Atom u magnetnom polju

• Magnetno polje u slobodnom prostoru –prouzrokovano kretanjem naelektrisanja ili tokom el struje.

• Osnovni problem u vezi magnetnih osobina materije je pitanje porekla elementarnog magnetizma.

• Opisade se pojava orbitalnog magnetizma

• Spinskog magnetizma

• njihova interakcija sa spoljašnjim magn poljem

•

• magne momenat strujne konture, μp proporcionalan je površini A koju opisuje kružnica i jačini struje koja kroz nju prolazi

• A=r2π

• μp =I ·A ·n=I· r2 ·π ·n

Jedinični vektor normalan na ravan konture i određuje pravac delovanja μp

• Magnetni moment orbite e- koji kruži po Borovoj orbiti izražava se istom formulom kao magn moment konture

• μp =I A

• I – struja koju stvara e- kružedi po orbiti

• A – vektor normalan na ravan orbite

• Ako se šakom desne ruke obuhvati provodnik, palac pokazuje smer spoljašnjeg polja, a prsti tok el struje

• Orbitalni (obrtni) magn moment:

• 𝜇𝑝 = −𝑒

2𝑚𝑝𝜑

• Ugaoni magn moment

• Jačina el struje, kao količina naelektrisanja koja prođe kroz presek provodnika u jed vremena za elektronsku orbitu u kojoj e- opiše jedan krug u vremenu t data je izrazom:

• I=dq/dt= - e/T T-perioda

• Ako T izrazimo preko kružne frekvencije 𝜔

• 𝑇 =2𝜋

𝜔 𝐼 = −

𝑒𝜔

2𝜋

• Ako kružnu frekvenciju 𝜔 izrazimo preko orbitnog ugaonog magnetnog momenta 𝒑𝝋

• 𝑇 =2𝜋

𝜔 𝐼 = −

𝑒𝜔

2𝜋

• Dobija se:

• 𝜔 =𝑝𝜑

𝑚𝑟2 a I 𝐼 = −

𝑒𝑝𝜑

2𝑟2𝜋𝑚

• Pošto je A=r2π

• Struja de biti: 𝐼 = −𝑒𝑝𝜑

2𝑚𝐴

Slika predavanja str 2

Orbitalni magn moment , 𝜇𝑝 , potiče od

kružnog kretanja naelektrisanja

• Orbitni ugaoni moment , 𝑝𝜑 , potiče od

kružnog kretanja mase.

• Zbog negativnog znaka naelektrisanja, vektori 𝜇𝑝 𝑖 𝑝𝜑 , su antiparalelni

• Veza između 𝜇𝑝 i 𝑝𝜑 nalazi se zamenom izraza:

• : 𝐼 = −𝑒𝑝𝜑

2𝑚𝐴 ,

• 𝜇𝑝 = −𝑒

2𝑚𝐴𝑝𝜑A 𝜇𝑝 = -

𝑒

2𝑚𝑝𝜑n

• Jer je 𝑝𝜑n=𝑝𝜑 𝜇𝑝 = - 𝑒

2𝑚𝑝𝜑

• Vidi se da je 𝜇𝑝 proporcionalno 𝑝𝜑 i antiparalelan

• Iz poslednje j-ne dobija se odnos magnetnog i mehaničkog obrtnog momenta

μp =I A

• γ𝑝 =μ𝑝

𝑝𝜑= -

𝑒

2𝑚

• Veličina γp je orbitalni magnetnomehanički odnos ili

orbitni žiromagnetni odnos

• Ima vrednost polovina specificnog naelektrisanja e-: -

• γ𝑝= - 𝑒

2𝑚=- 8,79402×1010 C/kg

• Obrtni magnetni i mehanički moment odnose se kao

naelektrisanje i masa e-

• Zamenom j-ne 𝛾𝑝 =μ𝑝

𝑝𝜑= -

𝑒

2𝑚 u

• 𝜇𝑝 = −𝑒

2𝑚𝑝𝜑 , dobija se

• 𝜇𝑝 = γ𝑝 𝑝𝜑

• Pošto je obrtni ugaoni mom kvantovan i obrtni magn mom je kvantovan

• Najmanja jedinica ugaon magn mom je ħ

(h/2π) i zamenom u j-ni

• 𝜇𝑝 = γ𝑝 𝑝𝜑 , nalazimo najmanju jedinicu

(kvant) orbitnog magn momenta:

• 𝜇𝑝 = −γ𝑝ħ Borov magneton μB

• 𝜇𝑝 = −γ𝑝ħ Borov magneton μB

• Iz ove j-ne dobija se direktno izraz za Borov

magneton

• μB= −γ𝑝ħ , može da se napiše μB=eħ/2m,

• Zamenom vrednosti univerzalnih konstanti u

izrazu dobija se

μB=9,27400899×10-24 JT-1 borov magneton je najmanja

jedinica –kvant elektronskog paramagnetizma

Spinski magnetni moment

• Spinski ugaoni moment s • Spinski magnetni moment μs su posledica

rotacije mase i naelektrisanja e- oko sopstvene ose.

• Slika predavanja str. 3

• Spinski magnetni i ugaoni moment elektrona odnose se međusobno kao naelektrisanje i masa e-,tako da je njihova veza i postojanje osnovna osobina e-.

• Spinski ugaoni moment s i spinski magn moment 𝝁𝒔 smatraju se posledicom rotacije mase i naelektrisanja e- oko sopstvene ose.

• Spinski magn moment

• 𝜇𝑠 = 𝛾𝑠𝑠 • Pošto se radi o istoj masi i naelektrisanju kao kod

orbitnog kretanja očekuje se da je Sopstveni Spinski žiromagnetni odnos elektrona γs=γp Orbitnom žiromagn odnosu e-.

• Ali je empirijski nađeno da: γs Sopstveni Spinski žiromagnetni odnos elektrona iznosi 2,0023· γp

• Dirak je na osnovu relativističke kvantne teorije

dobio: γs = 2· γp

• Odstupanje žiromagnetnog odnosa od orbitnog žiromagnetnog odnos e- izražava se LANDEOVIM FAKTOROM g

• Za e- 𝒈𝒔 =𝜸𝒔

𝜸𝒑

• g faktror predstavlja žiromagnetni odnos izražen u 𝜸𝒑jedinicama

• Za e-, upotrebom izraza:

• γs = 2· γp i 𝒈𝒔 =𝜸𝒔

𝜸𝒑 dobija se:

• gs = 2.0023≈2 • Uvođenjem g faktora izrazi izvedeni za orbitne momente ,

ugaoni i magnetni, mogu se uopštiti i primeniti za svaki sistem:na slobodni e- i jezgro atoma.

• Svakom paru momenata ugaonom i magnetnom pridružuju se odgovarajudi g faktori (spinski i nuklearni).

• Zamenom odnosa gs u 𝜇𝑠 = 𝛾𝑠𝑠 𝜇𝑠 = 𝛾𝑝𝑠gs

• ili

• Orbitalni magn moment Ugaoni magn moment

• Kako je 𝛾𝑝 =𝜇𝑝

𝑝𝜑= −

𝑒

2𝑚

• Dobija se 𝜇𝑠 = −𝑔𝑠μ𝐵𝑠

ℎ

• Odnosno 𝜇𝑠 = −𝑒ℎ

2𝑚

• Na osnovu izraza γs = 2· γp i 𝛾𝑝 =𝜇𝑝

𝑝𝜑= −

𝑒

2𝑚

• Spinski žiromagn odnos elektrona ≈ specifičnom naelektrisanju:

• 𝛾𝑠 = −𝑒

𝑚 𝛾𝑠=- 1,7588 x 1011 Ckg-1

• Spinski magnetni i ugaoni moment elektrona odnose se međusobno kao naelektrisanje i masa e-,tako da je njihova veza i postojanje osnovna osobina e-.

Obrtni ugaoni moment u magnetnom polju

• Ugaoni moment određen je kvantnim br l

• On je ekvivalentan orbitalnom ug momentu p

• p je definisan Bor-Zomerfildovom teorijom u magn polju.

Kako je ug moment def kv br l to može imati 2l+1 projekcija u pravcu proizvoljno izabrane ose

• U magn polju indukcije H0 (deluje duž izabranog pravca) ugaoni moment precesuje odgovarajudom Larmorovom frekvencijom, predstavlja se izrazima:

• 𝜔𝐿,𝑙 = −𝛾𝑝𝐻0

• 𝜔𝐿,𝑙 =𝜇𝐵

ℎ 𝐻0

• 𝜔𝐿,𝑙 =𝑒

2𝑚𝐻0

• Energija ugaonog momenta u polju indukcije H0 određena je E magnet interakcije magnetnog momenta 𝜇𝑙 i spoljašnjeg magn polja H:

• 𝐸𝑚,𝑙 = −𝜇 𝑙𝐻 ml=0,±1, ±2... magn kvantni broj

• 𝐸𝑚,𝑙 = 𝑚𝑙𝜇 𝐵𝐻

• stanja sa različitim vrednostima magn kv br imaju različ E – znači da magn polje uklanja degeneraciju

Borov magneton 𝜇𝐵 =𝑒ℎ

2𝑚

• Objašnjene slike str 4 Macura 199 str

Spinski ugaoni moment u magnetnom polju

• Slika-spinski magn momenat u magn polju indukcije H0 predavanja 5str

• Objašnjenje slike

• Van polja vektor spinskog ugaonog momenta se nalazi „razmazan“ na površine jedne od ove dve kupe.

• E oba stanja su jednake , postoji dvostruka degeneracija

• S=1/2 multipletnost 2s+1=2

• U magn polju dolazi do precesije spinskih momenta Larmorovom frekvencijom 𝜔𝐿,𝑠

• 𝜔𝐿,𝑠 = −𝛾𝑠𝐻0

• 𝜔𝐿,𝑠 = −𝑔𝑠𝛾𝑙𝐻0

• 𝜔𝐿,𝑠 = +𝑔𝑠𝜇𝐵

ℎ 𝐻0

• 𝜔𝐿,𝑠 = +𝑔𝑠𝑒

2𝑚𝐻0

• Zbog međudejstva spinskog magn momenta 𝜇𝑠 i spoljašnjeg magn polja indukcije H0 originalno E stanje cepa se na dva nivoa

• E su:

• 𝐸𝑚,𝑠 = ±1

2 𝑔𝑠𝜇𝐵𝐻0

• Landeov g faktor

• Slika objašnjenje predavanja str 5

Ukupni totalni ugaoni moment u magnetnom polju

• Veličina orbitalnog i spinskog ugaonog momenta zavisi samo od veličine magn indukcije (H0) ne od tipa i njenih osobina.

• Totalni ugaoni moment 𝑗 zavisi od jačine polja i tipa.

• Razmatraju se dva načina:

• 1. kada je spoljašnje polje slabo u odnosu na lokalno atomsko polje

• 2. jako spoljašnje polje u odnosu na lokalno

Slabo magnetno polje

• U slabom magnetnom polju E međudejstva

Em,j ukupnog magnet momenta 𝜇𝑗 𝑗 sa

spoljašnjim poljem H0 je zanemarljivo mala u odnosu na E spin-orbitalnog međudejstva El,s.

• Tako da se osobine ukupnog ugaonog momenta J mogu dobiti iz osobina orbitalnog ugaonog momenta.

Slabo magnetno polje

• Totalni ugaoni moment u magn polju indukcije H0 precesuje sopstvenom Larmorovom frekvencijom 𝜔𝐿,𝑗

• 𝜔𝐿,𝑗 = −𝑔𝑗𝛾𝑙𝐻0

• 𝜔𝐿,𝑗 = +𝑔𝑗𝜇𝐵

ℎ 𝐻0

• Pri čemu precesiona frekvencija ne zavisi od vrednosti mj-magn kvantni br

• Magnetno polje uklanja degeneraciju energetskih stanja pri čemu je E:

• 𝐸𝑚,𝑙 = +𝑔𝑗𝑚𝑗𝜇 𝐵𝐻0

• U slabom magn polju prvobitno degenerisani E nivo cepa se na 2j+1 ekvidistantnih E podnivoa

• Slika str 7 predavanja

Jako magnetno polje

• Polje se smatra jakim ako je energija njegovog međudejstva sa orbitalnim magn momentom 𝜇𝑙 i spinskim magn momentom 𝜇𝑠 mnogo veda od E spin-orbitalnog međudejstva.

• Frekvencija kojom 𝑙 i 𝑠 precesuju oko spoljašnjeg polja indukcije H0 mnogo je veda od precesione frekvencije oko vektora ukupnog ugaonog momenta 𝑗 .

• Vektori 𝑙 i 𝑠 precesuju oko spoljašnjeg magn polja.

• Precesione frekvencije 𝑙 i 𝑠 su različite tako da se ugao koji oni među sobom zaklapaju neprekidno menja. Promena ugla označava

promenljiv položaj vektora 𝑙 i 𝑠 a to ima za

posledicu promenljivost vektora 𝑗.

• Vektor ukupnog ug momenta 𝑗 nije više konstantan, ni kvantni br j i mj nisu više dobri kv brojevi.

• Znači da jako magnetno polje izaziva rasprezanje prvobitno spregnutih vektora 𝑙 i 𝑠 .

• Iz pomenutog razloga ovi vektori se ponašaju kao slobodni vektori u magnetnom polju.

• Slika 6.1.7.prikazuje osobine ukupnog ugaonog momenta u jakom magn polju

Jako magnetno polje

• E magn interakcije jednaka je zbiru orbitalne i spinske magn E:

• 𝐸𝑚,𝑙,𝑠 = 𝐸𝑚,𝑙 + 𝐸𝑚,𝑠

• 𝐸𝑚,𝑙,𝑠 = (𝑚𝑙 + 𝑔𝑠𝑚𝑠)𝜇𝐵𝐻0

• s obzirom da je ukupan broj orbitalnih stanja 2l+1 - ukupan broj stanja u sistemu u kome je došlo do rasprezanja vektora 𝑙 i 𝑠 iznosi

• 𝑊𝑙,𝑠 = (2𝑙 + 1)(2𝑠 + 1)

• Za jednoe- sistem s=1/2 onda je:

• 𝑊𝑙,𝑠 = 2(2𝑙 + 1)

• Posmatrajudi jednačinu za l=1 i s=1/2 daje 6 stanja, a za l=2 i s= ½ 10 stanja.

• 𝑊𝑙,𝑠 = (2𝑙 + 1)(2𝑠 + 1)

Dakle od 2l+1 prvobitnih sporednih stanja pod uticajem jakog magn polja u istom jednoelektronskom sistemu dobija se 2(2l+1) raspregnutih stanja.

• Međutim, zbog činjenice da je gs=2 neka stanja imaju iste E.

• Naime, pošto je ms=±1/2 • a gs=2 • to je gsms=±1 • Nakon zamene u izrazu 𝐸𝑚,𝑙,𝑠 = (𝑚𝑙 + 𝑔𝑠𝑚𝑠)𝜇𝐵𝐻0 • dobija se za E u jakom magn polju izraz:

• 𝐸𝑚,𝑙,𝑠 = (𝑚𝑙 ± 1)𝜇𝐵𝐻0

• Izraz u zagradi može da ima sve vrednosti od najvede l+1 (kada je ml=l) do minimalne: do min –l (-1) (kada je ml=-1)

• Postoji l+1 stanja sa pozitivnim magn kv brojem ml isto toliko energ stanja sa negativnim ml kv br.

• Ako dodamo energetsko stanje sa nultom E, to je br stanja sa različitom E:

• WE,l,s=2(l+1)+1=2l+3

• Za l=1 ima 5 stanja različitih E

• Za l=2 ima 7 stanja različitih E

• E nivo jednoe- atoma degenerisan 2j+1 puta u

odsustvu polja, dok u jakom magn polju zbog

rasprezanja orbitnog i spinskog ug momenta cepa se

na 2l+3 E nivoa čije E su izražene:

• 𝐸𝑚,𝑙,𝑠 = (𝑚𝑙 + 𝑔𝑠𝑚𝑠)𝜇𝐵𝐻0

• 𝐸𝑚,𝑙,𝑠 = (𝑚𝑙 ± 1)𝜇𝐵𝐻0

• Slika 6.1.8.(str. 206) Radid-Perid-šema cepanja nivoa

• Originalni 2j+1 degeneris nivo cepa se na

2s+1 spinskih podnivoa a dalje se svaki od njih cepa na 2l+1 orbitalnih podnivoa.

Cepanja orbitalnih i spinskih podnivoa su jednaka – tako da dolazi do dvostruke degeneracije nekih podnivoa

• Štern-Gerlahov (Macura 209 str.) eksperiment-provera hipoteze o prostornom kvantovanju ugaonih momenata atoma u magnetnom polju.

• Snop atoma Ag propuštan je kroz nehomogeno magn polje.

• Magn polje ima dvostruku ulogu:

• - da odredi pravac duž kojeg se ispituje kvantovanje ugaonog momenta

• - da gradijentom izazove skretanje atoma sa prvobitnog pravca