ASTURIAS · 2019-07-12 · ASTURIAS UEBAS PR U EBA FÍSICA 1. vitación. Gra 1. El planeta Tierra...

PRUEBAS EBAU FÍSICA

Juan P. Campillo Ni olás

1 de agosto de 2020

1

ASTURIAS PRUEBAS EBAU FÍSICA

1. Gravita ión.

1. El planeta Tierra tiene 6370 km de radio y la a elera ión de la gravedad en su super� ie es 9,8 m/s

2.

Cal ule: a) La densidad media del planeta. b) La velo idad de es ape desde su super� ie. Datos: Volumen

de una esfera = 4/3πr3; G =6,67·10

−11Nm

2kg

−2

Respuesta:

a) Sustituyendo la a elera ión de la gravedad en la super� ie de la Tierra:

g =GM

r2−→ 9, 8 =

6, 67 · 10−114/3πr3d

r2= 6, 67 · 10−114/3π · 6, 37 · 106d

De donde despejamos d = 5506 kg· m−3

b) La velo idad de es ape es:

v =

√

2GM

r=

√

2 · 9, 8 · 6, 37 · 106 = 11174m · s−1

2. Dos masas de 5000 y 15000 kg distan 2 metros entre sus entros. Determine y dis uta la posi ión del

punto o puntos en que la intensidad del ampo gravitatorio es nula. ¾En ese lugar uál es el poten ial

del ampo? Datos: G = 6,67·10

−11Nm

2Kg

−2

Respuesta:

Solamente es posible que la intensidad de ampo gravitatorio sea nula en un punto situado sobre el

segmento que une ambas masas, según puede verse en la siguiente imagen:

En di ho punto se umplirá que:

Gm1

r21=

Gm2

r22−→ G · 5000

x2=

G · 15000(2− x)2

Despejando, tendremos:

(

2− x

x

)2

= 3

Tomando raí es uadradas en ambos miembros (pues un resultado negativo de x no sería válido),

tendremos:

2− x =√3x x = 0, 73m

El poten ial en ese punto será:

Vg =−6, 67 · 10−11 · 15000

1, 27− 6, 67 · 10−11 · 5000

0, 73= −1, 24 · 10−6N ·m · kg−1

2


3. Un mini-satélite arti� ial de 310 kg utilizado para apli a iones de observa ión de la Tierra on alta

resolu ión, gira en una órbita ir ular a 600 km de altura sobre la super� ie terrestre. Cal ule: a)

Velo idad en órbita y Periodo orbital. b) Energía poten ial y Energía me áni a del mismo. ) Energía

ne esaria para que, partiendo de esa órbita se oloque en otra órbita ir ular a una altura de 1000 km.

Datos: G = 6,67· 10

−11Nm

2kg

−2, RT = 6370 km, MT = 5,98·10

24Kg.

Respuesta:

a) la velo idad orbital es:

v =

√

GM

r=

√

6, 67·10−11 · 5, 98·10246, 37 · 106 + 6 · 105 = 7564, 8m · s−1

El periodo será:

T =2πr

v=

2π (6, 37 · 106 + 6 · 105)7564, 8

= 5789 s

b) La energía poten ial y me áni a del mismo serán:

U1 = −GMm

r= −6, 67·10−11 · 5, 98·1024 · 310

6, 37 · 106 + 6 · 105 = −1, 77 · 1010 J

E1 = −GMm

2r= −6, 67·10−11 · 5, 98·1024 · 310

2 (6, 37 · 106 + 6 · 105) = −8, 87 · 109 J

) La energía de la órbita ir ular a 1000 km de la super� ie terrestre será:

E2 = −GMm

2r2= −6, 67·10−11 · 5, 98·1024 · 310

2 (6, 37 · 106 + 106)= −8, 39 · 109 J

La energía que hay que suministrar será, por tanto:

E = −8, 39 · 109 − (−8, 87 · 109) = 4, 8 · 108 J

4. El planeta X tiene el mismo radio que la Tierra pero su densidad es el doble de la terrestre. ¾Qué valor

tendrá la intensidad del ampo gravitatorio en su super� ie (gX0)? ¾A qué altura el valor de gx será el

mismo que en la super� ie terrestre? Datos: RT= 6370 km; gT0 = 9,8 m·s

−2; G = 6,67·10

−11Nm

2Kg

−2;

MT = 5,98·10

24kg.

Respuesta:

a) Teniendo en uenta que la masa es el produ to del volumen por la densidad, y que el volumen del

planeta X es el mismo que el de la Tierra, y la densidad doble, la masa de X será dos ve es la masa

terrestre, por lo ual:

gX0 =G2M

r2= 2 gT0 = 19, 6m · s−2

La altura a la que gX sea igual que gT0 se al ula a partir de:

9, 8 =6, 67 · 10−11 · 2 · 5, 98 · 1024

r2r =

√

6, 67 · 10−11 · 2 · 5, 98 · 10249, 8

= 9, 02 · 106m

Es de ir, a 9, 02 · 106 − 6, 37 · 106 = 2, 65 · 106 m de la super� ie de X.

5. El planeta Marte dista del Sol 2,28·10

11m , mientras que la Tierra dista 1,5·10

11m. Considerando para

ambos planetas órbitas ir ulares: a) ¾Cuántos años terrestres trans urren en un periodo orbital de

Marte? b) Determine la masa del Sol. Datos: 1 año terrestre = 365,25 días, G = 6,67·10

−11N m

2Kg

−2

3


Respuesta:

a) Apli ando la 3ª Ley de Kepler para la órbita alrededor del Sol de los planetas Marte y Tierra, y

dividiendo miembro a miembro, tendremos:

TM

TT=

√

4π2r3MS

GMS√

4π2r3MTS

GMS

=

√

r :3MS

r3TS

=

√

(2, 28 · 1011)3(1, 5 · 1011)3 = 1, 87

Por lo que el año mar iano equivale a 1,87 años terrestres.

b) Apli ando de nuevo la 3ª Ley de Kepler:

365, 25 · 86400 =

√

4π2(1, 5 · 1011)36, 67 · 10−11MS

Despejando : MS = 2 · 1030 kg

6. En el punto A (2,0) se sitúa una masa de 2 kg y en el punto B (5,0) se olo a otra masa de 4 kg. Las

longitudes se miden en m. Cal ula: a) El poten ial del ampo gravitatorio en el origen de oordenadas

y en el punto (2,4), b) Si se sitúa una masa de 1 kg en el origen de oordenadas ¾Qué fuerza resultante

a túa sobre ella? ) ¾Puede indi ar el valor del trabajo realizado para llevar esa masa desde el origen

de oordenadas hasta fuera del ampo? Datos: G = 6,67·10

−11N m

2Kg

−2

Respuesta:

a) En el origen de oordenadas y en el punto (2,4), los poten iales gravitatorios será, respe tivamente:

V0 = −6, 67 · 10−11 · 22

+

(

−6, 67 · 10−11 · 45

)

= −1, 2 · 10−10 J · kg−1

V1 = −6, 67 · 10−11 · 24

+

(

−6, 67 · 10−11 · 4√32 + 42

)

= −8, 67 · 10−11 J · kg−1

b) La fuerza sobre la masa situada en el origen de oordenadas será:

−→F =

6,67 · 10−11 · 2 · 122

−→i +

6,67 · 10−11 · 4 · 152

−→i = 4, 40 · 10−11−→i N

) El trabajo pedido sería el ne esario para llevar la masa desde el origen de oordenadas hasta una

distan ia in�nita, es de ir:

W = m(V0 −V∞) = 1 (−1, 2 · 10−10) = −1, 2 · 10−10 N

El signo negativo del trabajo signi� a que este debe realizarse en ontra del ampo gravitatorio.

7. Un satélite gira en órbita ir ular alrededor de la Tierra a 30000 km de distan ia de su entro. Si

hubiese otro satélite girando también en órbita ir ular, on la mitad de la velo idad que el anterior

pero alrededor de Plutón: a) ¾A qué distan ia del entro de Plutón estaría situado? b) ¾Cuál sería la

rela ión entre los periodos de ambos satélites? Datos: La masa de Plutón es aproximadamente el 2%

de la masa de la Tierra.

Respuesta:

a) Las velo idades de las respe tivas órbitas alrededor de la Tierra y Plutón serían:

v1 =

√

GMT

3 · 107v12

=

√

G · 0, 02MT

r

4


Dividiendo miembro a miembro:

2 =

√

r

3 · 107 · 0, 02 r = 2, 4 · 106m

b) Los respe tivos periodos serían:

TT =

√

4π2(3 · 107)3GMT

TP =

√

4π2(2, 4 · 106)3G0, 02MT

La rela ión sería enton es:

TT

TP= 6, 25

Otra forma de al ular esta rela ión es rela ionando las velo idades on los respe tivos periodos:

v1 =2πr1T1

v2 =v12

=2πr2T2

T1

T2=

r12 · r2

=3 · 107

2 · 2, 4 · 106 = 6, 25

8. Un satélite arti� ial de omuni a iones, de 500 kg de masa, des ribe una órbita ir ular de 9000 km de

radio en torno a la Tierra. a) Cal ule su energía en esa órbita. b) En un momento dado, se de ide variar

el radio de su órbita, para lo ual en iende uno de los ohetes propulsores del satélite, omuni ándole

un impulso tangente a su traye toria antigua. Si el radio de la nueva órbita des rita por el satélite,

en torno a la Tierra, es de 13000 km, al ule el trabajo de los motores en el pro eso. ) Determine el

periodo de la nueva órbita. Datos: Radio de la Tierra = 6380 km; g0 = 9,8 m/s

2

Respuesta:

a) La energía en la órbita será:

E = −GMm

2r= −GM · 500

2 · 9 · 106 (∗)

A partir del valor de la a elera ión de la gravedad en la super� ie terrestre y del radio de la Tierra,

tendremos:

9, 8 =GM

(6, 38 · 106)2 GM = 3, 99 · 1014m3 · s−2

Con este valor, sustituimos en (*):

E1 = −GMm

2r= −3, 99 · 1014 · 500

2 · 9 · 106 = −1, 11 · 1010 J

b) La energía para una órbita de radio 13000 km es:

E2 = −GMm

2r= −3, 99 · 1014 · 500

2 · 1, 3 · 107 = −7, 67 · 109 J

Apli ando el Prin ipio de Conserva ión de la Energía, podemos al ular la energía E que debe sumi-

nistrarse al satélite :

E1 + E = E2 E = E2 − E1 = −7, 67 · 109 − (−1, 11 · 1010) = 3, 33 · 109 J

) El periodo de la nueva órbita será:

TT =

√

4π2(1, 3 · 107)33, 99 · 1014 = 14744 s

5


9. Dos masas puntuales A (mA = 8 kg) y B (mB = 15 kg) se en uentran a una distan ia �ja de 50 m.

Una partí ula de masa m se abandona ini ialmente en reposo en un punto del segmento que one ta

A y B a una distan ia de 20 m de la masa A. a) Cal ule la a elera ión que adquiere la partí ula en

ese punto (módulo, dire ión y sentido). b) Obtenga la energía poten ial gravitatoria en ese punto si la

partí ula tiene una masa m = 5 kg. Datos: G = 6.67·10−11 N·m

2·kg

−2

Respuesta:

a) Teniendo en uenta la siguiente representa ión grá� a:

Podemos apre iar que Las fuerzas ejer idas sobre la masa m tienen la misma dire ión y sentido on-

trario, umpliéndose:

∣

∣

∣

−→F∣

∣

∣=

6,67 · 10−11 · 8 ·m0, 22

− 6,67 · 10−11 · 15 ·m0, 32

= 2, 2 · 10−9mN = ma

Con lo que la a elera ión tendrá el valor:

−→a = 2, 2 · 10−9−→i m · s−2

b) La energía poten ial será:

U = −GM1m

r1+

(

−GM2m

r2

)

= −6, 67 · 10−11 · 5(

8

0, 2+

15

0, 3

)

= −3 · 10−8J

10. En el año 2119 una astronauta que forma parte de una misión espa ial interna ional llega a un planeta

esféri o en una lejana galaxia. Una vez en la super� ie del planeta, la astronauta observa que al dejar

aer una pequeña ro a desde una altura de 1.90 m llega al suelo on una velo idad de 8 m/s. Si el radio

del planeta es 8.60·107 m, al ule: a) La a elera ión de la gravedad en la super� ie del planeta. b) La

velo idad de es ape del planeta. Datos: G = 6.67·10−11N·m

2·kg

−2

Respuesta:

a) La a elera ión de la gravedad puede ser al ulada de la forma:

v2 = 2gh g =82

2 · 1, 90 = 16, 84m · s−2

b) La velo idad de es ape es:

v =

√

2GM

r(∗)

Por lo que, para al ularla, es ne esario ono er el valor de GM:

g =GM

r2GM = 16, 84 (8, 60 · 107)2 = 1, 25 · 1017N ·m2 · kg−1

Sustituyendo en (*):

v =

√

2 · 1, 25 · 10178, 6 · 107 = 53808, 5m · s−1

6


11. Se envía a Marte en un ohete un vehí ulo explorador uyo peso en la Tierra es de 6860 N. Cal ule:

a. La a elera ión de la gravedad en la super� ie de Marte. b. El peso del vehí ulo en la super� ie de

Marte. Datos: G = 6.67·10−11N·m

2·kg

−2; RT = 6370 km, MT = 5.98·1024 kg; RM = 3400 km, MM =

6.42·1023 kg.

Respuesta:

a) La a elera ión de la gravedad es:

gM =6, 67 · 10−11 · 6, 42 · 1023

(3, 4 · 106)2 = 3, 70m · s−2

b) La masa del vehí ulo se dedu e de:

6860 = m6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024

(6, 37 · 106)2 m = 697, 87 kg

El peso del vehí ulo en la super� ie mar iana es:

P = mgM = 697, 87 · 3, 70 = 2582, 12N

12. Un satélite para estudiar el lima se en uentra a una distan ia de 705 km sobre la super� ie de la

Tierra des ribiendo una órbita ir ular. Cal ule: a. ¾A qué velo idad se desplaza el satélite? b. ¾A qué

distan ia sobre la super� ie de la Tierra debería situarse para que fuera un satélite geoesta ionario?

Datos: G = 6.67·10−11N·m

2·kg

−2; RT = 6370 km; MT = 5.98·1024 kg.

Respuesta:

a) La velo idad orbital viene dada por:

v =

√

GM

r=

√

6,67 · 10−11 · 5,98 · 10246, 37 · 106 + 7, 05 · 105 = 7508, 5m · s−1

b) Para que sea geoesta ionario, su periodo debe ser igual al terrestre, es de ir, 24 h. Apli ando la

ter era ley de Kepler:

T =

√

4π2r3

GMr =

3

√

GMT 2

4π2=

3

√

6,67 · 10−11 · 5, 98 · 10248640024π2

La distan ia será: r = 4,22·107 m. La distan ia a la super� ie terrestre será, enton es:

h = 4, 22 · 107 − 6, 37 · 106 = 3, 59 · 107m

13. Suponiendo que la masa de una persona es de 75 kg y que la distan ia de la Tierra a la Luna es DT−L

= 3.84·105 km, al ule: a. La fuerza gravitatoria que ejer e la Luna sobre una persona situada sobre la

super� ie terrestre. b. La rela ión entre di ha fuerza y la ejer ida por la Tierra sobre la misma persona.

. Compare los valores de la velo idad de es ape en las super� ies de la Tierra y de la Luna. Datos: G

= 6.67·10−11N·m2·kg−2

; ML = 7.35·1022 kg; RL = 1740 km; RT = 6370 km; MT = 5.98·1024 kg.

Respuesta:

a) La fuerza gravitatoria es:

F =6, 67 · 10−11 · 7, 35 · 1022 · 75

(3, 84 · 108)2 = 2, 49 · 10−3N

7


b) La rela ión pedida es:

FL

FT=

2, 49 · 10−3

6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024 · 75(6, 37 · 106)2

= 3, 38 · 10−6

) La rela ión entre los valores de la velo idad de es ape es:

veLveT

=

√

2GML

RL√

2GMT

RT

=

√

MLRT

MTRL=

√

7, 35 · 1022 · 6, 37 · 1065, 98 · 1024 · 1, 74 · 106 = 0, 21

14. Dos esferas A y B, on masas respe tivas mA = 5 kg y mB = 10 kg, se en uentran en reposo a una

distan ia entre sus entros de 1 m. Una pequeña bola, de masa m = 100 g, se deja en reposo en un

punto Q del segmento que une A on B y a una distan ia de 40 m del entro de A. Asuma que

las úni as fuerzas que a túan sobre la bola son las fuerzas gravitatorias debidas a las esferas A y B.

Cal ule: a. La intensidad de ampo gravitatorio en el punto Q en que se sitúa ini ialmente la bola. b.

El trabajo realizado por el ampo gravitatorio uando la bola se haya desplazado hasta el punto S del

mismo segmento y que dista 80 m del entro de la esfera B. Razone si este desplazamiento de la bola

será espontáneo. . Busque el punto de equilibrio entre ambas esferas para la pequeña bola de masa m.

Dato: G = 6.67·10−11N·m2·kg−2

Respuesta:

a) La intensidad de ampo gravitatorio reado por una de las esferas tendrá la misma dire ión y

sentido ontrario que el reado por la otra. De esta forma:

|−→g | = |−→g1| − |−→g2 | =6, 67 · 10−11 · 5

0, 42− 6, 67 · 10−11 · 10

0, 62= 2, 31 · 10−10N · kg−1

b) El trabajo será:

W = UA −UB

UA = 0, 1

[(

−6, 67 · 10−11 · 50, 4

)

−(

6, 67 · 10−11 · 100, 6

)]

= −1, 95 · 10−10 J

UB = 0, 1

[(

−6, 67 · 10−11 · 50, 2

)

−(

6, 67 · 10−11 · 100, 8

)]

= −2, 5 · 10−10 J

W = −1, 95 · 10−10 − (−2, 5 · 10−10) = 5, 5 · 10−11J

El desplazamiento será espontáneo al ser positivo el trabajo realizado por el ampo gravitatorio.

) Se produ irá equilibrio en un punto situado sobre el segmento que une las masas de 5 y 10 kg,

umpliéndose:

G · 5x2

=G · 10(1− x)2

x =0, 41m

15. La a elera ión de la gravedad en la super� ie de Urano tiene un valor de 8.9 m/s

2. Cal ule: a. El radio

medio de Urano. b. El peso en Urano de un objeto uyo peso en la super� ie de la Tierra es 1100 N. .

La velo idad de es ape de la super� ie de Urano. Datos: G = 6.67·10−11N·m

2·kg

−2; RT = 6370 km,

MT = 5.98·1024 kg; MU = 8.68·1025 kg.

Respuesta:

a) El radio medio se dedu e de:

g = 8, 9 =6, 67 · 10−11 · 8, 68 · 1025

r2r = 2, 55 · 107 m

8


b) La masa del objeto será:

1100 =6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024m

(6, 37 · 106)2 m = 111, 90 kg

Y el peso en la super� ie de Urano:

PU = 111, 90 · 8, 9 = 996N

) La velo idad de es ape será:

ve =

√

2 · 6, 67 · 10−11 · 8, 68 · 10252, 55 · 107 = 21309m · s−1

16. Un satélite para omuni a iones se en uentra des ribiendo una órbita ir ular alrededor de la Tierra

on una velo idad de 6000 m/s. Cal ule: a. ¾A qué distan ia sobre la super� ie de la Tierra se desplaza

el satélite? b. ¾A qué velo idad se desplazaría si estuviera moviéndose en torno a Venus des ribiendo

una órbita ir ular a una distan ia de 900 km sobre la super� ie de di ho planeta? . La distan ia entre

los entros de Venus y la Tierra es de 0.27 UA. ¾En qué punto de la re ta que los une la intensidad

del ampo gravitatorio terrestre anularía a la del venusiano? Datos: G = 6.67·10−11N·m

2·kg

−2; RT =

6370 km; MT = 5.98·1024 kg; RV = 6052 km; MV = 4.87·1024 kg; 1 UA= 1.50·1011 m.

Respuesta:

a) La velo idad orbital está rela ionada on el radio de la forma:

v =

√

GM

rr =

6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024(6 · 103)2 = 1, 11 · 107m

La velo idad orbital alrededor de Venus sería:

v =

√

GM

r=

√

6, 67 · 10−11 · 4, 87 · 10249 · 105 + 6, 052 · 106 = 6836m · s−1

) El ampo resultante sería nulo uando se umpla:

6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024(0, 27 · 1, 50 · 1011 − x)2

=6, 67 · 10−11 · 4, 87 · 1024

x2x = 1, 92 · 1010m

Es de ir, la distan ia entre el punto en el que el ampo resultante es nulo y el entro de Venus es de

1,92·1010 m

9


2. Vibra iones y ondas.

1. Una onda unidimensional, armóni a y transversal se propaga por una uerda en la dire ión positiva

del eje X. Su amplitud es A = 0,3 m, su fre uen ia es f = 20 Hz y su velo idad de propaga ión es de

12 m/s. a. Cal ule el valor de la longitud de onda. b. Es riba la e ua ión de la onda, si y(x = 0, t =

0) = 0, al ulando razonadamente el valor de todas las magnitudes que apare en en ella. . Determine

la expresión de la velo idad de un punto de la uerda y al ule su valor máximo. d. Si la uerda tiene

una longitud de 1 m, y una densidad lineal de 0,3 g/ m, determine la energía transmitida por la onda.

Respuesta:

a) la longitud de onda es:

λ =v

ν= 0, 6m

b) la e ua ión de la onda es de la forma:

y = A sen (ωt−Kx+ ϕ0)

Siendo A = 0,3 m, ω = 2πν = 40π s

−1y K =

2π

λ=

2π

0, 6=

10π

3m

−1. En uanto a ϕ0, si y( x = 0, t =

0) = 0, tendremos que ϕ0 = 0 . De esta forma, la e ua ión de la onda quedará así:

y = 0, 3 sen

(

40πt− 10π

3x

)

) La velo idad de un punto de la uerda es:

vy =dy

dt= Aωcos (ωt+Kx+ ϕ0) = 0, 3 · 40πcos

(

40πt+10π

3x

)

El valor máximo es: vmax = Aω = 12πm · s−1

d) La energía transmitida es:

∆E =1

2m · ω2 ·A2 =

1

2µ · L · ω2 · A2

Siendo µ la densidad lineal, y L la longitud de la uerda. Sustituyendo valores, tendremos:

∆E =1

23 · 10−2 · 1 · (12π)2 = 21, 32 J

2. La intensidad físi a de un sonido que tiene una fre uen ia de 1000 Hz es de 10

−12W/m

2. a) Determine

el nivel de intensidad sonora de este sonido b) Cuanto aumenta el nivel de intensidad si la intensidad

físi a del sonido se multipli a por ien. ) Determine el nivel de intensidad sonora si los dos sonidos

anteriores se emiten simultáneamente. d) Se ha medido experimentalmente la intensidad físi a del sonido

que emite un altavoz, a las distan ias de 1 m, 1,5 m, 2 m y 2,5 m del mismo (se supone que el altavoz es

una fuente puntual y que el medio no disipa energía). Posteriormente se han representado grá� amente

estos valores de intensidad frente al inverso del uadrado de la distan ia del entro emisor. Se observa

en la grá� a que los datos muestran una tenden ia lineal uya pendiente es 31,83 W. d) Determine la

poten ia sonora del altavoz. Dato I0 = 10

−12W/m

2; Área de una esfera=4πr2

Respuesta:

a) El nivel de intensidad será:

β = 10 logI

Io= 10 log

10−12

10−12= 0dB

10


b) Cuando la intensidad sea I = 10

−10W· m−2

, el nivel de intensidad será:

β = 10 log10−10

10−12= 20 dB

) La intensidad total será: I = I1 + I2= 10

−12+ 10

−10= 1,01·10−10

W/m

2. El nivel de intensidad

tendrá el valor:

β = 10 log1, 01 · 10−10

10−12= 20, 04 dB

d) La representa ión grá� a es la siguiente:

Puesto que la e ua ión de la re ta responde a la expresión:

I =P

4πr2=

k

r2=

31, 83

r2

Siendo k la pendiente de la re ta, podremos es ribir:

P = 4π · k = 4π · 31, 83 = 400W

3. Una onda transversal se propaga a lo largo de un hilo en el sentido positivo del eje OX. La distan ia

mínima entre dos puntos en fase es de 2 mm. El fo o emisor, situado en el extremo del hilo (x=0), os ila

on una amplitud de 3 mm y una fre uen ia de 25 Hz. Determine: a) Velo idad de propaga ión de la

onda. b) Fre uen ia angular o pulsa ión. ) Número de onda. d) E ua ión de la elonga ión en fun ión de

la posi ión y el tiempo, sabiendo que en el instante ini ial y en el origen de la onda, di ha elonga ión es

nula. e) Represente grá� amente la elonga ión en el extremo del hilo en fun ión del tiempo. f) Velo idad

máxima en un punto del hilo. g) A elera ión máxima de un punto del hilo.

Respuesta:

a)

v = λ · ν =2 · 10−3 · 25 = 5 · 10−2m · s−1

b) La pulsa ión es; ω = 2πν = 2π · 25 = 50π s−1

) El número de onda tiene la expresión:

k =2π

λ=

2π

2 · 10−3= 1000πm−1

d) La e ua ión de la onda es de la forma:

y = A sen (ωt− kx + ϕ0)

Si tenemos en uenta que para x = 0 e y = 0, la elonga ión es nula, podremos poner: 0 = A sen (ϕ0), por lo queϕ0 = 0. Utilizando los parámetros de la onda ya dedu idos, tendremos que la e ua ión

quedará así:

y = 0, 003 sen (50πt− 1000πx)

11


e) La representa ión grá� a será la siguiente:

f) La velo idad transversal será:

v =dy

dt= 0, 003 · 50π cos(50πt− 1000πx) vtmax = 0, 47m · s−1

g) La a elera ión tendrá el valor:

a =d2y

dt2= −0, 003 (50π)2sen (50πt− 1000πx) amax =74, 02m · s−2

4. Las ondas transversales que se propagan a lo largo de una uerda larga y tensa en el sentido negativo

del eje x lo ha en on una velo idad de 8 m/s, on una amplitud de 7 m y una longitud de onda de

32 m. El extremo x = 0 posee su máximo desplazamiento verti al positivo en el instante t = 0. a)

Cal ule la fre uen ia, el periodo y el número de onda de di has ondas b) Es riba la fun ión de onda

que des ribe di has ondas. ) Cal ule el módulo y el sentido de la velo idad que tendrá una partí ula

situada en la posi ión x = 16 m en el instante t = 0.05 s. d) ¾Qué tiempo mínimo debe trans urrir

desde el instante t = 0.05 s para que la partí ula situada en la posi ión x = 16 m vuelva a tener el

mismo desplazamiento y la misma velo idad que en ese instante?

Respuesta:

a) El número de ondas será: k =

2π

λ=

2π

0, 32= 6, 25πm−1

, mientras que la pulsa ión tendrá el valor:

ω = v · k = 8 · 6, 25π = 50πs−1

A partir de este valor, tendremos: ν =ω

2π= 25 s−1

, y T =

1

25= 0, 04 s

b) la e ua ión de la onda tomará la forma:

y = 0, 07 sen (50πt + 6, 25πx + ϕ0)

Cuando x = 0 y t = 0, la elonga ión oin ide on la amplitud, por lo que:

0, 07 = 0, 07 senϕ0 ϕ0 =π

2rad

Quedando, por tanto, la e ua ión de la onda de la forma:

y = 0, 07 sen(

50πt + 6, 25πx +π

2

)

) Para los valores indi ados, tendremos:

v =dy

dt= 0, 07 · 50πcos

(

2, 5π + π +π

2

)

= 3, 5πm · s−1

d) debe trans urrir un tiempo igual al periodo, es de ir, 0,04 s.

12


5. Una uerda larga y tensa tiene uno de sus extremos �jo a una pared. El otro extremo lo agarra una

persona propor ionándole un movimiento verti al sinusoidal on una fre uen ia de 2 Hz y una amplitud

de 7,5 m. La velo idad de propaga ión de la onda a lo largo de la uerda es v = 12 m/s. En el instante

ini ial, t = 0, el extremo sujetado por la persona está en la posi ión de máximo desplazamiento verti al

positivo e instantáneamente en reposo. Asumimos que no existen ondas propagándose desde el extremo

�jo de la uerda ni amortigua ión debida al rozamiento on el aire. a. Cal ule y exprese en unidades

del Sistema Interna ional la amplitud de la onda, la fre uen ia angular, el periodo, la longitud de onda

y el número de onda. b. Es riba una e ua ión que des riba la onda. . En uentre la rela ión entre la

energía que transporta la onda en la uerda y la que transportaría otra onda en la misma uerda on

la mitad de amplitud e igual fre uen ia.

Respuesta:

a) y b) La e ua ión de la onda es:

y = A sen (ωt− kx + ϕ0)

De los datos del enun iado podemos dedu ir: A = 0,075 m;ω = 2π · 2 = 4π s

−1; k =

ω

v=

4π

12=

π

3m

−1Para t = 0 y x = 0, y = 0,075 y vt = 0 , por lo que:

0, 075 = 0, 075 senϕ0 ϕ0 = nπ

2(n > 0)

v = Aωcosϕ0 = 0 ϕ0 = (2n + 1)π

2

El menor valor posible deϕ0 es π/2, por la que la e ua ión de la onda quedará así:

y = 0, 075 sen(

4πt− π

3x +

π

2

)

) La energía transmitida por una onda depende dire tamente del uadrado de la pulsa ión y del

uadrado de la amplitud, por lo que la rela ión sería:

E2

E1=

(

A

2

)2

ν2

A2ν2=

1

4

6. Nos en ontramos situados er a de un pájaro que emite sonido on una poten ia onstante y lo onside-

ramos omo una fuente puntual. Si nos movemos a otra posi ión situada al doble de distan ia respe to

del pájaro: a. ¾Qué rela ión existe entre la intensidad de la onda sonora que per ibimos en la posi ión

ini ial y la per ibida en la posi ión �nal? b. ¾Cuántos de ibelios de re e la intensidad sonora (sonoridad)

al ambiar de posi ión? . Determine la rela ión entre la energía de una onda de radio de una emisora

FM que emite a 104 MHz on la de una emisora AM que emite a 160 kHz. Dato: h = 6.626·10−34J· s

Respuesta:

a) La intensidad es el o iente entre la poten ia y el área, por lo que:

I1I2

=

P

4πr2

P

4π(2r)2

= 4

b) Al ha erse la intensidad uatro ve es menor, tendremos:

β1 = 10 log4I

I0= 10 log

I

I0+ 10 log 4 β2 = 10 log

I

I0

La diferen ia entre ambas sonoridades será de 10 log 4 = 6 dB

13


) La rela ión entre las energías es:

E1

E2=

h · 1, 04 · 108h · 1, 6 · 105 = 650

7. Un pes ador per ibe que su bar a se mueve periódi amente arriba y abajo impulsada por las olas en

la super� ie del mar. La bar a tarda 3 s en desplazarse desde el punto más alto al punto más bajo,

distantes entre si 60 m. En un instante dado la distan ia entre dos restas onse utivas de las olas es

de 8 m. a. Cal ule la velo idad a la que se desplazan las olas. b. Es ribe la e ua ión de la onda aso iada

a las olas en la super� ie del mar, onsiderando que en el instante ini ial que se produ en las olas, la

bar a del pes ador tiene desplazamiento nulo respe to al mar en alma.

Respuesta:

a) La amplitud de la onda es 0,3 m, mientras que el periodo será de 6 s. La longitud de onda es de 8

m. Con estos datos, la velo idad de desplazamiento de las olas será:

v =λ

T=

8

6= 1, 33m · s−1

b) La e ua ión de la onda sería:

y = 0, 3 sen

(

2π

6t− 2π

8x + ϕ0

)

Para t = 0, y = 0, por lo ual:

y = 0, 3 senϕ0 = 0 ϕ0 =

{

0π

2

Por tanto, la e ua ión quedará de las formas:

y = 0, 3 sen

(

2π

6t− 2π

8x

)

o bien : y = 0, 3 sen

(

2π

6t− 2π

8x +

π

2

)

14


3. Ópti a.

1. Un bu eador emite un rayo de luz, utilizando una potente linterna, que in ide desde el agua ha ia el

fondo de la pis ina que onsiste en un medio transparente. Si el ángulo de in iden ia es de 70º el rayo

de luz se re�eja, pero si el ángulo es menor se refra ta. a. Cal ule el índi e de refra ión del segundo

medio. b. Determine el ángulo de in iden ia para el ual se observa que los rayos re�ejado y refra tado

son mutuamente perpendi ulares. . El bu eador sa a par ialmente el brazo extendido fuera del agua

(ha ia el aire formando on la super� ie del agua un ángulo menor de 90º); sin embargo, lo observa

doblado. Explique razonadamente y on trazado de rayos la ausa d. Si el bu eador se quitase las gafas

bajo el agua tendría una per ep ión de las imágenes omo si fuese hipermétrope. Explique el on epto

de hipermetropía y ómo se puede orregir on una lente. Datos: Considere que el índi e de refra ión

del aire =1; y que el índi e de refra ión del agua = 1,33

Respuesta:

a) Apli ando la Ley de Snell, y teniendo en uenta que el ángulo límite es de 70º tendremos:

sen 70º

1=

ni

1, 33−→ ni = 1, 25

b) A partir de la siguiente representa ión grá� a:

Podemos ver que se umple:

90− α1 + 90− α2 = 90

Con lo que: α1 = 90− α2. Apli ando de nuevo la Ley de Snell:

senα1

senα2=

cosα2

senα2=

1, 33

1, 25−→ α2 = 43, 22º y α1 = 46, 78º

) Al observar desde el agua el brazo (situado en el aire, de menor índi e de refra ión que el agua), el

rayo luminoso se a er a a la normal, on lo que per ibimos el brazo doblado

d) La hipermetropía es el defe to de la visión por el ual, las imágenes de objetos próximos se ven

borrosas. Esto se debe a que los rayos luminosos onvergen más allá de la retina. Para solu ionar este

problema, se utilizan lentes onvergentes.

2. Tenemos una imagen luminosa de 2 m que está situada a 4 m de distan ia a la izquierda de una pantalla.

Se ne esita olo ar una lente ( onvergente o divergente), entre la imagen luminosa y la pantalla, de tal

manera que la imagen que se re�eje en la pantalla sea 3 ve es mayor que la original y que esté invertida.

a) Determine la posi ión del objeto respe to a la lente, y la lase de lente ne esaria. b) Determine la

distan ia fo al de la lente ) Reali e la onstru ión geométri a de la imagen.

Respuesta:

a) La lente que debe ser olo ada es onvergente, pues una lente divergente no produ e en ningún aso

una imagen real (proye table en una pantalla).Utilizando la expresión del aumento lateral:

y′

y=

s′

s= −3 s′ = −3s

15


Teniendo en uenta que -s + s

′ =4 m, podremos es ribir: s

′ = 4+ s.Utilizando esta expresión junto on

la anteriormente dedu ida, s′ = −3s, tendremos:

4 + s = −3s s = −1m

b) Para al ular la distan ia fo al de la lente:

1

s− 1

s′= − 1

f ′

1

−1− 1

3= − 1

f ′f ′ = 0, 75m

) El diagrama de rayos es el siguiente:

3. Indique si son verdaderas o falsas, razonando las respuestas y utilizando el trazado de rayos, las siguientes

a�rma iones rela ionadas on las lentes: a) Una lente divergente no puede formar una imagen real de

un objeto real. b) Una lente onvergente puede formar una imagen real de un objeto real. ) Una lupa

produ e imágenes virtuales mayores que el objeto. d) El objetivo de una ámara fotográ� a puede ser

una lente divergente.

Respuesta:

A partir de las imágenes que apare en a ontinua ión, podemos responder lo siguiente:

a) La a�rma ión es verdadera: la imagen se forma en todos los asos por interse ión de un rayo y la

prolonga ión de otro. La imagen será siempre virtual.

b) Como puede verse en la imagen b, la imagen se forma por interse ión de dos rayos, siendo, por

tanto, real. La a�rma ión es, por tanto, verdadera.

) La imagen se forma por interse ión de las prolonga iones de ambos rayos. La imagen será virtual y

mayor que el objeto. La a�rma ión es verdadera.

d) La a�rma ión es falsa, pues la imagen obtenida sería virtual, no pudiendo proye tarse sobre una

pantalla.

4. Se ne esita proye tar una diapositiva de 2 m de altura sobre una pantalla situada a 3 m de la misma,

de forma que la imagen sea invertida y de 50 m de altura. Cal ule: a) Distan ia del objeto a la lente

del proye tor. b) Poten ia de la lente del proye tor. ) Haga un esquema de la forma ión de la imagen

mediante un trazado de rayos.

Respuesta:

16


a) A partir de la expresión del aumento lateral, podemos es ribir:

y′

y=

s′

s

−50

2=

3

ss = −0, 12m

b) Apli ando la e ua ión fundamental de las lentes delgadas:

1

s− 1

s′= − 1

f′= −P

1

−0, 12− 1

3= −P P = 8, 67 dp

) El diagrama de rayos (no realizado a es ala) es el siguiente:

5. Un haz de luz roja on fre uen ia f = 4,6·10

14Hz se mueve por el agua, donde el índi e de refra ión es

n = 1,3, e in ide sobre una super� ie de separa ión agua-aire formando un ángulo de 45º on la normal

a di ha super� ie. Cal ule: a) La velo idad de propaga ión de la onda en el agua. b) La longitud de

onda en ambos medios (en el agua y en el aire ). ) Si las longitudes de onda al uladas propor ionan

distintos valores, ¾Signi� a esto que al ambiar de medio la luz ambia de olor? Justi�que la respuesta.

d) El ángulo de refra ión . e) El ángulo límite. Datos: Velo idad de la luz en aire, =3·10

8m/s; índi e

de refra ión del aire, naire= 1.

Respuesta:

a) la velo idad de propaga ión en el agua es:

v =3 · 1081, 3

= 2, 31 · 108m · s−1

b) La fre uen ia de la radia ión es invariable, por lo que la longitud de onda en ada medio es:

λaire =3 · 108

4, 6 · 1014 = 6, 52 · 10−7m λagua =2, 31 · 1084, 6 · 1014 = 5, 02 · 10−7m

) No se produ e ambio de olor, pues lo que determina éste es la fre uen ia de la radia ión.

d) Apli ando la Ley de Snell:

sen 45º

senαr=

1, 3

1αr =32, 95º

e) Para al ular el ángulo límite:

senαL

sen 90º=

1

1, 3αL =50, 28º

6. En una pantalla, situada 3 m por detrás de una lente delgada onvergente, se forma la imagen de un

pequeño objeto verti al situado 60 m delante de la lente. a) Cal ule la poten ia de la lente. b) Cal ule

la altura de la imagen si la altura del objeto es de 5 mm. ) Tra e el esquema de rayos orrespondiente.

d) Explique el defe to de visión del ojo humano que puede orregirse on este tipo de lentes.

Respuesta:

17


a) A partir de la expresión:

1

s− 1

s′= − 1

f′= −P

Sustituyendo, tendremos:

P =1

0, 6+

1

3= 2 dp

b) La altura de la imagen será:

y′ = ys′

s=

5 · 10−3 · 3−0, 6

= −0, 025m

) El diagrama de rayos es el siguiente:

d) El defe to de la visión que puede ser orregido on una lente onvergente es la hipermetropía, en la

que la imagen de un objeto próximo se forma detrás de la retina. El efe to de la lente onvergente es,

onjuntamente on el ristalino, situar la imagen del objeto sobre la retina.

7. La base de un re ipiente ilíndri o que ontiene agua está fabri ada on un material transparente de

1 m de espesor. El re ipiente se en uentra abierto al aire en su parte superior. Un rayo de luz que

in ide sobre la base del re ipiente on un ángulo de 60º respe to a la horizontal atraviesa la base del

re ipiente, sufre una desvia ión horizontal de 0.5 m y penetra en el agua formando un ángulo de 45º

respe to a la normal. a. Cal ule el índi e de refra ión del material. b. Justi�que si la luz viaja a mayor

velo idad en el agua o en el material. . Cal ule el ángulo respe to a la normal que forma el rayo de

luz en el aire uando ha atravesado la apa de agua. d. Justi�que desde qué medio, el agua o el aire,

debe in idir un rayo de luz mono romáti a para que se produz a re�exión total. Datos: nagua = 1, 33;naire = 1, 00

Respuesta:

a) De la siguiente representa ión grá� a:

18


Se puede dedu ir que tg α =0, 5

1α = 26, 56º . Apli ando la segunda ley de la refra ión:

sen 30º

sen 26, 56º=

n

1n = 1, 12

b) Sabiendo que el índi e de refra ión es: n =

c

v, uanto mayor sea el índi e de refra ión, menor será

la velo idad de la luz en el medio. Por tanto, la velo idad de la luz es menor en el agua, al ser mayor

su índi e de refra ión.

) Apli ando de nuevo la ley de Snell:

sen 45

senα=

1

1, 33α = 70, 13º

d) Al ha erse mayor el ángulo al pasar de un medio de mayor a otro de menor índi e de refra ión, la

re�exión total se produ irá uando un rayo pase del agua al aire.

8. Un objeto de 7 m de altura se olo a 10 m a la izquierda de una lente delgada divergente de distan ia

fo al 25 m. a. Dibuje el diagrama de rayos prin ipales mostrando la forma ión de la imagen. b.

Determine: la posi ión, la orienta ión, el tamaño y la naturaleza de la imagen.

Respuesta:

a) El diagrama de rayos es el siguiente:

b) Apli ando la e ua ión de las lentes delgadas:

1

−0, 1− 1

s′=

1

0, 25s′ = −0, 07m

Mediante la e ua ión del aumento lateral:

y′

y=

s′

sy′ =

−0, 07

−0, 10, 07 = 0, 049m

19


9. Colo amos entre agua y aire un material de aras planas y paralelas que tiene un espesor de 5 m y un

índi e de refra ión des ono ido. In idimos desde el aire on un rayo de luz mono romáti a de 520 nm

y un ángulo de in iden ia de 60º en el material. a. Reali e el trazado de rayos y determine el ángulo

que forma el rayo on la super� ie de separa ión entre el material y el agua b. La longitud de onda del

rayo en el material y en el agua. . El índi e de refra ión del material si on un ángulo de in iden ia

de 80º del rayo desde el agua sobre el material se produ e re�exión total interna en el agua. Datos:

nagua=1.33; naire=1; = 3·108 m·s

−1

Respuesta:

a) El trazado de rayos es el siguiente:

Apli ando por dos ve es la Ley de Snell:

sen 60º

senα1=

n

1

senα1

senα2=

1, 33

n

Multipli ando miembro a miembro ambas igualdades:

sen 60

senα2=

1, 33

1α2 = 40, 63º β = 90º− 40, 63º = 49, 37º

b) La fre uen ia de la luz es:

ν =3 · 108

5, 2 · 10−7= 5, 77 · 1014s−1

La longitud de onda en el agua será::

λagua =3 · 108/1, 335, 77 · 1014 = 3, 91 · 10−7m λmaterial =

3 · 108/n5, 77 · 1014

Para ono er la longitud de onda en el material, debe ono erse el índi e de refra ión, n del mismo,

que se al ula en el apartado siguiente.

) Apli ando la segunda ley de la refra ión:

sen 80

sen 90=

n

1, 33n = 1, 31

20


4. Ele tromagnetismo.

1. Dos argas elé tri as distantes 3 m y una on el triple de arga que la otra, se atraen on una fuerza

de 30 N. a) Razone el signo de las argas y al ule su valor. b) Cal ule el poten ial en un punto A

que diste 3 m de ada arga, onsiderando que la que tiene triple de arga es positiva. ) En estas

ondi iones, al ule el trabajo realizado por el ampo al llevar una arga de 10

−6C desde ese punto A

al entro del segmento que une las argas. Razone el signi� ado de su signo. Datos: K = 9·10

9Nm

2/C

2

Respuesta:

a) Las argas tendrán signos opuestos, omo orresponde a la atra ión entre ellas. Para al ular su

valor, tendremos:

F = 30 =9 · 109 · 3q2(3 · 10−2)2

−→ q =

√

30 (3 · 10−2)2

2, 7 · 1010 = 10−6C

b) El poten ial tendrá la expresión:

V = V1 + V2 =9 · 109 · 3 · 10−6

3 · 10−2+

9 · 109(−10−6)

3 · 10−2= 6 · 105V

) En el entro del segmento que une las argas, el poten ial valdrá:

V ′ = V ′

1 + V ′

2 =9 · 109 · 3 · 10−6

1, 5 · 10−2+

9 · 109(−10−6)

1, 5 · 10−2= 1, 2 · 106V

El trabajo realizado es, por tanto:

W = 10−6(6 · 105 − 1, 2 · 106) = −0, 6 J

El signo negativo nos indi a que el trabajo debe ser realizado por una fuerza ontra el ampo elé tri o.

El trabajo de este fuerza será: W =0, 6 J

2. Una arga elé tri a de 5·10

−6C se mueve en el seno de un ampo magnéti o

−→B = 5·10

−3 −→j (T) on

velo idad

−→v = 5·10

3−→i (m/s). a. Cal ule la traye toria (radio de urvatura) que tendría si su masa es

5 ng. b. Cal ule el ampo elé tri o que se debe apli ar (módulo, dire ión y sentido), para que la arga

siga on traye toria re tilínea.

Respuesta:

a) Al ser perpendi ulares el ampo magnéti o y la velo idad, la traye toria será ir ular, on un radio:

r =mv

qB=

5 · 10−9 · 5 · 1035 · 10−6 · 5 · 10−3

= 1000m

b) Para que la arga siga on una traye toria re tilínea, debe umplirse que:

−→E +−→v ×−→

B = 0, es de ir:−→E + 5 · 103−→i × 5 · 10−3−→j = 0

−→E = −25

−→k N· C−1

3. Cal ule el módulo de la indu ión de ampo magnéti o generado por una orriente de 3 A que re orre

un ondu tor re tilíneo, en un punto situado a 10 m de él. ¾Qué fuerza experimenta una arga de 20

mC que se mueve, a esa distan ia de 10 m, paralelamente a él en el mismo sentido que la orriente

elé tri a on una velo idad de 10

5m/s? ¾Será de atra ión o repulsión?

Respuesta:

a) El módulo del ampo es:

B =µ0I

2πd=

4π · 10−7 · 32π · 0, 1 = 6 · 10−6T

21


El módulo de la fuerza que a túa sobre la fuerza sobre la arga es:

F = qvB sen 90º = 2 · 10−5 · 105 · 6 · 10−6 = 1, 2 · 10−5N

La fuerza será de atra ión, al desplazarse la arga positiva de forma paralela a la intensidad de orriente

en el ondu tor.

4. En el seno de un ampo magnéti o

−→B = −10

−→j T viaja un ele trón on velo idad ini ial

−→v = 1, 5·106−→im/s. Cal ule el radio de la traye toria que des ribe y dibuje un esquema que indique el sentido de giro.

b) Viaja un protón on la misma velo idad ini ial. Cal ule el radio de la traye toria e indique el sentido

de giro al igual que en el apartado anterior. ) ¾Qué velo idad (módulo, dire ión y sentido) debe tener

el itado protón para des ribir una traye toria de igual radio y sentido que la del ele trón? Datos: me

= 9,1·10

−31kg; mp = 1,67·10

−27kg; qe = -1,6·10

−19C

Respuesta:

a) El radio de la traye toria es:

r =mv

qB=

9, 1 · 10−31 · 1, 5 · 1061, 6 · 10−19 · 10 = 8, 53 · 10−7m

la representa ión grá� a sería: El sentido de giro sería el ontrario al de las agujas del reloj.

b) Para un protón, el radio sería:

r =mv

qB=

1, 67 · 10−27 · 1, 5 · 1061, 6 · 10−19 · 10 = 1, 56 · 10−3m

La fuerza sobre el protón tendría la misma dire ión y sentido ontrario que la fuerza sobre el ele trón.

El movimiento sería ahora en el sentido de las agujas del reloj.

) La velo idad deberá tener la misma dire ión que la del ele trón, pero sentido ontrario. Su módulo

saldrá de la igualdad:

9, 1 · 10−31 · 1, 5 · 1061, 6 · 10−19 · 10 =

1, 67 · 10−27 · v1, 6 · 10−19 · 10 v = 817m · s−1

5. Dis uta en qué punto la intensidad de ampo elé tri o reado por dos argas de 3 y 5 nC que distan

entre si 10 m se anula y al ule su posi ión ¾Cuánto vale el poten ial en ese punto? Dato: K = 9·10

9

Nm

2/C

2

Respuesta:

22


a) El ampo elé tri o se anulará en un punto situado entre ambas argas.

Di ho punto se en ontrará a una distan ia x de la arga de 5 nC y a una distan ia 0,1-x de la de 3

nC. Dado que el módulo de la fuerza reada por ada una de las argas debe tener el mismo valor,

podremos es ribir:

K · 3 · 10−9

(0, 1− x)2=

K · 5 · 10−9

x2

Resolviendo la e ua ión, y teniendo en uenta que sólo será válido el resultado positivo, tendremos que:

x = 0,056 m

El poten ial en di ho punto tendrá el valor:

V =9 · 109 · 5 · 10−9

0, 056+

9 · 109 · 3 · 10−9

(0, 1− 0, 056)= 1417V

6. Una bobina está formada por 100 espiras de super� ie unitaria 20 m

2.El eje de di ha bobina oin ide

ini ialmente on el eje X y gira on una fre uen ia de 50 Hz en el plano XY. Si la bobina se en uentra

en el seno de un ampo magnéti o

−→B = 5

−→i T , indique: a) El �ujo del ampo magnéti o a través de la

bobina en el instante en que éste es máximo, y la posi ión relativa de la bobina on respe to al ampo

magnéti o en di ho instante. b) Es riba la e ua ión de la fuerza ele tromotriz en fun ión del tiempo.

). Determine el valor máximo de la fuerza ele tromotriz indu ida.

Respuesta:

a) El �ujo magnéti o a través de la espira tiene el valor máximo uando el eje de aquella esté alineado

on el ampo magnéti o (por tanto, en la dire ión del eje X). En este aso, tendremos::

ϕ = N−→B−→S = NBS · cos 0º = 100 · 5 · 20 · 10−4 = 1wb

b) La fuerza ele tromotriz será:

ε = −dϕ

dt= −d (100 · 5 · 20 · 10−4 · cos (50 · 2πt)

dt= 100πsen 100πt

) El valor máximo de la f.e.m. indu ida será: εmax = 100π = 314V

7. Responda a las siguientes uestiones: a) ¾Con qué fuerza se atraen dos ondu tores paralelos de 1 metro

de longitud por los que ir ulan orrientes de intensidad 2 y 5 A si la distan ia entre ellos es de 5 m?

Razone el sentido de las orrientes. b) Dos argas elé tri as distantes 9 m, una 3q y la otra � q, se

atraen on una fuerza de 5 N. Cal ule el valor de sus argas e indique el valor del poten ial en el entro

del segmento que las une. Datos: k = 9 10

9Nm

2C

−2

Respuesta:

a) La fuerza on que se atraen ambos ondu tores es:

F

l=

µ0I1I22πd

=4π · 10−7 · 2 · 5

2π · 0, 05 = 4 · 10−5N

Esta es la fuerza por unidad de longitud que ada ondu tor ejer e sobre el otro. Al ser 1 m la longitud

de ada ondu tor, oin idirá on la fuerza sobre ada uno de ellos. Las orrientes tendrán el mismo

sentido, omo puede verse en la siguiente imagen:

23


b) La fuerza entre las dos argas es:

5 =9 · 109 · 3 · q28, 1 · 10−3

q = 1, 22 · 10−6C

El poten ial en el punto medio del segmento que une ambas argas será:

V =9 · 109 · 3 · 1, 22 · 10−6

(4, 5 · 10−2)2+

9 · 109(−1, 22 · 10−6)

(4, 5 · 10−2)2= 1, 09 · 107V

8. Una arga elé tri a 5·10

−9C se mueve horizontalmente y perpendi ular a un ampo magnéti o de -

5·10

−3T on velo idad de 5·10

6m/s. a) Cal ule la traye toria que tendría si su masa es 5 ng. b)

¾Qué ampo elé tri o debería a tuar, en qué dire ión y on qué sentido para que la arga siguiera on

traye toria re tilínea?

Respuesta:

a) El radio de la traye toria será:

r =mv

qB=

5 · 10−9 · 5 · 1065·10−9 · 5 · 10−3

= 109 m

b) Suponiendo que la arga se desplaza en el sentido positivo del eje Y, y el ampo esta orientado en el

sentido negativo del eje X, la fuerza sobre di ha partí ula estaría dirigida en el sentido positivo del eje Z.

El ampo elé tri o que debería a tuar para que la traye toria de la partí ula se mantuviera re tilínea,

debería estar dirigido a lo largo del eje Z, en sentido negativo. Su módulo debería ser tal que:

qE = qvB E = 5 · 106 · 5 · 10−3 = 2, 5 · 104N · C−1

9. Un ele trón viaja en línea re ta on una velo idad onstante de v0 = 1.6·106 m/s y entra en una región

entre dos pla as paralelas donde existe un ampo magnéti o uniforme y perpendi ular a la velo idad

del ele trón. La separa ión entre las pla as es de 1 m y su longitud de 2 m. Asuma que el ampo

magnéti o en el exterior de la región delimitada por las pla as es nulo y que uando el ele trón entra

en el espa io entre las pla as está a la misma distan ia de ambas. a) Si el ele trón urva su traye toria

ha ia la pla a superior y la libra justamente uando sale del espa io entre pla as, al ule la intensidad

del ampo magnéti o. b) Suponga que un protón on la misma velo idad ini ial reemplaza al ele trón.

¾Logrará salir del espa io entre las pla as o impa tará en una de ellas, de ser así, en la superior o en la

inferior? Justi�que su respuesta. Datos: |qe| = -1.6·10−19C; me = 9.1·10−31

kg; mp = 1.7·10−27kg

Respuesta:

a) El radio de la traye toria del ele trón bajo la a ión del ampo magnéti o es:

r =mv

qB=

9, 1 · 10−31 · 1, 6 · 1061, 6 · 10−19B

=9, 1 · 10−6

B(∗)

A partir de la siguiente representa ión grá� a:

24


Podemos rela ionar la traye toria del ele trón y las dimensiones de las pla as on el radio de la traye -

toria. Esta rela ión puede ser expresada de la forma:

r senα = 0, 02

r cosα+ 0, 005 = r

sen2α+ cos2α = 1

Resolviendo este sistema de tres e ua iones obtendremos r = 0,042 m. Sustituyendo este valor en (*)

tendremos:

B =9, 1 · 10−6

0, 042= 2, 17 · 10−4T

b) En aso de que la partí ula sea un protón, éste se desviará en sentido ontrario al ele trón, esto

es, ha ia abajo. Dado que la masa del protón es mayor que la del ele trón, y suponiendo la misma

velo idad que éste, el radio de la traye toria del protón, rp =

mv

qBserá mayor que el de la traye toria

del ele trón, por lo que sobrepasaría la longitud de las pla as sin ho ar ontra la inferior.

10. Por un ondu tor re tilíneo inde�nido ir ula una orriente elé tri a de intensidad I = 200 A. Determine:

a) El módulo, la dire ión y el sentido del ampo magnéti o en un punto situado a 20 m del ondu tor.

b) El módulo, la dire ión y el sentido de la fuerza que a túa sobre una arga elé tri a q = +3 mC que

se a er a ha ia el ondu tor en dire ión perpendi ular a éste, on una velo idad de 4·103m·s-1 uando

la arga se en uentra a 20 m del ondu tor. ) El módulo, la dire ión y el sentido de la fuerza que

a túa sobre la misma arga si se mueve paralela al ondu tor en el mismo sentido que la orriente.

Datos: K = 9·109 N·m

2·C

−2; m0 = 4p10

−7N·A

−2

Respuesta:

a) En la siguiente imagen:

Podemos ver, de izquierda a dere ha, la representa ión del ve tor pedido en ada uno de los apartados.

Podemos ver que el ve tor

−→B se en uentra en un plano perpendi ular al que ontiene el ondu tor,

25


mientras que el ve tor fuerza magnéti a que a túa sobre la arga se en ontrará sobre el plano del

ondu tor. Los módulos pedidos son los siguientes:

a) B =4π · 10−7 · 200

2π · 0, 2 = 2 · 10−4T

b) F = qvB = 3 · 10−6 · 4 · 103 · 2 · 10−4 = 2, 4 · 10−6N

) F = qvB = 3 · 10−6 · 4 · 103 · 2 · 10−4 = 2, 4 · 10−6N

11. Un dipolo está formado por dos argas puntuales, q1= +12 nC y q2 = -12 nC, situadas a una distan ia

mutua de 10 m. Cal ule en un punto Q lo alizado entre las dos argas y a una distan ia de 6 m

respe to de la arga positiva: a. El módulo, la dire ión y el sentido del ampo elé tri o reado por el

dipolo. b. El poten ial elé tri o reado por el dipolo. . El módulo, la dire ión y el sentido de la fuerza

ejer ida sobre una ter era arga puntual q = +2 mC situada en ese punto. Dato: K = 9·109 N·m

2·C

−2.

Respuesta:

a) Suponiendo ambas argas situadas sobre el eje X, on la arga positiva situada a la izquierda,

tendremos:

−→E =

−→E1 +

−→E2 =

9 · 109 · 1, 2 · 10−8

0, 062−→i +

9 · 109 · 1, 2 · 10−8

0, 042−→i = 9, 75 · 104N · C−1

b) El poten ial elé tri o en ese punto es:

V = V1 +V2 =9 · 109 · 1, 2 · 10−8

0, 06+

9 · 109(−1, 2 · 10−8)

0, 04= −900V

) La fuerza sobre la men ionada arga es:

−→F = q

−→E = 2 · 10−6 · 9, 75 · 104 = 0, 195N

12. Un ele trón es a elerado mediante una diferen ia de poten ial de 150 V y entra en una región en la

que se apli an un ampo elé tri o y un ampo magnéti o onstantes, mutuamente perpendi ulares y

a su vez perpendi ulares a la traye toria del ele trón. La magnitud del ampo elé tri o es de 6·106N/C. a. Suponiendo despre iable la velo idad del ele trón antes de ser a elerado, al ule la energía del

ele trón uando entra en di ha región en unidades del Sistema Interna ional. b. La intensidad de ampo

magnéti o ne esaria para que el ele trón atraviese esa región sin modi� ar su traye toria. . Cuando

la partí ula a elerada es un protón entra en la región on la misma velo idad que el ele trón y en este

aso el ampo magnéti o que se apli a es de 1.2·10−4T ¾Cómo se debe modi� ar el ampo elé tri o

para que el protón siga una traye toria re tilínea? Datos: |qe| = -1.6·10−19C; me = 9.1·10−31

kg; mp

= 1.7·10−27kg.

Respuesta:

a) La energía del ele trón será:

E = q∆V =1

2mv2 = 1, 6 · 10−19 · 150 = 2, 4 · 10−17 J

b) La velo idad adquirida por el ele trón es:

v =

√

2 · 1, 6 · 10−19 · 1509, 1 · 10−31

= 7, 26 · 106m · s−1

26


Para que el ele trón no modi�que su traye toria, deberá umplirse que: q−→E = q−→v ×−→

B , on lo que:

∣

∣

∣

−→E∣

∣

∣=

∣

∣

∣

−→v ×−→B∣

∣

∣. Despejando:

B =E

v=

6 · 1067, 26 · 106 = 0, 83T

) El ampo elé tri o tendrá el valor:

E = Bv = 1, 2 · 10−4 · 7, 26 · 106 = 871, 2N · C−1

13. Dos argas puntuales on argas q1 = +10 mC y q2 = -40 mC se disponen en el va ío en posi iones

�jas separadas 1 m una de otra. Determinar: a. Un punto A donde se anule el ampo elé tri o. b. Un

punto B donde sea nulo el poten ial elé tri o. . El trabajo para trasladar un protón desde el punto A

al punto B. Datos: K = 9 · 109N ·m2 · C−2; |qe| = 1.6·10−19

C; mp = 1.7·10−27kg.

Respuesta:

a) Suponiendo la arga positiva en el origen de oordenadas y la negativa en la posi ión (1,0), el úni o

punto en que se anula el ampo elé tri o debido a las dos argas deberá en ontrarse a la izquierda de

la arga positiva, umpliéndose:

9 · 109 · 10−5

x2=

9 · 109 · 4 · 10−5

(1 + x)2x = 1m

b) Para que el poten ial elé tri o sea nulo, pueden darse las situa iones siguientes:

9 · 109 · 10−5

x+

9 · 109(−4 · 10−5)

(1 + x)= 0 x = −0, 33 punto situado entre las cargas

9 · 109 · 10−5

x+

9 · 109(−4 · 10−5)

(1− x)= 0 x = −0, 33 punto situado a la izquieda de q1

) El poten ial en el punto A será: VA =9 · 109 · 10−5

1+

9 · 109(−4 · 10−5)

2= −9 · 104V. En B, el po-

ten ial será nulo, por lo que el trabajo ne esario para desplazar un protón desde A hasta B será:

W = q (VA −VB) = 1, 6 · 10−19(−9 · 104 − 0) = −1, 44 · 10−14 J

14. Un ele trón se mueve on velo idad onstante v0 = 1.41·106 m/s a lo largo del eje + y. Cal ule: a.

El módulo, la dire ión y el sentido del ampo magnéti o que habría que apli ar para que el ele trón

des ribiera una traye toria ir ular de diámetro 10 m en sentido horario. b. El módulo, la dire ión y

el sentido de la fuerza que a túa sobre el ele trón. . Cal ule el radio de la traye toria y el sentido de

giro de un protón bajo la a ión del mismo ampo magnéti o.

Respuesta:

a) El módulo del ampo magnéti o es:

B =mv

qr=

9, 1 · 10−31 · 1, 41 · 1061, 6 · 10−19 · 0, 05 = 1, 6 · 10−4T

El ampo magnéti o debe ser perpendi ular a la traye toria del ele trón. Si suponemos que di ho ampo

a túa a lo largo del eje z, su sentido debe ser el positivo de di ho eje, omo podemos ver en la siguiente

imagen:

27


b) El módulo de la fuerza es:

∣

∣

∣

−→F∣

∣

∣= q |−→v |

∣

∣

∣

−→B∣

∣

∣sen 90 = 1, 6 · 10−19 · 1, 41 · 106 · 1, 6 · 10−4 = 3, 61 · 10−17N

La fuerza a túa a lo largo del eje + x.

) En el aso de un protón, el sentido de giro es antihorario, al poseer una arga de signo ontrario a

la del ele trón. El radio de la traye toria sería:

r =mv

qB=

1, 7 · 10−27 · 1, 41 · 1061, 6 · 10−19 · 1, 6 · 10−4

= 93, 6m

15. Dos argas puntuales positivas, q1 = +10 mC y q2 = +5 mC, están situadas a una distan ia mutua de 1

m. Llamemos A al punto medio situado a lo largo de la línea imaginaria que one ta las dos argas. a.

Cal ule el módulo, la dire ión y el sentido del ampo elé tri o en el punto A. b. Cal ule el poten ial

elé tri o en el punto A. . Si olo amos una arga puntual negativa, q = -2 mC, en el punto A, al ule

el módulo, la dire ión y el sentido de la fuerza ejer ida sobre di ha arga. Dato: K = 9·109 N·m

2·C

−2.

Respuesta:

a) El módulo del ampo elé tri o reado por ada una de las argas es, respe tivamente:

∣

∣

∣

−→E1

∣

∣

∣=

9 · 109 · 10−5

0, 52= 3, 6 · 105N · C−1

∣

∣

∣

−→E2

∣

∣

∣=

9 · 109 · 5 · 10−6

0, 52= 1, 8 · 105N · C−1

El ampo resultante tendrá omo módulo:

∣

∣

∣

−→E1

∣

∣

∣=

∣

∣

∣

−→E1

∣

∣

∣−∣

∣

∣

−→E2

∣

∣

∣= 3, 6 · 105 − 1, 8 · 105 = 1, 8 · 105N · C−1

.

La dire ión es la del segmento que une ambas argas, y el sentido el que se dirige desde q1ha ia

q2.

b) El poten ial elé tri o en A será:

VA =9 · 109 · 10−5

0, 5+

9 · 109 · 5 · 10−6

0, 5= 2, 7 · 105V

) El módulo de a fuerza sobre di ha arga será:

∣

∣

∣

−→F∣

∣

∣= |q|

∣

∣

∣

−→E∣

∣

∣= 2 · 10−61, 8 · 105 = 0, 36N

La fuerza irá en la misma dire ión pero sentido ontrario al ampo elé tri o, al ser negativa la

arga.

16. Una partí ula alfa α viaja en línea re ta on velo idad onstante y entra en una región donde existen

un ampo elé tri o y un ampo magnéti o onstantes, mutuamente perpendi ulares y a su vez perpen-

di ulares a la traye toria de la partí ula alfa. La magnitud del ampo elé tri o es de 2·105 N/C y la

del ampo magnéti o 0.5 T. Cal ule: a. La velo idad de la partí ula alfa si atraviesa di ha región sin

28


modi� ar su traye toria. b. La diferen ia de poten ial ne esaria para a elerar la partí ula alfa desde el

reposo hasta esa velo idad. . Cómo se debe modi� ar el ampo elé tri o (módulo, dire ión y sentido)

para que un ele trón a elerado on la misma diferen ia de poten ial atraviese la región sin modi� ar su

traye toria. Datos: |qe| = 1.6·10−19C; me = 9.1·10−31

kg; mα = 6.64·10−27kg

Respuesta:

a) Para que la partí ula α no modi�que su traye toria, las fuerzas sobre ella debidas al ampo elé tri o

y al ampo magnéti o deben ser iguales y opuestas, por lo que:

qE = qvB v =E

B=

2 · 1050, 5

= 4 · 105m · s−1

b) la diferen ia de poten ial ne esaria para a elerar la partí ula α será:

2 · 1, 6 · 10−19∆V =1

26, 64 · 10−27(4 · 105)2 ∆V = 1660V

) La velo idad del ele trón será:

v =

√

2 · 1, 6 · 10−19 · 16609, 1 · 10−31

= 2, 42 · 107m · s−1

La dire ión del ampo elé tri o debe ser la misma, pero el sentido ontrario. En uanto al módulo:

E = Bv = 0, 5 · 2, 42 · 107 = 1, 21 · 107N · C−1

29


5. Físi a moderna.

1. Cal ule los valores de los números atómi o y mási o del Rh en la siguiente rea ión e indi a el tipo al

que pertene e:

23994 Pu +1

0 n → Rh +13349 In + 3 1

0n

Sabiendo que la pérdida de masa del plutonio en esta rea ión nu lear es del orden del 0,05%, al ule

la energía en julios desprendida al utilizar 10 Kg de plutonio. Datos: = 3·10

8m/s

Respuesta:

a) La suma de los números atómi os en el primer miembro es de 94 (94 + 0), mientras que la suma de

los números mási os es 240 (239+1). De esta forma, podremos poner:

23994 Pu +1

0 n →AZ Rh +133

49 In + 3 10n

240 = A + 139 + 3 → A = 103 94 = Z + 49 → Z = 45

Quedando así

10345 Rh

b) La masa de plutonio transformada en energía es: ∆m= 10 · 5 · 10−4= 5·10−3

kg.

E = ∆m · c2 = 5 · 10−3 · 9 · 1016 = 4, 5 · 1014J

2. Determine la energía de la primera transi ión de la serie de Lymann, de la serie de Balmer y de la serie

de Pas hen para el átomo de hidrógeno. Indique de forma razonada en que zona del espe tro ele tro-

magnéti o se en uentra ada una. Considere que una transi ión pertene e a la región del ultravioleta,

otra a la región del visible y otra a la región del infrarrojo Datos: = 3 10

8m/s; h = 6,63 10

−344 J·s;

R (Cte de Rydberg) = 10967757 m

−1.

Respuesta:

Serie de Lymann:

λ = 10967757

(

1

12− 1

22

)

= 8225817m−1 E =hc

λ= 6, 63 · 10−34 · 3 · 108 · 8225817 = 1, 64 · 10−18 J

Serie de Balmer:

λ = 10967757

(

1

22− 1

32

)

= 152399m−1 E =hc

λ= 6, 63 · 10−34 · 3 · 108 · 152399 = 3, 03 · 10−19 J

Serie de Pas hen:

λ = 10967757

(

1

32− 1

42

)

= 533155 m−1E =hc

λ= 6, 63 · 10−34 · 3 · 108 · 533155 = 1, 06 · 10−19 J

Una menor longitud de onda orresponderá a la zona ultravioleta del espe tro, mientras que otra

menor, orresponderá a la zona infrarroja. De esta forma, la primera transi ión de la Serie de Lymann

se produ e en el ultravioleta, la de la Serie de Balmer tendrá lugar en la zona del visible, mientras que

la orrespondiente a la Serie de Pas hen se produ irá en la zona del infrarrojo.

3. El isótopo

21084 Po, que emite partí ulas alfa, es un ontaminante natural del taba o omo ya publi aba

la prestigiosa revista ientí� a �S ien e� en Enero de 1964. a) Indique uantos protones y neutrones

tiene este isótopo b) Considerando que el periodo de semidesintegra ión de este isótopo es de 138,39

días, ¾ uál la onstante de desintegra ión o de aimiento de este isótopo? ) Cal ule la a tividad que

tiene ini ialmente una muestra de 2 mg de . d) Cal ule la a tividad de la anterior muestra después de

que haya trans urrido 1 año. Datos: Número de Avogadro = 6,022·10

23

30


Respuesta:

a) El número de protones es 84, y el de neutrones, 210 - 84 = 126

b) La onstante de desintegra ión es:

λ =0, 693

138, 39 · 86400 = 5, 8 · 10−8 s−1

) Una masa de 2µg de este isótopo ontiene un número de nú leos:

N0 =2 · 10−6

2106, 022 · 1023 = 5, 73 · 1015 nucleos

La a tividad ini ial es: A0 = λ N0= 3,32·108 Bq

d) Al abo de un año, el número de nú leos restantes será:

N = 5, 73 · 1015e−(5,8·10−8·86400·365) = 1015 nucleos

la a tividad será, enton es;

A = λN = 5, 8 · 10−8 · 1015 = 5, 8 · 107Bq

4. Los fotoele trones emitidos por una super� ie metáli a de aluminio tienen una energía inéti a máxima

de 10

−20J para una radia ión in idente de 10

15Hz. Cal ule: a) El trabajo de extra ión o fun ión de

trabajo. b) La longitud de onda umbral. ) Cuando la super� ie del metal se ha oxidado, la energía

inéti a máxima para la misma luz in idente se redu e. Razone ómo ambian, debido a la oxida ión

del metal, la fre uen ia umbral de emisión y la fun ión trabajo. Datos: h = 6,63·10

−34J·s; = 3·10

8

m/s.

Respuesta:

a) A partir de la expresión:

hν = Wext + Ec

El trabajo de extra ión tendrá el valor:

Wext = hν − Ec = 6, 63 · 10−34 · 1015 − 10−20 = 6, 53 · 10−19 J

b) La fre uen ia umbral es:

ν0 =Wext

h=

6, 53 · 10−19

6, 63 · 10−34= 9, 85 · 1014 s−1

Siendo λ0 = /ν0 = 3·108/9, 85·1014= 3,05·10−7m

) La redu ión de la energía inéti a máxima para una misma radia ión in idente, impli a que, tanto

el trabajo de extra ión (fun ión de trabajo), omo la fre uen ia umbral han aumentado.

5. Una muestra radia tiva tiene una a tividad de 200 Bq en el momento de su obten ión. Al abo de

30 minutos su a tividad es de 150 Bq. Cal ule: a) Valor de la onstante de desintegra ión radia tiva.

b) Periodo de semidesintegra ión ) Número ini ial de nú leos d) Nú leos que quedan al abo de 90

minutos.

Respuesta:

a) A partir de los datos del enun iado, podemos es ribir lo siguiente:

200 = λNo 150 = λN1N0

N1=

200

150N1 =

3

4N0

31


Apli ando la ley de la desintegra ión radia tiva:

3

4N0 = N0e

−λ·30 λ = 9, 59 · 10−3 s

b) El periodo de semidesintegra ión es:

τ =ln 2

λ=

0, 693

9, 59 · 10−3= 72, 27min

) El número ini ial de nú leos se obtendrá de:

A0 = λN0 200 = 9, 59 · 10−3N0

Despejando, se obtiene N0 = 20855 nú leos.

d) Al abo de 90 minutos, el número de nú leos restantes será:

N = 20855 · e−9,59·10−3·90 = 8798 nucleos

6. El efe to fotoelé tri o se produ e en un determinado metal para una longitud de onda máxima de

710 nm. a) Explique en qué onsiste el efe to fotoelé tri o. b) Cal ule el trabajo de extra ión. )

Determine el poten ial de frenado de los ele trones emitidos y su energía inéti a máxima si se utiliza

una radia ión de longitud de onda 500 nm, d) ¾Qué tipo de grá� a se obtiene si se representa la

energía inéti a máxima frente a la fre uen ia de luz on que se ilumina el metal? Razónelo. Datos: h

= 6,63·10

−34J·s; = 3·10

8m/s; qe= � 1,6·10

−19C

Respuesta:

a) El efe to fotoelé tri o onsiste en la emisión de ele trones por parte de una super� ie metáli a al ser

iluminada por una radia ión de fre uen ia superior a un valor mínimo, denominado fre uen ia umbral.

b) El trabajo de extra ión es:

Wext = hν0 =hc

λ0=

6, 63 · 10−34 · 3 · 1087, 1 · 10−7

= 2, 8 · 10−19 J

) Apli ando la e ua ión del efe to fotoelé tri o, tendremos:

hc

λ= Wext + qVf

6, 63 · 10−34 · 3 · 1085 · 10−7

= 2, 8 · 10−19 + 1, 6 · 10−19Vf

Obteniéndose un valor: Vf= 0,74 V

d) La e ua ión del efe to fotoelé tri o puede es ribirse omo:hν = Wext + Ec, por lo que la e ua ión

que representa la energía inéti a frente a la fre uen ia es del tipo:

Ec = hν −Wext

La representa ión grá� a es una línea re ta, de pendiente h, y que tiene su omienzo a partir de un

valor mínimo de la fre uen ia, lo que se ono e omo fre uen ia umbral. La grá� a será, pues, del tipo:

32


7. Se dispone ini ialmente de una muestra radia tiva que ontiene 1 mol de átomos de

224Ra, uyo período

de semidesintegra ión es de 3,64 días. Cal ule: a) La onstante de desintegra ión radia tiva del

224Ra

y la a tividad ini ial de la muestra en Bq. b) el número de átomos de

224Ra en la muestra al abo de

30 días. Dato: Número de Avogadro = 6.022·10

23.

Respuesta:

a) La onstante de desintegra ión es:

λ =0, 693

T=

0,693

3, 64= 0,19 dıas−1

La a tividad ini ial de la muestra será:

A0 = λN0 = 0,19 · 6, 022 · 1023 = 1, 144 · 1023Bq

b) El número de átomos será:

N = 6, 022 · 1023e−0,19·30 = 2, 01 · 1021 atomos

8. La energía mínima ne esaria para extraer un ele trón del sodio es de 2,3 eV. a) Explique si se produ irá

el efe to fotoelé tri o uando se ilumina una lámina de sodio on luz roja de longitud de onda 680 nm

y on luz azul de longitud de onda: 360 nm. b) Indique el valor de la energía inéti a máxima de los

ele trones extraídos. ) Cal ule el valor del poten ial de frenado de los mismos. Datos: h = 6,63·10

−34

J�s; = 3·10

8m/s; qe = 1,6·10

−19C

Respuesta:

a) Cono iendo el trabajo de extra ión:

6, 63 · 10−34ν0 = 2, 3 · 1, 6 · 10−19 ν0 = 5, 55 · 1014 s−1 λ0 = 5, 40 · 10−7m

Por lo que sólo produ irá emisión fotoelé tri a para la luz azul, pues λ < λ0

b) La energía inéti a máxima será:

Ec =6, 63 · 10−343 · 108

3, 6 · 10−7− 2, 3 · 1, 6 · 10−19 = 1, 85 · 10−19 J

) El poten ial de frenado se obtendrá de:

Ec = q ·Vf Vf =1, 85 · 10−19

1, 6 · 10−19= 1, 15V

9. En los experimentos de difra ión en ristales las longitudes de onda habituales son del orden de 0.2

nm. Cal ule: a. La energía en eV de un fotón on di ha longitud de onda. b) Las longitudes de onda

que orresponderían a un protón y a un ele trón, respe tivamente, que tuviesen una energía inéti a

igual a la energía del fotón del apartado anterior. Datos: = 3·108 m/s; me = 9.1·10−31kg; mp = 1.7·

10

−27kg; h = 6.626·10−34

J·s; |qe| = 1.6·10−19C

Respuesta:

a) La energía del fotón será:

E =hc

λ=

6, 626 · 10−34 · 3 · 1082 · 10−10

= 9, 94 · 10−16J equivalentes a9, 94 · 10−16

1, 6 · 10−19= 6212, 5 eV

33


b) La velo idad de un ele trón y de un protón on esta energía serían, respe tivamente:

electron : 9, 94 · 10−16 =1

29, 1 · 10−31v2e ve = 4, 67 · 107m · s−1

proton : 9, 94 · 10−16 =1

21, 7 · 10−27v2p vp = 1, 08 · 106m · s−1

Las respe tivas longitudes de onda serían:

λe =h

meve=

6, 626 · 10−34·9, 1 · 10−31 · 4, 67 · 107 = 1, 56 · 10−11m

λp =h

mpvp=

6, 626 · 10−34·1, 7 · 10−27 · 1, 08 · 105 = 3, 61 · 10−12m

10. El isótopo más omún del uranio (Z = 92) es el

238U, tiene un periodo de semidesintegra ión de 4.47·109

años y de ae a

234Th mediante emisión de partí ulas alfa. Cal ule: a) La onstante de desintegra ión

radia tiva del

238U. b) El número de moles de

238U requeridos para una a tividad de 100 Bq. Dato:

NA= 6.022·1023 átomos·mol

−1

Respuesta:

a) La onstante de desintegra ión radia tiva es:

λ =0, 693

T=

0, 693

4, 47 · 109 · 365 · 86400 = 4, 92 · 10−18s−1

b) La a tividad será:

A = λN 100 = 4, 92 · 10−18N N =100

4, 92 · 10−18= 2, 03 · 1019

El número de moles será:

n =2, 03 · 10196, 022 · 1023 = 3, 38 · 10−5moles

11. La difra ión de ele trones permite investigar la estru tura ristalina de los materiales. En un experi-

mento de difra ión de ele trones, un haz de ele trones a elerados mediante un poten ial de 54 V in ide

sobre un material. Si se onsidera que los ele trones poseen una energía inéti a despre iable antes de

ser a elerados: a. Cal ule la longitud de onda de los ele trones que in iden sobre el material objeto de

estudio. b. Compare la longitud de onda de los ele trones anteriores on la longitud de onda de De

Broglie aso iada a una partí ula de 2 mg de masa on la misma velo idad que di hos ele trones. Datos:

|qe| = 1.6·10−19C; me = 9.1·10−31

kg; h = 6.626·10−34J·s.

Respuesta:

a) El trabajo realizado sobre los ele trones es:

W = q∆V =1

2mv2 − 0

despejando, obtenemos la velo idad de los ele trones:

v =

√

2q∆V

m=

√

2 · 1, 6 · 10−19 · 549, 1 · 10−31

= 4, 36 · 106m · s−1

La longitud de onda será:

λ =h

mv=

6,626 · 10−34

9, 1 · 10−31 · 4, 36 · 106 = 1, 67 · 10−10m

34


b) La longitud de onda aso iada a la partí ula es:

λ =h

mv=

6,626 · 10−34

2 · 10−9 · 4, 36 · 106 = 7, 6 · 10−32m

La rela ión es:

λ2

λ1=

7, 6 · 10−32

1, 67 · 10−10= 4, 55 · 10−22

12. El isótopo

57Co, por aptura de un ele trón, de ae a

57Fe on un período de semidesintegra ión de

272 días. El nú leo de

57Fe se produ e en un estado ex itado y asi instantáneamente emite rayos

gamma que pueden ser dete tados. Cal ule para una muestra radia tiva de

57Co: a. La vida media y la

onstante de desintegra ión radia tiva del

57Co. b. El número de moles del isótopo

57Co en la muestra

si la a tividad ini ial es de 7.1·1016 Bq (1 punto) Dato: NA = 6.022·1023 átomos·mol

−1

Respuesta:

a) El periodo de semidesintegra ión es:

T =0, 693

λ= 272 dıas τ =

1

λ=

272

0, 693= 392, 5 dıas.

La onstante de desintegra ión es:

λ =1

392, 5= 2, 55 · 10−3 dıas−1 = 2, 95 · 10−8s−1

b) Teniendo en uenta que:

A = λN 7, 1 · 1016 = 2, 95 · 10−8N N = 2, 40 · 1024 nucleos


n =2, 40 · 10246,022 · 1023 = 4

13. Un ele trón posee una energía inéti a de 25 eV. Cal ule: a. La longitud de onda aso iada al ele trón.

b. La longitud de onda de un fotón on la misma energía de 25 eV. . La longitud de onda de De Broglie

aso iada a una partí ula de masa, m = 0.005 mg on la misma velo idad que el ele trón de los apartados

anteriores Datos: me = 9.1·10−31kg; h = 6.626·10−34

J·s; |qe| = 1.6·10−19C.

Respuesta:

a) A partir de la energía inéti a, al ulamos la velo idad del ele trón:

1

29, 1 · 10−31v2 = 25 · 1, 6 · 10−19J v = 2, 96 · 106m · s−1

La longitud de onda aso iada es:

λ =h

mv=

6,626 · 10−34

9, 1 · 10−31 · 2, 96 · 106 = 2, 46 · 10−10m

b) La longitud de onda del fotón será:

E = hν =hc

λλ =

6,626 · 10−34 · 3 · 10825 · 1, 6 · 10−19

= 4, 97 · 10−8m

) La antidad de movimiento de esta partí ula será:

p = mv = 5 · 10−12 · 2, 96 · 106 = 1, 48 · 10−5kg ·m · s−1

35


La longitud de onda de De Broglie es:

λ =h

mv=

6,626 · 10−34

1, 48 · 10−5= 4, 48 · 10−29m

14. El isótopo más omún del uranio (Z = 92) es el

238U, tiene un periodo de semidesintegra ión de 4.47·109

años y de ae a

234Th mediante emisión de una partí ula alfa. a. Es riba la rea ión de de aimiento

prevista para el

238U señalando el número atómi o del Torio. b. Cal ule la onstante de desintegra ión

radia tiva. . Determine el tiempo que debe trans urrir para que la a tividad de una muestra de un

mineral que ontiene

238U se reduz a a la mitad. Dato: NA= 6.022·1023 átomos·mol

−1

Respuesta:

a) La rea ión de de aimiento es:

23892 U →4

2 α+23490 Th

b) La onstante de desintegra ión es:

λ =ln 2

T=

0, 693

4, 47 · 109 = 1, 55 · 10−10anos−1

) El tiempo será igual al periodo de semidesintegra ión, es de ir, 4,47 · 109 años, puesto que la a tividadestá rela ionada on el número de átomos en un instante dado mediante la expresión: A = λN . Para

omprobar este valor, utilizamos la e ua ión de la desintegra ión radia tiva:

A =A0

2⇒ N =

N0

2

N0

2= N0e

−1,55·10−10t t = 4, 47 · 109anos

15. Cono emos la longitud de onda de los ele trones que in iden sobre un material en un experimento de

difra ión de ele trones, λe = 1.5·10−10m. Cal ule: a. La velo idad de los ele trones que in iden sobre el

material. b. Determina la diferen ia de energía entre dos niveles atómi os si la radia ión emitida tiene

la misma longitud de onda que la de los ele trones empleados en la difra ión. . La longitud de onda

de De Broglie aso iada a una partí ula de masa, m = 5·10−12kg on la misma velo idad que el haz de

ele trones de los apartados anteriores. Datos: |qe| = 1.6·10−19C; me = 9.1·10−31

kg; h = 6.626·10−34

J·s; = 3·108 m s

−1

Respuesta:

a) La longitud de onda es:

λ =h

mvv =

6,63 · 10−34

9, 1 · 10−31 · 1, 5 · 10−10= 4, 86 · 106m · s−1

b) La diferen ia de energía es:

∆E = hν =hc

λ=

6,63 · 10−34 · 3 · 1081, 5 · 10−10

= 1, 33 · 10−15J

) La longitud de onda de De Broglie es:

λ =6, 63 · 10−34

5 · 10−12 · 4, 86 · 106 = 2, 73 · 10−29m

16. Se ono en más de 40 isótopos del polonio, todos ellos radioa tivos. Uno de ellos, el isótopo

210Po, de ae

a un isótopo estable del plomo (Pb) emitiendo una partí ula alfa on un período de semidesintegra ión

36


de 138.4 días. a. Es riba la rea ión nu lear des rita en el enun iado anterior Cal ule para una muestra

radia tiva de

210Po: b. La vida media y la onstante de desintegra ión radia tiva. . El número de moles

del isótopo radia tivo ne esarios para una a tividad ini ial de 1.75·1013 Bq. Dato: NA = 6.022·1023átomos·mol

−1

Respuesta:

a) La rea ión nu lear es la siguiente:

210Po →206 Pb +42 α

b) Para ono er la onstante vida media, tendremos::

T = τ ln 2 τ =138, 4 · 86400

0, 693= 1, 73 · 107s

La onstante de desintegra ión radia tiva será:

λ =ln 2

T=

0, 693

138, 4 · 86400 = 5, 80 · 10−8s−1

) La a tividad está rela ionada on el número de átomos en la forma:

A0 = λN0 N0 =1, 75 · 10135, 80 · 10−8

= 3, 02 · 1020 atomos


n =N0

NA=

3, 02 · 10206, 022 · 1023 = 5, 02 · 10−4

,mol

37

ASTURIAS · 2019-07-12 · ASTURIAS UEBAS PR U EBA FÍSICA 1. vitación. Gra 1. El planeta Tierra...

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