sie das Unternehmens-Beta, das Eigenkapital-Beta, die Eigenkapitalkosten sowie die durchschnittlichen Kapitalkostendes Unternehmens für die Fälle

(a) 100% EigenfinanzierungβA =

¡12

¢· 12 +

¡12

¢· .83 = 0.665

βEK = βA

3

(b) 50% Eigen- und 50% Fremdfinanzierung.βA =

¡12

¢· 12 +

¡12

¢· .83 = 0.665

βEK = βA · 1EK

FK+EK

= .665 · 112

= 1.33

5 Kapitalkosten im MischkonzernDie Konglo AG ist ein Mischkonzern, der mit seinen drei Tochterunternehmenin der Rechtsform der GmbH folgende Geschäftsfelder bearbeitet

Divisionen Anteil am Gesamtwert der Konglo AGNahrungsmittel 50%Elektronik 30%Chemie 20%

Zur Schätzung der Kapitalkosten der Divisionen hat Konglo drei börsen-notierte Konkurrenten ausgewählt, deren Geschäftsrisiko mit dem der Konglo-Töchter vergeleichbar ist.

Unternehmengeschätztes

Eigenkapitalbeta

”Verschuldungsgrad”Fremdkapital/

(Fremdkap.+Eigenkap.)Vereinigte Lebensmittelwerke 0,8 0,3

Allg. Elektronik 1,6 0,2Tiefst Chemie 1,2 0,4

1. Schätzen Sie das Vermögens-Beta für alle drei Konglo-Divisionen (NehmenSie hierbei an, daß für das Fremdkapital gilt: βFK = 0)

βNahrungsmittelA = EK

FK+EK · βEK = (1− .3) · .8 = 0.56

βElektronikA = EKFK+EK · βEK = (1− .2) · 1.6 = 1.28

βChemieA = EK

FK+EK · βEK = (1− .4) · 1.2 = 0.72

2. Konglo’s Verschuldungsgrad beträgt 0,4. Wie hoch schätzen Sie Konglo’sEigenkapital-Beta?

βKongloEK = βA · 1

EKFK+EK

= (.5 · .56 + .3 · 1.28 + .2 · .72) · 1(1−.4) = 1.346 7

3. Schätzen Sie die Kapitalkosten für jede Konglo-Division (E [r̃m] = µm =15%; if = 7%).

µNahrungsmittel = .07 + .56 · (.15− .07) = 0.114 8

µElektronik = .07 + 1.28 · (.15− .07) = 0.172 4

µChemie = .07 + .72 · (.15− .07) = 0.127 6

4

6 CAPM: VerständnisfragenGeben Sie bei den folgenden Aussagen jeweils an, ob sie wahr (W) oder falsch (F)sind. Gehen Sie davon aus, daß die dem CAPM zugrundeliegenden Annahmenerfüllt sind.

1. Der Manager einer börsennotierten Aktiengesellschaft muß die Risikoein-stellung der Aktionäre bei seinen Investitionsentscheidungen nicht berück-sichtigen.

2. Damit die Aktionäre in den Genuß von Diversifikationseffekten kommen,ist es wichtig, daß ein börsennotiertes Unternehmen in verschiedenen Branchentätig ist.

3. Neben dem durch Beta gemessenen systematischen Risiko brauchen beiInvestitionsentscheidungen keine weiteren Risiken berücksichtigt werden.

4. Die realisierte Rendite einer jeden Aktie muß stets der gemäß dem CAPMerwarteten Rendite entsprechen. (Hinweis: Die realisierte Rendite, die sichtatsächlich eingestellt hat. Man beobachtet sie am Ende der Periode).

5. Die realisierte Rendite einer jeden Aktie muß stets if + βi (µm − if ) sein.

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